UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

TEOREMA Y SERIE DE TAYLORSi una función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a A y a X;entonces el valor de la función en el punto X esta dada por:

𝑓𝑓𝑋𝑋 = 𝑓𝑓 𝐴𝐴 + 𝑓𝑓′ 𝐴𝐴 𝑋𝑋 − 𝐴𝐴 +𝑓𝑓′′ 𝐴𝐴

2!𝑋𝑋 − 𝐴𝐴 2 +

𝑓𝑓′′′ 𝐴𝐴3!

𝑋𝑋 − 𝐴𝐴 3 +𝑓𝑓′′′′ 𝐴𝐴

4!𝑋𝑋 − 𝐴𝐴 4 + ⋯

TEOREMA DE ROLLESea f(x) continua en el intervalo (a,b) y existe un f’(x) para todo x ∈ (a,b), entonces existe un número c ∈(a,b) tal que f’(x) = 0

TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGESea f(x) continua en el intervalo (a,b) y existe un f’(x) para todo x ∈ (a,b), entonces existe un número c ∈(a,b) tal que:

𝑓𝑓′ 𝑐𝑐 =𝑓𝑓 𝑏𝑏 − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

TEOREMA DE BOLZANOSea f(x) continua en el intervalo (a,b) y L es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe un númeroc que pertenece al intervalo (a,b) tal que f(c) =L

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA BISECCIÓNSi f(x) es una función definida y continua en el intervalo [a,b]y f(a)*f(b)<0 entonces hay al menos una raíz o cero en eseintervalo. El método consiste en calcular un punto medioentre los límites del intervalo para hallar nuevos límites así:

𝑐𝑐 =𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

2Y hallamos f(c), luego operamos f(a)*f(c) y si el resultado esNEGATIVO el nuevo límite por la izquierda será c, es decir el nuevointervalo será [a,c]; si el resultado es POSITIVO el nuevo límite por laderecha será c, es decir el nuevo intervalo será [c,b] y seguimoscalculando los nuevos “c” hasta que f(c)=0 o hasta la iteraciónindicada o hasta la diferencia de error buscada.


MÉTODO DE LA BISECCIÓNSea la función indicada, comprobar si existe una raíz o ceroen el intervalo dado y calcular el valor con 5 decimales:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 −18

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑖𝑖 0,4


𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑖𝑖 −1,3


𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑖𝑖 0,1.5

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA BISECCIÓNPara resolver el método se crea una tabla en Excel con las siguientescolumnas:

IT iteracióna inicio del intervalob final del intervaloc punto mediof(a) valor de la función en el punto af(b) valor de la función en el punto bf(c) valor de la función en el punto cE Error absolutoe Error relativoe% Error relativo porcentual

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA BISECCIÓNSe debe tener en cuenta algunas funciones en Excel tales como:

ABS(dato)SI(prueba lógica;dato si verdadero;dato si falso)$ → sirve para inmovilizar una fila o una columna de un

dato^ → Se usa para potenciasRAIZ(dato) → saca raíces cuadradasSENO(dato), COS(dato) → funciones trigonométricasLN(dato), LOG10(dato) → funciones de logaritmosASENO(dato), ACOS(dato) → inversas trigonométricasEXP(dato) → Para calcular el EULER

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA BISECCIÓNSe coloca en Excel una casilla que contenga el dato real y doscasillas que contengan el intervalo dado en el ejercicio.Se empieza a llenar la primera línea debajo de los encabezados dela columna con las fórmulas y funciones dadas por el método y enel ejercicio.Se usa el condicional para simplificar el proceso de cambio delintervalo.Se repite la línea arrastrando las fórmula sobre toda la tabla.Se detiene el proceso de tres maneras: Si le dicen hasta queiteración debe realizar, si el valor de f(c) es cero o si le pidenllegar hasta cierta cota de error.

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA FALSA POSICIÓNSi f(x) es una función definida y continua en el intervalo [a,b]y f(a)*f(b)<0 entonces hay al menos una raíz o cero en eseintervalo. El método consiste en calcular un punto medioentre los límites del intervalo para hallar nuevos límites así:

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 −𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ∗ 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑓𝑓 𝑏𝑏 − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)

Y hallamos f(c), luego operamos f(a)*f(c) y si el resultado esNEGATIVO el nuevo límite por la derecha será c, es decir el nuevointervalo será [a,c]; si el resultado es POSITIVO el nuevo límite por laizquierda será c, es decir el nuevo intervalo será [c,b] y seguimoscalculando los nuevos “c” hasta que f(c)=0 o hasta la iteraciónindicada o hasta la diferencia de error buscada.


MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓNSea la función indicada, comprobar si existe una raíz o ceroen el intervalo dado y calcular el valor con 5 decimales:


𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑖𝑖 0,1


𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑖𝑖 −0.5,0.75

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA FALSA POSICIÓNPara resolver el método se crea una tabla en Excel con las siguientescolumnas:

IT iteracióna inicio del intervalob final del intervaloc punto mediof(a) valor de la función en el punto af(b) valor de la función en el punto bf(c) valor de la función en el punto cE Error absolutoe Error relativoe% Error relativo porcentual

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA FALSA POSICIÓNSe coloca en Excel una casilla que contenga el dato real y doscasillas que contengan el intervalo dado en el ejercicio.Se empieza a llenar la primera línea debajo de los encabezados dela columna con las fórmulas y funciones dadas por el método y enel ejercicio.Se usa el condicional para simplificar el proceso de cambio delintervalo.Se repite la línea arrastrando las fórmula sobre toda la tabla.Se detiene el proceso de tres maneras: Si le dicen hasta queiteración debe realizar, si el valor de f(c) es cero o si le pidenllegar hasta cierta cota de error.

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DEL PUNTO FIJOSi f(x) es una función definida y continua, se iguala a cero y setabula para encontrar el intervalo [a,b] donde la función cambia designo. Con ese intervalo se calcula un x0 así:

𝑥𝑥0 =𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

2Con la función f(x) = 0 se despeja todas las x posible por separado;por lo que se obtendría varias funciones tipo x = g(x) luego estasecuaciones se derivan g’(x) y en esas derivadas reemplazamos elpunto x0; es decir se hallan todas las g’(x0).Aquellas g’(x0) cuyo resultado este entre -1 y 1 indican que lafunción g(x) sin derivar a la que pertenece, es la función solucióndel método.


MÉTODO DEL PUNTO FIJOSea la función indicada, comprobar si existe una raíz ocero y calcular el valor con 10 decimales:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒−𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 𝑒𝑒𝑥𝑥


MÉTODO DEL PUNTO FIJOEn este método vamos a tener solamente las columnas:

IT iteracióng(x) Función elegidaE Error absolutoe Error relativoe% Error relativo porcentual

Se coloca en Excel una casilla que contenga el dato real.Se empieza a llenar la primera línea debajo de los encabezados de la columna con las fórmulas yfunciones dadas por el método y en el ejercicio.En la IT cero de g(x) se coloca el valor hallado de x0; en la IT uno se coloca la fórmula elegida de g(x)y en las demás columnas las fórmulas de los erroresSe repite la línea arrastrando las fórmula sobre toda la tabla.Se detiene el proceso HASTA cuando dos iteraciones sucesivas de g(x) sean iguales (tengan elmismo valor).

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DEL NEWTON - RAPHSONSi f(x) es una función definida y continua, se tabula paraencontrar el intervalo [a,b] donde la función cambia de signo.Con ese intervalo se calcula un x0 así:

𝑥𝑥0 =𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

2Hallamos la derivada de la función f(x) y calculamos elsiguiente x con la fórmula:

𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 −𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑖𝑖)

Se repite el proceso hasta que xi = xi+1.


MÉTODO DE NEWTON - RAPHSONEn este método vamos a tener solamente las columnas:

IT Iteraciónxi Valor calculadoE Error absolutoe Error relativoe% Error relativo porcentual

Se coloca en Excel una casilla que contenga el dato real.Se empieza a llenar la primera línea debajo de los encabezados de la columna con las fórmulas yfunciones dadas por el método y en el ejercicio.En la IT cero de xi se coloca el valor hallado de x0; en la IT uno se coloca el valor xi hallado con lafórmula de xi+1 y en las demás columnas las fórmulas de los erroresSe repite la línea arrastrando las fórmula sobre toda la tabla.Se detiene el proceso HASTA que xi = xi+1

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALESMÉTODO DE LA SECANTESi f(x) es una función definida y continua, se tabula paraencontrar el intervalo [a,b] donde la función cambia designo.Los valores de este intervalo son los primeros datos delmétodo siendo x0 = a y x1 = b.El siguiente x se calcula con la fórmula:

𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 −𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∗ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑖𝑖−1𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑖𝑖−1

Se repite el proceso hasta que xi = xi+1.


MÉTODO DE LA SECANTESea la función indicada, comprobar si existe una raíz ocero y calcular el valor con 10 decimales:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶 4𝑥𝑥 − 1 + 0.5 𝑒𝑒𝑒𝑒 0,1

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒3𝑥𝑥 − 0.5 𝑒𝑒𝑒𝑒 −1,0

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 − 3.7 𝑒𝑒𝑒𝑒 0,2


MÉTODO DE LA SECANTEEn este método vamos a tener solamente las columnas:

IT Iteraciónxi Valor calculadoE Error absolutoe Error relativoe% Error relativo porcentual

Se coloca en Excel una casilla que contenga el dato real.Se empieza a llenar la primera línea debajo de los encabezados de la columna con las fórmulas yfunciones dadas por el método y en el ejercicio.En la IT cero de xi se coloca el valor hallado de a; en la IT uno se coloca el valor b y en la IT dos secoloca el valor xi+1 hallado con la fórmula de xi+1 y en las demás columnas las fórmulas de los erroresSe repite la línea arrastrando las fórmula sobre toda la tabla.Se detiene el proceso HASTA que xi = xi+1

UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE

Documents

Transcript of UNIDAD 2. SOLUCIÓN DE