CONTROL CLASICODEARROLLO DE LA UNIDAD IIALUMNOS: ISMAEL OSVALDO GOZALEZ DIAZJOSE ALBERTO LOZANO EUSEBIOPEDRO ANGEL LEON MEDELCRISTOPHER NAVA MANZANARES

2 MODELADO DE SISTEMAS DINMICOS.2.1 FUNCIN DE TRANSFERENCIA.2.1.1 SISTEMAS MECNICOS.2.1.1.1 DE TRANSLACIN.2.1.1.2 DE ROTACIN.2.1.2 SISTEMAS ELCTRICOS.2.1.3 REPRESENTACIN EN DIAGRAMAS DEBLOQUE A LAZO CERRADO.2.2 SISTEMAS ANLOGOS.2.2.1 ANALOGA FUERZA-TENSIN2.2.2 ANALOGA FUERZA CORRIENTE..2.3 ALGEBRA DE BLOQUES.2.3.1 REDUCCIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES.2.3 SISTEMAS ELCTRICOS Y MECNICOS.2.3.1 MOTORES DE CC CONTROLADOS POR EL INDUCIDO.2.3.2 MOTORES DE CC CONTROLADOS POR EL CAMPO.2.4 ESPACIO DE ESTADOS.RELACIN ENTRE FUNCIN DE TRANSFERENCIA Y ESPACIO DE ESTADOS.

UNIDAD 2 MODELADO DE SISTEMAS DINMICOS

Este tema est dedicado al modelado de sistemas dinmicos. Esto es, a la obtencin de un conjunto de ecuaciones matemticas que describen el comportamiento de un sistema fsico. No se estudia el modelado de todos los posibles sistemas fsicos; tampoco el modelado pretende ser exhaustivo. La exposicin se centra principalmente en el modelado de sistemas lineales, aunque en algn caso se considerarn modelos no lineales.

El modelado de un sistema dinmico consta de tres fases:

A partir de la utilidad que vaya a tener el modelo decdase qu seales son las de entrada o excitacin, las de respuesta o salida, qu variables son internas, y cules son los parmetros (constantes) a tener en cuenta. Pueden dibujarse inicialmente bloques (sin ecuaciones matemticas) que describen la interaccin de las variables.

Escribir las relaciones matemticas que relacionan las variables de entrada y salida de cada elemento del conjunto.

Aadir las ecuaciones que ligan unos elementos con otros. Obtener un modelo en espacio de estado o mediante funciones de transferencia del conjunto.

Este proceso se sigue muchas veces de forma inconsciente. Aquellos que estn acostumbrados a trabajar, por ejemplo, con circuitos elctricos pueden escribir directamente las ecuaciones del modelo. En las secciones siguientes se presentan modelos de diversos sistemas fsicos. La exposicin no abarca todos los modelos dinmicos; no se incluyen, por ejemplo, modelos de poblacin o modelos econmicos. Las ecuaciones que resultan del modelado de distintos sistemas tienen, a menudo, la misma forma, lo que hace posible el establecimiento de analogas. En este texto, sin embargo, no se har un tratamiento amplio de analogas.2.1FUNCINDE TRANSFERENCIA

Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario conocer la dinmica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el comportamiento de una variable respecto a otra. Para lograr lo anterior se requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniera involucradas. Es por ello que la ingeniera de control se considera un campo interdisciplinario.

Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de n-simo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de salida de la forma:

Dnde: a1y b1 son constantes, u(t) es la entrada y y(t) es la salida.

Usando la transformada de Laplace para convertir la ecuacin integro diferencial (1.1) en una ecuacin algebraica considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero llegamos a la siguiente expresin:

Relacionando la salida Y(s) con la entrada X(s) tenemos:

Esta ltima expresin es denominada la funcin de transferencia de sistema.La funcin de transferencia de un sistema lineal con coeficientes constantes invariantes en el tiempo esta definida como: "La relacin de la transformada deLaplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada, suponiendo condiciones iniciales cero". El hecho de trabajar con funciones de transferencia, simplifica en gran medida el manejo matemtico de los sistemas dado que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y las operaciones en el dominio de la frecuencia compleja s son multiplicaciones simples. Con ello la salida del bloque de la figura 1.6 es Y(s) = H(s)X(s).Una metodologa a seguir para la determinacin de la funcin de transferencia de un sistema es la siguiente:

1)Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes fsicas involucradas en el sistema.

2)Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integro diferenciales correspondientes a cada variable de inters.

3)Obtener la transformada de Laplace de cada ecuacin considerando condiciones iniciales cero.

4)Relacionar la variable de salida con las variables de entrada.

Dada la naturaleza multidisciplinaria de un sistema de control este puede estarConformada por subsistemas interconectados, donde cada uno de ellos contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por diferentes ramas de la ingeniera.

Es por esta razn que a continuacin se estudiarn los elementos as como las leyes de equilibrio de los sistemas ms comunes como son:

- Sistemas mecnicos.- Sistemas elctricos.- Sistemas de nivel de lquidos.- Sistemas trmicos.

2.1.1SISTEMAS MECNICOS

Los movimientos de los sistemas mecnicos se pueden describir como de traslacin o de rotacin o de una combinacin de ambos. Las ecuaciones que gobiernan los sistemas mecnicos estn formuladas por la ley de movimiento de Newton.

2.1.1.1DE TRANSLACIN

Son los movimientos que se caracterizan por el desplazamiento de un cuerpo a lo largo de una lnea recta. La ley de Newton sobre cuerpos rgidos dice que la suma algebraica de fuerzas es igual a la masa del cuerpo por el vector de aceleracin:

En la relacin causa-efecto del desplazamiento, los cuerpos sometidos a un conjunto de fuerzas, pueden ser modelados a travs de tres elementos base: masa, resorte o muelle y rozamiento o friccin. La masa es la propiedad de un elemento de almacenar energa cintica del movimiento de traslacin:

Muelle es un elemento que almacena energa potencial al ser sometido por una fuerza externa:

Siendo k la constante del muelle. En cuanto a la friccin o rozamiento, modelan la conversin de la potencia mecnica en flujo calorfico, fenmeno que aparece cuando se deslizan dos superficies que estn en contacto. Su expresin matemtica es no lineal. Existen tres tipos de modelos: friccin viscosa, friccin esttica y friccin de Coulomb. La primera es lineal y las otras dos siguientes no son lineales. En este curso, slo se emplear el rozamiento viscoso para simplificar la funcin de transferencia de estos sistemas.La friccin viscosa representa la relacin lineal entre la fuerza aplicada a un cuerpo con la velocidad de desplazamiento entre este cuerpo y otro que est en contacto con l. Se modela como un pistn que se mueve dentro de un cilindro. El pistn se desplaza dentro del cilindro a travs de una pelcula de aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre el pistn y la concavidad del cilindro; este efecto es debido a que el aceite puede fluir alrededor de la cmara del pistn. En este tipo de rozamiento, la transferencia de energa mecnica a calorfica es de carcter lineal. La expresin matemtica es:

Figura 4.6 a) muelle b) friccin

Donde B es el coeficiente de friccin viscosa. Desde el punto de vista del anlisis dimensional, las unidades en el sistema internacional de los elementos de modelado de los movimientos de traslacin estn relacionadas con las expresiones (4.4), (4. 5) y (4. 6):

Ejemplo 4.1

Obtener la relacin causa efecto entre la fuerza aplicada a un carro sujeto a la pared a travs de un muelle y el desplazamiento que se produce en ste. La masa del carro es M, el coeficiente del resorte es K y el rozamiento entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento B. Considere condiciones iniciales nulas.

La ecuacin diferencial que explica el desplazamiento del carro segn el eje X, en la misma direccin que la fuerza, es:

Aplicando transformadas de Laplace resulta la FDT pedida:

2.1.1.2DE ROTACIN

Los movimientos de rotacin se definen como extensin de la ley de Newton: La suma algebraica de momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleracin angular alrededor de un eje. Los elementos bases constitutivos son: el momento de inercia, el resorte tensional y la friccin viscosa.

Inercia, J, se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energa cintica del movimiento de rotacin:

Donde r es el radio del cilindro de masa M y a, w y q son la aceleracin, velocidad y desplazamiento angular respectivamente del cilindro.Resorte tensional, k, es el elemento que almacena energa potencial por desplazamiento de unidad angular:

Friccin viscosa, B, modela el rozamiento provocado por la velocidad angular entre el cilindro y la superficie de contacto:

En anlisis dimensional, las magnitudes fsicas de los elementos de modelado de los movimientos de rotacin en el sistema internacional son:

En la analoga con los sistemas elctricos, el par mecnico ser anlogo a la corriente elctrica y el desplazamiento angular con el potencial elctrico. Los pares mecnicos sern representados como fuentes de corriente y el desplazamiento angular como nodos del circuito elctrico.

2.1.2 SISTEMAS ELCTRICOS

Como se ver a continuacin, la relacin entre los elementos de los sistemas elctricos mostrados en la Figura 3.2-1 y los de la red generalizada es directa, lo que permitir aplicar posteriormente los teoremas y procedimientos de anlisis de las redes elctricas a las redes generalizadas.Los elementos que se emplearn sern el capacitor (que almacena energa en un campo elctrico), el inductor (que almacena energa en un campo magntico), la resistencia (que disipa energa) y el transformador.

Capacitor elctrico puro

Si se arreglan dos piezas de un material conductor de manera que ellas estn separadas por un material dielctrico (un material en el cual se puede establecer un campo elctrico sin permitir un flujo significante de carga a travs de l), se establece un campo elctrico entre los conductores cuando fluye una carga hacia un conductor saliendo del otro. Este campo elctrico da como resultado una diferencia de potencial entre los dos conductores, la cual depende de la cantidad de cargas localizada entre los conductores.

Los dispositivos fsicos que exhiben este tipo de relacin de carga y voltaje se dicen que tienencapacitancia.

Una capacitancia ideal tiene una carga proporcional a la diferencia de potencial

DondeCes lacapacitanciadel elemento en faradios (F = A s / V). La ecuacin elemental para un capacitor ideal es

Cuando se hace fluir una carga dentro de un capacitor se transfiere energa (Ee)al elemento, la cual est dada por:

Un capacitor almacena energa en su campo electrosttico, por lo tantoEese llama energa de campo elctrico. La energa almacenada en un capacitor ideal esInductor elctrico puro

Cuando la corriente fluye a travs de una estructura conductora, se establece un campo magntico en el espacio o material alrededor de la estructura. Si esta corriente cambia como una funcin del tiempo, la intensidad del campo magntico variar tambin con el tiempo. De acuerdo con la ley de Lenz, este campo cambiante inducir diferencias de potencial en la estructura conductora las cuales tendern a oponerse al cambio de la corriente- La caracterstica bsica por la cual un elemento elctrico resiste con una diferencia de potencial al razn de cambio del flujo de corriente a travs de l se llamainductancia. Se definir la cantidad de acople de flujo como:

Un inductor puro o ideal tiene un acople de flujo proporcional a la corriente

Donde lainductancia Lest medida en henrios (h = V s / A).La ecuacin elemental para un inductor ideal conLconstante es

Un inductor almacena energa en el campo magntico asociado con la corriente. La energa elctrica almacenada en un inductor puro se llama energa del campo magnticoEmy est dada por

Si el inductor es ideal, entonces

Resistor elctrico pura

Todos los materiales ordinarios exhiben resistencia al flujo de carga elctrica. Los materiales en los cuales esta resistencia es pequea, se llaman conductores y aquellos en que esta resistencia es alta se llaman aislantes. Al elemento que presenta esta resistencia al flujo de carga elctrica se le llamar simplementeresistor.Un resistor puro o ideal presenta una resistencia lineal, con la ecuacin elemental

La energa entregada al resistor es disipada y est dada por

Transformador elctrico ideal

En un transformador ideal la potencia entregada al arrollado primario es la misma que la que este entrega en el arrollado secundario, no hay prdidas internas, entonces:

La cual se puede escribir como

Dondeaser la razn de transformacin.En los sistemas elctricos lacorrientepor los elementos es la prevariable y ladiferencia de potenciala travs de ellos la transvariable.Los nombres de los elementos generalizados asociados con los elementos elctricos son los mismos. Un capacitor elctrico almacena energa en forma de campo elctrico debido a la transvariable (diferencia de potencial), un inductor elctrico almacena energa en forma de campo magntico en virtud de la pervariable (corriente) y un resistor elctrico disipa energa. Un transformador elctrico estar representado por un transformador generalizado con una relacin de transformacinaigual al cociente de las diferencia de potencial de entrada y de salida.

2.1.3REPRESENTACIN EN DIAGRAMAS DE BLOQUE A LAZO CERRADO

Un sistema de control de lazo cerrado es aqul donde la seal de salida tiene efecto sobre la accin de control. La figura 1.2 d un panorama general de un sistema de lazo cerrado donde se puede apreciar que la salida es medida y retroalimentada para establecer la diferencia entre en valor deseado y el valor obtenido a la salida, y en base a esta diferencia, adoptar acciones de control adecuadas.

En las figuras de la 1.3 y 1.5 se dan dos ejemplos para sistemas de control de lazo cerrado. En cada una de estas figuras se puede apreciar que la parte fundamental para el control de la planta en cuestin es la red de retroalimentacin que censa el estado de la salida. En estos ejemplos se ha pretendido establecer que la naturaleza de las seales en un lazo de control no necesariamente en la misma, esto es, pueden estar involucradas diferentes tipos de seales por ejemplo, mecnicas, elctricas, trmicas, hidrulicas, etc., dentro del mismo lazo.

2.2 SISTEMAS ANLOGOSSe denominan sistemas anlogos aquellos que tienen igual modelo matemtico pero son diferentes fsicamente. Las ventajas que tiene este proceder son dos bsicamente:

1.La solucin de la ecuacin que describe un sistema fsico puede ser resuelta por un sistema anlogo de otro campo. Por ejemplo, si se traslada un sistema mecnico a un smil elctrico equivalente, se podr aplicar todas las herramientas de la teora de los circuitos elctricos.

2.Facilidad en el trabajo experimental. Resulta ms econmico montar un circuito elctrico que un montaje mecnico y las medidas son ms asequible y hasta ms fiables.

Existen varias analogas entre los movimientos de traslacin y los circuitos elctricos. Se ha elegido una de ellas, la que resulta ms sencilla:

Ejemplo 4.2

El esquema de la figura muestra el comportamiento dinmico de una prensa hidrulica. Al dar presin al fluido,P, transmite una fuerza sobre el pistn que al desplazarse comprimir al cuerpo. Este efecto se modela por un muelle, cuya constante eskp. Adems, se considera despreciable la masa del cuerpo a comprimir respecto al de la prensa. No as la masa del pistn, al que se le asigna por la letraM. La dinmica del tablero, donde se apoya el cuerpo, es modelada por cuatro amortiguadores de constantek. Se pide:

a) Ecuaciones fsicas de los sistemasb) Linealizar el sistema cuando la presin del fluido sea nula, P=0.c) Diagrama a bloquesd) FDT entre la causa, variacin de la presin, y el efecto, grado de compresin del cuerpo

a)La fuerza dada por el fluido se suma a la de la propia gravedad de la masa del pistn. Ambas desplazarn el pistn hacia abajo, dando lugar a un rozamiento entre las paredes del mbolo y el pistn. Estas fuerzas comprimirn al cuerpo y el tablero se opondr a deformarse.

Para obtener el conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales de la prensa se emplea las analogas entre los sistemas mecnicos de traslacin y los sistemas elctricos, de cuya representacin se conseguir las ecuaciones del sistema:

El nivel de compresin del cuerpo es una variable dependiente entre el desplazamiento del pistn y del tablero, al que se le designar por z.

b) Se hace notar que la fuerza de la gravedad del cilindro produce un trmino constante que hace necesario la linealizacin de las ecuaciones diferenciales, para luego obtener la FDT. En el punto de equilibrio, esto es, sin presin, marcar las condiciones de reposo:

La dinmica del sistema es una funcin que depende de la presin, P, de la primera y segunda derivada del desplazamiento del cilindro respecto al tiempo, x, y dela compresin del cuerpo, z. Procediendo a linealizar a:

c) El diagrama a bloques entre la compresin del cuerpo (efecto) y su causa(Presin en el fluido), estar definida por las siguientes FDT:

d) Slo faltar aplicar la expresin de estructuras de realimentacin negativa y el encadenamiento en cascada, para obtener la FDT solicitada:

En la analoga del sistema mecnico al circuito elctrico, las fuerzas se convierten en fuentes de corriente y los desplazamientos mecnicos suponen los nodos de potencial.

2.2.1 ANALOGA FUERZA VOLTAJE

Considerando los sistemas mostrados en la figura 2.1 podemos determinar siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales.

Si expresamos la ecuacin (1.35) en trminos de la carga obtenemos:

Si comparamos (2.2) y (2.3) observamos que son sistemas anlogos, esto es, tienen una ecuacin diferencial idntica, y podemos establecer las relaciones resumidas en la tabla siguiente:

Analoga fuerza voltaje.

Otra analoga entre los sistemas mecnicos y elctricos es conocida como analoga masa inductancia, y las relaciones se pueden observar en la tabla.

Sistema elctricoSistema mecnico

TraslacionalRotacional

Voltaje ( V )Fuerza ( f )Par ( T )

Corriente ( i )Velocidad ( v )Velocidad angular (w)

Carga ( q )Desplazamiento ( x )Desplazamiento angular (q)

Inductancia ( L )Masa ( m )Momento de inercia ( J )

Resistencia ( R )Coeficiente de friccin viscosa traslacional ( B )Coeficiente de friccin viscosa rotacional ( B )

Recproco de la capacitancia (Elastancia S)Constante del resorte traslacional( k )Constante del resorte rotacional (k)

2.2.2 ANALOGA FUERZA CORRIENTE.

De manera similar podemos considerar los sistemas mostrados establecer la relacin existente entre las ecuaciones de fuerza de un sistema mecnico y un sistema elctrico. Las ecuaciones que describen el sistema para el circuito elctrico son:

Que expresa da en trminos del flujo magntico nos da:

Dado que el sistema mecnico ha sido considerado el mismo que para la analoga fuerza voltaje podemos comparar (1.36) y (1.38) para obtener obtenemos las relaciones dadas en la siguiente tabla que son denominadas analogas fuerza-corriente.Analoga fuerza corriente.La analoga fuerza corriente a veces es tambin llamada analoga masa capacitancia con las relaciones indicadas en la tabla.

Sistema elctricoSistema mecnico

TraslacionalRotacional

Corriente ( i )Fuerza ( f )Par ( T )

Voltaje ( V )Velocidad ( v )Velocidad angular (w)

Acoplamiento por flujo magntico (j)Desplazamiento ( x )Desplazamiento angular (q)

Capacitancia ( C )Masa ( m )Momento de inercia ( J )

Reciproco de la resistencia (Conductancia)Coeficiente de friccin viscosa traslacional ( B )Coeficiente de friccin viscosa rotacional ( B )

Reciproco de la inductancia (Invertancia)Constante del resorte traslacional (k)Constante del resorte rotacional (k)

2.3 LGEBRA DE BLOQUESlgebra de bloquesLos diagramas de bloques de sistemas de control complicados se pueden simplificar usando una serie de teoremas de transformacin, las cuales se obtienen fcilmente por deduccin del significado de los elementos.

1.3.1REDUCCIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES

El objetivo es la reduccin de un diagrama de bloques complejo a uno ms sencillo.

Ejemplo 1:

Para reducir el diagrama se pueden seguir los siguientes pasos:

1.- Numerar todos los puntos de suma y ramificacin:

2.- Reducir desde lo ms interno, por ejemplo entre 2 y 3, y entre 4 y 5:

3.- Llevar el diagrama a la forma cannica de un sistema de control retroalimentado:

4.- Simplificar finalmente el diagrama al de un sistema de lazo abierto.

2.3Sistemas elctricos y mecnicos

2.3.1Motores de CC controlados por el inducido

2.3.2Motores de CC controlados por el campo

2.4Espacio de estados. Relacin entre funcin de transferencia y espacio de estados

Eningeniera de control, unarepresentacin de espacios de estadoses un modelo matemtico de un sistema fsico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas porecuaciones diferencialesde primer orden que se combinan en una ecuacin diferencialmatricialde primer orden. Para prescindir del nmero de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas comovectoresy las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto ltimo slo puede hacerse cuando elsistema dinmicoes lineal e invariante en el tiempo). La representacin de espacios de estado (tambin conocida comoaproximacin en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con mltiples entradas y salidas. Conentradas ysalidas, tendramos que escribirveces latransformada de Laplacepara procesar toda la informacin del sistema. A diferencia de la aproximacin en el dominio de la frecuencia, el uso de la representacin de espacios de estado no est limitada a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero. Elespacio de estadose refiere al espacio dedimensiones cuyos ejes coordenados estn formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.

Sistemas lineales

Una forma general de representacin de espacios de estado de un sistema lineal conentradas,salidas yvariables de estado se escribe de la siguiente forma:

donde;;;,,,,.es llamadovector de estados,es llamadovector de salida,es llamadovector de entradas (o control),es lamatriz de estados,es lamatriz de entrada,es lamatriz de salida, yes lamatriz de transmisin directa. Por simplicidad,normalmente se toma como la matriz cero, p. ej.: se elige que el sistema no tenga transmisin. Ntese que en esta formulacin general se supone que todas las matrices son variantes en el tiempo, p. ej.: algunos o todos sus elementos pueden depender del tiempo. La variable temporalpuede ser una "continua" (p. ej.:) o una discreta (p. ej.:): en ste ltimo caso la variable temporal es generalmente indicada como. Dependiendo de las consideraciones tomadas, la representacin del modelo de espacios de estado puede tomar las siguientes formas:Tipo de sistemaModelo de espacio de estados

continuo e invariante en el tiempo

continuo y variante en el tiempo

Discreto e invariante en el tiempo

Discreto y variante en el tiempo

Transformada de Laplace decontinua e invariante en el tiempo

Transformada Z dediscreta e invariante en el tiempo

La estabilidad y la respuesta natural caracterstica de un sistema puede ser estudiado mediante los autovalores (o valores propios) de la matriz. La estabilidad de un modelo de espacio de estados invariante en el tiempo puede ser fcilmente determinado observando la funcin transferencia del sistema en forma factorizada. Tendra un forma parecida a la siguiente:

El denominador de la funcin transferencia es igual al polinomio caracterstico encontrado tomando el determinante de,.Las races de este polinomio (los autovalores) proporcionan los polos en la funcin transferencia del sistema. Dichos polos pueden ser utilizados para analizar si el sistema es asinttica o marginalmente estable. Otra alternativa para determinar la estabilidad, en la cual no involucra los clculos de los autovalores, es analizar la estabilidad de Liapunov del sistema. Los ceros encontrados en el numerador depuede usarse de manera similar para determinar si el sistema posee una fase mnima.El sistema podra ser estable con respecto a sus entradas y salidas an si es internamente inestable. Este podra ser el caso si polos inestables son cancelados por ceros.Controlabilidad

La condicin de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo. Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo escontrolablesi y slo si

Observabilidad

La observabilidad es la medida de cun correctamente los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observadlidad y la controlabilidad son matemticamente duales.Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo esobservablesi y slo si:

(el rango de una matriz es el numero de filas linealmente independientes.)Funcin de transferencia

La funcin de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:Tomando la transformada de Laplace de

tenemos que

Luego, agrupamos y despejamos, dando

esto es sustituido poren la ecuacin de salida, nos queda

Como la funcin de transferencia est definida como la tasa de salida sobre la entrada de un sistema, tomamos

y sustituimos las expresiones previas porcon respecto a, quedando

Claramentedebe tenerpordimensiones, as como un total deelementos. Entonces para cada entrada hayfunciones de transferencias con uno por cada salida. Esta es la razn por la cual la representacin de espacios de estados puede fcilmente ser la eleccin preferida para sistemas de mltiples entradas, mltiples salidas (MIMO, por sus siglas en ingls:Multiple-Input,Multiple-Output).Formas cannicasCualquier funcin transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un espacio de estados con la siguiente aproximacin:Dada una funcin transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador y en el denominador. Resultando en la siguiente forma:.Los coeficientes pueden ser ahora insertados directamente en el modelo de espacio de estados mediante la siguiente aproximacin:

.Esta realizacin del espacio de estado se denominaforma cannica controlableporque garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, dado que el control entra en una cadena de integradores, puede modificar todos y cada uno de los estados). Si un sistema no es controlable, entonces no es posible expresarlo en esta forma cannica.Los coeficientes de la funcin transferencia pueden ser usados tambin para construir otro tipo de forma cannica

.Esta disposicin se denominaforma cannica observabley, anlogamente al caso anterior, el modelo resultante es necesariamente observable (esto es, al proceder la salida de una cadena de integradores, su valor se ve afectado por todos y cada uno de los estados). Un sistema no observable no puede ponerse en esta forma.Funciones transferencia propiaLas funciones transferencia que son slo propias (y no estrictamente propias) pueden tambin transformadas a las formas cannicas. El artificio utilizado es el de separar la funcin transferencia en dos partes, una estrictamente propia y una constante.

La funcin transferencia estrictamente propia puede ser ahora transformada a las representaciones de espacio de estados cannicas utilizando las tcnicas mostradas anteriormente. La representacin de espacio de estados de la constante es trivial.

Juntando ambos trminos obtenemos las representaciones de espacio de estados con las matricesA,ByCdeterminadas por la parte estrictamente propia y la matrizDdeterminada por la constante.Aqu un ejemplo para aclarar:

lo que conduce a la siguiente representacin controlable

Ntese como la salida depende directamente de la entrada. Esto se debe a la constanteen la funcin transferencia.RealimentacinUn mtodo utilizado para realimentar es el de multiplicar la salida por una matrizKy colocar el resultado como la entrada del sistema:. Como los valores deKno estn restrigidos y pueden cambiarse de signo para larealimentacin negativa. La presencia de un signo negativo (la notacin comn) es nicamente con fines de notacin y su ausencia no afecta los resultados.

resulta en

resolviendo la ecuacin de salida paray sustituyendo en la ecuacin de estados resulta en

La ventaja de esto es que los valores propios deApueden ser controlados eligiendoKapropiadamente mediante la descomposicin en sus valores propios de. Esto asume que el sistema de lazo abierto es controlable o que los valores propios inestables deApueden estabilizarse mediante la eleccin apropiada deK.Ua simplificacin comn de este sistema es eliminarDy elegirCigual a la unidad, lo que reduce las ecuaciones a

Esto reduce la descomposicin de los valores propios a slo.