Unidad 4_calculo Diferencial

Diapositiva 1

INSTITUTO TECNLOGICO SUPERIOR DE EL MANTE

APRENDIENDO A DERIVAR

PROFESOR :

MARCELO RODRGUEZ ALBERTO

DERIVADAS

Reglas bsicas

Funciones algebraicas

funciones trascendentes

Orden superior

Implcitas

Logartmicas

Log. natural

Log. base comn

Exponencial

Base e

Base a

Trigonomtricas

Trigonomtricas inversas

Regla de la cadena

2

REGLAS BSICAS DE DERIVACIN

1) La derivada de una funcin constante

Ejemplos:

b

c

3

2) La derivada de una variable respecto a si misma

Ejemplos:

b

c

4

3) La derivada de la potencia

Ejemplos:

b

5

4) La derivada de una constante por una funcin

Ejemplos:

b

6

5) La derivada de una suma o resta de funciones

Ejemplos:

7

6) Derivada de un producto de dos funciones

Ejemplos:

u

v

b

)+(

u

v

8

7) La derivada de un cociente de funciones

Ejemplos:

u

v

b

u

v

9

REGLA DE LA CADENA

La palabra cadena se refiere a las funciones que se componen de otras funciones. Es decir,

As:

Para determinar (la derivada de la funcin compuesta) es necesario considerar a las dos funciones en forma individual y derivarlas. As,

10

Ejemplos:

)(

b

)(

11

Ejercicios:

c

12

DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Ejemplos:

2

13

3

)

)

u

v

14

4

u

v

15

Ejercicios:

5

6

16

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

LOGARITMICAS:

Derivada del logaritmo natural

v

1

2

Aplicando leyes de logaritmos

v

17

3

)(

4

u

v

u

v

18

Ejercicios:

19

Derivada del logaritmo comn

2

Aplicando ley de logaritmos

v

20

3

v

u

21

Ejercicios:

4

5

22

EXPONENCIALES:

Constante elevada a la potencia variable

1

2

v

v

23

3

4

av

lna

dv/dx

u

v

u

v

24

u

du/dx

u

v

v

dv/dx

25

Ejercicios:

26

e elevada a la potencia variable

1

2

v

27

3

v

u

u

v

28

4

n

29

u

v

v

u

30

Ejercicios:

6

31

Derivada de una funcin elevada a un exponente variable

1

u

v

32

33

34

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS:

1

2

v

v

Cos v

dv/dx

dv/dx

Sen v

35

4

n

dv/dx

u

v

37

dv/dx

du/dx

38

39

Ejercicios:

10

12

14

40

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS:

1

v

41

2

3

42

4

43

44

45

Ejercicios:

7

9

46

DIFERENCIACION

Para obtener el diferencial de una funcin se puede utilizar la derivada de la funcin. Es decir:

Ejemplo: Calcule la diferencial de las siguientes funciones

b

c

Los diferenciales se utilizan para resolver integrales

47

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivada de una funcin tambin es una funcin y puede ser a su vez derivada. As, una funcin puede ser derivada una vez, dos veces, etc.A estas derivadas se les denomina derivadas de orden superior. Por ejemplo, si

Primer derivada

b Segunda derivada

c Tercer derivada

Cuarta derivada

48

Notacin:

49

DERIVADAS IMPLCITAS

Una funcin es explicita cuando se puede despejar y expresar en trminos de . Por ejemplo:

Una funcin es implcita cuando se da una relacin entre la variable independiente y la variable dependiente por medio de una ecuacin. Por ejemplo:

Para derivar funciones explicitas se puede utilizar el sig procedimiento:

Derivar ambos lados de la ecuacin respecto de

Agrupar todos los trminos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuacin y pase a la derecha los dems trminos.

Saque factor comn a en la izquierda de la ecuacin.

Despejar y reduzca si es posible.


50

Para derivar respecto de x utilice estas reglas:

Las variables coinciden: usar la regla simple de las potencias.

Las variables no coinciden: usar la regla de la cadena.


51

Suma de variables: regla de la variable respecto a si misma y de la cadena para y

Regla del producto

Regla de la cadena

Simplificar


52

Ejemplos: derive las siguientes funciones implcitas

1. Derive los dos miembros de la ecuacin respecto a x:

2. Agrupar trminos con en la parte izq. y los dems a la derecha:

Libro calculo diferencial, Larson y Hostetler Pag 152-155

53

3. Factorizar en la parte izquierda:

4. Despejar y simplificar:


54

b

Solucin:


55

c

Solucin:


56


57

Solucin:


58

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