UNIDAD 2 RELACIONES Y ESTRUCTURAS DE...

UNIDAD 1

RELACIONES Y ESTRUCTURAS

DE ORDEN

Dra. Mireya Tovar Vidal

CONTENIDO

1.1 Relaciones y sus propiedades

1.2 Relaciones de equivalencia y particiones.

1.3 Relaciones de orden parcial y retículos

1.4 Aplicaciones

Se dice que R es una relación de equivalencia si es:

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Por ejemplo, sea A={1,2,3,4,5,6}

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}

GRAFO Y MATRIZ DE UNA RELACIÓN

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}

1 2 3 4 5 6

1 1 1 0 0 0 0

2 1 1 0 0 0 0

3 0 0 1 0 0 0

4 0 0 0 1 1 0

5 0 0 0 1 1 0

6 0 0 0 0 0 1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

EJERCICIOS

Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4,5} y la relación

R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),

(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}, obtenga el grafo y la

representación matricial correspondiente

Sean los conjuntos A=B={1,2,3,4} y la relación

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)},

obtenga el grafo y la representación matricial

correspondiente

CLASES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES

Una relación de equivalencia tiene clases de equivalencia y éstas forman particiones.

Las clases de equivalencia son conjuntos que contienen a todos los elementos b B y que están relacionados con a A. Se indica:

[a] = {b| b B, aRb}

Una partición es un conjunto de clases de equivalencia. Es un subgrafo completo.

Deben estar contenidos todos los elementos del conjunto A.

La intersección entre las clases de equivalencia es vacia.

EJERCICIO:

Verifique que R es una relación de equivalencia.

Sean A=B={1,2,3,4,5} y R={(1,1),(1,2),(1,5),(2,1),

(2,2),(2,5),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,5)}.

Obtenga la matriz y grafo correspondiente.

Como R es una relación de equivalencia, entonces

sus clases de equivalencia son:

[1] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 1

[2] = {1,2,5} Todos los elementos relacionados con 2

[3] = {3,4}

[4] = {3,4}

[5] = {1,2,5}

De esto obtenemos

[1] = [2] = [5]

[3] = [4]

Dos particiones:

P ={{1,2,5},{3,4}}

EJERCICIO

Considera la siguiente relación sobre el conjunto

de los enteros:

R3={(a,b) | a=b o a=-b}

¿Es una relación de equivalencia?:

SOLUCIÓN

Simétrica:

Si a=b o a=-b, entonces b=a o b=-a.

Transitiva

a=+-b y b=+-c implica que a=+-c

Relación de equivalencia

Clase de equivalencia

Un entero es equivalente a sí mismo y a su negativo

en esta relación de equivalencia, entonces

[a] = {-a, a}.

Este conjunto contiene dos distintos enteres a menos que

a=0. Por ejemplo, [7] = {-7, 7} , [-5]={-5, 5}, y [0]={0}.

EJERCICIOS

Sea R una relación sobre el conjunto de los reales,

tal que aRb si y sólo si a-b es un entero.

Sea R una relación sobre el conjunto de cadenas

de letras del Español, tal que aRb si y sólo si

l(a)=l(b), donde l(x) es la longitud de la cadena x.

¿R es una relación de equivalencia?

SOLUCIÓN

Sea R una relación sobre el conjunto de los reales,

tal que aRb si y sólo si a-b es un entero.

Reflexiva

Porque a-a=0 es un entero para todo número real a, aRa

para todos los números reales a.

Simétrica

Suponemos que aRb. Entonces a-b es un entero, así b-a es

también un entero. Por lo tanto, bRa y R es simétrica.

Transitiva

Si aRb y bRc, entonces a-b y b-c son enteros. Por lo tanto, a-

c=(a-b)+(b-c) es también un entero. Por lo tanto, aRc.

Entonces, R es transitiva.

R es una relación de equivalencia.

Sea R una relación sobre el conjunto de cadenas

de letras del Español, tal que aRb si y sólo si

l(a)=l(b), donde l(x) es la longitud de la cadena x.

¿R es una relación de equivalencia?

Reflexiva

a es una cadena, l(a)=l(a). aRa, así R es reflexiva.

Simétrica

Suponga que aRb, así que l(a)=l(b). Entonces bRa, porque

l(b)=l(a). Por lo tanto, R es simétrica.

Transitiva

Suponga que aRb y bRc. Entonces l(a)=l(b) y l(b)=l(c). Por lo

tanto, l(a) = l(c), así aRc. R es transitiva.

R es una relación de equivalencia

EJERCICIOS

Sea R una relación sobre el conjunto de los

números reales tal que xRy si y sólo si x y y son

números cuya diferencia es menor que 1, es decir,

|x-y| < 1. Demuestra que no es una relación de

equivalencia.

CONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO

Sea R una relación en un conjunto A, y sea R una relación de

orden parcial. El conjunto A con R se llama conjunto

parcialmente ordenado y se denota como (A,R).

Dada una relación de orden parcial, esta puede representarse

mediante un grafo dirigido de orden parcial

b a

c

DIAGRAMAS DE HASSE 1. Los lazos de cada nodo pueden ser eliminados para simplificar el

grafo.

2. Si se eliminan las aristas que representan la propiedad transitiva.

3. Las flechas pueden omitirse y los círculos se reemplacen por punto.

El diagrama resultante de un orden parcial, mucho más simple que su

grafo dirigido, se llamará diagrama de Hasse de un orden parcial o de un

conjunto parcialmente ordenado.

b a

c

1

b a

c

b a

c

2 3

a

b

c

Diagrama de Hasse

DIAGRAMA DE HASSE

Es una representación gráfica simplificada de un conjunto

parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando

información redundante. Para ello se dibuja una arista

ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber

otros elementos intermedios.

Ejemplo Sea S={a,b,c} y sea P el conjunto potencia de S, es decir

P={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. Dibujar el diagrama de

Hasse del conjunto parcialmente ordenado con el orden .

{a}

{a,b,c}

{b,c} {a,c}

{a,b}

{b} {c}

sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,

30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto

está ordenado parcialmente por la relación de

divisibilidad.

Diagrama de Hasse:

La relación "< " en Z + no es un orden parcial

porque no es reflexiva.

Las ordenes parciales mas comunes son las

relaciones >= y <= en Z y N .

EJERCICIOS 1. Dibujar el diagrama de Hasse de la relación a>=b

(en orden alfabético), donde a,b A, A={a,b,c,d,e,f}

2. Sea A={1,2,3,4,12}, Examine el orden parcial de la

divisibilidad en A (aRb si y sólo si b/a). Dibuja el

diagrama de Hasse.

12

4

3

2

1

Ejemplo

Sea S un conjunto no vacío. Definimos R como

(contenido en o igual a) P(S). Claramente, (P(S),

), es un conjunto de orden parcial.

A P(S), A A

A, B P(S), A B y B A => A = B

A, B, C, P(S), si A B y B C => A C

Por lo tanto, es una relación de orden

parcial sobre P(S) (conjunto potencia de S).

Ejemplo

Sea ≤ un orden parcial sobre el conjunto de los

enteros (Z), y a, b, c son enteros. Claramente

a ≤ a; a Z

Si a ≤ b y b ≤ a entonces, a = b, donde a,b Z

Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c, donde a, b, c Z

Por lo tanto, (Z, ≤ ) es un conjunto de orden parcial

(poset).

Ejercicio

Dibuje el diagrama de Hasse que represente el

orden parcial {(a,b) | a|b} sobre {2, 4, 5, 10, 12,

20, 25}.

Nota: a|b = (división entera) a

b

Solución

La relación es:

R={ (2,2), (2, 4), (2, 12), (4,4), (4, 12), (5,5), (5,10), (5,

20), (5, 25), (10,10), (10, 20), (20,20) }

Elemento Maximal

Elemento Minimal

Elemento Máximo

Elemento Mínimo

Mínima Cota Superior

Máxima Cota Inferior

ELEMENTOS EXTREMOS DE LOS CONJUNTOS

PARCIALMENTE ORDENADOS

Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado.

Un elemento xA se llama elemento maximal de A si para todo

aA, ax entonces xRa.

ELEMENTO MAXIMAL

a1

b1

a2

b2

a3

b3

Elementos

maximales a1,a2,a3

Ejemplo 1 : sea A el conjunto

parcialmente ordenado de todos los

números reales no negativos con el

orden parcial <=, en este caso no

existen elementos maximales.

a

b

c Ejemplo 2 : En este caso

el elemento maximal es

c


Un elemento yA se llama elemento minimal de A si para todo

bA, by entonces bRy.

ELEMENTO MINIMAL

a1

b1

a2

b2

a3

b3

Elementos

minimales b1,b2,b3

Ejemplo 1: sea A el conjunto

parcialmente ordenado de todos los

números reales no negativos con el

orden parcial <=, en este caso el cero es

el elemento minimal.

a

b

c

Ejemplo 2 : En este caso

el elemento minimal es

a


Un elemento xA se llama elemento máximo de A y es único si

para todo aA, entonces aRx existe.

ELEMENTO MÁXIMO

a

b

Elemento máximo a


parcialmente ordenado de todos

los números reales no negativos

con el orden parcial <=, en este

caso no existe un elemento

máximo.

a

b


el elemento máximo es c


Un elemento yA se llama elemento mínimo de A y es único, si

para todo aA, entonces yRa existe.

ELEMENTO MÍNIMO

a

Elemento mínimo b


parcialmente ordenado de todos

los números reales no negativos

con el orden parcial <=, en este

caso el cero es el elemento

mínimo.

b

a

b


el elemento mínimo es a

Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A.

aA ,a es cota superior de B si bRa para todo bB.

a’A a’ es mínima cota superior(MCS)(LUB) de B si a’ es una cota superior de b y si a’Ra’’ para todas las demás a’’ cotas superiores de B.

Ejemplo: Sea A={a,b,c,d,e,f,g,h} con el siguiente diagrama de Hasse, determinar las cotas superiores y su mínima cota superior para los subconjuntos B1={a,b} y B2={c,d,e}.

MÍNIMA COTA SUPERIOR

b a

c

d e

f g

h

B1 tiene como cotas superiores a c,d,e,f,g,h

y como mínima cota superior tiene a c

B2 tiene como cotas superiores a f,g,h

y no tiene mínima cota superior porque no

existe fRg

Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A.

yA ,y es cota inferior de B si yRb para todo bB.

y’A, y’ es máxima cota inferior(MCI)(GLB) de B si y’ es una cota inferior de B y si y’’Ry’ para todas las demás y’’ cotas inferiores de B.

Ejemplo: Sea A={a,b,c,d,e,f,g,h} con el siguiente diagrama de Hasse, determinar las cotas inferiores y su máxima cota inferior para los subconjuntos B1={a,b} y B2={c,d,e}.

MÁXIMA COTA INFERIOR

b a

c

d e

f g

h

B1 no tiene cotas inferiores y por ende no

tiene

máxima cota inferior

B2 tiene como cotas inferiores a a,b,c

y su máxima cota inferior es c

1. Dados los diagrama de Hasse determinar los maximales, minimales, máximo, mínimo.

Define dos subconjuntos de A y determina cotas inferiores, superiores, mínima cota superior, máxima cota inferior.

EJERCICIOS

a b

d e {a}

{a,b,c}

{b,c} {a,c}

{a,b}

{b} {c}

Ejercicio

Encontrar la mínima cota superior y máxima cota

inferior de los conjuntos {3, 9, 12} y {1, 2, 4, 5, 10} si

existen en el poset (Z+, |)

Solución

Encontrar la mínima cota superior y máxima cota inferior

de los conjuntos {3, 9, 12} y {1, 2, 4, 5, 10} si existen en el

poset (Z+, |)

Un entero es una cota inferior de {3,9,12} si 3, 9 y 12 son

divisibles por este entero. Tales enteros son 1 y 3

unicamente. Claramente 3 es la máxima cota inferior de

{3,9,12}.

Similarmente la máxima cota inferor para {1,2,4,5,10} es 1.

Un entero es una cota superior para {3, 9, 12} si es divisible

por 3, 9 y 12. Los enteros con esta propiedad son los

divisibles por la mínima cota superior de 3, 9 y 12, el cual

es 36. Es decir, 36 es la minima cota superior para el

conjunto {3, 9, 12}.

Similarmente 20 es la minima cota superior para el

conjunto {1,2,4,5,10}

Retícula (red o lattice)

El conjunto parcialmente ordenado (A,R) es una

retícula (red o lattice) si para cualquier x,yA la

MCS{x,y} (denotada x y) y MCI{x,y} (denotada

xy) existen.

Ejemplo 1 : sea A el conjunto parcialmente

ordenado de todos los números naturales con el

orden parcial ≤, en este caso

Para todo a,bN

MCS{a,b}=mínimo{a,b},

MCI{a,b}=máximo{a,b}

Por tanto es una retícula

Ejemplo 2, retícula

En este caso el diagrama de Hasse representa a los

divisores positivos de 20, y si cumple que sea una retícula

dado que:

1

2 5

4 10

20 CS{1,2} ={2,4,10,20}

MCS{1,2}={2}

CS{1,4} ={4,20}

MCS{1,4}={4}

CS{1,20} ={20}

MCS{1,20}={20}

CS{1,5} ={5,10,20}

MCS{1,5}={5}

CS{1,10} ={10,20}

MCS{1,10}={10}

CS{2,4} ={4,20}

MCS{2,4}={4}

CS{2,5} ={10,20}

MCS{2,5}={10}

CS{2,10} ={10,20}

MCS{2,10}={10}

CS{2,20} ={20}

MCS{2,20}={20}

CS{4,10} ={20}

MCS{4,10}={20}

CS{4,20} ={20}

MCS{4,20}={20}

CS{5,4} ={20}

MCS{5,4}={20}

CS{5,10} ={10,20}

MCS{5,10}={10}

CS{5,20} ={20}

MCS{5,20}={20}

CS{10,20} ={20}

MCS{10,20}={20}

CI{1,2} ={1}

MCI{1,2}={1}

CI{1,4} ={1}

MCI{1,4}={1}

CI{1,20} ={1}

MCI{1,20}={1}

CI{1,5} ={1}

MCI{1,5}={1}

CI{1,10} ={1}

MCI{1,10}={1}

CI{2,4} ={1,2}

MCI{2,4}={2}

CI{2,5} ={1}

MCI{2,5}={1}

CI{2,10} ={1,2}

MCI{2,10}={2}

CI{2,20} ={1,2}

MCI{2,20}={2}

CI{4,5} ={1}

MCI{4,5}={1}

CI{4,10} ={1,2}

MCI{4,10}={2}

CI{4,20} ={1,2,4}

MCI{4,20}={4}

CI{5,10} ={1,5}

MCI{5,10}={5}

CI{5,20} ={1,5}

MCI{5,20}={5}

CI{10,20} ={1,2,5,10}

MCI{10,20}={10}

Lattice

Un poset en el que cada par de elementos tiene

ambos una minima cota superior y una máxima

cota inferior se llama lattice.

Ejemplo

El poset ({1,2,4,8}, | ) es un lattice

El poset (P(S), ) es un lattice, para cualquier A S,

B S

A υ B = minima cota superior de A y B, ( sup{a,b}= a v b )

A ∩ B = máxima cota inferior de A y B, ( inf{a,b} = a ˄ b )

Propiedad

Retículo

Si aRb <-> a v b = b y a ˄ b= a

Es decir, siempre existen a v b y a ˄ b entre los

elementos relacionados. Sólo hay que revisar, los que

son incomparables.

Ejemplo:

Sup(2,3)=6 Inf(2,3)=1

Sup(3,4)=12 Inf(3,4)=1

Sup(4,6)=12 Inf(4,6)=2

Es una retícula, porque todos tienen supremo (Sup) e

ínfimo (Inf).

Ejercicio

Sea (A; R) con A={serpiente, pollito, canario, gato,

león, araña, hormiga } y la relación “tiene menos

patas que o es el mismo animal que” ¿El

diagrama de hasse es un lattice?

Solución

No es un lattice, porque

No hay Sup(pollito, canario)

Cotas superiores(pollito, canario)={gato, león,

hormiga, araña}, pero no hay forma de definir

la inferior cota superior, es decir, ninguna

precede a todas.

Referencias

N. Iyengar. Discrete Mathematics. Vikas

Publishing House Pvt Ltd, 2003

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