Unidade VI - Derivadas Parciais e Integral Dupla

Clculo Diferencial e Integral

Derivadas Parciais / Integrais Duplas

Material Terico

Responsvel pelo Contedo:Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano

Reviso Textual:Profa. Esp. Mrcia Ota

5

Derivadas Parciais

Regra da Cadeia

Integrais Duplas

Ao trmino deste estudo, desejamos que voc seja capaz de calcular derivadas parciais em um ponto, utilizando a regra da cadeia, bem como de entender e aplicar o conceito de integrais duplas para o clculo de volume.

Para ajud-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaa os exemplos resolvidos, alm de treinar com as Atividades Prticas, disponveis e suas resolues ao final do contedo.

No deixe de assistir, tambm, apresentao narrada do contedo e de alguns exerccios resolvidos.

Finalmente, e o mais importante, fique atento s atividades avaliativas propostas e ao prazo de realizao e envio.

Nesta Unidade, vamos ampliar o conceito de derivadas parciais, que foi introduzido na unidade anterior. Com isso, trabalharemos a ideia de integrais definidas para integrais duplas.

Derivadas Parciais / Integrais Duplas

Clculo de reas usando integrais duplas

6

Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas

Contextualizao

Sugerimos que assistam ao filme: Piratas da Informtica, que mostra como o cofundador da Apple, Steve Jobs, e o cofundador da Microsoft, Bill Gates, mudaram o jeito das pessoas viverem e se comunicarem criando as duas maiores empresas de informtica do mundo e seus sistemas operacionais.

O filme utiliza conceitos importantes para engenharia de: empreendedorismo, administrao, economia e gesto de negcios que sero muito utilizados na vida profissional de um engenheiro de produo os quais podem ser modelados atravs do Clculo Diferencial e Integral.

7

Derivadas Parciais

Na unidade anterior, fizemos uma introduo ao estudo das derivadas parciais: seu significado, a notao utilizada e a representao grfica. Vale salientar que as derivadas parciais sero utilizadas quando nos interessa a taxa de variao de uma funo com vrias variveis. Quando so fixadas todas as variveis independentes de uma funo, exceto uma, e deriva-se em relao a essa varivel, e obtm-se uma derivada parcial.

Vamos ver como as derivadas parciais aparecem e como so calculadas.

As definies f fex y fornecem duas maneiras diferentes de derivar a funo f em um ponto:

em relao a x tratando y como uma constante e em relao a y tratando x como uma constante. Os valores dessas derivadas parciais geralmente so diferentes no ponto dado (x0, y0).

Derivada Parcial em um Ponto

Determine os valores das derivadas parciais em relao a x e em relao a y, no ponto (4, -5), se ( ) 2, 3 1f x y x xy y= + + .

Nosso primeiro passo ser calcular a derivada parcial em relao a x e depois substituir os valores de x e y para achar a taxa de variao da funo no ponto dado:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1

,xx xy y

f x yx x x x

= + +

( ), 2 3 0 0xf x y x y= + =

( ), 2 3xf x y x y= +

( ) ( ) ( )4, 5 2 4 3 5xf = +

( )4, 5 8 15 7xf = =

Nosso prximo passo ser calcular a derivada em relao a y e substituir os valores no ponto dado:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1

,yx xy y

f x yy y y y

= + +

( ), 0 3 1 0yf x y x= + +

( ), 3 1yf x y x= +

( ) ( )4, 5 3 4 1 13yf = + =

8


Regra da Cadeia

Para funes de duas ou mais variveis, a regra da cadeia possui vrias formas, que dependem da quantidade de variveis envolvidas. Vamos aprender a calcular pela regra da cadeia utilizando o diagrama da rvore.

Observe o diagrama a seguir: vamos supor que tenhamos uma funo z que depende de x e de y. Por sua vez, a funo x depende de t e de u a e funo y depende apenas de u.

z

x

t

y

u t

zx

zy

xt

xu

yt

Nosso objetivo ser derivar a funo z em relao varivel t.

Observem as setas pretas: saem do z e chega a t:

.z z dxt x dt

=

Mas temos outro caminho para chegar a t, saindo de z e passando por y, e, portanto, iremos somar as derivadas usando o caminho de y para chegar a t, caminho que est indicado pelas setas vermelhas.

. .z z dx z yt x dt y t

= +

Agora, se quisermos a derivada de z em relao varivel u, devemos seguir as setas verdes:

.y z xx x u

=

9

Exemplo:

Dadas as funes: 2 2 3, z x y x t e y t= = = , calcule zt

.

dydt

z

x y

tt

zx

zy

dxdt

Montado o diagrama da rvore, basta seguir as flechas, observando:

z depende de x e de y

x depende de t

y depende de t.

. .z z dx z dyt x dt y dt

= +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3. .

x y d t x y d tzt x dt y dt

= +

2 22 .2 .3z xy t x tt

= +

2 24 3z xyt x tt

= +

Agora, vamos deixar tudo em funo de t, uma vez que temos a informao de que x = t2

e y = t3 .

2 24 3z xyt x tt

= +

( )22 3 2 24 3z t t t t tt = +

10


6 64 3z t tt

= +

67z tt

=

Integrais Duplas

Como j foi visto anteriormente, a integral definida de uma funo contnua f, em um intervalo [a,b] dada como o limite das somas de Riemann e aprendemos a usar o Teorema Fundamental do Clculo para efetuar esse clculo. Nessa unidade, vamos ampliar esse conceito para definir a integral de uma funo contnua de duas variveis sobre uma regio R do plano.

Integrais Duplas sobre RetngulosDada funo f (x, y), definida em uma regio plana e retangular R:

R: a x b, c y d (Figura 1)

Figura 1

a

c

d

b x

y

Vamos subdividir R em pequenos retngulos, usando retas paralelas aos eixos x e y. (Figura 2). Os tamanhos no precisam ser iguais.

Figura 2

a

c

d

b x

y

11

Pegamos a regio R e subdividimos em n pequenos retngulos. Note que n aumenta medida que altura e a largura de cada retngulo diminuem, ou seja, se pegar a figura dois e subdividir em retngulos ainda menores. Esses retngulos formam uma partio de R. Um pedao retangular (pintado em azul na figura 2) de comprimento x e largura y possui a seguinte rea:

A = x . y

Se essas reas forem numeradas particionando R em alguma ordem, suas reas passam a ser dadas por: A1,A2,A3AK, em que AK a rea do k-simo retngulo. Para formar uma soma de Riemann sobre R, escolhe-se um ponto (xk,yk) no k-simo retngulo e multiplica-se o valor de f nesse ponto pela rea de AK e somam-se os produtos:

( )1

, .n

n k k Kk

S f x y A=

=

Os valores de Sn dependero da escolha de (xk, yk) no k-simo retngulo.

Nosso interesse saber o que acontece s somas de Riemann, conforme a altura e largura dos pequenos retngulos na partio de R aproximam-se de zero.

A norma de uma partio representada por P e a maior largura ou altura de qualquer um dos retngulos que pertenam a partio. Se P = 0,05, todos os retngulos na partio de R, tem largura ou altura a, no mximo, 0,05.

Algumas vezes, as Somas de Riemann convergem medida que a norma de P se aproxima de zero (P 0). O limite resultante escrito:

( )0

1

lim , .n

k k kPk

f x y A

=

A medida que P 0 (a norma da partio tende a zero) e os retngulos diminuem em altura e largura, o nmero n aumenta o que possibilita escrever esse limite como:

( )1

lim , .n

k k knk

f x y A=

Sabendo que Ak 0 conforme n e P 0.

A coleo de pequenos retngulos definida pela rede de retas horizontais e verticais que determinam uma partio retangular de R. Em cada um desses pequenos retngulos, escolhe-se um ponto (xk, yk) arbitrrio, no qual f calculada. Quando um limite da soma Sn existe e d sempre o mesmo valor, independente das escolhas feitas, a funo f considerada integrvel e o limite considerado integral dupla de f em R.

As integrais duplas so muito utilizadas para o clculo de volumes e o grfico das funes que determinam uma regio a ser integrada esto representadas em um grfico de 3 dimenses.

O volume de um slido dado pela rea da base a altura.

12


A base de cada prisma dada por uma pequena rea no plano xy e altura dos primas dada por z = f (x, y). O limite das somas dos infinitos prismas contidos na regio que se quer integrar nos d o volume total dessa regio.

A notao que indica a integral dupla :

( ), .d b

c a

f x y dx dy

O diferencial mais externo (dy) refere-se primeira integral.

Se invertermos os limites de integrao, note que o diferencial muda tambm:

( ), .b d

a c

f x y dy dx

Integrais Duplas de Regies No RetangularesVamos identificar essas regies quando elas so limitadas por barras verticais (Tipo 1) e

quando so limitadas por barras horizontais (Tipo 2).

Em ambos os casos, uma das variveis funcionar como constante.

Figura 3

Tipo 1

a

f(x)

g(x)

b x

y

Temos representado na figura 3 uma regio limitada por barras verticais, e. Nesse caso, x funciona como constante e y como funo.

Nosso prximo passo identificar como x e y variam ( do menor para o maior):

a x b

f(x) y g(x)

13

Vamos denotar a integral dupla, lembrando que os limites da constante devem ficar na parte mais externa:

( )

( )

( ), .g xb

a f x

z x y dy dx

Figura 4

Tipo 2 i(y)h(y)

c

d

x

y

Temos representado na figura 4 uma regio limitada por barras horizontais. Nesse caso, y funciona como constante e x como funo.

Nosso prximo passo identificar como x e y variam ( do menor para o maior):

h(y) x i(y)

c y d

Vamos denotar a integral dupla, lembrando que os limites da constante devem ficar na parte mais externa:

( )

( )

( ), .i yd

c h y

z x y dx dy

Clculo de reas usando integrais duplas

Notao:

RA dxdy=

Calcule a rea retangular R:

14


Figura 5

y62

2

4

x

z

A rea da regio R dada por:

RA dxdy=

Nosso prximo passa identificar como a regio est delimitada:

2 42 6

xR

y

=

Vamos colocar os limites de integrao:

4 6

2 2

A dydx=

[ ]4

6

22

A dx y=

[ ]4

2

6 2A dx= 4

2

4A dx=

[ ]424A x=A = [4 . 4 - 4 . 2]

A = 16 - 8 = 8

Resposta: A rea da regio R mede 8 unidades de medida de rea.

15

Exemplo 1:Determine a regio limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x, no 1 quadrante.

Figura 6

R

0

4x

2

x3y

A rea da regio que se deseja calcular est definida entre as curvas 4x e x3. J vimos anteriormente que, para efetuar o clculo dessa rea, podemos usar as integrais duplas, estabelecendo os limites de integrao.

[ ]

( )

3

3

3

2 4

0

24

02

3

0

0 2x 4

4

R

x

x

x

x

A dxdy

xR

y x

A dydx

A dx y

A x x dx

=

=

=

=

=

Vamos integrar em relao varivel x para determinar a rea da regio de nosso interesse.

( ) ( ) ( ) ( )

[ )

2 22 4 42

0 0

4 42 2

4 22 4 4

2 02. 2 2. 0

4 4

8 4 0 4

x x xA A x

A

A

= =

=

= =

16


Clculo de Volume com Integrais Duplas

Aprendemos a calcular uma regio do plano, utilizando as integrais duplas. Nosso objetivo, agora, ser calcular o volume utilizando integral dupla.

Observe a figura 7.

Figura 7

y

z = f (x,y)

x

z

No plano xy , temos uma determinada regio pintada em amarelo, que a sombra da funo z representada no espao; na verdade, uma superfcie de forma arredondada.

O volume da figura que se forma, unindo a regio do plano xy com a superfcie acima dada por:

( ), . .i jV f x y x y=

Ou ainda:

( ),RV f x y dxdy= Se x + y + z = 3 , ento:

Isolando cada letra teremos:

3 3 3

z x y plano xyy x x plano xzx y z plano yz

= = =

Figura 8

y

3

3

3x

z

17

Exemplo 1Determinar o volume do slido determinado pelos planos coordenados pelo plano x+y+x=3,

no 1 octante.

Figura 9

y

3

3

3x

z

x

3

3

y

R

Para calcular o volume do slido representado da figura 9 (mais esquerda), teremos que multiplicar sua base (x.y) , pois sua altura dada pela funo z.

Sabemos que:x + y + z = 3

Portanto:z = 3 - x - y

Para calcular o volume, usaremos:

z = 4 - x24

6

2

R

6

2

3 3

0 0

0 30 3

x

xR

y x

V zdydx

=

=

Sabemos que z = 3 - x - y, portanto:

( )3 3

0 0

3x

V x y dydx

=

18


Agora, s resolver a integral dupla:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 2

0 0

2 23

0

3 22

0

3 22

0

3 2 2

0

3 32

0 0

32

3 0[(3 3 3 ) 3 0 0 ]

2 2

9 69 3 3 02

9 69 62 2 2

18 12 2 9 62

9 6 92 2

xyV dx y xy

xV dx x x x x

x xV dx x x x

x xV dx x x

x x x xV dx

x xV dx dx

=

=

+= +

= + + +

+ + +=

+= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

03 32 3 2 3

0 0

2 3 2 3

62 2

9 32 2

9 3 9 32 2 6 2 2 6

3 3 3 3 0 09 93 02 2 6 2 2 6

27 27 27 92 2 6 2

x x

xV x dx

x x x xV x V x

V

V

+

= +

= + = +

= + +

= + =

Exemplo 2:

Calcular o volume do slido que est representado na figura 10, usando o conceito da integral dupla.

19

Trocando Ideias possvel calcular esse volume usando a geometria plana, ou seja:

V = base x altura: 3 2 4 = 24. Porm, quando os slidos forem formados por linhas curvas, a nica forma de calcular seu volume usando integrais.

Figura 10

y

4

2

3x

z

Para calcular o volume, observamos que x est limitado entre 0 e 3 e y entre 0 e 2 (observe nos eixos).

3 2

0 0

4. .V dy dx=

Primeiro, resolve-se a integral interna e, depois, a integral de fora.

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 03

2

003

2

003

2

003 3

0 03

03

0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

V unidades devolume

=

=

=

=

= =

=

= =

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 0

3 3

0 0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V unidades devolume

=

=

= =

=

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 03

2

003

2

003

2

003 3

0 03

03

0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

V unidades devolume

=

=

=

=

= =

=

= =

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 03

2

003

2

003

2

003 3

0 03

03

0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

V unidades devolume

=

=

=

=

= =

=

= =

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 03

2

003

2

003

2

003 3

0 03

03

0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

V unidades devolume

=

=

=

=

= =

=

= =

20


[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 03

2

003

2

003

2

003 3

0 03

03

0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

V unidades devolume

=

=

=

=

= =

=

= =

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 03

2

003

2

003

2

003 3

0 03

03

0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

V unidades devolume

=

=

=

=

= =

=

= =

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ]( ) ( )

3 2

0 03

2

003

2

003

2

003 3

0 03

03

0

[ 4. ]

4

4.2 4.0

8 0

8 8.

8

8.3 8.0

24 .

V dx dy

V dx y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

V unidades devolume

=

=

=

=

= =

=

= =

Exemplo 3:Calcule: ( ) 8 2R y dA , sendo R = [0,3] [0,4].O exerccio pede o clculo de uma integral dupla, ou o volume do prisma formado pelas

combinaes abaixo:

8 2

y a funoqueda a altura do prismadA rea dabasedo prisma

( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0

y a funoqueda a altura do primadA rea dabasedo prisma

V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3

48 V unidades demedida devolume=

( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


( )

( ) ( )

[ ]

[ ][ ]

3 4

0 043 2

0 03

420

03 42 2

003

4

003 3

0 03

0

0

8 2

8 2 .

282

8

8.4 4 8.0 0

16 0

.16 16

16

16.3 16.0


V y dy dx

yV dx y

V dx y y

V dx

V dx

V dx V dx

V x

V

=

=

=

=

=

= =

=

=

3


21

Trocando Ideias

Caso esteja com muita dificuldade, reveja a forma de calcular integrais vista na unidade IV. Quando trabalhamos com as integrais definidas primeiro, encontra-se a primitiva da funo e em seguida aplica-se o Teorema fundamental do clculo: F(b) F(a), isto , a imagem do limite superior de integrao menos a imagem do limite inferior de integrao.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

.

.

bb

aab

a

f x dx F x

f x dx F b a

=

=

Exemplo 4Determine o volume do slido limitado por: z = 4 - x2 e pelos nmeros identificados na figura 11.

Figura 11

z = 4 - x24

6

2

R

6

2

Para calcular o volume do slido representado na figura 11, temos primeiro que identificar a base (figura do lado direito). A rea dessa figura ser multiplicada pela altura (dado pela funo z):

( ),RV f x y dxdy=

Vamos identificar a regio R:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =

V 32 .unidades de medida de volume=

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


22


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 62

0 02

620

02

2 2

02

2

02

2

023

0230

3 3

0 20 6

4

4

4(6 6 ) 4(0 0 )

24 6 0

(24 6 )

6243

24 2

6 2 6 024 2 24 0

3 3

4848 03

xR

y

V x dydx

V dx y x y

V dx x x

V dx x

V x dx

xV x

V x x

V

V

=

=

=

=

=

=

=

= = =


23

Material Complementar

Para aprofundar seus estudos sobre o estudo das derivadas parciais, consulte os sites e as referncias a seguir:

http://www.youtube.com/watch?v=mFsgx121c_Y http://www.youtube.com/watch?v=Sx8aITwC21g http://www.youtube.com/watch?v=SuvnRBajSTc http://www.youtube.com/watch?v=NxT-5K_jKiw

Outra indicao:

Captulo 15 do livro Clculo (George B. Thomas Jr), (volume 2), de Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano So Paulo: Addison Wesley, 2009. ) Pginas 392 405.
http://www.youtube.com/watch?v=mFsgx121c_Yhttp://www.youtube.com/watch?v=Sx8aITwC21ghttp://www.youtube.com/watch?v=SuvnRBajSTchttp://www.youtube.com/watch?v=NxT-5K_jKiw

24


Referncias

FLEMMING, Diva Marlia; GONCALVES, Miriam Buss. Clculo A: funes, limite, derivao, integrao. 6 ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de clculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.

HUGHES-HALLET...[at all] Clculo a uma e a vrias variveis, volume I e II. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.

LAPA, Nilton; Matemtica Aplicada. So Paulo Saraiva, 2012.

STEWART, James. Clculo 6. Ed. So Paulo: Cengage Learning, 2010.

THOMAS JR., George B Et Al. Clculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. So Paulo: Addison-Wesley, 2003.

25

Anotaes

www.cruzeirodosulvirtual.com.brCampus LiberdadeRua Galvo Bueno, 868CEP 01506-000So Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000
http://www.cruzeirodosulvirtual.com.br

Unidade VI - Derivadas Parciais e Integral Dupla

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