Unidad 2 Septiembre 2010

Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.1 Curvas Planas y Ecuaciones Paramétricas.

Autora: I.B.Q. María Esther Beas Carrillo. I.T. de Tepic 67

2 CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO

Curvas Planas, Ecuaciones

Paramétricas y Coordenadas

Polares.

Josiah Willard Gibbs

11 de febrero, 1839 en New Haven: Connecticut, Estados Unidos – íd.28 de abril 1903. Fué un químico, físico y matemático estadounidense que contribuyó de forma destacada a la fundación teórica de la termodinámica.

Gibbs, hijo de un profesor universitario de Yale, creció en New Haven y estudió Licenciatura en la Universidad de Yale. Estudió latín y matemáticas y permaneció en Yale para su posterior posgrado en Ingeniería. Obteniendo su Ph. D. en 1863, uno de los primeros otorgados en Estados Unidos (y aparentemente el primero en ingeniería), con una tesis sobre los dientes de engranajes, e ingresando

en la sociedad secreta Los Calavera y Huesos.

En 1868 fue a vivir a Europa, donde permaneció tres años: París, Berlín y Heidelberg, donde realizó su estudio posdoctoral de matemáticas y física . En 1871 fue nombrado profesor de física matemática en la Universidad de Yale, donde sirvió más de tres décadas. Enfocó su trabajo al estudio de la Termodinámica; y profundizó asimismo la teoría del cálculo vectorial.

Gibbs introdujo el uso de la notación i, j y k que ahora es estándar para los vectores tridimensionales, adaptada por él del álgebra de los “cuaternios”, en el que el matemático William Rowan Hamjilton (1805-1865) había empleado con anterioridad i, j, k para denotar tres raíces cuadradas distintas de -1. Gibbs fue el primero en definir con claridad el producto escalar (punto) ab y el producto vectorial ab de los vectores a y b.

“Todos somos ignorantes, pero no todos ignoramos las mismas cosas”

Albert Einsten



CCUURRVVAASS PPLLAANNAASS YY EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS..

En los cursos de Matemáticas I y II se estudiaron curvas de ecuaciones de la

forma xfy . En este capítulo estudiaremos situaciones en las que se usan tres

variables para representar una curva en el plano. Este tipo de curva describe la

trayectoria de un punto que se mueve en el plano coordenado. En cada punto

,x y es necesario especificar en qué

instante llegó a él, ver figura 2.1-1. Para

determinar este instante, podemos

introducir una tercera variable t,

denominada parámetro. De este modo,

decimos que x e y son funciones de t. Y lo

enunciaremos en la siguiente definición.

Figura 2.1-1 Movimiento Curvilíneo:

dos variables de posición y una de tiempo.

Ejemplos de ecuaciones paramétricas son:

2 4 , x t y t

2 , 1x t y t

DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE CCUURRVVAA PPLLAANNAA

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las

ecuaciones

x = f(t) , y = g(t)

se denominan ecuaciones paramétricas y a t se le llama parámetro.

El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica reciben el

nombre de curva plana, y se denota por C.

2.1



Ahora bien, podemos trasladarnos de las ecuaciones paramétricas a las

ecuaciones cartesianas o rectangulares, si se elimina el parámetro de alguna de

las ecuaciones paramétricas, como veremos en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1

Hallar la ecuación rectangular que corresponde a la curva plana con ecuaciones

paramétricas

Solución

Una vez que se eliminó el parámetro, se tiene la ecuación ,29 2 yx que

corresponde a una parábola de eje horizontal, que graficaremos en el subtema

2.2.

También podemos obtener ecuaciones paramétricas de una ecuación rectangular,

como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas que representen la gráfica de

y = 1 - x2 usando como parámetro a t = x.

Solución

Dado que el parámetro se ha establecido como t = x entonces sustituimos este en

y = 1 - x2 para obtener las ecuaciones paramétricas:

2 , 1x t y t

Ecuaciones paramétricas

Despejar t en una ecuación

Sustituir en la otra ecuación

Ecuación rectangular

3

22

ty

tx

yt 3 232 yx 29 2 yx

2 2 , 3

tx t y



Ejercicios Propuestos

22..11 CCUURRVVAASS PPLLAANNAASS YY EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS

En los ejercicios 1-6, escriba la ecuación rectangular correspondiente eliminando

el parámetro.

1 2 ,x t 1. 1 ty

3 2 ,x t 2.

ty 32

1,x t 3.

2ty

1,x t 4.

ty 1

2 ,x t t 5.

1 ty

11 ,x

t 6.

1 ty

EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa

Todo el grupo resolverá el ejercicio 1 y 4 de los propuestos y uno o

dos estudiantes lo resolverán en el pizarrón.

Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.2 Ecuaciones Paramétricas de Curvas y Representación Gráfica


EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE AALLGGUUNNAASS CCUURRVVAASS YY

SSUU RREEPPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA..

Como ya se explico en la sección 2.1, cuando una partícula se mueve a lo largo de

una curva C como la que se muestra en la figura 2.1-1, la ecuación de C no es

posible expresar la de la forma y = f(x) porque C no pasa la prueba de la línea

vertical. De manera que las coordenadas x y y de la partícula; como ya se dijo

antes, son funciones del tiempo t que es llamado parámetro y las ecuaciones se

denominan ecuaciones paramétricas

, x f t y g t

Para trazar a mano alzada una curva dada por un par de ecuaciones

paramétricas, podemos ir marcando puntos en el plano x y . Cada par de

coordenadas ( x, y ) está determinado por un valor seleccionado del parámetro t

(puede usarse otra letra distinta a t ), indicando los puntos resultantes para valores

ascendentes de t, marcando el sentido de estos valores mediante una flecha; que

en lo sucesivo le llamaremos la orientación de la curva; y a esta curva se le llama

curva paramétrica.

EJEMPLO 1

Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas:

2 4 , si 3 3x t y t t

Solución

Tabulamos los valores de t dados en el intervalo, y los sustituimos en cada una de

las ecuaciones paramétricas par obtener cada uno de los parámetros (x, y) como

sigue:

t 1 3t 2 2t 3 1t 4 0t 5 1t 6 2t 7 3t

x=t2-4 5 0 -3 -4 -3 0 5

y=t -3 -2 -1 0 1 2 3

Tabla 2.2-1. Tabulación Ejemplo 1

2.2



Las flechas inscritas sobre la curva indican la orientación de los valores crecientes de t.

EJEMPLO 2

a) Trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas:

3cos , 3sen si 0 2x y

b) Eliminar el parámetro para obtener una ecuación rectangular

Solución

a) Tabulamos los valores de en el intervalo dado para obtener los distintos

puntos ( x , y ) de las ecuaciones paramétricas, y enseguida los trazamos en

el plano xy.

0 2

4

32

4

3

4 5

6

5

4

7

3

2

8

7

4 9 2

x=3cos 3 2

32

0 2

32

-3 2

32

0 2

32

3

y=3sen 0 2

32

3 2

32

0 2

32

-3 2

32

0

Tabla 2.2-2. Tabulación Ejemplo 2



Como podemos observar la curva es un circulo de radio 3, con orientación de los

valores crecientes de en sentido anti-horario.

b) Ahora, procederemos a eliminar el parámetro de las ecuaciones

paramétricas.

3cos , 3sen (1)x y

Despejando se tiene:

cos , sen (2)3 3

x y

Enseguida, utilizamos la identidad sen2 + cos

2 = 1 para llegar a una ecuación que

contenga solo a x e y. Sustituimos la ecuaciones (2) en la identidad

133

22

yx

Para obtener la ecuación rectangular del círculo

199

22

yx ó bien x

2 + y

2 = 9

Podemos concluir que las ecuaciones paramétricas de un círculo o elipse son en

general: x = a cos t e y = b sen t

NNoottaa:: El alumno deberá consultar los valores de los ángulos exactos en el apéndice, en el

círculo unitario, para que se vaya familiarizando con ellos.

t9



De donde si a = b es círculo de radio = a, y si a ≠ b es elipse.

EJEMPLO 3

Trazar la curva con ecuaciones paramétricas:

3 3 3 cos , 3 sen si 0 2x y

Solución

Tabulamos valores para 20

0 2

4

3

2

4

3

4 5

6

5

4

7

3

2

8

7

4 9 2

x=3cos3 3 1.06 0 -1.06 -3 -1.06 0 1.06 3

y=3sen3 0 1.06 3 1.06 0 -1.06 -3 -1.06 0

Tabla 2.2-3 Tabulación Ejemplo 3

Trazamos los puntos;

EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa.. ((PPaarraa ddeessaarrrroollllaarrssee eenn ccllaassee óó eenn ttaarreeaa))

Graficar el círculo con ecuaciones paramétricas:

x = 3sen, , y = 3cos para 0 8

Observar y comparar con el del ejemplo anterior.



EJEMPLO 4

La curva trazada por un punto P en la circunferencia de un círculo que rueda sin

resbalar por una recta se llama cicloide, y sus ecuaciones paramétricas son:

𝑥 = 𝑎 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑦 = 𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 ,

donde un arco de la cicloide queda descrito cuando 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋𝑎

Solución


22..22 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE AALLGGUUNNAASS CCUURRVVAASS

YY SSUU RREEPPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA..

En los ejercicios del 1-5 grafique (a mano alzada) las curvas representadas por las

ecuaciones paramétricas dadas.

1. x = 4 – 4t , y = 2t + 5 - 2 t 2

2. x = 2 + cos t , y = 3 + sen t 0 t 2

EEvvaalluuaacciióónn CCoonnttiinnuuaa.. ((TTaarreeaa))

Usar un graficador electrónico para graficar la cicloide con ecuaciones

paramétricas: x = 2( - sen ), , y = 2( 1 - cos ) para 08

Observar y comparar con el del ejemplo anterior.



3. x = cos2 t , y = cos t 0 t 4

4. x = 1 + t2 , y = 2t – 1 - 2 t 1

5. x = t3 – 1 , y = 2 – t

2 - 3 t 3

6. x = e2t

, y = 2 – t2 5

4 t 5

4

PPRROOYYEECCTTOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOO

En los ejercicios del 7 al 11, use un graficador electrónico para graficar las

siguientes curvas.

7. Cicloide: sen , 1 cosx y

8. Cicloide Prolata: 3 3

sen , 1 cos2 2

x y

9. Hechicera de Agnesi: 22cot , 2senx y

10. Folio de Descartes: 2

3 3

3 3 ,

1 1

t tx y

t t

11. Curvas de Lissajous: 4cos , 2sen 2x y

Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.3 Derivada de una Función dad Paramétricamente


DDEERRIIVVAADDAA DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDAADDAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAAMMEENNTTEE

Como ya vimos en las secciones 2.1 y 2.2, las gráficas de las ecuaciones

paramétricas )(tfx y )(tgy son representadas en un plano; ahora

analizaremos la derivada de las mismas en el siguiente teorema:

La pendiente de la recta secante pasa por los puntos ( f ( t ) ,g ( t )) y

( f ( t+ t ) ,g ( t+ t )) es ym

x

D=

D

Como se muestra en la figura 2.3.-1

TTEEOORREEMMAA 22..11 FFOORRMMAA PPAARRAAMMEETTRRIICCAA DDEE LLAA DDEERRIIVVAADDAA

Si una curva suave C viene dada por las ecuaciones x = f (t) , y = g (t) la

pendiente de C en ( x , y ) es:

, si 0 (1)

dydy dxdt

dxdx dtdt

Notación de Leibniz

DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE CCUURRVVAA SSUUAAVVEE::

Se dice que una curva suave C, representada por x = f (t) , y=g (t) ,

es suave si f y g son continuas en un intervalo I y no se anulan

simultáneamente.

2.3



EJEMPLO 1

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dada por las ecuaciones

paramétricas:

( )2 0 para 4

12 , 4

4t tx t y t ³ == = -

Solución

Por el teorema 2.1, la pendiente de la tangente:

dtdx

dtdy

dx

dy

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0, 𝑠𝑖

𝑑𝑥

𝑑𝑡≠ 0

DDEEMMOOSSTTRRAACCIIÓÓNN::

En la sección 2.1 se vio que las ecuaciones paramétricas x=f(t) y y=g(t) se

pueden expresar también, al eliminar el parámetro, en la forma y=F(x).

Pues bien, si se sustituye x=f(t) y y=g(t) en la ecuación y=F(x) se obtiene:

g( t ) = F( f ( t ) )

Y de esta manera, si g, F y f son derivables, la regla de la cadena da

g ( t ) = F ( f ( t ) ) f ( t ) = F ( x ) f ( t )

Si f (t) 0, se puede resolver F (x):

''

'

g tF x

f t

De esta manera se puede hallar tangentes a curvas paramétricas sin tener

que eliminar el parámetro.

Tangente Horizontal: se tiene en C cuando en la ecuación del teorema 2.1

Tangente Vertical: se tiene en C cuando en la ecuación del teorema 2.1

si 0 0, dy

dt

dx

dt

6. Cicloide



Obtenemos las derivadas

1 12

12

12

2 1 2 10 y

4 2 2

dy t dx tt t

dt dt t

-

-

= - = = = =

Sustituyendo:

32

12

112

1 2

tdy

tdx

t

= =

La pendiente de la tangente cuando t=4 es: 442

12

3

dx

dy

EJEMPLO 2

Dada la cicloide de ecuaciones

2 , 2 cosx t sent y tp p= - = -

Hallar la pendiente de la recta tangente para el instante t = 4

Solución

Obtenemos las derivadas:

2 cos y dx dx

t sentdt dt

p p= - =

Luego sustituimos en la fórmula y evaluamos en el instante t = 4

2 2

4 2 2

2 cos 2 4 22 cos4 2

2 2

dysendy sentdt

dxdx tdt

p pppp

pp p pp= = = = =

- ---

210.032

4 2

dy

dx

p

p= » -

-

EJEMPLO 3:

Una curva C se define por las ecuaciones paramétricas:

( )2 3 , x t y t t= = -



a) Muestre que C tiene dos tangentes en el punto (1, 0) y encuentre sus

ecuaciones.

b) Determine los puntos en C donde la tangente es horizontal o vertical.

c) Bosqueje la curva para −3 ≤ 𝑡 ≤ 3, y señale ahí los incisos a) y b).

Solución

a) Observe que 3 2( 1) 0y t t t t cuando 0t o 1t . Y se observa

que el valor de t que al ser sustituído en x = t2 da uno es 1t , así también

para y; por lo tanto t = 0 lo descartamos porque en x sería x = 0, y ya no

corresponde al punto (1, 0).

Por lo tanto, el punto (1, 0) en C surge de dos valores del parámetro, 1t

y 1t . Esto indica que C se cruza a sí misma en (1, 0). Puesto que

23 1 1 13

2 2

dydy tdt t

dxdx t tdt

la pendiente de la tangente cuando 1t es

1 1

1 1 1 13 1 1 , 3 1 1

2 1 2 1t t

dy dy

dx dx

Concluyendo dy

dx para 1t es 1

dym

dx de este modo las ecuaciones de

las tangentes en (1,0) son (recuerde 1( )y m x x ) donde 1m ,

1 1x , son:

1y x , 1 1y x x .

b) C tiene una tangente horizontal cuando 0dy

dt y 0dx

dt . Puesto que

23 1dy

tdt , esto sucede cuando 2 1

3t , es decir, 1 3t .

Los puntos correspondientes en C son (1/3, -0.38) y (1/3, 0.38), estos se

obtienen sustituyendo 1 3t en cada ecuación paramétrica.



C tiene una tangente vertical cuando 2 0dx

tdt

, es decir, 0t (note que

0dy

dt ). El punto correspondiente en C es (0, 0).

c) Con la información de los incisos a) y b), se bosqueja la curva C en la Figura

2.3-2


22..33 DDEERRIIVVAADDAA DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN DDAADDAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAAMMEENNTTEE

En los ejercicios del 1 - 5,

a) Halle la pendiente de la recta tangente en el valor indicado de t ó .

b) Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el valor del parámetro.

1.- 3 2 13 , 6 1 tx t t y t == + = + 2.- 2

12 4 , ln tx t y t t == + = +

3.- 2 22 , tx t t y t == + = 4.- 3

42 cos , 2 sen x y q pq q == + = +

5.- 3 343cos , 3 x y sen pqq q == =

En los ejercicios 6 al 10 determine los puntos, si los hay, de la grafica de la curva

indicada en los que la tangente es horizontal y/o vertical.

3 2 5 2 , 2 3 6x t y t t6. = + = + +



( ) ( )3 17 2112

2 3

4 4

3 2 , 2 24 1

: 2, 8, 22 , ,

0

,t

x t

t

t t y t

Tan H Tan V

7.

- -

= + - = + +

= ± - = -¡

2 3 10 , 12x t y t t8. = - = -

( ) ( ):

2cos , sen 2

2, 1 ,

2,0

x y

Tan H Tan V

9. q q

± ±

=

±

=

¡

3 2 3 2 2 3 -12 , 2 3 1x t t t y t t10. = + = - +

Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.4 Longitud de Arco en Forma Paramétrica.


LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO EENN FFOORRMMAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAA..

Hemos visto como utilizar las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria

de una partícula que se mueve en el plano. Desarrollaremos ahora una fórmula

para calcular la distancia recorrida por la partícula a lo largo de su trayectoria; a lo

que llamaremos longitud de arco de una curva C, que se define como sigue:

Longitud Aproximada de la curva C está dada por:

La suma de las longitudes de los polígonos inscritos con vértices P0, P

1,…, P

n.

bt

at

nlll ...21

NNoottaa:: Se deja al estudiante investigar la deducción de la fórmula del Teorema 2.2

TTEEOORREEMMAA 22..22 LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO EENN FFOORRMMAA PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAA

Si una curva suave C dada por las ecuaciones x=f(t) , y=g(t) no tiene auto

intersecciones en el intervalo a ≤ t ≤ b, entonces la longitud de arco de C

en el intervalo viene dada por:

2 2

2 2´ ´

b b

a a

dx dydt f t g t dt

dt dtS

2.4



Como ya se estudio en el curso de Matemáticas II, se aprendió como hallar la

longitud L de una curva C dada en la forma y F x , a x b . Recordemos que

la unidad 4 de esa aginatura, se dedujo que si F’ es continua, se tiene como

consecuencia la fórmula

21

b

a

dydx

dxL

Ahora suponga que C se puede describir también mediante las ecuaciones

paramétricas x = f t y y = g t , a x b , donde dx dt = f' t > 0 . Al sustituir

la fórmula del teorema 2.1 que dice dy dy dt

dx dx dt en la fórmula 1, se obtiene

221 1

22 22

2

bdxdy dy dt

dx dtdtdx dx dta

b dydy dxdxbdx dxdt dtdt dt

dt dtdt dtdxa dx dtadt

L

L

Finalmente, se tiene la fórmula en la Notación de Leibniz que se enuncia en el

siguiente teorema 2.2

EJEMPLO 1

Hallar la longitud de la curva que tiene ecuaciones a tx 4 , 2ty si 20 t

Solución

Primero calculamos las primeras derivadas

4dt

dx t

dt

dy2

Luego sustituimos en la fórmula del teorema 2.2

dttdttdtdt

dy

dt

dxs

b

a

2

0

2

2

0

22

22

41624

Para resolver esta integral recurrimos a las fórmulas de las tablas de integración y

nos dice que:



222

2222 ln22

uaua

uau

duua

En donde a2=4 a=2 u

2=t

2 u=t du=dt y observamos que nuestra integral está

completa.

22

2 2 2

00

22 4 2 4 ln 4

2 2

tS t dt t t t

2 2

Límite Superior Límite Inferior

2 4 2 2ln 2 4 2 0 4 0 2ln 0 4 0S

2 8 2ln 2 8 2ln 2

4.58

S

S

EJEMPLO 2

Hallar la longitud de tres arcos de la cicloide con ecuaciones paramétricas.

senx 2 cos12 y

Solución

Recordemos un arco de la figura 2.2-4, con el propósito de establecer los límites

de la integral a resolver

Así pues, calculamos la longitud de un arco de la cicloide y aprovechamos la

simetría para solo multiplicar el resultado por tres para obtener la longitud total de

los tres arcos.

Derivando

cos22 d

dx

sen

d

dy2



Sustituyendo:

4 4

0 0

22 22

2 2cos 2dx dy

S d sen dd d

4

0

2 2 2 24 8cos 4cos 4 4 8cos 4(cos )sen d sen d

4 4 4

0 0 0

4 8cos 4 8 8cos 8 1 cosd d d

4

0

8 1 coss d

por la identidad 2 1 cos 2

2

xsen x

Es necesario hacer 22

cos12

1

2

2 sen despejando 21 cos 22

sen

4 4

0 0

4 42

2 2 2 20 08 2 8 2 2 8 2 cos 8coss sen d sen d

1Para integrar Si

2 2u du d

8 cos cos0 02

s

Ejercicios propuestos

22..44 LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO

Encontrar la longitud de la curva.

1. 2tx , ty 2 ; 20 t

2. 21 3x t , 34 2y t ; 0 1t

3. 23

5 3 tx , 64 3 ty ; 20 t

4. 3

3

1tx , 2

2

1ty ; 30 t

5. tx cos2 , senty 2 ; 20 t



6. tex t cos , sentey t ; 2

0 t

: 2( 1)L ep» -¡

7. sentex t , tey t cos ; t0

8. arcsentx , 21ln ty ; 2

10 t

9. 1

tx

t

, ln(1 )y t ; 0 2t

: 1.3L »¡

10. lnx t , 1y t ; 0 5t

Capítulo 2 EECCUUAACCIIOONNEESS PPAARRAAMMÉÉTTRRIICCAASS YY CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS 2.5 Coordenadas Polares.


CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS

En las secciones anteriores como en cursos anteriores las graficas se han

representado como una colección de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas

rectangulares. En esta sección, estudiaremos un sistema de coordenadas

denominado sistema de coordenadas polares, introducido por Newton, que es más

conveniente para muchos propósitos.

El sistema de coordenadas polares está constituido por un punto 0, llamado el

polo (o el origen), un eje polar y un segmento conocido como r ó distancia dirigida

de O a P, como se muestra en la siguiente figura 2.5-1

La figura 2.5-2 muestra tres puntos en el sistema de coordenada polares.

Obsérvese que, en este sistema los puntos se localizan respecto a un conjunto de

circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo.

NNoottaa:: Los ángulos θ >0 se miden en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del

reloj a partir del eje polar; y los ángulos θ <0 se miden en el mismo sentido de las

manecillas.

2.5



Se extiende el significado de las coordenadas polares (r,) al caso en que r es

negativa estando de acuerdo en que, como en la figura 2.5-3 los puntos ( -r, ) y

( r, ) están en la misma línea que pasa por 0 y a la misma distancia r de 0, pero

en lados opuestos de 0. Si r>0, el punto ( r, ) está en el mismo cuadrante que ;

si r<0, está en el cuadrante del lado opuesto del polo. Observe que (-r,)

representa el mismo punto que ( r, + ).

EJEMPLO 1

Localizar los puntos cuyas coordenadas polares se indican.

a) ( 3, π/6 ) b) (4, - π/3 ) c) ( -3, 5/4π )

Solución

a) Se miden 3 unidades a lo largo del rango π/6. Ver figura 2.5-4 (a).



b) Se miden 4 unidades a lo largo del rango 3

. Ver figura 2.5-4 (b).

c) Se miden 3 unidades a lo largo del rayo 5 94 4

. De manera

equivalente, es posible medir 3 unidades a lo largo del rango 54

prolongado hacia atrás, a través del polo. Observemos en la figura 2.5-4 (c)

que el punto 5 3,

4 no está en el mismo cuadrante que el lado terminal

del ángulo indicado.

En el sistema de coordenadas rectangulares la localización de un punto es única.

Esto no sucede en el sistema de coordenadas polares, la descripción de un punto

no es única, es decir, cada punto tiene muchas representaciones ya que los

ángulos θ pueden tener múltiplos de 2π; por lo que expresaremos también cada

punto polar como:

( r, θ ) y ( r, θ + 2nπ ), n es entero

EJEMPLO 2

Encuentre 4 de las representaciones alternativas del punto (3, π/6).



Solución:

Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

Superponiendo un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de

coordenadas polares, como se muestra en la Figura 2.5-6, una descripción polar

de un punto se puede convertir a coordenadas rectangulares utilizando

x= r cos θ , y= r sen θ

Estas formulas son validas para cualquier valor de r y de θ.



EJEMPLO 3

Convierte (2, π/6) de coordenadas polares a rectangulares.

Solución

Con r = 2, θ = π/6, tenemos que

x = r cos θ = 2 cos π/6= 2( 3 /2)= 3

y = r sen θ = 2 sen π/6= 2(1/2)= 1

Así que, (2, π/6) es equivalente a ( 3 ,1) en coordenadas rectangulares.

Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

En virtud de la figura 2.5-6 debe ser evidente que x, y, r y θ están relacionados

también por

r2 = x

2 + y

2 , tan θ = y/x

Estas ecuaciones se emplean para convertir las coordenadas rectangulares ( x, y )

a coordenadas polares ( r, θ )

EJEMPLO 4

Convertir ( -1, 1 ) de coordenadas rectangulares a polares.

Solución

Con 1 , 1x y , tenemos que

2 2r y tany

x

Ahora bien, 2r y dos de los muchos ángulos posibles que satisfacen

tan 1 , son 3π/4 y 7π/4. En la figura 2.5-7 se ve que dos representaciones del

punto indicado son

( 2 , 3π/4) y (- 2 ,7π/4)



Conversión de ecuaciones polares a ecuaciones cartesianas

Empleando las ecuaciones que relacionan las coordenadas polares con las

cartesianas

cosx r , y rsen , 2 2 2x y r , tany

x

Podemos reescribir las ecuaciones polares en forma cartesiana y viceversa.

EJEMPLO 5

Observe en la siguiente tabla las ecuaciones equivalentes

Ecuación Polar Equivalente Cartesiana

r senθ = 4 y = 4

r2senθ cosθ = 9 xy = 9

r2cos

2θ-r

2sen

2θ = 4 x

2-y

2 = 4

r = 1+2rcosθ y2-3x

2-4x-1 = 0

Cabe hacer notar que en algunas ocasiones se trabaja mejor con coordenadas

polares que con otras.



EJEMPLO 6

Encuentre una ecuación polar para el circulo x2 +(y - 4)

2=16

Solución

desarrollando (y – 4)2 x

2 + y

2 - 8y + 16 = 16

los 16 se cancelan x2 + y

2- 8y = 0

Si x2 + y

2 = r

2 r2

- 8 r senθ = 0

despejando r2

= 8 r senθ

dividiendo entre r r = 8 senθ ecuación polar del circulo


22..55 CCOOOORRDDEENNAADDAASS PPOOLLAARREESS

En los ejercicios 1-4, trace el punto cuyas coordenadas polares se indican.

Después encuentre otros dos pares de coordenadas de este punto, uno con r > 0 y

otro con r < 0.

1. 2, -

2. 4, 4

3.

33,

2

4. 5, 6

En los ejercicios 5-8 encuentre otras representaciones en coordenadas polares del

punto indicado que satisfaga.

(a) r > 0, < 0;

(b) r > 0, > 2 ;

(c) r < 0, > 0;

(d) r < 0, < 0;

5. 3

6, 4

6. 10, 2

7. 2

2, 3

8. 5, 4



En los ejercicios 9 - 12 halle las coordenadas rectangulares de cada uno de los

puntos cuyas coordenadas polares se indican. Grafique el punto en cada caso.

9. 2

1, 3

10. 1 5

, 2 3

11. 7, 3

12. 11

3,6

En los problemas 13-16 determine coordenadas polares que satisfagan (a) r>0,

y (b) r < 0, , para cada uno de los puntos cuyas

coordenadas rectangulares se indican.

13. (-3,-3)

14. (0,-5).

15. 15.- ( 3 , -1)

16. ( 2 , 6 ).

De ecuaciones polares a cartesianas

En los ejercicios del 17 - 28, reemplace las ecuaciones polares por ecuaciones

cartesianas equivalentes. Luego describa o identifique la gráfica.

17. r = 2 R: círculo, radio 2

18. r cos θ = 1

19. r cos θ =2 R: x=2, recta vertical

20. r sen θ = -1

21. r = 3sen θ R: círculo, radio 3/2, C (0,3/2)

22. r = 2sen θ + 2cos θ

23. r = 4csc θ R: y = 4, recta horizontal

24. r = -3sec θ

25. r = θ csc θ R: y2

= x, parábola

26. r = 4tan θ sec θ

27. r2 + 2r2 cos θ sen θ = 1 R: x + y = ±1, dos rectas de pendiente -1

28. cos2 θ = sen2 θ

De ecuaciones cartesianas a polares

En los ejercicios 29 - 36 reemplace las ecuaciones cartesianas por ecuaciones

polares equivalentes.



29. x2 + y

2 = 9 R: r = 3, r = -3

30. x2 - y

2=1

31. x = -y2 R: r = -cot θ csc θ

32. x + y = 9

33. y2 = 4x R: r = 4cot θ csc θ

34. x2 + xy +y

2 = 1

35. (x-3)2

+ (y+1)2

= 4 R: r2

= 6r cos θ -2r sen θ -6

36. (x+2)2

+ (y-5)2

= 16

Capítulo 3 FFUUNNCCIIOONNEESS VVEECCTTOORRIIAALLEESS 3.8 Aplicaciones Vector Velocidad, Aceleración, Componente Tangencial.de Aceleración


GGRRÁÁFFIICCAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS PPOOLLAARREESS

Las ecuaciones polares de curvas (cardioides, caracoles, rosas y espirales) son

bastante simples, las ecuaciones cartesianas correspondientes son bastante

complicadas. Con ello podemos observar una de las ventajas de contar con más

de un sistema de coordenadas disponibles, ya que algunas curvas tienen

ecuaciones simples en un sistema que otras no podrían tener. Algunos tipos de

sistemas de coordenadas son:

• Coordenadas Cartesianas.

• Coordenadas Polares.

• Coordenadas Cilíndricas.

• Coordenadas Esféricas.

• Coordenadas Geográficas La gráfica de una ecuación polar r=f(θ), o de manera más general F(r,θ)=0, consta

de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r,θ) cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación.

EJEMPLO 1

¿Cuál curva cree que representa la ecuación polar r = 3?

Solución

La curva está formada por todos los puntos (r, θ) con r = 3. La curva r = 3

representa el círculo con centro 0 y radio 3. Así pues, en general, la ecuación r = a

representa un círculo con centro 0 y radio |a|. Vea la figura 2.6-1

2.6



EJEMPLO 2

Haga un bosquejo de la curva θ = ½

Solución

La curva está formada por todos los puntos (r, θ) tal que el ángulo polar θ es ½

radián. La gráfica de esta ecuación corresponde a una recta que pasa por 0 y

forma un ángulo de ¼ radián con el eje polar, tal como se muestra en la Figura

2.6-2.

Note que los puntos ( r, ¼ ) sobre la recta con r > 0 están en el primer cuadrante,

mientras que los puntos con r < 0 están en el tercer cuadrante.

Simetría en las gráficas de ecuaciones polares.

1. La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto al eje de las x (el

eje polar y su prolongación hacia la izquierda) si al reemplazar ө por -ө se

produce una ecuación equivalente, es decir, que la ecuación polar permanece

sin cambio. Ver figura 2.6-3.



2. La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto al eje de las y, si al

reemplazar ө por π - θ se produce una ecuación equivalente, es decir, la ecuación

polar no cambia

3. La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto al origen si al

reemplazar r por –r se produce una ecuación equivalente.

EJEMPLO 3:

Grafique la curva con la ecuación polar r = 4 cos para 0

Solución



En la Figura 2.6-6 se encuentran los valores de r algunos valores convenientes de

y luego se grafican los puntos correspondientes (r, θ).

IInniicciiaa SSiimmeettrrííaa

Cardioides y Caracoles:

Consideremos ecuaciones de la forma:

r=a ± b cosθ r= a ± b senθ

Con a y b positivas. Sus gráficas se llaman caracoles (limacons, palabra francesa

que significa “caracol”) con los casos especiales en los que a = b, denominados

cardioides.

Figura 2.6-7

Gráficas Funciones Cardioide

EJEMPLO 4

Analice la ecuación 2 4cosr con respecto a la simetría y realice su gráfica.

Solución

r = 4 cos

0 4

/6 2√3

/4 2√2

/3 2

/2 0

2/3 -2

3/4 -𝟐√𝟐

5/6 -𝟐√𝟑

-4

Tabla 2.6-1. Tabulación de Valores del Ejemplo 2.

x

y

x

y

x

y

a >

b

a =

b

a <

b



La gráfica es un caracol y es simétrica respecto al eje x

porque por ejemplo si 4

, y

4

, en la ecuación

2 4cosr no cambia para θ ó –θ


Lemniscatas

Las gráficas de

r2 = ± a cos 2θ r

2 = ± a sen 2θ

Son curvas en forma de ocho llamadas lemniscatas.

EJEMPLO 5

Analice la ecuación r2 = 8cos 2θ con respecto a la simetría y dibuje su gráfica.

Solución

rr ==22 ++ 44ccooss θθ

0 6

/6 5.5

/3 4

/2 2

7π/12 1

2π/3 0

3π/4 -0.8

5π/6 -1.5

π -2

7π/6 -1.5

5π/4 -0.8

4π/3 0

3π/2 2

13π/9 1

Tabla 2.6-2. Tabulación de Valores del

Ejemplo 4.

8cosq±

0 6

/12 5.5

/6 4

/4 0



La ecuación r2 = 8cos 2θ requiere que cos θ ≥ 0, por lo

que obtenemos toda la gráfica variando θ entre 4

y

4

. La curva es simétrica respecto al eje x donde

(𝑟, 𝜃) equivale a (𝑟, −𝜃) porque (𝑟, 𝜃) sobre la grafica


La curva también es simétrica respecto al origen porque (r,θ) sobre la grafica

r2=8cos2θ

(-r)2=8cos2θ

(-r,θ) sobre la grafica

Juntas esas dos simetrías implican simetría respecto al eje y. la curva pasa por el

origen cuando θ=4

y

4

, la formula r2=8cos2θ da dos valores para r.

8cos2r

-π/4 0

-π/6 -2

-π/12 -2.6

0 -6

Tabla 2.6-2. Tabulación de Valores del Ejemplo 5.



Rosas

Las ecuaciones polares de la forma

r = a cos nθ r = a sen nθ

Representan curvas en forma de flores, llamadas rosas. La rosa tiene n pétalos si

n es impar y 2n pétalos si n es par.

EJEMPLO 6:

Analice la ecuación r = 4 sen 2θ con respecto a la simetría y dibuje su gráfica.

Solución

Espirales

La gráfica de r = a θ se llama Espiral de Arquímedes; la de r = a + bθ se llama

Espiral Logarítmica.

EJEMPLO 7

Dibuje la gráfica de r = θ para θ 0

Solución

r r

0 0 2π/3 -3.5

π/12 2 5π/6 -3.5

π/8 2.8 π 0

π/6 3.5 7π/6 3.5

π/4 4 4π/3 3.5

π/3 3.5 3π/2 0

3π/8 2.8 5π/3 -3.5

5π/12 2 11π/6 -3.5

π/2 0 2π 0

Tabla 2.6-3. Tabulación de Valores del Ejemplo 6



Consulta: Thomas/Finney. Calculo varias variables.

James Stewart. Calculo Multivariable. Sexta Edición


22..66 GGRRAAFFIICCAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS PPOOLLAARREESS

Identifique las simetrías de las curvas en los ejercicios del 1-12. A continuación

trace las curvas.

1. r = 1 - cos θ R: Cardioide simétrica respecto al eje x

2. r = 2 -2cos θ

3. r = 1 + sen θ R: Cardioide simétrica con respecto al eje y

PPRROOYYEECCTTOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOO

Investigue la familia de curvas .polares dada por:

r=1+b cos θ, use un graficador y asigne valores a b en decimales

y enteros en el intervalo -2 ≤-b ≤ 2.5.

¿Cómo cambia la forma cuando cambia b?

Grafique un total de 12 formas.



4. r = 1 – sen θ

5. r = 8 θ, θ > 0 R: Espiral

6. θ = - π/6

7. r2

= cos θ R: Lemniscata, simétrica eje x, eje y, origen

8. r2 = sen θ

9. r = 4sen 3θ R: Rosa de 3 pétalos

10. r = -3cos θ

11. r = 2cos 4θ R: Rosa de 8 pétalos

12. r2 = -sen θ

13. r2 = -5cos 2θ R: Lemniscata

14. r2 =7sen 2t

15. r = 5 -5sen θ R: Cardioide

16. r = 4+ 4cosθ

17. r = 4cos 5θ R: Rosa de 5 pétalos

18. r = 3sen 4θ

Unidad 2 Septiembre 2010

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