INTRODUCCION

Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos

son el balance de materia o ecuación de continuidad, las ecuaciones del

balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica. Pueden

escribirse en forma diferencial, mostrando las condiciones en un punto del

interior de un elemento de volumen, o bien en forma integrada, aplicables a un

volumen o masa finitos de fluido. No es necesario formular un balance de

cantidad de movimiento siempre que se comienza a trabajar con un nuevo

problema de flujo. Es más rápido, más fácil, y más seguro, partir de las

ecuaciones de conservación de la materia y la cantidad de movimiento,

expresadas en la forma general, y simplificarlas con el fin de adaptarlas al

problema de que se trate. Estas distintas ecuaciones de conservación se

denominan a veces ecuaciones de variación, ya que describen la variación de

la velocidad, temperatura y concentración, con respecto al tiempo y la posición

en el sistema. La ecuación de continuidad, se desarrolla mediante la aplicación

de la ley de la conservación de la materia a un pequeño elemento de volumen

situado en el seno de un fluido en movimiento. La ecuación de movimiento

también se deduce de manera análoga a la de continuidad. La ecuación de

movimiento se usa para deducir una expresión que describe la interconversión

de las distintas formas de la energía mecánica de un fluido en movimiento. Esta

ecuación es particularmente útil para describir la degradación de la energía

mecánica en energía calorífica, que acompaña a todos los procesos reales de

flujo. También es la base del importante balance macroscópico de energía

mecánica, o ecuación de Bernoulli.

DESARROLLO DEL TEMA

Balance de masa en un fluido en movimiento

Ecuación de continuidad

Esta ecuación se deduce aplicando un balance de materia a un elemento

estacionario de volumen xyz, a través del cual esta circulando el fluido:

⟨ velocidad deacumulación demateria⟩=⟨velocidad de entradademateria ⟩−⟨velocidad de salidade materia ⟩ 4.1

Comenzamos considerando el par de caras perpendiculares al eje x. La

velocidad de entrada de materia a través de la cara x es (ux)│xyz, y la

velocidad de salida de materia a través de la cara x + x es (ux)│x+x yz. Para

los otros dos pares de caras pueden escribirse expresiones análogas. La

velocidad de acumulación de materia en el elemento de volumen es (xyz)

(∂/∂t). El balance de materia queda por lo tanto

∆ x ∆ y ∆ z∂ ρ∂ t

=∆ y ∆z [ ρux|x− ρ ux|x+∆ x ]+∆ x ∆ z [ ρ u y|y− ρu y|y+∆ y ]+∆ x ∆ y [ ρuz|z− ρuz|z+∆z ]Dividiendo toda la ecuación por xyz, y tomando limites cuando estas

dimensiones tienden a cero, se tiene

∂ ρ∂t

=−( ∂∂ x

ρ ux+∂∂ y

ρ uy+∂∂ z

ρuz)Éstas es la ecuación de continuidad, que describe la variación de la densidad

para un punto fijo, como consecuencia de las variaciones del vector velocidad

másica u. La ecuación 4.3 puede escribirse en una forma más conveniente

utilizando notación vectorial:

∂ ρ∂t

=−(∇ ∙ ρu )

El término (∇ ∙ ρ u ) se denomina divergencia de u, y a veces se escribe div. u.

Véase que el vector u es la densidad de flujo de materia y que su divergencia

4.2

4.3

4.4

tiene un significado sencillo: representa la velocidad neta con que disminuye la

densidad de flujo de materia por unidad de volumen. Por lo tanto la ecuación

4.4 establece simplemente que la velocidad con que aumenta la densidad en el

interior de un pequeño volumen fijo en el espacio, es igual a la velocidad neta

de entrada de densidad de flujo de materia en el elemento dividida por su

volumen. Generalmente, es preferible modificar la ecuación 4.3 efectuando la

diferenciación qué esta indicada y reuniendo todas las derivadas de en el

primer miembro:

∂ ρ∂t

+ux∂ ρ∂ x

+uy∂ ρ∂ y

+uz∂ ρ∂ z

=−ρ( ∂ux

∂x+∂uy

∂ y+∂uz

∂ z )El primer miembro de la ecuación 4.5 es la derivada substancial de la

densidad, es decir, la derivada con respecto al tiempo para un recorrido que

sigue el movimiento del fluido. De acuerdo con esto la ecuación anterior puede

expresarse brevemente en esta forma

DρDt

+ρ (∇ ∙u )

La ecuación de continuidad, expuesta en esta forma, describe la velocidad de

variación de la densidad tal como la ve un observador que flota con el fluido.

Esta ecuación es sencillamente una formulación de la conservación de la

materia. Es preciso señalar que la deducción puede efectuarse igualmente para

un elemento de volumen de una forma arbitraria cualquiera, y no está por lo

tanto restringida para el caso del elemento paralepipédico que se ha

presentado aquí. Una forma especial muy importante de la ecuación de

continuidad, es la correspondiente a una fluido de densidad constante para el

que

(∇ ∙ u )=0

Aunque en realidad ningún fluido es totalmente incompresible, en la práctica se

puede admitir con mucha frecuencia que la densidad es constante, con lo que

se obtiene una considerable simplificación, sin cometer casi error. En flujo

estacionario, el balance de materia, es particularmente sencillo. La velocidad

de entrada de masa en el sistema de flujo, es igual a la de salida, ya que la

masa no puede acumularse ni vaciarse dentro del sistema de flujo en

condiciones estacionarias. El estudio de los fenómenos de flujo de fluidos se

4.5

4.6

4.7

facilita imaginando en la corriente del fluido, las trayectorias del mismo, que

reciben el nombre de líneas de corriente. Una línea de corriente es una línea

imaginaria en la masa de fluido en movimiento, representada de tal forma que

en cada punto de la curva, el vector velocidad neto u, es tangente a la línea de

corriente. A través de dicha línea no existe flujo neto. En el flujo turbulento, los

remolinos cruzan en una y otra dirección las líneas de corriente, pero el flujo

neto de tales torbellinos en cualquier dirección distinta a la de flujo es cero. Un

tubo de corriente, filamento de corriente, es un tubo de sección transversal

grande o pequeña, y de una forma transversal tal, que está totalmente limitado

por líneas de corriente. Un tubo de corriente puede suponerse como una

tubería imaginaria, situada en el interior de la masa de fluido en movimiento, a

través de cuyas paredes no hay flujo neto. El balance de materia da una

relación importante para el flujo que tiene lugar a través de un tubo de

corriente. Puesto que no puede existir flujo a través de las paredes del tubo, la

velocidad de flujo másico a la entrada del tubo, en un determinado período de

tiempo, ha de ser igual a la velocidad de flujo másico a la salida. Consideremos

el tubo de corriente, que se representa en la Figura 4.1. El fluido entra por un

punto en que la sección transversal del tubo es Sa, y sale por otro en que la

sección transversal es Sb. La velocidad y la densidad a la entrada son ua y a

respectivamente, y las magnitudes correspondientes a la salida ub y b.

Supongamos que la densidad en una determinada sección transversal es

constante y que el flujo a través del tubo es no viscoso o flujo potencial; por

consiguiente, la velocidad ua, es constante a través del área Sa, y la velocidad

ub, a través del área Sb. Entonces la masa de fluido que entra y sale del tubo

por unidad de tiempo se deduce a partir de la ecuación de continuidad

expresada en forma diferencial haciendo unos cuantos arreglos, y es

m=ρauaSa=ρbubSb

siendo m la velocidad de flujo de masa por unidad de tiempo. A partir de esta

ecuación se deduce para un tubo de corriente

m=ρuS=constante

4.8

4.9

La ecuación 4.9 es la ecuación de continuidad, y se aplica tanto para fluidos

compresibles como para no compresibles en estado estacionario.

Si el flujo a través del tubo de corriente no es flujo potencial, pero está

totalmente o en parte dentro de una capa límite, en la que hay esfuerzos

cortantes, la velocidad ua variará de un punto a otro de la sección Sa, y lo

mismo le ocurrirá a ub en la sección Sb. Es necesario por tanto distinguir la

velocidad local de la velocidad media. Si el fluido es caliente o se enfría, su

densidad varía también de un punto a otro, en una determinada sección

transversal. En los siguientes tratamientos despreciaremos las variaciones de

densidad en una determinada sección transversal del tubo de corriente, y a y b

son independientes de su localización en la misma. La velocidad de flujo de

masa a través de un área diferencial situada en la sección de un tubo de

corriente es

d m=ρudS

y la velocidad de flujo de masa total, a través de toda la sección es

m=ρ∫S

❑

udS

La integral significa que la integración esta extendida al área S. La velocidad

media, de la corriente total que fluye a través de la sección transversal de área

S, se define mediante la expresión

V ≡mρS

=1s∫S

❑

udS

El valor de V es también igual a la velocidad volumétrica de flujo dividida por el

área de la sección transversal de la conducción, y de hecho generalmente se

calcula en esta forma. Por tanto,

V=qs

Siendo q la velocidad volumétrica de flujo. La ecuación 4.12 también puede

escribirse así

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

V ρ=ms=G

Esta ecuación define la velocidad másica G, que se calcula dividiendo la

velocidad de flujo de masa por el área de la sección transversal de la

conducción. Las unidades de la velocidad másica son kilogramo por metro

cuadrado segundo. La ventaja de utilizar G, consiste en que es independiente

de la temperatura y la presión cuando el flujo es estacionario y la sección

transversal no varía Este hecho resulta especialmente útil, cuando se

consideran fluidos compresibles, en los cuales tanto V como varían con la

temperatura y la presión. La velocidad másica G, puede llamarse también

densidad másica de corriente o densidad de flujo de masa, donde la densidad

de flujo se define generalmente como una magnitud que pasa a través de la

unidad de área en la unidad de tiempo.

Balance diferencial del momento

Para un elemento de volumen xyz, se puede escribir el siguiente balance de

cantidad de movimiento:

⟨ Velocidad deacumulación decantidad demovimiento

⟩=⟨Velocidad deentradadecantidad demovimiento

⟩−⟨Velocidad desalidad decantidad demovimiento

⟩+⟨ Sumade lasfuerzas queactuan sobreel sistema

⟩Es preciso resaltar que la ultima ecuación es la ecuación de un vector, con

componentes para cada una de las tres direcciones coordenadas x, y, z. Para

mayor sencillez, comenzaremos considerando el componente x de cada uno de

los términos de la ecuación; los componentes y, z se pueden obtener por

analogía. Vamos a considerar en primer lugar las velocidades de flujo del

componente x de la cantidad de movimiento que entra y sale del elemento de

volumen que se indica en la figura 4.3. La cantidad de movimiento entra y sale

del elemento de volumen en virtud de dos mecanismos: por convección (es

decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea, a

causa de los gradientes de velocidad).

4.15

La velocidad con la que entra por convección el componente x de la cantidad

de movimiento por la cara situada en x es uxux│xyz, y la velocidad con la que

sale por x + x es uxux│x+xyz. La velocidad a la que entra por y es

uyux│yxz. Para las demás caras se pueden escribir expresiones similares.

Vemos, por tanto que es preciso considerar el flujo convectivo de la cantidad de

movimiento x a través de las seis caras, y que el flujo convectivo neto, de la

cantidad de movimiento x, en el elemento de volumen es:

∆ y ∆ z [ ρux ux|x− ρ ux ux|x+∆ x ]+∆ x ∆ z [ ρ u yux|y− ρuyux|y +∆ y ]+∆x ∆ y [ ρ uzux|z− ρuzux|z+∆ z ]De igual forma, la velocidad con la que el componente x de la cantidad de

movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es xx│xyz,

y la con la que sale por x + x es xx│x+xyz. La velocidad con que entra por y

es yx│yxz; para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares.

Téngase en cuenta que yx es la densidad de flujo de cantidad de movimiento x

a través de una cara perpendicular al eje y. Sumando estas seis

contribuciones, se obtiene

∆ y ∆ z [ τ xx|x− τxx|x+∆ x ]+∆ x ∆ z [ τ yx|y− τ yx|y +∆ y ]+∆x ∆ y [ τ zx|z−−τ zx|z+∆ z ]Estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse

como esfuerzos. Por lo tanto, xx es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara

x, y yx es el esfuerzo tangencial (o cortante) que actúa sobre la cara y en la

dirección x, y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas. En la

4.16

4.17

4.19

mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes que actúan sobre el

sistema serán las procedentes de la presión del fluido p y la fuerza

gravitacional por unidad de masa g. La resultante de estas fuerzas en la

dirección x será, evidentemente

∆ x ∆ z ( p|x− p|x+∆ x )+ρ gx∆ x ∆ y ∆ z

Finalmente la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento x en el

elemento es xyz(∂ux/∂t). Sustituimos ahora las anteriores expresiones en la

ecuación 4.15 Dividiendo toda la ecuación que resulta por xyz, y tomando el

limite cuando x, y e z, tienden a cero, se obtiene el componente x de la

ecuación de movimiento:

∂∂ t

ρux=−( ∂∂x

ρuxux+∂∂ y

ρu yux+∂∂ z

ρ uzux )−( ∂ τxx∂ x+∂ τ yx∂ y

+∂τ zx∂ z )−∂ p

∂ x+ρ gx

Las componentes y e z, que pueden obtenerse de una forma análoga, son

∂∂ t

ρu y=−( ∂∂ x

ρ uxuy+∂∂ y

ρ uy uy+∂∂ z

ρuzuy )−( ∂ τ xy∂x+∂ τ y y∂ y

+∂ τ zy

∂ z )−∂ p∂ y

+ρ gy

∂∂ t

ρuz=−( ∂∂ x

ρux uz+∂∂ y

ρu yuz+∂∂z

ρuzuz)−( ∂τ xz∂x+∂ τ yz∂ y

+∂ τ zz∂z )−∂ p

∂z+ρ gz

Las magnitudes ux, uy, uz son los componentes del vector velocidad másica

u; de igual forma gx, gy, gz, son los componentes de la aceleración

gravitacional g. Por otra parte ∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z, son los componentes del

vector p, denominado gradiente de p. Los términos uxux, uxuy, uxuz, uyuz,

etc., con los nueve componentes de la densidad de flujo convectivo de cantidad

de movimiento uu, que es el producto diádico de u y u. Análogamente, xx, yx

y zx, etc., son los nueve componentes de , que es el tensor esfuerzo. Como

las ecuaciones 4.19,20 y21 ocupan mucho espacio, es conveniente desarrollar

la diferenciación indicada y pasar los términos que contengan derivadas de al

lado izquierdo, para después esta reordenarse con ayuda de la ecuación de

continuidad. Sumando vectorialmente los tres componentes, se llega a

ρDuDt

=−∇ p− [∇ ∙ τ ]+ ρ g

Masa por unidad de volumen, multiplicada por aceleración

Fuerza de presión sobre el elemento pro unidad de volumen

Fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen

Fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen

4.20

4.21

4.22

La ecuación de movimiento, expresada en esta forma, establece que un

pequeño elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las

fuerzas que actúan sobre el. En otras palabras, es una expresión de la

segunda ley de Newton, según la cual, masa x aceleración = suma de fuerzas.

Vemos, por lo tanto, que el balance de cantidad de movimiento es totalmente

equivalente a la segunda ley de Newton del movimiento. Con el fin de utilizar

estas ecuaciones para determinar las distribuciones de velocidad, hay que

expresar los distintos esfuerzos en función de los gradientes de velocidad y las

propiedades del fluido. Para fluidos newtonianos, estas expresiones son:

τ xx=−2 μd vx

dx+( 23 ) μ(∇ ∙u)

τ yy=−2 μd v y

dy+( 23 )μ(∇ ∙ u)

τ zz=−2 μd vz

dz+( 23 ) μ(∇ ∙u)

τ xy=τ yx=−μ ( ∂vx∂ y+∂v y

∂ x )τ yz=τ zy=−μ ( ∂v y

∂ z+∂v z

∂ y )τ xz=τ zx=−μ ( ∂v z

∂ x+∂v x

∂ z )Estas ecuaciones, que constituyen un planteamiento más general de la ley de

Newton de la viscosidad se aplican a los casos complejos de flujo, en los que el

fluido circula en todas direcciones. Substituyendo las ecuaciones 4.23 a 4.28

en la 4.22 se obtienen las ecuaciones generales de movimiento para un fluido

newtoniano que presenta variación de densidad y la viscosidad.

ρD vx

Dt=−∂ p

∂ x+ ∂∂ x [2μ d v x

dx−( 23 )μ (∇ ∙ u)]+ ∂

∂ y [ μ( ∂v x

∂ y+∂v y

∂ x )]+ ∂∂ z [μ ( ∂vz

∂x+∂v x

∂ z )]+ ρgx

ρD v y

Dt=−∂ p

∂ y+ ∂∂x [μ ( ∂v x

∂ y+∂v y

∂x )]+ ∂∂ y [2 μ d v y

dy−( 23 ) μ(∇ ∙u)]+ ∂

∂ z [ μ( ∂v y

∂ z+∂vz∂ y )]+ρ gy

ρD vz

Dt=−∂ p

∂ z+ ∂∂ x [μ( ∂ vz

∂x+∂vx

∂z )]+ ∂∂ y [μ ( ∂v y

∂ z−∂vz

∂ y )]+ ∂∂z [2μ d v z

dz+( 23 )μ (∇ ∙ u)]+ρgz

Estas ecuaciones, juntamente con la ecuación de continuidad, la ecuación de

estado p=p(), la variación de la viscosidad con la densidad y las

4.23-28

4.29

4.30

4.31

condiciones iníciales y limite, determinan completamente la presión, densidad y

los componentes de la velocidad, para el flujo isotérmico de un fluido. Rara vez

se utilizan estas ecuaciones en su forma completa para el planteamiento de

problemas de flujo, sino que generalmente resulta más conveniente emplear

formas restringidas de las mismas. (i) para y constantes, las ecuaciones4.29

a 4.31, pueden simplificarse mediante la ecuación de continuidad [(u)=0]

para obtener

ρD vDt

=−∇ p+μ∇2u+ ρ g

Esta última ecuación es conocida como la ecuación de Navier-Stokes, obtenida

inicialmente por Navier en Francia, en 1882 mediante consideraciones

moleculares. (ii) Para []=0, la ecuación 4.22 se reduce a

ρD vDt

=−∇ p+ρ g

La última ecuación es la famosa ecuación de Euler, deducida por primera vez

en 1775, y que ha sido utilizada para describir sistemas de flujo en los que los

efectos viscosos son relativamente poco importantes (flujo potencial).

Balance macroscópico de momento

Para el volumen de control de la Figura 4.1, puede expresarse un balance de

cantidad de movimiento, semejante al balance de materia total, suponiendo que

el flujo es estacionario y unidireccional en la dirección x. La suma de todas las

fuerzas que actúan sobre el fluido en la dirección x, de acuerdo con el principio

de la cantidad de movimiento, es igual al aumento con el tiempo de la cantidad

de movimiento del fluido que circula. Es decir, que la suma de las fuerzas que

actúan en la dirección x es igual a la diferencia entre la cantidad de movimiento

que sale con el fluido por unidad de tiempo y la que, también por unidad de

tiempo, entra con el mismo

∑ F=M B−M A

La velocidad de flujo de la cantidad de movimiento M de una corriente de

fluido, con una velocidad de flujo de masa m, y que todo él se mueve con una

velocidad u es mu. Si embargo, si u varía de un punto a otro de la sección

transversal de la corriente, el flujo total de cantidad de movimiento no será el

producto de la velocidad de flujo de masa por la velocidad media,m, sino que

4.33

4.34

en general es algo superior. El necesario factor de corrección se obtiene mejor

a partir del flujo de momento convectivo, es decir, el momento transportado por

el fluido que circula a través de la unidad de área de la sección transversal del

canal en la unidad de tiempo. Esto corresponde al producto de la velocidad

lineal normal a la sección transversal por la velocidad de masa (o flujo de

masa). Por lo tanto, para un área diferencial de la sección transversal dS, el

flujo de momento es

d MdS

=( ρu )u= ρu2

El flujo de momento de toda la corriente, para un fluido de densidad constante,

es

MS

=ρ∫

S

❑

u2dS

S

El factor de corrección de momento se define por la relación

β=M /SρV 2

Al sustituir a partir de la ecuación 4.36 se obtiene

β=1S∫S

❑

( uV )2

dS

Para encontrar para cualquier situación de flujo dado, se debe conocer la

variación de u con la posición en la sección transversal. Por lo tanto la ecuación

4.34 se escribe de la manera siguiente precaución

∑ F=m (βbV b−βaV a )Al utilizar esta expresión, hay que tener cuidado en identificar e incluir en la

sumatoria de fuerzas todos los componentes de las fuerzas que actúan sobre

el fluido en la dirección del componente de la velocidad en la ecuación. Quizá

intervengan varias de estas fuerzas: 1) cambio de presión en la dirección de

flujo; 2) esfuerzo cortante en el limite entre la corriente de fluido y el conducto,

o bien (si el conducto en si mismo se considera como parte del sistema), las

fuerzas externas que actúan sobre la pared solida; 3) si la corriente esta

inclinada, el componente apropiado de la fuerza de gravedad. Si se considera

en la dirección x, una situación típica se representa por la ecuación siguiente:

∑ F=paSa−pbSb+Fw−Fg

4.35

4.36

4.37

4.38

4.39

4.40

Donde pa y pb son las presiones a la entrada y salida, respectivamente; Sa y Sb

las secciones transversales a la entrada y salida, respectivamente; Fw la fuerza

neta de la pared del canal de conducción sobre el fluido y Fg la componente de

la fuerza de gravedad (expresada para flujo en dirección ascendente)

Ecuación de la energía mecánica

Una ecuación que describe las interconversiones de la energía que ocurren en

un fluido en movimiento, puede derivarse formando el producto escalar de la

velocidad con la ecuación de movimiento correspondiente a la ecuación 4.22

ρD (12 u2)

Dt=− (u ∙∇ p )−[u ∙ (∇ ∙ τ ) ]+ ρ (u ∙ g )

Esta ecuación escalar describe la velocidad de variación de la energía cinética

por unidad de masa (1/2 u2) para un elemento del fluido que se mueve con la

corriente. Para el tratamiento que se hace a continuación, resulta más

conveniente escribir esta ecuación en función de ∂/∂t, utilizando la ecuación de

continuidad; separando también en dos términos cada una de las

contribuciones viscosas y de presión. Los términos de la ecuación que resulta

pueden interpretarse en función de un elemento estacionario de volumen a

través del que circula el fluido.

∂∂ t ( 12 ρ u2)=−(∇ ∙

12ρu2u)−(∇ ∙ pu )−p (−∇ ∙u )−(∇ ∙ [ τ ∙ u ] )−(−τ :∇u )+ p (u ∙g )

Ecuación de energía para flujo potencial unidireccional; ecuación de Bernoulli

sin fricción

Aquí las derivaciones son inicialmente restringidas al flujo de fluidos

unidireccional en dirección x, de densidad constante y viscosidad cero.

Partiendo con estas simplificaciones a partir de la ecuación de energía

mecánica y eliminando todos los términos que son cero tenemos:

ρ( ∂ (u2/2 )∂t

+u∂ (u2/2 )∂x )=−u

∂ p∂x

+ ρugx

Velocidad de incrementode energía cinética por Unidad de volumen

Velocidad neta de entrada de energíacinética debida alflujo global

Velocidad de trabajo producido por la presión de los alrededores sobre el elemento de volumen

Velocidad de conversión reversible en energía interna

Velocidad de trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento de volumen

Velocidad de conversión irreversible en energía interna

Velocidad de trabajo producido por la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento de volumen

4.41

4.42

4.43

Que es lo mismo que si hubiéramos partido de la ecuación de Euler en la

dirección x y hubiéramos hecho el producto escalar de esta con la velocidad.

LA ecuación deducida es la ecuación de energía mecánica para el flujo

potencial unidireccional de fluidos de densidad constante cuando la velocidad

de flujo varía con el tiempo. Considere ahora un elemento de volumen de un

tubo de corriente dentro de una corriente mayor de fluido, que circula con flujo

estacionario, como se muestra en la figura 4.4. Suponga que la sección

transversal del tubo aumenta continuamente en la dirección del flujo, y que el

eje del tubo es recto e inclinado hacia arriba formando un ángulo con la

vertical. Represente la presión, la velocidad del fluido y la elevación a la

entrada por pa, ua y Za, respectivamente, y sean las correspondientes

magnitudes a la salida pb, ub y Zb. Considere el eje x paralelo al eje del tubo.

Como el flujo es estacionario, el término en el lado izquierdo de la ecuación

4.43 desaparece. No hay variación en la velocidad del fluido a través de la

sección transversal, así que el flujo es unidireccional y la velocidad u es sólo

función de x. Para la sustitución en la ecuación 4.43, puesto que la gravedad

actúa en la dirección negativa x, entonces gx=-g cosSi Z es la elevación en

cualquier parte de la sección transversal a lo largo del tubo, entonces Z=Za+ x

cosdZ=cosdx y cosdZ/dx. Las diferenciales parciales se vuelven

diferenciales totales. Por lo tanto, de la ecuación 4.43

ud ( ρu2/2 )

dx+u dp

dx+ ρug cos∅=0

4.44

Entonces para el flujo estacionario es posible dividir entre la velocidad u. Al

hacer esto y también dividir entre y sustituir cosla ecuación 4.44 se

convierte en

d (u2/2 )dx

+ 1ρdpdx

+g dZdx

=0

La ecuación 4.45 es el punto formado de la ecuación de Bernoulli sin fricción.

Aunque para el caso especial de una sección transversal en expansión y con

flujo ascendente, esta ecuación es aplicable a secciones transversales de

contracción o constantes y flujo horizontal o descendente. Cuando la sección

transversal y la densidad son constantes, u no cambia con la posición, el

termino d(u2/2)/dx es cero, y la ecuación 4.45 se vuelve idéntica a la ecuación

2.2 para un fluido estacionario. Entonces, en el flujo potencial unidireccional a

una velocidad constante, la magnitud de la velocidad no afecta la caída de

presión en el tubo; la cada de presión depende sólo de la velocidad del cambio

de elevación. En consecuencia, en un tubo recto horizontal, no hay caída de

presión en el flujo potencial de velocidad constante estacionario. Integrando la

ecuación 4.45 sobre el sistema mostrado en la figura 4.4 da

pa

ρ+g Za+

ua2

2=

pb

ρ+gZb+

ub2

2

Esta última ecuación es conocida como la ecuación de Bernoulli sin fricción. Es

una forma particular de un balance de energía mecánico, pero debido a las

condiciones especiales que permiten dividir la ecuación 4.44 entre la velocidad

para formar la ecuación 4.45, la ecuación 4.46 también puede derivarse de un

balance de concha de momento en el elemento de la figura 4.4. Sin embargo,

esto no es cierto para las formas más completas de la ecuación de Bernoulli.

Cada término en la ecuación 4.46 es escalar y tiene las dimensiones de la

energía por unidad de masa, lo que representa un efecto de la energía

mecánica basado en una unidad de masa del fluido en movimiento. Los

términos gZ y u2/2 son la energía potencial y cinética, respectivamente, de una

unidad de masa de fluido; y p/ representa el trabajo mecánico realizado sobre

el fluido por las fuerzas externas a la corriente, que lo empujan dentro del tubo

o por el trabajo recuperado del fluido que sale del tubo. La ecuación de

Bernoulli tiene un amplio intervalo de validez que la que se desprende de su

deducción. Por otra parte, aunque en la deducción se ha hecho la suposición

4.45

4.46

de que el tubo de corriente es recto, el principio de la conservación de la

energía permite ampliar la ecuación al flujo potencial en tubos de corriente

curvos. Si el tubo es curvo, la dirección de la velocidad cambia y en la ecuación

de Bernoulli se utiliza una valor escalar de la velocidad, en vez del vector

velocidad. En todas las situaciones reales hay algunas perdidas por fricción en

el fluido y algunas variaciones de velocidad dentro de una sección transversal

del tubo, pero en algunos casos son suficientemente pequeñas para ser

ignoradas. En otras situaciones, al emplear factores de corrección, puede

modificarse la ecuación para su utilización en el flujo de capa limite, donde

existen variaciones de velocidad dentro de una sección transversal y se

producen efectos de fricción. Para aplicar la ecuación de Bernoulli a un

problema especifico, es esencial identificar la línea de corriente o el tubo de

corriente y elegir unos puntos definidos de corriente de salida o entrada. Los

puntos a y b se seleccionan con base en su conveniencia y, por lo general, se

toman en localizaciones donde se dispone de la mayor información acerca de

las presiones, velocidades y alturas. En la mayoría de los problemas de flujo de

fluidos que se presentan en ingeniería, intervienen corrientes que están

influenciadas por superficies sólidas y que por lo tanto contienen capas limite.

Esto ocurre especialmente en el flujo de fluidos a través de tuberías y otros

equipos, en los que es posible que la corriente entera posea flujo de capa

limite. Para aplicar la ecuación de Bernoulli a estos casos prácticos, son

necesarias dos modificaciones. La primera, normalmente de menor

importancia, es una corrección del término de la energía cinética debida a la

variación de la velocidad local con la posición en la capa limite; la segunda, de

mayor importancia, consiste en una corrección de la ecuación debida a la

existencia de fricción del fluido, la cual aparece cada vez que se forma una

capa limite. Además, la ecuación de Bernoulli corregida resulta de mayor

utilidad en la resolución de problemas de flujo de fluidos no compresibles, si se

incluye en la ecuación el trabajo realizado sobre el fluido mediante una bomba.

Ecuación de Bernoulli: corrección debida a energía cinética de la corriente

El término u2/2 de la ecuación 4.45 es la energía cinética por unidad de masa

de fluido cuando todo el se mueve a la misma velocidad u. Cuando la velocidad

varía a través de la sección transversal de la corriente, la energía cinética se

encuentra de la siguiente manera. Considere un elemento del área dS en la

sección transversal. La velocidad de flujo de masa a través del mismo es udS.

Cada unidad de masa de fluido que se mueve a través del área dS, transporta

una cantidad de energía cinética igual a u2/2, y la velocidad de flujo de energía

a través del área dS es por consiguiente

d Ek= ( ρudS ) u2

2= ρ u3dS

2

Donde Ek representa la velocidad de flujo de energía cinética por unidad de

tiempo. La velocidad de flujo total de la energía cinética a través de toda la

sección transversal S, suponiendo que la densidad es constante, es la

siguiente

E k=¿ ρ2∫S

❑

u3dS

La velocidad total de flujo de masa está dada por las ecuaciones 4.12 y 4.10; y

la energía cinética por unidad de masa del fluido en movimiento, la cual

reemplaza a u2/2 en la ecuación de Bernoulli es

Ek

m=

12∫S

❑

u3dS

∫S

❑

udS=

12∫S

❑

u3dS

V S

Es conveniente eliminar la integral de la ecuación 4.49 multiplicando el término

V 2/2 por un factor, para proporcionar el valor correcto de la energía cinética

que se calcula a partir de la ecuación 4.48. Este factor, llamado factor de

corrección de la energía cinética, se representa por y se define por la

ecuación siguiente

αV 2

2=Ek

m=∫S

❑

u3dS

2V S

α=∫S

❑

u3dS

V 3S

Si se conoce , puede utilizarse la velocidad promedio para calcular la energía

cinética empleando V 2/2en lugar de u2/2. Para calcular el valor de a partir de

4.48

4.49

4.50

4.51

la ecuación 4.51, debe conocerse la velocidad local, como una función de la

localización en la sección transversal, de tal manera que puedan evaluarse las

integrales de dicha ecuación. El mismo conocimiento de la distribución de la

velocidad es necesario para calcular el valor de V por medio de la ecuación

4.12. Por lo regular es 2 para el flujo laminar y cerca de 1.05 para el flujo

altamente turbulento.

Corrección de la ecuación de Bernoulli debido a la fricción del fluido

La fricción se manifiesta por la desaparición de energía mecánica. En el flujo

con fricción, la magnitud

pρ+ u2

2+gZ

No es constante a lo largo de una línea de corriente, sino que siempre

disminuye en la dirección del flujo; y de acuerdo con el principio de

conservación de la energía, se genera una cantidad de calor equivalente a la

pérdida de energía mecánica. La fricción de un fluido se define como una

conversión de la energía mecánica en calor que tiene lugar en una corriente en

movimiento. En el caso de fluidos no compresibles, la ecuación de Bernoulli se

corrige por la fricción, añadiendo un término al lado derecho de la ecuación

4.46. Entonces, al introducir también los factores de corrección de la energía

cinética a y b, la ecuación se convierte en

pa

ρ+g Za+

αaV a2

2=

pb

ρ+g Zb+

α bV b2

2+hf

Las unidades de hf y las de los términos restantes en la ecuación 4.53 son las

de energía por unidad de masa. El término hf representa toda la fricción que se

produce por unidad de masa del fluido (y por consiguiente, toda la conversión

de la energía mecánica en calor) que tiene lugar en el fluido entre los puntos a

y b. Ésta difiere de los términos restantes en la ecuación en dos aspectos:

1. Los términos mecánicos representan las condiciones en puntos

específicos, es decir, los puntos de entrada y salida a y b, mientras que

hf representa la pérdida de la energía mecánica para todos los puntos

comprendidos entre las posiciones a y b.

2. La fricción no es interconvertible con las magnitudes de la energía

mecánica.

4.52

4.53

El signo de hf, como se define en la ecuación 4.53 siempre es positivo. Por

supuesto, en el flujo potencial, es igual a cero. La fricción se produce en las

capas limite, debido a que el trabajo realizado por las fuerzas de corte para

mantener los gradientes de velocidad, tanto e el flujo laminar como en el

turbulento, se convierte finalmente en calor por la acción viscosa. La fricción

que se genera en las capas limite no separadas se llama fricción de superficie.

Cuando las capas limite se separan y forman estelas, se produce una

disipación adicional de energía en la estela, y a la fricción de este tipo se le

llama fricción de forma, ya que es una función de la posición y de la forma del

solido. La fricción total hf en al ecuación 4.53 incluye ambos tipos de pérdidas

por fricción.

Trabajo de bomba en la ecuación de Bernoulli

Se utiliza una bomba en un sistema de flujo para aumentar la energía mecánica

de un fluido en movimiento; dicho aumento se emplea para mantener el flujo,

proveer energía cinética, para compensar las pérdidas de fricción y incrementar

la energía potencial. Suponga que se instala una bomba entre los puntos a y b

de acuerdo con la ecuación 4.53. Sea Wp el trabajo realizado por la bomba por

unidad de masa de fluido. Puesto que la ecuación de Bernoulli es sólo un

balance de la energía mecánica, se debe tomar en cuenta la fricción que tiene

lugar en la bomba. En una bomba real no sólo existen todas las fuentes de

fricción activa del fluido, sino que también hay fricción mecánica en los

cojinetes y sellos o prensaestopas. La energía mecánica suministrada a la

bomba como trabajo de eje negativo hay que descontarla de esas pérdidas por

fricción para obtener la energía mecánica neta realmente disponible para el

fluido en movimiento. Sea hfl, la fricción total en la bomba por unidad de masa

de fluido. Entonces el trabajo neto suministrado al fluido es W l- hfl. En la

practica, en lugar de hfl se utiliza una eficiencia de bomba, que se representa

por y está definida por la ecuación

W p−hfl≡W p

La energía mecánica distribuida al fluido es, por lo tanto Wp donde <1. La

ecuación 4.53corregida para el trabajo de bomba es

pa

ρ+g Za+

αaV a2

2+W p=

pb

ρ+g Zb+

αbV b2

2+hf

4.54

4.55

La ecuación 4.55 es una expresión final de la ecuación de Bernoulli para el

tratamiento de problemas sobre el flujo de fluidos no compresibles.

CONCLUSIONES

Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos

son el balance de materia o ecuación de continuidad, las ecuaciones del

balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica. Estas

ecuaciones son muy importantes, porque describen la variación de la

velocidad, temperatura y concentración, con respecto al tiempo y la posición en

el sistema; además, mediante esta serie de ecuaciones se pueden resolver la

mayoría de los problemas de flujo de fluidos. A partir de estas ecuaciones se

puede deducir la ecuación de Bernoulli la cual nos permite hacer un balance

energético entre las formas de energía que posee un sistema; como ejemplo de

la aplicación de Bernoulli a casos prácticos tenemos cuando hay paso de

fluidos en tuberías, cuando hay flujo de fluidos hacia, desde y entre tanques,

receptáculos, pozos y unidades de proceso.