UNIDAD 4 Geometría transformativa …...La flecha muestra el movimiento de la traslación y cómo...
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PROFESIONES EN MATEMÁTICASPROFESIONES EN MATEMÁTICAS
UNIDAD 4
Geometría transformativa
Unidad 4 Tarea de rendimiento
Contratista Los contratistas se dedican a la
construcción, reparación y desmantelamiento de
estructuras como edifi cios, puentes y carreteras. Los
contratistas usan las matemáticas cuando tienen
que averiguar y poner en práctica las normas de
construcción, para medidas, modelos a escala y
administrar los recursos fi nancieros.
Si te interesa la profesión de contratista, debes
estudiar las siguientes materias de matemáticas:
• Matemáticas para negocios
• Geometría
• Álgebra
• Trigonometría
Investiga otras profesiones que requieran el uso de
las matemáticas para negocios y la construcción a
escala.
Al fi nal de la unidad, descubre
cómo usan las matemáticas los
contratistas.
Transformaciones y congruencia
8.G.1.1, 8.G.1.2, 8.G.1.3
Transformaciones y semejanzas
8.G.1.3, 8.G.1.4
MÓDULO 999999999999999999999999MÓDULO 999
MÓDULO 1010101010MÓDULO 1010
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Un vistazo al vocabularioUNIDAD 4
V D I L A T A C I Ó N D R Y S V Ñ
G U N A F C G L E R Z O I N B F L
M S Ó M R I D D X Z T B Ó Y Q A H
E A I P B G T X U A U I Q M N Y J
H W X L T Y H P C P C G D I Ñ Q K
M J E I Q C B I G A R Q G W Z R Y
E N L A K H Ó B L K S N R O E V P
F T F C G N A S N H E X O D M G F
Y H E I G P A T U G T D U D B G I
Y E R Ó W R O L A X H C G Q K R G
B W N N T U S M Ñ Q C T A H H U K
C W G N Ñ P I R I I Z B H F V I N
P A B T U E U G Ó T U Y H Q X A S
C H P O R Ñ E N J K S J X G D R Q
B J T P I I L L A Z S D N M W K N
Usa la sopa de letras para darle un vistazo al vocabulario clave de esta
unidad. Ordena las letras encerradas en círculos dentro de las palabras
halladas para contestar la pregunta que aparece al fi nal de la página.
• Valor de entrada de una transformación. (Lección 9.1)
• Transformación que refleja una figura sobre una recta. (Lección 9.2)
• Transformación que desplaza una figura a lo largo de una recta. (Lección 9.1)
• Transformación que gira una figura alrededor de un punto dado. (Lección 9.3)
• Producto de hacer una figura más grande mediante la dilatación. (Lección 10.1)
• Producto de hacer una figura más pequeña mediante la dilatación. (Lección 10.1)
• Reproducción a escala que cambia el tamaño pero no la forma de la figura. (Lección 10.1)
P: ¿Qué forman dos cuadrados?
R: Un !
Un vistazo al vocabulario274
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PREGUNTA ESENCIAL?
APRENDEEN LÍNEA
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Vídeo de la vida real
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matemáticas.
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libro del estudiante están disponibles en línea.
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tutorial y más.
¿Cómo puedes usar transformaciones y congruencia para resolver problemas de la vida real?
9Transformaciones y congruencia
Cuando los integrantes de una banda de música ocupan sus posiciones y desfilan por una cancha, están representando una traslación. A medida que desfilan, mantienen el tamaño y la orientación. Las traslaciones son un tipo de transformación.
LECCIÓN 9.1
Propiedades de las traslaciones
8.G.1.1, 8.G.1.3
LECCIÓN 9.2
Propiedades de las reflexiones
8.G.1.1, 8.G.1.3
LECCIÓN 9.3
Propiedades de las rotaciones
8.G.1.1, 8.G.1.3
LECCIÓN 9.4
Representaciones algebraicas de las transformaciones
8.G.1.3
LECCIÓN 9.5
Figuras congruentes8.G.1.2
MÓDULO
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Completa estos ejercicios para repasar las destrezas
que necesitarás en este módulo.
Operaciones con enterosEJEMPLO -3 - (-6) = -3 + 6
= | -3 | - | 6 |
= 3
Calcula cada diferencia.
1. 5 - (-9) 2. -6 - 8 3. 2 - 9 4. -10 - (-6)
5. 3 - (-11) 6. 12 - 7 7. -4 - 11 8. 0 - (-12)
Medir ángulosEJEMPLO
Usa un transportador para medir cada ángulo.
9.
10.
11.
m∠ JKL = 70°
Coloca el punto central del transportador en el vértice del ángulo.
Alinea un rayo con la base del transportador.
Lee la medida del ángulo donde el otro rayo cruza el semicírculo.
Para restar un entero, suma su opuesto.Los signos son diferentes, entonces calcula la diferencia de los valores absolutos: 6 - 3 = 3.Usa el signo del número con el mayor valor absoluto.
Unidad 4276
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Práctica de vocabulario
Lectura con propósitoFolleto Haz un folleto antes de comenzar a leer para
ayudarte a aprender los conceptos de este módulo.
Escribe las ideas principales de las lecciones. Luego,
a medida que vayas leyendo, escribe los detalles
importantes que apoyen la idea principal, como el
vocabulario y las fórmulas. Repasa el folleto una vez
terminado para hacer las tareas y estudiar para los
exámenes.
VocabularioPalabras de repaso
cuadrilátero (quadrilateral)
✔ paralelogramo
(parallelogram)
plano cartesiano (coordinate
plane)
✔ rombo (rhombus)
✔ trapecio (trapezoid)
Palabras nuevas
eje de rotación (center
of rotation)
congruente (congruent)
imagen (image)
línea de reflexión (line of
reflection)
preimagen (preimage)
reflexión (reflection)
rotación (rotation)
transformación
(transformation)
traslación (translation)
Visualiza el vocabularioUsa las palabras con ✔ para completar el organizador gráfico.
Escribe solo una palabra por óvalo.
Comprende el vocabularioEmpareja el término de la izquierda con la expresión correcta de la derecha.
1. transformación A. Función que describe un cambio en la posición,
tamaño o forma de una figura.
2. reflexión B. Función que desplaza una figura a lo largo de una
recta.
3. traslación C. Transformación que refleja una figura sobre
una recta.
Cuadrilátero con
todos los lados
congruentes y
lados opuestos
paralelos.
Cuadrilátero con
lados opuestos
paralelos y
congruentes.
Cuadrilátero
con dos lados
paralelos.
Tipos de cuadriláteros
277Módulo 9
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A B
CA′ B′
C′
Figura 1
Figura 2
Figura 3
A′B′
C′
A′B′
C′
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Desglosar los estándaresComprender los estándares y las palabras de vocabulario te ayudará a saber exactamente lo que se espera que aprendas en este módulo.
Lo que significa para tiIdentificarás una rotación, una reflexión, una traslación y una secuencia
de transformaciones y comprenderás que la imagen tiene la misma forma
y tamaño que la preimagen.
Lo que significa para tiPuedes usar una representación algebraica para trasladar, reflejar o rotar
una figura bidimensional.
MÓDULO 9
La figura muestra el triángulo
ABC y su imagen después de
tres transformaciones distintas.
Identifica y describe la traslación,
la reflexión y la rotación del
triángulo ABC.
La Figura 1 es una traslación 4
unidades hacia abajo. La Figura 2
es una reflexión sobre el eje y.
La Figura 3 es una rotación
de 180°.
El rectángulo RSTU con vértices (-4, -1), (-1, 1), (-1, -3) y (-4, -3)
se refleja sobre el eje y. Halla las coordenadas de la imagen.
La regla para reflejar sobre el eje y es cambiar el signo de la
coordenada x.
CoordenadasReflejo sobre el
eje y (-x, y)Coordenadas de
la imagen
(-4, 1), (-1, 1),
(-1, -3), (-4, -3)
(-(-4), 1), (-(-1), 1),
(- (-1), -3), (-(-4), -3)
(4, -1), (1, 1),
(1, -3), (4, -3)
Las coordenadas de la imagen son (4, 1), (1, 1), (1, -3) y (4, -3).
8.G.1.2
Comprender que una figura
bidimensional es congruente
a otra si la segunda se puede
obtener a partir de la primera
mediante una serie de rotaciones,
reflexiones y traslaciones; dadas
dos figuras congruentes, describir
una secuencia que muestre la
congruencia entre ellas.
8.G.1.3
Describir los efectos de las
dilataciones, traslaciones,
rotaciones y reflexiones en
figuras bidimensionales usando
coordenadas.
DESGLOSAR EL EJEMPLO 8.G.1.2
DESGLOSAR EL EJEMPLO 8.G.1.3
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para ver todos los
Estándares
comunes de
Florida
desglosados.
Unidad 4278
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¿Cómo puedes describir las propiedades de orientación y congruencia de las traslaciones?
?
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1
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A′BC
PREGUNTA ESENCIAL
L E C C I Ó N
9.1Propiedades de las traslaciones
Explorar las traslacionesAprendiste que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente
una salida. Una transformación es una función que describe un cambio en
la posición, tamaño o forma de una figura. La entrada de una transformación
es la preimagen y la salida de una transformación es la imagen.
Una traslación es una transformación que desplaza una figura a lo largo de
una línea recta.
El triángulo que aparece en la cuadrícula es la preimagen (entrada).
La flecha muestra el movimiento de la traslación y cómo el punto A
es trasladado al punto A′.
Traza el triángulo ABC en una hoja de papel y recórtalo.
Desliza el triángulo a lo largo de la flecha para representar la
traslación que convierte el punto A en el punto A′.
La imagen de la traslación es el triángulo producido por la
traslación. Dibuja la imagen de la traslación.
Los vértices de la imagen se rotulan usando la notación
prima. La imagen de A es, por ejemplo, A′. Rotula las
imágenes de los puntos B y C.
Describe el movimiento que representa la traslación.
Desplázate unidades a la derecha y
unidades hacia abajo.
Comprueba que el movimiento que describiste en la parte E es el mismo
movimiento que convierte el punto A en A′, el punto B en B ′ y el punto C en C ′.
Reflexiona1. ¿Qué efecto tiene la traslación sobre la orientación del triángulo?
A
B
C
D
E
F
8.G.1.1
Verify experimentally the properties of … translations. Also 8.G.1.1a, 8.G.1.1b, 8.G.1.1c, 8.G.1.3
8.G.1.1
279Lección 9.1
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AP
T R
Propiedades de las traslacionesUsa el trapecio TRAP para investigar las propiedades
de las traslaciones.
Traza el trapecio en un hoja de papel
y recórtalo.
Coloca el trapecio encima del trapecio de la
cuadrícula. Luego, traslada el trapecio 5 unidades
a la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Dibuja la
imagen de la traslación trazando el trapecio en
la nueva ubicación. Rotula los vértices de la
imagen T ′, R ′, A′ y P ′.
Usa una regla para medir los lados del trapecio
TRAP en centímetros.
TR = RA = AP = TP =
Usa una regla para medir los lados del trapecio T ′R ′A′P ′ en centímetros.
T ′R ′ = R ′A′ = A′P ′ = T ′P ′ =
¿Qué observas sobre las longitudes de los lados correspondientes de las
dos figuras?
Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio TRAP.
m∠T = m∠R = m∠A = m∠P =
Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio T ′R ′A′P ′.
m∠T ′ = m∠R ′ = m∠A′ = m∠P ′ =
¿Qué observas sobre las medidas de los ángulos correspondientes de las
dos figuras?
¿Qué lados del trapecio TRAP son paralelos? ¿Cómo lo sabes?
¿Qué lados del trapecio T ′R ′A′P ′ son paralelos?
¿Qué observas?
A
B
C
D
E
F
G
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2 8.G.1.1
Unidad 4280
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Y′
Z′
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Matemáticas al instante
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Reflexiona2. Haz una conjetura Usa los resultados de las partes E , H e I para hacer
una conjetura sobre las traslaciones.
3. Dos figuras son congruentes cuando tienen el mismo tamaño y la misma
forma. ¿Qué puedes decir sobre las traslaciones y la congruencia?
Representar gráficamente las traslacionesPara trasladar una figura en el plano cartesiano, traslada cada uno de los vértices.
Luego, conecta los vértices para formar la imagen.
La figura muestra el triángulo XYZ. Representa la imagen del triángulo después de
una traslación de 4 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.
Traslada el punto X.
Cuenta 4 unidades a la derecha
y 1 unidad hacia arriba y marca
el punto X ′.
Traslada el punto Y.
Cuenta 4 unidades a la derecha
y 1 unidad hacia arriba y marca
el punto Y ′.
Traslada el punto Z.
Cuenta 4 unidades a la
derecha y 1 unidad hacia arriba y
marca el punto Z ′.
Une X ′, Y ′ y Z ′ para formar el
triángulo X ′Y ′Z ′.
EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
PASO 3
PASO 4
¿Es congruente la imagen con la preimagen? ¿Cómo lo sabes?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.3
Cada vértice se desplaza 4 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.
281Lección 9.1
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Entrenador personal
en matemáticas
Evaluación eintervención en línea
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A B
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4. La figura muestra el paralelogramo
ABCD. Representa la imagen del
paralelogramo después de una
traslación de 5 unidades a la
izquierda y 2 unidades hacia abajo.
ES TU TURNO
1. Vocabulario Una es un cambio en la posición, el
tamaño o la forma de una figura.
2. Vocabulario Cuando realizas la transformación de una figura en el plano
cartesiano, la entrada de la transformación se llama ,
y la salida de la transformación se llama .
3. Joni traslada un triángulo rectángulo 2 unidades hacia abajo y 4 unidades a
la derecha. ¿Cómo cambia la orientación de la imagen del triángulo en comparación
con la orientación de la preimagen? (Actividad para explorar 1)
4. Rashid dibujó el rectángulo PQRS en un plano cartesiano. Luego, trasladó el
rectángulo 3 unidades hacia arriba y 3 unidades a la izquierda, y rotuló la imagen
P ′Q ′R ′S ′. ¿Qué comparación hay entre los rectángulos PQRS y P ′Q ′R ′S ′?
(Actividad para explorar 2)
5. La figura muestra el trapecio WXYZ. Representa la imagen del
trapecio después de una traslación de 4 unidades hacia arriba y 2
unidades a la izquierda. (Ejemplo 1)
Práctica con supervisión
6. ¿Cuáles son las propiedades de las traslaciones?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Unidad 4282
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Evaluación eintervención en línea
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Nombre Clase Fecha
Práctica independiente9.1
7. La figura muestra el triángulo DEF.
a. Representa la imagen del triángulo después de una
traslación que convierta el punto D en el punto D ′.
b. ¿Cómo describirías esa traslación?
c. Qué comparación hay entre la imagen del triángulo DEF y
la preimagen?
8. a. Representa en la cuadrícula de coordenadas el cuadrilátero
KLMN con vértices K(-3, 2), L(2, 2), M(0, -3) y N(-4, 0).
b. Representa en la misma cuadrícula de coordenadas la
imagen del cuadrilátero KLMN después de una traslación
de 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba.
c. ¿Qué lado de la imagen es congruente con el lado _
LM ?
Escribe otros tres pares de lados congruentes.
Dibuja la imagen de la figura después de cada traslación.
9. 4 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia
abajo
10. 5 unidades a la derecha y 3 unidades hacia
arriba
8.G.1.1, 8.G.1.3
283Lección 9.1
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4
11. La figura muestra el ascenso de un globo aerostático. ¿Cómo
describirías la traslación?
12. Razonamiento crítico ¿Es posible que la orientación de una
figura cambie después de su traslación? Explícalo.
13. a. Varios pasos Representa en la cuadrícula de coordenadas
el triángulo XYZ con los vértices X(-2, -5), Y(2, -2)
y Z(4, -4).
b. Representa y rotula en la misma cuadrícula de coordenadas
el triángulo X ′Y ′Z ′, la imagen del triángulo XYZ después de
una traslación de 3 unidades a la izquierda y 6 unidades
hacia arriba.
c. Representa y rotula ahora el triángulo X ′′Y ′′Z ′′, la imagen
del triángulo X ′Y ′Z ′ después de una traslación de 1 unidad
a la izquierda y 2 unidades hacia abajo.
d. Analiza las relaciones ¿Cómo describirías la traslación
que convierte el triángulo XYZ en el triángulo X ′′Y ′′Z ′′?
14. Razonamiento crítico La figura muestra el rectángulo P ′Q ′R ′S ′,
la imagen del rectángulo PQRS después de una traslación de
5 unidades a la derecha y 7 unidades hacia arriba. Representa y
rotula la preimagen PQRS.
15. Comunica ideas matemáticas Explica por qué la imagen de
una figura después de una traslación es congruente con su
preimagen.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Unidad 4284
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¿Cómo se pueden describir las propiedades de la orientación y la congruencia de las reflexiones?
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1
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6O
PREGUNTA ESENCIAL
Explorar las reflexionesUna reflexión es una transformación que refleja una figura sobre una recta.
La recta se llama eje de reflexión. Cada punto y su imagen están a la misma
distancia del eje de reflexión.
El triángulo que aparece en la cuadrícula es la preimagen. Vas a
estudiar las reflexiones sobre los ejes x y y.
Traza el triángulo ABC y los ejes x y y en una hoja de papel.
Dobla la hoja por el eje x y traza la imagen del triángulo en el
lado opuesto del eje x. Desdobla la hoja y rotula los vértices
de la imagen como A′, B′ y C′.
¿Cuál es el eje de reflexión de esta transformación?
Calcula la distancia perpendicular de los puntos al eje
de reflexión.
Punto A Punto B Punto C
Calcula la distancia perpendicular de los puntos al eje de reflexión.
Punto A’ Punto B ′ Punto C ′
¿Qué observas sobre las distancias que calculaste en y ?
Reflexiona1. Dobla la hoja que usaste en A por el eje y y traza la imagen del
triángulo ABC en el lado opuesto. Rotula los vértices de la imagen
como A′′, B′′ y C′′. ¿Cuál es el eje de reflexión de esta transformación?
2. ¿Qué diferencias hay entre los nuevos triángulos y las preimágenes?
A
B
C
D
E
F D E
L E C C I Ó N
9.2Propiedades de las reflexiones
8.G.1.1
Verify experimentally the properties of … reflections… . Also 8.G.1.1a, 8.G.1.1b, 8.G.1.1c, 8.G.1.3
8.G.1.1
285Lección 9.2
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Propiedades de las reflexionesUsa el trapecio TRAP para investigar las propiedades de las
reflexiones.
Traza el trapecio en un hoja de papel y recórtalo.
Coloca tu trapecio encima del trapecio de la cuadrícula.
Luego, refleja el trapecio sobre el eje y. Dibuja la imagen
de la reflexión trazando el trapecio en la nueva ubicación.
Rotula los vértices de la imagen T ′, R ′, A′ y P ′.
Usa una regla para medir los lados del trapecio TRAP en
centímetros.
TR = RA = AP = TP =
Usa una regla para medir los lados del trapecio T ′R ′A′P ′ en centímetros.
T ′R ′ = R ′A′ = A′P ′ = T ′P ′ =
¿Qué observas sobre las longitudes de los lados correspondientes de las
dos figuras?
Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio TRAP.
m∠T = m∠R = m∠A = m∠P =
Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio T ′R ′A′P ′.
m∠T ′ = m∠R ′ = m∠A′ = m∠P ′ =
¿Qué observas sobre las medidas de los ángulos correspondientes de las
dos figuras?
¿Qué lados del trapecio TRAP son paralelos?
¿Qué lados del trapecio T ′R ′A′P ′ son paralelos?
¿Qué observas?
A
B
C
D
E
F
G
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2 8.G.1.1
Unidad 4286
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Mis notas
Matemáticas al instante
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Reflexiona3. Haz una conjetura Usa los resultados de las partes , e para
hacer una conjetura sobre las reflexiones.
E H I
Representar las reflexiones gráficamentePara reflejar una figura sobre el eje de reflexión, refleja cada uno de los vértices. Luego,
conecta los vértices para formar la imagen. Recuerda que todos los puntos y sus
imágenes están a la misma distancia del eje de reflexión.
La figura muestra el triángulo XYZ. Representa la imagen del triángulo después de
una reflexión sobre el eje x.
Refleja el punto X.
El punto X está 3 unidades
debajo del eje x. Cuenta
3 unidades arriba del eje x y
marca el punto X ′.
Refleja el punto Y.
El punto Y está 1 unidad
debajo del eje x. Cuenta
1 unidad arriba del eje x y
marca el punto Y ′.
Refleja el punto Z.
El punto Z está 5 unidades debajo
del eje x. Cuenta 5 unidades
arriba del eje x y marca el
punto Z ′.
Une X ′, Y ′ y Z ′ para formar el
triángulo X ′Y ′Z ′.
EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
PASO 3
PASO 4
¿Qué puedes decir sobre las reflexiones y la
congruencia?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.3
Cada vértice de la imagen está a la misma distancia del eje x que el vértice correspondiente de la preimagen.
287Lección 9.2
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D C
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1. Vocabulario Una reflexión es una transformación que refleja una figura sobre
una recta llamada .
2. La figura muestra el trapecio ABCD. (Actividades para explorar 1 y 2 y Ejemplo 1)
a. Representa en la gráfica la imagen del trapecio después
de una reflexión sobre el eje x. Rotula los vértices de la
imagen.
b. ¿En qué se parecen el trapecio ABCD y el trapecio
A’B’C’D’ ?
c. ¿Qué pasa si…? Supongamos que reflejaste el
trapecio ABCD sobre el eje y. ¿Qué comparación hay
entre la orientación de la imagen del trapecio con la
orientación de la preimagen?
Práctica con supervisión
4. La figura muestra el pentágono ABCDE.
Representa la imagen del pentágono
después de una reflexión sobre el eje y.
ES TU TURNO
3. ¿Cuáles son las propiedades de las reflexiones?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Unidad 4288
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2
4
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A
C D
B
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X
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Z
O
Nombre Clase Fecha
La gráfica muestra cuatro triángulos rectángulos.
Usa la gráfica para los Ejercicios 4 a 7.
4. ¿Qué dos triángulos son reflexiones el uno del
otro sobre el eje x?
5. ¿Qué par de triángulos tienen el eje y como eje
de reflección?
6. ¿Qué triángulo es una traslación del triángulo C ?
¿Cómo describirías la traslación?
7. ¿Qué triángulos son congruentes? ¿Cómo lo
sabes?
8. a. Representa en la cuadrícula de
coordenadas el cuadrilátero WXYZ con
vértices en W(-2, -2), X(3, 1), Y(5, -1)
y Z(4, -6).
b. Representa en la misma cuadrícula de
coordenadas el cuadrilátero W′X′Y′Z′, la
imagen del cuadrilátero WXYZ después de
una reflexión sobre el eje x.
c. ¿Qué lado de la imagen es congruente con
el lado _
YZ ?
Escribe otros tres pares de ángulos
congruentes.
d. ¿Qué ángulo de la imagen es congruente
con ∠X?
Escribe otros tres pares de ángulos
congruentes.
Práctica independiente9.28.G.1.1, 8.G.1.3
289Lección 9.2
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-2
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-6
2 4 6O
9. Razonamiento crítico ¿Es posible que la imagen de un punto después de una
reflexión sea el mismo punto que la preimagen? Explícalo.
10. a. Representa la imagen de la figura que se muestra después de
una reflexión sobre el eje y.
b. En la misma cuadrícula de coordenadas, representa la imagen
de la figura que dibujaste en la parte a después de una
reflexión sobre el eje x.
c. Haz una conjetura ¿Qué otra secuencia de transformaciones
produciría la misma imagen final a partir de la preimagen?
Comprueba tu respuesta realizando las transformaciones.
Luego, haz una conjetura que generalice lo que
averiguaste.
11. a. Representa en la cuadrícula de coordenadas el triángulo
DEF con los vértices D(2, 6), E(5, 6) y F(5, 1).
b. Luego, representa el triángulo D ′E ′F ′, la imagen del
triángulo DEF después de una reflexión sobre el eje y.
c. Representa en la misma cuadrícula de coordenadas
el triángulo D′′ E′′ F′′, la imagen del triángulo D ′E ′F ′ después de una traslación de 7 unidades hacia
abajo y 2 unidades a la derecha.
d. Analiza las relaciones Calcula una secuencia de
transformaciones diferente que transforme el triángulo
DEF en el triángulo D ′′E ′′F ′′.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Unidad 4290
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1
A B
C
5-5
5
-5
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y
PREGUNTA ESENCIAL
L E C C I Ó N
9.3Propiedades de las rotaciones
Explorar las rotacionesUna rotación es una transformación que gira una figura alrededor de
un punto llamado centro de rotación. La imagen tiene el mismo
tamaño y forma que la preimagen.
El triángulo que aparece en la cuadrícula es la.
Vas a usar el origen como centro de rotación.
Traza el triángulo ABC en una hoja de papel y recórtalo.
Rota el triángulo sobre el origen 90° en el sentido contrario de las
manecillas del reloj. El lado del triángulo que estaba sobre el eje x
debe quedar ahora sobre el eje y.
Dibuja la imagen de la rotación. Rotula las imágenes de los
puntos A, B y C como A′, B′ y C′.
Describe el movimiento que produce la rotación.
Rota alrededor del origen
grados .
Comprueba que el movimiento que describiste en D es el mismo
movimiento que aplica el punto A sobre el punto A′, el punto B sobre punto B′
y el punto C sobre el punto C′.
Reflexiona1. Comunica ideas matemáticas ¿Qué efecto produce la rotación sobre el
tamaño y la orientación del triángulo?
2. Rota el triángulo ABC alrededor del origen 90° en el sentido de las manecillas
del reloj. Dibuja el resultado en la cuadrícula de coordenadas anterior. Rotula
los vértices de la imagen como A′′, B′′ y C′′.
A
B
C
D
E
¿Cómo puedes describir las propiedades de la orientación y la congruencia de las rotaciones?
8.G.1.1
Verify experimentally the properties of rotations... . Also 8.G.1.1a, 8.G.1.1b, 8.G.1.1c, 8.G.1.3
8.G.1.1
291Lección 9.3
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Cred
its: ©
IKO/
Foto
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6
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T
R A
P
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2
Propiedades de las rotacionesUsa el trapecio TRAP para investigar las propiedades de las rotaciones.
Traza el trapecio en un hoja de papel. Incluye
las partes de los ejes x y y que bordean el tercer
cuadrante. Recorta el dibujo trazado.
Coloca el trapecio y los ejes encima de los de la
figura. Luego, usa los ejes para rotar el trapecio
sobre el origen 180° en sentido contrario a las
manecillas del reloj. Dibuja la imagen de la rotación
del trapecio en la nueva ubicación. Rotula los
vértices de la imagen T′, R′, A′ y P′.
Usa una regla para medir los lados del trapecio TRAP
en centímetros.
TR = RA =
AP = TP =
Usa una regla para medir los lados del trapecio
T′R′A′P′ en centímetros.
T′R′ = R′A′ =
A′P′ = T′P′ =
¿Qué observas sobre las longitudes de los lados correspondientes de las
dos figuras?
Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio TRAP.
m∠T = m∠R = m∠A = m∠P =
Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio T′R′A′P′.
m∠T′ = m∠R′ = m∠A′ = m∠P′ =
¿Qué observas sobre las medidas de los ángulos correspondientes de las
dos figuras?
¿Qué lados del trapecio TRAP son paralelos?
¿Qué lados del trapecio T′R′A′P′ son paralelos?
¿Qué observas?
A
B
C
D
E
F
G
H
I
8.G.1.1
Unidad 4292
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B′
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A′
Matemáticas en acción
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Reflexiona3. Haz una conjetura Usa los resultados de las partes E , H e I para hacer
una conjetura sobre las rotaciones.
4. Coloca tu dibujo trazado en su posición original. Luego, realiza una rotación alrededor
del origen de 180° en el sentido de las manecillas del reloj. Compara los resultados.
Representar las rotaciones gráficamentePara rotar una figura en el plano cartesiano, rota cada uno de los vértices. Luego,
conecta los vértices para formar la imagen.
La figura muestra el triángulo ABC. Representa
la imagen del triángulo después de una rotación
de 90° en el sentido de las manecillas del reloj.
Rota la figura desde el eje y al eje x
en el sentido de las manecillas del
reloj. El punto A estará todavía en
(0, 0).
El punto B está 2 unidades a la
izquierda del eje y, entonces el
punto B′ está 2 unidades sobre
el eje x.
El punto C está 2 unidades a la
derecha del eje y, entonces el
punto C′ está 2 unidades debajo
del eje x.
Conecta A′, B′ y C′ para formar el
triángulo A′B′C′.
Reflexiona5. ¿Es la imagen congruente con la
preimagen? ¿Cómo lo sabes?
EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
¿Qué efecto tiene la rotación en la orientación del
triángulo?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.3
293Lección 9.3
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B
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Práctica con supervisión
Representa en la gráfica la imagen del
cuadrilátero ABCD después de cada rotación.
6. 180°
7. 270° en el sentido de las manecillas del reloj
8. Halla las coordenadas del punto C después
de una rotación de 90° en el sentido
contrario de las manecillas del reloj seguido
de una rotación de 180°.
ES TU TURNO
1. Vocabulario Una rotación es una transformación que ocurre cuando una figura
gira alrededor de un dado llamado centro de rotación.
Siobhan rota un triángulo rectángulo alrededor del origen 90° en el sentido
contrario de las manecillas del reloj.
2. ¿Qué diferencia hay entre la orientación de la imagen del triángulo y la
orientación de la preimagen? (Actividad para explorar 1)
3. ¿Es congruente la imagen del triángulo con la preimagen? (Actividad para explorar 2)
Dibuja la imagen de la figura después de una rotación alrededor del origen. (Ejemplo 1)
4. 90° en el sentido contrario de las manecillas del
reloj
5. 180°
6. ¿Cuáles son las propiedades de las rotaciones?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Unidad 4294
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2
Nombre Clase Fecha
7. La cuadrícula muestra el triángulo ABC y una rotación del
triángulo alrededor del origen.
a. ¿Cómo describirías la rotación?
b. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen?
, ,
8. La cuadrícula muestra una figura y su imagen después de una
transformación.
a. ¿Cómo describirías esto como rotación?
b. ¿Puedes describir esto como una transformación distinta
a la de una rotación? Explícalo.
9. ¿Qué tipo de rotación mantendrá la orientación de la figura en
forma de H de la cuadrícula?
10. Un punto con coordenadas (-2, -3) rota alrededor del origen
90° en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las
coordenadas de su imagen?
Completa la tabla con rotaciones de 180° o menos. Incluye la
dirección de rotación para las rotaciones menores de 180°.
Figura en el cuadrante Imagen en el cuadrante Rotación
I IV
III I
IV III
11.
12.
13.
Práctica independiente9.38.G.1.1, 8.G.1.3
295Lección 9.3
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Área de trabajo
5-5
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CA
B
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AB
C
5-5
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xO
y
A B C
Dibuja la imagen de la figura después de la rotación dada alrededor del origen.
14. 180° 15. 270° en el sentido contrario de las manecillas del
reloj
16. ¿Hay una rotación en la cual la orientación de la imagen siempre es igual a la de
la preimagen? Si la hay, ¿cuál es?
17. Resolución de problemas Lucas juega un juego que consiste en rotar una
figura para que quepa en un espacio. Cada vez que presiona un botón, la figura
rota 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuántas veces tiene que
presionar el botón para que cada figura vuelva a su orientación original?
Figura A
Figura B
Figura C
18. Haz una conjetura El triángulo ABC se refleja sobre el eje y para formar la
imagen A′B′C′. El triángulo A′B′C′ se refleja luego sobre el eje x para formar la
imagen A′′B′′C′′. ¿Qué tipo de rotación se puede usar para describir la relación
entre el triángulo A′′B′′C′′ y el triángulo ABC?
19. Comunica ideas matemáticas El punto A está en el eje y. Describe todas las
ubicaciones posibles de la imagen A′ después de rotaciones de 90°, 180° y 270°. Incluye el origen como posible ubicación de A.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Unidad 4296
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O
PREGUNTA ESENCIAL¿Cómo pueds describir el efecto de una traslación, rotación o reflexión sobre las coordenadas usando una representación algebraica?
L E C C I Ó N
9.4Representaciones algebraicas de las transformaciones
Representaciones algebraicas de las traslacionesLas reglas que aparecen en la tabla describen cómo cambian las coordenadas cuando
una figura se traslada hacia arriba, hacia abajo, a la derecha y a la izquierda en el plano
cartesiano.
Traslaciones
A la derecha a unidades Suma a a la coordenada x: (x, y) → (x + a, y)
A la izquierda a unidades Resta a de la coordenada x: (x, y) → (x - a, y)
Hacia arriba b unidades Suma b a la coordenada y: (x, y) → (x, y + b)
Hacia abajo b unidades Resta b de la coordenada y: (x, y) → (x, y - b)
El triángulo XYZ tiene vértices X(0, 0), Y(2, 3) y Z(4, −1). Calcula los vértices del
triángulo X’Y’Z’ después de una traslación de 3 unidades a la derecha y 1 unidad
hacia abajo. Luego, representa en la gráfica el triángulo y su imagen.
Aplica la regla para calcular los vértices de la imagen.
Vértices del △XYZ Regla: (x + 3, y - 1) Vértices del △X′Y′Z′
X(0, 0) (0 + 3, 0 - 1) X′(3, -1)
Y(2, 3) (2 + 3, 3 - 1) Y′(5, 2)
Z(4, -1) (4 + 3, -1 - 1) Z′(7, -2)
Representa gráficamente el triángulo XYZ y su imagen.
EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
Cuando trasladas una figura a la derecha o a la
izquierda, ¿qué coordenada cambias?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.3
Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.
8.G.1.3
Suma 3 a la coordenada x de cada vértice y resta 1 de la coordenada y de cada vértice.
297Lección 9.4
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Mis notas
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Representaciones algebraicas de las reflexionesLos signos de las coordenadas de una figura cambian cuando la figura se refleja sobre
los ejes x y y. La tabla muestra las reglas para cambiar los signos de las coordenadas
después de una reflexión.
Reflexiones
Sobre el eje x Multiplica cada coordenada y por -1: (x, y) → (x, -y)
Sobre el eje y Multiplica cada coordenada x por -1: (x, y) → (-x, y)
El rectángulo RSTU tiene vértices R(-4, -1), S(-1, -1), T(-1, -3) y U(-4, -3).
Calcula los vértices del rectángulo R′S′T′U′ después de una reflexión alrededor del
eje y. Luego, representa en la gráfica el rectángulo y su imagen.
Aplica la regla para calcular los vértices de la imagen.
Vértices de RSTU Regla: (-1 · x, y) Vértices de R′S′T′U′
R(-4, -1) (-1 · (-4), - 1) R′(4, -1)
S(-1, -1) (-1 · (-1), - 1) S′(1, -1)
T(-1, -3) (-1 · (-1), - 3) T′(1, -3)
U(-4, -3) (-1 · (-4), - 3) U′(4, -3)
Representa gráficamente el rectángulo RSTU y su imagen.
EJEMPLO 2
PASO 1
PASO 2
1. Un rectángulo tiene vértices en (0, -2), (0, 3), (3, -2) y (3, 3). ¿Cuáles son las
coordenadas de los vértices de la imagen después de la traslación
(x, y) → (x - 6, y - 3)? Describe la traslación.
ES TU TURNO
8.G.1.3
Multiplica por −1 la coordenada x de cada vértice.
Unidad 4298
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2. El triángulo ABC tiene vértices A(-2, 6), B(0, 5) y C(3, -1). Calcula los vértices
del triángulo A’B’C’ después de una reflexión sobre el eje x.
ES TU TURNO
Representaciones algebraicas de las rotacionesCuando se hace una rotación de los puntos alrededor del origen, las coordenadas de la
imagen se pueden calcular usando las siguientes reglas.
Rotaciones
90° en el sentido de las manecillas del reloj
Multiplica cada coordenada x por -1; luego, intercambia las coordenadas x y y: (x, y) → (y, -x)
90° en el sentido contrario de las manecillas del reloj
Multiplica cada coordenada y por -1; luego, intercambia las coordenadas x y y: (x, y) → (-y, x)
180° Multiplica ambas coordenadas por -1: (x, y) → (-x, -y)
El cuadrilátero ABCD tiene vértices A(-4, 2), B(-3, 4), C(2, 3) y D(0, 0). Calcula los
vértices del cuadrilátero A’B’C’D’ después de una rotación de 90° en el sentido de las
manecillas del reloj. Luego, representa en la gráfica el cuadrilátero y su imagen.
Aplica la regla para calcular los vértices de la imagen.
Vértices de ABCD Regla: (y, -x) Vértices de A′B′C′D′
A(-4, 2) (2, -1 · (-4)) A′(2, 4)
B(-3, 4) (4, -1 · (-3)) B′(4, 3)
C(2, 3) (3, -1 · 2) C′(3, -2)
D(0, 0) (0, -1 · 0) D′(0, 0)
Representa gráficamente el cuadrilátero y su imagen.
EJEMPLO 3
PASO 1
PASO 2
8.G.1.3
Multiplica la coordenada x de cada vértice por −1 y luego intercambia las coordenadas x y y.
299Lección 9.4
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4. Un triángulo tiene vértices en J(-2, -4), K(1, 5) y L(2, 2). ¿Cuáles son las
coordenadas de los vértices de la imagen después de una rotación del
triángulo de 90° en el sentido contrario de las manecillas del reloj?
ES TU TURNO
1. El triángulo XYZ tiene vértices en X(-3, -2), Y(-1, 0) y Z(1, -6).
Calcula los vértices del triángulo X’Y’Z’ después de una traslación
de 6 unidades a la derecha. Luego, representa gráficamente el
triángulo y su imagen. (Ejemplo 1)
2. Describe lo que les pasa a las coordenadas x y y después de que un
punto se refleja alrededor del eje x. (Ejemplo 2)
3. Usa la regla (x, y) → (y, -x) para representar la imagen del triángulo
de la derecha. Luego, describe la transformación. (Ejemplo 3)
4. ¿Cómo cambian las coordenadas x y y cuando una figura se
traslada a la derecha a unidades y hacia abajo b unidades?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Reflexiona3. Comunica ideas matemáticas ¿Cómo calcularías los vértices de una imagen
si se rota una figura 270° en el sentido de las manecillas del reloj? Explica.
Práctica con supervisión
Unidad 4300
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M′ N′
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A′ D′
B′ C′
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A B
CD
Nombre Clase Fecha
Escribe una regla algebraica para describir cada transformación. Luego, describe
la transformación.
5. 6.
7. El triángulo XYZ tiene vértices en X(6, -2.3), Y(7.5, 5) y Z(8, 4). Cuando se
traslada, X’ tiene las coordenadas (2.8, -1.3). Escribe una regla para describir la
transformación. Luego, calcula las coordenadas de Y’ y Z’.
8. El punto L tiene las coordenadas (3, -5). Las coordenadas del punto L’ después
de una reflexión son (-3, -5). Sin representar gráficamente, indica sobre qué eje
se reflejó el punto L. Explica la respuesta.
9. Usa la regla (x, y) → (x - 2, y - 4) para representar la imagen
del rectángulo. Luego, describe la transformación.
10. El paralelogramo ABCD tiene vértices A ( -2, -5 1 _
2 ) , B ( -4, -5
1 _
2 ) ,
C(-3, -2) y D(-1, -2). Calcula los vértices del paralelogramo
A′B′C′D′ después de una traslación de 2 1 _
2 unidades hacia abajo.
Práctica independiente9.48.G.1.3
301Lección 9.4
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAx
y
Área de trabajo
11. Alexandra dibujó el logotipo de la derecha en papel cuadriculado de media
pulgada. Escribe una regla que describa la traslación que usó Alexandra para
crear la sombra de la letra A.
12. La cometa KLMN tiene vértices K(1, 3), L(2, 4), M(3, 3) y N(2, 0). Después de
rotar la cometa, K’ tiene las coordenadas (-3, 1). Describe la rotación e
incluye una regla en la descripción. Luego, calcula las coordenadas de L ’ , M’ y N’.
13. Haz una conjetura Representa en la gráfica el triángulo con vértices (-3, 4), (3, 4)
y (-5, -5). Usa la transformación (y, x) para representar su imagen.
a. ¿Qué vértice de la imagen tiene las mismas coordenadas que un
vértice de la figura original? Explica por qué esto es verdad.
b. ¿Cuál es la ecuación de una recta que pasa por el origen y este punto?
c. Describe la transformación del triángulo.
14. Razonamiento crítico Mitchell dice que el punto (0, 0) no cambia cuando se
refleja sobre el eje x o y ni cuando se rota alrededor del origen. ¿Estás de acuerdo
con Mitchell? Explica por qué.
15. Analiza las relaciones El triángulo ABC tiene vértices A(-2, -2), B(-3, 1)
y C(1, 1) y se traslada a través de (x, y) → (x - 1, y + 3). Luego, su imagen, el
triángulo A’B’C’ se traslada a través de (x, y) → (x + 4, y - 1), que da como
resultado A’’B’’C’’.
a. Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo A″B″C″.
b. Escribe la regla de una traslación que convierta el triángulo ABC en el
triángulo A″B″C″.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Unidad 4302
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR
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5
x
y
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-5
PREGUNTA ESENCIAL¿Cuál es la conexión entre las transformaciones y las figuras que tienen la misma forma y tamaño?
L E C C I Ó N
9.5 Figuras congruentes
Combinar transformacionesAplica la serie de transformaciones indicadas al triángulo. Cada
transformación se le aplica a la imagen de la transformación
anterior, no a la figura original. Rotula cada imagen con la letra
de la transformación aplicada.
Reflexión sobre el eje x.
(x, y) → (x - 3, y)
Reflexión sobre el eje y.
(x, y) → (x, y + 4)
Rotación de 90 ° en sentido de las manecillas del reloj
alrededor del origen.
Compara el tamaño y la forma de la imagen final con los de la figura original.
Reflexiona1. ¿Qué transformación o transformaciones cambian la orientación de las figuras?
¿Cuáles no las cambian?
2. Haz una conjetura Dos figuras tienen el mismo tamaño y la misma forma.
¿Qué indica esto sobre las figuras?
A
B
C
D
E
F
8.G.1.2
8.G.1.2
Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruence between them.
303Lección 9.5
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B A
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B
C
Figuras congruentesRecuerda que los segmentos y sus imágenes tienen las mismas medidas y los mismos
ángulos y que sus imágenes tienen las medidas bajo una traslación, reflexión o
rotación. Se dice que dos figuras son congruentes si una de ellas se puede obtener a
partir de la otra mediante una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones. Las
figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño.
Cuando te dicen que dos figuras son congruentes debe haber una secuencia de
traslaciones, reflexiones y/o rotaciones que transforma una de las figuras en la otra.
Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura A en
la figura B.
Para transformar la figura A en la figura B necesitas reflejarla sobre el eje x
y trasladarla una unidad a la izquierda. Una secuencia de transformaciones que
logrará esto es (x, y) → (-x, y) y (x, y) → (x - 1, y).
Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura B en la
figura C.
Cualquier secuencia de transformaciones que cambie la figura B en la figura C
necesitará incluir una rotación. Una rotación de 90° en sentido contrario a las
manecillas del reloj alrededor del origen dará como resultado la figura denotada
como figura C.
Sin embargo, la figura rotada estaría 2 unidades por debajo y 1 unidad hacia
la izquierda de donde está la figura C. Necesitarías trasladar la figura rotada
2 unidades hacia arriba y 1 unidad hacia la derecha.
EJEMPLO 1
A
B
¿Cómo sabes que la secuencia de transformaciones en las
Partes B y C debe incluir una rotación?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.2
Unidad 4304
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Mis notas
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E
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-4 -2 42
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A
B
La secuencia de transformaciones es una rotación de 90° en sentido contrario a
las manecillas del reloj alrededor del origen, (x, y) → (-y, x), seguida por (x, y) →
(x + 1, y + 2).
Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura D en
la figura E.
Una secuencia de transformaciones que cambie la figura D en la figura E necesitará
incluir una rotación. Una rotación de 90° en sentido de las manecillas del reloj
alrededor del origen dará como resultado la figura denotada como figura E.
Sin embargo, la figura rotada estará 6 unidades por encima de donde está la
figura E. Necesitarías trasladar la figura rotada 6 unidades hacia abajo.
La secuencia de transformaciones es una rotación de 90° en sentido de las
manecillas del reloj sobre el origen, (x, y) → (y, -x), seguida por (x, y) → (x, y - 6).
C
3. Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura A
en la figura B.
ES TU TURNO
305Lección 9.5
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y
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A B
C
Práctica con supervisión
1. Aplica las series de transformaciones indicadas al triángulo.
Cada transformación se le aplica a la imagen de la transformación
anterior, no a la figura original. Rotula cada imagen con la letra de
la transformación aplicada. (Actividad para explorar)
a. Reflexión sobre el eje y
b. Rotación de 90° en sentido de las manecillas del reloj
alrededor del origen
c. (x, y) → (x - 2, y)
d. Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del
reloj alrededor del origen
e. (x, y) → (x - 7, y - 2)
Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la
figura A en la figura C. (Ejemplo 1)
2. ¿Qué transformación se usó para transformar la figura A en la figura B?
3. ¿Qué transformación se usó para transformar la figura B en la figura C?
4. ¿Qué secuencia de transformaciones se usó para transformar la figura
A en la figura C? Expresa las transformaciones algebraicamente.
5. Vocabulario ¿Qué significa que dos figuras sean congruentes?
6. Después de una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones, ¿qué se
puede decir sobre la primera figura y la figura final?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Unidad 4306
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A
Nombre Clase Fecha
Práctica independiente9.5
Para cada figura A dada, grafica las figuras B y C usando la secuencia de transformaciones dada.
Indica si las figuras A y C tienen igual o diferente orientación.
7.
Figura B: traslación de 1 unidad hacia la
derecha y 3 unidades hacia arriba
Figura C: rotación de 90° en sentido de las
manecillas del reloj alrededor del origen
8.
Figura B: reflexión alrededor del eje y
Figura C: rotación de 180° alrededor del origen
9.
Figura B: reflexión alrededor del eje y
Figura C: traslación de 2 unidades hacia abajo
10.
Figura B: traslación de 2 unidades hacia arriba
Figura C: rotación de 180° alrededor del origen
8.G.1.2
307Lección 9.5
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Área de trabajo
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A
D
Terreno A
Terreno B
x
y11. Representa problemas de la vida real Un planificador urbano
quiere colocar la biblioteca nueva del pueblo en el terreno A.
El alcalde pensó que sería mejor colocarla en el terreno B. ¿Qué
transformaciones se le aplicaron al edificio del terreno A para
reubicarlo en el terreno B? ¿Cambio el alcalde el tamaño o la
orientación de la biblioteca?
12. Persevera en la resolución de problemas Halla una secuencia de
tres transformaciones que se pueda usar para obtener la figura D
a partir de la figura A. Grafica las figuras B y C creadas por las
transformaciones.
13. Contraejemplos La propiedades conmutativas de la adición y la multiplicación
establecen que el orden de dos números que se suman o se multiplican no altera
la suma o el producto. ¿Son conmutativas las traslaciones y las rotaciones? Si no
lo son, da un contraejemplo.
14. Representaciones múltiples Describe una posible secuencia de transformaciones
para cada representación.
a. (x, y) → (-x - 2, y + 1)
a. (x, y) → (y, -x - 3)
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Unidad 4308
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para seguir?¿Listo¿Listo
C
A
B
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IJ
5-5-5
x
y
PRUEBA DEL MÓDULO
9.1–9.3 Propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones
1. Representa gráficamente la imagen del
triángulo ABC después de una traslación de
6 unidades a la derecha y 4 unidades hacia
abajo. Rotula los vértices de la imagen A′, B′ y C′.
2. Representa, en la misma cuadrícula de
coordenadas, la imagen del triángulo ABC
después de una reflexión sobre el eje y. Rotula
los vértices de la imagen A′′, B′′ y C′′.
3. Representa gráficamente la imagen del
trapecio HIJK después de una rotación de
180° alrededor del origen. Rotula los vértices
de la imagen H′I′J′K′.
9.4 Representaciones algebraicas de las transformaciones
4. Un triángulo tiene vértices en (2, 3), (−2, 2)
y (−3, 5). ¿Cuáles son las coordenadas de
los vértices de la imagen después de la
traslación (x, y) → (x + 4, y − 3)? Describe
la transformación.
9.5 Figuras congruentes5. Vocabulario Las traslaciones, reflexiones y rotaciones producen una figura
que es con la figura original.
6. Usa la cuadrícula de coordenadas para el Ejercicio 3. Refleja H′I′J′K′ sobre el eje
y, luego rótalo 180̊ alrededor del origen. Rotula la figura nueva H′I′J′K′.
7. ¿Cómo puedes usar las transformaciones para resolver problemas de la vida
real?
PREGUNTA ESENCIAL
309Módulo 9
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MÓDULO 9 REPASO MIXTO
Respuesta seleccionada
1. ¿Cuál sería la orientación de la figura
L después de una traslación de 8
unidades a la derecha y 3 unidades
hacia arriba?
A C
B D
2. La figura A se refleja sobre el eje y y luego se
traslada 6 unidades hacia abajo. ¿Qué secuencia
describe estas transformaciones?
A (x, y) → (x, -y) y (x, y) → (x, y - 6)
B (x, y) → (-x, y) y (x, y) → (x, y - 6)
C (x, y) → (x, -y) y (x, y) → (x - 6, y)
D (x, y) → (-x, y) y (x, y) → (x - 6, y)
3. ¿En qué cuadrante se encontrará el triángulo
después de una rotación de 90° alrededor del
origen en sentido contrario de las manecillas
del reloj?
O 42-2
-2
-4
x
y
A I B II C III D IV
4. ¿Qué número racional es mayor que -31_3 pero
menor que - 4 _ 5 ?
A -0.4 C -0.19
B - 9_7 D - 22__
5
5. ¿Cuál de las siguientes opciones no es verdad
para un trapecio que se ha reflejado sobre el
eje x?
A El trapecio nuevo tiene el mismo tamaño
que el trapecio original.
B El trapecio nuevo tiene la misma forma que
el trapecio original.
C El trapecio nuevo tiene la misma
orientación que el trapecio original.
D Las coordenadas x del trapecio nuevo
son las mismas que las coordenadas x del
trapecio original.
6. Un triángulo con coordenadas (6, 4), (2, −1) y
(−3, 5) se traslada 4 unidades a la izquierda y se
rota 180° alrededor del origen. ¿Cuáles son las
coordenadas de su imagen?
A (2, 4), (−2, −1), (−7, 5)
B (4, 6), (−1, 2), (5, −3)
C (4, −2), (−1, 2), (5, 7)
D (−2, −4), (2, 1), (7, −5)
Minitarea
7. Un rectángulo con vértices (3, -2), (3, -4), (7, -2),
(7, -4) se refleja sobre el eje x y luego se rota 90̊
en sentido contrario a las manecillas del reloj.
a. ¿En qué cuadrante se halla la imagen?
b. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?
c. ¿Qué otras transformaciones produce la
misma imagen?
Preparación para la evaluación PARCC
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D
C
B
B
310 Unidad 4
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PREGUNTA ESENCIAL?
APRENDEEN LÍNEA
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Vídeo de la vida real
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¿Cómo puedes usar las dilataciones y las semejanzas para resolver problemas de la vida real?
Transformaciones y semejanzas
MÓDULO 10
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matemáticas.
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libro del estudiante están disponibles en línea.
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Para hacer un mural, el artista hace primero un dibujo más pequeño para ver la forma que tendrá. Luego, la imagen se amplía en el lienzo del mural mediante un factor de escala. A esta ampliación se le llama dilatación.
LECCIÓN 10.1
Propiedades de las dilataciones
8.G.1.3, 8.G.1.4
LECCIÓN 10.2
Representaciones algebraicas de las dilataciones
8.G.1.3
LECCIÓN 10.3
Figuras semejantes8.G.1.4
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¿Estás listolisto?
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5O
5
10
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A
Completa estos ejercicios para repasar las destrezas que
necesitarás en este módulo.
Simplificar razonesEJEMPLO
35 __
21 =
35 ÷ 7 _____
21 ÷ 7
= 5 _ 3
Escribe las razones en su mínima expresión.
1. 6
__ 15
2. 8
__ 20
3. 30
__ 18
4. 36
__ 30
Multiplicar con fracciones y decimalesEJEMPLO 2
3 _
5 × 20
= 13 × 20
______ 5 × 1
= 13 × 20
______ 5 × 1
= 52
6 8
× 4 . 5 _____
3 4 0
+ 2 7 2
________ 3 0 6 . 0
Multiplica.
5. 60 × 25
___ 100
6. 3.5 × 40 7. 4.4 × 44 8. 24 × 8
_ 9
Representar pares ordenados (primer cuadrante)EJEMPLO
Marca los puntos en la cuadrícula de coordenadas anterior.
9. B (9, 0) 10. C (2, 7) 11. D (0, 4.5) 12. E (6, 2.5)
4
1
Para escribir una razón en su mínima expresión, calcula el máximo común divisor del numerador y denominador.Divide el numerador y denominador entre el MCD.
Marca el punto A(4, 3.5).Comienza en el origen.Mueve 4 unidades a la derecha. Luego, mueve 3.5 unidades hacia arriba. Marca el punto A(4, 3.5)
Escribe los números como fracciones y multiplica.
Simplifica.
Multiplica como lo harías con números enteros.
Coloca el punto decimal en la respuesta según el total de lugares decimales en los dos factores.
Unidad 4312
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Práctica de vocabulario
Lectura con propósitoPlegado de términos clave Haz un plegado de
términos clave antes de comenzar a leer para ayudarte
a aprender el vocabulario de este módulo. Escribe las
palabras de vocabulario resaltadas en un lado de la
solapa. Luego, escribe la definición de cada palabra en
el otro lado. Usa el plegado de términos clave para ver
si aprendiste las definiciones de este módulo.
Visualiza el vocabularioUsa las palabras con ✔ para completar el organizador gráfico.
Escribe solo una palabra por rectángulo.
Comprende el vocabularioCompleta las oraciones con las palabras de repaso.
1. Una figura más grande que la original, producida a través de una dilatación,
se llama .
2. Una figura más pequeña que la original, producida a través de una dilatación,
se llama .
Repasar el plano
cartesiano
Las cuatro regiones
del plano cartesiano.
El eje horizontal
del plano cartesiano.
El punto donde se
intersecan los ejes para
formar el plano
cartesiano.
El eje vertical del
plano cartesiano.
VocabularioPalabras de repaso
✔ cuadrante (quadrants)
✔ eje x (x-axis)
✔ eje y (y-axis)
escala (scale)
imagen (image)
preimagen (preimage)
✔ origen (origen)
plano cartesiano (coordinate
plane)
razón (ratio)
Palabras nuevas ampliación
(enlargement)
centro de dilatación (center of
dilation)
dilatación (dilation)
factor de escala (scale factor)
reducción (reduction)
semejante (similar)
313Módulo 10
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4
D
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B
C
-4
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A'
B'
C'
D'
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-4-6 -2
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-2
4 62A
B
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Desglosar los estándaresComprender los estándares y las palabras de vocabulario te ayudará a saber exactamente lo que se espera que aprendas en este módulo.
MÓDULO 10
Lo que significa para tiUsarás una representación algebraica para describir una dilatación.
Lo que significa para tiDescribirás una secuencia de transformaciones entre dos figuras
semejantes.
El cuadrado azul ABCD es
la preimagen. Escribe dos
representaciones algebraicas, una
para la dilatación al cuadrado verde
y otra para la dilatación al cuadrado
morado.
Las coordenadas de los vértices de
la preimagen se multiplican por
2 para obtener el cuadrado verde.
Cuadrado verde: (x, y) → (2x, 2y)
Las coordenadas de los vértices de
la preimagen se multiplican por 1 _ 2 para obtener el cuadrado morado.
Cuadrado morado: (x, y) → ( 1 _ 2 x, 1 _
2 y )
Identifica una secuencia de
dos transformaciones que
transformarán la figura A en la
figura B.
Dilata por un factor de escala
de 1 _
2 .
Luego, traslada 3 hacia la
derecha y 2 hacia arriba.
8.G.1.3
Describir los efectos de las
dilataciones, traslaciones,
rotaciones y reflexiones en
figuras bidimensionales usando
coordenadas.
8.G.1.4
Comprender que una figura
bidimensional es semejante a otra
si la segunda se puede obtener a
partir de la primera mediante una
serie de rotaciones, reflexiones,
traslaciones y dilataciones; dadas
dos figuras bidimensionales
semejantes, describir una
secuencia que muestre la
semejanza entre ellas.
DESGLOSAR EL EJEMPLO 8.G.1.3
DESGLOSAR EL EJEMPLO 8.G.1.4
Visita my.hrw.com
para ver todos los
Estándares
comunes de
Florida
desglosados.
Unidad 4314
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¿Cómo puedes describir las propiedades de las dilataciones??
Centro dedilatación R'
T'S'
T
R
C
S
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1
Explorar las dilatacionesLas misiones espaciales que llevaron a 12 astronautas a la Luna fueron
controladas desde el Centro Espacial Johnson en Houston. Los
modelos de la derecha son reproducciones a pequeña escala del
cohete Saturno V que propulsó los vuelos a la Luna. Cada
reproducción es una transformación llamada dilatación.
A diferencia de las transformaciones que has estudiado,
traslaciones, rotaciones y reflexiones, las dilataciones cambian
el tamaño (pero no la forma) de la figura.
Cada dilatación tiene un punto fijo llamado centro de dilatación
situado en el lugar de intersección de las rectas que conectan las
partes correspondientes de las figuras.
El triángulo R′S′T′ es una dilatación del triángulo RST.
El punto C es el centro de dilatación.
Usa una regla para medir los segmentos _ CR , _ CR′ , _ CS , _ CS′ , _ CT y _ CT ′ al milímetro
más cercano. Anota las medidas y las razones en la tabla.
Escribe una conjetura basándote en las razones de la tabla.
Mide y anota las longitudes de los lados correspondientes de los triángulos.
Escribe una conjetura basándote en las razones de la tabla.
Mide los ángulos correspondientes y describe los resultados.
A
CR′ CR CR′
___ CR CS′ CS CS′
___ CS CT′ CT CT′
___ CT
B
C
R′S′ RS R′S′
___ RS S′T′ ST S′T′
___ ST R′T′ RT R′T ′
___ RT
D
E
PREGUNTA ESENCIAL
L E C C I Ó N
10.1Propiedades de las dilataciones
8.G.1.4
Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of … dilations; … Also 8.G.1.3
8.G.1.4
315
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Lección 10.1
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1 (continuación)
x
y
-6
6
-6
6O
CD
A'
B'
C'D'
A
B
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2
Reflexiona1. Dos figuras con la misma forma, pero diferentes tamaños, son semejantes.
¿Son semejantes los triángulos RST y R′S′T′? ¿Por qué?
2. Compara la orientación de una figura con la orientación de su dilatación.
Explorar las dilataciones en un plano cartesiano En esta actividad vas a explorar cómo las coordenadas de
una figura en un plano cartesiano son afectadas por una
dilatación.
Completa la tabla. Anota las coordenadas x y y de los puntos
de las dos figuras y las razones de las coordenadas x y las
coordenadas y.
Escribe una conjetura sobre las razones de las coordenadas de la imagen de
una dilatación a las coordenadas de la figura original.
A
Vértice x y Vértice x y
Razón de lascoordenadas x
(A′B′C′D′ ÷ ABCD)
Razón de lascoordenadas y
(A′B′C′D′ ÷ ABCD)
A′ A
B′ B
C ′ C
D′ D
B
8.G.1.3
316
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Unidad 4
y
x
2 4
2
O
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8
10
6 8 10
A
A'
B'C'
BC
Matemáticas al instante
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Reflexiona3. En la Actividad para explorar 1, el triángulo R′S′T ′ era más grande que el
triángulo RST. ¿En qué se diferencia la relación entre el cuadrilátero
A′B′C′D′ y el cuadrilátero ABCD?
Calcular un factor de escalaComo has visto en las dos actividades, una dilatación puede producir una figura más
grande (una ampliación) o una figura más pequeña (una reducción). El factor de escala describe cuánto se amplía o se reduce una figura. El factor de escala
es la razón entre la longitud de la imagen a la longitud correspondiente de la
figura original.
En la Actividad para explorar 1, las longitudes de los lados del triángulo R′S′T ′ eran el
doble de las longitudes del triángulo RST, por lo que el factor de escala era 2. En la
Actividad para explorar 2, las longitudes de los lados del cuadrilátero A′B′C′D′ eran la
mitad de las del cuadrilátero ABCD, por lo que el factor de escala era 0.5
Una tienda de materiales de arte vende diversos
tamaños de triángulos para dibujar. Todos son
dilataciones de un único triángulo básico. En la
cuadrícula se muestran el triángulo básico y una de
sus dilataciones. Calcula el factor de escala de
la dilatación.
Usa las coordenadas para calcular las
longitudes de los lados de cada triángulo.
Triángulo ABC: AC = 2 CB = 3
Triángulo A′B′C ′: A′C ′ = 4 C ′B′ = 6
Calcula las razones de los lados correspondientes.
A′C ′
___ AC = 4 _ 2
= 2 C ′B′
___ CB = 6 _ 3
= 2
El factor de escala de la dilatación es 2.
Reflexiona4. ¿Es la dilatación una ampliación o una reducción? ¿Cómo lo sabes?
EJEMPLO EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
¿Qué diferencia hay entre las dilataciones y las otras transformaciones que has
estudiado?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.4
Como el factor de escala es el mismo para todos los lados correspondientes, puedes anotar solamente dos pares de longitudes de lado. Usa un par para comprobar el otro.
317
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Lección 10.1
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D'
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Práctica con supervisión
Usa los triángulos ABC y A′B′C ′ para los Ejercicios 1 a 5. (Actividades para explorar 1 y 2, Ejemplo 1)
1. Para cada par de vértices correspondientes, calcula la razón de las
coordenadas x y la razón de las coordenadas y.
razón de las coordenadas x =
razón de las coordenadas y =
2. Sé que el triángulo A′B′C ′ es una dilatación del triángulo ABC
porque las razones de las coordenadas x correspondientes
son y las razones de las coordenadas y
correspondientes son .
3. La razón de las longitudes de los lados correspondientes del triángulo
A′B′C ′ y del triángulo ABC es .
4. Los ángulos correspondientes del triángulo ABC y del triángulo A′B′C ′
son .
5. El factor de escala de la dilatación es .
6. ¿Cómo puedes calcular el factor de escala de una dilatación?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
5. Calcula el factor de escala
de la dilatación.
ES TU TURNO
¿Qué factores de escala producen ampliaciones? ¿Qué factores de escala producen reducciones?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
318
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Unidad 4
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Nombre Clase Fecha
Práctica independiente10.1
En los Ejercicios 7 a 11, indica si una de las
figuras es una dilatación de la otra. Explica el
razonamiento.
7. El cuadrilátero MNPQ tiene longitudes de
lado de 15 mm, 24 mm, 21 mm y 18 mm. El
cuadrilátero M′N′P′Q′ tiene longitudes de lado
de 5 mm, 8 mm, 7 mm y 4 mm.
8. El triángulo RST tiene ángulos que miden 38° y
75°. El triángulo R′S′T ′ tiene ángulos que miden
67° y 38°. Los lados son proporcionales.
9. Dos triángulos, el Triángulo 1 y el Triángulo 2,
son semejantes.
10. El cuadrilátero MNPQ tiene la misma forma
pero tamaño distinto que el cuadrilátero
M′N′P′Q.
11. En un plano cartesiano, las coordenadas del
triángulo UVW son U(20, -12), V(8, 6) y
W(-24, -4). Las coordenadas del triángulo
U ′V ′W ′ son U′(15, -9), V ′(6, 4.5) y W ′(-18, -3).
Completa la tabla escribiendo “igual” o “cambiada” para comparar la imagen con
la figura original según el tipo de transformación.
Imagen comparada con la figura original
Orientación Tamaño Forma
12. Traslación
13. Reflexión
14. Rotación
15. Dilatación
16. Describe la imagen de una dilatación con un factor de escala de 1.
8.G.1.3, 8.G.1.4
319
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Lección 10.1
Área de trabajo
A'
C'D'
B'
5-5
5
-5
xO
y
AB
CD
x
y
2
4
6
8
2 4 6 8O
A
B
C
A'
B'C'
Identifica el factor de escala de cada dilatación.
17. 18.
19. Razonamiento crítico Explica cómo puedes calcular el centro de dilatación de
un triángulo y su dilatación.
20. Haz una conjetura
a. Un cuadrado situado en un plano cartesiano tiene vértices en (−2, 2), (2, 2),
(2, −2) y (−2, −2). La dilatación del cuadrado tiene vértices en (−4, 4), (4, 4),
(4, −4) y (−4, −4). Calcula el factor de escala y el perímetro de cada
cuadrado.
b. Un cuadrado situado en un plano cartesiano tiene vértices en (−3, 3), (3, 3),
(3, −3) y (−3, −3). La dilatación del cuadrado tiene vértices en (−6, 6), (6, 6),
(6, −6) y (−6, −6). Calcula el factor de escala y el perímetro de cada
cuadrado.
c. Haz una conjetura sobre la relación del factor de escala al perímetro del
cuadrado y su imagen.
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
320
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Unidad 4
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x
y
-7
7
-7
7O
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1
PREGUNTA ESENCIAL¿Cómo puedes describir el efecto de una dilatación sobre las coordenadas usando una representación algebraica?
L E C C I Ó N
10.2Representaciones algebraicas de dilataciones
Representar ampliaciones Cuando una dilatación en un plano cartesiano tiene el origen como el
centro de dilatación, puedes calcular puntos en la imagen dilatada
multiplicando las coordenadas x y y de la figura original por el factor de
escala. Para un factor de escala k, la representación algebraica de la
dilatación es (x, y) → (kx, ky). Para las ampliaciones, k > 1.
La figura que aparece en la cuadrícula es la preimagen. El centro de
dilatación es el origen.
Enumera las coordenadas de los vértices de la preimagen en la primera
columna de la tabla.
¿Cuál es el factor de escala de la dilatación?
Aplica la dilatación a la preimagen y escribe las coordenadas de los
vértices de la imagen en la segunda columna de la tabla.
Traza la imagen después de la dilatación en la cuadrícula de coordenadas.
A
B
C
D
Preimagen(x, y)
Imagen(3x, 3y)
(2, 2) (6, 6)
¿Qué efecto tendría la dilatación (x, y) → (4x, 4y)
sobre el radio de un círculo?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.3
Describe the effect of dilations, … on two-dimensional figures using coordinates.
8.G.1.3
321Lección 10.2
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-4
5
-5
4O
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1 (continuación)
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2
Reflexiona1. ¿Qué efecto tiene la dilatación sobre la longitud de los segmentos de recta?
2. ¿Qué efecto tiene la dilatación sobre las medidas de los ángulos?
Representar reduccionesPara los factores de escala entre 0 y 1, la imagen es más pequeña que la
preimagen. A esto se le llama reducción.
La flecha que se muestra es la preimagen. El centro de dilatación es el origen.
Enumera las coordenadas
de los vértices de la
preimagen en la primera
columna de la tabla.
¿Cuál es el factor de
escala de la dilatación?
Aplica la dilatación a la
preimagen y escribe las
coordenadas de los vértices
de la imagen en la segunda
columna de la tabla.
Traza la imagen después
de la dilatación en la
cuadrícula de coordenadas.
Reflexiona3. ¿Qué efecto tiene la dilatación sobre la longitud de los segmentos de recta?
4. ¿Qué efecto tendría sobre la preimagen una dilatación con un factor de
escala de 1?
A
B
C
D
Preimagen(x, y)
Imagen
( x, y) 1 _ 2
1 _ 2
8.G.1.3
322 Unidad 4
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2
4
6
8
2 4 6 8OA
A'
B
B'C
C'
x
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2
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6
8
2 4 6 8OA B
C
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2
4
6
8
2 4 6 8O
X
YZ
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Centro de dilatación afuera de la imagenEl centro de dilatación puede estar adentro o afuera de la preimagen y de la imagen
dilatada. El centro de dilatación puede estar en cualquier lugar del plano cartesiano
siempre y cuando las rectas que conectan a los pares de vértices correspondientes que
hay entre la preimagen y la dilatada se intersequen en el centro de dilatación.
Representa la imagen del ▵ABC después de una dilatación que tiene como origen
su centro y un factor de escala de 3. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?
Multiplica cada coordenada de los
vértices del ▵ABC por 3 para calcular
los vértices de la imagen dilatada.
▵ABC (x, y) → (3x, 3y) ▵A′B′C′
A(1, 1) → A′(1 · 3, 1 · 3) → A′(3, 3)
B(3, 1) → B′(3 · 3, 1 · 3) → B′(9, 3)
C(1, 3) → C′(1 · 3, 3 · 3) → C′(3, 9)
Los vértices de la imagen dilatada
son A′(3, 3), B′(9, 3) y C′(3, 9).
Representa la imagen dilatada.
EJEMPLO 1
PASO 1
PASO 2
5. Representa la imagen del ▵XYZ después de
una dilatación con un factor de escala
de 1 _ 3 y el origen como su centro. Luego,
escribe una regla algebraica para describir
la dilatación.
ES TU TURNO
Describe cómo puedes comprobar gráficamente que
has dibujado la imagen del triángulo correctamente.
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
8.G.1.3
323Lección 10.2
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2
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6
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2 4 6 8O
F G
I H
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-3
3
-3
3O
Práctica con supervisión
1. La cuadrícula muestra una preimagen con forma de diamante. Escribe las
coordenadas de los vértices de la preimagen en la primera columna de la
tabla. Luego, aplica la dilatación (x, y) → ( 3 _ 2 x, 3 _
2 y ) y escribe las coordenadas de
los vértices de la imagen en la segunda columna. Traza la imagen de la figura
después de la dilatación. (Actividades para explorar 1 y 2)
Representa en las gráficas la imagen de cada figura después de una dilatación
que tiene como origen su centro y con el factor de escala dado. Luego,
escribe una regla algebraica para describir la dilatación. (Ejemplo 1)
Preimagen Imagen
(2, 0) (3, 0)
2. factor de escala de 1.5 3. factor de escala de
1
_
3
x
y
2
4
6
8
2 4 6 8O
B
C
A
4. ¿Qué efecto tiene sobre la figura una dilatación de (x, y) → (kx, ky) cuando
0 < k < 1? ¿Qué efecto tiene sobre la figura cuando k > 1?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
324 Unidad 4
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x
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-6
6
-6
6
C'
D'
A'
B'
C
D
A
B
Nombre Clase Fecha
Práctica independiente10.2
5. El cuadrado azul es la preimagen. Escribe
dos representaciones algebraicas, una para
la dilatación al cuadrado verde y una para la
dilatación al cuadrado morado.
6. Razonamiento crítico Un triángulo tiene
vértices A(-5, -4), B(2, 6) y C(4, -3). El centro
de dilatación es el origen y (x, y)→(3x, 3y).
¿Cuáles son los vértices de la imagen dilatada?
7. Razonamiento crítico M′N′O′P′ tiene vértices
en M′(3, 4), N′(6, 4), O′(6, 7) y P′(3, 7). El centro
de dilatación es el origen. MNOP tiene vértices
en M(4.5, 6), N(9, 6), O′(9, 10.5) y P′(4.5, 10.5).
¿Cuál es la representación algebraica de esta
dilatación?
8. Razonamiento crítico A un polígono se le
aplica una dilatación con centro en (0, 0) y
un factor de escala de k. ¿Qué dilatación le
puedes aplicar a la imagen para convertirla en
la preimagen?
9. Representar problemas de la vida real En
la escala del plano para una casa nueva, de
pulgada equivale a 1 pie. El plano es la
preimagen y la casa es la imagen dilatada. El
plano se traza en un plano cartesiano.
a. ¿Cuál es el factor de escala en términos de
pulgadas a pulgadas?
b. ¿Cuántas pulgadas en la casa real
representan 1 pulgada en el plano?
¿Cuántos pies?
c. Escribe la representación algebraica de la
dilatación del plano a la casa.
d. Una habitación rectangular tiene las
coordenadas Q(2, 2), R(7, 2), S(7, 5) y
T(2, 5) en el plano. El propietario quiere
hacer la habitación un 25% más grande.
¿Cuáles son las coordenadas de la nueva
habitación?
e. ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva
habitación, en pulgadas, en el plano?
¿Cuáles serán las dimensiones de la nueva
habitación, en pies, en la nueva casa?
1 _ 4
8.G.1.3
325Lección 10.2
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Área de trabajo
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-4
4
-4
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4
-4
4
10. Escribe una representación algebraica de la dilatación que se muestra.
11. Critica el razonamiento El decorado para una obra de teatro escolar necesita
una reproducción de un edificio histórico pintado en el telón de fondo que mida
20 pies de largo y 16 pies de alto. El edificio real mide 400 pies de largo y 320
pies de alto. Un operario del teatro escribe (x, y) → para representar la
dilatación. ¿Es correcto el cálculo del operario si la reproducción pintada debe
cubrir todo el telón de fondo? Explícalo.
12. Comunica ideas matemáticas Explica lo que las transformaciones algebraicas
hacen a cada figura.
a. (x, y) → (y, -x)
b. (x, y) → (-x, -y)
c. (x, y) → (x, 2y)
d. (x, y) → ( 2 _ 3
x, y)
e. (x, y) → (0.5x, 1.5y)
13. Comunica ideas matemáticas El triángulo ABC tiene coordenadas
A(1, 5), B(-2, 1) y C(-2, 4). Traza los triángulos ABC y A′B′C′ para la dilatación
(x, y) → (-2x, -2y). ¿Qué efecto tiene un factor de escala negativo?
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
( 1 __ 12
x, 1 __ 12
y )
326 Unidad 4
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ACTIVIDAD PARA EXPLORAR
y
xO 7
7
-7
-7
PREGUNTA ESENCIAL¿Cuál es la conexión entre transformaciones y figuras semejantes?
L E C C I Ó N
10.3 Figuras semejantes
Combinar transformaciones con dilatacionesCuando se crea una animación, las figuras deben ser trasladadas,
reflejadas, rotadas y algunas veces dilatadas. Como ejemplo de esto,
aplica al rectángulo la secuencia de transformaciones indicada.
Cada transformación se le aplica a la imagen de la transformación
anterior, no a la figura original. Rotula cada imagen con la letra de la
transformación aplicada.
(x, y) → (x + 7, y - 2)
(x, y) → (x, -y)
rotación de 90° en el sentido de las manecillas del
reloj alrededor del origen
(x, y) → (x + 5, y + 3)
(x, y) → (3x, 3y)
Enumera las coordenadas de los vértices del
rectángulo E.
Compara los siguientes atributos del rectángulo E a
los de la figura original.
Forma
Tamaño
Medidas de los ángulos
A
B
C
D
E
F
G
8.G.1.4
Understand that a … figure is similar to another if the second can be obtained … by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar … figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.
8.G.1.4
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Lección 10.3
Mis notas
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A
B
y
xO 42 86
6
8
2
4
-2
-2
Reflexiona1. ¿Qué transformación representa la dilatación? ¿Cómo lo sabes?
2. Una secuencia de transformaciones que contiene una sola dilatación se le aplica
a una figura. ¿Son congruentes la figura original y su imagen final? Explica.
ACTIVIDAD PARA EXPLORAR (continuación)
Figuras semejantesDos figuras son semejantes si una de ellas se puede obtener a partir de la otra por una
secuencia de traslaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones. Las figuras semejantes
tienen la misma forma pero pueden tener tamaños diferentes.
Cuando te dicen que dos figuras son semejantes, debe haber una secuencia
de traslaciones, reflexiones, rotaciones y/o dilataciones que puede transformar
una figura en la otra.
Identifica una secuencia de transformaciones que transformen la figura A en la
figura B. Indica si las figuras son tanto congruentes como semejantes.
Ambas figuras son cuadrados con la misma orientación por lo que no requieren
reflexiones o rotaciones. La figura B tiene lados el doble de largo que los de
la figura A, entonces necesita una dilatación con un factor de escala de 2. La
figura B se mueve hacia la derecha y hacia arriba de la figura A, por lo que es
necesaria una traslación. Una secuencia de transformaciones que logrará esto
es una dilatación por un factor de escala de 2 centrada en el origen, seguida por
la traslación (x, y) → (x + 4, y + 6). Las figuras no son congruentes, pero sí son
semejantes.
EJEMPLO 1
A
8.G.1.4
Unidad 4328
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C
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en matemáticas
Identifica una secuencia de transformaciones que transformen la figura C en la
figura D. Incluye una reflexión. Indica si las figuras son tanto congruentes como
semejantes.
La orientación de la figura D está invertida con respecto a la de la figura C, de
modo que se necesita una reflexión sobre el eje x. La figura D tiene lados que
miden la mitad de los de la figura C, por lo que se necesita una dilatación con
un factor de escala de 1 __
2 . La figura D se mueve arriba de la figura C, así que
es necesaria una traslación. Una secuencia de transformaciones que logre
esto es una dilatación por un factor de escala de 1 __
2 centrada en el origen,
seguida por la reflexión (x, y) → (-x , y), seguida por la traslación
(x, y) → (x, y + 5). Las figuras no son congruentes, pero sí son semejantes.
Identifica una secuencia de transformaciones que transformen la figura C en la
figura D. Incluye una rotación.
La orientación de la figura D está invertida con respecto a la de la figura C,
entonces es necesaria una rotación de 180°. La figura D tiene lados que miden la
mitad de los de la figura C, por lo que se necesita una dilatación con un factor de
escala de 1 __
2 . La figura D se mueve arriba de la figura C, de modo que es necesaria
una traslación. Una secuencia de transformaciones que logre esto es una rotación
de 180° respecto al origen, seguida por una dilatación por un factor de escala de
1 __
2 centrada en el origen, seguida por la traslación (x, y) → (x, y + 5).
B
C
3. Vuelve a ver la Actividad para explorar. Comienza con la figura original. Crea
una secuencia nueva de transformaciones que produzcan la figura E, la imagen
final. Las transformaciones no necesitan producir las imágenes en el mismo
orden en el cual aparecieron originalmente.
ES TU TURNO
Una figura y su imagen tienen tamaños y orientaciones diferentes. ¿Qué sabes sobre la secuencia de transformaciones
que generó la imagen?
Charlamatemática
Prácticas matemáticas
329Lección 10.3
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xO 642 8
6
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A
B
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6
4
2
8
-2-4-6-8
-2
-4
-6
-8
C
Práctica con supervisión
1. Aplícale al cuadrado la secuencia de
transformaciones indicada. Aplica cada
transformación a la imagen de la transformación
anterior. Rotula cada imagen con la letra de la
transformación aplicada.
(Actividad para explorar)
(x, y) → (-x, y)
Rota el cuadrado 180° alrededor del origen.
(x, y) → (x - 5, y - 6)
(x, y) → ( 1 _ 2
x, 1
_ 2
y )
Identifica una secuencia de dos transformaciones
que transformen la figura A en la figura
dada. (Ejemplo 1)
2. figura B
3. figura C
4. figura D
A
B
C
D
5. Si dos figuras son semejantes, pero no congruentes, ¿qué sabes sobre la secuencia
de transformaciones usadas para crear una figura a partir de la otra?
ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??
Unidad 4330
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Café de Jan
Práctica independiente10.3
6. Para un negocio nuevo, una diseñadora crea un dibujo de una señal triangular
sobre papel cuadriculado en centímetros. El dibujo tiene lados que miden 6 cm,
8 cm y 10 cm y ángulos que miden 37°, 53° y 90°. Para crear la señal real que se
muestra, el dibujo debe dilatarse usando un factor de escala de 40.
a. Calcula las longitudes de los lados de la señal real.
b. Calcula las medidas de los ángulos de la señal real.
c. El dibujo tiene la hipotenusa en la parte inferior. Al dueño del negocio le
gustaría que estuviera en la parte superior. Describe dos transformaciones
que logren esto.
d. El cateto más corto del dibujo actualmente está a la izquierda. El dueño del
negocio quiere que permanezca allí después de mover la hipotenusa a la
parte superior. ¿Qué transformación en la parte c logrará esto?
En los Ejercicios 7 al 10 se describe la transformación de una figura en su imagen.
Describe las transformaciones que transformarán la imagen de vuelta a la figura
original. Luego, escríbelas algebraicamente.
7. La figura se refleja sobre el eje x y se dilata por un factor de escala de 3.
8. La figura se dilata por un factor de escala de 0.5 y se traslada 6 unidades a la
izquierda y 3 unidades hacia arriba.
9. La figura se dilata por un factor de escala de 5 y se rota 90° en el sentido de las
manecillas del reloj.
Nombre Clase Fecha
8.G.1.4
331Lección 10.3
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Áraea de trabajo
y
xO 5
5
-5
-5
y = x
10. La figura se refleja sobre el eje y y se dilata por un factor de escala de 4.
11. Saca conclusiones Una figura experimenta una secuencia de transformaciones
que incluye dilataciones. La figura y su imagen final son congruentes. Explica
cómo puede suceder esto.
12. Varios pasos Al igual que las figuras
geométricas, las gráficas se pueden
transformar mediante traslaciones,
reflexiones, rotaciones y dilataciones.
A la derecha se representa la ecuación
y = x. Describe cómo cambia la gráfica
a través de cada una de las siguientes
transformaciones.
a. una dilatación por un factor de escala
de 4 que produce la gráfica de la
ecuación y = 4x
b. una traslación que produce la gráfica de la ecuación y = x - 3.
c. una reflexión sobre el eje y.
13. Justifica tu razonamiento La gráfica de la recta y = x se dilata por un factor de
escala de 3 y luego se traslada 5 unidades hacia arriba. ¿Es esto igual a trasladar
la gráfica 5 unidades hacia arriba y luego dilatarla por un factor de escala de 3?
Explica. ¿Qué relación tienen las gráficas nuevas?
ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO
Unidad 4332
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para seguir?¿Listo¿Listo
O
4
2
2-2
-2
x
y
4
-4
-4 O 4
4
2
2-2
-2
-4
-4
x
y
PRUEBA DEL MÓDULO
10.1 Propiedades de las dilatacionesDetermina si una figura es una dilatación de la otra. Justifica la respuesta.
1. El triángulo XYZ tiene ángulos que miden 54° y 29°. El triángulo X’Y′Z′ tiene
ángulos que miden 29° y 92°.
2. El cuadrilátero DEFG tiene lados que miden 16 m, 28 m, 24 m y 20 m. El
cuadrilátero D′E′F′G′ tiene lados que miden 20 m, 35 m, 30 m y 25 m.
10.2 Representaciones algebraicas de dilatacionesDilata las figuras con el origen como centro de dilatación.
3. (x, y) → (0.8x, 0.8y) 4. (x, y) → (2.5x, 2.5y)
10.3 Figuras semejantes
5. Describe qué le sucede a una figura cuando se le aplica una secuencia de
transformaciones dadas: (x, y) → (-x, y); (x, y) → (0.5x, 0.5y); (x, y) → (x - 2, y + 2)
6. ¿Cómo puedes usar las dilataciones para resolver problemas de la vida real?
PREGUNTA ESENCIAL
333
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Módulo 10
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O-6 6
-6
6
x
y
O 4
4
2
2-2
-2
-4
-4
x
y
Respuesta seleccionada
1. Un rectángulo tiene vértices en (6, 4), (2, 4),
(6, -2) y (2, -2). ¿Cuáles son las coordenadas
de los vértices de la imagen después de una
dilatación con el origen como centro y un
factor de escala de 1.5?
A (9, 6), (3, 6), (9, –3), (3, –3)
B (3, 2), (1, 2), (3, –1), (1, –1)
C (12, 8), (4, 8), (12, –4), (4, –4)
D (15, 10), (5, 10), (15, –5), (5, –5)
2. ¿Cuál representa la dilatación mostrada si la
figura negra es la preimagen?
A (x, y) → (1.5x, 1.5y)
B (x, y) → (2.5x, 2.5y)
C (x, y) → (3x, 3y)
D (x, y) → (6x, 6y)
3. Identifica la secuencia de transformaciones que
reflejará una figura sobre el eje x y luego una
dilatación por un factor de escala de 3?
A (x, y) → (-x, y); (x, y) → (3x, 3y)
B (x, y) → (-x, y); (x, y) → (x, 3y)
C (x, y) → (x, -y); (x, y) → (3x, y)
D (x, y) → (x, -y); (x, y) → (3x, 3y)
4. Resuelve -a + 7 = 2a - 8.
A a = -3 C a = 5
B a = - 1 _ 3
D a = 15
5. ¿Qué ecuación no representa una recta con
una intersección con el eje x en 3?
A y = -2x + 6 C y = 2 _ 3
x - 2
B y = - 1 _ 3
x + 1 D y = 3x - 1
Minitarea
6. El cuadrado experimenta la dilatación
(x,y) → (0.25x, 0.25y).
a. Representa la imagen en la cuadrícula.
¿Cuáles son las coordenadas?
b. ¿Cuál es la longitud de un lado de la
imagen?
c. ¿Cuál es el perímetro y el área de la
preimagen?
d. ¿Cuál es el perímetro y el área de la
imagen?
MÓDULO 10 REPASO MIXTO
Preparación para la evaluación PARCC
A
B
D
C
D
334
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Unidad 4
O-3-5 3 5
5
-5
3
-3
x
yC
A B
O-5 -3 3
5
-5
-3
x
yY
X
Z
Y′
X′
Z′
O-3
-3
-5
-5
5
5
3
3
x
yC
A B
UNIDAD 4
Repaso de la Guía de estudioVocabulario clavecentro de una rotación (center
of rotation)
congruente (congruent)
imagen (image)
línea de refl exión (line of
refl ection)
preimagen (preimage)
refl exión (refl ection)
rotación (rotation)
transformación
( transformation)
traslación (translation)
Transformaciones y congruencia
¿Cómo puedes usar las transformaciones y la congruencia para resolver
problemas de la vida real?
EJEMPLO Traslada el triángulo XYZ 4 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia
abajo. Representa gráficamente la imagen y rotula los vértices.
MÓDULO 999
? PREGUNTA ESENCIAL
Traslada los vértices restando 4 de cada
coordenada x y 2 de cada coordenada y.
Los nuevos vértices son X′(-1, 1), Y′(0, 3) y
Z′(1, -3).
Conecta los vértices para dibujar el triángulo
X′Y′Z′.
EJERCICIOSHaz las transformaciones indicadas. (Lecciones 9.1, 9.2, 9.3)
1. Reflexión sobre el eje x 2. Traslación 5 unidades a la derecha
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335Unidad 4
O-3 3 5
5
3
-3
-5
x
yC
A BO-3-5
-5
5
5
3
3
-3
x
yC
A B
O
6
-6
x
y
-6 6
xO
y
-5 -3
3
5
-5
-3
3 5
3. Rotación de 90° en sentido contrario a las
manecillas del reloj sobre el origen
4. Traslación 4 unidades a la derecha y 4
unidades hacia abajo
5. El cuadrilátero ABCD con vértices A(4, 4),
B(5, 1), C(5, -1) y D(4, -2) se traslada
2 unidades a la izquierda y 3 unidades
hacia abajo. Representa gráficamente la
preimagen y la imagen. (Lección 9.4)
6. El triángulo ABC con vértices A(1, 2), B(1, 4)
y C(3, 3) se traslada mediante (x, y) →
(x -4, y) y el resultado se refleja en (x, y)
→ (x, -y). Representa gráficamente la
preimagen y la imagen. (Lección 9.5)
7. El triángulo RST tiene vértices en (-8, 2), (-4, 0) y (-12, 8). Calcula los
vértices después de que el triángulo se refleja sobre el eje y. (Lección 9.4)
8. El triángulo XYZ tiene vértices en (3, 7), (9, 14) y (12, -1). Calcula los
vértices después de que el triángulo se rota 180° sobre el origen. (Lección 9.4)
9. El triángulo MNP tiene sus vértices en (-1,-4), (-2, -5) y (-3, -3).
Calcula los vértices después de reflejar el triángulo según (x, y) → (x, -y)
y trasladarlo de (x, y) →(x + 6, y). (Lección 9.5)
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Unidad 4336
O-3
-3
-5
3
x
y
CA
B
B′
A′
C′
O-4-8
-4
-8
4
8
4 8
x
y
DF
E
E′
F′
D′
Vocabulario claveampliación (enlargement)
centro de dilatación (center
of dilation)
dilatación (dilation)
factor de escala (scale factor)
reducción (reduction)
semejante (similar)
Transformaciones y semejanza
¿Cómo puedes usar las dilataciones, semejanza y proporcionalidad para
resolver problemas de la vida real?
EJEMPLO Dilata el triángulo ABC con el origen como centro de dilatación y un
factor de escala de 1 _ 2
. Representa gráficamente la imagen dilatada.
MÓDULO 1010
? PREGUNTA ESENCIAL
Multiplica cada una de las coordenadas de
los vértices de ABC por 1 _ 2 para calcular los
vértices de la imagen dilatada.
A(5, -1) → A′ ( 5 · 1 _ 2
, -1 · 1 _ 2
) → A′ ( 2 1 _ 2
, - 1 _ 2
)
B(4, -5) → B′ ( 4 · 1 _ 2
, -5 · 1 _ 2
) → B′ ( 2, -2 1 _ 2
)
C(2, 0) → C′ ( 2 · 1 _ 2
, 0 · 1 _ 2
) → C′(1, 0)
EJERCICIOS
1. Calcula la razón de las coordenadas x y la razón de las coordenadas y de
cada par de vértices correspondientes. (Lección 10.1)
Razón de coordenadas x:
Razón de coordenadas y:
¿Cuál es el factor de
escala de la dilatación?
2. El rectángulo WXYZ tiene vértices en (-2, -1), (-2, 1), (2, -1) y (2, 1). Primero se
dilata en (x, y) → (2x, 2y) y luego se traslada en (x, y) → (x, y + 3). (Lección 10.3)
a. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?
b. ¿Son congruentes la imagen y la preimagen? ¿Son semejantes? Explica.
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337Unidad 4
L′
4
42
x
yM′
N′
O′
L
O
M
N6
6
y
x
10
-10
-10 10
Z
X
Y-3
-5
-2
5
3
2 4 7
x
y
A B
CD
L′
4
42
x
yM′
N′
O′
L
O
M
N6
6
Unidad 4 Tareas de rendimiento
Dilata las siguientes figuras con el origen como centro de dilatación.
Escribe los vértices de las figuras dilatadas y luego represéntalas
gráficamente. (Lección 10.2)
3. (x, y) → ( 1 _ 4 x, 1 _
4 y )
4. (x, y) → (2x, 2y)
1. Contratista Fernando va a ampliar el patio
de juego de su perro. El patio original tiene una cerca representada por el
rectángulo LMNO en el plano cartesiano. Fernando llama a un contratista
para que le construya una cerca nueva que encierre un área 6 veces mayor
que la actual. Ésta debe mantener la misma forma. El contratista construye
la cerca representada por el rectángulo L′M′N′O′.
a. ¿Aumentó el contratista el área por la cantidad que quería Fernando?
Explícalo.
b. ¿Mantiene la cerca nueva la misma forma que la cerca vieja? ¿Cómo los sabes?
2. Un triángulo situado en el plano cartesiano representa la vela de un velero
con vértices en (0, 0), (5, 0) y (5, 4). El triángulo se dilata por un factor de escala
de 1.5 con el origen como centro de dilatación. Calcula las coordenadas del
triángulo dilatado. ¿Son semejantes los triángulos? Explícalo.
PROFESIONES EN MATEMÁTICAS
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Unidad 4338
my.hrw.com
Entrenador personal en matemáticas
Evaluación eintervención en línea
Respuesta seleccionada
1. ¿Cuál sería la orientación de la siguiente figura
después de una reflexión sobre el eje x?
A
B
C
D
2. Un triángulo con coordenadas (4, 2), (0, -3)
y (-5, 3) se traslada 5 unidades a la derecha
y se rota 180° sobre el origen. ¿Cuáles son las
coordenadas de su imagen?
A (9, 2), (-1, -2), (5, -7)
B (-10, 3), (-1, 2), (-5, -3)
C (2, -1), (-3, -5), (3, -10)
D (-9, -2), (-5, 3), (0, -3)
3. El cuadrilátero LMNP tiene lados que miden 16,
28, 12 y 32. ¿Cuáles podrían ser las longitudes
de los lados de una dilatación de LMNP?
A 24, 40, 18, 90
B 32, 60, 24, 65
C 20, 35, 15, 40
D 40, 70, 30, 75
4. ¿Qué ecuación está representada por la
siguiente tabla?
x -1 0 1 2
y 1 -2 -5 -8
A y = x + 2
B y = -x
C y = 3x + 6
D y = -3x - 2
5. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es
verdadero respecto a un trapecio que ha sido
trasladado 8 unidades hacia abajo?
A El trapecio nuevo tiene el mismo tamaño
que el trapecio original.
B El trapecio nuevo tiene la misma forma que
el trapecio original.
C El trapecio nuevo tiene la misma
orientación que el trapecio original.
D Las coordenadas y del trapecio nuevo
son las mismas que las coordenadas y del
trapecio original.
6. ¿Qué opción representa una reducción?
A (x, y) → (0.9x, 0.9y)
B (x, y) → (1.4x, 1.4y)
C (x, y) → (0.7x, 0.3y)
D (x, y) → (2.5x, 2.5y)
7. ¿Cuál de las siguientes es la solución de
4(x + 1) = 2(3x - 2)?
A x = - 4
B x = - 1
C x = 0
D x = 4
UNIDAD 4 REPASO MIXTO
Preparación para la evaluación PARCC
B
D
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339Unidad 4
PistaPistaAsegúrate de leer todas las opciones
antes de tomar una decisión. Prueba
las opciones en las incógnitas del
problema si no estás seguro de la
respuesta.
xO
y
-5 -3
3
5
-5
-3
3 5
8. Un rectángulo tiene vértices en (8, 6), (4, 6),
(8, -4) y (4, -4). ¿Cuáles son las coordenadas
después de una dilatación desde el origen por
un factor de escala de 1.5?
A (9, 6), (3, 6), (9, -3), (3, -3)
B (10, 8), (5, 8), (10, -5), (5, -5)
C (16, 12), (8, 12), (16, -8), (8, -8)
D (12, 9), (6, 9), (12, -6), (6, -6)
9. Dos manzanas más cuatro plátanos cuestan
$2.00. Una manzana cuesta el doble de un
plátano. Usando las ecuaciones 2a + 4b = 2.00
y a = 2b, donde a es el costo de una manzana y
b es el costo de un plátano, ¿cuánto son a y b?
A a = $0.25; b = $0.25
B a = $0.25; b = $0.50
C a = $0.50; b = $0.25
D a = $0.50; b = $0.50
10. ¿Qué enunciado es falso?
A Ningún entero es irracional.
B Todos los números enteros son enteros.
C Ningún número real es racional.
D Todos los enteros mayores que o iguales a 0
son números enteros.
11. Considera el sistema de ecuaciones 3x + 4y = 2
y 2x - 4y = 8. ¿Cuál es la solución?
A x = -1, y = -2
B x = 1, y = 2
C x = -2, y = 1
D x = 2, y = -1
12. Un triángulo con vértices en (-2, -3), (-4, 0)
y (0, 0) es congruente a un segundo triángulo
ubicado en el cuadrante I con dos de sus
vértices en (3, 2) y (1, 5).
a. Representa gráficamente los dos triángulos
en el mismo plano de coordenadas.
b. ¿Cuáles son las coordenadas del tercer
vértice del segundo triángulo?
13. Tamiko piensa hacer una pared de piedra con
forma de triángulo, cuyos vértices están en
(-1, -2), (2, 2) y (-2, 2) en una cuadrícula de
coordenadas. Quiere agregarle una segunda
pared, con la misma forma para encerrar la
primera pared con el origen como el centro de
dilatación. Los vértices de la segunda pared son
(-3, -6), (6, 6) y (-6, 6).
a. ¿Qué factor de escala usó Tamiko para la
segunda pared?
b. Son semejantes las dos paredes? Explica.
D
C
C
D
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Unidad 4340