UNIDAD 6: SOLUCIONEMOS TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

Triángulos oblicuángulos Introducción

En esta unidad complementaremos el estudio iniciado en el área anterior en lo que se refiere a la solución

de triángulos. La mayoría de conceptos y teoremas que se manejarán son nuevos, por lo que demanda

un poco más de atención. Trataremos de cubrir estos temas minuciosamente, dada su importancia

No se debe perder de vista que la solución de triángulos es el aspecto medular de la trigonometría, por lo

que su comprensión adecuada es fundamental.

Objetivos:

Que el alumno o la alumna pueda:

1. Definir un triángulo oblicuángulo.

2. Enunciar y demostrar los teoremas del seno y del coseno.

3. Escribir la fórmula de proyección.

4. Determinar los casos en que se puede resolver un triángulo oblicuángulo.

5. Señalar un procedimiento a seguir para resolver un triángulo oblicuángulo, a partir de los datos .

presentados.

6. Resolver un triángulo oblicuángulo, utilizando los teoremas estudiados.

7. Comprobar si un triángulo oblicuángulo está bien resuelto.

8. Aplicar los triángulos oblicuángulos en la solución de situaciones prácticas.

1. Triángulos oblicuángulos .

Al observar los triángulos anteriores, podemos notar que el primero es un triángulo

rectángulo, pues posee un ángulo recto. En cambio los otros NO poseen un ángulo

recto. Estos triángulos son oblicuángulos.

Un triángulo que No posee un ángulo recto es oblicuángulo.

En otras palabras: si un triángulo no es rectángulo, entonces es oblicuángulo

Objetivos conceptuales. Definir qué es un triángulo oblicuángulo.

Objetivos procedimentales. Identificar, entre un grupo de triángulos, aquellos que son oblicuángulos.

Actividad 1. Utiliza un transportador para identificar qué triángulos son

oblicuángulos.

Cuando estudiamos los triángulos rectángulos vimos que resolverlos era encontrar

sus lados o ángulos desconocidos. Lo mismo es resolver un triángulo oblicuángulo.

Como ya vimos, es posible resolver un triángulo oblicuángulo dividiéndolo en

triángulos rectángulos. En la sección siguiente resolveremos un triángulo oblicuángulo

directamente (sin separarlo en rectángulos)

2. Teorema del seno. Demostración y

formulación .

Observa los lados y los ángulos del triángulo oblicuángulo siguiente (memorízalos):

Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del seno establece lo

siguiente:

d e

g

h

e

a

b c

j

i

A C

B

c a

b

¡Fácil de recordar! El lado A es el

opuesto del ángulo a; El lado B es el

opuesto del ángulo b; El lado C es el

opuesto del ángulo c.

A B C Es decir que los lados son proporcionales a los

senos de los ángulos opuestos.

Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del seno para un triángulo oblicuángulo.

Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del seno.

La anterior fórmula equivale a: Sen a Sen b Sen c

A B C

En la resolución de triángulos oblicuángulos, se tomará una sola igualdad.

A B A C o B C

Sen a Sen b Sen a Sen c Sen b Sen c

O también:

Sen a Sen b Sen a Sen c o Sen b Sen c

A B A C B C

Demostración

Para demostrar el teorema del seno, recordemos lo que es la altura de un triángulo. La

altura es aquella línea que parte de un vértice y cae perpendicularmente en una base

del triángulo. Es decir que toda altura formará, de alguna manera, un triángulo

rectángulo. En el triángulo siguiente aparecen 2 alturas: H y h.

Cada altura divide el triángulo en 2 rectángulos. De acuerdo con lo estudiado en la

unidad anterior, para los rectángulos en los que H es el lado opuesto, se tiene que:

Sen c = H/A y Sen a = H/C De estas 2 igualdades se tiene que:

H = A Sen c y H = C Sen a Es decir que: A Sen c = C Sen a Que

equivale a:

Sen a Sen b Sen c = =

= =

A C

B

c a

b

H

h

= o = =

= o = =

Primera igualdad Segunda igualdad Tercera igualdad

A C

Sen a Sen c

O también:

Sen a Sen c

A C

Ahora tomemos la altura h, que también divide al oblicuángulo en 2 triángulos

rectángulos. Para dichos triángulos se tiene que:

Sen b = h/A y Sen a = h/B De estas 2 igualdades se tiene que:

h = A Sen b y h = B Sen a Es decir que: A Sen b = B Sen a Que

equivale a:

A B

Sen a Sen b

O también:

Sen a Sen b

A B

3. Teorema del coseno. Demostración y formulación .s

Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del coseno establece lo

siguiente:

A

2 = B

2 + C

2 –2BC Cos a

B

2 = A

2 + C

2 –2 AC Cos b

C

2 = A

2 + B

2 –2AB Cos c

Demostración

A C

B

c a

b

¡Fácil de recordar! Los lados A y B

forman el ángulo c; los lados A y C

forman el ángulo b; los lados B y C

forman el ángulo a.

= ó = =

= ó = =

Esta es la segunda igualdad de las anteriores.

= ó = = Esta es la primera igualdad de las anteriores.

=

¡Fácil de recordar! A

2 va con -

Cos a; B

2 va con - Cos b; C

2 va

con - Cos c.

Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del coseno para un triángulo oblicuángulo.

Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del coseno.

A este triángulo la altura (h) lo divide en 2 triángulos rectángulos.

Conforme con Pitágoras, se tiene que:

.h2 = C

2 – x

2 y también h

2 = A

2 – (B – x)

2

A C

c a

b

h

Al igualar, obtenemos: C2 – x2 = A2 – (B – x)2

= A2 – (B2 – 2Bx + x2)

C2 – x2 = A2 – B2 + 2Bx - x2

C2 = A2 – B2 + 2Bx

Observemos que: Cos c = (B – x)/ A Al despeja x, obtenemos: x = B – A Cos c

Sustituyamos x.

C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c)

C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c) = A2 – B2 + 2B2 – 2BA Cos c

C2 = A2 + B2 – 2AB Cos c

Actividad 2. Demostrar que: 1. A

2 = B

2 + C

2 –2BC Cos a y 2. B

2 = A

2 + C

2 –2

AC Cos b

(tracen las alturas correspondientes)

C C