Ecuación de la circunferencia

La circunferencia mostrada tiene centro (h,k) y el

punto (X,y) pertenece a la circunferencia. Al

aplicar la fórmula de la distancia, se tiene que la

distancia del punto al centro es r. Es decir que:

(X – h)2 + (y – k)

2 = r

UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA ANALITICA.

3. La circunferencia .

Definición. La circunferencia es el conjunto infinito de puntos que están a

igual distancia de otro llamado CENTRO.

La distancia de un punto de la circunferencia al centro se conoce como RADIO (r).

Lo anterior significa que si a y b son 2 puntos de la circunferencia, y la distancia de a a

b es el diámetro, entonces el centro está en el punto medio de a y b. El diámetro es la

mayor distancia entre 2 puntos de la circunferencia. Además, el radio es la mitad del

diámetro.

Actividad 8.Los puntos que se dan en cada caso pertenecen a una circunferencia

y están a un diámetro de separación. Tú deberás encontrar las coordenadas del centro

y la magnitud del radio.

1. (2,4) y (8,6) Centro: _______ r _____ 2. (2,6) y (8,10) Centro: _______

r _____

3. (4,2) y (12,10) Centro: _______ r _____ 4. (-4,8) y (8,8) Centro: _______ r

_____

5. (-5,8) y (9,8) Centro: _______ r _____ 6. (2,8) y (10,2) Centro: _______

r _____

7. (-4,10) y (10,2) Centro: _______ r _____ 8. (-4,10) y (12,2) Centro: _______

r _____

Radio

Diámetro

a b

Esta es una circunferencia centrada en el

origen del plano cartesiano.

Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia. Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos o la ecuación de una circunferencia.

k

(X,y)

r

Desarrollando los cuadrados, obtenemos: X2 + y2 – 2Xh – 2yk + h2 + k2 = r2

Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el origen del plano

cartesiano. Calculemos su ecuación.

.

Como el centro es el origen, entonces h = k = 0, y la ecuación es:

(X – h)2 + (y – k)

2 = r2

(X – 0)2 + (y – 0)

2 = 2

2 X2 + y2

= 4

Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el punto (2,-4). Calculemos

su Ecuación.

Como el centro es el punto (2,-4), entonces h = 2 y k = -4 La ecuación es:

(X – h)2 + (y – k)

2 = r2 (X – 2)2

+ (y – (-4))2 = 2

2 (X – 2)2

+ (y + 4)2 = 4

Ejemplo. Determinemos el centro y el radio de la circunferencia X2 + 4y + y2 - 6X –

12 = 0

En este caso, debemos completar los trinomios cuadrados perfectos.

X2 - 6X ___ + y2 + 4y ___ = 12

En los espacios en blanco colocaremos el número que hace falta para que el trinomio

sea un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cómo? El coeficiente del factor lineal lo dividimos

entre 2 y lo elevamos al cuadrado: (6/2)2 = 9 y (4/2)

2 = 4 Para no alterar la igualdad,

estos valores los sumamos en el otro miembro. La ecuación queda así:

X2 - 6X + 9 + y2

+ 4y + 4 = 12 + 9 + 4

(X2 - 6X + 9) + (y2

+ 4y + 4) = 25

(X - 3)2 + (y + 2)

2 = 25

(X – h)2 + (y – k)

2 =

r2

Esta es la ecuación canónica

de la circunferencia

Solución.

Solución.

Solución.

(X - 3)2 + (y – (-2))

2 = 25

Por lo tanto, el centro es (3,-2) y el radio es 5.

Actividad 9.En cada caso se te da el radio y un punto; determina la ecuación de la

circunferencia. 1. 4 y (2,5) __________________ 2. 5 y (3,-2)

__________________

3. 6 y (-2,5) __________________ 4. 7 y (-3,-2) __________________

5. 6 y (2,5) __________________ 6. 5 y (-3,-2) __________________

7. 4 y (2,7) __________________ 8. 5 y (-3,-5) __________________

9. 4 y (2,-5) __________________ 10. 5 y (-3,-7) __________________

Actividad 10. En cada caso, calcula el centro y el radio de la circunferencia.

1. X2 - 2X + y2 + 6y = 15 _______ ___ 2. X2 + 6X + y2 + 10y = -33 _______

___

3. X2 + y2 - 10X + 6y + 30 = 0 _______ ___ 4. X2 + y2 - 10X - 4y + 28 = 0

_______ ___

5. X2 + y2 + 12X - 12y + 63 = 0 _______ ___ 6. X2 + y2 + 2X + 6y = 54 _______

___

7. X2 + y2 - 4X - 4y + 4 = 0 _______ ___ 8. y2 + X2 - 14X + 6y = -49 _______

___

9. y2 + X2 + 6X - 18y = -86 _______ ___ 10. y2 + X2 - 10X + 2y = -1 _______

___

. Para cada par de circunferencias, comprobar que son

tangentes. 1. y2 + X2 - X - 4y = 8 y y2 + X2 - 24X - 4y = -112

2. y2 + X2 + 8X - 16y = 0 y y2 + X2 - 16X - 6y = -24

3. y2 + X2 - 4X - 16y = -59 y y2 + X2 - 20X - 16y = -139

4. y2 + X2 - 4X - 16y = -52 y y2 + X2 - 24X - 16y = -172

5. y2 + X2 + 10X - 10y = -1 y y2 + X2 - 22X - 10y = -65

6. y2 + X2 + 10X - 4y = 20 y y2 + X2 - 22X - 4y = -44

7. y2 + X2 + 8X + 12y = -48 y y2 + X2 - 16X + 12y = 0

8. y2 + X2 + 8X + 12y = -51 y y2 + X2 - 16X + 12y = 21

9. y2 + X2 + 8X + 12y = -43 y y2 + X2 - 16X + 12y = -19

10. y2 + X2 + 10X - 4y = -13 y y2 + X2 - 10X - 4y = 7

discusión 10.

Encontrar la ecuación de la circunferencia que es

tangente a los lados del cuadrado formado por las rectas dadas: 1. y = 5, y = -5; X =

-4, X = 6 2. y = 6, y = -6; X = -5, X = 7 3. y = 7, y = -7; X = -6, X = 8 4. y = 8, y = -

8; X = -7, X = 9 5. y = 9, y = -9; X = -8, X = 10 6. y = 8, y = 0; X = -2, X = 6 7. y

= 9, y = -1; X = -3, X = 7 8. y = 10, y = -2; X = -4, X = 8

4. La parábola .

Definición. La parábola es el conjunto infinito de los puntos del plano que se

encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija

llamada directriz.

La gráfica muestra una parábola con todos sus componentes. Hagamos algunos

análisis.

1. Cualquier punto (X, y) de la parábola, está a igual distancia del foco que de la

directriz. Esto de acuerdo a la definición.

2. P es el parámetro. La distancia del vértice al foco es igual que la distancia del

vértice a la directriz. Esa distancia es P.

3. La parábola dibujada está abierta hacia arriba. El vértice es el punto más bajo si la

parábola se abre hacia arriba; y será el punto más alto, si se abre hacia abajo. De

(X,y)

P

Directriz y = k - p

Vértice (h,k)

h

k

Eje de la parábola

P

Foco (hk+p)

(X,k-P)

discusión 10b.

La circunferencia tiene

radio de 3 cm y centro en

(4, 3) La recta tiene un

ángulo de 45° y pasa por

el origen.

Calcular los puntos en los

que la recta corta a la

circunferencia.

El gráfico está a escala.

discusión 10c.

Objetivos conceptuales. Definir el concepto de parábola. Objetivos procedimentales. Dada la ecuación de una parábola, calcular el vértice, el foco, la directriz y trazar la gráfica.

Calcular la ecuación de una parábola si se conocen algunos de sus elementos.

igual forma, será el punto más a la izquierda, si la parábola se abre hacia la derecha; y

será el punto más a la derecha, si se abre hacia la izquierda.

4. La directriz es una recta horizontal. Estará abajo, si la parábola se abre hacia

arriba; y estará arriba, si se abre hacia abajo. También estará a la derecha, si se abre

hacia la izquierda, y viceversa. En estos 2 casos, la directriz será una vertical

Ecuación de la parábola

La distancia de un punto (X,y) al foco de la parábola = la distancia de (X,y) a (X, k-P)

(X - h)2 + (y – k – p)

2 = (X – X)

2 + (y – k + P)

2 Elevemos al cuadrado

(X - h)2 + (y – k – p)

2 = (y – k + P)

2 Desarrollemos los cuadrados que tienen P.

Obtenemos.

(X - h)2 y2

+ k2 + P

2 + 2kP – 2yk – 2yp = y2

+ k2 + P

2 - 2kP – 2yk + 2yp

Suprimamos términos

(X - h)2 + 2kP – 2yp = 2yp - 2kP

(X - h)2 = 2yp - 2kP - 2kP + 2yp

(X - h)2 = 2yp + 2yp - 2kP - 2kP

(X - h)2 = 4yp - 4kP

(X - h)2 = 4P (y - k)

La ecuación anterior es para la parábola abierta hacia arriba. Si la parábola se abre

hacia abajo, tendremos -4P. Si la parábola se abre hacia la derecha, tendremos 4P,

pero (X - h) cambia por (y - k) y (y - k) cambia por (x - h) Todo esto se resume en

la tabla siguiente.

(X - h)2 = 4P (y - k) (X - h)

2 = -4P (y -

k)

Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (y - 3)2 = 16 (X - 6).

Observamos que en (y - 3)2 = 16 (X - 6), y – k está al cuadrado. Esto nos indica que

la parábola se abre hacia la derecha o hacia la izquierda. Pero también se observa

que 4P tiene signo POSITIVO: +16. Por lo tanto la parábola se abre hacia la derecha.

Además su vértice es (6,3)

Calculemos P: 4P = 16 P = 16/4 = 4

La directriz es la recta vertical que está a 4 unidades a la izquierda del vértice.

Significa que 4 unidades a la derecha, está el foco. Como el vértice es (6,3), la directriz

es X = 6 – 4 = 2 Y el foco es (6 + 4,3) = (10,3)

La gráfica es la siguiente:

Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (X + 3)2 = 8 (y - 5)

.

(y - k)2 = 4P (X - h) (y - k)

2 = -4P (X -

h)

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X = 2

Foco (10,3)

Solución.

Solución.

La parábola se abre hacia arriba. El vértice es (-3,5) La distancia del foco al vértice, P,

es:

4P = 8 P = 2 La directriz es y = 5 – 2 = 3 y = 3

El foco está en (-3,5+2) = (-3,7) La gráfica es la siguiente:

Ejemplo. Una parábola tiene su vértice en (8,-2) y su foco en (8,-3) Determinar su

ecuación.

El foco, que es (8,-3) está una unidad abajo del vértice, que es (8,-2). Esto nos indica

que la parábola se abre hacia abajo. Además, P = 1. Por lo tanto, la directriz, que está

una unidad abajo del vértice, es y = -1.

La parábola es:

(X - h)2 = -4P (y - k)

(X - 8)2 = -4(1) (y – (-2))

(X - 8)2 = -4 (y + 2)

Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de la parábola

y2 – 6y + 12X - 15 = 0

Debemos completar el cuadrado.

y2 – 6y + 12X - 15 = 0

y2 – 6y + (3)

2 + 12X - 15 = 0 + 9

(y - 3)2 = - 12X + 9 + 15 = - 12X + 24

-3

(-3,7)

(-3,5) 5

7

y =

3

Solución.

Solución.

(y - 3)2 = - 12(X – 2)

La parábola se abre hacia la izquierda.

El vértice es (2,3) 4P = 12 P = 12/4 = 3 La directriz está 3 unidades a la derecha

del vértice. La directriz es X = 2 + 3 = 5

El foco está 3 unidades a la izquierda del vértice: (2-3,3) = (-1,3)

La gráfica es

la siguiente:

X = 5

Ejemplo. Calculemos la ecuación de la parábola cuyo vértice es (7,4) y cuya directriz

es X = 9.

X = 9

Se aprecia que la directriz está a la derecha del vértice. Esto significa que la parábola

se abre hacia la izquierda. Además, la distancia del vértice a la directriz es 2 unidades:

9 – 7 = 2. Es decir que P = 2. La ecuación de la parábola es:

(y - k)2 = -4P (X - h) (y - 4)

2 = -8 (X - 7)

Actividad 11. En cada caso, determina el vértice, la directriz, el foco y la gráfica.

(2,3) (-1,3)

7

4

9

Solución.

1. (X - 5)2 = 8 (y - 3) ______ _______ _______

2. (X - 5)2 = -8 (y - 3) ______ _______ _______

3. (X - 8)2 = 8 (y - 5) ______ _______ _______

4. (X - 8)2 = -8 (y - 5) ______ _______ _______

5. (X + 3)2 = 4 (y - 5) ______ _______ _______

6. (X + 3)2 = -4 (y - 5) ______ _______ _______

7. (X + 5)2 = -8 (y + 3) ______ _______ _______

8. (y - 5)2 = 12 (X - 2) ______ _______ _______

9. (y - 5)2 = -12 (X - 2) ______ _______ _______

10. (y + 6)2 = 12 (X + 4) ______ _______ _______

11. (y + 6)2 = -12 (X + 4) ______ _______ _______

12. X2 – 10X – 8y + 49 = 0 ______ _______ _______

13. X2 – 16X – 8y + 104 = 0 ______ _______ _______

14. y2 + 12y – 12X = 12 ______ _______ _______

Actividad 12. En cada caso, encuentra la ecuación de la parábola.

1. El vértice es (8,5) y el foco es (8,7) _________________

2. El vértice es (-4,-6) y el foco es (-1,-6) _________________

3. El vértice es (-3,5) y el foco es (-3,4) _________________

4. El vértice es (-3,-4) y el foco es (0,-4) _________________

Actividad 13. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.

1. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 _________________

2. El vértice es (8,5) y la directriz es y = 3 _________________

3. El vértice es (-3,5) y la directriz es y = 4 _________________

4. El vértice es (-5,-3) y la directriz es y = -1 _________________

5. El vértice es (2,5) y la directriz es X = 5 _________________

6. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1 _________________

Actividad 14. En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.

1. El vértice es el origen, y la directriz es y = 2

2. El vértice es (0,3), y la directriz es y = 6

3. El vértice es (3,0), y la directriz es X = -2

Encuentren 10 puntos que pertenezcan a la parábola

cuyo vértice es (-3,0) y cuya directriz es X = -1.

discusión 6.