unidad-4.pdf

4Soluciones a las actividades de cada epgrafePGINA 84

En una comarca hay una cierta especie de vegetal que se encuentracon frecuencia. Se ha estudiado la cantidad media de ejemplares porhectrea que hay a distintas alturas. El resultado se da en la grfica si-guiente:

1 Cul es el nmero medio de ejemplares a 500 m? Y a 1200 m?A qu altura hay mayor nmero de ejemplares?

A 500 m, unos 225 ejemplares.

A 1 200 m, unos 100 ejemplares.

A una altura de 700 m es donde ms ejemplares encuentran.

2 En otra comarca de caractersticas similares hay alturas de 2 000 m. Cuntosejemplares de esas plantas crees que se encontrarn en esas cotas?

En esas cotas no encontrarn ejemplares.

3 Haz una descripcin global de la funcin, de modo que se diga con brevedadcmo evoluciona el nmero de ejemplares por hectrea con la altura.

A unos 400 m encuentran, de media, algo menos de 200 ejemplares. A partir deesta altura, segn ascienden, el nmero de ejemplares aumenta, hasta llegar al m-ximo de unos 260 a los 700 m. A partir de esta altura, el nmero de ejemplaresdesciende segn aumenta la altura, hasta que en la cota de 1 700 m no encuentranejemplares.

500 1000 1500

300

200

100

ALTURA (m)

NMERO DE EJEMPLARES

Pg. 1

Unidad 4. Funciones. Caractersticas


ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Haz una grfica en la que se vea representado el recorrido de Alberto, desdesu casa hasta el colegio, en funcin del tiempo:

De casa sali a las 8:30 y fue sin parar hasta casa de su amigo ker. Lo espe-r un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, haciael colegio. Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de que se haba dejadola cartera en el banco; volvi corriendo, la recogi y lleg al colegio a las 9 enpunto.

2 Di cunto cuesta dejar el coche:

a) 0,5 horas b)1,5 horas c) 2,5 horas d)5,5 horas

Representa grficamente la variacin del coste en funcin del tiempo.

a) 0

b) 0,5

c) 1,5

d)7,5

COSTE ()

1

5

10

15

2 3 4 5 6 7 8 9 10TIEMPO (horas)

TABLA DE PRECIOS: APARCAMIENTO LA TRANQUERAPRIMERA HORA: GratisSEGUNDA HORA: 0,5 TERCERA HORA: 1 CUARTA HORA EN ADELANTE: 2 ms por cada horaESTANCIA MXIMA: 10 horas

ESPACIO RECORRIDO

A CAS

A DE I

KER BANCO A

L COLEG

IOC

OR

RE

8:30 9:00TIEMPO

Pg. 2


4Soluciones a las actividades de cada epgrafe3 Di el valor de la pendiente de cada uno de los siguientes segmentos:

AB, BC, CD, DF, FE

AB 8 BC 8 CD 8 2 DF 8 1 FE 8

4 Calcula el valor de la pendiente de cada segmento, PQ, QR, RS, ST, TQ,conociendo las coordenadas de sus extremos:

P (4, 1), Q(1, 6), R(5, 4), S(6, 2), T(2, 2)

PQ 8 = = 1 QR 8 = =

RS 8 = 6 ST 8 = 0 TQ 8 =

PGINA 86

1 La grfica describe la temperatura a la que sale el agua de un grifo que est unrato abierto.

a) Cules son las dos variables?

b)Explica por qu es una funcin.

c) Cules son el dominio de definicin y el recorrido?

a) Variable independiente 8 tiempo (min)Variable dependiente 8 temperatura (C)

b) Para cada valor del tiempo hay un nico valor de temperatura.

c) Dominio = [0, 6]

Recorrido = [10, 58]

1

10

20

30

40

50

60

2 3 4 5 6

TIEMPO (min)

TEMPERATURA (C)

83

2 62 1

2 + 22 6

2 46 5

12

24

4 65 1

55

6 11 + 4

13

13

52

A

B

F

D

C

E

Pg. 3


4Soluciones a las actividades de cada epgrafe2 Una de estas dos grficas corresponde a una funcin, y la otra, no. Identifica

cada cual, razonadamente.

La grfica de la izquierda es una funcin: a cada valor de x le corresponde un ni-co valor de y.

La grfica de la derecha no es funcin: hay valores de x a los que les corresponde 2 3 valores de y.

PGINA 87

1 Vamos a analizar la grfica correspondiente al ndice de la bolsa:

a) Te parece razonable que la grfica arranque exactamente del valor 100?

b)El mximo anual fue del 128%. En qu momento ocurri? Contesta apro-ximadamente.

c) Cul fue el mnimo anual? En qu momento sucedi?

d)Cul fue el valor de la bolsa a final de ao?

a) S. La grfica marca el porcentaje sobre el valor al comienzo del ao, y al co-mienzo del ao debe estar al 100%.

b) En los comienzos del mes de abril.

c) El mnimo anual fue del 65%, aproximadamente. Ocurri a finales del mes deoctubre.

d) A final de ao el valor era de un 90%.

NDICE DE LA BOLSA EN UN AO

100%

50%

E F M A M J J A S O N D

PORCENTAJE SOBREEL VALOR ALCOMIENZO DEL AO

Y

X

Y

X

Pg. 4


4Soluciones a las actividades de cada epgrafe2 Vamos a analizar la grfica que describe la velocidad del ciclista:

a) Cunto tiempo tarda en hacer el recorrido?

b)En los primeros 15 minutos circula en llano. A qu velocidad lo hace? Qudistancia recorre?

c) Entre los 18 y los 22 minutos va cuesta arriba. Di a qu velocidad.

d)Seala un intervalo de 5 minutos en el que marcha cuesta abajo. A qu ve-locidad lo hace?

a) 70 minutos = 1 h 10 min.

b) Aunque al final de esos 15 minutos la velocidad decae un poco, consideraremosque va, durante todo ese tiempo, a 25 km/h. En esos 15 minutos recorre:

km = 6,25 km

c) Cuando empieza la subida va a 20 km/h y desciende su velocidad en ese tramode tiempo hasta llegar a, aproximadamente, unos 16 km/h.

d) Entre los minutos 35 y 40. Comienza a una velocidad de 25 km/h y acaba a 38 km/h.

PGINA 88

3 Halla la cuota que corresponde a cada una de las siguientes bases liquidables:a) 2 500 b)12 640

c) 25 000 d)93 000

a) 15% de 2 500 = 375 b) 12 640 4 000 = 8 640

25% de 8 640 = 8 640 0,25 = 2 160

2 160 + 600 = 2 760

c) 25 000 14 000 = 11 000 d) 93 000 46 000 = 47 000

11 000 0,28 = 3 080 47 000 0,45 = 21 150

3 080 + 3 000 = 6 080 21 150 + 13 760 = 34 910

254

VELOCIDAD DE UN CICLISTAEN CADA INSTANTE DE UN RECORRIDO

5

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50 60 70

VELOCIDAD (km/h)

TIEMPO (min)

Pg. 5



4 En el EJEMPLO 1, calcula la distancia de frenada para velocidades de 10, 40, 80,100, 120, 150 y 200 km/h.

A qu velocidad corresponde una distancia de 60 m?

v = 10 km/h 8 d = 0,0074 100 + 0,21 10 = 2,84 m

v = 40 km/h 8 d = 0,0074 1 600 + 0,21 40 = 20,24 m

v = 80 km/h 8 d = 0,0074 6 400 + 0,21 80 = 64,16 m

v = 100 km/h 8 d = 0,0074 10 000 + 0,21 100 = 95 m

v = 120 km/h 8 d = 0,0074 14 400 + 0,21 120 = 131,76 m

v = 150 km/h 8 d = 0,0074 22 500 + 0,21 150 = 198 m

v = 200 km/h 8 d = 0,0074 40 000 + 0,21 200 = 338 m

5 En el EJEMPLO 2, halla el volumen de una esfera de radio 5 cm y el radio de unaesfera de volumen 800 cm3.

V = 53 = cm3 523,6 cm3

r = = = cm 5,76 cm

6 Halla (EJEMPLO 3) el periodo de un pndulo de 1 m de largo. Se dice que esepndulo bate segundos. Es razonable la expresin?

T = = 2 s

La expresin bate segundos es razonable: en cada oscilacin, la ida la hace en 1 se-gundo y la vuelta en otro segundo.

4

3 600 3 2 400 43 3V 4

5003

43

5 cm

800 cm3

Pg. 6


4Soluciones a las actividades de cada epgrafe7 Calcula el tamao aparente, A, de un objeto (EJEMPLO 4) para los siguientes

valores de d:0; 0,5; 1; 1,5; 1,9; 1,99.

Para d = 4 se obtiene A = 1. Eso significa que el objeto se ve del mismo ta-mao, pero invertido. Interpreta los valores de A para d:

10; 5; 2,5; 2,1; 2,01.

d = 0 8 A = 1

d = 0,5 8 A = 4/3

d = 1 8 A = 2

d = 1,5 8 A = 4

d = 1,9 8 A = 20

d = 1,99 8 A = 200

d = 10 8 A = 1/4. El objeto se ve a 1/4 de su tamao, e invertido.

d = 5 8 A = 2/3. El objeto se ve a 2/3 de su tamao, e invertido.

d = 2,5 8 A = 4. El objeto se ve a 4 veces su tamao, e invertido.



PGINA 90

1 Halla el dominio de definicin de:a) y =

b)y =

c) y =

a) x2 + 2x 8 = 0 8 x = = =

Dom y = (@, 4) (4, 2) (2, +@)

b) x 5 0 8 x 5

Dom y = [5, +@)

c) x 5 > 0 8 x > 5

Dom y = (5, +@)

24

2 62

2 4 + 322

1

x 5

x 5

1x2 + 2x 8

Pg. 7



1 Construye una funcin similar a la , pero para el caso de que se pague 1 euro cada media hora. Cul de las dos opciones de pago te parece ms justa?

Esta opcin de pago es ms justa que la del ejemplo.

2 Analiza la funcin para valores prximos a 2. Comprueba que cuando xvale 1,9; 1,99; 1,999; 2,01; 2,001, la y toma valores muy grandes.

x = 1,9 8 y = = 100

x = 1,99 8 y = = 104

x = 1,999 8 y = = 106

x = 2,01 8 y = = 104

x = 2,001 8 y = = 106

PGINA 92

1 De la funcin de la derecha di:a) En qu intervalos es creciente y en cules

es decreciente.

b)Cules son sus mximos y sus mnimosrelativos.

a) Crece en (@, 3) (5, +@).

Decrece en (@, 5) (3, 5).

b) Mximo relativo en el punto (3, 5).

Mnimos relativos en los puntos (5, 3) y (5, 2).

1(2,001 2)2

1(2,01 2)2

1(1,999 2)2

1(1,99 2)2

1(1,9 2)2

3

COSTE ()

1

2

2 3 4TIEMPO (h)

4

6

8

1

Pg. 8



2 Halla la tasa de variacin media (T.V.M.) de la funcinf representada, en los intervalos [1, 3], [3, 6], [6, 8], [8, 9] y [3, 9].

T.V.M. [1, 3] = = T.V.M. [3, 6] = =

T.V.M. [6, 8] = = 1 T.V.M. [8, 9] = = 4

T.V.M. [3, 9] = =

3 Halla la T.V.M. de la funcin y = x2 4x + 5 (EJERCICIO RESUELTO 2) en [0, 2],[1, 3] y [1, 4].

T.V.M. [0, 2] = = 2 T.V.M. [1, 3] = = 0

T.V.M. [1, 4] = = 1

4 Halla la velocidad media de la piedra del EJERCICIO RESUELTO 3 en los interva-los [0, 1], [0, 3], [3, 4] y [4, 8].

T.V.M. [0, 1] = = 35 T.V.M. [0, 3] = = 25

T.V.M. [3, 4] = = 5 T.V.M. [4, 8] = = 20

PGINA 95

1 La cantidad de radiactividad que posee una sustancia se reduce a la mitad cadaao. La grfica adjunta describe la cantidad de radiactividad que hay en unaporcin de esa sustancia al transcurrir el tiempo.

A cunto tiende la radiactividad con el paso deltiempo?

La radiactividad, con el paso del tiempo, tiende a cero.

1

RADIACTIVIDAD

TIEMPO (aos)1 2

0 808 4

80 754 3

75 03 0

35 01 0

5 24 1

2 23 1

1 52

56

8 39 3

8 49 8

4 28 6

13

2 36 3

32

3 63 1

1 3 6 8 9

f

Pg. 9


4Soluciones a las actividades de cada epgrafe2 La cisterna de unos servicios pblicos se llena y se vaca, automticamente,

cada dos minutos, siguiendo el ritmo de la grfica adjunta.

a) Dibuja la grfica correspondiente a 10 min.

b) Cunta agua habr en la cisterna en los siguientes ins-tantes?

I) 17 min II) 40 min 30 s III) 1 h 9 min 30 s

a)

b) I) f (17) = f (1) = 20 litros

II) f (40 min 30 s) = f (30 s) = 10 litros

III) f (1 h 9 min 30 s) = f (1 min 30 s) = 30 litros

TIEMPO (min)1

10

20

30

VOLUMEN (l )

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

10

20

30

2

VOLUMEN (l )

TIEMPO (min)

Pg. 10


4Soluciones a los ejercicios y problemasPGINA 96

R A C T I C A

I n t e r p r e t a c i n d e g r f i c a s

1 Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo, David, cada mes desde quenaci hasta los 21 meses. Estas son las grficas de la longitud y del peso deDavid en funcin de la edad:

a) Cunto meda y pesaba David cuando naci?

b) Cunto creci David los seis primeros meses? Y de los seis a los veintin me-ses? En qu meses fue mayor su crecimiento?

c) Cunto aument de peso David los dos primeros meses? Y del mes 12 almes 18?

d)Cunto pesaba David cuando meda 80 cm? Qu edad tena entonces?

a) Al nacer, David meda 52 cm y pesaba 3,5 kg.

b) En los seis primeros meses creci, aproximadamente, 20 cm.

De los meses 6 a 21 creci, aproximadamente, 18 cm.

Su crecimiento fue mayor en los dos primeros meses.

c) Los dos primersos meses aument su peso 3,5 kg.

Del mes 12 al mes 18 aument su peso, aproximadamente, 400 gramos.

d) Cuando David meda 80 cm tena 11 meses y a esa edad pesaba 13,2 kg.

2

4

6

8

10

12

14PESO (kg)

EDAD (meses)

3 6 9 12 15 18 21

3 6 9 12 15 18 21

50

60

70

80

90LONGITUD (cm)

EDAD (meses)

P

Pg. 1


4Soluciones a los ejercicios y problemas2 Esta es la grfica de la evolucin de la temperatura de un enfermo:

a) Cunto tiempo estuvo en observacin?

b) En qu da la temperatura alcanza un mximo? Y un mnimo?

c) En qu intervalos de tiempo crece la temperatura y en cules decrece?

d)Qu tendencia tiene la temperatura?

e) Elabora un pequeo informe interpretando tus resultados.

a) Estuvo en observacin 7 das.

b) El segundo da la temperatura alcanz un mximo.

El quinto da la temperatura alcanz un mnimo.

c) La temperatura crece en (1, 2) (5; 5,5).

La temperatura decrece en (2; 2,5) (3,5; 5).

d) La temperatura tiende a estabilizarse en torno a los 36,5 C.

e) Durante el primer da de observacin, la temperatura del paciente se mantieneconstante en 36,5 C. A lo largo del segundo da sube hasta alcanzar, al final delda, una temperatura mxima de 39,5 C. El tercer da, comienza a bajar hasta si-tuarse en 39 C a la mitad del da. Permanece constante en esos 39 C hasta me-dioda del da siguiente (cuarto da de la observacin). A partir de este momentobaja paulatinamente hasta que se sita, al final del quinto da, en una temperatu-ra mnima de 36 C. En el inicio del da sexto, la temperatura sube medio gradoy, a partir de ah, se estabiliza en 36,5 C hasta el final del sptimo da, momen-to en el que finaliza la observacin.

3 Hemos sacado de la nevera un vaso con agua y lo hemos dejado sobre lamesa de la cocina. Esta grfica muestra la temperatura del agua en grados cen-tgrados al pasar el tiempo.

20 40 602

8

16

22

TEMPERATURA (C)

TIEMPO (min)

1 2 3 4 5 6 7

36

37

38

39

40 TEMPERATURA (C)

TIEMPO (das)

Pg. 2


4Soluciones a los ejercicios y problemasa) A qu temperatura est el interior de la nevera?

b) A qu temperatura est la habitacin?

c) Imagina que en ese mismo momento sacamos del microondas un vaso conagua a 98 C y lo dejamos sobre la mesa. Dibuja una grfica aproximada quemuestre la temperatura del agua en este segundo vaso al pasar el tiempo.

a) El interior de la nevera est a 2 C.

b) La habitacin est a 22 C.

c)

G r f i c a s , f r m u l a s y t a b l a s

4 Un nadador se deja caer desde un trampoln. Su entrenador ha medido elespacio que recorre cada cuatro dcimas de segundo mediante un mtodo fo-togrfico. Obtiene la siguiente tabla:

El nadador se ha detenido a los 17 metros.

a) Representa la grfica espacio-tiempo.

b) Sabras decir en qu momento entr en el agua?

c) Qu velocidad estimas que llevaba en el momento de entrar en el agua?

d)Qu altura tiene el trampoln?

a) ESPACIO (m)

0,40

2

0,8 1,2 1,6 2 2,4TIEMPO (s)

4

6

8

10

12

14

16

18

T I E M P O (s) 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4

E S PAC I O (m) 0 0,78 3,13 7,05 12,5 12,58 16,6

TEMPERATURA (C)

TIEMPO

98

1022

50

Pg. 3


4Soluciones a los ejercicios y problemasb) Entr en el agua a los 1,6 segundos de haber saltado.

c) Estimamos la velocidad calculando la T.V.M. en el intervalo [1,2; 1,6]:

T.V.M. [1,2; 1,6] = = = 13,625

Estimamos que la velocidad era de 13,625 m/s.

d) El trampoln tiene unos 12 m de altura.

PGINA 97

5 Representa la funcin y = x3 3x + 2 definida en [2, 3]. Para ello, com-pleta la tabla:

Cul es el recorrido de la funcin?

Recorrido = [0, 20]

6 Tres deportistas han estado nadando durante media hora. Su entrenadorha medido las distancias recorridas cada 5 minutos y ha obtenido los siguien-tes datos:

a) Dibuja la grfica que relaciona la distancia y el tiempo de cada nadador ydescrbelas.

T I E M P O (min) 5 10 15 20 25 30

D I S TA N C I A A(m) 95 235 425 650 875 1 100

D I S TA N C I A B(m) 250 500 750 1 000 1 250 1 500

D I S TA N C I A C(m) 360 710 1 020 1 300 1 490 1 600

20

2

4X

Y

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20x 2 1 0 1 2 3

y 0 4 2 0 4 20

x 2 1 0 1 2 3

y

5,450,4

12,5 7,051,6 1,2

Pg. 4


4Soluciones a los ejercicios y problemasb)Ha habido algn adelantamiento durante la media hora?

c) Calcula la velocidad media de cada uno en todo el recorrido.

d) Cul es el dominio y el recorrido de cada una de las tres funciones?

a)

b) No ha habido ningn adelantamiento.

c) Vm (A) = = 36,67 m/min

Vm (B) = = 50 m/min

Vm (C) = = 53,3 m/min

d) Dom A = Dom B = Dom C = [0, 30]

Rec A = [0, 1 100] Rec B = [0, 1 500] Rec C = [0, 1 600]

7 Cuando una persona sana toma 50 g de glucosa en ayunas, su glucemia(% de glucosa en la sangre) se eleva, en una hora aproximadamente, desde 90mg/dl, que es el nivel normal, hasta 120 mg/dl. Luego, en las 3 horas siguien-tes, disminuye hasta valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a la nor-malidad al cabo de 5 horas.

a) Representa la curva de glucemia de una persona sana.

b)Di cul es su mximo, su mnimo y explica su tendencia.

a)

b) El mximo es de 120 mg/dl al cabo de 1 h de iniciar la toma. El mnimo est li-geramente por debajo de 90 mg/dl y se alcanza a las 4 h de iniciar la toma.

La tendencia de la funcin es 90 mg/dl (tener la glucemia en un nivel normal).

1

30

60

90

120

GLUCEMIA (mg/dl )

TIEMPO (horas)2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 60030

1 50030

1 10030

5

200

400

DISTANCIA (m)

TIEMPO (min)10 15 20 25 30

600

800

1000

1200

1400

1600

Pg. 5


4Soluciones a los ejercicios y problemas8 La intensidad del sonido de un foco sonoro es menor a medida que nos

alejamos de l.

a) Representa la intensidad del sonido en funcin de la distancia al foco sonoro.

b) Cul es la tendencia?

a) Una posible grfica es:

b) La tendencia de la funcin es cero: la intensidad del sonido es prcticamente nulaa medida que nos alejamos del foco.

I E N S A Y R E S U E LV E

9 Un tringulo issceles tiene 20 cm de permetro. Llama x al lado desi-gual e y a los lados iguales.a) Haz una tabla de valores y, a partir de ella, escribe la funcin que nos da el

valor de y dependiendo de x.b) Cul es su dominio de definicin?

c) Escribe la funcin que nos da el valor de x dependiendo de y.

a)y = 10

b) Dom y = (0, 20)

c) x + 2y = 20 8 x = 20 2y

10 Determina el dominio de definicin de las siguientes funciones:

a) y = b)y = c) y =

d)y = e) y = f ) y =

a) x 3 ? 0 8 x ? 3Dom y = (@, 3) (3, +@) = {3}

b) 2x + 10 ? 0 8 2x ? 10 8 x ? 5Dom y = (@, 5) (5, +@) = {5}

c) x2 + 1 ? 0 para cualquier valor de xDom y =

1x2 x

x 1x2 + x 6

2x

2x 1x2 + 1

3x2x + 10

1x 3

x2

x 2 4 6 8 10 12 14 16 18

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

P

INTENSIDAD

DISTANCIA

Pg. 6


4Soluciones a los ejercicios y problemasd) x ? 0 8 x ? 0

Dom y = (@, 0) (0, +@) = {0}

e) x2 + x 6 ? 0 x = = =

Dom y = (@, 3) (3, 2) (2, +@) = {3, 2}

f ) x2 x ? 0 8 x (x 1) ? 0 8 x ? 0 y x ? 1Dom y = (@, 0) (0, 1) (1, +@) = {0, 1}

11 Determina el dominio de definicin de las siguientes funciones:

a) y = b)y =

c) y = d)y =

e) y = f ) y = 1 5

a) x + 7 0 8 x 7Dom y = [7, +@)

b) 1 x 0 8 x 1Dom y = (@, 1]

c) 3x 9 0 8 3x 9 8 x 3Dom y = [3, +@)

d) x 0 8 x 0Dom y = (@, 0]

e) Dom y = f ) 2x + 2 0 8 2x 2 8 x 1

Dom y = [1, +@)

12 Resuelto en el libro de texto.

PGINA 98

13 Halla el dominio de definicin de las siguientes funciones:

a) y = b)y =

c) y = d)y =

e) y = f ) y =

a) x2 9 0

x2 9 = 0 8 (x + 3)(x 3) = 0

Dom y = (@, 3] [3, +@) 3 3

S SNo

x2 x + 24 x2x2x2x2 + 6x 7x2 9

2x + 233x 4

x3x 9

1 xx + 7

23

1 52

1 1 + 242

Pg. 7


4Soluciones a los ejercicios y problemasb) x2 + 6x 7 0 x2 + 6x 7 = 0 8

8 x = = =

Dom y = (@, 7] [1, +@)

c) x2 0 para cualquier valor de x.Dom y =

d) x2 < 0 para cualquier valor de x ? 0.

solo tiene sentido para x = 0.

Dom y = {0}

e) 4 x2 0(2 x)(2 + x) 0Dom y = [2, 2]

f ) x2 x + 2 0 x2 + x 2 = 0 8

8 x = = =

Dom y = [2, 1]

14 Observa esta funcin dada grficamente: Calcula su T.V.M. en los intervalos[0, 4], [0, 5], [5, 7], [0, 7], [4, 0] y[4, 2].

Copia en tu cuaderno la grfica y di-buja en cada caso el segmento delcual ests hallando la pendiente.

T.V.M. [0, 4] = = 1

T.V.M. [0, 5] = = 1

T.V.M. [5, 7] = = 2

T.V.M. [0, 7] = =

T.V.M. [4, 0] = =

T.V.M. [4, 2] = = 30 62 + 4

74

1 60 + 4

17

0 + 17

0 47 5

4 + 15

3 + 14

246 2 4 6

Y

X

4

2

2

4

2 1

No NoS12

1 32

1 1 + 82

4 4

No NoS

x2

7 1

S SNo

17

6 82

6 36 + 282

Pg. 8


246 2 4 6

Y

X

4

2

2

4

4Soluciones a los ejercicios y problemas15 Halla la T.V.M. de la funcin:

y = 3x3 + 9x2 3x 9

en los intervalos [2, 0], [1, 0], [3, 1], [0, 1].

T.V.M. [2, 0] = = 9 T.V.M. [1, 0] = = 9

T.V.M. [3, 1] = = 0 T.V.M. [0, 1] = = 9

16 La posicin de una partcula viene dada por la funcin:

s = (t4 8t 3 + 18t 2)

Calcula la velocidad media de dicha partcula en los intervalos [2, 4], [1, 2], [1, 3],[2, 3].

T.V.M. [2, 4] = = 2

T.V.M. [1, 2] = =

T.V.M. [1, 3] = = 4

T.V.M. [2, 3] = =

17 De cada una de las siguientes funciones di:a) En qu intervalos es creciente y en cules es decreciente.

b)Cules son sus mximos y sus mnimos relativos.

a) crece en (2, 2) (4, +@). Decrece en (@, 2) (2, 4).

crece en (@, 3) (0, 3). Decrece en (3, 0) (3, 4) (4, +@).

b) Mnimos relativos en los puntos (2, 2) y (4, 2). Mximo relativo en el pun-to (2, 5).

Mnimo relativo en el punto (0, 3). Mximos relativos en los puntos (3, 2)y (3, 1).

II

I

II

I

24 2 4

Y

X

2

2

4

24 2 4

Y

X

2

2

4I II

32

27/2 121

27/2 11/22

132

12 11/21

16 124 2

12

0 + 91

0 01 + 3

9 00 + 1

9 90 + 2

Pg. 9


4Soluciones a los ejercicios y problemas18 La grfica adjunta describe el valor de una empresa desde que abri.

Responde:

a) Cul era su valor en el momento de la apertura?

b) A cunto se redujo su valor despus de 4 meses?

c) Cul es la T.V.M. en el intervalo [4, 12]? Da el resultado en miles de eurospor mes.

d) Cul es la T.V.M. en [12, 14] y en [14, 20]?

e) Esta funcin tiene un mximo y dos mnimos relativos. Descrbelos.

f ) Cul parece la tendencia de esta funcin para los prximos meses?

g) Haz una descripcin global del valor de esta empresa en sus tres primerosaos.

a) El valor de la empresa en el momento de la apertura era de 600 000 .

b) Despus de 4 meses su valor se redujo a 200 000 .

c) T.V.M. [4, 12] = = 200 000 /mes

d) T.V.M. [12, 14] = = 100 000 /mes

T.V.M. [14, 20] = = 133 333 /mes

e) Mximo relativo en (12, 1 800 000)

Mnimos relativos en (4, 200 000) y (14, 1 600 000)

f ) Parece que el valor de la empresa, para los prximos meses, tiende a 2 600 000 .

g) El valor de la empresa tiene un brusco descenso en los cuatro primeros meses. Apartir de aqu crece rpidamente durante 8 meses y tiene una ligera cada en losdos meses siguientes. A partir del mes 14. crece rpidamente durante otros 6 me-ses y despus cada vez ms despacio. Su precio se aproxima a 2 600 000 .

2 400 000 1 600 00020 14

1 600 000 1 800 00014 12

1 800 000 200 00012 4

4 8 12 16 20 24 28

1

2

TIEMPO

(meses)

VALOR (millones de euros)

Pg. 10


4Soluciones a los ejercicios y problemas19 Es peridica esta funcin? Cul es su periodo?

Averigua los valores de la funcin en los puntos de abscisas x = 1, x = 3, x = 20, x = 23 y x = 42.

La funcin es peridica de periodo 4.

f (1) = 2; f (3) = 2,5; f (20) = f (0) = 1; f (23) = f (3) = 2,5; f (42) = f (2) = 2,5

20 Contina esta grfica sabiendo que se trata de una funcin peridica. Dicul es su periodo.

Su periodo es 3,5.

PGINA 99

E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R A

21 Calcula a, b y c para que los puntos A(12, a), B(3/4, b) y C(0, c)pertenezcan a la grfica de la funcin y = 3x2 x + 3.

A (12, a ) 8 a = 432 + 12 + 3 = 447

B , b 8 b = 3 + 3 =

C (0, c ) 8 c = 3

6316)34()916()34(

R

1

Y

X2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2

1

1

Y

X2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

1

Y

X2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

1

Pg. 11


4Soluciones a los ejercicios y problemas22 Observa la grfica de la funcin y responde:

a) Cules son su dominio de definicin y su recorrido?

b) Tiene mximo y mnimo relativos? En caso afirmativo, cules son?

c) Cules son los puntos de corte con los ejes?

d) En qu intervalos es la funcin creciente y en cules es decreciente?

a) Dominio = [4, 4)

Recorrido = [2, 4]

b) Tiene un mximo relativo en el punto (2, 4) y un mnimo relativo en (3, 2).

c) Corta a los ejes en los puntos (0, 2) y (1, 0).

d) Crece en (4, 2) (3, 4).Decrece en (2, 3).

23 a) Calcula la T.V.M. de la funcin y = 2x 3 en los intervalos [0, 1], [5, 6], [1, 5], [0, 7].

b)Observa que en todos los intervalos el valor obtenido es igual. Con qu ele-mento caracterstico de la recta coincide ese valor?

c) Generaliza completando la frase:

En las funciones lineales, la T.V.M. en cualquier intervalo es igual a.

a) T.V.M. [0, 1] = = 2 T.V.M. [5, 6] = = 2

T.V.M. [1, 5] = = 2 T.V.M. [0, 7] = = 2

b) Coincide con la pendiente de la recta y = 2x 3.

c) En las funciones lineales, la T.V.M. en cualquier intervalo es igual a su pendiente.

24 La expresin analtica de una funcin es de la forma y = ax3 + bx2 + c. Sisabemos que los puntos A(0, 2), B(1, 5) y C(2, 22) pertenecen a la gr-fica, cules sern los valores de a, b y c?

A (0, 2) 8 2 = c

22 = 8(7 b ) + 4b 2 8 22 = 56 + 8b + 4b 2 8 12b = 36 8 b = 3a = 7 b = 4

Los valores buscados son: a = 4, b = 3, c = 2.

a = 7 b

B (1, 5) 8 5 = a + b + c = a + b 2C (2, 22) 8 22 = 8a + 4b 2

11 + 37

7 + 15 1

9 71

1 + 31

24 2

Y

X

2

2

4

4

Pg. 12


4Soluciones a los ejercicios y problemas25 Di, razonadamente, si las siguientes frases son verdaderas o falsas:

a) Si una funcin es discontinua en un punto, dicho punto no pertenece al do-minio de definicin.

b)Si un punto no pertenece al dominio de definicin de una funcin, esta nopuede ser continua en ese punto.

c) Una funcin peridica podemos asegurar que es continua.

d)La pendiente de una recta es la T.V.M. de cualquier intervalo de esta.

a) Falsa. Una funcin discontinua por saltos puede estar definida en esos puntos (sal-tos) de discontinuidad.

b) Verdadera. Para que una funcin sea continua en un punto es necesario que estdefinida en l.

c) Falsa. No es necesario que una funcin sea continua para que sea peridica.

d) Verdadera.

Supongamos que la recta tiene una expresin y = mx + n. Su pendiente es m.Vamos a calcular la T.V.M. en un intervalo cualquiera [a, b ].

T.V.M. [a, b ] = = = = = m

26 Dibuja una funcin peridica de periodo 5 con un mximo relativo en x = 3 y con un mnimo relativo en x = 6.

Por ejemplo:

27 Las siguientes grficas corresponden a funciones discontinuas. Relacionacada funcin con el motivo de su discontinuidad.

a) Presenta un salto en un punto. b)Tiene un punto desplazado.

c) Tiene ramas infinitas. d)Le falta un punto.

a) 5 b) 5

c) 5 d) 5 IIIII

IVI

24 2

Y

X

2

2

4

4

I

24 2

Y

X2

4

III

24 2

Y

X

2

2

4

II

24 2

Y

X2

4

IV

4

2

Y

X4 6 8 10 12 14

4

6

2

m (b a)b a

mb mab a

(mb + n) (ma + n)b a

f (b ) f (a)b a

Pg. 13


4Soluciones a los ejercicios y problemas28 Las cuatro grficas siguientes corresponden a funciones discontinuas.

Para cada una de ellas, di:

a) Cules son los puntos de discontinuidad. Explica la razn de la discontinui-dad en cada punto.

b)Cul es su dominio de definicin.

c) Indica si tiene mximos y mnimos relativos y di cules son.

d)En qu intervalos es creciente y en cules es decreciente.

a)

Discontinua en x = 2. No est definida en este punto y, adems, en l da unsalto.

b) Dom ( ) = (@, 1) (1, +@)Dom ( ) = (@, 2) (2, +@)Dom ( ) = [2, 1) (1, 4]Dom ( ) = [4, 2) (2, 0) (0, 4]

c) Mximo relativo en (2, 3). Mnimo relativo en (0, 0).

Mximo relativo en (2, 1). Mnimo relativo en (1, 1).

No tiene ni mximos ni mnimos relativos.

Mximo relativo en (1, 3). Mnimo relativo en (3, 1).

d) Crece en (@, 2) (0, 2) (2, +@). Decrece en (2, 1) (1, 0).

Crece en (@, 2) (1, 2) (2, +@). Decrece en (2, 1).

Crece en (2, 1) (1, 4). No decrece.

Crece en (4, 2) (0, 1) (3, 4). Decrece en (2, 0) (1, 3).IV

III

II

I

IV

III

II

I

IV

III

II

I

Discontinua en (@, 4) (4, +@). No est definida.Discontinua en x = 2. Tiene ramas infinitas.Discontinua en x = 0. No est definida y presenta un salto.

IV

Discontinua porque no est definida en (@, 2) (4, +@).Discontinua en x = 1 porque no est definida.

III

II

Discontinua en x = 1. Tiene ramas infinitas.Discontinua en x = 2. Tiene un punto desplazado.

I

2

24 2

Y

X2

4

III

224 2

Y

X2

4

IV

22

2

Y

X2

4

I

224 2

Y

X2

4

II

Pg. 14


4Soluciones a desarrolla tus competenciasPGINA 100

BUSCA REGULARIDADES Y GENERALIZA

Encuentra la relacin de dependencia y escribe la ecuacin de la funcin en cadacaso:

AYUDA: Para resolver el ltimo, relaciona t (x) con g (x) y h (x).

Analizando las tres primeras, encontramos con facilidad que:

f (x) = 2x + 1 g (x) = 3x 1 h (x) = x2 + 1

Y atendiendo a la ayuda, vemos que:

t (x) = g (x) + h (x) = (3x 1) + (x2 + 1) = x2 + 3x

PGINA 101

EXPERIMENTA, TANTEA, SACA CONCLUSIONES Y EXPRSATE

Juego para dos

Se colocan 15 fichas sobre la mesa, como en el dibujo.

Cada jugador, por turno, retira, segn su eleccin, una, dos o tres fichas cuales-quiera. El que retire la ltima, pierde.

X t (x )

1 4

2 10

3 18

5 40

10 130

X h (x )

1 2

2 5

3 10

5 26

10 101

X g (x )

1 2

2 5

3 8

5 14

10 29

X f (x )

1 3

2 5

3 7

5 11

10 21

Pg. 1


4Soluciones a desarrolla tus competenciasPor escrito

Experimenta el juego y analiza lo que ocurre cuando se gana y cuando se pierde.

Despus, redacta por escrito lo que has descubierto:

Lleva ventaja el que sale?

Cmo hay que empezar?

Cul es la estrategia ganadora?

Empezamos experimentando el juego con 2, 3 y 4 fichas:

8 Quien empieza, retira 1 ficha y gana.

8 Quien empieza, retira 2 fichas y gana.

8 Quien empieza retira 3 fichas y gana.

Experimentamos con 5 fichas:

8 Quien empieza puede retirar 1, 2 3 fichas, dejando 4, 3 2 alcontrario (caso anterior), que ser quien gane.

Con 5 fichas, quien empieza pierde.

Experimentamos con 6, 7 y 8 fichas.

Quien empieza retira 1 (si hay 6), 2 (si hay 7) o 3 (si hay 8), dejando 5 fichas, con loque hace perder al contrario.

Experimentamos con 9 fichas.

Quien empieza puede retirar 1, 2 3, dejando 8, 7 6, con lo que ganar el contrario.

Con 9 fichas, quien empieza pierde.

Siguiendo as, vemos que los nmeros perdedores son , , y .

CONCLUSIN: Jugando con 15 fichas, quien empieza gana si sigue esta estrategia:

Retira 2 fichas, dejando 13.

A continuacin responde a los movimientos del contrario dejandoprimero 9 fichas, despus 5 y, por ltimo, 1.

Es decir, quien empieza retira primero 2 fichas y despus responde al contrario con elcomplemento de 4 (si l retira 3, yo 1; si l 2, yo 2; si l 1, yo 3).

13951

Pg. 2


4Soluciones a la autoevaluacinPGINA 101

Verifcalo resolviendo ejercicios

1 Observa la grfica y halla:a) Dominio y recorrido.

b) Mximos y mnimos.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Dnde es continua y los puntos de discontinuidad.

a) Dom = [4, 5]; recorrido = [6, 2]

b) Mximos relativos en los puntos (2, 2) y (5, 2).

Mnimos relativos en los puntos (4, 0) y (1, 6).

c) Crece en (4, 2) (1, 5).Decrece en (2, 1)

d) Es continua en (4, 3) (3, 5).Es discontinua en x = 3.

2 Halla el dominio de definicin de estas funciones:

a) b) c)

a) 4x + 8 0 8 x 2Dom = [2, +@)

b) x 3 ? 0 8 x ? 3Dom = (@, 3) (3, +@)

c) x2 + 2x 15 = (x 3)(x + 5)

Dom = (@ , 5] [3, +@)

3 a) Es peridica esta funcin? Cul es su periodo?

b) Halla los valores de la funcin en los puntos de abscisas x = 2, x = 4, x = 40y x = 42.

a) Es peridica de periodo 6.

b) f (2) = 2; f (4) = 2; f (40) = f (4) = 2; f (42) = f (0) = 1

2

Y

X

2

46

8

5 3

S SNo

x2 + 2x 151x 3

4x + 8

2

4

24 2

Y

X

2

4

Pg. 1


4Soluciones a la autoevaluacin4 Calcula la T.V.M. de la funcin y = x2 + 4x 5 en los intervalos [5, 2], [2,

1] y [1, 2].

T.V.M. [5, 2] = = 1

T.V.M. [2, 1] = = 3

T.V.M. [1, 2] = = 7

5 Representa la funcin y = x3 + 9x2 15x + 26, definida en [0, 5], dndole ax valores enteros.Supn que y es el valor en bolsa, en millones de euros, de una empresa que aca-ba de cambiar de direccin, y que x es el nmero de meses transcurridos des-de que cambi de direccin.

Describe su evolucin en estos cinco meses, sealando crecimiento, decreci-miento, mximos y mnimos.

Decrece en el intervalo (0, 1).

Crece en el intervalo (1, 5).

Tiene un mnimo relativo en el punto (1, 19).

Tiene dos mximos relativos, uno en el punto (0, 26) y otro en el punto (5, 51).

10

1 2 3 4 5

20

30

40

50

60

Y

X

x 0 1 2 3 4 5

y 26 19 24 35 46 51

7 02 1

0 + 91 + 2

7 02 + 5

Pg. 2


unidad-4.pdf

Documents

Transcript of unidad-4.pdf