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Matemática Analítica 4

Unidad 5

SERIES

tal expresión se denomina serie infinita, o sólo serie, y se denota con el símbolo

1,1

ón

nn

n aa

Sea la suma de los términos de una sucesión infinita

......321 naaaa

SERIE NUMÉRICA

1nna

,,

El subíndice del primer término de una serie puede ser como en:

00

ónn

nn

n aa

DEFINICIÓN

Dada la serie

Denotemos con Sn la n-ésima suma parcial:

...3211

aaaak

k

n

n

kkn aaaaaS

...3211

Si la sucesión es convergente y

existe, la serie se denomina

convergente y se escribe

El número se llama suma de la serie. Si no fuese

así, la serie se llama divergente.

CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

nS

1,n

na

S

SSnn

lim

.1,

San

n

EJEMPLOS

Diga si las series convergen o divergen.

Si alguna converge, calcule su suma.

Diga si las series convergen o divergen.

Si alguna converge, calcule su suma.

1

.1n

n

1

)1(.2n

n

1 )1(

1.3

n nn

Un ejemplo importante de una serie infinita, es la

serie geométrica:

0

32 ......1n

nn rrrrr

SERIE GEOMÉTRICA

Suma de la serie geométrica:

Si | r | 1, la serie geométrica converge y la suma es igual a:

Si | r | 1, la serie diverge.

...1 2

0

n

n

n r...rrr

0 11

n

n

rrS

SUMA DE UNA SERIE GEOMÉTRICA

1. Calcule la suma de la serie geométrica:

...2740

920

310

5

EJEMPLOS

2. ¿Es convergente o divergente la serie dada?

1

12 32n

nn

SERIE ARMÓNICA

es conocida como la serie armónica y es divergente.

La serie:

1

1...

41

31

21

1n n

SERIE DE BASILEA

1

2222

1...

41

31

21

1n n

La serie:

es llamada serie de Basilea y es convergente.

61 2

12

n nS

p-SERIE

La serie se denomina p-serie y es convergente

si y divergente si .

1

1

npn

1p 1p

Si la serie es convergente, entonces

1,nna

0lím n

na

PROPIEDADES DE SERIES CONVERGENTES

¡Pero el enunciado inverso no es cierto!

EJEMPLO

La serie es divergente, sin embargo:

1

1

n n

01

lim nn

nn

a

lím

1nna

Si no existe ó ,

entonces es divergente.

0lím n

na

PRUEBA DE LA DIVERGENCIA

Determine si la sgte serie es convergente o divergente:

1

1cos

n n

EJEMPLO

Si y son series convergentes, entonces

también lo son las series (donde es

constante), y . .

Además, se satisfacen las siguientes igualdades:

1,n

na 1,n

nb

1,n

nca

.)(1,

n

nn ba

1,1, n

nn

n acca(i) 1,1,1, n

nn

nn

nn baba(ii)

TEOREMA

c

Determine la suma de la serie:

n

n nn 21

)1(3

1

EJEMPLO

EJEMPLOS

Determine la convergencia de las siguientes series:

a.

b.

c.

15

1

n n

15

1

n n

185.0

2

n n

PRUEBAS DE COMPARACIÓN

Suponga que y son series con

términos positivos.

a.Si es convergente y para

toda , entonces es convergente.

b.Si es divergente y

para toda ,, entonces es divergente.1,n

na

1,n

nb

1,n

nb

nn ba

nn ab

n 1,n

na

n

1,n

nb1,n

na

EJEMPLOS

Determine si las series son convergentes:

a.

b.

c.

d.

12

2

1cos

n nn

13 1

1

n n

18 11

n n

1

3

2

1n nn

SERIES ALTERNANTES

.alternante seriellama se

bbbbbb

:también o

bbbbbb

:forma la de serieUna

nn

nn

nn

nn

)0(...4321

)1(

)0(...4321

)1(

1,

1,

1

CRITERIO DE LEIBNIZ

0...1 6543211,

1 n

nn

n bbbbbbbb

Si la serie alternante:

(i) , para toda n>

cumple con:

bb nn

1

(ii) 0lím

bnn

Entonces, la serie es convergente.

.0n

Nota:quiere decir que la sucesión es decreciente.Puede usar conceptos del Cálculo Diferencial para probar dicha propiedad.

Determine si las series convergen o divergen:

1

1 11...

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11.1

n

n

n

1 14

31.2

n

n

n

n

13

21

11.3

n

n

n

n

EJEMPLOS

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Una serie es denominada absolutamente convergente

si la serie de los valores absolutos es convergente.

1,n

na

1,n

na

Una serie se llama condicionalmente convergente

si es convergente, pero no absolutamente convergente.

1,n

na

...5

1

4

1

3

1

2

11

11.1

22221

21

n

n

n

Determine si las series son condicionalmente convergentes, absolutamente convergentes ó divergentes.

EJEMPLOS

...5

1

4

1

3

1

2

11

11.2

1

1

n

n

n

Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Nota: El enunciado inverso no es cierto

TEOREMA

EJEMPLO

La serie es convergente,

pero no es absolutamente convergente.

1

1 1)1(

n

n

n

CRITERIO DE D´ALEMBERT

.econvergent esserie la entoncesSi1

a 1,L -n

n

La

alímSea

n

n

n

1

.divergente es serie la entonces, ó1Si -1

n

naLL

n.informació da no criterio el,1Si - L

1

:deiaconvergenclaEstudiemosn

na

1. Diga si la serie es absolutamente

convergente.

1

3

31

nn

n n

2. Diga si la serie es convergente.

1 !n

n

n

n

EJEMPLOS

SERIES DE POTENCIAS

Una serie de potencias tiene la forma:

...2210

0

axcaxccaxcn

nn

Potencias en:

con centro en:

ax a

Nota: Se toma la convención de que (x – a)0 = 1, incluso si .ax

REPRESENTACION DE FUNCIONES POR SERIE DE POTENCIAS

La función exponencial se puede representar como

una serie de potencias alrededor del cero:

Ver Applet

...!3!2

132

xxxex

0

!n

nx

n

xe

REPRESENTACION DE FUNCIONES

POR SERIE DE POTENCIAS

La función seno se puede representar como una

serie de potencias alrededor del cero :

...!7!5!3

sen753

xxx

xx

12

1

1

!)12(

1)1(sen

n

n

n xn

x

Ver Applet

INTERVALO DE CONVERGENCIAINTERVALO DE CONVERGENCIA

El intervalo de convergencia de una serie

de potencias está formado por los valores de

para los cuales la serie converge.

Puede ser un intervalo abierto, cerrado ó

semi-cerrado. También hay casos en que

la convergencia solo se produce en un punto.

x

RADIO DE CONVERGENCIA

Para cada serie existe un número

llamado radio de convergencia de la serie de

potencias, tal que ésta converge para

y diverge para

Nota: Si R = 0, la serie solo converge en un punto.

0n

nn axc ,R 0

Rax

.Rax

RADIO DE CONVERGENCIA

Teorema

Para una serie de potencias

hay sólo tres posibilidades:

i) La serie converge sólo en un punto cuando

ii) La serie converge para todo

iii) Existe un número tal que la serie converge

si y diverge si

.ax

.Rx0R

.Rax Rax

0n

nn axc

EJEMPLOS Exprese como una serie de potencias alrededor del cero de

las siguientes funciones señalando su radio de convergencia.

a.

c. 42

)(

x

xf16

22)( 2

xxx

xf

d. xexxf 42)(

b.

3

2

8)(

xx

xf

R R

a R a Ra

Convergencia para

Divergencia para

x a R

x a R

RADIO DE CONVERGENCIA

EJEMPLOS

Determine el radio de convergencia de las

siguientes series de potencias:

k k

k k

n n

n

k ! x xk !

x

n

0 0

0

11 233 1

0

)(k

kk axcxfSi una serie de potencias

1.

1

1)(k

kk axkcxf

2.

.; Ix

DERIVACIÓN DE SERIES

es convergente en un intervalo abierto I, entonces

es derivable en I y se cumple:

.; Ix

2

2)1()(''k

kk axckkxf

0

)(k

kk axcxfSi una serie de potencias

0

1

1)(

k

kk

kaxc

Cdxxf

INTEGRACIÓN DE SERIES

es convergente en un intervalo abierto I, entonces es

integrable en I y se cumple:

.; Ix

1. En base a lo anterior, deduzca una representación en

serie de potencias de las siguientes funciones:

21

1)(

xxf

xxf arctan)(

EJEMPLOS

2. Exprese la integral como una serie numérica.

dxx

x

4

3

2

1

)1ln(

SERIE DEL BINOMIO

Si es un número real y , entonces:

m 1x

...!2

)1(11 2

0

xmm

mxxn

mx n

n

m

EJEMPLO

Represente en serie de potencias alrededor del

cero de la función:

Además encuentre su radio de convergencia.

x.

4

1)(

xxf

0 !n

nn

axn

af

SERIE DE TAYLOR

Si f tiene derivadas de todo orden en

, Ia

entonces:

se llama la serie de Taylor de f alrededor de . a

MODELACIÓN DE SERIES TRUNCADAS

Si donde es el

polinomio de Taylor de n-ésimo grado de en

y para entonces es

igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo

),()()( xRxTxf nn )(xTn

f a

0)(lim

xRnn

Rax

.Rax

EJEMPLO

Obtenga una aproximación de por medio

del polinomio de Taylor de grado 2 en

3)( xxf .8a

OBSERVACIONES

La serie de Taylor de alrededor de

f

converge a , a

en un punto Ix1.

2. Si en la Serie de Taylor se le da el

nombre especial de la Serie de Macclaurin.

,0 a

0)(lím

xRnn

Rn (x) es el residuo de orden n.

ALGUNAS SERIES DE TAYLOR

1

1)1()1ln(k

kk

kx

x

Rxk

xx

k

kk

;!2

1cos0

2

1x

EJEMPLOS

1) Utilice una serie conocida y represente f como serie de potencias:

)1ln()( xxf

2) Desarrolle f en serie de Taylor alrededor de : 3

xxf cos)(

ANALITICIDAD DE FUNCIONES

Definición:

Una función f es analítica en un punto a si se puede

expresar mediante una serie de potencias alrededor

de a.

PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES DE UNA EDOL Sea la EDOL:

Se puede escribir en la forma:

0)(')('')( 012 yxayxayxa

0)(')('' yxQyxPy

Definición:

Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuación dada si

P(x) y Q(x) son analíticas en x0. Un punto que no es

ordinario se llama punto singular de la ecuación.

Si x0 es un punto ordinario de la EDOL, existen dos

soluciones L.I. en forma de series de potencias centradas en

x0, es decir, dos soluciones de la forma:

TEOREMA Sea la EDOL:

0)(')('')( 012 yxayxayxa

0

0n

nn xxcy

CORRIMIENTO DE ÍNDICES

Escriba la expresión siguiente como una sola

serie de la forma : nn xa

2 0

121n n

nn

nn xcxcnn

CORRIMIENTO DE ÍNDICES

Escriba la expresión siguiente como una sola

serie de la forma: n

n xa

02 1

122 11n

nn

n n

nn

nn xcxncxxcnnx

SOLUCIÓN DE EDOL HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS

Encuentre dos soluciones L.I. en forma de series de

potencia alrededor de 0 de la EDOL:

0'' xyy

Encuentre dos soluciones L.I. en forma de series de

potencia alrededor de 0 de la EDOL:

0''')1( 2 yxyyx

EJEMPLO

SOLUCIÓN DE EDOL HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

Halle la solución general de la ecuación diferencial:

01 y)x("xy

SOLUCIÓN DE EDOL NO HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS

Halle la solución del PVI:

0)0(')0(,2''' yyeyxyy x

SOLUCIÓN DE EDOL NO HOMOGÉNEA MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS

Halle la solución general de la ecuación diferencial:

32 10252''' xxxyyxy