Unidad 9

Integración

Objetivos

Al terminar la unidad, el alumno:

Utilizará las fórmulas básicas de integración.

Aplicará el método de integración por sustitución.Aplicará el método de integración por partes.Aplicará la integración a la solución de problemas.

2

353

Matemáticas

Introducción

El cálculo diferencial es útil al considerar la rapidez de cambio de diferentes variables y las pendientes de las tangentes en diversas funciones. En el cálculo diferencial, el problema de la tangente condujo a formular, en términos

de límites, la idea de una derivada. Este concepto es aplicable en velocidades, tasas de cambio y en una diversidad de problemas prácticos.

Una de las preocupaciones importantes en el cálculo integral es la

si se tiene la derivada de una función desconocida, el cálculo integral puede proporcionar una forma de determinar a la función original.

En otros términos, el proceso de integración es lo contrario al proceso de diferenciación en el sentido de que para realizar integraciones debe conocerse la diferencial de una función y en el momento en el cual se integra esa diferencial, se llega a obtener la función original.

9.1. Concepto de integral

La integración es el proceso de hallar una función cuando se conoce su derivada. En otras palabras, integración es lo inverso a diferenciación. La función obtenida se denomina primitiva o antiderivada .

Si tenemos la diferencial de una función y luego se integra, la función

manera un valor constante l lamado constante de integración (C); de otra manera el resultado puede diferir de la función original, por un valor constante, porque en un momento dado se considera que al realizar esta transformación se pierde información. Por ejemplo, si se tiene la función f(x) = 400 + 25x +3x2, al diferenciarla [df(x) = (25 + 6x) dx] se pierde la constante 400 y si esta función diferenciada se integra, no considerará ese valor, es en ese momento

que se incluye el valor 400.

Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I, si F (x) = f(x) para todo valor de x que esté incluido en el intervalo I.

354

Unidad 9

Ejemplo 1

Si F F(x) = 4x3 + x2 + 3 entonces F (x) =12x2 + 2x, de modo que si f f (x) = 12x2 + 2x, f es la derivada de F y por tanto F es la antiderivada de f.

Si G G(x) = 4x3 + x2 + 8 entonces G también es una antiderivada de f porque G (x) = 12x2 + 2x.

Por ello, cualquier función de la forma 4x3 + x2 + C donde C es una constante, es una antiderivada de f.

De aquí se desprende la necesidad de determinar un valor constante a ser empleado en la integral, por lo que:

Si G es cualquier antiderivada de f en I, entonces G (x) = f(x) para toda x en I:

Como F (x) = f(x) entonces F (x) = G (x) para toda x en I

Por tanto, existe una constante C tal que G(x) =F(x) + C

De donde toda antiderivada de f puede obtenerse a partir de F(x) + C, donde C es una constante arbitraria.

De lo anterior se desprende que la antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función. El símbolo denota la operación de antiderivación y se escribe:

f x dx F x C( ) ( )

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada de f en I está dada por F(x) + C

Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse al asignar valores particulares a C.

2

355

Matemáticas

Donde F (x)=f(x) y d(F (x)) = f (x) dx

El primer miembro se lee integral de f de x con respecto a x. El símbolo es el signo integral, f(x) es el integrando, F(x) es una integral particular, C es

la constante de integración y F(x) + C es la función integrada. La diferencial dx juega un papel importante porque garantiza que se va a integrar sobre la base de una variable.

Si F(x) + C es la integral de f(x), en la cual C es una constante arbitraria, puesto que la derivada de cualquier constante es cero se tiene:

ddx

F x CdF x

dxdCdx

( )( )

dF xdx( )

= f(x)

conoce, dado que contiene una constante. Ésta es la razón por la cual la función f x dx se conoce como la de f(x).

La constante de integración C puede determinarse si se da información adicional. Por ejemplo, si sabemos que F(x) + C = 2 y F(x) = x2 con x = 1, entonces la constante es:

x2 + C = 2 (1)2 + C = 2 1+ C = 2 C = 2–1 C = 1

La constante de integración para la función x2 + C = 2 es C = 1.La información adicional que se presenta en el ejemplo anterior, se conoce

como condición inicial , porque se requiere que en un momento dado se tenga la certeza de conocer a C, de manera que la integral sea una función conocida. A continuación se muestran las fórmulas de integración que se emplean con mayor frecuencia.

356

Unidad 9

Ejemplo 2

Determinemos la siguiente integral: 5dx

Solución: la integral dada es de la forma Kdx K dx por lo que 5 5dx dx

Como dx x C1, al sustituir tenemos:

5 5 5 5 5 51 1dx dx x C x C x C( )

En este caso puede apreciarse que 5C1 = C dado que el producto de dos constantes es otra constante.

Ejemplo 3

Encontremos la integral ( )3 5x dx

Solución:

( ) ( )3 5 3 5 3 5x dx x dx dx xdx dx

1. Kdx K dx, en donde K es cualquier constante.

2. dx x C

3. ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

4. af x dx a f x dx( ) ( ) , donde a es cualquier constante

5. x dxxn

Cnn 1

1

6. 1 1

xdx x dx x Cln

2

357

Matemáticas

Utilizamos x dxxn

Cnn 1

1 para 3 xdx con lo que tenemos:

3 3

232

32

12

1xdxx

C x C

5 5 5 52 2dx x C x C( )

Por otra parte ( ( ))3 53

25 3 52

1 2x dx x x C C

Como C1 y C2 son constantes arbitrarias, se pueden denotar por C, de modo que:

( )3 5

32

52x dx x x C

Ejemplo 4

Calculemos ( )5 8 9 2 74 3 2x x x x dx

Solución:

5 8 9 2 74 3 2x dx x dx x dx xdx dx

Se aplica af x dx a f x dx( ) ( )

5 8 9 2 74 3 2x dx x dx x dx xdx dx

Empleamos x dxxn

nn 1

1+ C para cada término:

5 55

55

45

5 51x dx

xx x C

8 84

84

234

4 42x dx

xx x C

9 93

93

323

3 33x dx

xx x C

358

Unidad 9

2 22

22

22 2

4xdxx

x x C

7 7 5dx x C

Por lo tanto ( )5 8 9 2 7 2 3 74 3 2 5 4 3 2x x x x dx x x x x x C

Ejemplo 5

Calculemos x dx1

Solución: se transforma la raíz en un exponente

x dx x x dx dx1 1 11

21

2

( )

Se aplica x dxxn

nn 1

1+ C

( )x dx

xx C

12

32

12

3

Ejemplo 6

La función de costo marginal C de una compañía es C (x) = 3x2 + 8x + 4, donde C(x) es el costo total de producción de x unidades.

a) Si el gasto general es de $6, determinemos la función de costo total correspondiente.

b) Calculemos el costo total de producir 10 unidades.

Solución: a) Como C (x) = 3x2 + 8x + 4, entonces C x x x dx( ) ( )3 8 42

Empleando x dxxn

nn 1

1+ C tenemos:

2

359

Matemáticas

3 33

33

23

3 31x dx

xx x C

8 82

82

42

2 22xdx

xx x C

y utilizando kdx k dx , tenemos:

4 4 3dx x C

Por ello C(x) = x3+ 4x2+ 4x+ C4

C(0) = 6 de donde C4 = 6, por lo que la función de costo total es:

C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6

b) Se quiere conocer el costo de producir x = 10 unidades y al sustituir en la fórmula de costo total tenemos:

C(x) = x3 + 4x2 + 4x + 6

C(10) = (10)3 + 4(10)2 + 4(10) + 6 = 1 446

El costo que se tiene al producir 10 unidades es de $ 1 446.

Ejemplo 7Una compañía determinó que la función de costo marginal para la producción

de cierta mercancía es C (x) = x x125 1019

2, donde C(x) es el costo total de

producción de x unidades de mercancía. Si los gastos generales son de $250, ¿cuál es el costo de producción de 15 unidades?

Solución: dado que C x x x'( ) 125 1019

2,

C x x x dx dx xdx x dx( ) 125 10

19

125 1019

2 2

125 10

19

2dx xdx x dx

360

Unidad 9

empleando kdx k dx , tenemos:

125 125 1dx x C

al emplear x dxxn

nn 1

1+ C tenemos:

10 102

102

52

2 22xdx

xx x C

19

19 3

127

23

33x dx

xx C

Con ello C x x x x C( ) 125 5127

2 34

comportamiento del nivel de producción, entonces C4 = 250 y la función de costo total es:

C x x x x( ) 125 5

127

2502 3

Se quiere conocer el costo de producción de 15 unidades, por lo que:

C( ) ( )( ) ( )( ) ( )15 125 15 5 15127

15 2502 3

1 875 5 225

127

3 375 250 1 875 11253 375

27250

( )( ) ( )

1 875 1125 125 250

C(15) = 3 375

Se incurrirá en un costo de $3 375 al producir 15 unidades.

Ejercicio 1

1. Calcula 3 4x dx

2. Obtén ( )8 4 6 4 54 3 2x x x x dx

3. Determina x x dx( )1

2

361

Matemáticas

4. La función de costo marginal de una empresa está dada por C (x) =1.064 – 0.005x. x unidades.

5. El costo marginal de una compañía es una función de las unidades producidas (x) y está dado por C (x) = 2 + 60x – 5x2 determina:

b) El costo de producir una unidad.

6. Para un artículo, la función de ingreso marginal está dada por I (x) = 15 – 4x. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p dólares, determina la función de ingreso total.

Determina las siguientes integrales:

7. 1

4xdx

8. 5 45 x dx

9. 7 2

10 55 3x xx dx

10. xx

x dx2

35

41

11. 6 4t dt

9.2. Integral definida

También puede definirse la integración como el proceso de encontrar el valor límite de una suma de términos cuando el número de éstos crece

en este caso en el que se interpreta la integración como la determinación del área bajo una curva.

El cálculo integral fue desarrollado con el propósito de evaluar áreas, que se

El símbolo integral proviene de la forma de una s alargada, que se empleó originalmente para indicar tal suma.

uso de fórmulas. Por ejemplo, el área (A) de un rectángulo es igual al producto

362

Unidad 9

de su base (b) por su altura (h), o A = bh. Sin embargo, el área comprendida entre curvas debe obtenerse con el cálculo integral, ya que no existe fórmula geométrica

Figura 9.1. Área bajo la curva.

Supongamos que se quiere conocer el área comprendida entre a y b. En la n rectángulos donde:

xi = Base (ancho) del rectángulo.xi = Punto en el eje de las x que denota la división de los rectángulos x1= a,

x2= a + x1, x3= x2+ x2, x4= x3+ x3 y así sucesivamente.f(xi) = Valor de la altura del rectángulo.

La suma de las áreas de los rectángulos es:

Suma = f(x1) x1+ f(x2) x2+...+ f(xn) xn

f x xi i

i

n

( )1

n ) y la base de éstos se acerca a cero ( x 0), el área bajo la curva entre x = a y x = b es el límite de la suma de los rectángulos, cuando existe el límite:

Área = lim

,...,

n i ii

n

i

f x x

a x b i n1

1

...

f(x)

f(x3)f(x2)f(x1)

(x1, f(x1))

(x3, f(x3))

y = f(x)

0x1 x2 x3

x1 x2 x3 x4 xn xn+1 xa b

f(xn)

n

2

363

Matemáticas

Figura 9.2. Área bajo una curva.

Al emplear el símbolo de la integral, el límite puede calcularse con:

A f x dxa

b( )

De esta manera, si quiere hallarse la integral de f(x f x dx A( ) Si A = F(x) + C

Para x = a, el área A = 0 y por tanto F(a) + C = 0

de donde C = –F(a)

Así, A = F(x) + C = F(x) + (–F(a)) = F(x) – F(a)

y

y = f(x)

xa b

d

c

Sea f a,b]. Si

Área f x xn i i

i

n

lim ( )1

entonces, si el límite existe a medida que x 0 y el número de intervalos n f de a a b y se escribe:

f x dx f x x

na

b

i ii

n

( ) lim ( )1

El número a indica el l ímite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración.

364

Unidad 9

Para encontrar el área abcd (f igura 9.2) bajo la curva f(x), haciendo x = b, tenemos A = F(b) – F(a).

De esta manera: Área = f x dx F xb

aF b F a

a

b( ) ( ) ( ) ( )

Este resultado se conoce como teorema fundamental del cálculo integral . La constante de integración C no está contenida en la solución para A. Así, la

f x dxa

b( )

se llama la integral

f(x) de a a b.

Ejemplo 8

Evalúa la integral:

81

3dx

aSolucion : el limite inferior es 1, el limite supeerior es

3 y la funcion dada es ( ) 8

Al integrar la

b f x

ffuncion se tiene:1

38 8

8 3 8 1

24 8

16

1

3dx x

( ) ( )

Ejemplo 9

Evalúa la integral

5 2

2

3x dx

Solución: los límites son a = 2 y b = 3 con una función f(x) = 5x2, al integrar la función se tiene:

553

2

2

3 3

2

3

x dxx

.

2

365

Matemáticas

5 33

5 13

5 273

53

1303

43 33

3 3( ) ( )

( )

.

Ejemplo 10

Calcula el área de la región limitada por la curva y = x2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 3.

Solución:

Al integrar la función tenemos: A x dxx2

3 3

11

3

3 3

3

33

13

273

13

( ) ( )

263

2u

u2 = unidades cuadradas, ya que estamos calculando áreas.

366

Unidad 9

Ejemplo 11

Calcula el área de la región limitada por la curva y x x x3 2 6 , y el eje x.

Solución:

De la gráf ica podemos observar que resultan dos áreas, es decir, las intersecciones con el eje son (–3,0) y (2,0), como una limitante del área es el eje x, entonces, el área quedará determinada por:

A= A A1 2

A = ( ) ( )x x x dx x x x dx3 2 3 2

0

2

3

06 6

2 se encuentra debajo del eje x, donde y, la altura del rectángulo es negativo; por lo que el área resultante es el negativo

2. Por ello, para el cálculo del área neta consideramos un signo menos antes de la función de la segunda integral.

A1 = x x x4 3 2

3

0

4 36

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )04

03

6 02

34

33

632

4 3 2 4 3 2

A1

A2

2

367

Matemáticas

( )0814

273

542

243 108 32412

18912

118912

A2 = x x x4 3 2 2

04 362

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24

23

6 22

04

03

6 02

4 3 2 4 3

1164

83

242

48 32 14412

6412

6412

A = 18912

6412

25312

2u

Ejemplo 12

Calcula el área de la región limitada por la curva y xx2

, el eje x y

las rectas x = 1 y x = 2.

368

Unidad 9

Solución:

A xx

dx

xx

( )

ln

( )ln

( )

2

22

22

2 212

1

2

2 2

1

2 2

22 1

2 2 212

2 88 2

ln

[ ln ] . u

Ejercicio 2

Evalúa las siguientes integrales:

1. 62

5dx

2. ( )x dx2

1

45

3. 12 3

1

3x dx

4. ( )3 2 52

1

2x x dx

2

369

Matemáticas

Calcula el área de la región límitada por la curva, el eje x y las rectas indicadas:

5.

6.

y x x

y x x x

2

3

6

12 1 1 las rectas y

7. y x x2 10 25 las rectas x = –3 y x = –2

8. yx4

las rectas x = 5 y x = 2

9. y x2 5 las rectas x = 5 y x =3

10. y x x4 28 las rectas x = 0 y x = 2

deben describir algunas técnicas para efectuar la integración de funciones, como se muestra en los puntos siguientes.

9.3. Integración por sustitución

El método de sustitución que se emplea con mayor frecuencia en la integración de una función de la forma f x dx( ) requiere de tres pasos a seguir:

En el primer paso, si se tiene una función f(x), por ejemplo, f(x) = (x + 1)2 y

queremos encontrar ( )x dx1 2 , se debe sustituir el valor (x + 1) por una nueva variable denominada u. Así:

u = (x + 1) u2 = (x + 1)2

El segundo paso consiste en encontrar la diferencial de la nueva variable (du) y posteriormente sustituirla. En este caso, tenemos:

du = d(x + 1) = (1)dx

370

Unidad 9

Como puede observarse, du = dx, y con ello f x dx( ) ahora se convierte en g u du( ) .

Al quedar la nueva función en términos de u, se integra con respecto a esa variable.

En el tercer paso se sustituye el valor de u en el resultado de la integral g u du( ) y se encontrará el valor de la integral f x dx( ) .

Con estos tres pasos se facilita la integración de una función que no es posible integrar directamente con las fórmulas proporcionadas.

Ejemplo 13

Determinemos ( )x xdx2 31

Solución: f x x x( ) ( )2 31

Paso 1. Se sustituye la función (x2 + 1) por la variable u.

u = x2 + 1

Paso 2. Se calcula la diferencial du, se despeja xdx y se sustituye el resultado en la integral.

Como u = x2 + 1

du d x x dx( ) ( )2 1 2

du = 2xdx, por lo que xdxdu2

Sustituimos u y du e integramos

( )x xdx u du u du2 3 3 3112

12

12 4

4uC

18

4u C

2

371

Matemáticas

uC

4

8

Paso 3. Volviendo a sustituir u = x2 + 1 en el resultado de la integral, se tiene:

( )x xdxu

C2 34

18

( )xC

2 418

( )( )

x xdxx

C2 32 4

11

8

Ejemplo 14

Determinemos la integral 6

5

2

3

xx

dx( )

Solución: se sustituye (x3 + 5) por u, por lo cual tenemos:

du d x( )3 5

du x dx(3 2)

De donde: 6x2dx = 2du

Sustituyendo u y du tenemos:

65

22

3

xx

dxduu( )

21u

du

=2 ln u + C =2 ln x3+5 + C

372

Unidad 9

Ejemplo 15

El cambio en la producción P de una empresa cuando aumenta el consumo de los artículos que produce está dada por la función P (x) = (x2 + 1)4x. Obtengamos la función de la producción total para la empresa.

Solución:

P (x) = (x2 + 1)4x

para encontrar la función de producción debemos integrar ( )x xdx2 41

u = (x2 + 1)

u4 =(x2 + 1)4

du d x x dx( ) ( )2 1 2

De donde:

xdx

du2

Al sustituir u y du tenemos:

( )x xdx u

duu du

uC2 4 4 4

5

12

12

12 5

110

5u C

110

12 5( )x C

La función que se obtuvo representa la producción total de un artículo cuando

se consumen x unidades de un artículo.

Ejercicio 3

1. Calcula 6 52 3 2x x dx( )

2. Determina 2 52 1x x dx( )

2

373

Matemáticas

3. Obtén 2 3 52x x dx( )

4.

5.

6.

3 42 2

1

5 5 7

2 3

3 4

5

6 2

5 7 10 4 6

x xx x

dx

xx

dx

x x x x x

( )

( ) ( 11

12 1

2 72 3

)

( )

dx

ydy

x x dx

7.

8.

9.la demanda de sus productos. Si la función V(x) = 30x2(5x3 – 2) muestra ese cambio, calcula 30 5 22 3x x dx( ) para obtener la función de las ventas totales.

10.producción de una empresa dedicada a la fabricación de utensilios de cocina es U(x) = 2x2(6x3 – 3), calcula 2 6 32 3x x dx( ) para obtener la función de utilidades totales.

11. Una compañía encuentra que su función de costo marginal es C (x) = 5x3(x4 – 3), determina 5 33 4 2x x dx( ) a f in de encontrar l a función de costo total .

9.4. Integración por partesCuando una expresión que incluye productos o logaritmos no puede evaluarse

directamente por medio de las fórmulas o por sustitución, una de las técnicas más útiles para transformarla en una forma estándar es el método de integración por partes, que se obtiene de la fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:

d f x g x f x g x g x f x dx[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )]' '

f x g x dx d f x g x g x f x dx' '[ ( ) ( )] ( ) ( )

374

Unidad 9

Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene:

f x g x dx d f x g x dx g x f x dx' '

f x g x dx f x g x g x f x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '

Donde: u = f(x) y v = g(x)

Entonces:

du = f (x)dx y dv =g (x)dx

Con ello:

udv uv vdu

Ésta es la fórmula de integración por partes. Su util idad depende de la elección apropiada de u y dv, de manera que las integrales udv vdu y puedan evaluarse.

No hay una regla general para separar una expresión propuesta en dos factores u y dvdebe observarse que:

1. dx siempre forma parte de dv.2. dv tiene que ser fácilmente integrable.3. Cuando la expresión que se va a integrar es el producto de dos funciones, suele

convenir la elección del elemento más complicado y que pueda integrarse, como parte de dv vdu lo más fácilmente posible.

Normalmente, al trabajar la integración por partes se emplean funciones exponenciales y logarítmicas, siendo las siguientes fórmulas de integración las empleadas:

1. dxx

x Cln

2. a dxa

aCx

x

ln donde a > 0 y a 1

3. e dx e Cx x

2

375

Matemáticas

Ejemplo 16

Determinemos la integral x xdxln

Solución: en primer lugar se determinan las sustituciones u, v, du y dv. Por conveniencia, se elige como v al elemento que sea fácilmente integrable.

Sea:

x xdx x xdxln ln ( )

Tomemos:

u = ln x du d xx

dxln1

dv = xdx

Para encontrar v es necesario integrar dv

v dv xdx

xC

2

2

v

x2

2

Sustituyendo en la fórmula udv uv vdu tenemos:

x x dx

x x xdx

x x xCln

ln ln2 2 2

2 2 2 4

Ejemplo 17

Calculemos xe dxx

Solución: al efectuar las sustituciones:

u = x du = dx

dv = ex dx v dv e dx ex x

Con ello:

xe dx xe e dxx x x xe e Cx x e x Cx ( )1 Ejemplo

376

Unidad 9

18

La función del crecimiento que hay en la producción de un artículo es f(x) = ln x. La empresa desea conocer una función que exprese la producción total a fin de poder determinar en cualquier momento el nivel total de producción que puede ser requerido en el mercado. Para ello evaluemos lnxdx.

Solución: para facilitar el cálculo tomemos:

u = ln x dux

dx1

dv = dx v dv dx x

Empleando la fórmula dada, la función que proporciona las bases para determinar la producción total es:

ln ln lnxdx x x x

xdx x x dx x x x C x x C

11ln (ln )

Ejemplo 19

Determina la integral

e x dxx( )1 2

Tomemos u = (x + 1)2 dv = exdx du = 2(x + 1)dx v = ex

Sustituyendo en la fórmula udv uv vdu tenemos

e x dx e x e x dxx x x( ) ( ) ( )1 1 2 12 2

En este caso, para resolver la integral e x dxx( )1 tenemos que aplicar el método de nuevo haciendo

u = (x + 1) dv = exdx de dondedu = dx v = ex

por tanto

2

377

Matemáticas

e x dx e x e x e dxx x x x( ) ( ) ( )1 1 2 12 2

integrando tenemos

e x dx e x e x e Cx x x x( ) ( ) [ ( ) ]1 1 2 12 2

e x e x e Cx x x( ) ( )1 2 1 22

Ejercicio 4

Calcula las siguientes integrales:

1. x e dxx2

2. lnx xdx2

3. ln t t dt

4. ln( )x xdx1

5.

6.

7.

x xdx

x x dx

xe dxx

ln

( )6 4

3

8. La función del crecimiento de la demanda de un artículo determinado f(x) = (2x + 3)ln x. Una empresa desea conocer una función

que garantice que es posible obtener la demanda total del artículo en cuestión. Para ello calcula 2 3x xdxln .

Ejercicios resueltos

1. Calculemos ( )x x x x x dx5 4 3 25 4 3 2

Solución: la integral a obtener es de la forma:

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx'

378

Unidad 9

Con ello:

( )x x x x x dx x dx x dx x dx x dx xdx5 4 3 2 5 4 3 25 4 3 2 5 4 3 2

x x x x xC

6 5 4 3 2

65

54

43

32

2

xx x x x C

65 4 3 2

6

2. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal está dada por I (x) = 12 – 3x. Si x unidades son demandadas, calculemos la función de ingreso total.

Solución: I (x) = 12 – 3x

I x dx x dx dx xdx'( ) ( )12 3 12 3

12 3 12

32

2

dx xdx xx

C

12 3 12

32

2

x dx xx

C

3. Determinemos 20 4 32 3x x dx( ) por el método de sustitución.

Solución: f(x) = 20x2(4x3 – 3)

u = (4x3 – 3)

dudx

x12 2

du = 12x2 dx

dx

dux12 2

2

379

Matemáticas

Por sustitución:

20 4 3

53

53

2 3x x dx u du udu( )

53 2

53

4 32

2 3 2uC

xC

( )

5 4 36

3 2( )xC

4. ( )4 3 23 2

2

5x x x dx

Solución: ( )4 3 2 4 3 23 2

2

5 3 2

2

5

2

5

2

5x x x dx x dx x dx xdx

4 3 23

2

5 2

2

5

2

5x dx x dx xdx

4

43

32

2

4

2

5 3

2

5 2

2

5x x x

x x x4

2

53

2

52

2

5

5 2 5 2 5 24 4 3 3 2 2

= (625 – 16) – (125 – 8) + (25 – 4) = 609 – 117 + 21 = 513

5. Calculemos (ln )x x dx3 empleando la integración por partes.

Solución: u = ln x dux

dx1

dv = x3dx v dv x dxx3

4

4

( )ln ln

lnx x dx

xx

xx

dxx x x

dx34 4 4 3

4 41

4 4

380

Unidad 9

x xx dx

x x xC

43

4 4

414 4

14 4

ln ln

x x xC

4 4

4 16ln x

x C4

414

ln

6. Calcula el área de la región l imitada por la curva yx1

las rectas x = 2 y x = 4 y el eje x.

Solución

Ax

dx

x

u

1

4 2

1 3862 0 6931

0 6930

2

4

4

2

2

ln

ln ln

. .

.

Ejercicios propuestos

1. Calcula ( )4 33x dx

2. La función de costo marginal está determinada por C (x) = 6x, donde C(x) es el número de cientos de dólares del costo total de producción de x unidades de cierta mercancía. Determina:

2

381

Matemáticas

b) El costo de producir 200 unidades.

3. Calcula 5

3

4

5

xx

dx por el método de sustitución.

4. ( ) .8 3 23 2

0

3x x dx

5. Calcula x xdx4 ln empleando la integración por partes.

6. Calcula el área de la región limitada por la curva y x x x3 23 4 el eje x y la recta x = 2.

Autoevaluación

1. El resultado de x xx

dx1

es:

a)

23

23 2

x x C/

b)

25

25

21

2

x x C

c)

23

23

21

2

x x C

d)

25

25

2

x x C

2. Al resolverse 2 3 52x x dx( ) por el método de sustitución se tiene:

a)

( )3 56

2 2xC

b)

( )3 56

2xC

c)

( )3 56

2xC

d)

( )3 53

2 2xC

382

Unidad 9

3. Una compañía dedicada a realizar estudios publicitarios para diferentes empresas, quiere determinar la demanda total de un artículo después de que ha transcurrido cierto tiempo de que se realizó una campaña de promoción. Si la compañía encontró la función de demanda f(x) = 2x(3x2 + 5) y quiere calcular la demanda que hay al transcurrir entre uno y cinco días de que inició la campaña,

2 3 52

1

5x x dx( ) , ésta tiene como

resultado:

a)1 000 b)1 100 c)1 056 d)1 036

4. El resultado de x xdx2 ln es:

a)

x x xC

3 3

3 3ln

b)

x x xC

3 3

3 9ln

c) x x

xC3

3

9ln

d)

x x xC

3 3

3 2ln

5. Resuelve ( ) .5 8 9 2 74 3 2x x x x dx

6. Calcula x xx

dx2 1

7. Determina ( )5 72

43

x

xdx

8. Evalúa 1

25 2( )x dx

9. Calcula x

xdx

2

3 1

10. Calcula ( )lnx dx2

11. Determina ln5xdx

2

383

Matemáticas

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. 35

5x C

2. 85

2 2 55 4 3 2x x x x x C

3. 25

23

52

32

x x C

4. C(x) = 1.064x – 0.0025x2 + 16.3

5. a) C x x x x( ) 2 3053

652 3

b) 95.3333

6. I(x) = 15x – 2x2 + C

7. 1

3 3xC

8. 25

9

95x

C

9. 7

41

5 54 22

x xx x C

10. 3

52

45

3

14

xx

xC

11. 23t

C

384

Unidad 9

Ejercicio 2

1. –18

2. 36

3. 240

4. 9

5. A = 36u2

6. A= 6 u2

2

385

Matemáticas

7. A= 19/3u2

8. A= 3.66u2

9. A = 68/3u2

386

Unidad 9

10. A = 22415

u2

Ejercicio 3

1. 2 5

3

3 3( )xC

2. ln x2 + 5 + C

3. ( )3 5

6

2 2xC

4.

5.

6.

7.

12

2 2

16 1

145 5 5

12

2 1

3 4

6

5 7 9

ln

( )

( )

ln

x x C

xC

x x xC

y C

xC8.

( )2 79

3 32

2

387

Matemáticas

9. (5x3 – 2)2 + C

10. 1

186 33 2( )x C

11. 5

1234 3( )x C

Ejercicio 4

1. e x x Cx ( )2 2 2

2. x

x x C3

3

319

ln

3. 12 4

22

t tt

Cln

4. x x

x xx

x C2 2

2 4ln

ln

5.

6.

7.

23

x x x C

x x xC

e x Cx

32

32

5 6

3

49

65

630

1

ln

( ) ( )

( )

8. ln ( )x x xx

x C22

32

3

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. x4 – 3x + C

2. a) C(x) = 3x2 + 8 b) El costo de producir 200 unidades es de $12 000 800

3. ln (x5 – 3) + C

388

Unidad 9

4. 303

5. x

xx

C5 5

5 25ln

6. u2

Respuestas a la autoevaluación

1. b)

2. a)

3. c)

4. b)

5. x5 –2x4 + 3x3 – x2 + 7x + C

6. x

x C3

3

7. 155

xx

C5

31

3

21

2

389

Matemáticas

8. 12

9. ln

13

13( )x C

10. x(lnx)2 – 2x ln x + 2x + C

11. x ln 5x – x + C