Unidad II Ecuaciones Diferenciales Ok

8/19/2019 Unidad II Ecuaciones Diferenciales Ok

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UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

A menudo nos interesa resolver una ecuación dierencial de 1! orden"

# $ %dy

f x y

dx

= #&'1%

Su(eta a la condición )#*+% , )+$ donde *+ es un n-mero en un intervalo I ) )+ es unn-mero real ar.itrario' El /ro.lema"

Su(eta a" # $ %dy

f x ydx

= #&'&%

Resolver" )#*+% , )+ #&'0%se llama problema de valor inicial' eom2tricamente /odemos decir 3ue estamos .uscando al menos una solución de la ecuación dierencial deinida en un intervalo I$ tal3ue la 4r5ica de esta solución /ase /or el /unto dado #*+$ )+%'Al considerar el /ro.lema de valor inicial #&'0% sur4en las si4uientes /re4untas"6E*iste una solución del /ro.lema7

Si e*iste$ 6es -nica7

1'1 FAMILIAS DE CUR8AS

1'& 9EOREMA DE E:IS9ENCIA ; UNICIDAD

Al considerar el /ro.lema de valor inicial #&'0% sur4en las si4uientes /re4untas"6E*iste una solución del /ro.lema7Si e*iste$ 6es -nica7El si4uiente 9eorema de.ido a Picard da res/uesta a estas interro4antes"9eorema de E*istencia ) Unicidad

Sea R una re4ión rectan4ular en el /lano *) deinida en a x b≤ ≤ $ c y d ≤ ≤ 3ue contieneal /unto ( )+ +$ x y en su interior' Si # $ % f x y )

f

y

δ

δ son continuas en R$ entonces e*iste un

intervalo I con centro en *+ ) una -nica unción )#*% deinida en I 3ue satisacen el /ro.lema de valor inicial"

# $ %dy

f x ydx

=

)#*+% , )+FIURA


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1'0 Maremos con el estudio del m2todo /ara resolver ecuaciones dierenciales de 1! ordencon la ecuación dierencial m5s sim/le'

&'0'1 SEPARACI=N DE 8ARIA?LES

Deinición

Si el lado derec@o de la ecuación dierencial"

# $ %dy

f x ydx

= #1%

Se /uede e*/resar como una unción 4#*% 3ue sólo de/ende de *$ /or una unción /#)% 3uesólo de/ende de )$ entonces la ecuación dierencial es de varia.les se/ara.les'

En otras /ala.ras$ una ecuación de 1! orden es se/ara.le si se /uede escri.ir de la orma"# % # %

dy g x p y

dx= #&%

M


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# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = #&%

se dice 3ue es @omo42nea si M ) N son unciones @omo42neas del mismo 4rado'Es decir$

# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = es @omo42nea si"

# $ % # $ %n M x y M x yλ λ λ = ) tam.i2n # $ % # $ %n N x y N x yλ λ λ = #0%

M


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&'0'0 ECUACI=N DIFERENCIAL E:AC9A DE PRIMER ORDEN

DEFINICI=N

Una e*/resión dierencial # $ % # $ % M x y dx N x y dy+ es una dierencial e*acta en unare4ión R del /lano *)$ si corres/onde a la dierencial de al4una unción F#*$)%' Unaecuación dierencial de 1! orden$ de la orma"

# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ =

es una ecuación e*acta$ si la e*/resión del /rimer miem.ro es una dierencial e*acta'

CRI9ERIO PARA UNA DIFERENCIAL E:AC9A

Sean M#*$)% ) N#*$)% continuas ) con derivadas /arciales de 1! orden continuas en unare4ión rectan4ular R deinida /or $a x b c y d < < < < ' Entonces una condiciónnecesaria ) suiciente /ara 3ue"

# $ % # $ % M x y dx N x y dy+

sea una dierencial e*acta es 3ue"

M N

y x

∂ ∂=

∂ ∂Para toda #*$)% en una Re4ión'

9eorema

Sean las unciones M$ N$ M

y

∂∂

) N

x

∂∂

continuas en la re4ión rectan4ular

" $ R a x b c y d < < < < ' Entonces"

# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = #1%

es una ecuación dierencial e*acta si ) sólo si"

M N

y x∂ ∂=∂ ∂

#&%

en cada /unto de R' Es decir$ e*iste una unción F 3ue satisace las ecuaciones"

# $ % F

M x y x

∂=

∂$ # $ %

F N x y

y

∂=

∂ #0%


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Si ) sólo si M ) N satisacen la ecuación #&%'Demostración"Su/on4amos 3ue M#*$)% ) N#*$)% tienen /rimeras derivadsa /arciales continuas /aratodo #*$)%' Si la e*/resión # $ % # $ % M x y dx N x y dy+ es e*acta$ e*iste una unción F

tal 3ue /ara todo * de R$

# $ % # $ % F F

M x y dx N x y dy dx dy x y

∂ ∂+ = +

∂ ∂

En consecuencia$

# $ % F

M x y x

∂=

∂$ # $ %

F N x y

y

∂=

∂

)& M F

y y x

∂ ∂=

∂ ∂ ∂$

& N F

x x y

∂ ∂=

∂ ∂ ∂& & F F

y x x y

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

La i4ualdad de las derivadas /arciales mi*tas es una consecuencia de la continuidad delas /rimeras derivadas /arciales de # $ % M x y ) # $ % N x y '

M


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Esto da$ # % # $ % # $ % g y N x y M x y dx y

∂= −

∂ ∫ #%Por -ltimo$ inte4ramos la unción anterior con res/ecto a ) ) sustituimos el resultadoen la ecuación #&%'La solución im/lcita de la ecuación es"

# $ % F x y c= #%

E(em/lo"

&'0' FAC9ORES DE IN9ERACI=N GUE DEPENDEN DE : O DE ;

Si la ecuación

# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ = #1%

no es e*acta$ es /osi.le 3ue la ecuación la /odamos @acer e*acta al multi/licarla /or unactor inte4rante a/ro/iado µ $ de modo 3ue la ecuación resultante$

# $ % # $ % + M x y dx N x y dy µ µ + = #&%

ser5 e*acta$ esto es"

( ) ( ) M N

y x

µ µ ∂ ∂

=

∂ ∂

#0%

E*isten varios m2todos entre ellos el m2todo de se/aración de varia.les'Consideraremos los si4uientes dos casos 3ue involucran una varia.le'

Caso 1 µ es una unción sólo de *' En este caso /odemos escri.ir como"

M N N

y x x

µ µ µ

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ o

1d M N dx

N y x

µ

µ

∂ ∂= − ÷∂ ∂

#%

Si el coeiciente de d* a la derec@a de #% es una unción sólo de * Hdi4amos #*%$entonces tenemos"

# %d

f x dx µ

µ = ) as

ln # % f x dx µ = ∫ ó # % f x dxe µ ∫ =Omitiendo la constante de inte4ración' Podemos enunciar este resultado como si4ue"Teorema


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Si1

# % M N

f x N y x

∂ ∂− = ÷∂ ∂

$ entonces

# %# %

f x dx

x e µ ∫ = es un actor inte4rante'

Caso 2 µ es una unción sólo de )' en este caso$ #0% /uede ser escrita como"

M N M

y y x

µ µ µ

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ ó

1d M N dy

M y x

µ

µ

∂ ∂= − − ÷∂ ∂

) /oder /ro.ar el

Teorema

Si1

# % M N

g y M y x

∂ ∂− = ÷∂ ∂

$ entonces

# %# %

g y dy y e µ

−∫ = es un actor inte4rante'

Un es3uema /ara resumir el /rocedimiento es el si4uiente' Considere"

# $ % # $ % + M x y dx N x y dy+ =

Calcule #1% M

y

∂=

∂$ #&%

N

x

∂=

∂

Si #1% , #&%$ la ecuación es e*acta ) /uede resolverse 5cilmente'Si #1% #&%≠ $ calcule #1% menos #&%$ dividida /or N$ llame el resultado '

Si es una unción sólo de *$ entonces # % f x dxe∫ es un actor inte4rante'Si no$ calcule #&% menos #1%$ dividida entre M$ llame el resultado 4'

Si 4 es una unción sólo de )$ entonces # % g y dye−∫ es un actor inte4rante'

E(em/lo"

&'0' ECUACI=N DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN

DEFINICI=N


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Una ecuación 3ue /uede escri.irse en la orma"

# % # %dy

P x y Q xdx

+ = #1%

donde P#*% ) G#*% son unciones dadas de * se llama una ecuación dierencial de 1!orden lineal' Es 5cil veriicar 3ue la ecuación tiene como actor inte4rante a Pdxe∫ $ /uesto 3ue al multi/licar am.os lados de #1% /or este actor se o.tiene"

Pdx Pdx Pdxdye Pye Qe

dx

∫ ∫ ∫ + =

lo cual es e3uivalente a"

Pdx Pdxd ye Qe

dx

∫ ∫ = ÷

Esto es cierto si dierenciamos el /roducto$ del lado i>3uierdo de #0% tenemos"

Pdx Pdx Pdxd d dy ye y e e

dx dx dx

∫ ∫ ∫ = + = ÷ ÷

Pdx Pdx dy

y e P edx

∫ ∫ = + = ÷

Pdx Pdxdy

e Pyedx

∫ ∫ = +

esto es$ el lado i>3uierdo de #&%' De #0% o.tenemos /or inte4ración la solución"

Pdx Pdx ye Qe dx c∫ ∫ = +∫

O.servación" Se /uede usar un actor inte4rante Pdxe µ ∫ = $ multi/licar la ecuación #1%

/or este actor ) lue4o escri.ir el lado i>3uierdo como la derivada del /roducto de µ

con ) como en #0%'

E(em/los"

&' ECUACI=N DIFERENCIAL DE 9IPO ?ERNOULLI

Definición Una ecuación de la orma"


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# % # % ndy

P x y Q x ydx

+ =

se llama ecuación de ?ernoulli'

Se o.serva 3ue si n,+ la ec' #1% se reduce a una ecuación lineal' Si n,1 la ec' #1% sereduce a una ecuación de varia.les se/ara.les ) se /uede resolver 5cilmenteJ sinem.ar4o$ en el caso en 3ue +n ≠ o 1n ≠ $ este caso de.e mane(arse de maneradierente'

Teorema Se su/one +n ≠ $ 1n ≠ ' Entonces la transormación 1 nv y −= reduce laecuación de ?ernoulli'

# % # % ndy

P x y Q x ydx

+ =

a una ecuación lineal en v'

Demostración

Primero se multi/lica la ecuación #1% /or n y− $ con esto se /uede e*/resar"

1# % # %n ndy

y P x y Q xdx

− −+ =

Si se @ace 1 nv y −= $ entonces"

( )( )

111

n

n

dv dy dy dvn ydx dx dx n y dx

−−= − ⇒ = −

) la ec' #&% se transorma en"

( )

1# % # %

1

dv P x v Q x

n dx+ =

−

o de manera e3uivalente"

( ) ( )1 # % 1 # %dv n P x v n Q xdx

+ − = −

Al introducir las sustituciones"

1

1

# % #1 % # %

# % #1 % # %

P x n P x

Q x n Q x

= −

= −


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se /uede escri.ir"

1 1# % # %dv

P x v Q xdx

+ =

3ue es lineal en v'

E(em/los"

&' ECUACI=N 9IPO RICA99I

La ecuación dierencial no lineal


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% # % # %dy

P x Q x y R x ydx

= + +

se llama ecuación de Ricatti' Donde los coeicientes P#*%$ G#*% ) R#*% son unciones

3ue de/enden de *'Las ecuaciones de Ricatti orman una clase de ecuaciones 3ue /ueden reducirse aecuaciones de ?ernoulli'Para resolver una ecuación de Ricatti$ /rimero de.e conocerse una solución /articular de la ecuación #1%$ la cual llamaremos )$ entonces las sustituciones"

1 y y u= + )1dydy du

dx dx dx= +

se a/lican a la ecuación #1%$ o.teni2ndose"

( ) ( ) &1

1 1# % # % # %dy du P x Q x y u R x y udx dx

+ = + + + +

& &11 1 1# % # % # % # % & # % # %

dy du P x Q x y Q x u R x y R x y u R x u

dx dx+ = + + + + +

Como )1 es solución de la ecuación #1% entonces #0% se reduce a"

&

1# % & # % # %du

Q x u R x y u R x udx

= + +

( ) &1# % & # % # %du

Q x R x y u R x u

dx

− + =

La ecuación #% es una ecuación de ?ernoulli con n,&'Al resolver la ecuación #%$ dividimos #% entre u&'

( )& 11# % & # % # %du

u Q x R x y u R xdx

− −− + =

si @acemos 1v u−=entonces

& &dv du du dv

u udx dx dx dx

− −

= − ⇒ = −

sustitu)endo en la ecuación #% tenemos"

( )1# % & # % # %dv

Q x R x y v R xdx

− − + =

( )1# % & # % # %dv

Q x R x y v R xdx

+ + = −


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O.teni2ndose la ecuación #K% 3ue es una ecuación lineal en v' La cual se /uede resolver 5cilmente'

E(em/los"

&'K APLICACIONES&'K'1 9RA;EC9ORIAS OR9OONALES&'K'& SIS9EMAS MECNICOS&'K'0 SIS9EMAS EL

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