Un i d a d 6 · Cavalieri (1598-1647) e incluso el griego Arquímedes (288-213 a.C.), quien...

Unidad 6

La integraL

Objetivos

Al inalizar la unidad, el alumno:

• Resolverá integrales inmediatas.• Aplicará la notación de suma abreviada y sus propiedades.• Resolverá integrales definidas.

Cálculo diferencial e integral 207

Introducción

Este tema inicia con el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII; primordialmente con dos matemáticos coetáneos, íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried W. Leibniz (1646-1716); si bien hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron este tema, como Kepler (1571-1630), Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647) e incluso el griego Arquímedes (288-213 a.C.), quien utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.

Tanto Newton como Leibniz, posteriormente, sientan las bases del análisis infinitesimal casi simultáneamente aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que uno se aprovechase de los hallazgos del otro. Si bien en los inicios ambos autores se comunicaban sus progresos en el cálculo infinitesimal, surgieron comentarios de otros matemáticos que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz y a la inversa; esto creó la enemistad entre ambos y provocó que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra Philosophiae naturalis principia mathematica en el que citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

Leibniz es, además, autor de la actual simbología del cálculo infinitesimal, entre otras muchas más aportaciones.

6.1. Integral indefinida

Antes de iniciar el estudio de la integral indefinida es conveniente mencionar y hacer del conocimiento del lector el concepto de función primitiva ya que tiene una importancia fundamental para entender la relación que guarda la función derivada con la función integral.

Concepto de función primitiva. Se sabe que la derivada de x2 es 2x. Pues bien, x2 es una función primitiva de 2x, asimismo, la derivada de sen es , sen x x xcos es una función primitiva de cos x.

Definición. De una manera general, una función primitiva de una función f(x) es otra función F(x) cuya derivada es f(x) y cuya diferencial es, por lo tanto, f x dx( ) .

F x f x'( ) ( )= y dF x f x dx( ) ( )=

Unidad 6208

Ahora bien, ¿cuántas funciones primitivas tiene 2x? Desde luego se ha visto que una de ellas es x2, pero otra es x2 + 4, otra es x2 –6, etc., es decir, todas las que resultan de añadir una constante a la función x2. En efecto:

Si d

dxx x( )2 2= , resulta también d

dxx c x( )2 2+ = .

Observación. Una función f(x) tiene un número infinito de funciones primitivas, pero dos cualesquiera de ellas, F x F x1 2( ) ( ) y difieren en una constante, es decir, F x F x C2 1( ) ( )= + .

Toda vez conocida la primitiva de una función se procederá a ver el concepto de integral indefinida.

Definición. Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) se le llama integral indefinida de f(x)dx.

Para representar la integral indefinida se usa el signo ∫ que tiene su origen en la inicial de la palabra suma.

Luego entonces, la integral indefinida de f(x)dx se representa así:

f x dx( )∫Además, si F(x) es una función primitiva de f(x), por definición se tiene:

f x dx F x C( ) ( )∫ = +Donde la expresión f(x) se le llama integrando y a la constante C constante de

integración.

Ejemplo 1

¿Cuál es la familia de funciones primitivas de la función 2xdx?

Solución

Como una función primitiva de 2 2xdx x es dado que dx xdx2 2= , entonces la familia de primitivas de la función 2xdx se puede escribir como:


2 2xdx x C= +∫Esto es la integral indefinida de 2xdx.

La integración indefinida es la operación inversa de la derivación o diferenciación; de aquí se deduce:

•La derivada de una integral es el integrando.•La integral de la diferencial de una función es igual a la función más una

constante.

Ejemplo 2

Muestra que:

a) d x dx

dxx

33

2

2∫ = b) d x x C( )sen sen= +∫Solución

a) La integral de 3 2 3x dx x C es + y la derivada de x C x3 23+ es , por lo tanto, d x dx

dx

d x C

dxx

33

2 32∫ = + =( )

b) Se tiene que: d x xdx( ) cossen = , por lo tanto, d x xdx x Csen sen( )= = +∫ ∫cos Prueba de la integración indefinida. Para comprobar si una integral indefinida

es correcta, se halla la derivada del resultado y ésta debe ser el integrando.

Ejemplo 3

Muestra que 3 2 3x dx x C= +∫Solución

Derivando el resultado tenemos d x C

dxx

( )3 23+ = que es el integrando.

Unidad 6210

Por lo tanto 3 2 3x dx x C= +∫ es correcto.Propiedades de la integración indefinida. Aplicando la prueba de la integración

y recordando las propiedades de la derivación resulta:

•La integral de una suma de un número h de funciones es igual a la suma de las integrales:

f x h x dx f x dx h x dx( ) ( ) ( ) ( )+[ ] = + ∫∫∫•La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante

por la integral de la función:

kf x dx k f x dx( ) ( )= ∫∫Esta propiedad kf x dx k f x dx( ) ( )= ∫∫ permite sacar una constante fuera del signo

de integración.

Ejemplo 4

Mostrar que:

6 6cos xdx x C= sen +∫ .Solución

6 6 6cos cosxdx xdx x C= = +∫ ∫ sen Integración de potencias de x. Recordando la fórmula de derivación de una

potencia de x:

d

dxx mxm m= −1

Resulta que para pasar de la derivada a la función primitiva habrá que sumar una unidad al exponente y dividir entre el exponente más una unidad. Es decir:

x dxx

mCm

m= + ++∫ 11 (para m ≠–1)

Si m = –1, entonces se tiene la integral:

x dxx

dx x C− = = +∫∫ 1 1 ln


Pues la función cuya derivada es 1

x es el logaritmo natural de x.

Observación. Muchas veces no aparece el integrando en forma de potencia de x, pero se puede poner en esta forma recordando las igualdades referentes a exponentes negativos y fraccionarios:

1

xx x x

m

m nm

n

m= =− ,

Ejemplo 5

Utilizando la propiedad anterior, obtén las integrales siguientes:

a) x dx5∫b) 7 3x dx∫c) dx

x3∫Solución

Aplicando la fórmula x dxx

mCm

m= + ++∫ 11 , se tiene:

a) x dxx

Cx

C55 1 6

5 1 6= + + = +

+∫b) 7 7 7

3 1

7

43 3

3 1 4

x dx x dxx

Cx

C= = +

+ = +∫∫

+

c) dx

xx dx

xC

xC

xC

33

3 1 2

23 1 2

1

2= = − + + = − + = − +−

− + −∫∫ Integración de polinomios en x. Se aplica la fórmula de integración de una suma

y la de integración de una potencia de x.

Unidad 6212

Ejemplo 6

Obtén las siguientes integrales:

a) ( )3 5 42x x dx− −∫b) x x

x xdx4 2

25

7 31+ − − +∫

Solución

Separando las integrales y aplicando el razonamiento mostrado en el ejemplo 5, se tiene que:

a) ( )3 5 4 3 5 4 3 5 42 2 2x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx− − = − − = − −∫∫∫∫ ∫ ∫∫= − − +x x x C3 25

24

Aunque a cada integración habría que sumarle una constante, solamente se escribe la final porque la suma de varias constantes es otra constante.

b) x xx x

dxx x

xx

x C4 22

5 3

57 3

15

5

37

3+ − − + = + − − − + +∫ ln ( )

= + − + + +x x xx

x C5 3

5

5

37

3ln

La integración de ciertas expresiones se puede reducir, ejecutando operaciones, a la integración de polinomios.

Ejemplo 7

Obtén una expresión más simple para las integrales siguientes:

a) ( )( )3 2 5 3x x dx+ −∫b) ( )x dx2 21−∫ c)

x

xdx

3 1

2

−−∫


Solución

Las integrales se reducen a las siguientes:

a) ( )( ) ( )3 2 5 3 15 62x x dx x x dx+ − = + −∫ ∫b) ( ) ( )x dx x x dx2 2 4 21 2 1− = − +∫∫ c)

x

xdx x x

xdx

321

22 4

7

2

−− = + + + −

∫ ∫

De lo anterior se puede presentar un listado de las fórmulas utilizadas, esto es:

1. f x h x dx f x dx h x dx( ) ( ) ( ) ( )+[ ] = +∫ ∫∫2. kf x dx k f x dx( ) ( )= ∫∫ 3. dx x C= +∫ 4. x dx

x

mCm

m= + ++∫ 11

5. dx

xx C= +∫ ln

6. dx

x ax a C− = − +∫ ln( )

Fórmulas de integración e integrales inmediatas. De la definición de integral indefinida y de las fórmulas obtenidas para las derivadas, usando la regla de la cadena se deducen las siguientes fórmulas de integración que se recomienda tener siempre presente, de ser necesario en forma de tabla.

Fórmulas de integración

1. du u C u x= +∫ ( es una función de ) 11. csc cot cscu udu u C= − +∫ 2. kdu ku C= +∫ 12. du

uu C

1 2− = +∫ arc sen3. u du

u

mC mm

m= + + ≠ −+∫ 11 1 ( ) 13. − − = +∫ duu u C1 2 arc cos

Unidad 6214

4. du

uu C= +∫ ln 14. duu u C1 2+ = +∫ arc tan

5. du

uu C

2= +∫ 15. − + = +∫ duu u C1 2 arccot

6. cosudu u C= +∫ sen 16. duu u

u C2 1− = +∫ arcsec

7. sen udu u C= − +∫ cos 17. − − = +∫ duu u u C2 1 arccsc 8. sec tan2 udu u C= +∫ 18. e du e Cu u∫ = + 9. csc cot2 udu u C= − +∫ 19. a du a a Cu u∫ = +ln10. sec tan secu udu u C= +∫Integraciones inmediatas. Una integral de la forma f x dx( )∫ se dice que es

inmediata si se reconoce a la expresión f x dx( ) como diferencial de una función

ϕ ( )x . Entonces, por definición, se puede escribirf x dx x C( ) ( )= +∫ ϕ

Desde luego son inmediatas todas las que corresponden a alguna de las anteriores fórmulas de integración.

Ejemplo 8

¿Cuál es la fórmula para resolver las integrales siguientes?, aplícala para obtener su solución:

a) x dx4∫b) dx

x1 2−∫c) e dxx∫


Solución

a) x dx4∫ corresponde a la fórmula (3) en la que u = x luego x dx

xC4

5

5= +∫

b) dx

x1 2−∫ corresponde a la fórmula (12) en la que u = xdx

x1 2−∫ =arc sen x + Cc) e dxx∫ corresponde a la fórmula (18) siendo u = x

e dx e Cx x∫ = +

Ejercicio 1

1. Calcula la integral 3 2x dx∫2. Calcula la integral ( )( )2 3 32x x x dx+ +∫ 3. Calcula la integral 7cos xdx∫ 4. Calcula la integral dx

x −∫ 2 5. Calcula la integral

2

3 3dx

x∫

6.2. Integral definida

En la sección anterior hemos estudiado las primitivas de una función, descubriendo distintos procedimientos para realizar su cálculo; es decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo, no se ha especificado ni su significado ni su utilidad; los cuales se presentarán en esta sección; para tal efecto se dará la interpretación que el matemático alemán Bernhard Riemann dio a conocer en el siglo XIX.

Unidad 6216

6.2.1. Notación de suma abreviada y propiedades

Con frecuencia en matemáticas se utilizan sumas como la siguiente: 1 2 3+ + + + +x x x xn... ; o como 1 4 9 16 2+ + + + +... n o también f x f x f x f xn( ) ( ) ( ) ... ( )1 2 3+ + + + .

En las cuales, en cada caso n es un entero positivo.

Para facilitar el manejo de expresiones como las anteriores se requiere el uso del símbolo Σ, letra sigma mayúscula del alfabeto griego, la cual se emplea normalmente como notación abreviada de suma, por ejemplo:

u u u u uii

n

n= + + + +=∑ 11 2 3 ...Significa que se sustituyen los enteros de 1 a n en lugar de i en u

i y las expresiones

resultantes se suman, donde la cantidad ui se llama sumando y el símbolo i se conoce

como índice de la suma o “índice mudo”. El conjunto de valores que toma el índice de

la suma se denomina alcance de la suma y la expresión ui

n

i=∑1 se llama sumatoria.La suma de k términos se expresa como:

F i F n F n F n F m F mi n

m

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )= + + + + + + − +=∑ 1 2 1

Con n y m números enteros tales que: n m≤ , donde, k=m–n+1 es el número de elementos existentes entre n y m.

El lado derecho de la ecuación consta de la suma de k términos, de los cuales el primero se obtiene sustituyendo i por n en F(i), el segundo sustituyendo i por (n+1) y así sucesivamente, hasta obtener el último término al reemplazar i por m.

Los números n y m se denominan extremo inferior y superior de la sumatoria, respectivamente.


Ejemplo 9

Expresa las sumatorias:

a) De los cuadrados de los primeros n enteros positivos, para n = 4.

b) De las primeras fracciones positivas de la forma 1

k, para k = 5.

Solución

a) La suma de los cuadrados de los primeros 4 enteros positivos se puede expresar de la siguiente forma:

ii

2 2 2 2 2

1

4

1 2 3 4= + + +=∑

b) La suma de las primeras fracciones positivas de la forma 1

k, para k = 5, se

puede expresar de la siguiente forma:

1 1

1

1

2

1

3

1

4

1

51

5

ki= + + + +

=∑Propiedades de las sumatorias. Algunas propiedades son:

1) cu c ui ii

n

i

n === ∑∑ 11 , donde c es una constante.

2) ( )u v u vi ii

n

i

i

n

i

i

n+ = += = =∑ ∑ ∑1 1 1

3) ( )u u u ui ii

n

n+= +− = −∑ 1

11 1

Al desarrollar el lado izquierdo de la ecuación tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )u u u u u u u u u ui ii

n

n n+= +− = − + − + − + + −∑ 1

12 1 3 2 4 3 1

Donde el primer término en cada paréntesis anula al segundo término del siguiente paréntesis, conduciendo al resultado. A esta suma se le llama suma telescópica.

4) c c c c c ncni

n = + + + + ==∑ ... t rminos 1

Unidad 6218

Nota. En algunas ocasiones es útil correr el índice de la suma, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10

Expresa la suma x x x x xj

j

nn

=∑ = + + + + +0 2 31 ... de tal forma que comience con un índice cuyo valor sea 1 y no 0.

Solución

Si deseamos que la suma x x x x xj

j

nn

=∑ = + + + + +0 2 31 ... se exprese de tal forma que comience con un índice cuyo valor sea 1 y no 0, se puede hacer que k = j+1 o que

j = k–1.

Entonces j = 0 corresponde a k = 1; j = n corresponde a k = n+1 y, por supuesto, x xj k= −1 . Así que en lugar de la ecuación anterior se puede escribir:

x x x x xk

k

nn−

=

+∑ = + + + + +11

12 31 ...

Si lo deseamos, podemos reemplazar ahora el índice mudo k por alguna otra letra como j y el resultado es:

x x x x xj

j

nn−

=

+∑ = + + + + +11

12 31 ...

Ejemplo 11

Evalúa la suma ( )2 2 1

1

12k k

k

− −=∑

Solución

Se trata de una suma telescópica de la forma ( )u u u ui ii

n

n+= +− = −∑ 1

11 1 , entonces:


( ) ( ) ( ) ... ( )2 2 2 2 2 2 2 21

1

120 2 12 11k k

k

− = − + − + + −−=∑

= − = − =2 2 4096 1 409512 0

Por lo tanto ( )2 2 40951

1

12k k

k

− =−=∑

6.2.2. Problema del cálculo de área

El cálculo de área de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el número de cuadrados de lado, uno que recubre exactamente la figura en cuestión. Para tal efecto se tiene un concepto intuitivo de área que consta de las tres propiedades siguientes:

•El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.•El área de una región que consta de rectángulos que no se traslapan pero que

incluso pueden tener límites comunes, es la suma de las áreas de los rectángulos separados.

•Si una región 1 está contenida en la región 2, entonces el área de la región 1 no es mayor que el área de la región 2.

Se puede cuestionar entonces, si cualquier figura tiene área y cómo se calcula. La idea es aproximar la región uniendo un gran número de rectángulos delgados que no se traslapen. Entonces el área de la región que se desea queda aproximada por la suma de las áreas de los rectángulos. Si se emplean cada vez más y más rectángulos con bases más y más reducidas, se puede esperar que la suma de sus áreas se acerque más y más al área de la región dada. Los siguientes ejemplos muestran el procedimiento.

Ejemplo 12

Calcula el área S bajo la función f(x) = x en el intervalo [0, 1]:

a) De manera directa.b) Realizando una división en cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4],

[1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4].

Solución

a) Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar la función f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie

Unidad 6220

limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.

b) Si se divide el intervalo [0,1] en cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 1], y se trazan rectángulos como se observa en la figura 7.1, la suma de las áreas de los rectángulos trazados bajo la función, remarcados, es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos que rebasan la función, exceden el área del triángulo.

Calculando estas áreas se obtiene:

•Para los rectángulos trazados bajo la función (área por defecto):S S S1 2 3

6

16+ + =

•Para los rectángulos que rebasan la función dada (área por exceso):

A A A A1 2 3 410

16+ + + =

Luego entonces, 6

16

1

2

10

16< =


Figura 6.1.

Ejemplo 13

Calcula el área S bajo la función f(x) = x en el intervalo [0, 1], realizando una división en n intervalos iguales de longitud 1/n.

Solución

Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se “desperdicia” es menor si n > 4.

El área por defecto es:

2 1

2

1 3 2 2 1 1

n n n n n

n

n

n

n

n

n−

+ −

+ + −

−

−...

El área por exceso es:

10

1 2 1 2 1

n n n n n

n

n

n

n

n

n−

+ −

+ + −

−

...

Así, 1 1 1 2 1 1 1

2

1 1 1 2 1

n n n n n

n

n n n n n n

n

n+ + + − < < + + +... ...

1 2 3 1 1

2

1 2 32 2

+ + + + − < < + + + +... ...nn

n

n

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

A1

A2

A3

A4

Unidad 6222

n n

n

n n

n

( ) ( )− < < +12

1

2

1

22 2, que simplificando es, n

n

n

n

− < < +12

1

2

1

2

Además,

limn

n

n→∞− =1

2

1

2 y lim

n

n

n→∞+ =1

2

1

2

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.

Partición de un intervalo [a, b]. Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], juntos uno con el otro, sin ningún punto en común y cuya unión es [a, b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos y, por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura 6.2 la partición de [a, b] es:

P a x x x x x x b= = ={ }0 1 2 3 4 5, , , , ,

Figura 6.2.

Estos extremos se suelen escribir en orden creciente:

a x x x x x x b= < < < < < =0 1 2 3 4 5

Ejemplo 14

Si la partición del intervalo [–1,5] es P = −1 0 2

5

24 5, , , , , , escribe los nuevos

intervalos.

Solución

Los nuevos intervalos son: −[ ) [ )

[ ]1 0 0 2 4, , , , , , , 2,

5

2

5

2 4, 5

Función escalonada. Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a, b]→ R; f es una función escalonada cuando existe una partición


del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

A continuación analizaremos algunas funciones escalonadas:

1. La función f: [–3, 4] → R definida por: f x xx

( ), [ , )

, ,= ∈ −− ∈[ ]

si

si

2 3 2

1 2 4 es escalonada

dado que la partición asociada a f(x) es P = {–3, 2, 4} y en cada intervalo la función

es constante.

Observa que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones asociadas. Por ejemplo, {–3, –2, 0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.

2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte entera de x: E[x], tal que E[x]: R→R.

La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que es menor o igual que el número del que se parte.

Así,

E [3.105] = 3 E [5] = 5 E [–3.001] = –4 E [–1.5401] = –2 E [7.32] = 7 E [–1.52] = –2

Integrales de funciones escalonadas. Sea f una función escalonada definida en [a, b] y P = {a = x

0, x

1, x

2,...x

n = b} una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma

la función f en el intervalo (xi–1, xi), es decir, f(x) = mi, si x ∈ (xi–1, xi) , entonces se llama integral de la función f en [a, b] al número

m x x m x x m x x m x xo n n n1 1 2 2 1 3 3 2 1( ) ( ) ( ) ... ( )− + − + − + + − −Este número se simboliza por:

f x dx m x x m x x m x xoa

b

n n n( ) ( ) ( ) ... ( )= − + − + + −∫ −1 1 2 2 1 1

Unidad 6224

A los números a y b se les llama límites de integración y la expresión anterior se lee integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x.

Propiedades de la integral definida de una función escalonada:

• La integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida. Esto significa que si se consideran dos particiones P y P ' de una función

escalonada, f es el valor de f x dxa

b

( )∫ es el mismo para las dos particiones.• Si los límites de integración en una integral definida de una función escalonada

coinciden, entonces f x dxa

a

( )∫ = 0• Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor

de la integral cambia de signo: f x dx f x dxb

a

a

b

( ) ( )∫ ∫= −Ejemplo 15

Calcula la integral f x dx f( ) , :[ , ]−∫ − →34 3 4 con R definida por f x

x

x

x

( )

[ , )

[ , )

[ ,

=∈ − −∈ −

− ∈2 3 1

1 1 2

1 2

si

si

si 44]

Solución

Se toma la partición P = {–3, –1, 2, 4}, luego entonces, utilizando

f x dx m x x m x x m x xoa

b

n n n( ) ( ) ( ) ... ( )= − + − + + −∫ −1 1 2 2 1 1 , se tiene que:f x dx( ) [ ( )] [ ( )] [ ]= − − − + − − − − =−∫ 2 1 3 1 2 1 1 4 2 534

6.2.3. Concepto de sumas de Riemann Ahora definiremos la integral de una función cualquiera definida en un intervalo

[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número M > 0, de forma que la función en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre –M y M.


Volviendo al ejemplo 12, donde f(x) = x, es necesario recordar que para el cálculo de área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x), cumpliendo g(x)≤ f(x) para cualquier x en [a, b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) ≤ h(x) si x está en [a, b]. De todo ello resultaba que:

g x dx h x dxa

b

a

b

( ) ( )∫ ∫≤ ≤S , siendo S el área del triánguloEn general, para una función f(x) acotada se toman todas las funciones

escalonadas g(x) por defecto y todas las funciones escalonadas por exceso h(x), es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x está en [a, b]. En estas condiciones, sí existe un único número I que cumpla

g x dx I h x dxa

b

a

b

( ) ( )∫ ∫≤ ≤Para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas que cumplan g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) si x está

en [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.

Ésta se simboliza por I f x dxa

b= ∫ ( )Y se lee integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x), diferencial de x.

Significado de la integral definida de una función:

• Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a, b], es integrable, entonces

existe su integral en [a, b], la integral f x dxa

b

( )∫ representa el área de la región determinada por la gráfica de la función, el eje de las abscisas y las rectas x = a y x = b.

• Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función quedaría por debajo del eje de abscisas.

En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integrales correspondientes serían negativas, dado que:

g x dx f x dx h x dxa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫≤ ≤

f x dxa

b

( )∫ debería ser negativa y, ya que el área es siempre un número positivo, el área de la región que determina una función negativa es entonces:

S f x dxa

b= −∫ ( )

Unidad 6226

Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la integral de una función escalonada:

• Si la función escalonada es positiva, la integral se define como la suma de las áreas de los rectángulos que determina la función con el eje de abscisas.

• Si la función escalonada es negativa, la integral se define como la suma de las áreas de los rectángulos que determina la función con el eje de abscisas con signo menos.

Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima y parte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].

Figura 6.3.

En la figura 6.3. se ve claramente que:

f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= +Ahora bien, el área de la región A es S f x dxA

a

c= −∫ ( ) y el área de la región B es S f x dxB

c

b= ∫ ( ) . De todo esto se desprende que el área total de la región es:S S S f x dx f x dxA B

a

c

c

b= + = − +∫ ∫( ) ( )La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible

encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función dada. No obstante, hay criterios que son mucho más útiles para decidir si una función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema.


Teorema. Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo. Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es

integrable, es decir, existe f x dxa

b

( )∫ . Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x,

de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua.

Aún así, no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b], por lo que se estudiará el teorema fundamental del cálculo.

6.2.4. Teorema fundamental del cálculo

Teorema. Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y F(x) una función definida en [a, b], derivable y primitiva de f(x), es decir, f '(x) = f(x) para cualquier x ∈ (a, b), entonces

f x dx F b F aa

b

( ) ( ) ( )∫ = −Resulta obligatorio observar que para resolver una integral definida de una

función continua basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior, respectivamente, y restar ambos valores.

También conviene observar que como F(b) – F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), etc., luego entonces, todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

f x dx f t dt f u du f z dza

b

a

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫= = =

Ejemplo 16

Calcula el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 2.

Unidad 6228

Solución

Sea S el área de la región, entonces S x dx= ∫ 212 , dado que las rectas definen un intervalo [1, 2].

Ahora bien, x dxx2

1

23

1

2

3∫ = , aplicando el t.f. del cálculo se tiene que:S x dx

x= = = − = − =∫ 2121

23 3 3

3

2

3

1

3

8

3

1

3

7

3

Por lo tanto, el área S = 73

unidades cuadradas.

Nota. Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en el cálculo de integrales definidas:

• Si k es un número real cualquiera, kf x dx k f x dxa

b

a

b

( ) ( )∫ ∫=• Para f y g funciones, f x g x dx f x dx g x

a

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )±[ ] = ±∫ ∫∫ dxEjercicio 2

1. Evalúa la suma k k

k=∑23

2. Evalúa la suma 1

11

50

k kk ( )+=∑3. Calcula la integral ( )3 2

1

3x dx−∫

4. Calcula la integral 3 40

2x dx∫

5. Calcula la integral x dx−∫ 23


Ejercicios resueltos

1. Calcula la integral 6 5x dx∫Solución

Se tiene que 6 6 66

5 56

6x dx x dxx

C x C= = + = +∫∫2. Calcula la integral ax dx2∫Solución

Se tiene que ax dx a x dxax

C2 23

3= = +∫∫

3. Calcula la integral 5

xdx∫

Solución

Se tiene que 5

5 5x

dxdx

xx C= = +∫∫ ln

4. Calcula la integral ( )x x dx3 2+∫ Solución

Se tiene que ( )x x dx x dx xdxx

x C3 34

22 24

+ = + = + +∫∫∫5. Obtén la integral

95

dx

x∫Solución

Expresando la integral en la forma x dxx

mCm

m= + ++∫ 11 y resolviendo, se tiene:

99 9

5 1

9

4

9

455

5 1 4

4

dx

xx dx

xC

xC

xC= = − +

+ = − + = − +

− − + −∫∫

Unidad 6230

6. Obtén la integral xdx∫Solución


mCm

m= + ++∫ 11 y resolviendo, se tiene que:

xdx x dxx

Cx

Cx

Cx x

C= =+

+ = + = + = +∫∫ +121

21

3

2 3

1

21

3

2

2

3

2

3

7. Obtén la integral x dx53∫ .Solución


mCm


x dx x dxx

Cx

Cx

Cx x

C53

5

3

5

31

8

3 83 2 23

5

31

8

3

3

8

3

8= =

++ = + = + = +∫∫ +

8. Obtén la integral 6

23

dx

x∫ .

Solución


mCm


66 6

62

31

61

3

1823

2

3

2

3

2

31

1

33dx

xx dx x dx

xC

xC x C∫ ∫∫= = = − + + = + = +

− − − +

9. Obtén la integral 5cos xdx∫Solución

5 5 5 5cos cos ( )xdx xdx x C x C= = + = +∫∫ sen sen


10. Obtén la integral dx

x −∫ 4Solución

dx

x −∫ 4 corresponde a la fórmula duu u C= +∫ ln pues el numerador es la diferencial del denominador.

En este caso, u x du dx= =, . Luego, dxx

x C− = − +∫ 4 4ln ( )11. Reconoce a qué fórmula pertenece la integral

dx

x x2 1−∫ y aplícala para obtener su solución.Solución

Se reconoce que la integral dx

x x2 1−∫ corresponde a la fórmuladx

x xx C

2 1− = +∫ arc sec12. Convierte la integral

5

1 2dx

x+∫ en integral inmediata.Solución

5

1 2dx

x+∫ , sacando el 5 fuera del signo integral, se observa que 5

15

2

dx

xx C+ = +∫ arc tan

13. Resuelve la integral 4e dxx∫ .Solución

4e dxx∫ , sacando el 4 fuera del signo integral, observamos que 4 4 4e dx e dx e Cx x x∫ ∫= = +

Unidad 6232

14. Expresa la sumatoria de los cubos de los primeros n enteros positivos.

Solución

La suma de los cubos de los primeros n enteros positivos se puede expresar de la siguiente forma:

i ni

n3 3 3 3 3

1

1 2 3= + + + +=∑ ...

15. Reformula la suma a xjj

j

n −=∑ 11 , de tal manera que el sumando tenga el factor xj.

Solución

Primero hagamos que j–1 = k o que j = k +1, entonces:

a x a xjj

k

k

k

n

j

n − +=

−

=

− =∑∑ 1 10

1

1

1

A continuación se reemplaza el índice mudo k por j, con lo que se obtiene:

a x a xkk

j

j

j

n

k

n

+ +=

−

=

− =∑∑ 1 10

1

0

1

Que es la expresión pedida.

16. Escribe la expresión 1 3 5 152 2 2 2+ + + +... en la notación Σ (sumatoria) y obtén la forma general.

Solución

La expresión 1 3 5 152 2 2 2+ + + +... es la suma de los cuadrados de los primeros ocho enteros positivos e impares.

Para escribirla en términos de Σ se requiere un método para generar sólo números impares cuando un índice j recorra un intervalo de enteros.

Observa que 2j –1 siempre es un número impar cuando j es un entero; además, 2j –1 = 1, 3, 5,...,15 cuando j = 1, 2, 3,...,8. Así,

1 3 5 15 2 12 2 2 2 2

1

8+ + + + = −=∑... ( )jj


En forma más general se puede escribir ( ) ... ( )2 1 1 3 5 2 12

1

2 2 2 2j nj

n − = + + + + −=∑ .

17. Calcula la integral g x dx( )−∫ 23 , donde g(x) es la función parte entera de x:

g x

x

x

x( )

[ , )

[ , )

=− ∈ − −− ∈ −

∈2 2 1

1 1 0

0

si

si

si [[ , )

[ , )

[ , ]

0 1

1 1 2

2 2 3

si

si

x

x

∈∈

Solución

Se toma, por ejemplo, la partición P = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}

Luego entonces g x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − + + =−∫ 2 1 1 1 0 1 1 2 1 02318. Calcula la integral

1

22

1 2

2x dx

/∫Solución

Se toma la integral 1

22

12

2x dx∫ y de acuerdo con el teorema fundamental del

cálculo se tiene que:

1

2

1

2 3

1

2

8

3

1

24

63

482

12

23

12

2

2x dxx

u∫ = = − =19. Evalúa la integral de la función f(x) = c en [a, b].

Solución

Si f(x) = c en [a, b], entonces para cualquier partición del intervalo [a, b] se tiene que:

f x ci( ) =

Luego entonces, f x x c x c x c b ai ix

n

i

x

n

i

x

n

( ) ( )∆ ∆ ∆= = =∑ ∑ ∑= = = −1 1 1

Unidad 6234

Así, para esta función toda suma de Riemann es igual a: c(b – a); por lo tanto, la

integral de la función constante se puede expresar como cdx c b aa

b = −∫ ( ) , donde si c > 0, este cálculo es el del área de un rectángulo de altura c y base b – a.

Ejercicios propuestos


3

dx

x +∫2. Expresa la suma ( )− +

=∑ 1 11 k kkn

x en forma desarrollada.

3. Expresa el desarrollo x x x x3 5 7 29

3 5 7 29− + − −... en forma de suma.

4. Calcula la integral ( )3 5 722

4x x dx− +−∫

5. Calcula la integral ( )1 20

2 +∫ t dtx


Autoevaluación


3

2xdx∫ :

a) 5

9

3xC+

b) − +59

3xC

c) 3

8

3xC+

d) 7

2

3xC+

2. Calcula la integral ( )6 3e dxx +∫ :a) − + +6 32e x Cxb)

1

123

2

e x Cx + + c)

1

63e Cx + +

d) 6 3e x Cx + + 3. Calcula la integral 4 2sec xdx∫ :a)

4

3

3sec xC+

b) 4 2tan x C+ c) 4 tan x C+d) tan2 x C+ 4. Calcula la integral ( )x e dxx+∫ :a)

xe Cx

2

2+ +

b) x e Cx+ + c) x e Cx2 + + d) x e Cx+ +2

Unidad 6236


dx

x∫ :a) − +1

52ln( )x C

b) − +5x

C

c) 5 2ln( )x C+ d)

52x

C+

6. Evalúa la suma 1

1

4

kk=∑ :a)

5

4

b) 5

12

c) 12

15

d) 25

12

7. Evalúa la suma 21i

n

=∑ para n = 1 000:a) 100b) 1 000c) 2 000d) 20 000

8. Expresa el desarrollo 1

2

1

3

1

4

1

5

1

26− + − + +... en notación suma:

a) n

i 21

26

=∑b)

( )−=∑ 1126 n

i n


c) −

=∑ 1226

ni

d) ( )−

=∑ 1226 n

i n

9. Calcula la integral ( )2 321

3x x dx+∫ :

a) − 883

b) 88

3

c) −1883

d) − 83

10. Calcula la integral s s ds( )2 21

1 +−∫ :a) 2b) 4c) 6d) 0

Unidad 6238

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1) x C3 +2)

1

23

9

24 3 2x x x C+ + +

3) 7sen x + C

4) ln( )x C− +2 5)

− +13 2x

C

Ejercicio 2

1) 312) 50/513) 84) 96/55) 13/2

Respuestas a los ejercicios propuestos

1) 4 3ln( )x C+ + 2) x x x x xn n− + − + + − +2 3 4 11... ( ) 3)

( )−+

+ +

=∑ 12 11 2 1

1

14 k k

k

x

k

4) 845) x x4 2+


Respuestas a la autoevaluación

1. a) 2. d) 3. c)4. a) 5. b) 6. d) 7. c) 8. d) 9. b) 10. d)

Un i d a d 6 · Cavalieri (1598-1647) e incluso el griego Arquímedes (288-213 a.C.), quien...

Documents

Transcript of Un i d a d 6 · Cavalieri (1598-1647) e incluso el griego Arquímedes (288-213 a.C.), quien...