Unidad 1. Senales
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Comunicacin de datos Unidad 1. Seales
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica,
Ingeniera en Telemtica
5 cuatrimestre
Programa de la asignatura: Comunicacin de datos
Unidad 1. Seales
Clave 220920419 / 210920419
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico
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Comunicacin de datos Unidad 1. Seales
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 1
II. Desarrollo de contenidos por unidad
Unidad 1. Seales ............................................................................................................. 2
Presentacin de la unidad .............................................................................................. 2
Propsitos ...................................................................................................................... 2
Competencia especfica ................................................................................................. 3
1.1. Seales y su clasificacin ........................................................................................ 3
1.1.1. Conceptos bsicos de seales ............................................................................. 4
1.1.3. Seales peridicas y aperidicas ....................................................................... 10
1.3. Seales fundamentales de tiempo continuo y discreto .......................................... 17
1.3.1. Exponenciales reales y complejas .................................................................. 17
1.3.2. Senoidales ...................................................................................................... 18
1.3.3. Pulso Unitario ................................................................................................. 19
Actividad 2. Operaciones bsicas con seales ............................................................. 19
1.4. Sistemas continuos y discretos ............................................................................. 19
1.4.1. Propiedades de los sistemas: Linealidad, invariancia en el tiempo, causalidad y estabilidad externa .................................................................................................... 20
1.4.2. Sistemas lineales, invariantes en el tiempo y causales ................................... 21
Actividad 3. Propiedades de los sistemas .................................................................... 21
Autoevaluacin ............................................................................................................. 22
Evidencia de aprendizaje. La importancia de la seal en un sistema ........................... 22
Cierre de la unidad ....................................................................................................... 23
Fuentes de consulta ..................................................................................................... 24
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Unidad 1. Seales
Presentacin de la unidad
Esta unidad pretende darte los conceptos necesarios sobre: a) qu son las seales,
b) cmo se clasifican, c) qu se puede hacer con ellas y, d) que inclusin tienen en los
sistemas.
Vers que de acuerdo a su naturaleza puedes agrupar las seales por alguna propiedad o
caracterstica, tambin podrs darte cuenta de cmo influye el tiempo o
la magnitud en el comportamiento de la seal; de acuerdo a sus propiedades podrs
identificar qu tipo de seal es y qu operaciones o transformaciones puedes hacer con
ellas.
Y por ltimo te adentrars en el tema de sistemas, vers que el tipo de sistema va a
depender del tipo de seal con que se trabaje; adems, de cmo esto determinar el tipo
de salida del sistema.
Para realizar las prcticas vas a utilizar una herramienta matemtica que te ayudar a
graficar las seales realizar operaciones con las seales y sistemas.
En las actividades se hace referencia a que opciones de software vas a utilizar para tus
actividades. Usars un osciloscopio virtual para identificar y comparar seales, aunque
puedes hacerlo tambin usando alguna herramienta como Octave o Matlab si es que
cuentas con ellos, en caso contrario se sugerirn los sitios en donde podrs descargarlos.
Propsitos
En esta unidad aprenders sobre los
siguientes aspectos:
Identifica los tipos de seales.
Reconoce las propiedades de las
seales continuas y discretas.
Realiza operaciones y
transformaciones de seales.
Elabora ejemplos de operaciones con
seales.
Explica los sistemas fundamentales de
tiempo continuo y discreto.
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Competencia especfica
Manejar los tipos de seales para
determinar su participacin en los sistemas
electrnicos a partir del reconocimiento de
sus propiedades.
1.1. Seales y su clasificacin
Esta asignatura est relacionada con las reas de Fsica y Matemticas ya que aplicars
conocimientos que adquiriste al cursar materias de esas reas; nuestro tema central son
las seales, las cuales estn presentes en nuestra vida diaria como por ejemplo al
encender el radio, usar el celular, satlites, control de un automvil, realizar un
electrocardiograma, encefalograma, etc. De ah la importancia de su estudio.
A lo largo de la historia el ser humano ha estado siempre relacionado con las seales, por
ejemplo cuando se comunicaban por seales de humo o con la invencin del telgrafo,
etc. Hoy en da la aplicacin de las seales se hace ms tangible con el uso de radares,
velocmetro, termmetros, Internet, el celular, la televisin, entre otros.
La telemtica surge por una fusin de las telecomunicaciones y la informtica, nace de la
necesidad de manipular la informacin, almacenarla, enviarla, etc. Los franceses son los
pioneros en telemtica y han aportado elementos determinantes a la informtica ya que
gracias a ella facilita la transmisin de datos. El mejor ejemplo que podemos tener es que
t ests tomando esta materia en algn lugar determinado en el planeta sin necesidad de
ir a una clase presencial.
Para el estudio de esta asignatura te enfocars en el estudio de seales relacionadas a
los sistemas de comunicacin.
Es importante mencionar que necesitas retomar herramientas matemticas como el
clculo diferencial e integral, la graficacin de ecuaciones, inclusive conceptos como
nmeros enteros y reales para representar seales, para ver su comportamiento en un
sistema, obtener un resultado y saber interpretarlo.
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Para representar las seales y ver su comportamiento hars uso de la graficacin de
ecuaciones, y para obtener resultados e interpretarlos usars las herramientas de clculo
diferencial e integral. Es importante tambin que retomes tus apuntes de nmeros enteros,
reales, etc.
1.1.1. Conceptos bsicos de seales
Las seales tienen aplicacin en muchas reas como: aeronutica, medicina, biometra,
geomtica y podemos seguir enumerando, pero en especial nos interesan los sistemas de
comunicacin ya que es lo que nos atae para esta asignatura.
Existen muchas definiciones de Seal de acuerdo al campo de aplicacin; por ejemplo en
las matemticas Oppenheim, W., Mata H., Suarez F. (1998), dicen que:
Las seales se representan matemticamente como funciones con una o
ms variables independientes
Recuerda que las variables independientes pueden cambiar libremente su valor; por otro
lado, en la comunicacin de datos Soliman S. S., Srinath, (1999), establecieron que:
Las seales son magnitudes fsicas o variables detectables mediante las
que se pueden transmitir mensajes o informacin.
La ltima definicin est ms enfocada a nuestra asignatura, motivo por el cual es la que
se utilizar para una mayor comprensin.
Se pueden mencionar un sinfn de aplicaciones de una seal, al mostrar una imagen, al
indicar la temperatura ambiente, al utilizar un GPS, etc. Las seales siempre van a estar
formando parte de un sistema, dado que sin seal no hay sistema y sin sistema la seal
no tendra aplicacin.
Las seales tienen propiedades y de acuerdo a estas, las vamos a clasificar para ir
facilitando tu aprendizaje.
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Clasificacin
Las seales se clasifican en: Continuas Por su continuidad en dominio y recorrido Discretas Digitales Peridicas Por su periodicidad Aperidicas Par Por su simetra Impar Determinstica Por su aleatoriedad Aleatoria Energa
Por su energa o potencia Potencia
Como ves, en la tabla las seales se pueden clasificar de acuerdo a muchos criterios,
pero para el estudio de esta asignatura es necesario partir de la clasificacin por su
dominio y recorrido, es decir, se har referencia a seales continuas, discretas y digitales,
que es su clasificacin ms bsica.
Una seal continua puede tomar cualquier valor real en un intervalo continuo, tambin se
le conoce como seal anloga. La seal discreta toma un valor entero de un nmero finito
de valores. Y una seal digital es una seal discreta en tiempo y dominio.
Seales
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Caractersticas
Recuerda que las caractersticas de las seales pueden ser muy variadas de acuerdo a
sus propiedades.
A lo largo de esta unidad vas a manejar seales continuas y seales discretas.
Actividad 1. Identificando los tipos de seales.
Bienvenido a la primera actividad de la asignatura de Comunicacin de datos!
Esta actividad se divide en dos fases: en la primera, la finalidad es que te familiarices con
el uso del software sugerido. En la segunda fase, tu Facilitador(a) te propondr algunos
ejercicios que tendrs que resolver con el empleo del software y que tendrs que enviar
para su revisin.
Fase 1
Es importante mencionar que en esta primera fase vas a hacer uso de un osciloscopio,
con la intencin de que puedas identificar los diferentes tipos de seales. Para tal fin, se
proporcionan los siguientes vnculos para que selecciones el software al que puedas
adaptarte con ms facilidad. La recomendacin es que utilices con el que te identifiques
por su facilidad de manejo, adems de que no es necesaria su instalacin.
Osciloscopio
http://www.virtual-oscilloscope.com/oscilloscope/index_93_english.html (ingls). Este
vnculo adems cuenta con un tutorial que podrs encontrar en los descargables de la
asignatura. Para que se ejecute necesita del plugin de shockwave.
http://www.tina.com/Spanish/tina/student_version (espaol)
http://www.animatedscience.co.uk/virtual-oscilloscope (ingls)
Sofware Matemtico
Tambin se proporcionan los siguientes vnculos para que si lo prefieres selecciones el
software matemtico al que puedas adaptarte mejor. Una recomendacin especial es que
utilices OCtave.
Octave: http://www.gnu.org/software/octave/ (ingls)
http://sourceforge.net/projects/octave/files/Octave%20Windows%20binaries/Octav
e%203.2.4%20for%20Windows%20MinGW32%20Installer/Octave-3.2.4_i686-pc-
mingw32_gcc-4.4.0_setup.exe/download Sitio de descarga (ingls)
Scilab: www.scilab.org (ingls)
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Euler Math: http://euler.rene-grothmann.de/ (ingls)
http://www.geogebra.org/cms/es (espaol)
Tambin en esta primera fase tu facilitador te presentar una serie de vectores para ser y
representados mediante un generador de seales.
Guarda tu archivo con la siguiente nomenclatura COD_U1_A1XXYZ, sustituye las XX por
las iniciales de tu nombre.
*El archivo lo enviars hasta la Fase 2. Aprovecha est oportunidad para aclarar tus
dudas con tu Facilitador(a).
1.1.2. Seales continuas, discretas y digitales
Seal contina
Se dice que una seal es continua o suave cuando depende en todo momento del tiempo
(t). Por ejemplo el voltaje, la luz, etc.
Donde:
x representa la amplitud de la seal.
t indica que es en funcin del tiempo.
Periodo = el tiempo necesario para completar un ciclo (1/T).
Amplitud
Cresta negativa
Periodo
Cresta positiva
t(ms)
X(x)
0.5
1
-0.5
-1
1 2 3 4
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Ejemplo de seal contina
Puedes considerar la grfica de la funcin Seno, se utiliza al transmitir voz.
Consideremos
En donde se va a representar en el eje de las y a que en este caso es la variable
independiente, se va a representar en el eje de las x.
Para tal ejemplo vas a hacer una tabla de valores.
y = sen x
Sen x 0 1 0 -1 0
Grados 0 90 180 270 360
Como puedes ver en la grafica anterior, para cualquier punto de x existe un valor en
funcin del tiempo.
Seal discreta
Una seal se considera discreta cuando depende de una secuencia de nmeros (n), en
los puntos que no tenga valor se considera que no est bien definida. Esta seal va a
-1
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aceptar valores enteros nicamente, a diferencia de la seal continua que acepta valores
reales.
Donde:
x representa la amplitud de la seal
n representa los valores que puede tomar
Por ejemplo tenemos la grafica de las ventas de los ejecutivos de un centro comercial.
n
f(n)
350
400
300
250
200
150
100
50
0
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Seal Digital
Y las seales digitales son discretas tanto en dominio como en tiempo, se obtienen a
partir de la cuantificacin de seales discretas.
1.1.3. Seales peridicas y aperidicas
Una seal peridica es una seal continua que para todo valor de x(t) existe un valor T
positivo.
El ejemplo prctico ms familiar son las seales sinusoidales reales.
Y una seal discreta es peridica si para todo tal que
Donde
Ejemplo:
[ ]
11
-1 1 2 3 4 5 6 7 0 n
x(n)
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Cuando la seal no cumple con lo anterior se dice que es aperidica.
Actividad 1. Identificando los tipos de seales
Fase 2
Realiza las combinaciones que te dar tu Facilitador(a). En el documento de texto de tu
preferencia. De acuerdo a las siguientes indicaciones:
1. Con base a tus combinaciones elabora las comparaciones y digita tus
resultados.
2. Captura en pantalla cada uno de los resultados obtenidos de la seal generada.
3. Gurdalos y en un solo archivo envalos a la Base de datos, denominada
Identificando los tipos de seal, para su revisin.
1.2. Operaciones y transformaciones de seales
Una vez que has identificado los tipos de seales que existen y como se clasifican, ahora
veras que operaciones se pueden realizar con las seales.
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Transformaciones
Existen ocasiones en las que hay que convertir las seales obtenidas a una forma ms
adecuada para ser utilizada, para esto existen varios mtodos de transformacin de
seales, las cuales se enuncian a continuacin:
Reflexin en tiempo (o inversin)
Corrimiento en tiempo (Desplazamiento)
Escalamiento en tiempo
1.2.1. Operaciones con seales continuas
Suma
La suma de dos seales siempre debe realizarse punto por punto, es decir para cada
valor de t se deben sumar los valores de las seales, respetando el signo que tiene
cada una. En el caso particular de que una de las seales sea constante, el resultado se
obtendr de desplazar verticalmente a la otra seal tantas unidades como diga la
constante, respetando su signo. A la seal resultante se la llama seal con offset o con
componente de continua.
La suma de dos seales y es una seal que tendr un valor en cualquier punto de la suma de las seales sumadas, es decir.
=
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Producto
El producto de dos seales se va a definir en cada instante de tiempo.
=
Diferenciacin
La derivada de una seal contina si sta existe para todo t.
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Integracin
La integral de una seal continua
cuyo valor en todo instante t es el rea acumulada bajo la curva de
.
1.2.2. Operaciones con seales discretas
Suma
La suma de dos seales y es una seal que tendr un valor en cualquier punto de la suma de las seales sumadas, es decir:
Producto
El producto de dos seales se va a definir en cada instante de tiempo.
=
Sumatoria y diferencia (hacia atrs y/o hacia adelante).
Es el equivalente a la diferenciacin e integracin de seales continuas.
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La diferencia hacia adelante de una seal discreta x[ n], representada por x[ n], es la
seal discreta cuyo valor en el instante n es:
[ ] [ ] [ ]
La diferencia hacia atrs de una seal discreta x[ n], representada por x[ n], es la seal
discreta cuyo valor en el instante n es:
[ ] [ ] [ ]
1.2.3. Transformaciones
Reflexin
Refleja la seal sobre el eje vertical, es decir invertirla respecto al tiempo. Por ejemplo si
mi seal era positiva al reflejarla ser negativa.
Desplazamiento
Si el desplazamiento es del mismo signo que la variable significa un adelanto de lo
contrario sera un retardo.
F(-t)
t t
F(t)
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Escaln temporal
La variable independiente se escala por una constante c , si el valor de la constante
es mayor a 1 la amplitud disminuye y si es menor a 1 la amplitud aumenta; por lo que
podemos tener una seal contrada o expandida como en el siguiente ejemplo.
1.3. Seales fundamentales de tiempo continuo y discreto
Hasta este punto has visto qu son las seales, cmo se clasifican, as como las
operaciones o transformaciones que puedes realizar de acuerdo al tipo de seal. Ahora
vas a reconocer las seales ms comunes que podemos encontrar en el estudio de
seales continuas y discretas. Se recomienda el software matemtico que hemos
utilizado hasta ahora.
1.3.1. Exponenciales reales y complejas
La seal exponencial compleja es de la forma:
Donde:
C y a son nmeros complejos, y dependiendo de estos valores la exponencial compleja
puede tomar varios valores.
n -7 -6 -5
-4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
X(n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n -7 -6 -5 -3
-4 -2 -1
X(2n)
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Y la seal exponencial real puede ser positiva o negativa y de acuerdo a esto va a crecer
o decrecer respecto al tiempo.
1.3.2. Senoidales
Las seales senoidales son de las ms utilizadas para representar la corriente alterna,
esta seal opera en ciclos.
Propiedades:
a) Es peridica nicamente si su frecuencia F es un nmero racional:
b) Cuyas seales estn separadas por un nmero entero de veces 2son seales
idnticas.
c) El nmero mximo de oscilaciones en una seal senoidal discreta se produce
cuando:
Generalmente se utilizan para representar voltajes, tensin, corriente, ya que se puede
identificar el periodo o ciclo completo de una seal.
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1.3.3. Pulso Unitario
Tambin se le conoce como impulso unitario Delta-Dirac, se define mediante una regla de
asignacin en vez de una ecuacin. Se define entonces mediante una integral.
Actividad 2. Operaciones bsicas con seales
En esta actividad debers resolver los ejercicios planteados de acuerdo a las
operaciones y transformaciones con respecto a las seales, que te dar tu Facilitador(a),
para esto:
1. Elabora un documento con el software de tu preferencia.
2. Realiza las operaciones y transformaciones que se te piden.
3. Guarda tu archivo con la siguiente nomenclatura COD_U1_A2_XXYZ y envalo
para su revisin.
1.4. Sistemas continuos y discretos
Un sistema continuo es cualquier transformacin realizada sobre una seal, es decir
Su representacin es mediante una ecuacin diferencial, se relaciona la entrada y
salida mediante parmetros y variables independientes (tiempo).
De acuerdo a la interaccin del sistema puede ser lineal o no lineal; variante en el tiempo
o invariante; causal u no causal; estable o no estable.
Un sistema discreto va a transformar seales de entrada discreta a seales de salida
discretas.
SISTEMA
SISTEMA
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1.4.1. Propiedades de los sistemas: Linealidad, invariancia en el
tiempo, causalidad y estabilidad externa
Linealidad
Cuando un sistema es lineal, podemos aplicar el principio de superposicin, que
establece: que la respuesta del sistema a una suma de seales de entrada es la suma de
las respuestas del sistema a cada seal por separado. Es decir la magnitud de la salida
debe ser igual que la de entrada. Si mi entrada fue 2x mi salida ser 2y.
Un sistema es lineal si
Para cualesquiera seales , y para cualesquiera constantes .
)
Invariancia en el tiempo
Un sistema es invariante en el tiempo, si un desplazamiento de la seal de entrada
produce el mismo desplazamiento en la seal de salida.
Esta propiedad se cumple si el comportamiento y caractersticas del sistema estn fijos en
el tiempo.
Ejemplo: sea
Sean dos entradas desplazadas en el tiempo.
Es decir, que el sistema es invariante en el tiempo.
SISTEMA
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Causalidad
Un sistema es causal si su salida en cualquier instante de tiempo depende slo de los
valores de entrada en ese momento, mas no en el presente y pasado. Tambin se le dice
sistema no anticipado dado que la salida no anticipa el valor de respuesta.
= =3 2( ) Es causal
[ ] [ ] [ ] [ ] No es causal
Estabilidad externa
Se considera que un sistema es estable cuando las entradas pequeas conducen a
respuestas que no divergen. Lo que significa que si la entrada es pequea la salida
tambin debe ser.
El sistema descrito por [ ] [ ] con [ ] [ ];
Por tanto = = = +1
Es un sistema inestable.
Es decir, [ ] [ ] [ ] y [ ] crece sin limite.
1.4.2. Sistemas lineales, invariantes en el tiempo y causales
En lo que se refiere al anlisis de seales y sistemas, dos propiedades fundamentales son
las de linealidad e invarianza con el tiempo, por lo que vamos a enfocarnos a los sistemas
lineales invariantes en el tiempo.
Existen 2 mtodos por los que podemos analizar la respuesta de un sistema lineal. Un
mtodo est basado en ecuaciones y el segundo se ocupa de descomponer la seal en
seales elementales de entrada.
Actividad 3. Propiedades de los sistemas
A travs de los problemas planteados por tu Facilitador(a) y de acuerdo a los
requerimientos que te haga saber identifica las propiedades que te pide.
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1. Elabora un documento en el software de tu fcil manejo y eleccin.
2. Realiza las operaciones y transformaciones que se te piden.
3. Guarda tu archivo con la siguiente nomenclatura COD_U1_A3_XXYZ y envalo
para su revisin.
Autoevaluacin
Una manera de comprobar tus avances sin que necesariamente intervenga alguna figura
externa que verifique tu aprendizaje, es mediante las actividades de autoevaluacin.
Realizar la Autoevaluacin te permitir dar claridad a los contenidos que has estudiado o
bien, que t mismo te des cuenta de la necesidad de tener que repasarlos.
Inicia la actividad de Autoevaluacin ubicada dentro del aula.
Evidencia de aprendizaje. La importancia de la seal en un sistema
Una vez concluido el estudio de los temas y subtemas de la Unidad 1 y de acuerdo al
planteamiento que har llegar tu Facilitador(a) en un documento de texto resuelve lo que
se te pide.
1. Lee el caso con atencin.
2. Resuelve los ejercicios planteados.
3. Anota el desarrollo en los casos que as lo requieran, as como su respuesta en
el documento.
4. Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser
evaluado tu trabajo.
5. Cuando concluyas tu evidencia guarda tu archivo usando la nomenclatura
COD_U1_EA_XXYZ.
6. Enva tu archivo para su revisin, a tu Facilitador(a)
*Recuerda que puedes volver a enviar tu evidencia con ajustes a partir de las
observaciones de tu Facilitador(a).
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Autorreflexin
Los procesos de autorreflexin son importantes en tu proceso de aprendizaje. Por lo
anterior al trmino de todas tus actividades y de cada Evidencia de aprendizaje, ingresa
al foro para responder a la(s) pregunta(s) que te har tu Facilitador(a).
Para saber ms
Para complementar lo visto en cuanto a seales, puedes consultar el siguiente vnculo: Seales. Clasificacin y propiedades de las seales. Tutorial de Richard Baraniuk. Extrado de: http://cnx.org/content/col10381/latest, este contenido ha sido recopilado por el equipo de Wikilearning: http://www.wikilearning.com/tutorial/senales-clasificacion_y_propiedades_de_las_senales/20467-1
Software matemtico, sugerido para su uso durante el desarrollo de la asignatura:
Octave: http://www.gnu.org/software/octave/ (ingls)
http://sourceforge.net/projects/octave/files/Octave%20Windows%20binaries/Octav
e%203.2.4%20for%20Windows%20MinGW32%20Installer/Octave-3.2.4_i686-pc-
mingw32_gcc-4.4.0_setup.exe/download Sitio de descarga (ingls)
Scilab: www.scilab.org (ingls)
Euler Math: http://euler.rene-grothmann.de/ (ingls)
http://www.geogebra.org/cms/es (espaol)
Para el uso del osciloscopio se recomiendan los siguientes vnculos que permitirn su
empleo de manera virtual.
http://www.virtual-oscilloscope.com/oscilloscope/index_93_english.html (ingls)
http://www.tina.com/Spanish/tina/student_version (espaol)
http://www.animatedscience.co.uk/virtual-oscilloscope (ingls)
En la seccin de material descargable, podrs encontrar un documento introductorio al
manejo del osciloscopio, el cual podr servirte de apoyo para representar las seales y
que corresponde al osciloscopio que se ha sugerido en primer lugar y que tambin podrs
aplicar para la mayora de los osciloscopios.
Cierre de la unidad
El estudio de esta unidad te acerc a los conceptos bsicos de seales, su clasificacin,
operaciones y tambin a los sistemas. El contenido de esta unidad es esencial para el
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desarrollo de los Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLI) y las transformadas de
Laplace, dado que ha de retomar lo visto en esta unidad para aplicarlo en los siguientes
temas.
En esta unidad viste que las seales son parte importante de los sistemas, tambin que
las seales pueden tomar diferentes definiciones de acuerdo al rea que las est
tratando, que se puede clasificar de acuerdo a sus propiedades, qu tipo de operaciones
puedes hacer con las seales segn su clasificacin y propiedades. Tambin viste cmo
es que segn el tipo de seal utilizada en un sistema, es el tipo de salida que se va a
mostrar y por consiguiente el tipo de sistema que va a ser; adems, de las variantes que
pueden surgir de acuerdo a sus propiedades.
Fuentes de consulta
Bsicas
Haykin, S, Van Veen, B. (2001). Seales y Sistemas. Mxico: Limusa.
Linder, D.K. (2002). Introduccin a las seales y los sistemas. Caracas: McGraw
Hill.
Mata, G.H. et. al. (2002). Anlisis de Sistemas y Seales con computo avanzado.
Distrito Federal: Facultad de Ingeniera UNAM.
Oppenheim, W., Mata H., Suarez F. (1998). Seales y Sistemas. (2 edicin)
Mexico, D.F.: Prentice Hall Hispanoamericana.
Complementarias
Soliman, S. S., Srinath D. (1999). Seales y Sistemas Continuos y Discretos, (2da.
Edicin) Madrid: Prentice Hall Iberia S.R.L.
Richard Baraniuk. (2008). Seales y sistemas. Rice: University Houston Texas
Connexions.
John Wiley & Sons, Inc. (1998). Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Mxico:
Prentice Hall Iberoamrica.