Unidad IV.distribucionesMuestrales.2011.01
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Instituto Tecnológico Superior P’urhépecha Probabilidad y Estadística
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4 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Competencias especificas a desarrollar: Identificar las distribuciones Binomial,
Hipergeométrica, Poisson, Normal, T-Student, Chi-cuadrada y F de Fisher para su
aplicación. Además aplicar las distribuciones de probabilidad, basándose en datos de
situaciones reales o simuladas que impliquen eventos aleatorios.
INTRODUCCIÓN
La relación entre los sucesos del espacio muestral y el valor numérico que se les asigna
se establece a través de variable aleatoria.
Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso
elemental del espacio muestral, es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo
valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. La variable
aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y, ... y con las letras en minúscula x, y,
... sus valores.
La variable aleatoria puede tomar un número numerable o no numerable de valores,
dando lugar a dos tipos de variables denominadas: discretas y continuas.
Se dice que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un número finito o
infinito, pero numerable, de posibles valores.
Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar un número infinito (no
numerable) de valores, o bien, si puede tomar un número infinito de valores
correspondientes a los puntos de uno o más intervalos de la recta real.
4.1 Función de probabilidad
4.1.1 Variables aleatoria discreta
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Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor
tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un
número finito de ellos.
Ejemplos:
a) X Variable que nos define el número de fallas anuales en un programa de
cómputo que son generadas por diversos factores.
x0, 1, 2, 3, 4, 5, … fallas anuales
b) XVariable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25
productos.
x0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote
c) X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de
probabilidad en un grupo de 40 alumnos.
x0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad
Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable
x siempre serán enteros, nunca fraccionarios. Es la característica principal de las
variables discretas
Por lo tanto la distribución de probabilidad discreta, es generada por una variable
discreta (x), que solo toma valores enteros (x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... etc.)
Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o
iguales a cero, es decir, p (xi)0.
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La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe
ser igual a 1, es decir, p (xi) = 1
Se puede decir por tanto que una v.a. X discreta, está caracterizada por su función de
probabilidad o distribución de probabilidad P(x) y también por su función de distribución
F(x).
4.1.2 Variables aleatoria continuas
1. Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes
valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque
puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.
Ejemplos:
xVariable que nos define las dimensiones de una pantalla de computo en pulgadas
x5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96
xVariable que nos define la longitud de un cable utilizado en una computadora
x2.5 cm, 2.1, 2.0, 1.8, 2.4,6, 3.0, 2.8. . .
xVariable que nos define las horas de uso de una computadora
x14.55hrs, 12.13, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8
Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar
cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una
variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una
variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona
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un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las
especificaciones o no cumple, etc, etc.
Las variables descritas anteriormente nos generan una distribución de probabilidad, las
que pueden ser.
1) Distribución de probabilidad discreta.
2) Distribución de probabilidad continua.
Las características de cada una de las distribuciones anteriores se mencionarán a
continuación:
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.
Características:
1. Es generada por una variable discreta (x).
xVariable que solo toma valores enteros
x0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc.
2. p (xi)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben
ser mayores o iguales a cero.
3. p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que
toma x debe ser igual a 1.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA.
Características: 1. Es generada por una variable continua (x).
x Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios.
x 1.0, 3.7, 4.0, 4.6, 7.9, 8.0, 8.3, 11.5, .....,
2. f(x)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser
mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II.
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3. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x
debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.
4.2 Distribución Binomial
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos
tipos de resultados. Por ejemplo: Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es
decir no cambian.
c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.
d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.
La formula de la distribución Binomial es:
Donde:
p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de
éxito es p
Por ejemplo se lanza una moneda tres veces, determine la probabilidad de que caigan
dos águilas. Sabemos que se trata de una distribución Binomial, ya que el evento cumple
las características, es decir del evento se esperan dos resultados, la probabilidad entre
una moneda y otra no cambia y el resultado de cada moneda es independiente. Por lo
1dx)x(f
xnx
xnn qpC)p,x,n(p
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tanto se trata de una distribución Binomilal, por lo tanto se puede utilizar la formula
, donde
n = 3, x = 2, p = ½
Al sustituir los valores se tiene:
Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una
distribución Binomial usaremos las siguientes fórmulas:
Media o valor esperado:
Donde:
n = número de ensayos o repeticiones del experimento P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular
la media que se refiere la media Q = complemento de P
Desviación estándar:
Por ejemplo se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores
humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la
probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como
máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los
accidentes no se atribuyan a errores humanos.
a) n = 5
x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75 q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
xnx
xnn qpC)p,x,n(p
8
3
8
13
2
1
4
1
12
321212123 232
23 ***!!
!)/()/(C)/p,x,n(p
nP
nPQ
0878900156250562501025075075052 252
25 .).)(.)(().().(C).p,n,x(p
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b)
c) En este caso cambiaremos el valor de p y n =5
x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo
humano
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos
p = p (probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25
q = p (probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75
La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2
dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la
probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB,
b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6
amplificadores no se excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de
amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.
Solución:
a)n =10 x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB
x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15 q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85
0.00849
b) p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) =
= 1 – (0.19687+(10)(0.15)(0.231617)=1-0.544296 = 0.455705
c) n=10 x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de
ruido no excede de 2 dB
050
05 25075010750510 ).().(C)x(p)x(p).p,n,,x(p
015624001464800009760250750 151
15 ...).().(C
0878905625001562501075025025053 353
35 .).)(.)(().().(C).p,n,x(p
).)(.)(().().(C).p,n,x(p 44370530000075930252850150150105 5105
510
1101
110
0100
010 8501508501501 ).().(C).().(C
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x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB
p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85 q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15
= (210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210)(0.3771495)(0.00005063)= =0.001249 + 0.00849 + 0.00400997 = 0.01374897
d) n=10, p=0.15, q=1-p=0.85
Interpretación:
Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de
2Db
Interpretación:
Este experimento puede variar en 2 1 amplificador, esto es, de 1 a 3 amplificadores
que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB
4.3 Distribución Hipergeométrica.
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes
características:
a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de
resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
6106
610
5105
510
4104
410 150850150850150850085010654 ).().(C).().(C).().(C).p,n,,,x(p
oresamplificad.).)((np 25115010
oramplificad.).)(.)((npq 11291185015010
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Por ejemplo en una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una
cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al
azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?
Donde:
p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados
muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos
todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N
objetos en total = espacio muestral
Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos,
si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?
Solución:
N = 10 objetos en total
a = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra
Donde:
Probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron,
con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes
Formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados =
muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos
nN
xnaNxa
C
C*C)n,x(p
xnaNxa C*C
nN C
!)!(
!
!)!(
!*
!)!(
!
C
C*C
C
C*C)n,x(p
4410
10
227
7
223
3
42410
2723
410
2431023
!!
!*
xxx
xxx
!!
!xxxx!!
!xx*
!!
!xx
!!
!!!
!*
!!
!
22
4
78910
6723
46
67891025
567
21
123
46
1025
7
21
3
78910
6723
xxx
xxx
!!
!
22
4
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Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es
demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son
constantes.
Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar
sería:
Ejercicio. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas
de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en
apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para
analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de
narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de
narcóticos?
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas
seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)
Otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas
seleccionadas no haya una sola de narcótico)
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
30020160
6048
4
24
5040
252
22
4
78910
6723.*
!!
!*
xxx
xxx
315
0936
315
1926
315
29163321C
C*C
C
C*C
C
C*C)n;tabletasó,x(p
815380455
371
455
20135216
455
120
455
915
455
366.
))(())(())((
315
39061301C
C*C)n;x(p
81538501846150455
8411 ..
))((
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(1)(84)/455=0.18615
De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3
proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que, a) los 4
exploten?, b) al menos 2 no exploten?
a) N = 10 proyectiles en total a = 7 proyectiles que explotan n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara
b) N = 10 proyectiles en total a = 3 proyectiles que no explotan
n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan
p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =
Ejercicio para resolver: Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la
aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos
etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para
verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se
regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja
se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres
artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un
artículo defectuoso se regresa para verificación?
315
390630C
C*C)n;x(p
166670210
35
210
13544
410
0347 .))((
C
C*C)n;x(p
3333330210
70
210
763
210
71213
410
17332723 .))(())((
C
C*CC*C
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4.4 Distribución De Poisson.
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,: - # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o
producto, la fórmula a utilizar sería:
Donde:
p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia
de ellos es
= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
= 2.718 x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad
de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es
independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área
dada y cada producto es independiente de otro producto dado.
Por ejemplo si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques
sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco
en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3,....., etc., etc.
!x),x(p
x
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70
= 6 cheques sin fondo por día
= 2.718
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco
en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos
Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe
“hablar” de lo mismo que x.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5
minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3
minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5
minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
= 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416
13392024
0024801296
4
7182664
64
.).)((
!
).()(),x(p
10495303628800
00000615101019173646
10
7182121210
1210
.).)(.(
!
).()(),x(p
32930701
548845060
1
718260601
601
.).)(.(
!
).().().,x(p
.
!
).)((
!
).()(),,x(p)....etc,,,x(p
1
71821
0
71821111011432
110
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71
c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15
minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.
= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata
= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106
4.5 Esperanza Matemática
Calculo de media (esperanza matemática) y desviación estándar para una
distribución discreta
Para determinar la media o valor esperado de x de la distribución discreta se utiliza la
siguiente fórmula:
)()(* xEp xx ii
Donde:
= media de la distribución
xi = valores que toma la variable p (xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x E(x) = valor esperado de x
La formula para determinar la desviación estándar en una distribución de discreta es la
siguiente:
)(*)( xx ip
i 2
Donde:
= desviación estándar xi = valores que toma la variable x
= media o valor esperado de x
p (xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x
Calculo de media y desviación estándar para una distribución continua Para calcular la media o valor esperado de una distribución de probabilidad continua se
utiliza la siguiente fórmula:
!
).()(
!
).()(),x(p),x(p),,x(p
1
71823
0
718233130310
3130
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72
Donde:
= E(x) = media o valor esperado de la distribución
x = variable aleatoria continua f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad
La fórmula para determinar la desviación estándar de una distribución continua es la siguiente:
Luego: y determinamos la desviación estándar
Ejercicio
1. Sea la siguiente función;
Cuando 0 x 3, f(x) = 0 para cualquier otro valor
De acuerdo a lo anterior indique lo siguiente:
a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad continua.
b) Si la función define una distribución de probabilidad continua, entonces, determine
su media y desviación estándar.
c) Determine la probabilidad de que 1 x 2.
Solución:
a) Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado.
1º Sí es una variable continua porque x puede tomar cualquier valor entre 0 y 3
2º f(x) 0, Esto se puede comprobar si damos diferentes valores a x para ver que
valores toma f(x).
x -2 0 0.5 1.0 1.4 2.1 2.7 3.0
f(x) 0.44444 0.0 0.02778 0.11111 0.21778 0.49 0.81 1.0
Dado lo anterior nos damos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores
mayores o iguales a cero.
dx)x(xf
dx)x(f*)x(2
2
2
2
9
1x)x(f
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73
3º Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada valor de x es
de 1, se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación:
127
2703
27
1
129
1
9
1
9
1)( 33
123
0
3
0
23
0
2
xxx dxdxdxxfA
A = área bajo la función
Con las operaciones anteriores comprobamos que la función x2
9
1sí nos define una
distribución de probabilidad continua.
b) Cálculo de media y desviación estándar.
25.236
81081
36
103
36
1
139
1
9
1
9
1)(* 44
133
0
3
0
33
0
2
xxx dxdxxdxxfx
3
0
223
0
2222 )
9
1
9
1(*)0625.55.4(*)25.2()(* dxxxdxxdxxfx xx
27
6875.136
8
81
45
243
27
0625.5
8459
0625.5
29
)3(33)(3
453
0
234
dxxxx
5809.03375.03375.00625.5125.104.52
Los corchetes nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3.
c) 2963.027
8
3
8*
9
1
39
13
9
1
9
1)21( 2
3
3
2
1
22
1
xx dxxp
Los corchetes nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.
Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para
variables de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad
en el rango de valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre
f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x.
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74
4.6 DISTRIBUCIÓN NORMAL
Esta distribución es de suma importancia en la probabilidad de las variables continuas, ya que en las prácticas se ha utilizado en las variables altura, peso de personas, coeficientes de inteligencia, incremento en diámetro de los árboles, precipitaciones, entre
otras actividades. Para utilizar esta distribución de probabilidad se requiere que la variable sea continua, aunque se puede llegar a aproximaciones cuando la variable es discreta.
La distribución normal de la probabilidad es la curva de campana, determinado por dos parámetros: la media poblacional y la desviación poblacional. El primero nos indica el
lugar y el segundo la forma de la distribución.
Características de la distribución normal
1. Cada distribución normal se distingue por su media (μ
) y su distribución estándar (σ ). 2. El punto más alto de la curva es la media, que también es la mediana y la moda de la
distribución.
3. La media de la distribución puede ser cualquier valor numérico: negativo, cero o positivo. A continuación se presentan tres curvas normales con la misma desviación estándar, pero con tres medias distintas (-20, 0, 20).
4. La distribución normal es simétrica, y su forma a la izquierda de la media es una imagen
semejante a la derecha de la media. Los extremos (colas) de la curva se prolongan al
infinito en ambas direcciones, y teóricamente nunca tocan el eje horizontal.
μ Media poblacional
σ Desviación estándar
-20 0 20
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75
5. La desviación estándar determina el ancho de la curva. A valores mayores de la desviación
estándar se tienen curvas más anchas, mostrando una mayor dispersión de los datos. A
continuación presentamos dos distribuciones normales con la misma media, pero con
distintas desviaciones estándares.
Es evidente que cambios en los valores μ no alteran la forma de la distribución pero si
afectan la posición de la curva en el eje x, mientras que cambios en la σ 2 puede modificar
drásticamente la forma de distribución o dispersión.
6. El área bajo la curva de la distribución normal de probabilidad es uno. Valido para todas las
distribuciones continuas.
7. La probabilidad de la variable aleatoria normal se determina con las áreas bajo la curva. La
probabilidad de ciertos intervalos que más se usan son:
a. El 68.26% de las veces, que es el valor aproximado de una desviación estándar
respecto a su media. b. El 95.44 % de las veces, que es el valor aproximado de dos desviaciones
estándar respecto a su media.
c. El 99.72 % de las veces, que es el valor aproximado de una desviación estándar respecto a su media.
μ
σ =10
σ =5
+3σ +2σ +1σ μ +1σ +2σ +3σ
99.72%
95.44%
68.26%
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76
La función de densidad normal de probabilidades se puede calcular, cuando la variable
aleatoria X se distribuye normalmente, con la siguiente función de densidad:
fx =
e σμx
2πσ
1 2/
22
Donde: Fx; Función de densidad normal de probabilidad de x. μ ; Media poblacional. σ ; Desviación estándar π ; 3.14159
e ; 2.71828 Como se puede observar en la formula anterior definir la densidad de una variable
aleatoria normal es complicada y por lo tanto es difícil calcular probabilidades sobre ella. Por lo tanto para evitarnos la complicada tarea de elaborar tablas para cada par de
valores de μ y σ 2. La solución a este problema es transformar estas probabilidades de
un miembro particular de la familia Normal de Densidades en una distribución normal estándar.
La distribución estándar de probabilidad
Cuando la distribución normal presenta media cero y desviación estándar uno tiene distribución normal estándar de probabilidad. Casi siempre se utiliza la letra z con la finalidad de indicar que la variable normal es especial. Tiene el mismo aspecto general
que otras distribuciones normales, pero con las propiedades especiales de μ=0 y σ=1.
Por ejemplo considérese una variable aleatoria x con media μ x y σ 2, esta se puede
definir con la siguiente ecuación:
σx
μxxz
Por lo tanto la probabilidad de z es:
σ =1
μ =0
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77
0)μ(μσ
1)μP(
σ
1
σ
μPP(z)
y la varianza de z es:
1xσ
xσ(var(x))
xσ
1μx)var(x
xσ
1
σx
σxxVarVar(z)
2
2
22
Ahora sea x una variable aleatoria distribuida N( μ y σ 2) la variable aleatoria es:
s
xxz
Tiene función de distribución N(0,1)Su función de distribución es:
fx =e z 2/2
2πσ
1
Sin embargo no es necesario su calculo, ya que se encuentran diferentes tablas para
obtener las áreas bajo la curva, denominadas tabla proporcional en el área bajo la curva.
Las más utilizadas son las que calculan el área bajo la curva entre la media y el valor de z.
Empezaremos por demostrar como calcular la probabilidad de acuerdo al valor de z =
0.00 y 1.00,esto es P(0.00 z 1.00).
Dado que las tablas nos proporcionan la probabilidad entre la media cero (0, entonces
buscaremos el valor correspondiente de uno (1). Por lo tanto primero localizamos 1.0 en
la columna izquierda de la tabla, y después localizaremos a .00 en el renglón superior, en
la intersección de estos dos valores encontramos el valor 0.3413 que es la probabilidad
buscada entre el intervalo 0.00 y 1.00. Nos indica la probabilidad bajo la curva.
P (0.00 z 1.00) = 0.3413
0 1
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78
A continuación veremos una parte de la tabla donde nos indica el procedimiento para localizar la probabilidad.
z .00 .01
.
.
.9 .3159 .3186
1.0 .3413 .3438
1.1 .3643 .3665
Siguiendo el mismo método podemos encontrar o determinar todos los valores buscados de z.
Por ejemplo:
P(0.00 z 3.00) = 0.4986
P(0.00 z 2.09) = 0.4817
P(z 1.77) = 0.9616
P(z 1.77) = 1- 0.9616 =0.0384
P(-1.00 z 1.00) = 0.6826
Recuerde que ya calculamos la P(0.00 z 1.00) = 0.3413, y también sabemos que la
distribución normal es simétrica. Por lo tanto la Probabilidad de (-1.00 z 0.00) es
también de 0.3413. En consecuencia, la probabilidad de un valor de -1.00 z 1.00 =
0.3413 + 0.3413 = 0.6826
A continuación calcularemos P(z 1.58). Comenzamos en el renglón z = 1.5 y la
columna 0.08, para encontrar la P(0.00 z 1.58)= 0.4429. A continuación hacemos una
simple resta, como sabemos que la mitad de la curva vale 0.5 o 50%, entonces el resto del área es la probabilidad buscada. Por lo tanto 0.5000-0.4429 = 0.0571.
Otro ejemplo: determinaremos P(z -0.55). Para este cálculo realizamos la suma de dos
probabilidades: P(-0.55 z 0.00) + P(z 0.00) = 0.2088 + 5.0000 = 0.7088
Ahora calcularemos la probabilidad de obtener un valor de z entre 1.22 y 1.58; esto es,
P(1.22 z 1.55). Entonces primero calculamos P(z 1.55) = 0.4394, posteriormente
calculamos P (z 1.22) = 0.3888. Por consiguiente la (1.22 z 1.55) = 0.4394 - 0.3888
= 0.0506.
Como ejemplo final determinaremos un valor de z tal que la probabilidad de obtener un valor mayor de uno sólo sea 0.1000.
Este ejemplo es el inverso a los ejemplos anteriores, ya que sé esta dando la
probabilidad del 10 % pero que sea mayor de uno (1), y nos piden el valor de z, entonces
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79
lo que hacemos es restar 0.5000 – 0.1000 y el resultado buscarlo en las tablas para la
distribución estándar normal que es la probabilidad de 0.4000, y la probabilidad que más
se acerca a nuestro valor es el 0.3997, que corresponde el valor de z = 1.280. Esto nos
indica que hay un 10% de que el valor de z sea mayor que 1.280.
Aplicaciones de la curva normal estandarizada. En una investigación realizada por los alumnos del ITS’P, se encontró que en México DF,
Existe una perdida de empleos, que tiene una función de distribución normal, con una media de 253 362 y con una desviación estándar de 60 000.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de empleos perdidos sea de 160 000 a 300 000?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la pérdida sea menor de 100 000?
c) Sí queremos asegurar con una probabilidad de 0.95 ó 95% ¿Cuál seria el número mínimo de pérdidas de empleo?
Datos:
x = 253 362
s = 60 000 Respuestas: a) Calculamos el valor de z de la media al valor de x = 160 000, sustituyendo tenemos:
s
xxz
= 000 60
362 253 - 000 160z
= -1.56. Localizamos la probabilidad de z = -1.57 en la
tabla de áreas de distribución normal, que nos da un valor de probabilidad = 0.4406. Ahora calculamos el valor de z de la media al valor de x = 300 000
s
xxz
= 000 60
362 253 - 000 300z
= 0.78 lo que nos arroja una probabilidad de 0.2823. Por lo
que únicamente nos toca hacer una sumatoria para calcular la probabilidad total, de la siguiente manera: 0.4406 + 0.2823 = 0.7729. Por consiguiente podemos concluir que la probabilidad de que la cantidad de empleos perdidos sea de 160 000 a 300 000 es de 77.29%.
b) Para esta pregunta, ahora calculamos z con x = 10 000, sustituyendo los valores
tenemos lo siguiente:
s
xxz
= 000 60
362 253 - 000 100z
= -2.56, que equivale a una probabilidad de 0.4948. Pero
como lo que estamos buscando es el que la perdida de empleos sea menor de 100 000, por lo que únicamente nos toca hacer una simple resta: 0.5000 – 0.4948 = 0.0052. Por lo que concluimos que solamente existe una probabilidad de 0.52 % de que se pierdan
menos de 100 000 empleos.
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80
c) Para contestar esta pregunta lo primero que hacemos es restar el 0.50 ya que la tabla únicamente nos proporciona probabilidades menores de 0.50. Esta operación nos da como resultado de 0.45, el valor lo localizamos en las tablas de probabilidad
de distribución normal estandar, y obtenemos el valor de z que es igual de 1.645. Posteriormente buscamos el valor de X con un sencillo despeje en la formula de z.
s
xxz
= 000 60
362 253 -x 645.1
=(60 000)1.645 +253 362= x =352 062 empleos
Por lo que podemos concluir que se perderán 352 062 empleos, con una probabilidad de 0.95 ó 95%.
Otro ejemplo de aplicación: El Ciber-café internet “@”, tiene una distribución normal de ingresos semanales de $614.00 en promedio y desviación estándar $307.00.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos semanales sean de $ 800.00 a 1 200.00?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos semanales sea menor de $500?
c) ¿Qué valor de corte dará como resultado una probabilidad 0.9484 ó 94.84% de que los ingresos no sea mayor de ese valor?
Respuestas: a) Calculamos el valor de z de la media al valor de x = 160 000, sustituyendo
tenemos:
s
xxz
= 307.00
614.00 - 800.00z
= 0.61. Localizamos la probabilidad de z = 0.61 en la tabla
de áreas de distribución normal, que nos da un valor de probabilidad = 0.2291. Ahora calculamos el valor de z de la media al valor de x = 1 200.
s
xxz
= 307.00
614.00 - 200.00 1z
= 1.91 lo que nos arroja una probabilidad de 0.4719. Por lo tanto la probabilidad de que los ingresos semanales fluctúen de $800.00 a $1 200.00, es
de 0.4719 – 0.2291 = 0.2428 o 24.28%. b) Primero calculamos z con x = 500.00, sustituyendo los valores tenemos lo siguiente:
s
xxz
= 307.00
614.00 - 500.00z
= -0.37, que equivale a una probabilidad de 0.1443.
Entonces para calcular ingreso menores de $500.00, restamos 0.5000 – 0.1443 = 0.3557. Por lo que concluimos que existe una probabilidad de 35.57 % de que el ingreso sea menor de $500.00.
c) Localizamos 0.4484, que se encuentra en z = 1.63. Ahora buscamos el valor de X
con un sencillo despeje en la formula de z.
s
xxz
= 307.00
614.00 -x 63.1
=(307.00)1.63 +614.00= x = 1114.41
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81
Entonces podemos asegurar con un 94.84 % de que los ingresos no serán mayor de $1
114.41
4.7 DISTRIBUCIÓN T
La distribución t es una familia de distribuciones, parecida a la distribución normal de
probabilidades, se utiliza en muestras pequeñas menor de 30 datos, se utiliza para
calcular los intervalos de confianza, siempre y cuando los datos presenten una
distribución normal. Una distribución t especifica depende de un parámetro llamado
grados de libertad que se determina con (n-1) = grados de libertad = gl.
Características de la distribución t
a) Tiene una media de cero, es unimodal.
b) Es simétrica en torno a la media.
c) En general tiene una varianza mayor de uno, pero ésta tiende a uno a medida que
aumenta el tamaño de muestra.
d) La variable t va de -∞ a ∞
e) La distribución t es una familia de distribuciones, ya que tiene una distribución distinta
por cada valor muestral (n-1) tal como se muestra a continuación.
f) Comparada con la distribución normal, la distribución t es menos puntiaguda en el
centro y tiene las colas más altas, tal como se muestra a continuación.
g) La distribución t se aproxima a la distribución normal a medida que n-1 se aproxima al
infinito.
μ
gl = 30
gl = 2 gl = 5
μ
Distribución normal
Distribución t
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82
h) La distribución t al igual que la distribución normal se ha tabulado para determinar las
áreas bajo la curva.
El valor de t, al igual que el z, el número de desviaciones con respecto a la media de un
conjunto de datos y se utiliza para calcular el valor de la media de una población, por
medio de una muestra, esto, bajo cierta probabilidad de cometer el error tipo II conocido
como alfa (α). La formula para calcular el valor de t, es la siguiente:
s
xt
Además el valor de t, se utiliza para realizar pruebas de hipótesis para una población y
dos poblaciones independientes para muestras pequeñas siempre que los datos
provengan de poblaciones normales.
Para utilizar la tabla t, se tiene que determinar los grados de libertad que siempre es igual
n-1, este valor se localiza en la primera columna y el valor de alfa o en su defecto la
probabilidad del área bajo la curva, se ubica en la primera fila. En el lugar donde se
cruzan ambos datos es el valor de t.
Por ejemplo si tenemos una muestra de 16 elementos y queremos una confiabilidad de
distribución acumulada de 95%, tendremos un valor de t = 1.753, es decir la probabilidad
de que el valor de t sea menor o igual a 1.753 con 10 gl es igual a 95%.
Si se tiene un tamaño de muestra igual 12 y se requiere una confiabilidad acumulada de
99%
4.8 DISTRIBUCIÓN X2
La distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de la varianza (s2), es decir, si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con
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83
varianza , el estadístico: tendrá una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl = n-1 grados de libertad y se denota X2 que esta dado por:
Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la
población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede
dar con la siguiente expresión:
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0. 2. La forma de una distribución X2 depende del gl = n-1. En consecuencia, hay un
número infinito de distribuciones X2. 3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. 4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a
la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. 5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). 6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el
valor (n-3) = (gl-2).
La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:
Para x>0
Sin embargo para calculara las probabilidades bajo la curva normalmente se utilizan las
tablas de , la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de .
Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el
símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva
gl =3 gl =5
gl =10
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84
X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6
gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.
Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber
como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.
Ejemplos:
1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus
destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En
consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)= 0.01
Instituto Tecnológico Superior P’urhépecha Probabilidad y Estadística
85
2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de
una población normal con varianza , tenga una varianza muestral:
a. Mayor que 9.1
b. Entre 3.462 y 10.745
Solución.
a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:
Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P (s2 >9.1) = 0.05
b) Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:
y Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al
buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.
Por lo tanto la P (3.462 s2 10.745) = 0.94
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86
4.9 DISTRIBUCIÓN F
Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que varía el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro. Entonces la distribución F se utiliza para probar si dos muestras proceden de poblaciones con
varianzas iguales o para comparar varias medias poblacionales que se denomina analizas de varianza (ANOVA). Para aplicar estas pruebas las poblaciones donde se extrae la muestra deben ser normales.
Por ejemplo Intuitivamente, podríamos comparar las varianzas de dos poblaciones, y
, utilizando la razón de las varianzas muestrales s21/s
22. Si el cociente de s2
1/s22 es
casi igual a 1, se tendrá poca evidencia para indicar que y no son iguales. Por
otra parte, un valor muy grande o muy pequeño para s21/s
22, proporcionará evidencia de
una diferencia en las varianzas de las poblaciones.
Características de la distribución F
1. Existe una familia de distribuciones definida por dos parámetros; los grados de
libertad (gl) del numerador y los grados de libertad del denominador tal como se muestra a continuación.
2. El valor de F no puede ser negativo y se trata de una variable con distribución
continua. 3. La distribución F, tiene sesgo a la derecha 4. Los valores de F, varían de 0 a α. A medida que aumenta el valor de F, la curva se
aproxima al eje x, pero nunca lo toca. La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,
gl = (6,6)
gl = (29,28)
gl = (19,6)
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87
Donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertad
y respectivamente.
*Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribución ji cuadradas
con grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribución de la variable
aleatoria está dada por:
y se dice que sigue la distribución F con grados de libertad en el numerador y grados de libertad en el denominador.
La media y la varianza de la distribución F son:
Para
Para
La variable aleatoria F es no negativa, y la distribución tiene un sesgo hacia la derecha. La distribución F tiene una apariencia muy similar a la distribución ji-cuadrada; sin
embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parámetros proporcionan
una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribución.
Si s12 y s2
2 son las varianzas muestrales independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de
poblaciones normales con varianzas y
, respectivamente, entonces:
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88
Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introducción a la Inferencia Estadística del
autor Güenther, se tendrá que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el área correspondiente, relacionándola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F.
Las tablas tienen la siguiente estructura:
P 1 2 3 ……. ….. 500 …
6 0.0005
0.001
0.005
.
.
0.9995 30.4
El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un área de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente:
Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora su forma
depende de dos variables que son los grados de libertad.
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89
ACTIVIDADES UNIDAD IV
I. Seleccione un objeto e indique sus variables aleatorias o discretas II. Llene el cuadro comparativo que se anexa al final de este documento y;
III. Resuelva los siguientes ejercicios:
1. En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos de Laptops se debe a la necesidad de dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esa área
a) exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas; b) cuando mucho 3 se debieran a la misma razón arriba indicada.
2. Al probar un programa de cómputo en 100 ocasiones, se encontró que en 25
ocasiones presentaron fallas de ejecución. De los siguientes 15 ejecuciones del programa encuentre la probabilidad de que: a) de 3 a 6 presenten fallas de ejecución;
b) menos de 4 presenten fallas de ejecución; c) más de 5 presenten fallas de ejecución
3. Un empresario afirma que 2/3 de sus computadoras tienen el “virus viernes 13”
(Jerusalem). Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 computadoras a) las 4 tengan virus “viernes 13” b) cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada.
c) Determine la media y desviación estándar 4. Un ingeniero de ventas reporta que el 75% de las computadoras que se venden en su
tienda departamental son de la marca Dell.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 7 de las siguientes 9 ventas no sean de la marca Dell?
5. Una investigación de los residentes de una ciudad de Estados Unidos mostró que
10% preferían un ipod blanco que de cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los siguientes 10 ipod que se vendan en esta ciudad sean de color blanco? Encuentre la media y la varianza
6. Una compañía está interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de 2 están defectuosas.
¿qué proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados? 7. En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes ¿Cuál
es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección
a) ocurran exactamente 5 accidentes? b) Ocurran menos de 3 accidentes?
8. Una cierta área del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes
al año. Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área sea afectada por un huracán: a) menos de 4 huracanes y b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.
9. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas infectadas.
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90
10. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al
preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 000 formas y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error.
11. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados encuentre la probabilidad de que
a) menos de 5 presenten este problema b) 8, 9 o 10 presenten este problema
12. En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias
de la línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0.05. El proceso se detiene en cualquier momento
en que se encuentran dos o más defectos. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectos se incremente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de
producción se detenga? (suponga un 5% de defectos) b) Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a
0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de
producción se detenga? 13. Se está considerando la producción de una máquina automática de soldar. Se
considerará exitosa si tiene una efectividad del 99% en sus soldaduras. De otra
manera, no se considerará eficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizan 100 soldaduras. La máquina se aceptará para su fabricación si no son defectuosas más de tres soldaduras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina eficiente sea rechazada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina ineficiente con 95% de soldaduras correctas sea aceptada?
14. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford,
7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Datsun y 4 Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente 9 de estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en el centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se
utilicen 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Datsun y 2 Toyota. 15. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo con un
proceso de Poisson y en un promedio entran 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la
probabilidad de que: a) no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera; b) menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera;
c) más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos.
16. Calcular la probabilidad de acuerdo a los siguientes valores de z y esquematizarlos.
P(0.00 z 2.18) ; P(0.00 z -0.14) ; P(z -0.89); P(z 0.55); P(-1.15 z 2.00)
P(1.55 z 2.38); P(-0.20 z -2.14); y P(-2.00 z 2.14)
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17. La empresa “Compunet”, desea ofrecer un contrato especial de servicio que cubra
el costo total de cualquier reparación de una computadora. Según la experiencia, el gerente estima que los costos anuales de servicio tienen una distribución normal, con promedio de $1850.00 y desviación estándar de $250.00.
a) Si la empresa ofrece el contrato de servicio a cliente con un costo anual de
$2500.00, ¿Cuál es la probabilidad de que los costos de servicio con algunos
de los clientes rebase el precio del contrato? b) ¿Cuál es la ganancia esperada de la empresa por cada contrato de servicio?
18. La edad promedio que tiene una persona al casarse por primera vez en las comunidades indígenas es de 17 años, y tiene una distribución normal, con una desviación estándar de 4 años.
a) ¿Cuál es la probabilidad un alumno del Tecnológico de 19 años se case por primera vez?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez
tenga menos de 23 años? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez
tenga entre 20 y 30 años de edad?
d) El 90% de las personas que se casan por primera vez ¿a qué edad lo hacen? 19. Calcular la probabilidad de P (t12≤3.0545) y P (t25≤2.0595)
20. Determinar el valor de t
a) Si se tiene un tamaño de muestra igual 17 y alfa = 0.05 b) Si se tiene un tamaño de muestra igual 22 y alfa = 0.025 c) Si se tiene un tamaño de muestra igual 18 y se requiere una confiabilidad
acumulada de 0.995
http://badoo.com/01116216177/
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FUENTES DE INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA:
1. Anderson, D.; Sweeney D.; Williams, T. “Estadística para Administración y
Economía”.10ª. Edición. Cengage Learning Editores, México. 2008.
2. Delgado de la Torre, R. “Probabilidad y estadística para ciencias e ingenierías”, Delta Publicaciones. España. 2008
3. Devore, Jay L., Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 7° Edición,
Editorial Cengage Learning, México, 2008. 4. Kazmier, L.; Díaz Mata, A., Gómez Díaz, G. “Estadística aplicada a la administración y
la economía”. 4a. edición. Editorial McGraw Hill. España. 2006
5. Larson, H. “Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. LIMUSA. México. 1992.
6. Levin, R.; Rubin, D. “Estadística para administración y economía”. 7ª. Edición. Pearson
Educación. México. 2004. 7. Levin, R.; Rubin, D.; “Estadística para Administradores”. 6ª. Edición. Ed. Prentice Hall.
México. 1996.
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Cuadro comparativo de las distribuciones muestrales
Distribución Características Formula Observaciones
Binomial
Hipergeométrica
Poisson
Normal
t-student
X2
F