UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA.

Introducción a la trigonometría

Introducción

La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de

la trigonometría demanda memorizar muchas fórmulas, lo cual trataremos de reducir. Nuestro

objetivo principal será la resolución de actividades y discusiones. La aplicación de la

trigonometría es amplia, por lo que su estudio se hace indispensable en bachillerato.

Objetivos:

Que el alumno o la alumna pueda:

1. Explicar cuál es el objeto de estudio de la trigonometría.

2. Definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º, sin utilizar

calculadora.

4. Escribir el valor de una función en términos de otra función de su ángulo complementario.

5. Definir qué es un ángulo en posición normal, y determinar el signo algebraico de las funciones

trigonométricas para cualquier ángulo en posición normal. 6. Definir las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Calcular su valor utilizando calculadora. 7. Determinar, sin usar calculadora, el valor de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales (0º, 90º, 180º y 270º) 8. Escribir una función trigonométrica de argumento negativo en términos de una función de argumento positivo, así como una función trigonométrica de cualquier ángulo en términos de una función de un ángulo agudo.

1. Introducción .

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados

y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos.

Analicemos el siguiente triángulo rectángulo:

Seguramente te estás preguntando cómo encontrar los ángulos en un triángulo rectángulo

(TR) Si se conocen 2 lados de un TR (o los 3), los ángulos se calculan mediante las funciones

En este triángulo, θ = 36.9º y β = 53.1º. Por Pitágoras, se tiene que

la hipotenusa vale 5 cm. Si alteramos la longitud de un cateto,

definitivamente variarán la hipotenusa y los ángulos. Por ejemplo, si

cambiamos la base de 4 cm por 5 cm, tenemos lo siguiente:

hipotenusa = 5.83, θ = 30.9º, β = 59.1º El triángulo es el siguiente:

θ

β

5 cm

3 cm

θ

β

4 cm

3 cm

90º

trigonométricas estudiadas el año pasado. Estas funciones trigonométricas son relaciones

entre los lados de dicho triángulo.

Para la aplicación de las funciones trigonométricas a un TR, se debe tener claro lo que es la

hipotenusa y los catetos: cateto adyacente y cateto opuesto. En un TR, la hipotenusa será

siempre la hipotenusa y el lado mayor de los tres; pero el cateto opuesto puede convertirse en

adyacente y viceversa, todo depende del ángulo a considerar. Tengamos presente que

adyacente significa cercano; por lo tanto, para un ángulo, su lado adyacente es el que está

cerca de él, y el otro será el opuesto. Veamos un caso.

2. Funciones trigonométricas de ángulos agudos

Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan),

cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la

división de un lado entre otro.

Para el ángulo θ se tiene que:

Sen θ = opuesto / hipotenusa = b / c Cot θ = adyacente / opuesto = a / b

Cot = 1 / Tan

Cos θ = adyacente / hipotenusa = a / c Sec θ = hipotenusa / adyacente = c / a

Sec = 1 / Cos

Tan θ = opuesto / adyacente = b / a Csc θ = hipotenusa / opuesto = c / b

Csc = 1/Sen

Si tomamos el ángulo β, obtenemos:

Sen β = opuesto / hipotenusa = a / c Cot β = adyacente / opuesto = b / a

Cos β = adyacente / hipotenusa = b / c Sec β = hipotenusa / adyacente = c / b

Tan β = opuesto / adyacente = a / b Csc β = hipotenusa / opuesto = c / a

θ

β

a

b

En este TR, para θ el lado adyacente es a y el opuesto es b.

Pero para el ángulo β, el lado adyacente es b y el opuesto es a.

Al considerar un TR, resulta que los ángulos θ y β se restringen al

intervalo [0º, 90º] Es decir que tanto θ como β sólo pueden tomar

valores entre 0º y 90º (se incluyen estos límites)

Para estos ángulos, las funciones trigonométricas ya fueron estudiadas

el año pasado. Estas funciones trigonométricas son razones

trigonométricas como a / b o b / c. Recordémoslas. θ

β

a

b

c

Objetivos conceptuales. Definir las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo. Objetivos procedimentales. Dado un triángulo, calcular las funciones trigonométricas. Comprobar que entre triángulos

semejantes, no varían las funcionmes trigonométricas.

¿Variarán las funciones trigonométricas entre 2 triángulos semejantes?... Evidentemente que

NO variarán porque permanece igual el cociente. Por ejemplo, para el TR cuyos lados son 4, 3 y

5, siendo a = 4, b = 3 y c = 5 (hipotenusa), se tiene que:

Sen θ = b / c = 3 / 5 Cos θ = a / c = 4 / 5

Tan θ = b / a = 3 / 4 Cot θ = a / b = 4 / 3

Sec θ = c / a = 5 / 4 Csc θ = c / b = 5 / 3

Un TR semejante al anterior se obtiene multiplicando por una constante los 3 lados.

Multipliquemos por 3, obtenemos: a = 12, b = 9 y c = 15. Recuerda que en los

triángulos semejantes, los ángulos no varían.

Para el TR semejante, tenemos:

Sen θ = b / c = 9 / 15 = 3/5 Cos θ = a / c = 12 / 15 = 4/5

Tan θ = b / a = 9 / 12 = 3/4 Cot θ = a / b = 12 / 9 = 4/3

Sec θ = c / a = 15 / 12 = 5/4 Csc θ = c / b = 15 / 9 = 5/3

Actividad 1. Para el TR dado (A), calcula las 6 funciones trigonométricas (para β y θ).

Sen θ = ________________ Cos θ = ________________ Tan θ = ________________ Cot θ = ________________ Sec θ =

________________ Csc θ = ________________ Sen β = ________________ Cos β = ________________ Tan β =

________________ Cot β = ________________ Sec β = ________________ Csc β = ________________

Actividad 2. Se sabe que Cot β = 2/5. Calcula las razones trigonométricas para β y el otro

ángulo. Sen β = _______ Cos β = _______ Tan β = _______ Cot β = 0.4 Sec β = _______

Csc β = _______

Cos θ = _______ Sen θ = _______ Cot θ = _______ Tan θ = _______ Csc θ = -

_______ Sec θ = _______

discusión 1. 1. Se sabe que Sen θ = 0.24. Calculen las otras razones

trigonométricas para θ. Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________

Sec θ = _________ Csc θ = _________

1b. Se sabe que Cos θ = 0.5. Calculen las otras razones trigonométricas para θ. .

Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ

= _________ (ver CD)

Las funciones trigonométricas NO varían

entre TR semejantes. Esto es válido para

cualquier triángulo.

θ

β

17 cm

20 .81 cm

Actividad 1b. Para el TR B

calcula las 6 funciones

trigonométricas para los ángulos β y

θ.

Ver respuestas en CD A

B

5 cm

4.5 cm

X

1c. Se sabe que Sec θ = 1.2. Calculen las otras razones trigonométricas para θ. .

Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ

= _________ (ver CD)

2. ¿Por qué la expresión Sen θ = 20/15 no tiene lógica matemática?

2b. ¿Por qué la expresión Sec θ = 15/20 no tiene lógica matemática? (ver respuesta

en CD)

3. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el doble del adyacente.

Calculen las razones trigonométricas.

Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = -

_________Csc θ =_____

3b. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el triple del adyacente.

Calculen las razones trigonométricas. (ver respuesta en CD)

Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = -

_________Csc θ =_____

4. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de β es de 3 cm. Además, Sen β

= 0.75. Calculen los otros lados del triángulo. Adyacente = _________ Hipotenusa =

__________

5.

discusión 2. Respondan con falso (f) o verdadero (v) en cada afirmación.

1. Para un TR, Sen θ = Cos β ........................................................................... ___

2. Para un TR, Tan θ = Cot β ........................................................................... ___

3. Para un TR, Sec θ = Csc β ........................................................................... ___

4. Para un TR, la tangente puede ser cero ........................................................ ___

5. Para un TR, la tangente puede ser mayor que 1 ............................................ ___

6. Para un TR, el seno puede ser mayor que 1 .................................................. ___

7. Para un TR, el coseno puede ser mayor que 1 ............................................... ___

8. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces la tangente de θ vale 1...... ___

9. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces Sen θ = Cos θ ................... ___

3. Funciones trigonométricas de ángulos peculiares

Se sabe que Sen θ = 0.554. Calculen el valor del

lado X y el valor de la hipotenusa.

X = ________ Hipotenusa = ________ θ

––– 3cm–––

52

Ocurre que las funciones trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º son característicos. En

primer año se vio que:

θ Sen Cos Tan Cot Sec Csc

30º ½ 3 / 2 1/ 3 3 2 / 3 2

60º 3 / 2 ½ 3 1 / 3 2 2 3 / 3

45º 2 / 2 2 / 2 1 1 2 2

Para llegar a las anteriores respuestas, se partió de un triángulo equilátero de lado l. Ocurre que

un triángulo equilátero equivale a 2 rectangulares de ángulos 30º y 60º. Se toma en cuenta aquí

que la razón trigonométrica sólo depende de la abertura. Es decir, sólo depende del ángulo.

Sen 30º = opuesto / hipotenusa = (l / 2) / l = 1/2 = 0.5

Cos 30º = adyacente / hipotenusa = l 3 = l 3 = 3

2 . 2 l 2

l

Tan 30º = opuesto / adyacente = (l / 2) / (l 3 /2) = 1 / 3

Cot 30º = adyacente / opuesto = (l 3 / 2) / (l / 2) = 3 Cot = 1 / Tan

Sec 30º = hipotenusa / adyacente = (l ) / (l 3 / 2) = 2 / 3. Equivale a 2 3 / 3 Sec = 1 / Cos

Csc 30º = hipotenusa / opuesto = (l ) / (l / 2) = 2 Csc = 1 / Sen

Por un proceso semejante llegamos a que:

Sen 60º = opuesto / hipotenusa = 3

2

A un triángulo equilátero, la altura lo divide en 2 triángulos

rectángulos iguales, como puede verse. Al aplicar Pitágoras,

resulta que la altura es l 3 / 2. Tengamos presente que la altura

es un cateto del triángulo rectángulo; así como lo es l /2. La altura

también resulta ser la mediana y la bisectriz.

Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°.

60

60º 60º

30º

l l

l/2 l/2

Altura

Cos 60º = adyacente / hipotenusa = 1 / 2.

Tan 60º = opuesto / adyacente = 3

Cot 60º = adyacente / opuesto = 3 /3

Sec 60º = hipotenusa / adyacente = 2.

Csc 60º = hipotenusa / opuesto = 2 / 3. Equivale a 2 3 / 3.

Es importante hacer notar que l no aparece en ninguna de las respuestas. Esto se debe a que,

para cualquier valor de l, las funciones trigonométricas son las mismas. Es decir que las

funciones trigonométricas sólo dependen del ángulo (abertura) y no de la longitud de los lados.

Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º.

l l

Sen 45º = opuesto / hipotenusa = l / l 2 = 1 / 2. Equivale a 2 / 2

Cos 45º = adyacente / hipotenusa = l / l 2 = 1 / 2. Equivale a 2 / 2

Tan 45º = opuesto / adyacente = l / l = 1

Cot 45º = adyacente / opuesto = l / l = 1

Sec 45º = hipotenusa / adyacente = l 2 / l = 2.

Csc 45º = hipotenusa / opuesto = l 2 / l = 2.

discusión 3. Demuestren que si en un TR los catetos miden l, entonces la

hipotenusa mide

45º

45º

90º

Puede observarse que si un ángulo es de 45º, el otro obligadamente es

de 45º. Además, por Pitágoras se calcula que la hipotenusa es l .

2 2

l 2

Este es un TR. Por lo tanto, si θ = 10º, β = 80º; si θ = 25º, β = 65º; si θ = 30º, β = 60º... Esto es así porque θ + β = 90º. Por lo tanto se dice que θ y β son ángulos complementarios. En general se tiene que si θ es uno de los 2 ángulos agudos, el valor del otro ángulo es 90º - θ ¿Qué ocurre con las funciones trigonométricas de ángulos complementarios? Para averiguarlo, realicen la actividad siguiente. Pueden realizarla en grupo.

discusión 3b. Demuestren que si en un TR los catetos miden 2k, entonces la hipotenusa mide

discusión 3c. Demuestren que si en un TR los catetos miden 3m, entonces la hipotenusa

mide

discusión 3d. Demuestren que si en un TR los catetos miden 4b, entonces la hipotenusa

mide

discusión 4. Demuestren con los datos del TR siguiente (a la derecha) que

Sen θ / Cos θ = Tan θ.

discusión 5. Demuestren con los datos del TR anterior (a la derecha) que

(Sen θ)2

+ (Cos θ)2 = 1.

discusión 5b. Si los catetos de un TR valen 2k, demuestren que (Sen θ)2

+ (Cos θ)2 = 1. (ver R en CD)

4. 4 Funciones trigonométricas de ángulos

complementarios

5.

Actividad 3. Utilizando la calculadora, llena la tabla siguiente. Para calcular la cotangente,

la secante y la cosecante, apliquen las ecuaciones: Cot θ = 1 / Tan θ, Sec θ = 1 / Cos θ, Csc θ = 1 /

Sen θ. Utilicen 2 dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, seno de 15 es 0.25881, coloca

nada más 0.26. Una vez llena la tabla, compara los valores del seno y coseno, tangente y

cotangente, secante y cosecante. ¿Qué observas?

Grados Sen θ Tan θ Sec θ Grados Cos θ Cot θ Csc θ

0º 90º

15º 75º

30º 60º

45º 45º

60º 30º

75º 15º

90º Infinito Infinito 0º Infinito Infinito

.........................................................................................................................

.....

Si trabajaste con esmero, y observaste cuidadosamente, te habrás dado cuenta que, por ejemplo,

Sen 15 = Cos 75; Tan 60 = Cot 30; Sec 30 = Csc 60... En general se tiene que: el seno de un

ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario; la tangente de un ángulo es igual a la

θ

β

Sen θ = Cos (90º - θ) Tan θ = Cot (90º - θ) Sec θ = Csc (90º - θ)

θ

m

k h

2k 2

3m 2

4b 2

Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de ángulos complementarios

cotangente de su ángulo complementario; la secante de un ángulo es igual a la cosecante de su

ángulo complementario.

Por lo tanto, se tiene que:

Por lo anterior se afirma que el seno y el coseno son cofunciones; También son cofunciones la

tangente y la cotangente; la secante y la cosecante.

5. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera .

5.1 Angulo en posición normal.

Se dice que un ángulo está en posición normal cuando el vértice coincide con el origen del

plano cartesiano y un lado coincide con el eje X. ¿Cuál de los 2 lados? El lado a partir del

cual se mide el ángulo. Aquí recordemos que un ángulo es positivo si se mide en el sentido

contrario a las agujas del reloj:

Los ángulos anteriores están en posición normal. Observemos que el eje X coincide con el lado

desde donde se mide el ángulo.

Consideremos el ángulo β siguiente:

El ángulo β anterior está en posición normal con respecto al plano cartesiano en el gráfico

siguiente:

El ángulo β está en posición normal, pues

el vértice coincide con el origen del plano

cartesiano y el lado inicial coincide con el

eje X.

X

X

r

β X

P(x, y)

θ

Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

β Vértice

Observemos que el ángulo β es mayor que 90º. El punto P es el final del segundo lado, cuya

longitud es r (se obtiene por Pitágoras)

5.2 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera

Se tiene que para el ángulo β anterior, las funciones trigonométricas vienen definidas así:

Sen β = y / r Cos β = x / r Tan β = y / x Cot β = x / y Sec β = r / x Csc β = r / y

Observemos que las funciones se han calculado como considerando el ángulo θ.

Ejemplo. Calcular las funciones trigonométricas para β en el diagrama siguiente.

Solución.

Por Pitágoras se obtiene que r = 16 + 9 = 25 = 5 r siempre será positivo.

Sen β = y / r = 3 / 5 = 0.6 Cos β = x / r = - 4 / 5 = -0.8 Tan β = y / x = 3 / - 4 = -

0.75

Cot β = x / y = - 4 / 3 = -1.333 Sec β = r / x = 5 / - 4 = -1.25 Csc β = r / y = 5 / 3 = 1.666

Observemos que x es negativo.

Actividad 4. Calcula las funciones trigonométricas para β en los diagramas siguientes.

Actividad 4b. Calcula las funciones trigonométricas para θ en los diagramas siguientes.

β X

4

-3

β

X -4

3

r

1

β X -4

-3

2

θ

5

-6

θ

6

-7

θ

6

-8

θ

5

-7

1 2 3 4

5.3 Signos de las funciones en los distintos cuadrantes

El signo de una función trigonométrica depende del cuadrante en que se encuentre. Recordemos

que cada cuadrante posee 90º.

El signo de cada función dependerá del signo de x o y; pues r siempre será positivo.

Recordemos que:

Sen β = y / r Cos β = x / r Tan β = y / x Cot β = x / y Sec β = r / x Csc β = r / y

Como Cot β = 1 / Tan β, Sec β = 1 / Cos β y Csc β = 1 / Sen β; estas funciones tendrán

el signo de tangente, coseno y seno respectivamente.

Observando el gráfico anterior, se tiene que:

Cuadrante I: x es positiva y y es positiva, por lo tanto las 6 funciones trigonométricas son

positivas.

Cuadrante II: x es negativa y y es positiva, por lo tanto las funciones que involucran a x son

negativas: coseno y tangente; en consecuencia también la secante y la cotangente.

Cuadrante III: x y y son negativas. Por lo tanto son negativas las funciones seno y coseno; en

consecuencia también la cosecante y la secante.

Cuadrante IV: x es positiva y y es negativa. Por lo tanto son negativas las funciones seno y

tangente; en consecuencia también la cosecante y la cotangente.

Utilizando la calculadora es fácil determinar el signo de cada función en un cuadrante

determinado. Tomemos un ángulo en cada cuadrante y saquémosle el seno, coseno y

tangente. Estos ángulos pueden ser: 30º, 100º, 200º y 300º.

Signo de cada función en los cuadrantes.

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

I: 30º + + + + + +

II: 100º + – – – – +

III: 200º – – + + – –

r

r

r

r

I

I

I

III IV

X

P(x, y)

El cuadrante I comprende ángulos desde 0º a

90º, el II desde 90º a 180º, el III desde 180º a

270º y el IV desde 270º a 0º.

θ -5

-5

θ -6

-5

θ

6

-4 -5

10

θ 5 6 7

8

Ver resp. en CD

IV: 300º – + – – + –

En los límites de los cuadrantes, las funciones tienen valores típicos. Recordemos que

los límites son: 0º ó 360º, 90º, 180º y 270º. Estos son los ángulos cuadrantales.

Para 0º el lado inicial coincide con el lado inicial. Por lo tanto el punto P del lado

terminal tiene como coordenadas (x, 0) Lo que se tiene es una línea horizontal en X

positivo.

Esta línea horizontal es el lado adyacente (x) Pero el lado opuesto (y) vale cero. Y la

hipotenusa es igual al lado adyacente (x).

Para 90º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, y) Es decir que el

lado adyacente vale cero. Lo que se tiene es una línea vertical en y positivo que es a

la vez la hipotenusa.

Para 180º se tiene una línea horizontal en el eje X negativo. El punto P del lado

terminal tiene como coordenadas (-x, 0) La hipotenusa es x, pues siempre es positiva.

Para 270º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, -y) Lo que se tiene

es una línea vertical en el eje y negativo, que es a la vez la hipotenusa (su valor es

positivo).

Por lo tanto se tiene:

Para 0º Sen 0º = 0 / x = 0 Cos 0º= x / x = 1 Tan 0º = 0 / x = 0

Csc 0º = x / 0 = ∞ Sec 0º = x / x = 1 Cot 0º = x / 0 = ∞

Para 90º Sen 90º = y / y = 1 Cos 90º= 0 / y = 0 Tan 90º = y / 0 = ∞

Csc 90º = y / y = 1 Sec 90º = y / 0 = ∞ Cot 90º = 0 / y = 0

P(x, 0) P(-x, 0)

P(0, y)

P(0, -y)

Para 180º Sen 180º = 0 / x = 0 Cos 180º= -x / x = -1 Tan 180º = 0 / -x = 0

Csc 180º = x / 0 = ∞ Sec 180º = x / -x = -1 Cot 180º = -x / 0 = -∞ o ∞

Para 270º Sen 270º = -y / y = -1 Cos 270º= 0 / y = 0 Tan 270º = -y / 0 = -∞ o ∞

Csc 270º = y / -y = -1 Sec 270º = y / 0 = ∞ Cot 270º = 0 / -y = 0

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

0º 0 1 0 ∞ 1 ∞

90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1

180º 0 -1 0 -∞ -1 ∞

270º -1 0 -∞ 0 ∞ -1

360º 0 1 0 ∞ 1 ∞

5. 4 Funciones trigonométricas de ángulos negativosñu

Un ángulo es negativo cuando se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.

¿Recuerdas cuántos grados tiene el círculo?... Tiene 360º. Esto significa que si un

ángulo vale 60º, el ángulo negativo es de -300º. ¿Porqué? Porque 300º es lo que le

falta a 60º para valer 360º: 60º + 300º = 360º.

Actividad 5. Utilizando la calculadora, calcula el seno, el coseno y la tangente, y llena

la tabla siguiente:

β Sen β Cos β Tan β θ Sen θ Cos θ Tan θ

0º -360º

30º -330º

60º -300º

90º -270º

150º -210º

β Aquí β se ha medido en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo

tanto es negativo. Su valor puede ser –35º o –40º, aproximadamente.

Utiliza la calculadora para corroborar los datos. Para

90º y 270º, la tangente te marcará ERROR. Esto se

debe a que se está dividiendo entre cero. La división

entre cero es indeterminada o infinita. Para 360º, los

resultados son los de 0º

β

θ

Supongamos algunos valores de β y calculemos los de θ:

Si β = 10 θ = -350

Si β = 30 θ = -330

Si β = 100 θ = -260

Si β = 200 θ = -160

180º -180º

200º -160º

270º -90º

300º -60º

360º 0º

¿Qué observas?

Consideremos ahora las funciones trigonométricas para un ángulo y su negativo. Por

ejemplo 25º y –25º. ¿Será el seno de 25º igual al seno de –25º? Consideremos un

ángulo β y un –β.

Vemos que para β, positivo o negativo, el coseno y la secante NO cambian (Cos-β = Cosβ) Las

otras funciones sí cambian.

Cálculo del ángulo a partir de la función trigonométrica.

5.8 cm

Utilizando la calculadora, el ángulo β se calcula con las teclas:

Para el caso anterior, como Sen β = 0.517, entonces β = Sen -1

0.517 = 31º

Puede utilizarse cualquier función: Tan β = 0.6, entonces: β = Tan -1

0.6 = 31º

discusión 6. Para el gráfico mostrado, calculen el menor ángulo que forman: 1.

A y B ___________ 2. A y C ___________ 3. A y D ___________ 4. B y C ___________ 5. B y D ___________ 6. C y D

___________

2

3

β 5 cm

3 cm

Para este triángulo se tiene que:

Sen β = 3 / 5.8 = 0.517

Cos β = 5 / 5.8 = 0.862

Tan β = 3 / 5 = 0.6

Pero... ¿Cuál es el valor del ángulo β?

Sen

-1 Cos

-1 Tan

-1

β

-β

(x, y)

(x, -y)

Aquí se tiene que:

Sen -β = -y / r = -Sen β

Cos -β = x/ r = Cos β

Tan -β = -y / x = -Tan β

Cot -β = x / -y = -x / y = -Cot β

Sec -β = r / x = Sec β

Csc -β = r / -y = -r / y = -Csc β

r

r

discusión 7. Calculen los lados faltantes en los triángulos siguientes:

8.06 cm 6

cm

5.5 Reducción de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º se pueden expresar en términos de un

ángulo agudo que el lado terminal forme con el eje X positivo o negativo. Y es que ocurre que

la función trigonométrica de un ángulo mayor de 90º es numéricamente igual al ángulo que el

lado terminal forma con el eje X positivo o negativo (esto se vio en la página 62)

4

-3

-4

-5 6

D

A

C

B

21.8º 29.71º 18.4º 36.87º

5 cm 6 cm

1 4 3

2

β

(x, y)

R

Aquí ocurre que son numéricamente iguales: el seno de β y

el seno de R; el coseno de β y el coseno de R, la tangente

de β y la tangente de R...

En este caso, el ángulo R se conoce como ángulo de

referencia. El ángulo de referencia es el ángulo positivo

formado por el lado terminal con el eje X (positivo o

negativo) Observemos que el ángulo está en posición

normal.

-2

Si β es el ángulo en estudio, y R es el de referencia, se tiene lo siguiente:

Para el segundo cuadrante: Sen β = Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R,

Sec β = – Sec R, Csc β = Csc R.

Para el tercer cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = Tan R, Cot β = Cot R,

Sec β = – Sec R, Csc β = – Csc R.

Para el cuarto cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R,

Sec β = Sec R, Csc β = – Csc R.

SOLUCIONES.

Actividad 1.

Sen θ = 0.817 Cos θ = 0.577 Tan θ = 1.416 Cot θ = 0.706 Sec θ = 1.733 Csc θ =

1.22 Sen β = 0.577 Cos β = 0.817 Tan β =0.706 Cot β = 1.416 Sec

β = 1.22 Csc β = 1.733

Actividad 2. Sen β = 0.93 Cos β = 0.37 Tan β = 2.5 Cot β = 0.4 Sec β = 2.7 Csc β =

1.08

Cos θ = 0.93 Sen θ = 0.37 Cot θ = 2.5 Tan θ = 0.4 Csc θ = 2.7 Sec θ =

1.08

discusión 1. 1. Cos θ = 0.97 Tan θ = 0.278 Cot θ = 3.597 Sec θ = 1.03 Csc θ =

4.17 Como Sen θ = 0.24, entonces opuesto es 0.24 y la hipotenusa es 1; o también

se puede multiplicar por 100, y tenemos: opuesto = 24, hipotenusa es 100. Por

Pitágoras, se tiene que: adyacente = 97.

2. Porque aparece que el opuesto es mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible.

3. Sen θ = 0.894 Cos θ = 0.45 Tan θ = 2 Cot θ = 0.5 Sec θ = 2.22 Csc θ = 1.118

Se le puede dar el valor de 2 al opuesto de θ, entonces el adyacente es 1.

4. Adyacente = √ 7 cm Hipotenusa = 4 cm. La hipotenusa se despeja de 0.75 = 3 /

hipotenusa.

R R Aquí R es el ángulo de referencia en ambos casos

5. X = 6 Hipotenusa = 5 El opuesto se calcula despejando de 0.554 = opuesto / √ 52, y es 4.

Con este dato y 3, aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa y X.

discusión 2. 1. v 2. v 3. v Estas 3 respuestas se confirman en la actividad 2 4. v Esto

ocurre cuando el opuesto es cero 5. v Siempre que el opuesto sea mayor que el adyacente 6.

f La hipotenusa es siempre mayor que cualquier cateto 7. f Sería necesario, como en el caso

anterior, que el cateto respectivo fuera mayor que la hipotenusa. Esto es imposible 8. v 9. v

discusión 4. La hipotenusa es k2 + m

2 Este factor se anula al hacer Senθ/Cosθ, y nos

queda k/m, que es la tangente.

Actividad 3.

Grados Sen θ Tan θ Sec θ Grados Cos θ Cot θ Csc θ

0º 0 0 1 90º 0 0 1

15º 0.26 0.27 1.03 75º 0.26 0.27 1.03

30º 0.5 0.58 1.15 60º 0.5 0.58 1.15

45º 0.71 1 1.41 45º 0.71 1 1.41

60º 0.87 1.73 2 30º 0.87 1.73 2

75º 0.97 3.73 3.86 15º 0.97 3.73 3.86

90º 1 Infinito Infinito 0º 1 Infinito Infinito

Actividad 4.

1. Sen β = -0.6 Cos β = 0.8 Tan β = -0.75 Cot β = -1.333 Sec β = 1.25 Csc β =

-1.666

2. Sen β = -0.6 Cos β = -0.8 Tan β = 0.75 Cot β = 1.333 Sec β = -1.25 Csc β =

-1.666

Actividad 5.

Β Senβ Cosβ Tanβ θ Senθ Cosθ Tanθ

0º 0 1 0 -360º 0 1 0

30º 0.5 0.86 0.58 -330º 0.5 0.86 0.58

60º 0.86 0.5 1.73 -300º 0.86 0.5 1.73

90º 1 0 +∞ -270º 1 0 +∞

150º 0.5 -0.86 -0.58 -210º 0.5 -0.86 -0.58

180º 0 -1 0 -180º 0 -1 0

200º -0.34 -0.94 0.36 -160º -0.34 -0.94 0.36

270º -1 0 +∞ -90º -1 0 +∞

300º -0.86 0.5 -1.73 -60º -0.86 0.5 -1.73

360º 0 1 0 0º 0 1 0

L@s alumn@s deben observar que el valor de la función es igual para el ángulo positivo que

para el complemento negativo.

discusión 6. 1. A y B 116.57º 2. A y C 174.1º 3. A y D 55.3º 4. B y C 57.5º 5. B y D

171.8º 6. C y D 130.6º Aquí se calcula el ángulo de cada lado con el eje X positivo o el

ángulo con el eje más cercano. Luego se hacen las sumas y restas necesarias. Por ejemplo, con

Tan-1

, encontramos que A forma 36.87 con X; y B forma 26.56º con –X. Por lo tanto entre A y

B hay 180º - (36.87 + 26.56)º = 116.57º

discusión 7. 1. 2 cm y 5.38 cm 2. c cm y 6.32 cm 3. 4 cm y 7 cm 4. 8 cm y 10 cm