Unidad5
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5Expresiones algebraicas
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ESQUEMA
ACTIVIDAD
Las expresiones algebraicas son un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.
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Historia del álgebra
Busca en la web
Biografía de Al-Khwarizmi
¿Por qué llamamos x a la incógnita?
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Esquema de contenidos
Expresiones algebraicas
Lenguaje algebraico
Monomios Concepto Operaciones
Expresiones algebraicas
Factor común
Polinomios
Concepto
Suma y resta
Multiplicación y división
Igualdades notables
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El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen números.
El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico.
Lenguaje algebraico
LENGUAJE USUAL LENGUAJE ALGEBRAICO
La suma de dos números
Un número aumentado en tres unidades
El triple de un número más otro número
La mitad de un número
yx
3x
yx 3
2
x
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Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por signos de las operaciones aritméticas.
Expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones aritméticas que se indican.
Ejemplo: calcular el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x = -1 y x = 2.xx 32
SIGUIENTE
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Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por signos de las operaciones aritméticas.
Expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones aritméticas que se indican.
Ejemplo: calcular el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x = -1 y x = 2.xx 32
431)1(3(-1) -1 x 2 Para
SIGUIENTE
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Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por signos de las operaciones aritméticas.
Expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones aritméticas que se indican.
Ejemplo: calcular el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x = -1 y x = 2.xx 32
431)1(3(-1) -1 x 2 Para
264)2(3(2) 2 x 2 Para
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Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.
El número recibe el nombre de coeficiente, y las letras con sus exponentes son la parte literal.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.
612324 23 grado
monomio
literalparteecoeficientzyx
615780.2 5 grado
monomio
literalparteecoeficient
ph
SIGUIENTE
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Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.
MONOMIO COEFICIENTE PARTE
LITERAL
GRADO
26x 6 2x
zyx 324 zyx 324 6
2
zy 3
31 4
31 zy 3
SIGUIENTE
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Monomios
Monomios semejantes. Llamamos monomios semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.
Monomios opuestos. Decimos que dos monomios son opuestos si son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.
SEMEJANTES OPUESTOS
SÍ NO
NO NO
SÍ SÍ
SÍ NO
2323 147 bcacba y
22 43 yxyx y
cabcba 22 44 - y
yx yx3
13 y
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Suma y resta
La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.
En la suma (o resta) de monomios no semejantes, la suma o la resta se deja indicada.
cbba 57 3
2332 211 abba
zyxyx3
1
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Suma y resta
La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal.
3232
32322332
9)211(
211)2(11
baba
babaabba
Los monomios son semejantes, entonces:
3211 ba 232 ab
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Suma y resta
bcab 57 3
xyzxy3
1
Los monomios no son semejantes, entonces lo dejamos indicado:
En la suma (o resta) de monomios no semejantes, la suma o la resta se deja indicada.
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Multiplicación y división
Para multiplicar dos monomios, por un lado multiplicamos los coeficientes y, por otro lado, sus partes literales.
Para dividir dos monomios, por un lado dividimos los coeficientes y, por otro lado, sus partes literales.
Es lo mismo:
Recuerda:
xx
xxx
xxxnmnm
nmnm
1 x1
:0
xx
xx
)43(
4
3
43
4
3
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Multiplicación y división
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Multiplicación y división
41333 43
12)()
3
26()
3
2()6( aaaaaa
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Multiplicación y división
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
41333 1010)()25()2()5( xxxxxx
41333 43
12)()
3
26()
3
2()6( aaaaaa
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Multiplicación y división
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
aba
baabaaba
2
7
2
7):()2:7()2(:)7(
2
32323
41333 1010)()25()2()5( xxxxxx
41333 43
12)()
3
26()
3
2()6( aaaaaa
SIGUIENTE
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Operaciones con monomios. Multiplicación y división
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)x
y
x
y
x
yxxyxxyx
888):()1:8()(:)8(
3
23232
41333 43
12)()
3
26()
3
2()6( aaaaaa
41333 1010)()25()2()5( xxxxxx
aba
baabaaba
2
7
2
7):()2:7()2(:)7(
2
32323
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Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente.
El grado del polinomio es el mayor grado de todos sus términos.
polinomio
ostér
yxyxxyyx
min
2222 535154
término independiente
SIGUIENTE
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Polinomios
Un valor numérico de un polinomio, P(x), para un valor de x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable por el valor a en el polinomio y operando.
Ejemplo: calcular el valor numérico del polinomio para x = 2 y x = -1.
324)( 23 xxxxP
233-28-32 32)2(2)2(4)2( 23P
103)1()1(2)1(4)1( 23 -31--2-4 P
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.
Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.
Sumar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.
Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.
Sumar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
23x 5x x 2x-
3-x 2x- 4x 234
2 3
+
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.
Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.
Sumar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
143
x2 34
234
2 3
x5x 2x-
23x 5x x 2x-
3-x 2x- 4x +
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.
Para restar sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.
Sumar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
143
x2 34
234
2 3
x5x 2x-
23x 5x x 2x-
3-x 2x- 4x +
14352)()( 234 xxxxxQxP
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Restar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Restar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
2352)( 234 xxxxxQ
Calculamos el opuesto de Q(x)
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Restar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
23x 5x x 2x
3-x 2x- 4x 234
2 3
+
2352)( 234 xxxxxQ
Calculamos el opuesto de Q(x)
Sumamos P(x) y - Q(x)
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Restar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
52
x2 34
234
2 3
7x3x 2x
23x 5x x 2x
3-x 2x- 4x +
2352)( 234 xxxxxQ
Calculamos el opuesto de Q(x)
Sumamos P(x) y - Q(x)
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Restar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
52
x2 34
234
2 3
7x3x 2x
23x 5x x 2x
3-x 2x- 4x +
52732))(()()()( 234 xxxxxQxPxQxP
2352)( 234 xxxxxQ
Calculamos el opuesto de Q(x)
Sumamos P(x) y - Q(x)
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división
Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por el otro, y sumamos después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.
Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división
Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:
234
2
234
25)(
53)(
323)(
xxxxR
xxQ
xxxxP
a) )(2 2 xPx
2456
2
234
6462
2
323
xxxx
x
xxx
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división
Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:
234
2
234
25)(
53)(
323)(
xxxxR
xxQ
xxxxP
b) )()( xQxP
1515
1510155
5
323
234
24
234
2
234
19x x 9x3x-
9x 6x- 9x3x-
3
56
56
x
xxx
x
xxx
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. Multiplicación y división
Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:
234
2
234
25)(
53)(
323)(
xxxxR
xxQ
xxxxP
c)x
xR
2
)(
xxx
xxx
xxxxxx
xxxx
2
1
2
52
1)1(
2
5
)2:()2:)2(()2:5(
)2(:)25(
23
23
234
234
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Factor común
Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.
)( cbacaba
Factor común
Propiedad distributiva
)( cbacaba
Factor común
Propiedad distributiva
SIGUIENTE
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Factor común
Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.
)247(24814
22274814
223
2323
xxxxxx
factor
xxxxxxxxx
2x común
SIGUIENTE
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Factor común
Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.
)432(6241812
6)24,18,12.(..
241812
222
222
yyxxyxyxyxy
factordcm
xyxyxy6xy común
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Igualdades notables
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
222 2)( bababa
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
222 2)( bababa
El producto de una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.
22))(( bababa SIGUIENTE
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Igualdades notables
222 2)( bababa
222 2)( bababa
22 ))(( bababa
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Igualdades notables
222 2)( bababa
222 2)( bababa
22 ))(( bababa
44222)2( 2222 xxxxx
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Igualdades notables
222 2)( bababa
222 2)( bababa
22))(( bababa
44222)2( 2222 xxxxx
1691132)3()13( 2222 xxxxx
SIGUIENTE
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Igualdades notables
222 2)( bababa
222 2)( bababa
22))(( bababa
44222)2( 2222 xxxxx
1691132)3()13( 2222 xxxxx
93)3)(3( 222 xxxx
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Actividad: Descubriendo fórmulas matemáticas
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad2aa.htm
En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad se refiere al lenguaje algebraico.
Para desarrollarla, sigue este enlace.