Informes Técnicos Ciemat 1194Enero, 2010

Departamiento de Medio Ambiente

Umbral de Decisión y Límite de Detección en Medidas Espectrometrícas. Parte 1: Aplicación a la Espectrometría Gamma

C. Pérez1

C. Gascó2

Mª. A. López2

1 TECNASA2 CIEMAT

Toda correspondencia en relación con este trabajo debe dirigirse al Servicio de In-formación y Documentación, Centro de Investigaciones Energéticas, Medioambientales y Tecnológicas, Ciudad Universitaria, 28040-MADRID, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse a este mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesauro del DOE para describir las ma-terias que contiene este informe con vistas a su recuperación. La catalogación se ha hecho utilizando el documento DOE/TIC-4602 (Rev. 1) Descriptive Cataloguing On-Line, y la cla-sifi cación de acuerdo con el documento DOE/TIC.4584-R7 Subject Categories and Scope publicados por el Offi ce of Scientifi c and Technical Information del Departamento de Energía de los Estados Unidos.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes analíticos que aparecen en esta pu-blicación.

Depósito Legal: M -14226-1995ISSN: 1135 - 9420NIPO: 471-10-005-1

Editorial CIEMAT

Catálogo general de publicaciones ofi cialeshttp://www.060.es

CLASIFICACIÓN DOE Y DESCRIPTORES

S37GAMMA SPECTROSCOPY; GAMMA DETECTION; GAMA DOSIMETRY; THRESHOLD DOSE; ISO; STANDARD DOCUMENT; DATA COVARIANCES

Umbral de Decisión y Límite de Detección en Medidas Espectrométricas. Parte 1: Aplicación a la Espectrometría Gamma.

Pérez, C.; Gascó, C.; López, Mª. A.30 pp. 3 fi g. 19 ref. 6 tablas

Resumen:Este informe resume la lección impartida por los autores en el curso de espectrometría gamma avanzada realizado por el CIEMAT. La determinación de los límites característicos en espectrometría gamma generalmente se realiza a partir de la programación que las casas comerciales realizan para el cálculo de concentración de actividad de los diversos radionucleidos existentes en una muestra. En el presente trabajo se analizan los ejemplos existentes en la norma ISO 11929 y se comparan con la programación que realiza el programa Genie2k para la determinación de límites caracte-rísticos. La principal diferencia radica en que las incertidumbres incluidas en la ISO 11929 referentes a la calibración en efi ciencias para la determinación del límite de detección, no son tenidas en cuenta en la programación automática en la actualidad. Mediante la implantación en los programas correspondientes de estos términos asimilaría la progra-mación comercial a la suministrada por la norma ISO-11929. En la segundo parte de este informe se analizarán casos más complicados como su aplicación a medidas en contadores de cuerpo entero (de acuerdo a la norma ISO-28218, específi ca de medidas de Actividad en laboratorios de dosimetría interna), multipletes, solapamiento de picos, suma de varios picos para la obtención de la concentración de actividad, etc.

Decision Threshold and Detection Limit in Spectrometric Measurements. Part 1: Application to Gamma Spectrometry.

Pérez, C.; Gascó, C.; López, Mª. A.30 pp. 3 fi g. 19 ref. 6 tablas

Abstract:This report summarised the author’s lecture of the advanced gamma spectrometry course organised by CIEMAT. The characteristic limits determination in gamma spectrometry generally is obtained through the programming that the trade marks offers to the client with the objective of the automatic calculation of the activity concentrations existing in a sample. In this report, the examples shown in the ISO 11929 standard are compared to the programming realised by Genie 2k for determining characteristic limits. The main difference of both is located in the uncertainty calculations due to the effi ciency calibration that is considered by ISO and not by Genie 2K. Through implementation in the software developed by trade marks will be possible to introduce this uncertainty and to assimilate to the calculation done by ISO 11929. In the second part of this report will be analyzed the more complicated samples of this application as counting in a whole body counter (following ISO-28218 about “Performace Criteria for radiobioassay”), multiplet, overlapping, addition of several peaks for obtaining the activity concentration, etc.

INDICE

1. Introducción………………………………………………………………………...…………3 2. Normativa Internacional para la medida de los límites característicos. Normas

ISO-11929 e ISO 28218…………..……………….…………………………………….....…4

2.1. Aplicación general de la norma a la espectrometría………...………………………..5 3. Medidas por espectrometría gamma y límites característicos. Aplicación de

la normas ISO-11929 e ISO 28218. Ejemplos…….……………………………………...…8

3.1. Ejemplo 1: Medida con un detector de Ge(Li)………………………………………….9 3.2. Ejemplo 2: Medida con un detector de INa……………………………………………12 3.3. Ejemplo 3: Medida con un detector con fondo constante en el área del pico ..…15

4. Cálculos de los límites característicos realizados por el Software Genie 2K (Canberra Industries S.A.) de análisis de espectros mediante espectro- metría gamma ...……………………………………….…………………………………….18

4.1. Aplicación a los ajustes realizados por Genie2K…………………………………….18

5. Comparación de los límites característicos realizada por ambas técnicas Genie2k/ISO……………………………………………………………………………......…22 6. Conclusiones………………………………………………………………………….……..22 7. Bibliografía………………………………………………………………….………………..22 8. Apéndice (Tablas)…………………………………………………………………………...24

-3-

1. Introducción La aplicación de los conceptos umbral de decisión y límite detección a medidas de radiactividad ha generado una gran controversia entre los laboratorios debido a varios factores: el uso de una nomenclatura confusa, traducciones desafortunadas de textos originalmente en inglés, normalización internacional no suficientemente clara sobre el procedimiento exacto a aplicar a casos reales y una completa desconexión entre los expertos estadísticos y los usuarios finales, técnicos de laboratorio. El Consejo de Seguridad Nuclear (CSN) financió durante el periodo comprendido entre los años 2005 al 2006 un grupo de trabajo en el que participaron Universidades y Centros de Investigación, para tratar de aunar los criterios existentes sobres estos límites característicos. El CSN y sus laboratorios asociados son y eran conscientes del problema que se presenta al evaluar o emitir resultados sobre concentración de actividad de radionucleidos - en los Planes de Vigilancia Radiológica Ambiental o en las Redes de Control de la Radiactividad Ambiental en España - cuando aparece el término “Límite de Detección” y la diversidad de modos de cálculo empleados por los laboratorio participantes. En la actualidad (2009-2010) existen dos documentos normativos internacionales para el cálculo del umbral de decisión y el límite de detección: El “Multi-Agency Radiological Laboratory Analytical Protocols“ (MARLAP) y los estándar existentes de la Organización Internacional para la Normalización (ISO). El MARLAP aúna el esfuerzo de Agencias y Organismos oficiales norteamericanos para establecer unos criterios comunes para aplicar a las medidas de radiactividad, haciendo un análisis exhaustivo a los documentos internacionales, como la ISO 11929 (1-7). La Organización Internacional para la Normalización ha modificado y revisado la normativa internacional en el campo de la radiactividad, unificando las siete normas existentes sobre la medida de estos límites en una sola: la ISO-11929, aprobada en la actualidad. La expresión de resultados del umbral de decisión y límite de detección en algunos casos son comunes para ambas normativas. Los principios básicos de la Norma ISO11929 se están aplicando en los laboratorios de dosimetría interna para la medida de Actividad de radionucleidos incorporados al organismo humano gracias a la nueva norma ISO 28218 “Performace Criteria for Radiobioassay” que se encuentra en su fase final de elaboración, y será aprobada definitivamente en 2010. Esta norma considera los conceptos de umbral de decisión y límite de detección para definir la sensibilidad de las técnicas de medida tanto en los laboratorios de CRC (Contador de radiactividad Corporal) para la medida directa (in-vivo) de la contaminación interna de emisores de radicación gamma, como en los laboratorios de “bioeliminación” para la medida indirecta (in-vitro) de actividades en excretas. La Unión Europea ha incluido la norma ISO 11929-7 como base para la información regular que los estados miembros proporcionan a la Comisión sobre los niveles de vertidos gaseosos y líquidos de las centrales nucleares y plantas de reelaboración. El Organismo Internacional de la Energía Atómica (OIEA) ha realizado importantes esfuerzos para unificar criterios para estas medidas entre laboratorios de habla hispana e internacionales en su “Manual de procedimientos técnicos para la determinación del contenido radiactivo en alimentos” que agrupa a los laboratorios del proyecto ARCAL (Acuerdo Regional de Cooperación para la Promoción de la Ciencia y Tecnología Nucleares en América Latina y el Caribe). En esta lección se analizan estos límites característicos poniendo ejemplos de su aplicación a casos prácticos de medida de radionucleidos en un laboratorio. Se aconseja el estudio de los documentos originales -de los que se hace una trascripción al castellano de la parte teórica- y la consulta del documento preparado por el grupo financiado por el CSN.

-4-

2. Normativa Internacional para la medida de los lí mites característicos. Normas ISO-11929 e ISO 28218.

Durante el curso avanzado de espectrometría gamma se ha descrito el método de cálculo del área de los picos de interés por los programas comerciales de espectrometría gamma. Estos programas también incluyen la determinación de los límites de detección a partir del fondo de los picos de interés, la mayoría de las veces utilizando el criterio de Currie. En la actualidad la aprobación de las normas internacionales ISO-11929 e ISO28218 permitirá adaptar a aquellos que lo deseen los programas comerciales a los límites característicos desarrollados en ella para la determinación: umbral de decisión ( *y ) y límite de detección ( #y ) teniendo en cuenta una serie de factores y utilizando la nomenclatura que la norma utiliza. Su definición es la siguiente: Umbral de decisión El umbral de decisión “y*” de un mensurando no-negativo, es aquél que cuantifica si existe el efecto físico de interés. El umbral de decisión es aquel valor del estimador Y que excedido por un determinado valor Y , permite llegar a la conclusión que el efecto físico está presente con el resultado primario de la medida” y ”, si no ocurre así el efecto físico no existe.

*y0

β α

Figura 1: Umbral de Decisión y Límite de Detección: El umbral de decisión y el límite de detección se definen como la parte derecha de 1–α y la izquierda de 1–β de los cuantiles de la función de probabilidad, derivada de la teoría Bayesiana de la medida, para un “ y ” y un 0y =% dados “ y “ y sus respectivos #y y=% .

Hay que tener en cuenta que cuando se concluye que el efecto físico no está presente siempre habrá una probabilidad α -aplicando las reglas de decisión- de que se haya tomado una decisión incorrecta y que el efecto físico estaba presente (error de primera clase). Siendo “ y ” el resultado de la determinación primaria de una medida para un mensurando no negativo, este valor es significativo solo si el verdadero valor del mensurando difiere de cero ( 0y >% ), y si es altamente improbable la hipótesis de que 0y =% . El resultado de la

determinación primaria de una medida “ y ” debe ser mayor que el umbral de decisión *y .

)0(~1 uky* α−= (1)

-5-

Límite de Detección El límite de detección #y es el valor más pequeño del mensurando para el que la probabilidad de asumir erróneamente que el efecto físico no está presente (error de segunda clase) no excede de una probabilidad β especificada – aplicando las reglas de decisión –. El límite de detección #y se compara siempre con el valor guía ry del mensurando

(establecido con propósitos legales, científicos, u otros) para determinar cuando un procedimiento de medida es válido para el propósito de la medida. El límite de detección #y es el valor verdadero más pequeño del mensurando que puede ser detectado con el

procedimiento de medida teniendo una probabilidad β de cometer un error de segunda

clase. Su valor es mayor que el valor del umbral de decisión *y . El límite de detección #y es el valor más pequeño que satisface la ecuación:

# #

1 ( )y y* k u yβ−= + % . (2)

Aplicando siempre que # *y y> La ecuación (2) es una ecuación implícita; ya que el término #y aparece en ambos lados de la expresión. El límite de detección puede calcularse resolviendo la ecuación (2) para el valor #y mediante ecuaciones de segundo grado cuando corresponda o simplemente aplicando el método de aproximaciones sucesivas (iteración), sustituyendo repetidamente una aproximación iy% por #y en el término derecho de la ecuación (2) lo que produce una

aproximación mejorada 1iy +%

*

1 1 ( )i iy y k u yβ+ −= +% % %

2.1. Aplicación general de la norma a la espectrometría La norma ISO requiere la ejecución de una serie de etapas para su aplicación a la espectrometría gamma resumidas en la Tabla 1. La cuantificación de la concentración de actividad de un determinado radionucleido emisor gamma a través de la espectrometría gamma requiere asignar al pico de interés una función que normalmente es una curva de Gauss y un fondo característico que puede ser determinado mediante el área de un trapecio, o ser evaluado mediante funciones exponenciales (parabólicas) calculando el área entre unos límites preestablecidos o mediante una recta estableciendo el área existente bajo la misma. La elección de la manera de cálculo del área del fondo dependerá normalmente de la energía del pico de interés y de la zona en la que aparezca en el espectro. Existen diferencias apreciables entre el fondo de los picos que aparecen en la zona Compton con el fondo de la zona de alta energía. Normalmente la obtención del número de cuentas brutas asignadas al pico ”gross” ( “cuentas brutas”) se hace por suma canal a canal en el pico de interés y se le debe restar un fondo que tiene que ser estimado en base a las características de los canales adyacentes al pico. Cada recuento de un canal constituye una variable aleatoria distribuidas según una distribución de Poisson Ni (i = 1,...,m así como i = g). La anchura de la integración del pico se suele determinar en base a la resolución de la línea espectral y el recuento en cada canal xi tendrá una

-6-

incertidumbre ii nxu =)( asociada xi. Para i = g, las cantidades ng y Xg = gρ tg representan los

canales combinados del pico de interés en el espectro. El mensurando Y será el valor verdadero y~ de la intensidad neta del pico. Se debe utilizar una función apropiada que representa la densidad espectral de la línea de fondo que incluya la contribución de las colas de otros picos interferentes. Esta función la denominamos H(ϑ ;a1,...,am), representando la densidad espectral del la línea del fondo con los parámetros ak,

)...,,1( ; d),...,;( 1 miaaHn

i

i

mi == ∫′

ϑϑϑ

ϑ

(3)

ak tiene que ser calculada como función de ni. La contribución a la línea del fondo es entonces

ϑϑϑ

ϑ∫

′

=g

g

d),...,;( 10 maaHz . (4)

La variable aleatoria Z0, asociada con la contribución del fondo z0, implícitamente es una función de las cantidades de entrada Xi porque z0 se calcula de xi = ni. La aproximación del modelo para el mensurando es Y tiene la forma

0g1g ),...,,( ZXXXXGY m −== (5)

De donde se deduce que

i

m

i

m

k i

k

k

nn

a

a

zzuzunyuzny

2

1 1

00

20

2g

20g )( ; )()( ; ∑ ∑

= =

∂∂

∂∂=+=−= (6)

Calculando la función )~(~2 yu , siendo y~ el valor verdadero del contenido neto de los canales que constituyen el pico g. Reemplazando la ecuación (6) por y~ . Eliminando ng , resulta que ng = y~ + z0 y

)(~)~(~0

20

2 zuzyyu ++= . (7) Los límites característicos de acuerdo con la norma serían el umbral de decisión: *

1 (0)y k uα−= % que en este caso 0y =% 2 2

0 0(0) ( )u z u z= +%

2

0 0(0) ( )u z u z= +%

* 2

1 0 0( )y k z u zα−= +

Las aproximaciones a este fondo y cómo se calcula su incertidumbre son los parámetros clave para determinar el umbral y posteriormente el límite de detección ya que se resuelve mediante una ecuación implícita. Dependiendo de la forma del espectro se aplican diversas aproximaciones al fondo.

-7-

(a) Fondo constante: aproximación H(ϑ ) = a1 (constante, m = 1) (b) Fondo lineal, se puede asumir en el caso de radiación gamma: aproximación H(ϑ ) = a1

+ a2ϑ (línea recta, m = 2) (c) Fondo ligeramente curvado con alteraciones producidas por líneas adyacentes: aproximación

H(ϑ ) = a1 + a2ϑ + a3ϑ �2 + a4ϑ �3 (parábola cúbica, m = 4) En los casos a, b, y c, la variable escalar ϑ es asignada linealmente al número de canal. Se puede hacer explícita la función H(ϑ )

caso a) 0

0)(t

nH =ϑ ; (8)

caso b) )2(

))((4)(

0g0

g12

0

0

ttt

nn

t

nH

+−−

+=ϑϑ

ϑ ; (9)

caso c) 3g4

2g3g21 )()()()( ϑϑϑϑϑϑϑ −+−+−+= aaaaH (10)

donde gϑ es el valor de ϑ asignado a la mitad de la región B y, consecuentemente,

. )34)(24)(4(

)34)(()4)((256 ;

)2(

16

; ))2()2((32)4(

16 ; )2(

)3(4

0g0g0g20

0g230g144

0g20

03

2g

20g

4

00

232

0g20

200g

2g0

0

01

ttttttt

ttnnttnna

ttt

na

ttta

ttt

nna

ttt

ttttn

t

na

g

+++

+−−+−=

+

′=

++−+

−=

+

++′−=

(11)

En los casos (a) y (b), se puede -para la determinación del fondo- introducir tres regiones adyacentes A1, B, y A2 de la siguiente manera. La Región B comprende todos los canales pertenecientes al pico y tiene el contenido total ng y la anchura tg. Si se asume como forma del pico una curva Gaussiana con una anchura total a altura media h, la región B se coloca simétricamente al pico tanto como sea posible. Esta anchura se determinaría según:

ht 2,5g ≈ (12)

cuando no se pueden excluir las fluctuaciones de la asignación del canal o el fondo no es predominante porque las líneas de interés son muy pronunciadas. Cuando el fondo es dominante sobre la línea espectral se puede utilizar la expresión (13) para especificar la anchura de la región de interés B.

ht 1,2g ≈ (13)

Esta región entonces cubre aproximadamente la porción f = 0,84 del área del pico. En general, esta proporción del área bajo el pico de interés se describe como 1)2ln2(2 −Φ= vf , siendo tg = vh siendo v el factor elegido más conveniente a la situación que presenta el fondo espectral. La resolución espectral definida como la anchura a mitad de altura es determinada por el sistema de medida o mediante la medida de una muestra de referencia que emita un pico suficientemente elevado (de manera que su cálculo sea sencillo) o con líneas vecinas de forma y anchura similares a la de nuestra muestra problema. La región B debe comprender un número entero de canales de manera que tg pueda ser convenientemente redondeado.

-8-

Las regiones A1 y A2, que bordean a la región B por encima y debajo del pico de interés, tienen que especificarse con las mismas anchuras t = t1 = t2 solo en el caso (b). La anchura total t0 = t1 + t2 = 2t se debe elegir lo más elevada posible pero no tanto que la forma del fondo de todas las regiones pueda considerarse constante, caso (a) o linear, caso (b). n1 y n2 son las cuentas totales en todos los canales de las regiones A1 y A2, respectivamente. Así es que, n0 = n1 + n2. Siguiendo los casos (a) y (b):

0g00200

2000 ; )( ; ttcnczuncz === . (14)

)~(~2 yu sigue la ecuación (7).

En el caso (c) se introducen cinco regiones de canales A1, A2, B, A3, y A4 de la misma manera que se ha descrito anteriormente con las mismas anchuras t para las regiones Ai (ver Figura 2). Con las sumas n0 = n1 + n2 + n3 + n4, que determinan el contenido total de todos los canales de las regiones Ai, con sus anchuras totales t0 = 4t, y con las cantidades auxiliares n0′ = n1 – n2 – n3 + n4. La ecuación (15) define el fondo con la siguiente expresión:

)21()38434( ;

; 2)()( ;

0200010g0

010021

200

201000

cccccttc

nccncczuncncz

+++⋅==

′−+=′−= (15)

y )~(~2 yu sigue la ecuación(7). Este caso numérico es el que se pone en los ejemplos (1 y 2) de la norma.

Se puede optimizar las regiones de interés para el cálculo del fondo de manera tal que el ajuste a la función dada sea un mínimo y cumpla unas condiciones para la chi-cuadrado que nos indiquen que dicho ajuste es el óptimo para la función de fondo.

Se debe confirmar cuando:

2 2

1 22( )s M m M m o k δχ χ −= − + − ≥ ≤ (16)

Se recomienda una probabilidad de error δ �= 0,05. M es igual a la anchura expresada en canales

0M t= y m=4 cuando se ajusta una parábola cúbica y m=2 cuando se ajusta a una recta. 3. Medidas por espectrometría gamma y límites caract erísticos. Aplicación de la

normas ISO-11929 e ISO 28218. Ejemplos. En este apartado se han desarrollado tres de los ejemplos que aparecen en las normas ISO mencionadas, aplicados a espectrometría gamma. En Dosimetría interna, el Laboratorio del CRC calcula la Actividad de los radionucleidos incorporados mediante medida directa por espectrometría gamma. Para ello dispone de sistemas de detección consistentes en uno o varios detectores bien de centelleo sólido tipo NaI(Tl), bien de semiconductores de Germanio tipo HPGe o LE Ge (específico para emisores de rayos X y de radiación gamma de baja energía). Por otra parte, un laboratorio de “bioeliminación” puede también disponer de detectores del mismo tipo para la determinación de la actividad excretada tras la incorporación de emisores de radiación gamma.

-9-

Figura 2: Composición de las regiones de canales pa ra la determinación de la línea de fondo

En el primer ejemplo se han calculado las fórmulas intermedias ya que no existe una tabla con el espectro canal a canal, en el segundo caso se han introducido las fórmulas intermedias -que son las mismas del caso segundo pero sin tener en cuenta el factor de conversión en unidades de concentración de actividad- y pueden ser calculadas a partir del espectro original y el caso tercero que corresponde a un pico con fondo similar en ambas zonas derecha e izquierda del pico.

3.1. Ejemplo 1: Medida usando un detector de germanio.

En un espectro gamma de una muestra obtenida por medio de un detector de Ge, existe una línea asignada a un radionucleido que va a ser analizada estando su máximo localizado en el canal 927 y teniendo un fondo ligeramente curvado. El mensurando Y es la concentración de actividad de la muestra AM (actividad dividida por el total de masa de la muestra) y debe calcularse a partir de la intensidad neta (área neta) de la línea. En el siguiente ejemplo se van a calcular para este mensurando: su valor, su incertidumbre estándar y los límites característicos. En este caso se supone el fondo ligeramente curvado por lo que corresponde al apartado (c) mencionado en el apartado 2. Como se puede apreciar en la Tabla 2, de este espectro se conoce de la calibración en energías y la anchura energética de un determinado número de 0,4995 keV así como la resolución del pico (anchura máxima a mitad de altura de la línea) 2,0 keV. Expresándolo en canales corresponde a una resolución de h = 4,00 canales. De acuerdo con la ecuación (9), tg ≈ 1,2 h = 4,8 se toma como la anchura de la región B. La región correspondiente al rango de canales de 925 a 929 tiene una anchura tg = 5 y se coloca simétricamente al canal 927 denominándose como región B (ver Figura 2). Esta región cubre aproximadamente en este caso la proporción f = 86 % del área de la línea. Se elige la anchura t = 13 para cada una de las cuatro regiones Ai colindantes a la región B por ambos lados para la determinación del fondo que se considera ligeramente curvado. La anchura total toma el valor t0 = 4t= 52. Esta anchura no puede aumentares porque existe otro posible pico en el canal 958 con la misma anchura a mitad de altura y localizada entre los canales 956 a 960. La mayoría de los 26 canales entre el rango 930 a 955 pertenece a las regiones A3 y A4.

-10-

Consultar las Tabla 2 y 3 para obtener los datos de partida, especificaciones, valores intermedios y resultados. Los resultados se calcularon en base al modelo (17) de acuerdo a la sistemática de la norma. Se utilizaron las ecuaciones 5, 6 y 7 para los cálculos intermedios. El modelo se describe como:

iMfT

ZX

XXXXX

XXAY M ε

0g

1311975

21 −=−== . (17)

Siendo X1 = Xg es el estimador del efecto bruto en la región B y X2 = Z0 es el estimador del efecto del fondo calculado a partir de la contribución del fondo a la línea en la región B, y X5 = T es el tiempo de medida. El factor de área X7 = f tiene en cuenta que la región B no cubre totalmente la línea en el cuando el fondo es dominante. La incertidumbre estándar de f es despreciable porque f, si es necesario, se calcula exactamente como un numero arbitrario de dígitos. Otros estimadores son X9 = M masa de la muestra y X11 = ε eficiencia de detección del detector medido con f = 1, y X13 = i es la probabilidad de emisión del fotón del pico gamma. Los valores de M y ε y su incertidumbre estándar asociada u(M) y u(ε ) se dan en el ejemplo siendo calculadas según normativa precedente. El valor de i y de su incertidumbre asociada u(i) se toman de las tablas correspondientes existentes de las emisiones de los radionucleidos. El valor guía yr se fija en este ejemplo mediante una directiva en el muestreo de la radiactividad ambiental. Los valores derivados x1 = ng y u2(x1) = ng se obtienen para X1. Debe hacerse constar que X1 = Xg no estima la tasa de recuento pero puede considerarse que sigue la distribución de Poisson al ser elevado el número de cuentas. Por esta razón la duración de la medida T aparece en el denominador de la ecuación (17). Para los valores de z0 y u2(z0) para X2 = Z0, ver ecuación (14-16). Para este caso se han calculado las siguientes magnitudes intermedias

a) número de cuentas en las regiones adyacentes

0 1 2 3 4 3470 3370 3343 3208 13394n n n n n= + + + = + + + =

'

0 1 2 3 4( ) ( ) (3470 3370) (3343 3208) 38n n n n n= − − − = − − − = −

b) Valores de las constantes que se obtienen al considerar una parábola cúbica

0

0

50,0962

4· 52

g gt tc

t t= = = =

2 2

1 0 0 0 0·(4 3 4 8 3) (1 2 ) 0,0962·(4 3 4·0,0962 8·0,0962 3) (1 2·0,0962) 0,1405c c c c c= + + + = + + + =

c) Valor del fondo y de su incertidumbre estándar teniendo en cuenta que la constante c1 esta correlacionada con c0

'

0 0 0 1 0 0,0962·13394 0,1405·( 38) 1293,22z c n c n= − = − − =

2 2 2 ' 2 2

0 0 1 0 0 1 0( ) ( ) 2 (0,0962 0,1405 )13394 2·0,0962·0,1405·( 38)) 389,39u z c c n c c n= + − = + − − =

0( ) 389,39 19,39u z = =

d) Valor del mensurando en cuentas

-11-

0 1440 1293,22 146,78gy n z= − = − =

e) Valor del mensurando en unidades de actividad

Multiplicando por w se obtiene el valor de la actividad

1 10,00091713

· · · · 21600·0,8585·1,000·0,060·0,98w

T f m iε= = =

1( · ) 146,78·0,00091713 0,1346y Bq Kg − = =

Siendo la ecuación general en unidades de actividad

1

0( · ) ( )·gy Bq Kg n z w− = −

f) Incertidumbre del mensurando

Vendrá dada por:

2 2 2 2 2

0 0( ) ( ) ( ) ( ( ))g gu y n z u w w n u z= − + +

2 2 2 2 2 2

0 0( ) ( ) ( ) ( ( ))g rel gu y n z w u w w n u z= − + +

( )2 2 2 2 2

0 0( ) ( ) ( ) ( )g rel gu y w n z u w n u z= − + +

Falta determinar 2 ( )relu w

2 2 22 2 2

2 ( ) ( ) ( ) 0,004 0,02 0,001( ) 0,004862

0,060 0,98 1,000rel

u u i u Mu w

i M

εε

= + + = + + =

( ) ( )2 2 2 2 2 7 2

0 0( ) ( ) ( ) ( ) 8,41·10 (1440 1293,22) ·0,004862 1440 489,39 0,001627g rel gu y w n z u w n u z −= − + + = − + + =

( ) 0,001627 0,04033u y = =

g) Cálculo del Umbral de decisión

Teniendo en cuenta que el umbral se define como:

*

1 (0)y k uα−= %

El mensurando en unidades de actividad:

1

0( · ) ( )·gy Bq Kg n z w− = −

h) La incertidumbre estándar del mensurando cuando y es cero:

( )2 2 2 2 2

0 0( ) ( ) ( ) ( )g rel gu y w n z u w n u z= − + +

Cuando vale cero

0 gy w z n+ =%

( )2 2 2 2 2

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )relu y w y w z z u w y w z u z= + − + + +% % %

-12-

Cuando 0y =%

( )2 2 2

0 0(0) ( )u w z u z= +%

* 2

1 0 0· ( ) 0,0009171·1,645· 1293,22 389,39 0,0619y w k z u zα−= + = + =

i) Límite de detección para este caso en unidades de actividad

# * #

1 ( )y y k u yβ−= + %

Ecuación implícita que puede ser abreviada si 1 1k kα β− −=

( )# * 2 # 2 2 # 2

1 0 0 0 0( ) ( ) ( )rely y k w y w z z u w y w z u zβ−= + + − + + +

# * # 2 2 # 2

1 0 0· ( ) ( ) ( )rely y w k y w u w y w z u zβ−= + + + +

( )# * 2 2 2 # 2 2 # 2

1 0 0( ) · ( ) ( ) ( )rely y w k y w u w y w z u zβ−− = + + +

2# 2* * # 2# 2 2 2 # 2 2 2

1 1 1 0 02 ( ) · · · ( ( )) 0rely y y y y k u w w k y w k z u zβ β β− − −+ − − − − + =

Como el último término de la ecuación es 2*y cuando 1 1k kα β− −=

La ecuación de segundo grado queda de la siguiente forma:

( )2# 2 2 # * 2

1 1(1 ( )) 2 · 0rely k u w y y w kβ β− −− + − − =

Esta ecuación es del tipo: 2 0Ax Bx+ =

Donde

Bx

A

−=

2 2 * 2

1 11 ( ); 2 ·relA k u w B y w kβ β− −= − = − −

Finalmente el límite

* 2# 1

2 2

1

2

1 ( )rel

y k wy

k u w

α

α

−

−

+=−

En el caso que nos ocupa

2#

2

2·0,0619 1,645 ·0,000917130,1229

1 1,645 ·0,004862y

+= =−

3.2. Ejemplo 2: Medidas usando un detector de ioduro sódico (NaITl))

La Figura 2 muestra una sección de un espectro gamma registrado con un detector de NaI. Hay una línea de interés localizada con su centro gϑ en el canal 500 en un fondo no-dominante,

-13-

ligeramente curvo. El mensurando Y es la intensidad neta I (área neta) de la línea. Se calcula para este mensurando: su valor en unidades de intensidad, su incertidumbre asociada y los límites característicos. Se repite el caso (c). La anchura máxima a mitad de altura es 45,322ln8 == σh canales. Para, tg ≈ 2,5 h ≈ 81 se establece como la anchura de la región B. De esta manera, la región B es la región comprendida entre los canales 461 a 539, con una anchura tg = 79 y localizada simétricamente en el canal 500 (ver Figura 2). Esta región cubre en este caso la totalidad del área de la línea f = 100 %. La anchura t = 21 se elige para cada una de las cuatro regiones Ai que bordean a la región B por ambos lados con un fondo ligeramente curvado. La anchura total toma el valor t0 = 4t = 84. Esta anchura no puede aumentarse porque se puede incrementar el fondo debajo del canal 419 y sobre el canal 581 por la existencia de líneas adyacentes como se muestra en la Figura 2. Los datos del espectro multicanal, magnitudes de partida, especificaciones, valores intermedios, y resultados se encuentran reflejados en la Tabla 2 y 3. Los resultados se calculan en base al siguiente modelo como el ejemplo 4. El modelo tiene aquí una forma simplificada que se expresa como

0g21 ZXXXIY −=−== (18)

Siendo en este caso w = 1 y urel(w) = 0. Las cantidades de partida X1 = Xg y X2 = Z0. En este caso no se especifica un valor guía ya que no se dan unidades de concentración de actividad. Al ser y ≥ 4u(y) en este caso, se puede usar aproximaciones. En este caso y como se muestra en la Figura 2, se han realizado dos ajustes al fondo una recta con m = 2 (caso b) y una parábola cúbica con m = 4 (caso c) son los ajustes al fondo del espectro en las regiones Ai. En el caso de la recta, las regiones A1 y A2 se combinan así como las regiones A3 y A4. Con M = t0 = 84 y δ = 0,05 y de acuerdo a la ecuación (16), la función Chi-cuadrado

estandarizada 96,171,2)(2 2/122

s =>=−+−χ=χ −δkmMmM se sigue para la línea recta,

obteniéndose el valor 0,41 < 1,96 para la parábola. En este caso no se debe ajustar el fondo a una recta ya que no se cumple la condición Chi-cuadrado, el uso de la parábola cúbica sería más apropiado. Para este caso se han calculado las siguientes magnitudes intermedias

a) número de cuentas en las regiones adyacentes

0 1 2 3 4 17326 17291 12069 11434 58120n n n n n= + + + = + + + =

'

0 1 2 3 4( ) ( ) (17326 17291) (12069 11434) 600n n n n n= − − − = − − − = −

b) Valores de las constantes que se obtienen al considerar una parábola cúbica

0

0

790,9405

4· 84

g gt tc

t t= = = =

2 2

1 0 0 0 0·(4 3 4 8 3) (1 2 ) 0,9405·(4 3 4·0,9405 8·0,9405 3) (1 2·0,9405) 2,433c c c c c= + + + = + + + =

c) Valor del fondo y de su incertidumbre estándar teniendo en cuenta que la constante c1 esta correlacionada con c0

'

0 0 0 1 0 0,9405·58120 2,433·( 600) 56120z c n c n= − = − − =

-14-

2 2 2 ' 2 2

0 0 1 0 0 1 0( ) ( ) 2 (0,9405 2,433 )58120 2·0,9405·2,433·600 398196u z c c n c c n= + − = + + =

0( ) 398196 631u z = =

d) Valor del mensurando en cuentas

0 84221 56120 28100gy n z= − = − =

f) Incertidumbre del mensurando

Vendrá dada por:

2 2

0 0( ) ( )u y y z u z= + +

2 2

0 0( ) ( ) 28100 56120 398196 482416u y y z u z= + + = + + =

( ) 482416 694u y = =

g) Cálculo del Umbral de decisión

Teniendo en cuenta que el umbral se define como:

*

1 (0)y k uα−= %

La incertidumbre estándar del mensurando cuando y es cero:

2 2

0 0(0) ( )u z u z= +%

* 2

1 0 0( ) 1,645· 56120 398196 1,645·674 1109y k z u zα−= + = + = =

i) Límite de detección para este caso en unidades de actividad

# * #

1 ( )y y k u yβ−= + %

Teniendo en cuenta que:

# # 2

0 0( ) ( )u y y z u z= + +%

# * # 2

1 0 0( )y y k y z u zβ−= + + +

Ecuación implícita que puede ser abreviada si 1 1k kα β− −=

( )# * 2 2 # 2 2 # 2 2

1 0 0 1 1 0 0( ) ( ) ( ( ))y y k y z u z k y k z u zβ β β− − −− = + + = + +

# * 2 2 # 2* 2# 2* # * 2 # 2*

1 1( ) 2 0y y k y y y y y y k y yβ β− −− − + = + − − − =

Como el último término de la ecuación es 2*y cuando 1 1k kα β− −=

La ecuación de segundo grado queda de la siguiente forma:

( )2# # * 2

12 0y y y k β−+ − − =

-15-

Esta ecuación es del tipo: 2 0Ax Bx+ =

Donde una solución es cero y la otra

Bx

A

−=

* 2

11; 2A B y k β−= = − −

Finalmente el límite

# * 2

12y y k α−= +

En el caso que nos ocupa

# 22·1108 1,645 2220y = + =

Se pueden efectuar distintos ajustes y ver cuál es el que obtiene mejor resultado. En este caso el proceso exige la preparación de hojas de cálculo y un proceso de minimización de las curvas de ajuste del fondo. Un ejemplo de cómo realizarlo se encuentra en el informe CIEMAT pendiente de publicación.

3.3. Ejemplo 3 : Medida directa de un radionucleido emisor gamma con un fondo lineal

El modelo general de cálculo de la concentración de actividad se puede consultar en el informe ICRU 69 (2003) “Direct determination of the Body Content of Radionuclides”, para la medida directa de Actividad de radionucleidos incorporados al organismo en los laboratorios de Contador de Radiactividad Corporal (CRC) de dosimetría interna. Los símbolos utilizados en el siguiente ejemplo y el procedimiento para el cálculo de la contribución de fondo proceden de esa publicación.

a) Modelo de cálculo

La actividad del radionucleido viene expresada por la siguiente fórmula :

02·

·

p

B

pn n

mAt ε

−=

Donde :

BA = Actividad

pn = Número de cuentas en el pico de interés

0n = Numero de cuentas en las regiones 1B y 2B p = Número de canales que abarca el pico

m = Número de canales en las regiones 1B ( 2B ) t = Tiempo de medida ε = Eficiencia El modelo general expresado en unidades de actividad tendría la expresión:

1 2 3

4 5

x x xy

x x

−=

Donde :

By A= ; 1 px n= ; 22

px

m= ; 3 0x n= ; 4x t= ; 5x ε=

Siguiendo la notación de la norma general ISO 11929

-16-

4 5

1w

x x=

La incertidumbre de la cantidad medida es:

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 2 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )u y w u x w x u x w x u x x x x u w= + + + −

Simplificando :

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )relu y w u x x u x x u x y u w= + + +

Como las incertidumbres de recuento son conocidas y teniendo en cuenta que tanto el tiempo como la relación de canales se asigna incertidumbre cero.

2 2 2

1 1 2 3 3( ) ; ( ) 0; ( )u x x u x u x x= = = También 2

2

2

( )( )rel

uu w

εε

=

La ecuación queda de la siguiente forma:

( )2 2 2 2 2

1 2 3( ) ( )relu y w x x x y u w= + +

Para el valor verdadero y teniendo en cuenta que:

1 2 3

yx x x

w= +%

La ecuación se convierte en

( )2 2 2 2 2

2 3 2 3( ) ( )rel

yu y w x x x x y u w

w= + + +%

% %

Sustituyendo por los valores y teniendo en cuenta que el valor de 0y =%

( )2 2 2

2 3 2 3(0)u w x x x x= +%

2 2

2

0 0

1(0)

· 2 2

p pu n n

t m mε = +

%

Por definición de umbral de decisión

2 2

*

1 1 0 0

1(0)

· 2 2

p py k u k n n

t m mα α ε− −

= = + %

El límite de detección por definición es: # * #

1 ( )y y k u yβ−= + %

El valor de la incertidumbre viene dado por la expresión:

#2 # 2 2 #2 2

2 3 2 3( ) ( )rel

yu y w x x x x y u w

w = + + +

Sustituyendo en la anterior ecuación

-17-

## * 2 2 #2 2

1 2 3 2 3 ( )rel

yy y k w x x x x y u w

wβ− = + + + +

Esta es una ecuación de segundo grado que puede ser resuelta por el método tradicional, agrupando términos:

## * 2 2 2 2 2 #2 2

1 2 3 2 3 1( ) ( )rel

yy y k w x x x x k y u w

wβ β− − − = + + +

( )2# 2 2 2* # * 2 # 2 2 2

1 1 1 2 3 2 3(1 ( )) 2 · 0rely k u w y y y k w y k w x x x xβ β β− − −− + − − − + =

Cuando: 1 1k kα β− −= 2# 2 2 # * 2 #

1 1(1 ( )) 2 · 0rely k u w y y k w yβ β− −− − − =

Ecuación de segundo grado de fácil solución 2# 2 2 # * 2

1 1(1 ( )) (2 ) 0rely k u w y y k wβ β− −− − + =

2 0Ay By− =

B

yA

= ; * 2

# 1

2 2

1

2

1 ( )rel

y k wy

k u w

α

α

−

−

+=−

La expresión final del Límite de Detección es la siguiente:

2 2

2

1 0 0 1

#

2

2

1

1 12

· 2 2 ·

( )1

( )

p pk n n k

t m m ty

uk

α α

α

ε ε

εε

− −

−

+ + = −

Valor de la actividad

0

3

152251 1249

2 2·6 239,5· 900·3,2·10

p

B

pn n

mAt ε −

− −= = =

Incertidumbre de medida

22 2 4

3 3

1 15 1,6·10( ) 2251 1249 239· 25,5

900·3,2·10 2·6 3,2·10u y

−

− −

= + + =

Valor del umbral

2 2

*

3

1 15 151,645 1249 1249 33,4

900·3,2·10 2·6 2·6y −

= + =

Valor del límite

2 2

2

3 3

#

24

2

3

1 15 15 12·1,645 1249 1249 1,645

900·3,2·10 2·6 2·6 900·3,2·1068,3

1,6·101 1,645

3,2·10

y

− −

−

−

+ + = =

−

-18-

4. Cálculos de los límites característicos realizad os por el Software Genie 2K (Canberra Industries SA), de análisis de espectros mediante e spectrometría gamma

La programación incluida en la espectrometría gama lleva asociada los cálculos mediante la aproximación de Currie. Este método es similar al empleado por las normas ISO-11929 e ISO28218 pero tiene el inconveniente de no tener una formulación coherente de manera tal que incluso se ha llegado a confundir el límite crítico utilizado para decir si una muestra está o no detectada con la sensibilidad del método, dada por el límite de detección. Error frecuentemente realizado por los laboratorios de medida de la radiactividad y que la normativa internacional como el MARLAP recomienda evitar.

4.1. Aplicación a los ajustes realizados por Genie2K El Genie 2K utiliza para el cálculo automático de los límites característicos el criterio de Currie. En este criterio las magnitudes denominadas umbral de decisión y límite de detección por la norma ISO 11929, se denominan nivel crítico y límite de detección definidas de la siguiente manera: Nivel crítico LC Valor por debajo del cual no puede ser detectada una señal Límite de detección LD Señal más baja que puede ser identificada con seguridad

En general se admite que LD > LC

En la Figura 3 se presentan los límites característicos de la misma manera que se hace para la norma ISO.

Se considera un caso general en el cual, en una determinada zona del espectro, hay un pico de fondo natural o procedente de una interferencia espectral, que se denomina por la letra I, una señal denominada S y el fondo asociado a dicha señal que se identifica por B. El valor total medido se denominará G. En estas condiciones se cumplirá que:

G S I B= + +

Figura 3: Límites característicos en una medida de radiactividad

El área neta del pico de interés vendría definida por la siguiente fórmula S=G-I-B

Cada uno de los valores lleva asociada una desviación estándar denominada σ σ σ σ y una varianza σσσσ2222.... El detector recibe una señal µs a la que se le asigna una desviación estándar σσσσs y su varianza correspondiente σσσσs

2222. . . . El sistema considera como fondo el área correspondiente a un trapecio en ambos lados del pico, con estos datos y mediante programación se pretende determinar:

Señal mínima

-19-

a) si la señal es real b) el valor mínimo de µs que asegura la presencia de una señal real y detectable.

Los errores asociados al proceso son de los dos tipos mencionados por la normativa MARLAP:

a) Error de primer orden, decidir que la señal es real cuando no lo es, al que se le asocia

una probabilidad α. b) Error de segundo orden, decidir que la señal no es real cuando lo es, al que se le

asocia una probabilidad β.

En cada caso la condición de que no hay error vendrá dada por la diferencia del total con el error 1- α y 1- β.

El valor máximo de α sumado a la desviación σσσσo marca el nivel LC o nivel crítico.

Se puede decir que el nivel crítico -que sería el equivalente al umbral de decisión de la normativa ISO- viene formulado como:

0CL Kασ=

Siendo el límite de detección:

D C DL L Kβσ= +

Considerando una distribución normal y que las probabilidades de error son iguales Kα = Kβ = K El detector se comporta según un modelo de Poisson, que puede asociarse a una distribución normal a partir de un determinado número de valores. Estimando los valores de error para el recuento neto del pico

2 2 2 2

S G I BS G I B σ σ σ σ= − − ⇒ = + +

Considerando que la varianza del número de cuentas acumuladas en el pico es igual al área del fotopico 2

G Gσ µ= (siendo Gµ el área “total” del fotopico)

2 2 2

S G I Bσ µ σ σ= + +

2 2 2( )S S B I I Bσ µ µ µ σ σ= + + + +

El valor mínimo se obtendrá cuando la señal neta sea 0 es decir 0Sµ = , en este caso::::

2 2 2

0 ( )B I I Bσ µ µ σ σ= + + +

En el límite de detección la señal mínima será S DLµ =

2 2 2( )D D B I I BLσ µ µ σ σ= + + + +

Sabiendo que el límite crítico tiene la siguiente expresión

2 2

0 B I I BK ( ) CL Kσ µ µ σ σ= = + + +

Al relacionar σσσσD

2 con σσσσo2

-20-

2 2

0D DLσ σ= +

Además:

D C DL L Kσ= +

Como 0CL Kσ=

Se obtiene para el cálculo del límite de detección una ecuación implícita fácilmente resoluble.

2

D O K L D CL L σ= + +

2

D O K L D CL L σ− = +

( )2 2 2

0( )D C DL L K L σ− = +

2 2 2 2 2

02· 0D C C D DL L L L K L K σ+ − − − = considerando que 0CL Kσ=

2 2 22· ( 2· ) 0D C D D D D CL L L K L L L L K− − = − − =

Obteniendo la expresión: 2 2

C 0 K 2.L =K 2K DL σ= + +

Figura 4: Aspecto de la pantalla donde el Genie2K determina el límite de detección

El programa Genie2K emplea esta ecuación pero con una nomenclatura diferente denominando a los valores de K y K2 como los coeficientes C1 y C0 respectivamente. La Figura 4 muestra la ventana donde aparecen los indicados coeficientes que pueden ser cambiados si no se quiere asumir un riesgo del 5%. Las casillas se denominan “ADD CONSTANT” y “MULTIPLIER”.

O 1 O C C . DL σ= +

-21-

Estos valores corresponden a K2 y 2K cuantiles de la distribución de Gauss para el nivel de confianza del 95%. 1,6452 = 2,71 y 1,645·2= 3,29

La programación del Genie2K lo que hace es convertir este Límite de Detección (LID) en unidades de concentración de actividad aplicando los factores correctores correspondientes.

El cálculo del límite de detección se realiza con la fórmula:

FFXWci

D

UCKKVKT

LLID

ε=

Donde: Ti Tiempo de medida en segundos ε Eficiencia corregida y Rendimiento gamma V Masa o volumen Cf Factor de masa o alícuota Uf Factor de conversión de unidades

Kc Factor de corrección por el decaimiento durante la medida Kw Decaimiento de la muestra desde la toma Igualando el denominador a X

i c W X F FX T VK K K C Uε=

Sustituyendo el valor de LD.

2 2 CK LLID

X

+=

DL

LIDX

=

En el caso de que k2 sea 0 se cumple que:

0

2 CK

LLID

X= =

Teniendo para su corrección por programación que el Límite Crítico asimilado al Umbral de Decisión de la normativa ISO, sería:

0

2

KLIDUmbral ==

-22-

5. Comparación de los límites característicos reali zada por ambas técnicas Genie2k/ISO En la Tabla 6 se hace la comparación de la normativa ISO y la programación en Genie 2K. En la mayoría de los casos el problema de los cálculos de los límites característicos es de uso de una nomenclatura común y coherente. En este caso se observa que para un caso sencillo el Genie 2K calcula la misma expresión que la norma ISO sólo que no tiene en cuenta las incertidumbres de los parámetros o factores de peso (“w” – “weight”). La diferencia más apreciable es a la hora de la determinación del límite de detección los parámetros que usan la ISO y el GENIE 2K.

#

22

2

1

1( )

( )1

( )

y diferenciau

k αε

ε−

=

−

En cuanto a la formulación de los demás los criterios serían similares. 6. Conclusiones La aplicación de la normativa ISO permite el uso de una nomenclatura coherente y un procedimiento por etapas que pueden ser seguidas por los laboratorios radioquímicos empleando la misma sistemática. El criterio de Currie que se sigue aplicando en los programas de cálculo es válido siempre y cuando se tengan en cuenta en el proceso final las incertidumbres de las magnitudes eficiencia, masa, etc. en el límite de detección. En los umbrales ambas normativas dan resultados similares. Es importante resaltar que en este documento se demuestra la utilidad del software comercial de Canberra “Genie 2k” para la obtención de los Límites críticos (Umbral de decisión y Límite de Detección), de acuerdo a la norma ISO 28218, en condiciones de rutina de los laboratorios de dosimetría interna: Contador de Radiactividad Corporal y Bioeliminación). 7. Bibliografía [1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. ISO International Organization for

Standardization. (Geneva) 1993, corrected ed. 1995, also as ENV 13005:1999

[2] International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology. ISO International Organization for Standardization (Geneva) 1993; Internationales Worterbuch der Metrologie - International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology. DIN Deutsches Institut für Normung (Ed.), Beuth Verlag (Berlin, Cologne) 1994.

[3] K. Weise, W. Weger. Messunsicherheit und Messdatenauswertung. Wiley-VCH (Weinheim) 1999. [4] P.M. Lee. Bayesian Statistics: An Introduction. Oxford University Press (New York) 1989. [5] D. Wickmann: Bayes-Statistik. Mathematische Texte, Vol. 4, Eds.: N. Knocke, H. Scheid, BI

Wissenschaftsverlag, Bibliographisches Institut and F.A. Brockhaus (Mannheim, Vienna, Zürich) 1990. [6] K. Weise, W. Weger. Eine Bayessche Theorie der Messunsicherheit. PTB Report N-11, Physikalisch-

Technische Bundesstad (Braunschweig) 1992; A Bayesian theory of measurement uncertainty. Meas. Sci. Technol. 4; 1-11; 1993.

[7] K. Weise. Bayesian-statistical decision threshold, detection limit and confidence interval in nuclear

radiation measurement. Kerntechnik 63; 214-224; 1998. [8] F. Kohlrausch. Praktische Physik. 24th ed., Vol. 3, p. 613. B.G. Teubner (Stuttgart) 1996.

-23-

[9] M. Abramowitz, I. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. 5th ed., Chap. 26, Dover Publications

(New York) 1968. [10] K. Weise. The Bayesian count rate probability distribution in measurement of ionizing radiation by use of

a ratemeter. PTB Report Ra-44, Physikalisch-Technische Bundesanstalt (Braunschweig) 2004.

[11] Guía para la determinación del Límite Crítico y el Límite de Detección. L. Romero, M. C. Fernández, E. Garcia-Toraño, A. González, M. C. Heras, M. Montero, M. Martínez Moreno, R. Nuñez-Lagos, C.Gascó (2009). Pendiente de publicación.

[12] Determination of the characteristic limits (decision threshold, detection limit, and limits of the confidence

interval) for ionizing radiation measurements — Fundamentals and applications. ISO-11929 (2009) Pendiente de aprobación.

[13] MARLAP. Detection and Quantification Capabilities. Volume III. Chapter 20.

http://www.epa.gov/radiation/marlap/manual.htm. [14] M. C. Fernández, C. Gascó, E. García-Toraño, J. A. González, M. C. Heras, M. Montero, R. Nuñez-

Lago, L. Romero. Guía para la evaluación de incertidumbre en la determinación de la radiactividad ambiental . ISBN: 84-95341-41-7. Ed. CSN. Madrid. 2002

[15] C. Gascó, M. P. Antón. Revisión de los criterios para la determinación de la concentración de actividad

mínima detectable (AMD) de radionucleidos emisores alfa en muestra ambientales” Report CIEMAT-808. ISSN:1135-9420.1996.

[16] C. Gascó, M. P. Antón. Cálculo de la incertidumbre asociada al recuento en medidas de radiactividad

ambiental y funciones basadas en ella. Procedimiento práctico II. Report CIEMAT-840. ISSN 1135-9420. 1997.

[17] Recomendación de la Comisión de 18 de Diciembre de 2003 relativa a la información normalizada

sobre efluentes radiactivos gaseosos y líquidos vertidos al medio ambiente por las centrales nucleares y las plantas de reelaboración en condiciones de funcionamiento normal. Diario Oficial de la unión Europea(06/01/2004)

[18] Direct Determination of the Body Content of Radionuclides. ICRU Report 69. Vol. 3 No. 1 (2003).

International Commission on Radiation Units and Measurements. [19] Performance Criteria for Radiobioassay. ISO 28218 (2009). ISO International Organization for

Standardization. (in press).

8. APENDICE

-25-

Tabla 1: Resumen de la Norma ISO 11929

-26-

Tabla 2 — Magnitudes de entrada, valores intermedio s y resultados para los ejemplos 1 y 2

Datos de partida y especificaciones del ejemplo 1 ( espectro no suministrado)

Cantidad símbolo valor canales

Anchura energética del canal 0,4995 keV Resolución (energía anchura a mitad de altura) 2,0 keV Número de cuentas recogidas en region A1 n1 3470 899 to 911 region A2 n2 3373 912 to 924 region B ng 1440 925 to 929 region A3 n3 3343 930 to 942 region A4 n4 3208 943 to 955 Anchura de la región Ai t 13 Anchura de la región B tg 5

Incertidumbre estándar

Duración de la medida T 21600 s Despreciable Factor de corrección f 0,8585 Despreciable Masa de la muestra M with u(M) 1,000 kg 0,001 kg Eficiencia de detección ε with u(ε) 0,060 0,004 Probabilidad de la emisión del fotón i with u(i) 0,98 0,02 Probabilidades α, β, γ 0,05 – Valor guía yr 0,5 Bq kg–1 –

Datos de partida y especificaciones del ejemplo 2

Cantidad símbolo valor canales, comentarios

Anchura máxima a mitad de altura de la línea

h 32,45

Numero de cuentas registradas en region A1 n1 17326 419 to 439

region A2 A1 para una línea

recta n2 17291 440 to 460

region B ng 84221 461 to 539 region A3 n3 12069 540 to 560

region A4 A2 para una línea

recta n4 11434 561 to 581

Anchura de la región Ai t 21 Anchura de la región B tg 79 Probabilidades α, β, γ, δ 0,05 Valor guía yr – no especificado

-27-

Tabla 3 (completa)

Valores intermedios Ejemplo 1 Ejemplo 2

Cantidad y cálculos valor valor

n0 = n1 + n2 + n3 + n4 13394 58120 n0′ = n1 – n2 – n3 + n4 –38 –600 Anchura total de t0 = 4t las regiones Ai 52 84 Contribución del fondo z0 con la incertidumbre estándar 1293,2 56120 u(z0) de acuerdo a la ecuación (15) 19,7 631

Resultados Ejemplo 1 Ejemplo 2

Mensurando: Y AM I

Cantidad símbolo valor en Bq kg–1 unidad 1

Resultado primario de la medida y 0,1346 28100 Incertidumbre asociada con el valor y u(y) 0,0403 695

Umbral de decision y* 0,0619 1109

¿Está el efecto presente? y*y > ? Sí Sí

Límite de detección #y 0,1279 2220

Es el procedimiento adecuado para la medida ?

#y ≤ yr ? sí –

Chi-cuadrado estandarizada 2sχ –

0,41 (parábola) 2,71 (línea recta)

¿Cumple la condición Chi-cuadrado? 2/12s δ−≤χ k ? –

sí (parábola) no (línea recta)

-28-

Tabla 4 — Espectro multicanal de datos para el ejem plo 2

i número de canal xi cuentas en el canal i

Ak Región de canales para la determinación del fondo

B Canales en la región del pico

A1 A2 B B B A3 A4

i xi i xi i xi i xi i xi i xi i xi

419 872 440 817 461 850 487 1219 513 1250 540 584 561 570

420 867 441 817 462 807 488 1301 514 1164 541 604 562 543

421 830 442 792 463 817 489 1401 515 1146 542 579 563 519

422 865 443 804 464 797 490 1399 516 1119 543 548 564 495

423 822 444 788 465 795 491 1346 517 1078 544 559 565 564

424 787 445 815 466 811 492 1452 518 1049 545 588 566 554

425 812 446 854 467 827 493 1426 519 1010 546 617 567 566

426 799 447 817 468 784 494 1430 520 956 547 576 568 543

427 860 448 875 469 829 495 1550 521 920 548 607 569 533

428 832 449 857 470 872 496 1503 522 901 549 580 570 540

429 807 450 773 471 855 497 1486 523 880 550 585 571 572

430 823 451 828 472 868 498 1561 524 823 551 599 572 546

431 838 452 850 473 895 499 1501 525 782 552 598 573 549

432 833 453 812 474 965 500 1611 526 745 553 606 574 553

433 795 454 818 475 888 501 1471 527 703 554 555 575 528

434 806 455 872 476 915 502 1608 528 742 555 572 576 585

435 815 456 804 477 887 503 1551 529 690 556 566 577 560

436 793 457 865 478 1002 504 1545 530 721 557 545 578 518

437 837 458 820 479 1008 505 1403 531 684 558 501 579 567

438 807 459 792 480 1064 506 1486 532 683 559 529 580 509

439 826 460 821 481 1033 507 1464 533 678 560 571 581 520

482 1110 508 1365 534 680

483 1131 509 1371 535 609

484 1160 510 1341 536 575

485 1264 511 1305 537 614

486 1194 512 1292 538 624

539 579

-29-

Tabla 5: Datos de partida, especificaciones y resul tados del ejemplo 3

Cantidad Símbolo Valor Incertidumbre estándar

Unidad

Número de cuentas integradas bajo el pico de interés pn 2251 47.44 1

Número de cuentas en las regiones 0n 1249 35.34 1

Tiempo de medida t 900 s

Número de canales en el rango del pico p 15 1

Número de canales en las regiones y m 6 1

Eficiencia ε 3.2 ·10-3 1.6 ·10-4 1 1Bq s− −

Valores intermedios

Cantidad Símbolo valor Unidad

Probabilidad de error de primera clase α 0.05 1

1k α− 1.645 1

Probabilidad de error de segunda clase β 0.05 1

1k β− 1.645 1

Valores finales, resultados

Cantidad Símbolo valor Unidad

Actividad y 239 Bq

Desviación estándar asociada a la actividad

( )u y 25 Bq

Umbral de decisión *y 34 Bq

¿Está el efecto presente? *y y> Sí --

Límite de detección #y 69 Bq

-30-

Tabla 6: Criterios aplicados para un mismo ejemplo para el Genie 2K y la norma ISO

Funcionamiento ISO Funcionamiento del GENIE2000

0

50

100

150

200

250

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46Canales

Cue

ntas

Pico de interés

p mm

Región B1 Región B2

02·

·

p

B

pn n

mAt ε

−=

0

LC

LD

α β

Valor Cero

0

LC

LD

α β

Valor Cero

Umbral de decisión

2 2

*

1 1 0 0

1(0)

· 2 2

p py k u k n n

t m mα α ε− −

= = + %

Límite de detección

2 2

2

1 0 0 1

#

22

2

1

1 12

· 2 2 ·

( )1

( )

p pk n n k

t m m ty

uk

α α

α

ε ε

εε

− −

−

+ + =

−

Nomenclatura Genie 2K

B = Fondo o blanco Continuo Incertidumbre

Bσ G = Área Integral Bruta (Gross) Incertidumbre

Gσ

S= Señal Neta Incertidumbre S

σ

Valor verdadero de la señal neta S

µ

0S

µ = No hay pico con lo que el valor del límite crítico

S CLµ → ( Umbral de Decisión , Límite Crítico)

1,645k =

MDA Currie

IeEfft

BBn

NBB

n

Nkk

BqMDA

BBn

NBB

n

NkL

BBn

NBkL

BBn

NB

IeEfft

LK

IeEfft

LMDA

C

C

B

CD

..

)(.2

)(.2

..2

)(

)(.2

)(.2

.

)(.2

.

)(.2

..

.2

..

2

21

2

21

2

2

21

2

21

21

2

21

2

+

++

+=

+

++

=

=+

+=

+==

+==

µ

Límite de detección

0.σαKLL CD +=

σD Desviación Estándar asociada al área neta del pico α= β = 0,05 Kα= Kβ = 1,645

222

22

2

..2

.

..2

IBIBD

IBIBC

CD

KKL

KL

LKL

σσµµ

σσµµ

++++=

+++=

+=

Nivel Crítico

22

0

.

.

IBIBC

C

KL

KL

σσµµ

σα

+++=

=

LC Cuentas