Unidad IV: Distribución de Velocidad en Flujo Turbulento Prof. Pedro José Tineo Figueroa.
Unidad III: Ecuaciones de Variación Prof. Pedro José Tineo Figueroa.
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Unidad III: Ecuaciones de VariaciónUnidad III: Ecuaciones de Variación
Prof. Pedro José Tineo Figueroa Prof. Pedro José Tineo Figueroa
Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los
conceptos englobados en las Ecuaciones de Variación de masa y
cantidad de movimiento de los fluidos.
Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los
conceptos englobados en las Ecuaciones de Variación de masa y
cantidad de movimiento de los fluidos.
Interpretar la ecuación de continuidad y movimiento.Interpretar la ecuación de continuidad y movimiento.
Identificar las distintas ecuaciones diferenciales de continuidad y movimiento en coordenadas rectangulares y cilíndricas
Identificar las distintas ecuaciones diferenciales de continuidad y movimiento en coordenadas rectangulares y cilíndricasAplicar la ecuación de continuidad y movimiento en la obtención del perfil de velocidades, velocidad media y velocidad máxima de flujo
Aplicar la ecuación de continuidad y movimiento en la obtención del perfil de velocidades, velocidad media y velocidad máxima de flujo
Comparar el principio de la ecuación de continuidad y movimiento con el principio de balance de cantidad de movimiento
Comparar el principio de la ecuación de continuidad y movimiento con el principio de balance de cantidad de movimiento
Evaluar los métodos para el cálculo del perfil de velocidades.Evaluar los métodos para el cálculo del perfil de velocidades.
1. Ecuación de Continuidad1. Ecuación de Continuidad
2. Ecuación de Movimiento2. Ecuación de Movimiento
3. Ecuación de Navier-Stokes3. Ecuación de Navier-Stokes
4. Aplicaciones a modelos matemáticos sencillos.4. Aplicaciones a modelos matemáticos sencillos.
Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE
TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill
2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE
TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001
Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE
TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill
2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE
TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001
Ecuaciones de Variación:Ecuaciones de Variación:
b) Ecuaciones de conservación de la cantidad de Movimiento
1. Fluidos isotérmicos
2. Sistemas Rectangulares
3. Sistemas Curvilíneos:Cilíndricos y Esféricos
a) Ecuación de conservación de la Materia
Ecuación de Continuidad: Se deduce aplicando un Balance de Materia a un elemento estacionario de volumen xyz, a través del que está circulando el fluido.
Ecuación de Continuidad: Se deduce aplicando un Balance de Materia a un elemento estacionario de volumen xyz, a través del que está circulando el fluido.
(vx)|x(vx)|x+x
x
z
y
(x, y, z)
(x+x, y+y, z+z)
x
y
z
Balance de Materiales:Balance de Materiales:Velocidadde Acumulación VelocidaddeEntrada VelocidaddeSalida
deMateria deMateria deMateria
Escribiendo los términos considerando flujo en todas las direcciones se obtiene:
Escribiendo los términos considerando flujo en todas las direcciones se obtiene:
x x y yx x x y y y
z zz z z
dx y z y z v v x z v v
dt
x y v v
Dividiendo por xyz y tomando el límite cuando tienden a cero se obtiene la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas
Dividiendo por xyz y tomando el límite cuando tienden a cero se obtiene la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas
x y zv v vt x y z
Una simplificación importante se obtiene al asumir que el fluido es incompresible (=Ctte), en cuyo caso /t = 0:
Una simplificación importante se obtiene al asumir que el fluido es incompresible (=Ctte), en cuyo caso /t = 0:
Haciendo los cambios de variables apropiados se pueden obtener ecuaciones análogas para coordenadas cilíndricas y esféricas:
Haciendo los cambios de variables apropiados se pueden obtener ecuaciones análogas para coordenadas cilíndricas y esféricas:
x y z
x y x
v v v 0x y z
En forma vectorial :
ˆ ˆ ˆ0 con v v v
v v i j k
r z
1 1rv v v 0 Cilíndricas
t r r r z
2r2
1 1 1r v v sen v 0 Esféricas
t r r r sen r sen
Ecuación de Movimiento: Para un elemento de volumen similar al anterior se puede aplicar un balance de cantidad de movimiento
Ecuación de Movimiento: Para un elemento de volumen similar al anterior se puede aplicar un balance de cantidad de movimiento
xx|x
x
z
y
(x, y, z)
xx|x+x
xy|y
yx|y+y
zx|z+z
zx|z+z
En esta figura solo se señala la componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies
En esta figura solo se señala la componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies
Dado que el esfuerzo cortante tiene tres componentes para el flujo en cada dirección se escribe un balance de cantidad de movimiento para cada componente en estado no estacionario:
Dado que el esfuerzo cortante tiene tres componentes para el flujo en cada dirección se escribe un balance de cantidad de movimiento para cada componente en estado no estacionario:
Velocidadde Velocidadde Velocidadde Sumadelas
Acumulación Entradade Salidade Fuerzasque
deCantidad Cantidadde Cantidadde ActúanSobre
deMovimiento Movimiento Movimiento el
Sistema
Para la componente x (las otras se obtienen por analogía) se tiene:
Entrada y salida de Cantidad de Movimiento
Para la componente x (las otras se obtienen por analogía) se tiene:
Entrada y salida de Cantidad de Movimiento
x x x x y x y xx x x y y y
z x z xz z z
C y z v vonvección : v v x z v v v v
x y v v v v
xx xx yx yxx x x y y y
zx zxz z z
y z xEfecto Viscoso : z
x y
FuerzasFuerzas
x
x x x
Gravedad :
Pr esión :
g x y z
y z p p
Velocidad de AcumulaciónVelocidad de Acumulación
xx y z vt
Sustituyendo en el balance y dividiendo por xyz cuando éstos tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento:
Sustituyendo en el balance y dividiendo por xyz cuando éstos tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento:
x x x y x z x xx yx zx x
pv v v v v v v g
t x y z x y z x
Por analogía se obtienen las componentes y y z respectivamente:
Por analogía se obtienen las componentes y y z respectivamente:
y x y y y z y xy yy zy y
pv v v v v v v g
t x y z x y z y
z x z y z z z xz yz zz z
pv v v v v v v g
t x y z x y z z
Para determinar el perfil de velocidades a partir de estas ecuaciones es necesario sustituir las componentes del esfuerzo cortante, que en el caso de fluidos Newtonianos son:
Para determinar el perfil de velocidades a partir de estas ecuaciones es necesario sustituir las componentes del esfuerzo cortante, que en el caso de fluidos Newtonianos son:
xxx
yyy
zzz
yxxy yx
y zyz zy
z xzx xz
v 22
x 3v 2
2y 3
v 22
z 3vv
y x
v v
z y
v v
x z
v
v
v
El resultado de sustituir las expresiones newtonianas del esfuerzo, además de considerar que las propiedades permanecen constantes, se conoce como las Ecuaciones de Navier-Stokes:
El resultado de sustituir las expresiones newtonianas del esfuerzo, además de considerar que las propiedades permanecen constantes, se conoce como las Ecuaciones de Navier-Stokes:
2 2 2x x x x x x x
x y z x2 2 2
2 2 2y y y y y y y
x y z y2 2 2
z z zx y z
v v v v v v vpComp x : v v v g
t x y z x x y z
v v v v v v vpComp y : v v v g
t x y z y x y z
v v vComp z : v v v
t x y
2 2 2z z z z
z2 2 2
v v v vpg
z z x y z
Al igual que la ecuación de continuidad, existen ecuaciones análogas para las coordenadas curvilíneas, cuya deducción se puede hacer a partir de la ecuación en coordenadas cartesianas haciendo los cambios de variables necesarios, éstas se resumen a continuación:
Al igual que la ecuación de continuidad, existen ecuaciones análogas para las coordenadas curvilíneas, cuya deducción se puede hacer a partir de la ecuación en coordenadas cartesianas haciendo los cambios de variables necesarios, éstas se resumen a continuación:
2r r r r
r z
r rzrr r
rr z
2r2
v vv v v v pComp r : v v
t r r r z r
1 1r g
r r r r z
v v v v v v v 1 pComp : v v
t
Coordenadas Cilíndricas :
En función d
r r r z r
1r
r r
e :
z
zz z z z zzx y z rz z
1g
r z
v v v v p 1 1Comp z : v v v r g
t x y z z r r r z
2
2r r r r
r z
2 2r r
r r2 2 2
r
v vv v v v pComp r : v
Coordenadas Cilíndricas :
En función del gradiente de Velocidad con y cons tantes
vt r r r z r
vv v1 1 2rv g
r r r r r z
v vCo
:
mp : vt
2
rz
2 2r
2 2 2
2 2z z z z z z z
x y z z2 2 2
v v v v v 1 pv
r r r z r
v vv1 1 2rv g
r r r r r z
v v v v v v vp 1 1Comp z : v v v r g
t x y z z r r r r z
2 22r r r r
r
r2rr r r2
r
v v
Co
v vv v v v pComp r : v
t r r rsen r r
1 1 1r sen g
r r rsen rsen r
vv v v v vComp : v
t r r
ordenadas Esféricas
rse
:
En función d :
n
e
2
r
2 rr2
rr
2r2
v cotv v 1 p
r r r
1 1 1 cotr sen g
r r rsen rsen r r
v v v v v v v v vv 1 pComp : v cot
t r r rsen r r rsen
1 1 1r
r r r r
r 2cot
gsen r r
2 22r r r r
r
2r r r2 2 2 2
v vv vv v v v pComp r : v
t
Coordenadas Cilíndric
r r rse
as :
En función del gradiente de Veloci
n r r
vv2 2 2 2v v v cot g
r r r r sen
Com
dad con y cons tantes :
p :
2
rr
2 r2 2 2 2 2
rr
2
v v cotv v v v v v v 1 pv
t r r rsen r r r
vvv2 2cosv g
r r sen r sen
v v v v v v v v vv 1 pComp : v cot
t r r rsen r r rsen
v
r2 2 2 2 2 2
v vv2 2cosg
r sen r sen r sen
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1r sen
r r r r se
En estas ecua
n r sen
ciones :
rrr
r
zrr
rr r
zz z
v 22
r 3
v v 2
Componentes del Tensor Esfuerzo
enCoor
2r 3
v 22
z 3
v v1r
r
denadas Cilínd
r r
v v
ri
1
r
as :
z
c
v
v
v
z rzr rz
zr
v v
r z
v v1 1rv
r r r z
v
rrr
r
r
rr r
v 22
r
Componentes del Tensor Esfue
3
v v 22
r 3
v v cotv1 22
rzo
en Coordenadas Esféri
r
c
sen r r 3
v v1r
r
s
r
a :
r
v
v
v
rr r
2r2
v vsen 1
r sen rsen
vv1r
rsen r r
v1 1 1r v v sen
r r rsen rsen
v
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Componentes del Tensor Esfue
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v
v
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vv1r
rsen r r
v1 1 1r v v sen
r r rsen rsen
v
En el uso de estas Ecuaciones para la resolución de problemas de flujo Isotérmico las siguientes recomendaciones deben tomarse en cuenta:
En el uso de estas Ecuaciones para la resolución de problemas de flujo Isotérmico las siguientes recomendaciones deben tomarse en cuenta:
Verificar que las propiedades sean o no constantes.
Verificar que las propiedades sean o no constantes.Definir las condiciones límites.Definir las condiciones límites.
Analizar intuitivamente el tipo de flujo, distribución de la presión, dirección de flujo, componentes del tensor esfuerzo, para reconocer los términos que son cero (ó muy próximos) y descartarlos.
Analizar intuitivamente el tipo de flujo, distribución de la presión, dirección de flujo, componentes del tensor esfuerzo, para reconocer los términos que son cero (ó muy próximos) y descartarlos.
Finalmente se resuelve la ecuación o ecuaciones diferencial resultantes de este proceso.
Finalmente se resuelve la ecuación o ecuaciones diferencial resultantes de este proceso.
“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas
cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”
“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas
cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”
AnónimoAnónimo