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Unidad 4: La antiderivada

Funciones de densidad de probablidad

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En estadística, una función de densidad (de probabilidad) f de una variable aleatoria continua x, donde x toma valores en todos los reales, es una funciòn que cumple las siguientes condiciones:

Funciones de densidad de probabilidad

1. f (x) 0 , para todo x real 2. El área total bajo la gráfica f(x) es 1

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La probabilidad de que la variable x, con función de densidad f, tome valores en el intervalo axb está dada por:

b

adxxfbxaP )()(

Determinación de la probabilidad

P(a≤x≤b)

a X

Y

0

y=f(x)

b

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a. Demuestre que es una función de densidad de la variable x.

b. Hallar la probabilidad de que x esté en [0; 3]

Ejemplo 1

casootroen ,0

4≤≤0,)-4(323

)(2 xsixx

xfDada la función:

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Una función f es de densidad uniforme para x en [a, b] si está definida por:

Función de Densidad Uniforme

casos demás losen ;0

si);/(1)(

bxaabxf

x

y

ba

)/(1 aby

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Cierto semáforo permanece en rojo durante 40 segundos. Ud. llega (aleatoriamente) al semáforo y lo encuentra en rojo. Utilice la función de densidad uniforme apropiada para hallar:

Ejemplo 2

a. La probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 15 segundos para que el semáforo cambie a verde.

b. La probabilidad de que el semáforo cambie a verde entre 5 y 10 segundos después de que UD. llega.

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Una función f es de densidad exponencial para la variable x si está definida por:

donde k es una constante positiva.

Función de Densidad Exponencial

000

)(si x

xsikexf

kx

k

x

y

0

y=f(x)

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Sea x una variable que mide la duración en minutos de las llamadas telefónicas en cierta ciudad y cuya función de densidad de probabilidad para x es:

donde x es la duración de una llamada seleccionada aleatoriamente.

000 5,0

)(5,0

si xxsie

xfx

Ejemplo 4

a. Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure entre 2 y 3 min.

b. Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure al menos 2 min.

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Ejemplo 5La vida de un electrodoméstico se mide mediante una variable aleatoria x cuya función de densidad de probabilidad es :

donde x denota la duración (en meses) de un electrodoméstico seleccionado al azar

xexf 025,0025,0)(

¿Cuál es la probabilidad de que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure más de 12 meses?

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Ejemplo 6La vida útil de un electrodoméstico se mide mediante una variable aleatoria x cuya función de densidad de probabilidad es:

donde x denota la vida (en años) de un electrodoméstico seleccionado al azar.

xemxf 2,0

525)(

a. Determine m para que sea f una función de densidad

b. Determine la probabilidad que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure al menos 5 años.