Actividades para el estudiante

TALLER

A. En los ejercicios siguientes, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado

al girar la región alrededor del eje x.

1. 2.

3. 4.

B.- En los ejercicios siguientes formular la integral que da el volumen del sólido generado al girar la

región alrededor del eje y

5. 6.

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C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por

las graficas de las ecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas.

7.

a) el eje x b) el eje y

c) la recta x=4 d) la recta x=6

8.

a) el eje y b) el eje x

c) la recta y=8 d) la recta x=2

9.

a) el eje x b) la recta y=6

10.

a) el eje x b) la recta y=3

11. Si la porción de la recta , que queda en el primer cuadrante se gira alrededor del eje x,

se genera un cono. Encontrar el volumen del cono que se extiende de x=0 a x=6.

12. Usar el método de discos para verificar que el volumen de un cono circular recto es ,

donde r es el radio de la base y h es la altura.

TAREA

A. En los ejercicios siguientes, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado

al girar la región alrededor del eje x.

1. 2.

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B.- En los ejercicios siguientes formular la integral que da el volumen del sólido generado al girar la

región alrededor del eje y

3. 4.

C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por

las graficas de las ecuaciones al girar alrededor de la recta y=4.

5. 6.

7. 8.

9. Usar el método de discos para verificar el volumen de una esfera

10. Una esfera de radio r es cortada por un plano situado h (h<r) unidades sobre el ecuador.

Encontrar el volumen del sólido (el segmento esférico) sobre el plano.

11. Un cono de altura H con base de radio r es cortado en un plano paralelo a la base y situado h

unidades sobre ella. Encontrar el volumen del sólido (el tronco de un cono) que queda debajo del

plano.

1.7.3 Calculo de Volumen por el método de las capas

En esta sección se estudiará un método alternativo para encontrar el volumen de un sólido de

revolución. El método se denomina método de las capasporque usa capas cilíndricas. Más

adelante, en esta sección, se hará una comparación de las ventajas de los métodos de los discos y

de las capas.

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Para iniciar consideremos un rectángulo representativo como se muestra en la figura 1.7.12, donde

w es la anchura del rectángulo, h es la altura y p es la distancia entre el eje de revolución y el

centro del rectángulo.

Cuando este rectángulo gira alrededor de su

eje de revolución, forma una capa cilíndrica (o

tubo) de espesor w. Para encontrar el volumen

de esta capa, considerar dos cilindros. El radio

del cilindro más grande corresponde al radio

exterior de la capa y el radio del cilindro más

pequeño corresponde el radio interno de la

capa. Porque p es el radio medio de la capa, se

sabe que el radio exterior es p+(w/2) y el radio

interno es p - (w/2).

Figura 1.7.12

Radio externo y Radio interno

Así que el volumen de la capa es:

Volumen de la capa = (volumen del cilindro) - (volumen de hueco)

Esta fórmula se puede utilizar para calcular el volumen de un sólido de revolución.

Asumir que la región plana en la figura 1.7.13, gira alrededor de una recta para formar el sólido indicado.

Figura 1.7.13

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Si se considera un rectángulo horizontal de anchura , entonces, cuando la región plana gira

alrededor de la recta paralela al eje x, el rectángulo genera una capa representativa cuyo volumen

es:

Se puede aproximar el volumen del sólido por n capas de espesor , de altura h(y) y radio medio

p(yi).

Volumen del sólido

Esta aproximación mejora al hacer . Así, el volumen del sólido es:

Volumen del sólido =

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de las capas, usar alguna de

las formulas siguientes, como se muestra en la figura 1.7.14.

Eje de revolución horizontal Eje de revolución vertical

Volumen = V Volumen = V

Eje de revolución horizontal Eje de revolución vertical

Figura 1.7.14

Ejemplo 1. Uso del método de capas para encontrar un volumen.

Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por:

y el eje x (0x1) alrededor del eje y.

Solución. Porque el eje de revolución es vertical, usar un rectángulo representativo vertical, como

se muestra en la figura 1.7.15. La anchura indica que x es la variable de integración. La

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distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es y la altura del rectángulo es:

V =

V = simplificando

V = integrando

V =

V =

Figura 1.7.15

Ejemplo 2.

Encontrar el volumen del sólido de revolución al girar la región acotada por la grafica de y

el eje y (0y1) alrededor de eje x.

Solución. Debido a que el eje de revolución es horizontal, usar un rectángulo representativo

horizontal, como se muestra en la figura 1.7.16. La anchura indica que y es la variable de

integración. La distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es . La distancia y

va de 0 a 1, por lo tanto el volumen es:

V= =

=

V =

V

Figura 1.7.16

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