UNIDAD DE APRENDIZAJE 2a)Presentacin y contextualizacinEn esta seccin veremos modelos de inventarios de elementos que tienen una demanda independiente. Esto es, la demanda del elemento no depende de la demanda de otros productos o elementos. Muy frecuentemente, la demanda independiente se genera por los clientes al colocar pedidos de productos terminados. La demanda dependiente est caracterizada por ser una demanda de elementos, como componentes y subensambles, directamente relacionada con la demanda de otros elementos producidos por la firma.

b)CompetenciaAprende la correcta toma de decisiones teniendo en cuenta los modelos de inventarios.c)Capacidades1.Identifica el modelo de la cantidad econmica a pedir.2.Reconoce las caractersticas del modelo de tamao de lote de produccin para la toma de decisiones.3.Comprende el modelo de inventario con escasez planeada y analiza sus caractersticas.4.Determina la correcta planeacin de los descuentos por cantidad para el modelo EOQ.d)ActitudesValora los modelos de inventario para la toma de decisiones.Toma una actitud positiva con respecto a la economa de produccin.Tiene iniciativa para poder investigar temas relacionados al modelo EOQ.e)Presentacin de Ideas bsicas y contenidos esenciales de la Unidad:La Unidad de Aprendizaje 02:Modelo de Inventario, comprende el desarrollo de los siguientes temas:TEMA 01:Modelo de cantidad econmica a pedir.TEMA 02:Modelo de tamao de lote econmico de produccin. TEMA 03:Modelo de inventario con escasez planeada.TEMA 04:Descuento por cantidad para el modelo EOQ.Tema 01:Modelo de Cantidad Econmico a Pedir

Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes fsicos o mercancas con el propsito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempoespecificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cundo hacer pedidos y en qu cantidad, son tpicas de cada problema de inventario. La demanda requerida puede satisfacerse almacenando una vez segn todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo).

Un sobre-almacenamiento requerira un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocacin de pedidos. Un sub-almacenamiento por otra parte disminuira el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentara la frecuencia de los pedidos as como el tiempo de estar sin mercanca. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando la cantidad ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente, estar basadas sobre la minimizacin de una funcin de costo apropiada la cual balancea los costos totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.

Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero caractersticas bsicas de un sistema de inventarios:Parmetros econmicos:estos parmetros incluyen los tipos siguientes:a.Costo fijo.Esto implica el costo fijo asociado a la colocacin de un pedido o con lapreparacin inicial de una instalacin de produccin. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.

b.Precios de compra o costo de produccin.Este parmetro de especial inters cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de produccin pueden dar como resultado una disminucin en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.c.Precio de venta.En algunas situaciones de inventaro la demanda puede ser afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisin est basado en un criterio de maximizacin de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de la mercanca. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad.d.Costo de mantenimiento del inventario.Esto representa el costo de tener el inventario en el almacn. Incluye el inters sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciacin, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varan directamente con el nivel de inventario, as como con el tiempo que el artculo se tiene en almacn.

LA DEMANDAEl modelo de demanda de una mercanca puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre perodos subsecuentes. Esto puede expresarse segn perodos iguales en trminos de demandas constantes conocidas, o en funcin de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas esttica y dinmica, respectivamente:

La demanda probabilsticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto perodo no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una distribucin conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribucin de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos trminos son equivalentes a demandas esttica y dinmica en el caso determinista).

La demanda para un perodo dado puede satisfacerse instantneamente al inicio del perodo o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantneas y uniformes deber reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario.Ciclo para ordenar.Consiste en la medida de tiempo de la situacin de inventario. Un ciclo de rdenes o pedidos puede identificarse por el perodo entre dos rdenes sucesivas. Lo ltimo puede iniciarse en una de dos formas:a.Revisin continuadonde un registro del nivel de inventario se actual9iza continuamente hasta que se alcanza un cierto lmite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depsitos".b.Revisin peridicadonde los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados.

Demoras en la entrega: Cuando se coloca un pedido, puedeentregarse inmediatamente o puede requerir algn tiempo antes de que la entrega se efecte. El tiempo entre la colocacin de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista.

Reabasto del almacn: aunque un sistema de inventario puede operar con demora enlas entregas, el abastecimiento real del almacn puede ser instantneo o uniforme. El instantneo ocurre cuando el almacn compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la organizacin. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y tambin con reaprovisionamiento de almacn. Horizonte de Tiempo: el horizonte define el perodo sobre el cual el nivel de inventarios estar controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo de la naturaleza o la demanda.

Abastecimiento mltiple: Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento estn organizados de tal manera que un punto acta como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operacin puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situacin usualmente se denomina sistema de abastecimiento mltiple. Nmero de artculos: Un sistema de inventarios puede comprender ms de un artculo (mercancas). Este caso es de inters, principalmente si existe una clase de interaccin entre los diferentes artculos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados.

MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA A PEDIR (EOQ)El modelo de la cantidad econmica a pedir (EOQ, por sus siglas en ingles) es aplicable cuando la demanda de un elemento tiene una tasa constante o prcticamente constante, o cuando la totalidad de la cantidad pedida llega al inventario en un momento en el tiempo. La hiptesis de la tasa dedemandaconstante significa que en cada periodo de tiempo se extrae del inventario un mismo nmero de unidades, por ejemplo, 5 unidades todos los das, 25 unidades todas las semanas, 100 unidades en cada periodo de 4 semanas, y as sucesivamente.Supongamos que: I = tasa del costo de posesin anual.C = Costo unitario de un elemento del inventario.Ch= Costo anual de posesin de una unidad en inventario.

El costo anual de posesin de una unidad en el inventario esCh= IC.La ecuacin general para el costo anual de posesin para el inventario promedio de 1/2Q unidades es como sigue:

Para completar el modelo de costo total debemos incluir el costo anual de pedir.D es la demanda anual para el producto. Sabemos que pidiendo Q unidades cada vez que ordenamos, tendremos que colocar D/Q pedidos al ao. SiC0es el costo de colocar un pedido, la ecuacin general para el costo anual de pedir es como sigue:

Por lo que el costo anual total, representado por CT, se puede expresar como sigue:La cantidad a pedir con mnimo costo total queda identificada con untamao de pedidoQ*. Utilizando calculo diferencial, puede demostrarse que el valorQ*queda minimiza el costo anual de pedir est dado por la formula:

La decisin de cundo pedir se expresa en funcin de un punto de reorden: la posicin del inventario en la que debe colocarse un nuevo pedido.La expresin general delpunto de reordenes como sigue:r = dmDonde: r = punto de reorden d = demanda por da m = tiempo de entrega para un pedido nuevo en das.Tiempo del ciclo:

Tema 02:Modelo de Tamao de Lote Econmico de ProduccinLote Econmico de Produccin (conocido en ingls como Economic Production Quantity o por sus siglas EPQ) es un modelo matemtico para control de inventarios que extiende el modelo de Cantidad Econmica de Pedido a una tasa finita de produccin. As, en este modelo la recepcin de pedidos de inventario y la produccin y venta de productos finales ocurrirn de forma simultnea, lo que lo diferencia del modelo de cantidad econmica de pedido. Su finalidad es encontrar el lote de produccin de un nico producto para el cual los costos por emitir la orden de produccin y los costos por mantenerlo en inventario se igualan. El modelo fue formulado inicialmente por E. W. Taft en 1918.

VENTAJAS E INCONVENIENTESA diferencia del modelo de cantidad econmica de pedido, este modelo es menos esttico que el anterior, adaptndose ms a la realidad. Al considerar que el reabastecimiento de inventario no se produce instantneamente y que el inventario se construye progresivamente a medida que se produce y se vende, el modelo logra recoger situaciones del mundo real. As mismo, la consideracin de tasas de produccin y demandas diarias permite ajustar ms eficazmente el modelo a la realidad, obteniendo cantidades por pedido ptimas que lograrn minimizar costes totales teniendo en cuenta costes de mantenimiento de inventario ms realistas.

Por otro lado, el modelo, aunque ms dinmico que el de cantidad econmica de pedido, sigue presentando diversas limitaciones derivadas de sus supuestos. As, la demanda ser nuevamente constante, fenmeno que no ocurrir en el mundo real donde encontraremos demandas variables que podrn presentar estacionalidad o irregularidad derivada de pocos y peridicos compradores de grandes volmenes, etc. Suponiendo que la demanda permanecer constante a lo largo del ao y tomando decisiones sobre la cantidad por pedido basndonos en ello estamos expuestos al riesgo de cambios en la demanda que anulen la validez de nuestras predicciones.

No slo a nivel anual, la demanda tambin podr estar expuesta a variaciones durante el leadtime que podrn conducir a stockouts, lo que supondr el fracaso de nuestra poltica de gestin de inventarios. En este ltimo caso, tendremos que recurrir al uso de modelos probabilsticos para la estimacin de niveles de demanda, costes de stockout, etc.

Por ltimo, poniendo en comparacin el modelo de lote econmico de produccin conel modelo de cantidad econmica de pedido, observamos que el primero presenta una reduccin en costes totales de mantener inventario respecto al segundo. As, el hecho de que en el modelo que hemos analizado en este artculo el nivel medio anual de inventario sea menor que en el modelo de cantidad econmica de pedido debido a la produccin y simultnea venta, hace que los costes totales de mantener inventario sean menores.Para este modelo Supongamos que:d =tasa diaria de demanda del productop =tasa diaria de produccin del productot =nmero de das de una corrida de produccinEntonces: Nivel mximo de inventarios= (p-d)t

Si sabemos que estamos produciendo un tamao del lote de produccin de Q unidades a una tasadiaria de produccin de p unidades, entoncesQ=pt, y la duracin de la corrida de produccin t deber ser:Por lo que:

El nivel promedio del inventario, que es la mitad del nivel mximo de inventarios, est dado por: Con un costo de posesin anual por unidad deCh, la ecuacin general para el costo de posesin anual es:

Si D es la demanda anual del producto yC0es el costo de preparacin de una corrida de produccin, entonces el costo anual de preparacin, que sustituye el costo anual de pedir del modelo EOQ, es como sigue:

Por lo que el costo anual del modelo (CT) es: Como se cumple la relacin:Por lo tanto, podemos escribir el modelo de costo anual total como sigue:

Adems se obtiene que eltamao del lote de produccinest dado por:

Ejemplo1)Suponga que una lnea de produccin opera de tal manera que fuera aplicable el modelo del tamao del lote de produccin. DadoD= 5800 unidades por ao,C0=15, Ch=2dlarespor unidad por ao, usando una tasa de produccin de 6000 unidades :a)Usando el modelo EOQ calcule la cantidad a pedir y el costo total.b)Usando el modelo de produccin calculeel tamao del lote de produccin de costo mnimo y su costo respectivo.

Solucin:a)Usando el modelo EOQ Datos:Costo de posesin: C h= 2dlares. Costo de pedir: Co = 15 dlares. Demanda anual: D = 6000 unidades. Entonces la cantidad recomendada a pedir es:unidades,por lo tanto el costo total:dlares.b)Usando el modelo de produccin :Unidades Y el costo total es:dlares.

Tema 03:Modelo de Inventario con Escasez PlaneadaEscasez de existencia es una demanda que no puede cubrirse. En muchas situaciones la escasez de inventario es indeseable y debera evitarse. Sin embargo, en otros casos pudiera resultar deseable desde el punto de vista econmico- planear y permitir estos faltantes. El modelo de pedidos pendientes de surtir que desarrollamos es una extensin del modelo EOQ .Utilizamos el modelo EOQ, en el cual todos los bienes llegan al inventario de una vez y hay una tasa constante de demanda.

Si hacemos que S represente el nmero de pedidos pendientes de surtir acumulados cuando se recibe un nuevo embarque de tamao Q, entonces el sistema de inventarios para el caso de pedidos pendientes de surtir tiene las siguientes caractersticas: Si existen pedidos pendientes de surtir S cuando llega un nuevo embarque del tamao Q, los primeros se embarcan a los clientes apropiados y las unidades restantes Q S permanecen en inventario, por lo que el nivel mximo de inventarios es Q S.

El ciclo de inventarios de T das se divide en dos etapas distintas:t1das, cuando hay existencias a la mano y los pedidos se van llenando conforme ocurren, yt2das, cuando hay escasez de inventario y todos los nuevos pedidos se quedan en la lista de pedidos pendientes por surtir.

Supongamos que:Ch=Costo de mantener una unidad en inventario durante un aoC0=Costo de pedirCb=Costo de mantener una unidad en la lista de pedidos pendientes de surtir duranteun ao.

El costo anual total (CT) del modelo de inventarios con pedidos pendientes de surtir se convierte enDadas las estimaciones de costoCh, C0,Cby la demanda anual D, los valores de costo mnimo de las cantidades de pedido Q* y los pedidos pendientes por surtir S* planeados son como sigue:

Ejemplo2)Electra es una nueva tienda de especializacinque vende televisores, grabadoras de cinta, juegosde videos y otros productosrelacionados con la televisin. Una nueva grabadora de video fabricada en Japn cuestaa Electra500 dlares por unidad. La tasa del costo anualde posesin de Electra es de 17%. Los costosde pedir se estiman en 50 dlares por pedido. Si la demanda de la nueva grabadorade videocintaseespera constante auna Tasade 25 unidades por mes.

Asume dos polticas:a)El modelo EOQ Cul es la cantidad recomendada dePedidopara la grabadora de cinta? y el costo total? Solucin Datos:Costo unitario: C = 500 dlaresCosto de pedir: Co = 50 dlaresDemanda anual: D = 300 unidadesLa tasa del costo anualde posesin: I = 17%, Entonces la cantidad recomendada a pedir es :,por lo tantoelcosto total:dlares.b)Si Electra propone pedidos pendientes por surtir, asumiendo un costo de 85 dlares,Cul es la cantidad recomendada dePedidopara la grabadora de cinta? y el costo total?

Solucin: Asumiendo costos por pedidos pendientes por surtir: Cb = 85 dlares La cantidad a pedir:unidadesCantidad de pedidos pendientes por surtir:unidadesEl costo total respectivo es:dlares

Tema 04:Descuento por Cantidad para el Modelo EOQLos descuentos por cantidad se dan en numerosas situaciones en las que los proveedores dan un incentivo por pedidos grandes al ofrecer un costo menor de adquisicin cuando los productos se ordenan en lotes o cantidades mayores. En esta seccin mostraremos cmo se puede utilizar el modelo EOQ cuando hay descuentos por cantidad.Paso 1. Para cada plan de descuento, calcule un Q* utilizando la formula EOQ basada en el costo unitario asociado con el plan de descuento.Paso 2. Para aquel Q* que sea demasiado pequeo para calificar por lo que se refiere al plan de descuento supuesto. Ajuste la cantidad a pedir hacia la cantidad a pedir ms prxima superior que permita que dicho producto se pueda adquirir al precio supuesto.

Si un Q* calculado para un precio con descuento dado es suficiente grande para calificar para un descuento aun superior. El valor de Q* no puede llevar a una solucin ptima. Aunque la razn pudiera no ser obvia, es una propiedad del modelo de descuento por cantidad EOQ.En los modelos de inventarios que hemos considerado antes no se incluy el costo anual de compra del elemento porque era constante y nunca afectaba la decisin de poltica de pedido y de inventarios. Sin embargo, en el modelo de descuentos por cantidad, el costo anual de las compras depende de la cantidad pedida y del costo unitario asociado, por lo que el costo anual de la compra (la demanda anual D por el costo unitario C) se incluye en la ecuacin del costo total, segn se muestra aqu:

Paso 3. Para cada cantidad a pedir, resultado de los pasos 1 y 2, calcule el costo total anual utilizando el precio unitario del plan de descuento apropiado, yla ecuacin:La cantidad a pedir que d el mnimo costo total anual ser la cantidad ptima a pedir.

Ejemplo:1)Suponga que es apropiado el programa siguiente de descuentos por cantidad. Si la demanda anual es de 180 unidades, los costos de pedir son 50 dlares por pedido y la tasa de costo de posesin anual es de 25%.Qu cantidad a pedir recomendara usted?Datos: D = 180 unidades I = 25 % Co = 50 dlares Unidades.Cual es el costo total respectivo?Dlares.

MODELO DE INVENTARIOS DE UN SOLO PERIODO CON DEMANDA CONSTANTE.Los modelos de inventario que hemos analizado se basan en la hiptesis de que la tasa de demanda es constante y deterministica a lo largo del ao.

Con base en esta hiptesis desarrollamos polticas de costo de pedido y de cantidades de pedido de costo mnimo. En situaciones en las que la tasa de demanda no es deterministica, se han desarrollado modelos que tratan la demanda de manera probabilstica y que se describen mejor mediante una distribucin de probabilidad. En esta seccin veremos un modelo de inventarios de un solo periodo con demanda probabilstica.

El modelo de inventarios de un solo periodo se refiere a situaciones de inventarios en los que se coloca un solo pedido para el producto; al final del periodo, el producto, se ha vendido todo, o un saldo excedente sin vender se vender a un valor de salvamento. El modelo de inventarios de un solo periodo se aplica en situaciones que involucran productos estacionales o perecederos que no se pueden mantener en inventario para venderse en periodos futuros. La ropa estacional (como trajes de bao) y los abrigos de invierno, tpicamente se manejan en forma de un solo periodo. En estas situaciones, un comprador coloca un pedido de pretemporada para cada uno de los productos y a continuacin sufre de escasez o faltante de inventario o al final de la temporada tiene que llevar a cabo las ventas excedentes de existencias; no se trasladan elementos en inventario para su venta al ao siguiente.

El anlisis incremental es un mtodo que puede utilizarse para determinar la cantidad ptima de pedir para un modelo de inventario de un solo periodo. El anlisis incremental resuelve la pregunta de cunto pedir, al comparar el costo o prdida de pedir una unidad adicional, con el costo o prdida de no pedir una unidad adicional. Los costos involucrados se definen como sigue:C0= Costo por unidad por sobreestimar la demanda. Este costo representa la prdida depedir una unidad adicional y encontrar que sta no puede venderse.Cu=Costo por unidad por subestimar la demanda. Este costo representa la prdida de oportunidad de no pedir una unidad adicional y encontrar que sta pudiera haberse vendido.

Es decir se puede definir:C0= Costo de adquisicin unitario precio de venta unitarioCu= Precio normal de venta por unidad costo de adquisicin por unidadLa expresin nos da la condicin generalpara la cantidad ptima de pedido Q* en un modelo de inventarios de un solo periodo.

MODELO DE CANTIDAD A PEDIR Y DE PUNTO DE PEDIDO CON DEMANDA PROBABILISTICA.Si se utiliza una distribucin normal para la demanda durante el plazo de entrega, la ecuacin general para r es:

Ejemplo1)Un estanquillo popular est intentando determinar cuntos ejemplares del peridico local debe adquirirtodos los das. La demanda del peridico se puede aproximar mediante una distribucin de probabilidad normal como. El peridico le cuesta al estanquillo 35 centavos de dlar por ejemplar y se vende por 50 centavos. El estanquillo no recibe ningn valor por peridicos excedentes y por lo tanto, absorbe una prdida de 100% en todos los peridicos no vendidos.a.Cuntos ejemplares el peridico deber adquirir todos los das?b. Cul es la probabilidad de que el estanquillo se quede sin existencia?

SolucinDatosCosto: C = 35 centavosVenta: V = 50 centavosReventa: R = 0

a)Calculando los valores de los costosCu = V C = 15Co = C R = 35, Luego

De donde: b)Probabilidad de quedar sin existencia el estanquillo