Unidad 1 introducción a la modelación de sistemas (1)
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UNIDAD 1 Introduccioacuten a la Modelacioacuten de Sistemas
11 Conceptos preliminares
111 Sistemas Concepto de Sistema Se define sistema como un conjunto de partes operativamente
interrelacionadas del que interesa considerar fundamentalmente su comportamiento global
Sistema Dinaacutemico Un sistema puede ser considerado como un proceso que responde ante unas entradas para producir unas salidas
Existen unos liacutemites que separan el sistema del medio ambiente en el que estaacute incluido Los liacutemites del sistema deben escogerse de tal manera que se incluyan en su interior aqueacutellos elementos necesarios para generar el comportamiento que muestra el sistema
La seleccioacuten de elementos pasa por estimar cuales son los que interactuacutean para producir el comportamiento a investigar (elementos interiores) excluyendo los que son irrelevantes (elementos
exteriores)
Existe una regla para determinar el liacutemite de un sistema que dice que las relaciones causa-efecto entre el medio y el sistema son unidireccionales mientras que los elementos en el interior del
sistema estaacuten relacionados por medio de bucles de realimentacioacuten que determinan una fuerte interaccioacuten entre ellos
El comportamiento de intereacutes del sistema se genera en el interior de los liacutemites y no viene determinado por el exterior
Utilizando el concepto de liacutemite se puede hacer una clasificacioacuten de los elementos que forman un sistema en
elementos exoacutegenos susceptibles de ser modificados desde el exterior elementos endoacutegenos cuyo comportamiento viene determinado por la estructura del sistema
112 Sentildeales
Las sentildeales son el medio a traveacutes del cual el sistema interactuacutea con su entorno En la figura 11 se
visualiza esta interaccioacuten El sistema estaacute representado por un rectaacutengulo lo que da a entender que
tiene sus fronteras definidas en forma precisa este sistema recibe del entorno unas Sentildeales de
Entrada representadas por flechas y entrega a su entorno unas Sentildeales de Salida tambieacuten
representadas por flechas
En las aplicaciones tiacutepicas de ingenieriacutea las sentildeales de entrada y salida son variables (fiacutesicas o
abstractas) que cambian en el tiempo como por ejemplo fuerzas velocidades temperaturas etc
Cuando un sistema recibe una uacutenica sentildeal de entrada y produce una uacutenica sentildeal de salida se dice
que es un sistema SISO (del ingleacutes Single Input Single Output) mientras que si recibe varias
entradas y produce varias salidas se dice que es un sistema MIMO (del ingleacutes Multiple Input Multiple
Output) Tambieacuten existen las denominaciones MISO para sistemas de varias entradas y una soacutela
salida y SIMO para el caso con una entrada y varias salidas eacuteste uacutelimo poco frecuente
SENtildeALES DETERMINIacuteSTICAS
Son aquellas que sus valores son conocidos de antemano o pueden ser predichos exactamente es decir su evolucioacuten es perfectamente predecible por un modelo matemaacutetico o dicho de otra manera los proacuteximos valores de una sentildeal pueden ser determinados si son conocidos Todas las condiciones anteriores de la sentildeal y por lo tanto esta puede ser representada completamente por las ecuaciones que la definen Estas sentildeales pueden subdividirse en perioacutedicas o aperioacutedicas
SENtildeALES PERIOacuteDICAS
Se dice que una sentildeal es perioacutedica si cumple con la siguiente condicioacuten x(n) = x(n + N) para toda n en donde N es el periodo de una sentildeal discreta y su valor maacutes pequentildeo seraacute el periacuteodo fundamental Asiacute mismo su frecuencia f deberaacute ser un nuacutemero racional SENOIDALES- Son aquellas sentildeales definidas por la funcioacuten x(n) = sen wn ARMOacuteNICAS- Son aquellas sentildeales perioacutedicas no SENOIDALES en la que pueden ser descompuestas en una serie de componentes de diferentes amplitudes y frecuencias con la particularidad de que que sus frecuencias son muacuteltiplos enteros de la frecuencia original para lo cual a la primera frecuencia se le denomina primera armoacutenica o fundamental mientras que a las siguientes se le denominan 2a- 3a- etc armoacutenicas PSEUDOALEATORIAS-
SENtildeALES APERIOacuteDICAS
Cualquier sentildeal determinantica que no sea perioacutedica seraacute aperioacutedica
SENtildeALES ALEATORIAS
Son aquellas sentildeales en las que existe incertidumbre acerca de los valores que puede tomar en los siguientes instantes y pueden ser descritas solamente desde un punto de vista estadiacutestico Las sentildeales aleatorias son maacutes difiacuteciles de manejar que las determinanticas Una realizacioacuten de un proceso aleatorio difiere de las otras en su descripcioacuten temporal pero sin embargo poseen las mismas propiedades estadiacutesticas Las sentildeales aleatorias se caracterizan por sus propiedades estadiacutesticas y espectrales Estas sentildeales pueden subdividirse en Estacionarias y No Estacionarias
SENtildeALES ESTACIONARIAS-
Las sentildeales estacionarias son constantes en sus paraacutemetros estadiacutesticos sobre tiempo Si uno observa una sentildeal estacionaria durante unos momentos y despueacutes de una hora se vuelve a observar esencialmente se veriacutea igual y su distribucioacuten de amplitud y su desviacioacuten estaacutendar seriacutean casi lo mismo
SENtildeALES NO ESTACIONARIAS
Estas no son estacionarias y se dividen en continuas y transitorias
SENtildeALES CONTINUAS
Sentildeales
SENtildeALES TRANSITORIAS
Sentildeales que empiezan y terminan al nivel cero y duran una cantidad de tiempo finito pueden ser breves o bastantes largos
113 Modelos
Todo el mundo emplea instintivamente modelos cuando toma decisiones sobre determinados
aspectos de la realidad -En el proceso de toma de decisioacuten se elige una entre varias acciones posibles teniendo en cuenta el efecto que cada accioacuten vaya a producir
-La relacioacuten que liga las posibles acciones con sus efectos es el modelo del sistema Por lo tanto en el proceso de toma de decisiones se estaacute empleando un modelo del sistema
La relacioacuten que liga las acciones Ui(entradas) con los efectos Yj(salidas) seguacuten Y = R(U)constituye la representacioacuten formal de un modelo
Clases de modelos 1 Modelo Mental
Basado en el conocimiento que se tiene sobre un aspecto de la realidad adquirido a traveacutes de la experiencia e intuicioacuten del cual se extraen aquellas caracteriacutesticas esenciales para representar el aspecto considerado
2 Modelo Formal Basado en las hipoacutetesis empleadas en los modelos mentales estableciendo a partir de ellas las relaciones formales que definen el comportamiento del aspecto de la realidad en cuestioacuten Utiliza la
capacidad del computador que aunque no es capaz de establecer las relaciones por si mismo si estaacute capacitado para desarrollar las consecuencias dinaacutemicas de las interacciones del sistema que
representa el modelo Esto es algo que les estaacute negado a los modelos mentales ya que se tiende a pensar en teacuterminos de relaciones causa-efecto unidireccionales olvidando las estructuras de realimentacioacuten que
ciertamente existen
Un modelo formal (o matemaacutetico) es maacutes expliacutecito que un modelo mental Su implementacioacuten en el computador produce el modelo computarizado
114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus
causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento
histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico
4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia
6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema
I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles
No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema
II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos
elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos
Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten
2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten
La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto
fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver
bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema
Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de
un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo
bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)
La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia
bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo
-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo
El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas
bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras
de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad
115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos
En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas
ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14
Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno
puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
112 Sentildeales
Las sentildeales son el medio a traveacutes del cual el sistema interactuacutea con su entorno En la figura 11 se
visualiza esta interaccioacuten El sistema estaacute representado por un rectaacutengulo lo que da a entender que
tiene sus fronteras definidas en forma precisa este sistema recibe del entorno unas Sentildeales de
Entrada representadas por flechas y entrega a su entorno unas Sentildeales de Salida tambieacuten
representadas por flechas
En las aplicaciones tiacutepicas de ingenieriacutea las sentildeales de entrada y salida son variables (fiacutesicas o
abstractas) que cambian en el tiempo como por ejemplo fuerzas velocidades temperaturas etc
Cuando un sistema recibe una uacutenica sentildeal de entrada y produce una uacutenica sentildeal de salida se dice
que es un sistema SISO (del ingleacutes Single Input Single Output) mientras que si recibe varias
entradas y produce varias salidas se dice que es un sistema MIMO (del ingleacutes Multiple Input Multiple
Output) Tambieacuten existen las denominaciones MISO para sistemas de varias entradas y una soacutela
salida y SIMO para el caso con una entrada y varias salidas eacuteste uacutelimo poco frecuente
SENtildeALES DETERMINIacuteSTICAS
Son aquellas que sus valores son conocidos de antemano o pueden ser predichos exactamente es decir su evolucioacuten es perfectamente predecible por un modelo matemaacutetico o dicho de otra manera los proacuteximos valores de una sentildeal pueden ser determinados si son conocidos Todas las condiciones anteriores de la sentildeal y por lo tanto esta puede ser representada completamente por las ecuaciones que la definen Estas sentildeales pueden subdividirse en perioacutedicas o aperioacutedicas
SENtildeALES PERIOacuteDICAS
Se dice que una sentildeal es perioacutedica si cumple con la siguiente condicioacuten x(n) = x(n + N) para toda n en donde N es el periodo de una sentildeal discreta y su valor maacutes pequentildeo seraacute el periacuteodo fundamental Asiacute mismo su frecuencia f deberaacute ser un nuacutemero racional SENOIDALES- Son aquellas sentildeales definidas por la funcioacuten x(n) = sen wn ARMOacuteNICAS- Son aquellas sentildeales perioacutedicas no SENOIDALES en la que pueden ser descompuestas en una serie de componentes de diferentes amplitudes y frecuencias con la particularidad de que que sus frecuencias son muacuteltiplos enteros de la frecuencia original para lo cual a la primera frecuencia se le denomina primera armoacutenica o fundamental mientras que a las siguientes se le denominan 2a- 3a- etc armoacutenicas PSEUDOALEATORIAS-
SENtildeALES APERIOacuteDICAS
Cualquier sentildeal determinantica que no sea perioacutedica seraacute aperioacutedica
SENtildeALES ALEATORIAS
Son aquellas sentildeales en las que existe incertidumbre acerca de los valores que puede tomar en los siguientes instantes y pueden ser descritas solamente desde un punto de vista estadiacutestico Las sentildeales aleatorias son maacutes difiacuteciles de manejar que las determinanticas Una realizacioacuten de un proceso aleatorio difiere de las otras en su descripcioacuten temporal pero sin embargo poseen las mismas propiedades estadiacutesticas Las sentildeales aleatorias se caracterizan por sus propiedades estadiacutesticas y espectrales Estas sentildeales pueden subdividirse en Estacionarias y No Estacionarias
SENtildeALES ESTACIONARIAS-
Las sentildeales estacionarias son constantes en sus paraacutemetros estadiacutesticos sobre tiempo Si uno observa una sentildeal estacionaria durante unos momentos y despueacutes de una hora se vuelve a observar esencialmente se veriacutea igual y su distribucioacuten de amplitud y su desviacioacuten estaacutendar seriacutean casi lo mismo
SENtildeALES NO ESTACIONARIAS
Estas no son estacionarias y se dividen en continuas y transitorias
SENtildeALES CONTINUAS
Sentildeales
SENtildeALES TRANSITORIAS
Sentildeales que empiezan y terminan al nivel cero y duran una cantidad de tiempo finito pueden ser breves o bastantes largos
113 Modelos
Todo el mundo emplea instintivamente modelos cuando toma decisiones sobre determinados
aspectos de la realidad -En el proceso de toma de decisioacuten se elige una entre varias acciones posibles teniendo en cuenta el efecto que cada accioacuten vaya a producir
-La relacioacuten que liga las posibles acciones con sus efectos es el modelo del sistema Por lo tanto en el proceso de toma de decisiones se estaacute empleando un modelo del sistema
La relacioacuten que liga las acciones Ui(entradas) con los efectos Yj(salidas) seguacuten Y = R(U)constituye la representacioacuten formal de un modelo
Clases de modelos 1 Modelo Mental
Basado en el conocimiento que se tiene sobre un aspecto de la realidad adquirido a traveacutes de la experiencia e intuicioacuten del cual se extraen aquellas caracteriacutesticas esenciales para representar el aspecto considerado
2 Modelo Formal Basado en las hipoacutetesis empleadas en los modelos mentales estableciendo a partir de ellas las relaciones formales que definen el comportamiento del aspecto de la realidad en cuestioacuten Utiliza la
capacidad del computador que aunque no es capaz de establecer las relaciones por si mismo si estaacute capacitado para desarrollar las consecuencias dinaacutemicas de las interacciones del sistema que
representa el modelo Esto es algo que les estaacute negado a los modelos mentales ya que se tiende a pensar en teacuterminos de relaciones causa-efecto unidireccionales olvidando las estructuras de realimentacioacuten que
ciertamente existen
Un modelo formal (o matemaacutetico) es maacutes expliacutecito que un modelo mental Su implementacioacuten en el computador produce el modelo computarizado
114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus
causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento
histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico
4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia
6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema
I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles
No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema
II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos
elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos
Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten
2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten
La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto
fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver
bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema
Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de
un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo
bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)
La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia
bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo
-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo
El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas
bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras
de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad
115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos
En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas
ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14
Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno
puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
SENtildeALES PERIOacuteDICAS
Se dice que una sentildeal es perioacutedica si cumple con la siguiente condicioacuten x(n) = x(n + N) para toda n en donde N es el periodo de una sentildeal discreta y su valor maacutes pequentildeo seraacute el periacuteodo fundamental Asiacute mismo su frecuencia f deberaacute ser un nuacutemero racional SENOIDALES- Son aquellas sentildeales definidas por la funcioacuten x(n) = sen wn ARMOacuteNICAS- Son aquellas sentildeales perioacutedicas no SENOIDALES en la que pueden ser descompuestas en una serie de componentes de diferentes amplitudes y frecuencias con la particularidad de que que sus frecuencias son muacuteltiplos enteros de la frecuencia original para lo cual a la primera frecuencia se le denomina primera armoacutenica o fundamental mientras que a las siguientes se le denominan 2a- 3a- etc armoacutenicas PSEUDOALEATORIAS-
SENtildeALES APERIOacuteDICAS
Cualquier sentildeal determinantica que no sea perioacutedica seraacute aperioacutedica
SENtildeALES ALEATORIAS
Son aquellas sentildeales en las que existe incertidumbre acerca de los valores que puede tomar en los siguientes instantes y pueden ser descritas solamente desde un punto de vista estadiacutestico Las sentildeales aleatorias son maacutes difiacuteciles de manejar que las determinanticas Una realizacioacuten de un proceso aleatorio difiere de las otras en su descripcioacuten temporal pero sin embargo poseen las mismas propiedades estadiacutesticas Las sentildeales aleatorias se caracterizan por sus propiedades estadiacutesticas y espectrales Estas sentildeales pueden subdividirse en Estacionarias y No Estacionarias
SENtildeALES ESTACIONARIAS-
Las sentildeales estacionarias son constantes en sus paraacutemetros estadiacutesticos sobre tiempo Si uno observa una sentildeal estacionaria durante unos momentos y despueacutes de una hora se vuelve a observar esencialmente se veriacutea igual y su distribucioacuten de amplitud y su desviacioacuten estaacutendar seriacutean casi lo mismo
SENtildeALES NO ESTACIONARIAS
Estas no son estacionarias y se dividen en continuas y transitorias
SENtildeALES CONTINUAS
Sentildeales
SENtildeALES TRANSITORIAS
Sentildeales que empiezan y terminan al nivel cero y duran una cantidad de tiempo finito pueden ser breves o bastantes largos
113 Modelos
Todo el mundo emplea instintivamente modelos cuando toma decisiones sobre determinados
aspectos de la realidad -En el proceso de toma de decisioacuten se elige una entre varias acciones posibles teniendo en cuenta el efecto que cada accioacuten vaya a producir
-La relacioacuten que liga las posibles acciones con sus efectos es el modelo del sistema Por lo tanto en el proceso de toma de decisiones se estaacute empleando un modelo del sistema
La relacioacuten que liga las acciones Ui(entradas) con los efectos Yj(salidas) seguacuten Y = R(U)constituye la representacioacuten formal de un modelo
Clases de modelos 1 Modelo Mental
Basado en el conocimiento que se tiene sobre un aspecto de la realidad adquirido a traveacutes de la experiencia e intuicioacuten del cual se extraen aquellas caracteriacutesticas esenciales para representar el aspecto considerado
2 Modelo Formal Basado en las hipoacutetesis empleadas en los modelos mentales estableciendo a partir de ellas las relaciones formales que definen el comportamiento del aspecto de la realidad en cuestioacuten Utiliza la
capacidad del computador que aunque no es capaz de establecer las relaciones por si mismo si estaacute capacitado para desarrollar las consecuencias dinaacutemicas de las interacciones del sistema que
representa el modelo Esto es algo que les estaacute negado a los modelos mentales ya que se tiende a pensar en teacuterminos de relaciones causa-efecto unidireccionales olvidando las estructuras de realimentacioacuten que
ciertamente existen
Un modelo formal (o matemaacutetico) es maacutes expliacutecito que un modelo mental Su implementacioacuten en el computador produce el modelo computarizado
114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus
causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento
histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico
4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia
6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema
I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles
No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema
II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos
elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos
Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten
2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten
La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto
fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver
bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema
Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de
un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo
bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)
La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia
bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo
-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo
El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas
bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras
de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad
115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos
En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas
ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14
Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno
puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
113 Modelos
Todo el mundo emplea instintivamente modelos cuando toma decisiones sobre determinados
aspectos de la realidad -En el proceso de toma de decisioacuten se elige una entre varias acciones posibles teniendo en cuenta el efecto que cada accioacuten vaya a producir
-La relacioacuten que liga las posibles acciones con sus efectos es el modelo del sistema Por lo tanto en el proceso de toma de decisiones se estaacute empleando un modelo del sistema
La relacioacuten que liga las acciones Ui(entradas) con los efectos Yj(salidas) seguacuten Y = R(U)constituye la representacioacuten formal de un modelo
Clases de modelos 1 Modelo Mental
Basado en el conocimiento que se tiene sobre un aspecto de la realidad adquirido a traveacutes de la experiencia e intuicioacuten del cual se extraen aquellas caracteriacutesticas esenciales para representar el aspecto considerado
2 Modelo Formal Basado en las hipoacutetesis empleadas en los modelos mentales estableciendo a partir de ellas las relaciones formales que definen el comportamiento del aspecto de la realidad en cuestioacuten Utiliza la
capacidad del computador que aunque no es capaz de establecer las relaciones por si mismo si estaacute capacitado para desarrollar las consecuencias dinaacutemicas de las interacciones del sistema que
representa el modelo Esto es algo que les estaacute negado a los modelos mentales ya que se tiende a pensar en teacuterminos de relaciones causa-efecto unidireccionales olvidando las estructuras de realimentacioacuten que
ciertamente existen
Un modelo formal (o matemaacutetico) es maacutes expliacutecito que un modelo mental Su implementacioacuten en el computador produce el modelo computarizado
114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus
causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento
histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico
4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia
6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema
I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles
No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema
II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos
elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos
Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten
2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten
La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto
fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver
bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema
Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de
un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo
bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)
La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia
bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo
-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo
El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas
bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras
de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad
115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos
En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas
ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14
Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno
puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus
causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento
histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico
4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia
6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema
I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles
No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema
II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos
elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos
Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten
2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten
La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto
fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver
bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema
Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de
un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo
bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)
La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia
bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo
-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo
El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas
bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras
de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad
115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos
En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas
ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14
Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno
puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto
fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver
bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema
Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de
un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo
bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)
La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia
bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo
-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo
El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas
bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras
de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad
115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos
En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas
ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14
Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno
puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos
En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas
ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14
Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno
puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos
El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el
pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas
dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el
valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico
mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos
La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten
entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar
requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes
diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias
Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos
propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son
1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor
que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas
2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados
En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas
pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales
Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se
consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan
(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo
Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas
Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real
aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser
descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto
Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que
pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente
positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros
positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones
En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en
Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)
116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo
Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados
lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto
el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes
(11)
Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16
tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
(12
)
La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos
suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es
obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por
ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad
Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante
matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)
(13)
(14)
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos
Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el
comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea
sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia
aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para
obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea
La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se
han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han
identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un
fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es
arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno
fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles
interpretaciones
De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen
un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos
Resistencia
El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma
Inductancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la
forma
Capacitancia
El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de
la forma
Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas
tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos
fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables
para describir otros fenoacutemenos
Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer
analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como
Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los
sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los
sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)
Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos
Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico
Traslacional
Mecaacutenico
Rotacional
Hidrauacutelic
o
(Tanque
s)
Teacutermico
Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de
Temperatura
Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad
Angular
Nivel de
liacutequido
Flujo de Calor
Resistencia Conduc-
tancia
Resistencia Amortigua-
miento
viscoso
Amortigua-
miento
Viscoso
Rotacional
Resisten
cia
Hidrauacutelic
a
Resistencia
Teacutermica
Inductancia Capacitan-
cia
Inductancia Masa de
Inercia
Momento de
Inercia
Aacuterea de
Tanque
Capacitan-
cia
Inductancia Capacitan-
cia
Resorte Resorte
torsional
Capacitancia
Teacutermica
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia
Sistema Esfuerzo Flujo
Eleacutectrico Tensioacuten
Eleacutectrica Corriente
Eleacutectrica
Mecaacutenico
Traslacional
Fuerza Velocidad
Mecaacutenico
Rotacional
Torque Velocidad
Angular
Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de
Flujo
Volumeacutetrico
Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de
diferencia de
entropia
Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de
Cambio de
Volumen
Quiacutemico A Potencial
Quiacutemico Variacioacuten de
flujo molar
Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de
flujo maacutesico
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo
Magneacutetico Fuerza
Magnetomotriz
Flujo
magneacutetico
121 Circuitos Eleacutectricos
1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace
que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces
adyacentes 5 Simplificar el grafo
122 Sistemas traslacionales
1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa
unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias
3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo