Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO

UNIDAD II

• La transformada Zeta es una

herramienta útil en teoría de

control en tiempo discreto y su

papel es análogo al que juega la

transformada de Laplace en tiempo

continuo

• Dada una secuencia discreta x(k) se

define su transformada Z como:

• La transformada Z para una función

en el tiempo x(t) o de la

secuencia x(kT), donde t es un

número positivo, k adopta valores enteros positivos desde 0, y T es el periodo de muestreo

• Estas dos ecuaciones se conocen como la transformada unilateral de Z

EJEMPLOS:

• La transformada Z de la secuencia impulso que

viene definida por x(0) = 1, x( 1) = 0, x( 2) =

0, ... será:

NOTA: Es importante resaltar que, cuando se trata

con una secuencia de tiempo x(kT) obtenida

mediante muestreo, la transformada Z, X(z),

involucra al periodo de muestreo T. Por otro lado,

para una secuencia de tiempo x(k) , la

transformada no incluye explícitamente a T.

1. EJEMPLO: La transformada Z para el

escalón unitario definida como

es:

2. EJEMPLO: Para la rampa Unitaria definida

como

• Al muestrearla se obtiene

• Cuya figura es:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

• Su transformada es

3. EJEMPLO: obtener la transformada Z

de:

• SOLUCIÓN

4. EJEMPLO: Considere la función

senoidal

• SOLUCIÓN: Observemos

Recordando que

Se tiene que:

5. EJEMPLO: Considere la función

cosenoidal

SOLUCIÓN

6. EJEMPLO: Obtenga la transformada Z de

SOLUCIÓN: se observa que la

expresión está dada en s, una

manera de obtener la transformada

Z es convertir X(s) al tiempo

x(t) y luego obtener la

transformada Z de x(t)

De allí que la transformada Inversa de X(s)

es:

Por consiguiente:

• Linealidad de la transformada z: Si f(kT)

y g(kT) tienen transformada z, y α y β

son escalares, siendo T el periodo de

muestreo, entonces

• Suma y Resta: Si f(k) y g(k) tienen

transformadas F(z) y G(z), entonces:

Z(f(k)+g(k))=F(z)+G(z)

Z(f(k)-g(k)) = F(z)-G(z)

• Multiplicación por una constante:

Z(rf(k)) = rF(z)

• Traslación real

Z(f(kT-nT) = (z-n)F(z) y también

• Multiplicación por akT: Si X(z) es la

transformada Z de x(kT) entonces

1

0

)()(n

k

kn zkTxznTkTfZ

• Teorema de traslación compleja: Si x(t)

tiene la transformada Z, X(z) , entonces

la transformada Z de viene dada por

• Teorema del valor inicial: Si x(t) tiene

por transformada Z, X(z) , y si el

existe, entonces el valor inicial x(0)

de x(t) ó x(k) está dado por:

)(lim zXz

)( aTezX

)(txe aT

)(lim)0()(lim0

zXxkTxzk

• Teorema del Valor Final: Suponemos que x(kT) ,

siendo T el periodo de muestreo, tiene la

transformada Z, X(z) , con x(kT) = 0 para

valores negativos de k, y que todos los polos

de X(z) están dentro del círculo unitario,

con la posible excepción de un sólo polo en z

= 1. Esta es la condición para la estabilidad

de X(z) , es decir, la condición para que x(kT)

con (k = 0, 1, 2...) permanezca finita. Entonces

el valor final de x(kT) , que es su valor

conforme el tiempo tiende a infinito, puede

obtenerse mediante:

)()1(lim)(lim 1

1zXzkTx

zk

1. Encuentre la Transformada Z de una

función escalón Unitario que está

retrasada dos y cuatro periodos de

muestreo respectivamente, como se muestra

Para dos periodos de muestreo Para cuatro periodos de muestreo

1(t-2T) 1(t-4T)

• SOLUCIÓN :

Para la señal escalón unitario

desplazada dos periodos de muestreo

se obtiene

Para la señal escalón unitario

desplazada cuatro periodos de

muestreo se obtiene

1

2

1

22

11

1)](1[)]2(1[

z

z

zztZzTtZ

1

4

1

44

11

1)](1[)]4(1[

z

z

zztZzTtZ

2. Obtenga la transformada Z de e-atsen(wt)

utilizando el teorema de traslación

compleja.

SOLUCIÓN:

Sabiendo

Entonces según el teorema, en la transformada Z de

la función solo se reemplaza z por zeaT obtenemos:

• La transformada Z inversa de X(z) da como

resultado la correspondiente secuencia de tiempo

x(kT).

Se debe observar que a partir de la transformada

inversa sólo se obtiene la secuencia de tiempo en

los instantes de muestreo. Por lo tanto, la

transformada z inversa de X(z) da como resultado

una única x (kT) , pero no una única x(t) , ya

que no dice nada de los valores de x(t) en los

instantes de tiempo no muestreados. Esto

significa que puede haber distintas funciones de

tiempo xi(t) con la misma x(kT).

Existen diferentes métodos para

calcular la transformada Z inversa.

Un método obvio es referirse a una

tabla de transformadas Z, pero es

laborioso (si se utiliza una tabla de

transformadas Z no muy extensa, es

necesario expresar una transformada Z complicada como una suma de

transformadas Z más sencillas).

Existen cuatro métodos para obtener

la transformada z inversa:

I. Método de la división directa. En este método la transformada z inversa se obtiene mediante la expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de z-1. Este método es útil cuando es difícil obtener una expresión en forma cerrada para la transformada Z inversa, o se desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k).

EJEMPLO: encuentre x(k) para k= 0, 1,

2 , 3, 4 cuando X(z) esta dado por:

SOLUCIÓN: X(z) se escribe como un

cociente de potencias de z-1

21 2.02.11 zz

...68.184.181710 4321 zzzz

...68.184.181710)( 4321 zzzzzX

Al comparar esta expresión con

en una serie infinita

se obtiene

0

)(k

kzkx

Luego se divide la expresión

II.Método computacional. En este

método, la transformada Z

inversa se obtiene utilizando

la función delta de Kronecker,

donde

EJEMPLO: considere una sistema G(z)

definido por:

SOLUCIÓN: Suponiendo que u(k), la

entrada al sistema G(z) es la

entrada Delta de Kronecker, la

transformada Z de la entrada delta

de Kronecker es U(z)=1.

Con el enfoque de la ecuación en

diferencias, se puede obtener,

despejando

Solo resta hallar los valores de la

ecuación en diferencias:

Tomando los valores de k=-2, -1,

0,1,2 … se obtienen los valores:

• Para k=-2

• Para k=-1

• Para k=0

00000)0(

)2(3393,0)1(4673,0)2(6607,0)1(5327,1)0(

x

uuxxx

4673,00)1(4673,000)1(

)1(3393,0)0(4673,0)1(6607,0)0(5327,1)1(

x

uuxxx

37693,0)1(3393,000)4673,0(5327,1)2(

)0(3393,0)1(4673,0)0(6607,0)1(5327,1)2(

x

uuxxx

Método computacional: enfoque en Matlab:

Delta de Kronecker: dk=[1 zeros(1,N)] %donde N es el número de términos mas uno, que se necesitan.

num=[0 0.4673 -0.3393]; %numerador

den=[1 -1.5327 0.6607]; %denominador

dk=[1 zeros(1,50)]; %delta para 51 valores

X=filter(num,den,dk) % entrega la secuencia de 51 valores

III.Método de expansión en fracciones parciales: Es idéntico al que se utiliza en la transformada de Laplace, y requiere que todos los términos de la expansión en fracciones parciales se puedan reconocer fácilmente en la tabla de pares de transformadas Z. Si X( z ) tiene uno o más ceros en el origen (z = 0), entonces X(z)/z ó X(z) se expande en la suma de términos sencillos de primer o segundo orden mediante la expansión en fracciones parciales, y se emplea una tabla de transformadas Z para encontrar la función del tiempo correspondiente para cada uno de los términos expandidos.

Teniendo en cuenta la fracción

𝐹 𝑧 =𝑁(𝑧)

𝐷(𝑧)=

𝑁(𝑧)

𝑧 + 𝑝1 𝑧 + 𝑝2 𝑧 + 𝑝3 … (𝑧 + 𝑝𝑖)

Donde p1, p2, p3…pi son las raíces del

polinomio

Estas raíces podrán ser: reales

simples, reales múltiples, complejas

simples, complejas múltiples.

A. RAICES REALES SIMPLES:

- La función F(z) se podrá

descomponer en la siguiente forma:


𝐷(𝑧)=

𝐴1

𝑧 + 𝑝1

+𝐴2

𝑧 + 𝑝2

+𝐴3

𝑧 + 𝑝3

…𝐴𝑖

𝑧 + 𝑝𝑖

𝐴𝑖 = (𝑧 + 𝑝𝑖)𝐹(𝑧) |(𝑧=−𝑝𝑖)

B. RAICES REALES MÚLTIPLES: para raíces reales múltiples

tenemos le siguiente fracción:


𝐷(𝑧)=

𝑁(𝑧)

𝑧 + 𝑝1 𝑧 + 𝑝2 𝑧 + 𝑝3 … 𝑧 + 𝑝𝑖 𝑟

=𝐴1

𝑧 + 𝑝1…

𝐴𝑛

𝑧 + 𝑝𝑛+

𝑎1

𝑧 + 𝑝𝑖+

𝑎2

𝑧 + 𝑝𝑖2

…𝑎𝑟

𝑧 + 𝑝𝑖 𝑟

Los coeficientes A1...An se calculan

según lo visto anteriormente y para

los coeficientes a1 …ar se calculan

de la siguiente manera:

𝑎𝑟 =𝑁 𝑧

𝐷 𝑧𝑧 + 𝑝𝑖 𝑟

𝑧=−𝑝𝑖 𝑎𝑟−1 =

𝑑

𝑑𝑧

𝑁 𝑧


𝑧=−𝑝𝑖

𝑎1 =1

𝑟 − 1 !

𝑑𝑟−1

𝑑𝑧𝑟−1

𝑁 𝑧


𝑧=−𝑝𝑖

C. RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS: Supongamos el

denominador de 2º orden cuyas raíces son: α +jwd

- Los pasos a dar son los siguientes:

a) Obtener fracciones con un denominador de segundo

grado (cuyas raíces son complejas conjugadas) y

un numerador de primer grado

b) Obtener los valores de A y B

c) Descomponer y trasformar la fracción en

transformadas Z cuya antitransformada esté en

las tablas.

01

2

2 azaza

BAz

NOTA: Un procedimiento de uso muy común para los casos

donde todos los polos sean diferentes y hay por lo

menos un cero en el origen, es dividir ambos miembros

de X(z) entre ‘z’ y entonces expandir X(z)/z en

fracciones parciales en lugar de X(z). Si X(z)/z

involucra un polo múltiple y no tiene mas polos,

también se puede expandir X(z)/z en fracciones

parciales.

POLO SIMPLE POLO MÚLTIPLE

1. Obtener la transformada Z inversa de:

SOLUCIÓN: Para la expansión en fracciones

parciales de X(z)/z

Cuya transformada

inversa es:

2. Obtener la transformada Z inversa

de:

SOLUCIÓN:

Continuando

De allí que

y

Se tiene que:

IV.Método de la integral de inversión: está

basado en la teoría de variable

compleja, siendo necesario también

revisar el teorema de los residuos. La

ecuación que da la transformada Z

inversa en términos de los residuos se

puede obtener como sigue:

Si el denominador de X(z)zk-1 contiene

polo simple en z=zi entonces el

residuo es:

Si el denominador de X(z)zk-1 contiene

polos múltiples de orden q en z=zi

entonces el residuo es:

NOTA: Si X(z) tiene un cero de orden r en el

origen, entonces X(z)zk-1 en la ecuación de x(kT)

involucrará un cero de orden r+k-1 en el origen.

Si r≥1 entonces r+k-1≥0 para k≥0 y no hay polo z=0 en X(z)zk-1. Sin embargo si r≤0 entonces

habrá un polo z=0 para uno o mas valores de

positivos de k. En tal caso la inversión se hace

por separado. Por consiguiente, este método es

sencillo cuando X(z)zk-1 no tiene polos en el

origen (z=0). Si los tiene el cálculo puede

tornarse tedioso y la técnica de fracciones

parciales podría ser la mas indicada.

1. Obtenga x(kT)empleando el método de

integral de inversión cuando X(z) esta

dada por

))(1(

)1()(

aT

aT

ezz

ezzX

))(1(

)1()( 1

aT

katk

ezz

zezzX

SOLUCIÓN:

Observe que

Para k=0, 1, 2 …, X(z)zk-1 tiene dos polos

simples en z=z1=1 y z=z2=e-aT. Por lo

tanto la ecuación de los residuos queda

21

2

1

Kx(k)

polo elen 1

1 residuo)(

K

zzezz

zekx

i

iaT

kaT

Continuando

Por lo tanto

para k=0, 1, 2, …

ekTeKKkTx 1)( 21

2. Obtenga la transformada inversa

de:

)()1()(

2

2

aTezz

zzX

)()1()(

2

11

aT

kk

ezz

zzzX

SOLUCIÓN: empleando el método de la

integral de inversión se obtiene.

Para k=0, 1, 2 …, X(z)zk-1 tiene un polo

simple en z=z1=e-aT y un polo doble en

z=z2=1. Por lo tanto la ecuación de los

residuos queda

21

2

12

1

Kx(k)

polo elen 1

residuo)(

K

zzezz

zkx

i

iaT

k

Continuando

Por lo tanto

3. Con el método de la integral de

inversión o de residuos obtenga la

transformada inversa de:

)2)(1(

10)(

zzzX

)2)(1(

10

)2)(1(

10)(

11

zzz

z

zz

zzzX

kkk

SOLUCIÓN: aplicando el concepto de

integral de inversión se obtiene,

Observe que X(z)zk-1 tiene u polo en

el origen (z=0), entonces dicho

ejercicio se desarrolla de la

siguiente manera

Continuando:

Para k=0 ,X(z)zk-1 tiene 3 polos simples z1=1,

z2=2 y z3=0

Para k=1,2,3…, X(z)zk-1 tiene 2 polos simples

z1=1 y z2=2

Se resuelve por separado.

Para k=0 los residuos son x(0)=K1+K2+K3

Residuo K1 para el polo simple z1=1



polo elen

21

10 residuo)0(

3

1

i

izzzzz

x

Por lo tanto

Para k≥1 se desarrolla

Donde:

21

2

1

1

Kx(k)

polo elen 21

10 residuo)(

K

zzzz

zkx

i

i

k

Por lo tanto

La solución total se halla sumando todos

los residuos y escribiéndola como una

única respuesta, de esta manera la

transformada inversa de X(z) es

Una forma alterna de escribir esta

respuesta es

Considere un sistema en el tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la siguiente ecuación en diferencias

Donde u(k) y x(k) son la entrada y salida respectivamente al sistema, de la k-ésima iteración. Definiendo la transformada como Z[x(k)]=X(z) entonces x(k+1), x(k+2), x(k+3),… y x(k-1), x(k-2), x(k-3),… se puede expresar en términos de X(z) y de las condiciones iniciales.

La transformada z se obtienen de la

siguiente tabla.


1. Resuelva la siguiente ecuación en diferencias

empleando el método de la transformada Z

SOLUCIÓN: utilizando la tabla se obtiene

Al tomar la Transformada z de ambos miembros de la

ecuación de diferencias se obtiene

0)(2)(3)(2 zXzzXzzXz

Al sustituir la condiciones

iniciales, simplificando y

despejando se obtiene

Si se observa que

Con lo cual:

para k≥0

kkkx )2()1()(

2. Obtenga la solución de la siguiente ecuación en

diferencias con condiciones iniciales de x(0)=1

y x(1)=0, donde a y b son constantes

SOLUCIÓN: la transformada z de la ecuación en

diferencias está dada por

despejando

Resolviendo esta ecuación, nos queda

A partir de esta ecuación se pueden

obtener dos casos para su solución,

cuando a ≠ b y a =b

Para el caso en donde a ≠ b se obtiene

De allí que

abzbaz

zbaz

)(

)(2

2

abzbaz

baz

z

zX

)(

)()(2

bz

B

az

A

bzaz

baz

z

zX

))((

)()(

Continuando con los valores de A y B

Remplazando

A partir de esta ecuación se puede obtener la

transformada inversa de las tablas y sus

propiedades.

para k≥0 y a≠b

ab

b

ba

baa

bzaz

bazazB

ba

a

ab

bab

bzaz

bazbzA

az

bz

)(

))((

)()(

)(

))((

)()(

11 1

1

1

1)(

11)(

azab

b

bzba

a

az

z

ab

b

bz

z

ba

azX

azab

b

bzba

a

z

zX

kk bba

aa

ab

bkx )()()(

Para el caso en donde a = b se obtiene

De allí que

Continuando con los valores de A1 y A2

22 )2(

)2()(

azaz

az

z

zX

2

21

2 )()(

)2()(

az

A

az

A

az

az

z

zX

12)(

)2()(

2)(

)2()(

2

2

1

2

2

2

az

az

az

az

azdz

d

az

azbz

dz

dA

aazaz

azbzA

reemplazando

Cuya solución

para k≥0 y a=b

1)()()( kk aakakx

21

1

12

2

)1(1

1

)()(

)(

1)(

az

az

azaz

az

az

zzX

az

a

azz

zX

• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.

• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto

• BIBLIOGRAFÍA WEB

• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición

• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering. Primera Edición.

• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición

• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición

• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.

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