UNIDAD - eCasals

2Ampliaciónde polígonosy escalas

UNIDAD

CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

1 Triángulos1.1 Elementos; triángulos relacionados1.2 Relaciones entre los elementos de un triángulo1.3 Segmento de Euler1.4 Circunferencia de los nueve puntos

2 Polígonos regulares2.1 Pentágono regular y número fi2.2 Decágono regular y número fi

3 Proporcionalidad y semejanza3.1 Tipos de escalas. Escalas normalizadas

APLICACIONES PRÁCTICAS

1 Trazado de triángulos

2 Trazado de polígonos regulares

3 Construcción de escalas

CUESTIONES Y EJERCICIOS

En esta unidad volvemos sobre algunos de los temas ya estudiados enDibujo técnico 1, entre otros a los polígonos regulares, al triángulo, pen-tágono…, y a la proporcionalidad, con su aplicación en el trazado deescalas. A partir de lo ya conocido, profundizaremos y estableceremosnuevas relaciones.

1 TRIÁNGULOS

Un triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dosa dos; los puntos de intersección son los vértices del triángulo y cada seg-mento, comprendido entre dos vértices, es uno de los lados. En cualquiertriángulo se verifican las siguientes propiedades:

• Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos ymayor que su diferencia.

• Los tres ángulos interiores suman 180º. A mayor lado se oponesiempre mayor ángulo y viceversa.

• Las rectas paralelas a uno cualquiera de los lados de un triángulodividen a los otros dos en partes proporcionales.

1.1 Elementos y triángulos relacionados

Recordemos las rectas notables que podemos trazar en cualquier triángu-lo y sus puntos de intersección:

• Altura. La perpendicular trazada desde cada uno de los vértices allado opuesto. Las tres alturas se cortan en el ortocentro, Oc.

• Mediatriz. Cada una de las perpendiculares trazadas a los lados deltriángulo en el punto medio de éstos; su intersección es el circun-centro, Cc, del triángulo.

• Mediana. Es el segmento trazado entre cada vértice y el puntomedio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cor-tan en su baricentro, Bc.

• Bisectriz. Es la recta que divide a cada uno de los ángulos interio-res del triángulo en dos partes iguales; se cortan en el incentro, Ic.

En relación a un triángulo cualquiera de vértices ABC, podemos establecerlos siguientes triángulos, con las características y relaciones que comenta-mos a continuación.

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UNIDAD 2 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Ampliación de polígonos y escalas

Casa tradicional en Shirakawago, Japón.

Theo van Doesburg. Contra-composi-ción XIII. 1925. Óleo sobre lienzo.

• Triángulo órtico

Es el que tiene los vértices en los pies de las alturas del triángulo ABC (Fig. 1);su perímetro es mínimo en relación al resto de triángulos inscritos en el trián-gulo ABC.

El ortocentro Oc del triángulo ABC es, al mismo tiempo, incentro del trián-gulo órtico HaHbHc, por lo que las alturas del primer triángulo son tam-bién bisectrices de su triángulo órtico.

• Triángulo complementario

Triángulo complementario de un triángulo ABC (Fig.2), es el que tiene losvértices en los puntos medios de sus lados. Los lados de un triángulo com-plementario son paralelos y su longitud es la mitad que la de los corres-pondientes del triángulo que lo contiene.

El circuncentro Cc del triángulo ABC es ortocentro de su complementarioMaMbMc, por lo que las mediatrices del primero son alturas del segundo.

• Triángulo podar

Triángulo podar de un triángulo dado ABC (Fig. 3) es el triángulo PaPbPc,cuyos vértices son los pies de las perpendiculares a los lados trazadasdesde un punto P dado.

UNIDADCONOCIMIENTOS TEÓRICOSAmpliación de polígonos y escalas CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD

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Fig. 1

2

Fig. 2

Fig. 3

1.2 Relaciones entre los elementos de un triángulo

En el triángulo ABC de la figura 4, hemos trazado la circunferencia inscritaen el mismo, con centro en el punto Ic de intersección entre las bisectricesde sus ángulos interiores, y las exinscritas, de centros en las interseccionesIa, Ib e Ic entre las bisectrices de los ángulos exteriores. Señalando los pun-

tos de tangencia entre las cuatro circunferencias y los lados del triángulo osus prolongaciones, según corresponda, podemos establecer las siguientesrelaciones:

• Siendo a, b y c los lados del triángulo ABC, y Q, R, S, X, Y y Z lospuntos de tangencia de las circunferencia exinscritas con las prolon-gaciones de los lados, podemos establecer que:

YZ = a + b QR = a + c y SX = b + c


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Fig. 4

• Los segmentos tangentes a un circunferencia trazados desde unpunto son iguales, por lo que siendo Ta, Tb y Tc los puntos de tan-gencia con las circunferencias exinscritas y M, N y P con la circun-ferencia inscrita, podemos establecer que:

ZTc = STa = YM = XN = bYTc = QTb = ZM = RP = aRTb = XTa = QP = SN = c

De las relaciones anteriores se desprende que, siendo p el semipe-rímetro del triángulo ABC, también se cumple:

QC = RA = YB = ZA = SC = XB = p (perímetro /2)

y TbP = c – a; TcM = b – a; TaN = c – b, de donde resultará que:

BM = BN = ATc = AQ = CR = CTa = p – bAM = AP = BS = CTb = CX = BTc = p – aCP = CN = ATb = BZ = AY = BTa = p – c

• Los centros Ia, Ib e Ic de las circunferencias exinscritas se hallan sobrelas prolongaciones de las bisectrices de los ángulos interiores deltriángulo ABC. Estas bisectrices son también perpendiculares a loslados del triángulo cuyos vértices son los puntos Ia, Ib e Ic, por loque son también alturas del mismo; de este modo el triángulo ABCes órtico del que tienes sus vértices en los puntos Ia, Ib e Ic.

1.3 Segmento de Euler

Si en un triángulo cualquiera, el ABC de la figura 5, por ejemplo, determi-namos la posición del ortocentro Oc, del circuncentro Cc y del baricentroBc, los tres puntos están alineados. Al segmento que tiene por extremosOc y Cc se le denomina segmento de Euler. El baricentro divide a este seg-mento en dos partes de longitudes 1/3 y 2/3 del mismo.

Ampliación de polígonos y escalas CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD

33

2

Fig. 5

1.4 Circunferencia de los nueve puntos

La circunferencia de los nueve puntos, o circunferencia de Feuerbach,tiene su centro en el punto medio del segmento de Euler, siendo su radiola mitad del de la circunferencia circunscrita al mismo triángulo; pasa porlos nueve puntos siguientes:

• Puntos medios de los lados Ma, Mb y Mc del triángulo ABC de lafigura 5; es decir, por los vértices del triángulo complementario.

• Pies de las alturas Ha, Hb y Hc o vértices del triángulo órtico.• Puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con losvértices: puntos Na, Nb y Nc.

La circunferencia de Feuerbach también es tangente a las circunferenciastangentes a los lados del triángulo: la inscrita y las exinscritas (Fig. 6).


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Fig. 6


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22 POLÍGONOS REGULARES

Un polígono es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales, sien-do por tanto equilátero y equiángulo al mismo tiempo. Para cada númerodeterminado de lados existe un único polígono regular. Todos los polígo-nos regulares son convexos.

En la unidad 4 de Dibujo técnico 1, realizamos la construcción de losdiferentes polígonos regulares a partir del lado de cada uno de ellos; entodos los casos efectuamos, además de la construcción particular corres-pondiente al preceptivo número de lados, dos construcciones generalesaplicables a cualquier polígono regular, independientemente de su núme-ro de lados.

Conocidas estas construcciones de los polígonos regulares, al igual que lasefectuadas a partir del radio de la circunferencia circunscrita, profundiza-remos aquí en las relaciones áureas observadas en el caso del pentágonoy decágono regular.

2.1 Pentágono regular y número fi

El número fi, ϕ, es la relación existente entre las dos partes deun segmento, siendo la mayor de ellas media proporcional entrela totalidad del segmento y la parte menor. En la construcción yaconocida de la figura 7, el segmento AC es la partición áurea delsegmento AB, cumpliéndose la proporción:

AB / AC = AC / CB = ϕ = 1,618033…

Esta misma relación es la que existe entre la diagonal y el lado deun pentágono regular, posibilitando la construcción del polígonoa partir de su lado (Fig. 8).

Construimos el cuadrado de lado l coincidente con el del pentá-gono y, en relación a él, determinamos el segmento AP del cualAB es la parte áurea. Haciendo centro en M, punto medio delsegmento AB, y con un radio igual a la distancia MT, trazamosel arco que corta a la prolongación de AB en el punto P. El seg-mento AP es la diagonal del pentágono regular de lado AB. Así:

AP = AM + MP = AM + MT = + + l2 = +

Fig. 8

Fig. 7

l2

2 √5l2

l2

l2( )

√

Y, por tanto, AP = (1 +√5) · l/2; valor que, dividido por la longitud l delsegmento AB, nos da como relación entre ambos el número ϕ.

= (1 +√5)/2 = 1,6180339…

A partir de los extremos A y B del segmento inicial, con la longitud de éstey la de la diagonal AP del pentágono, encontramos fácilmente la posiciónde los restantes vértices del polígono, que nos permiten completar el pen-tágono regular de la figura 8.

2.2 Decágono regular y número fi

El triángulo isósceles ABD de la figura 9 tiene ángulos de 36º, 72º y 72º.Dos de las longitudes de sus lados coinciden con la diagonal del pentágo-no y el tercero, con el lado del mismo. En un decágono regular, uniendosu centro con los extremos de uno cualquiera de los lados (Fig.10), obten-dríamos diez triángulos semejantes al triángulo anterior ABD, cuyos ladosserían el radio de la circunferencia y el lado del decágono.

Entre ambos triángulos podemos establecer una relación de proporciona-lidad entre los lados opuestos a ángulos iguales:

= = ϕ = 1,61803…

Es decir, que el lado del decágono regular es la partición áurea del radiode la circunferencia en la que inscribimos dicho decágono. En la figura 11,a partir del radio OA de la circunferencia, hemos determinado su particiónáurea, segmento AR, que coincide con el lado AB del decágono regular.Llevando diez veces sobre la circunferencia la longitud del segmento AB,obtendremos los restantes vértices del decágono inscrito en dicha circun-ferencia.

En un decágono, además de la relación áurea anterior, también existe estarelación entre las longitudes de sus diagonales de órdenes dos y cuatro(Fig. 12).

= = ϕ


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APAB

dl5

rl10

rl10

d4d2

Fig. 9

Fig. 10

Fig. 11 Fig. 12

3 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

Cuando hemos de realizar la representación de un objeto o de una piezaindustrial, de un elemento arquitectónico o de cualquier otro tipo sobre unplano, en pocas ocasiones efectuaremos el dibujo con las dimensiones rea-les del mismo; normalmente las reducimos o ampliamos de forma propor-cional, efectuando lo que denominamos un dibujo a escala.

La escala se define como el factor de proporcionalidad k que nos da larelación existente entre la medida representada en el dibujo y la real.Según este factor de proporcionalidad, la escala puede ser:

• Natural. Cuando los valores representados coinciden con los reales.• Ampliación. Cuando la figura real es más pequeña que la dibujada.• Reducción. Cuando las dimensiones reales son más grandes quelas representadas en el dibujo.

Para elegir el tipo de proporción que vamos a utilizar, deberemos conside-rar y comparar las dimensiones del papel sobre el que efectuaremos eldibujo con las del objeto a representar, teniendo en cuenta la claridad exi-gible al dibujo en función del número de detalles que debamos consignar.

3.1 Tipos de escalas. Escalas normalizadas

Las escalas pueden ser de dos tipos:

• Numéricas. Se expresan en forma de una fracción en la que uno desus términos es la unidad. Todas las escalas del tipo N:1 son escalasde ampliación, mientras que las del tipo 1:N son escalas de reduc-ción; la escala 1:1 es la escala natural.

Cada especialidad de dibujo técnico tiene sus escalas adecuadas,siendo aconsejable ajustar las representaciones a las mismas. En eldibujo de arquitectura, en función del tipo de plano, utilizaremoslas siguientes escalas normalizadas:


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2

Tipo de planos Escalas Un cm del dibujo representa

Detalles

1:11:51:101:201:25

0’01 metros de la realidad0’050’100’200’25

Generales1:501:1001:200

0’50 metros de la realidad1’002’00

Situación 1:5001:1000

5’00 metros de la realidad10’00

Matrioskas. Típicas muñecas rusas.

En ingeniería, están normalizadas por la norma UNE-En ISO 5455 yson de uso común las siguientes:

Escalas

• Gráficas. Consiste en representar sobre el mismo plano del dibujoun segmento, dividido en unidades, de acuerdo con la escala elegi-da; puede considerarse como la representación gráfica de la escalanumérica. Al efectuar el copiado a diversos tamaños de un planoque lleva incorporada una escala gráfica, ésta se amplía o reduce enla misma proporción que el dibujo, por lo que nos seguirá siendo deutilidad en la interpretación del mismo.

Para construir una escala gráfica, por ejemplo, 1:50 en la de la figu-ra 13, representamos un segmento de 10 cm que dividiremos encinco partes iguales, ya que en esta escala una longitud de cincometros se representará por 0’1, es decir, por 10 centímetros. Una delas divisiones la trasladamos a la izquierda del cero y la dividimos en10 partes iguales, cada una de las cuales representa un decímetroreal; a esta parte de la escala gráfica se la denomina contraescala.En la misma figura indicamos una lectura real de 3’5 metros, con-seguida, directamente, al llevar la escala gráfica sobre un plano rea-lizado a escala 1:50.


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Fig. 13

De ampliación2:1, 5:1, 10:1

20:1, 50:1

1:2, 1:5, 1:10

1:20, 1:50

1:100, 1:200

1:500, 1:1000

1:2000

1:5000

1:10000

1:2000

1:5000

1:10000

De reducción

Grandes

Medianas

Pequeñas

Ejemplo de mapa cartográfico.

1 TRAZADO DE TRIÁNGULOS

En general son tres los datos necesarios para construir un triángulo cual-quiera, pudiendo reducirse si añadimos información del tipo de triángulode que se trata: isósceles, equilátero, etc. A la casuística presentada enDibujo técnico 1, añadimos ahora otras construcciones en las que aplica-mos el concepto de arco capaz estudiado en la unidad anterior.

• Construir un triángulo conocidos unlado, su ángulo opuesto y la alturacorrespondiente al lado dado

En relación al segmento BC, lado a, construi-mos el arco capaz correspondiente al ánguloA (Fig. 14). Cualquiera de los puntos del arcocapaz puede corresponder a la posición delvértice A del triángulo; para concretar estaposición disponemos del tercer dato del enun-ciado, la altura ha. Trazamos una paralela alsegmento BC a una distancia igual a la mag-nitud de la altura ha; la intersección de estaparalela con el arco capaz nos define las posi-ciones del vértice A; cualquiera de ellas, uni-das con B y C, nos completa el triángulo soli-citado.

• Construir un triángulo conocidos unlado, su ángulo opuesto y la media-na correspondiente al lado dado

Como en el caso anterior, representamos elarco capaz del ángulo A correspondiente alsegmento BC. Ahora (Fig.15), concretamos laposición del vértice A mediante un arco concentro en el punto medio de BC y cuyo radioes la longitud de la mediana ma; la intersec-ción de este arco con el arco capaz, trazadoinicialmente, nos define las únicas posicionesposibles del vértice A de acuerdo a los datosdel enunciado.

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UNIDADAPLICACIONES PRÁCTICASAmpliación de polígonos y escalas 2

Fig. 15

Fig. 14

• Construir un triángulo conocidos dos ladosy el ángulo opuesto a uno de ellos

Iniciamos la construcción (Fig. 16), como en loscasos anteriores, situando el segmento BC y, enrelación a él, el arco capaz del ángulo A. La posi-ción de este vértice nos queda determinada en laintersección del arco capaz con otro arco, deradio igual a la longitud del lado b, de centro enel extremo C del segmento BC.

Una resolución similar tendría el triángulo en elque, además de uno de los lados y su ánguloopuesto, conociéramos alguno de los otros ángu-los; el valor de este último nos serviría para con-cretar, sobre el arco capaz, la posición del vérticeopuesto al lado dado.

• Construir un triángulo conocidas las longitudes de dos desus medianas, ma y mb, y el ángulo A

Representamos el segmentoMbB correspondiente a la mediana mb

(Fig. 17); a un tercio de su longitud, a partir del extremo Mb, situa-mos el baricentro Bc del triángulo. Sobre el arco capaz del ánguloA respecto a la mediana mb, mediante un arco de centro en el bari-centro Bc y radio 2/3de ma, situamos el vértice A del triángulo.Unimos A con Mb y prolongamos el segmento para determinar laposición del vértice C, de forma queMb sea el punto medio del seg-mento AC. El triángulo ABC responde a las condiciones planteadasen el enunciado.

• Construir un triángulo conocido el ángulo A y las longitu-des, ma y mb, de las medianas correspondientes a los otrosdos ángulos

En relación a la medianamb, de extremosMb y B, construimos el arcocapaz del ángulo A dado (Fig. 18). SiendoM el punto medio deMbB,en relación al segmento MB trazamos también el arco capaz delmismo ángulo. A un tercio de la longitud de mb contado a partir delextremoMb, situamos el baricentro Bc del triángulo; haremos centroen él para, con un arco de radio igual a 1/3 de la longitud de mc,determinar el punto P sobre el segundo de los arcos capaces traza-dos. Unimos B con P y prolongamos hasta interceptar la posición delvértice A sobre el primero de los arcos capaces.

Los triángulosMPB yMbAB son semejantes al tener iguales dos desus ángulos (el de vértice B, por ser común a ambos triángulos y los

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UNIDAD 2 APLICACIONES PRÁCTICAS Ampliación de polígonos y escalas

Fig. 16

Fig. 17

de vértices A y P, al estar situados sobre sendos arcos capa-ces del mismo ángulo). La razón de semejanza entre ambostriángulos es ½, por lo que el segmento PB es la mitad deAB y el punto P es, lógicamente, el punto medio de AB.

Unimos A con Mb y prolongamos el segmento para deter-minar sobre esta prolongación el vértice C a la distancia mc

del punto P, de forma que los segmentos AMb y MbC ten-gan la misma longitud.

• Construir un triángulo conocidos uno de los ángu-los, su lado opuesto y la suma de los otros dos

Respecto al lado conocido, trazamos los arcos capaces corres-pondientes al ángulo dado y a la mitad del mismo (Fig. 19).Haciendo centro en el punto C y con un arco de radio igual ala longitud de la suma dada de los dos lados, trazamos unarco que cortará en el punto P al arco capaz correspondientea A/2. El segmento PC determina sobre el arco capaz delángulo A la posición del tercer vértice del triángulo.

El ángulo de vértice P es la mitad del de vértice A, y al seréste, en el triángulo PAB, igual a la suma de los ángulos devértices P y B, resulta que el triángulo PAB es isósceles; porello los segmentos AP y AB son iguales, siendo el segmen-to PC igual a la suma de los lados b y c del triángulo, talcomo hemos referido en el párrafo anterior.

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UNIDADAPLICACIONES PRÁCTICASAmpliación de polígonos y escalas

Fig. 18

2

Fig. 19

2 TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES

Realizaremos construcciones exactas de polígonos regulares, partiendo dela longitud del lado o de alguna de las magnitudes relacionadas con elmismo a través de la proporción áurea.

• Construir un pentágono regular conocido su lado

El lado del pentágono AB de la figura 20 nos permite determinar el seg-mento AQ, coincidente con la diagonal del pentágono y del cual el ladoes partición áurea.

Por el extremo B del segmento levantamos una perpendicular al mismo;haciendo centro en B y con radio igual a la longitud AB, trazamos un arcoque determina sobre la perpendicular el punto P. Buscamos el puntomedio de BP y hacemos centro en él para trazar la circunferencia quetenga a este segmento por diámetro.

Unimos el extremo A del lado con el centro M de la circunferencia ante-rior y prolongamos el segmento hasta interceptar sobre la circunferenciael punto Q. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABM, es fácildemostrar que la relación entre AQ y AB es el número ϕ.

Conocidos los valores de la diagonal AQ del pentágono y del lado AB delmismo, obtendremos los restantes vértices del polígono por triangulación.

• Construir un pentágono regular conocida su diagonal

Por el extremo P del segmento AP, coincidente con la diagonal del pentá-gono, levantamos una perpendicular al mismo y de igual longitud, PA = PR(Fig. 21). Trazamos la circunferencia de diámetro PR y centro en el puntoM,punto medio de PR. Unimos, a continuación, el extremo A de la diagonalcon el centro M de la circunferencia, segmento que intercepta el punto Esobre la misma. El segmento EA, partición áurea de AP, es la longitud dellado del pentágono.

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Fig. 20

Fig. 21

Como en el caso anterior, con los valores de la diagonal y del lado del pen-tágono, por triangulación, determinamos los restantes vértices B, C y D delpentágono regular.

• Trazado del octógono regular conocido su lado

En relación al lado AB (Fig.22), construimos el cuadrado ABMN y determina-mos sus diagonales; con centro en el punto O1 de intersección de éstas, tra-zamos la circunferencia circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz deAB en el punto O2. Con centro en este último punto y radio igual a la distan-cia hasta B, trazamos una circunferencia que resultará circunscrita al octógo-no que buscamos.

A partir de los extremos A y B del lado inicial, y en ambos sentidos, lleva-mos la longitud AB para obtener sobre la circunferencia los restantes vér-tices C, D, E… del polígono.

• Construir un decágono regular conocido su lado

Tal como hemos visto en los Conocimientos teóricos, la relación entre elradio de la circunferencia circunscrita al decágono y el lado de éste es elnúmero ϕ. Mediante la construcción ya utilizada en el pentágono regular,determinaremos el radio de la circunferencia (Fig. 23).

Por el extremo B del lado AB, levantamos una perpendicular a éste de sumisma longitud, segmento BP. Trazamos la circunferencia de radio MP yunimos su centro M con el extremo A del lado. Prolongamos el segmentoAM hasta cortar la circunferencia en el punto Q.

El segmento AQ es el radio de la circunferencia circunscrita al decágono.Con dos arcos de centros A y B, y radios la longitud AQ, determinamos elcentro O de la circunferencia. Sobre ella llevamos la longitud del lado ABpara obtener los restantes vértices: C, D, E, F...

• Construcción general, por semejanza, de un polígono conoci-do su lado

En la figura 24 hemos construido un pentágono regular, pero el proceso querealizaremos a continuación serviría también para cualquier otro polígonoregular, independientemente de su número de lados. Trazamos, por el pro-cedimiento conocido, un pentágono regular auxiliar A’B’C’D’E’ inscrito enuna circunferencia de radio cualquiera. Sobre el lado A’B’ llevamos la longi-tud B’P correspondiente al lado del pentágono que queremos construir.

Mediante paralelas, trasladamos el segmento B’P sobre las prolongacio-nes de los radios trazados por A’ y B’; para ello trazamos por P una para-lela a OB’ que corta a la prolongación de OA’ en el punto A. Con centro

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Fig. 22

Fig. 23

Fig. 24

en O y radio igual a la distancia hasta el punto A, trazamos la circunfe-rencia que, en su intersección con los radios que pasan por los vérticesdel pentágono auxiliar, nos determinará los vértices B, C, D y E del pen-tágono buscado.

3 CONSTRUCCIÓN DE ESCALAS

Además de la escala gráfica descrita en el apartado 3.1 de los Conocimientosteóricos, existen otros tipos de escalas cuya construcción y aplicaciones vere-mos a continuación:

• Escalas volantes

De cualquier escala numérica podemos construir la escalagráfica correspondiente; en la figura 25 hemos construidola escala gráfica correspondiente a una escala numérica1:2. A partir de dos semirrectas con un origen común, lle-vamos sobre una de ellas una magnitud real, ocho centí-metros en la figura, y sobre la otra, el segmento corres-pondiente a la magnitud anterior transformado con laescala numérica indicada, cuatro centímetros en la figura.

La unión de los extremos libres de ambos segmentos define una direccióna la que trazaremos paralelas por los puntos correspondientes a las unida-des enteras del segmento real. Estas paralelas nos gradúan la escala gráfi-ca de acuerdo con la escala utilizada. Si a partir del punto común de las

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Fig. 25

Fig. 26

dos semirrectas llevamos una unidad en sentido contrario y la dividimos endiez partes, estamos construyendo una contraescala que sirve para defi-nir magnitudes con aproximación hasta los milímetros.

Mediante el rectángulo de la figura 26 podemos construir varias escalasgráficas, cada una de las cuales la podemos trasladar sobre una tira depapel mediante la cual podremos efectuar mediciones o trasladar magni-tudes a la escala correspondiente. Cada de las escalas así construidas cons-tituyen las denominadas escalas volantes.

Las bases del rectángulo las construimos de diez centímetros, dividiendo lainferior en diez partes iguales y la superior en veinte. La altura del rectán-gulo, de cualquier valor, la dividimos también en diez partes iguales tra-zando, por cada una de ellas, paralelas a las bases.

Unimos el vértice inferior izquierdo del rectángulo con las diez primeras divi-siones de la parte superior, empezando a contar por el lado izquierdo; el seg-mento de unión entre el cero inferior y el diez de la parte superior lo marca-mos más fuerte o de diferente color a los otros segmentos. Las divisiones dela base inferior las unimos con las restantes divisiones de la superior.

Sobre cada una de las paralelas, y separadas por el segmento de uniónentre 0 y 10, tendremos construidas dos escalas que, en total y traslada-das sobre otras tantas tiras de papel, representan veinte escalas volantes.Las paralelas izquierdas, separadas por el segmento 0-10, representan, deabajo a arriba, segmentos de 5, 10, 15, 20, 25... mm; las de la derecha, yde arriba abajo, segmentos de 95, 90, 85, 80, 75... mm. Segmentos que,referidos a escala numérica, se corresponden a modo de ejemplo con algu-nas de las indicadas sobre la misma figura.

• Escala transversal o de décimas

Para obtener mayor exactitud al realizar mediciones con una escala volan-te, construimos la escala transversal o de décimas, para apreciar las déci-mas correspondientes a la unidad utilizada.

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Fig. 27

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Fig. 28

Tomamos de la escala volante anterior las divisiones correspondientes a laescala 3:4, que trasladamos, a partir del origen 0 marcado en una rectahorizontal, hacia su izquierda y derecha, obteniendo, respectivamente, lospuntos 10, 20, 30..., y 100, 200..., según vemos en la figura 27. Trazamostambién diez paralelas horizontales, a cualquier distancia entre ellas, quenumeramos de abajo arriba.

Con las mismas unidades de la escala de 3:4 graduamos la paralela supe-rior, hacia la izquierda a partir del punto en que se corta con la vertical tra-zada por el origen 0 de la inferior. Unimos estas divisiones con las de laparalela inferior: la primera superior con el 0 de la inferior, la segundasuperior con la primera inferior y así sucesivamente.

Sobre la misma escala transversal indicamos una serie de segmentos conla medida correspondiente, 29, 146, 173, y una aproximación hasta lasdécimas de la unidad utilizada.

• Triángulo universal de escalas

Mediante este triángulo, podemos representar y obtener unidades deescala de forma rápida y con diversas escalas (Fig. 28).

Dibujamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan diez centímetros,marcando sobre ambos las divisiones correspondientes a los centímetros.Los puntos de división del cateto horizontal los unimos con el extremo Pdel cateto vertical. Por las divisiones del cateto vertical trazamos paralelas

al otro cateto.

Cada uno de los triángulos rectángulos de vértice en P y catetospor cada una de las divisiones horizontales, es semejante al

triángulo cuyos catetos miden diez centímetros. Esta seme-janza hace que los catetos horizontales representen, de

arriba a abajo, las escalas 1:10, 2:10 o 1:5, etc.hasta el cateto de 10 cm que representa la esca-

la natural, 1:1. Por debajo de la escala naturalse forman las escalas de ampliación.

UNIDADCUESTIONES Y EJERCICIOSAmpliación de polígonos y escalas 2

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Triángulos1. Define las rectas y puntos notables de un

triángulo, indicando las propiedadescorrespondientes de cada uno de ellos.

2. ¿A qué circunferencias denominamosexinscritas en relación a un triángulo?¿Cómo determinamos sus centros?

3. El triángulo resultante de unir los puntosmedios de los lados de un triángulo,¿qué relación guarda con el triángulo ini-cial? ¿Y las áreas de ambos triángulos?

4. Dibujar un triángulo del que conocemosuno de sus lados de 70 mm; el ánguloopuesto a este lado es de 60º y unode los lados restantes mide 55 mm.¿Hay más de un triángulo soluciónal problema planteado?

5.Dibujar un triángulo del que conocemoslos siguientes elementos:

a = 50 mm; ha = 70 mm; ma = 85 mm

6.De un triángulo conocemos dos ángulos,de 30 y 75 grados, y la longitud del ladoopuesto al menor de ellos es de 50 mm.Construir todos los triángulos quesatisfacen las anteriores condiciones.

7. El triángulo complementario de untriángulo ABC es un triángulo cuyoslados miden 20, 26 y 35 mm; determinarel triángulo ABC.

8. Determinar el segmento de Euler deltriángulo solución de la actividad anterior.

9.Dibujar un triángulo conociendoel valor de uno de sus ángulos, 45º,y las longitudes de las medianascorrespondientes a los otros dos,44 y 57 mm respectivamente.

10. Trazar un triángulo del que conocemoslas longitudes de sus tres medianas:ma = 55 mm, mb = 47 mm y mc = 61 mm.

11. Dibujar un triángulo conociendo unode sus lados, 30 mm, el ángulo opuestoa este lado, 60º, y la suma de los otrosdos lados: 72 mm.

12. Representar la combinación de triángulosrepresentados en las figuras 29 y 30, deacuerdo a los datos indicados en ellos.

Polígonos regulares13. ¿Qué relaciones áureas podemos esta-

blecer entre los elementos lineales de unpentágono regular?

Fig. 29

Fig. 30

Ampliación de polígonos y escalasUNIDAD CUESTIONES Y EJERCICIOS2

14. ¿Y entre los elementos lineales de undecágono regular?

15. Dados un pentágono y un decágono,ambos regulares e inscritos en la mismacircunferencia, ¿qué relaciones existenentre los respectivos elementos lineales?¿y entre los ángulos más significativos deambos polígonos?

16. Mediante alguno de los procedimientosexactos expuestos, trazar un pentágonoregular cuyo lado mida 34 mm.

17. Dibujar un pentágono regular cuyadiagonal mida 60 mm.

18. A partir de un segmento común de

28 mm, construir los polígonos regularesde ocho y nueve lados.

Escalas19. Construir las escalas volantes para poder

medir magnitudes en las siguientesescalas: 1:2, 1:5; 3:4.

20. En un plano a escala 1:200 se harepresentado una determinada distanciapor un segmento de 20 mm. ¿Cuál es elvalor de la distancia real representada?

21. En un mapa topográfico del que sedesconoce la escala, un segmento delongitud 6 cm está acotado con unvalor de 30 metros. ¿Cuál es la escaladel mapa?

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Más actividades en el CD

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Si no puedo dibujarlo, es que no lo entiendo.ALBERT EINSTEIN

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