6.1

U.6 CINEMÀTICA

1. El moviment: magnituds necessàries per a descriure'l 2. Moviment uniforme 3. Moviment uniformement accelerat 4. Composició de moviments uniformes 5. Moviments parabòlics: tir oblic i tir horitzontal 6. Moviment circular uniforme 7. Moviment circular uniformement accelerat 8. Components intrínseques del vector acceleració 9. Descripció del moviment harmònic simple

10. Activitats complementàries

BIBLIOGRAFIA BÀSICA

HEWITT. Caps. 3 i 10.

TIPLER. Caps. 2 i 3.

Applets de física de la universitat de Colorado que es poden descarregar d'aquest enllaç:

https://phet.colorado.edu/es/simulations/category/physics

U.6 CINEMÀTICA

6.2

1. EL MOVIMENT: MAGNITUDS NECESSÀRIES PER A DESCRIURE'L

La c inemàtica és la part de la física que pretén únicament de descriure el moviment dels cossos. Per això cal establir prèviament què entenem per moviment i més concretament què entenem per espai i per temps.

A.1 Exposeu les idees que tingueu sobre què és l'espai i què és el temps.

A.2 Resumiu les principals característiques de l'espai i del temps segons la física newtoniana. Una de les idees fonamentals que hem de tenir present quan estudiem la cinemàtica és la

relativitat del moviment, per això és molt important fixar un s i s t ema de re f erènc ia per a saber si un sistema es mou o no i per tant poder definir les magnituds que permeten de descriure correctament de la forma més senzilla possible el seu estat de moviment.

A.3 Indiqueu com establir si un sistema està en repòs o en moviment.

A.4 Doneu una definició de moviment i aclariu quina dificultat presenta.

A.5 Indiqueu quines magnituds convé introduir per a la descripció cinemàtica d'un moviment, una volta establert el sistema de referència.

Inic iac ió a l cà l cu l vec tor ia l

Les magnituds físiques que només requereixen un nombre per a que la seua carac-terització siga completa s'anomenen magnituds escalars . Tanmateix, aquelles magnituds que no es poden caracteritzar de forma exclusiva per un sol nombre, sinó que a més cal conèixer la seua direcció i sentit, s'anomenen magnituds vec tor ia ls .

A.6 Poseu alguns exemples de magnituds escalars i vectorials.

A.7 Representeu un desplaçament de 2 m en direcció sud.

Les magnituds vectorials es representen per mitjà d'un vec tor . Per aquesta raó, i posat que es tracta de magnituds molt importants, anem a conèixer com hem d'operar amb vectors. Per problemes d'edició representarem els vectors amb lletra negreta: A es llegirà vector A.

Components d 'un vec tor

A.8 Tracteu de respondre aquestes qüestions: a) ¿de quantes components consten els vectors en el pla geomètric euclidià i en l'espai geomètric eu-clidià?; b) què representa cada component?; c) com es pot calcular el mòdul i la direcció d'un vector si es coneixen les seues components?

U.6 CINEMÀTICA

6.3

A.9 Determineu les components Ax, Ay, Az del vector A de la figura, situat en el pla ZY i que forma un angle de 300 amb l'eix Y si |A| val 4 U.I.

A.10 Si tenim els vectors: A(3, 2, -5) U.I. i B(-2, 0, 3) U.I., calculeu analíticament:

A + B, A - B i 3A + 4B.

A.11 Trobeu el mòdul del vector A(3, 0, 4) U.I. i el de A + B, si B(6, 8, 0) U.I.

A.12 Deduïu una expressió general que valga per a calcular el mòdul d'un vector partir de les seues components. Recordeu com es sumen vectors gràficament.

Vectors uni tar i s

A.13 Expresseu el vector A(4, 5, -2) en funció dels seus vectors components. Tot vector que tinga com a mòdul la unitat rep el nom de vec tor unitar i . Els vectors

unitaris de cadascun dels eixos cartesians, que a més són perpendiculars entre ells, s'anomenen vec tors canònics i constitueixen la base que defineix el sistema de referència rec tangular o cartes ià . D'ara en avant els anomenarem amb els símbols i, j, k, per a cadascun dels eixos X, Y, Z, respectivament. Ara farem un tractament general en tres dimensions, però els casos de moviments que estudiarem seran únicament en una o dues dimensions com a molt.

A.14 Expresseu els vectors A(2, -4, 3), B(6, 4, 5) i C(-3, 4, 0) en funció dels vectors unitaris canònics o cartesians.

A.15 Com es podria obtenir un vector unitari que tinguera la mateixa direcció que cert vector A ?

A.16 Calculeu el vector unitari en la direcció de A(3, 3, 3 2) i comproveu que el seu mòdul és realment la unitat.

Cosinus dire c tors d 'un vec tor : notac ió po lar

Anomenem cos inus direc tors d'un vector als cosinus dels tres angles que el vector forma amb cadascun dels eixos cartesians, que anomenem respectivament cos α , cos β , cos γ , per als eixos X, Y, Z.

L'expressió d'un vector en funció del seu mòdul i de -com a mínim- dos dels angles directors s'anomena notac ió polar . Quan es tracta d'un vector de dues components, és a dir, que es troba en un pla XY, per exemple, la notació polar és la que ja coneixem de cursos anteriors, que ens dóna el mòdul i l'angle que forma el vector amb l'eix X.

Notació polar en un vector de dues dimensions (r)

r = rx + ry = rx i + ry j

Les components a i b valen:

a = rx = r · cos α

b = ry = r · sin α = r · cos β

U.6 CINEMÀTICA

6.4

A.17 Si tenim un vector A(Ax, Ay, Az): a) escriviu l'expressió de cos α, cos β i cos γ ; b) demostreu que la suma dels quadrats dels cosinus directors és igual a la unitat.

A.18 Calculeu el valor de cos α i cos β per al vector A(4, 3, 0).

A.19 Calculeu el mòdul i els cosinus directors del vector A(2, 1, 4).

Posic ió i ve c tor de pos i c ió

La descripció d'un moviment requereix definir la posició del mòbil, ja que el moviment no és altra cosa que el canvi d'aquesta posició amb el temps. En un tractament vectorial la posició es defineix a partir del vector que va de l'origen del sistema de referència (SRET) al punt on es troba el mòbil. Aquest vector rep el nom de vec tor de pos i c ió .

A.20 El vector de posició d'un cos ve donat per l'expressió: r = 2t2·i + (3t+1)·j

(en metres, si t es dóna en segons). Calculeu: a) el vector de posició per a t = 2 s i t = 5 s ; b) la posició del cos en l'instant que comença a comptar el temps. Dibuixeu el vector de posició en aquest instant. Convé saber que la descripció d'un moviment sovint es pot fer millor si coneixem la

trajectòria del mòbil, és a dir, l'equació matemàtica que indica les seues posicions, sense aparèixer explícitament el temps. Per això, si volem esbrinar l ' equació de la tra jec tòr ia d'un mòbil només hem d'eliminar el temps de les expressions de cada component del vector de posició, de manera que quede una equació del tipus: y = f(x), si el moviment té lloc en el pla XY.

A.21 El vector de posició d'un cos ve donat per l'expressió: r = 4t·i + 3t2·j. De-termineu l'equació de la trajectòria.

A.22 Determineu l'equació de la trajectòria d'un mòbil que té aquest vector de posició: r = (sin t)·j + (cos t)·k i tracteu d'identificar quin tipus de moviment tindrà a la vista de l'equació obtinguda. En alguns moviments, de trajectòria regular, resulta més còmode estudiar com varia la

posició sobre la trajectòria o bé l'angle que es va descrivint. Això passa als moviments circulars, per això convé introduir-hi les magnituds que anomenem angulars : la posició angular (θ), la rapidesa angular (ω) i l'acceleració angular (α), que després descriurem.

A.23 Establiu la relació entre la distància recorreguda sobre la circumferència (Δs) i l'angle descrit (Δθ) en un moviment circular.

A.24 En un moviment circular de 4 m de radi, un mòbil recorre un arc de 2 m. Determineu l'angle descrit en radiants.

Variac ions de la pos i c ió

A.25 Definiu el vector desplaçament i determineu les seues components en funció de les components dels vectors de posició inicial i final.

A.26 La posició d'un mòbil en cada instant ve donada pel vector r = 2t·i + j (metres, si t ve donat en segons). Calculeu: a) les posicions en els instants t = 3 s i t = 8 s ; b) el desplaçament produït entre ambdós instants; c) el temps transcorregut.

U.6 CINEMÀTICA

6.5

A.27 Recordeu les magnituds que permeten de determinar la rapidesa i la velocitat amb què varia la posició d'un cos (valor mitjà i valor instantani). Convé explicitar les definicions operatives i els camps d'aplicació de cadascuna d'elles.

Tal com s'aprecia a les figures, la rapidesa mitjana correspon al pendent de la recta secant, que tendeix a convertir-se en tangent quan Δt tendeix a 0. Llavors, el pendent de la tangent correspon a la rapidesa instantània. Per tant ambdues magnituds han de coincidir necessàriament quan es tracta de moviments uniformes on la funció x = f(t) és una línia recta (pendent constant).

A.28 Un mòbil passa de la posició r1 (3, 4) a r2 (6, 8) en dos segons. Les distàncies estan mesurades en metres. Calculeu el vector velocitat mitjana, és a dir, les seues components i el seu mòdul en l'interval esmentat. Què caldria fer si volguérem calcular la velocitat instantània, és la dir, la velocitat quan Δt = 0 ?

Resum de l e s reg l e s bàs iques de der ivac ió

Ací tenim una taula per recordar les regles de derivació de les funcions més senzilles, únicament per a la variable x . Incloem només les funcions polinòmiques, el producte i quocient, algunes trigonomètriques senzilles i les funcions exponencial i logarítmica natural. Les regles completes es poden consultar en qualsevol llibre de matemàtiques.

Funció: y = f(x) Derivada: y' = f '(x) Funció: y = f(x) Derivada: y' = f '(x)

k 0 u/v (v· u' - u· v')/v2

x 1 sin x cos x

a· x a cos x - sin x

a· xn n· a· x(n-1) ln x x-1

u· v u· v' + v· u' ex ex

L'obtenció del vector velocitat instantània implica -com hem vist a la definició- el càlcul de la derivada d'un altre vector, el vector de posició, per això veiem breument com es fa per a der ivar un vec tor .

Si ens donen un vector A(Ax, Ay, Az), on les components Ax, Ay, Az, són variables que

depenen del temps, la derivada del vector A respecte al temps, que expressarem com: dAdt ,

U.6 CINEMÀTICA

6.6

s'obtindrà de derivar l'expressió: A = Ax· i + Ay· j + Az· k i com i, j, k són vectors constants, el resultat serà:

dAdt =

dAxdt · i +

dAydt · j +

dAzdt · k

que també és un vector.

Un cas diferent és que ens donen un vector A en funció del vector unitari uA en la direcció del mateix vector, que serà variable amb el temps igual com ho siga el propi vector. En aquest cas si apliquem la regla de derivació del producte, com A = |A|· uA la derivada valdrà:

dAdt =

d|A|dt · uA +

duAdt · |A|

és a dir, obtenim un vector que té dues components diferents, una de les quals hauríem de desenrotllar, ja que és precisament la derivada del vector unitari uA. Més endavant en veurem un exemple: les components intrínseques del vector acceleració.

A.29 La posició d'un mòbil en qualsevol instant ve donada per: r = 6t2·i + 4t·j . Determineu la velocitat mitjana entre els instants 0 i 2 s i el vector velocitat instantània i el seu mòdul en l'instant t = 2 s.

A.30 Recopileu en un resum les definicions i equacions introduïdes fins ací.

Variac ions de la ve loc i tat

A.31 Indiqueu quines magnituds convé introduir per a representar les variacions de la velocitat.

A.32 La velocitat d'un mòbil ve donada per l'expressió: v = 2t·i + 3·j (m/s, si t ve donat en segons). Calculeu l'acceleració mitjana entre els instants 0 i 5 s i l'acceleració instantània del mòbil en l'instant t = 5 s.

A.33 El vector de posició d'un mòbil en cada instant és: r(4t2, 2t, 6) (m, si t ve donat en segons). Determineu els vectors velocitat i acceleració en qualsevol instant i els mòduls respectius.

A.34 Quan es modifica el vector velocitat apareixen dues formes d'acceleració o components intrínseques: la lligada a la variació del mòdul de la velocitat, anomenada acceleració tangencial, i la lligada als canvis de direcció, anomenada acceleració normal o centrípeta. Identifiqueu quins tipus de moviments tindran aquestes formes d'acceleració.

U.6 CINEMÀTICA

6.7

A.35 El mòdul de la velocitat d'un cos varia segons l'equació: |v| = 4 - 2t (m/s, si t ve donat en segons). Calculeu l'acceleració que es pot determinar amb només la informació donada.

A.36 Les posicions que ocupa un mòbil en el seu moviment vénen donades per aquest vector de posició, expressat en m, si t en s:

r = (t2 + 2t - 5)·i + (t3 + 2t)·j Calculeu per a l'instant t = 2 s : a) la posició del mòbil; b) el mòdul de la velocitat; c) l'acceleració total; d) l'acceleració tangencial i la normal; e) el radi de curvatura de la trajectòria (sent an = v2/R).

Aspectes generals de l s moviments

Ara farem un plantejament general sobre què interessa conèixer de cada tipus de moviment, establirem una classificació general dels moviments més freqüents i després passarem a la descripció d'alguns moviments que tenen un interès especial.

Considerarem que un moviment queda definit si podem establir la seua equació de l moviment o equació de la pos i c ió , que permet deduir les equacions de la t ra jec tòr ia , de la ve loc i tat i de l'acce l erac ió .

A.37 La posició d'un mòbil ve donada pel vector: r (2t2, 5t) (m, si t ve donat en segons). Determineu la posició, la velocitat i l'acceleració en l'instant t = 2 s .

A.38 Completeu aquest quadre i indiqueu com són la velocitat i les components intrínseques de l'acceleració amb l'ús d'expressions com ara: nul·la, constant o variable:

MOVIMENT at an rapidesa direcció

Rectilini uniforme Rectilini uniformement accelerat

Circular uniforme Circular uniformement accelerat

A.39 La posició d'un mòbil sobre la trajectòria ve donada per l'equació: s = 25 + 40t - 5t2 (m, si t ve donat en s). a) Determineu la posició, la rapi-desa i l'acceleració tangencial inicials i quan t = 5 s. b) Calculeu la distància recorreguda pel mòbil en els 5 s. (R: a) inicials: 25 m, 40 m/s, -10 m/s2 ; als 5 s: 100 m, -10 m/s, -10 m/s2 ; b) recorre 85 m)

Resum de l e s reg l e s bàs iques d ' integrac ió

Ací tenim ara una taula per recordar les regles d'integració de les funcions més senzilles, únicament per a la variable x . Incloem només les funcions polinòmiques, la integració per parts, algunes trigonomètriques senzilles i les funcions exponencial i logarítmica natural. Les regles completes es poden consultar en qualsevol llibre de matemàtiques.

U.6 CINEMÀTICA

6.8

Funció: y = f(x) Primitiva: ∫ f(x)· dx Funció: y = f(x) Primitiva: ∫ f(x)· dx

1 x + C sin x - cos x + C

a a· x + C cos x sin x + C

a· xn (si n ≠−1) [a· x(n+1)]· (n+1)-1 + C x-1 ln x + C

u· dv (u i v funcions de x) u· v − ∫ v· du ex ex + C

A.40 Exposició del professor sobre el càlcul de primitives i integrals definides segons la regla de Barrow.

A.41 Calculeu aquestes integrals: a) ⌡⌠8t3·dt ; b) ⌡⌠(t2-5t+2)·dt ; c) ⌡⌠1

2

(4t2-2)·dt.

A.42 A partir de l'equació de la rapidesa, per integració, determineu l'equació de la posició d'un moviment uniformement accelerat.

2. MOVIMENT UNIFORME

A.43 Reviseu les equacions del moviment uniforme vistes en cursos anteriors.

A.44 Representeu gràficament les funcions s = f(t), v = f(t) i a = f(t) per als moviments d'equacions: a) s = 3t - 5 ; b) s = -2t + 8.

A.45 Dos mòbils A i B estan separats una distància de 100 m. El primer d'ells comença a moure amb una rapidesa de 20 m/s en la direcció que els uneix, a trobar el segon. Dos segons després, el mòbil B ix cap al primer amb una rapidesa de 5 m/s. Determineu el punt on es trobaran i el temps transcorregut des que cada mòbil es posà en moviment.

3. MOVIMENT UNIFORMEMENT ACCELERAT

A.46 Exposició pel professor de les equacions del moviment uniformement accelerat.

A.47 Representeu gràficament les equacions s = f(t), v = f(t) i a = f(t) per als moviments d'equacions: a) s = 2t + 3t2 ; b) s = 2 - 2t2 ; c) s = 3t2.

U.6 CINEMÀTICA

6.9

A.48 Analitzeu el moviment de caiguda lliure dels cossos i tracteu d'establir quin tipus de moviment és, quines equacions té i com es representen gràficament.

A.49 Llancem un objecte cap amunt amb una rapidesa inicial de 40 m/s. Quant de

temps romandrà en l'aire abans de tornar a terra? ¿A quina altura màxima arribarà? Quan es trobarà l'objecte a 15 m per damunt de terra? Agafeu g = 9,8 m/s2. (R: 8 s; 80 m; 0,47 s quan puja i 7,53 s quan baixa)

A.50 Una grua està alçant una càrrega de rajoles amb una rapidesa de 5 m/s, però quan és a 8 m de terra es solta una rajola. Quina és l'altura màxima a què arriba la rajola respecte a terra? Quant de temps tardarà en aplegar a terra? Quina és la seua rapidesa en el moment de xocar contra terra? (R: 9,25 m; 1,87 s; 13,6 m/s)

A.51 El gratacels Empire State encara és el més famós de la ciutat de Nova York, tot i que, amb 443,3 m, ja no és el més alt. Per atènyer els 103 pisos que té disposa de 73 ascensors alguns dels quals tarden aproximadament 1 minut en arribar al pis 80è. a) Si estimem que entre planta i planta hi ha uns 3,7 m, calculeu la rapidesa mitjana d'un d'aquests ascensors. b) Durant un trajecte cap avall ens cau al sòl de l'ascensor una bossa amb records, des d'una altura de 70 cm, quant de temps tardarà en arribar a terra? c) ¿I si ens haguera caigut en el trajecte de pujada? d) Considerem ara el cas en que pugem des de la planta baixa i l'ascensor arranca amb una acceleració de 2 m/s2. e) ¿I si ens cau la bossa en el moment que frena amb una acceleració de -2 m/s2? f) ¿I si tot això passa en una pel·lícula de catàstrofes i es talla el cable de l'ascensor? g) ¿Hi ha alguna altra possibilitat? Què passaria llavors? (R: a) 4,93 m/s ; b) 0,38 s ; d) 0,34 s ; e) 0,42 s ; f) no tocaria mai a terra ; g) sí...)

U.6 CINEMÀTICA

6.10

A.52 Un mòbil A es desplaça horitzontalment, ix del repòs i recorre 20 m en 2 s. Si l'acceleració és constant, calculeu el temps que transcorrerà fins que es creue amb un segon mòbil B que es troba a 1000 m de A i que 5 s després ix amb una rapidesa constant de 10 m/s a trobar-se amb A. (R: 13,5 s des que A es posà en moviment)

A.53 Un cotxe de la policia arranca quan el semàfor es posa verd, amb una acceleració d'1,5 m/s2, en el mateix instant que l'avança un altre cotxe que porta una rapidesa de 90 km/h. Si el cotxe de policia manté l'acceleració durant 15 s, podrà avançar el segon cotxe i multar-lo per excés de rapidesa en ciutat? En cas que no puguen trobar-se els dos vehicles, quina distància els separarà als 15 s? (R: no l'avança; 206,25 m)

A.54 Des de dalt d'un balcó situat a 40 m d'altura deixem caure una pilota i 1,5 s després, algú llança cap amunt verticalment des de terra una altra pilota amb una rapidesa inicial de 80 km/h. Calculeu en quin instant i en quin punt es trobaran ambdós mòbils a la mateixa altura i la velocitat que tindrà cada pilota en aquest instant. (R: 2,28 s ; 14,53 m ; v1 = -22,34 m/s ; v2 = 14,58 m/s)

A.55 Determineu durant quant de temps ha de caure un avió en el buit per tal que l'espai recorregut en l'últim segon siga 3/4 de l'espai total. (R: durant 2 s)

Les contr ibuc ions de Gal i l eu a l ' e s tudi de l moviment

Galileo Galilei és un científic italià ben conegut per nombroses contribucions en el camp de l'astronomia i les matemàtiques, però algunes de les seues millors idees formen part dels orígens de la ciència del moviment. Ell va classificar més correctament els moviments en uniformes i no uniformes, recollint treballs de molts científics anteriors, desafiant la classificació aristotèlica dels moviments naturals i forçats. Entengué el caràcter relatiu del moviment i va establir el principi d'inèrcia, en què es basà Newton per a les seues lleis de la dinàmica i caracteritzà la caiguda lliure dels cossos com un moviment uniformement accelerat. Establí clarament la constància de l'acceleració de caiguda lliure, independentment de la massa dels cossos i també va intuir el caràcter vectorial del moviment en descriure el moviment parabòlic dels projectils com la composició de dos moviments, tal com veurem més endavant.

U.6 CINEMÀTICA

6.11

A Galileu devem una sèrie d'anomenats exper iments mentals ideats per a convèncer els filòsofs aristotèlics reticents a la verificació experimental de les seues idees i partidaris més aviat dels silogismes lògics. Així, suggereix d'imaginar com seria el moviment de petits objectes (insectes, un peix en la peixera, gotes d'aigua caient...) dins d'un vaixell en repòs i si hi hauria cap diferència amb un vaixell que es moguera "idealment" amb un moviment uniforme. Aquest moviment hauria de ser indistingible del repòs i un exemple que ho confirmaria seria analitzar la trajectòria d'una pilota que cau del pal major, vista com a rectilínia pels passatgers de vaixell com si caiguera en el vaixell en repòs, a la vegada que seria una paràbola vista des del port, per la combinació del moviment horitzontal del vaixell (uniforme) i el vertical de caiguda (accelerat).

Un dels molts llibres de Galileu, aquest sobre mecànica i cinemàtica, anomenat Discursos...

Enclusa i martell

Però els experiments mentals més famosos són els que desmunten la hipòtes i aristotèlica segons la qual e l s cossos amb més massa han de caure amb major rapidesa . Segons Galileu, tots els cossos, tinguen la massa que tinguen, cauen amb la mateixa rapidesa, però com que això només ocorre "exactament" en el buit, tecnologia inassequible a la seua època, ell proposa d'imaginar què passaria mitjançant dos exemples. El primer és el d'un martell i una enclusa. L'enclusa té prou més massa que el martell, per tant l'enclusa tendeix a caure amb major rapidesa mentre que el martell caurà més lentament. Llavors, es pregunta Galileu, què passarà si lliguem el martell i l'enclusa amb una cadena i els soltem? Per una banda, el conjunt té major massa que cada objecte per separat, per tant cal concloure que aquest conjunt caiga molt més de pressa que cadascuna de les parts. Però si la massa "influeix" en la caiguda també caldria esperar que el martell, menys massiu, tendiria a frenar l'enclusa, per tant el conjunt hauria de caure més lentament. Estem davant del que la lògica anomena una contradicció, que desapareix si la massa no influeix en la caiguda, tal com ocorre en veritat. El segon exemple és una variació del primer i seria imaginar un objecte de certa massa format per dues peces iguals que durant la caiguda es separen, segons això, cada peça, més lleugera que el conjunt, frenaria de sobte la seua caiguda, cosa del tot absurda, ja que segueix caient i cada peça per separat no triga el doble de temps que el conjunt original.

Dibuix representatiu de l'experiment fet a la Lluna per l'astronauta David Scott de l'Apol·lo 15

U.6 CINEMÀTICA

6.12

La presènc ia de l 'a ire fou tinguda molt en compte per Galileu i, contràriament al que sovint es diu, no resulta creïble que deixara caure objectes de diferent massa des de la famosa torre inclinada de la seua ciutat, Pisa, ja que hauria comprovat que "en presència de fricció" els cossos de diferent massa cauen amb diferent velocitat, cosa que els aristotèlics no li haurien "perdonat" per molt que insistira que la presència de l'aire alterava els resultats "lleugerament". Els aristotèlics tampoc comprenien que no poguera haver-hi aire, perquè no admetien l'existència del buit. Dècades després s'inventà una màquina de fer el buit i Newton pogué dissenyar un experiment senzill amb una moneda i una ploma per demostrar que, en absència d'aire, ambdós objectes cauen amb la mateixa rapidesa. De fet, fou Newton mateix qui donà una justificació teòrica de perquè els cossos cauen tots amb la mateixa acceleració independentment de la seua massa, cosa que, com tantes altres idees científiques, desafia el sentit comú. Finalment, el segle XX es va poder comprovar una vegada més, ara en directe, ja que els astronautes David R. Scott i James B. Irwin de la nau Apol·lo 15 feren aquest experiment a la Lluna amb una ploma i un martell i ho enregistraren per què tothom ho poguera verificar, recordant el mateix Galileu, pioner en la defensa de tantes idees que anaven contra moltes evidències de la lògica quotidiana.

Vegeu aquest vídeo sobre la caiguda lliure dels cossos en el buit: https://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-es

4. COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS UNIFORMES

A.56 Un avió vola en direcció cap a l'oest amb una rapidesa de creuer de 850 km/h i amb un vent lateral de 36 km/h en direcció nord-sud. Determineu la velocitat de l'avió i l'angle que es desviarà del seu rumb original. (R: v = (- 850 i - 36 j) km/h, 236,32 m/s, 2,43°)

A.57 Un nadador vol creuar un riu de 200 m d’amplària. El corrent té una rapidesa mitjana de 7,2 km/h i el nadador nada amb una rapidesa mitjana d'1,5 m/s. Si el nadador va en direcció perpendicular al corrent del riu: a) calculeu el temps que tardarà en creuar-lo; b) raoneu com variarà el temps si el corrent val 1,8 km/h; c) calculeu l’angle que s’haurà desviat el nadador respecte a la vora; d) calculeu la distància riu avall que s’haurà desplaçat el nadador; e) raoneu com varia aquesta distància si el nadador nada a 0,75 m/s. (R: a) 133,33 s ; b) el corrent no afecta el temps de creuar; c) 36,87° ; d) 266,67 m; e) ↑)

A.58 Un transbordador tarda 55 segons en creuar un riu. El corrent té una rapidesa de 5 km/h i el transbordador es mou a 8 m/s en direcció perpendicular al corrent. a) Calculeu l'amplària del riu; b) calculeu la distància que es desvia el transbordador a causa del corrent; c) calculeu la velocitat resultant del transbordador respecte del fons del riu en forma vectorial i determineu-ne el mòdul i l'angle de desviació respecte a la direcció del corrent. (R: a) 440 m ; b) 76,39 m ; c) v = (1,39 i + 8 j) m/s, 8,12 m/s, 80,14°)

U.6 CINEMÀTICA

6.13

5. MOVIMENTS PARABÒLICS: TIR OBLIC I TIR HORITZONTAL

A.59 Emeteu alguna hipòtesi sobre la naturalesa dels moviments parabòlics com el tir oblic i el tir horitzontal, de manera que se'n puga fer un estudi quantitatiu, a partir de la hipòtesi de Galilei sobre la descomposició de moviments.

Els moviments parabòl i cs es caracteritzen per tenir una trajectòria comuna, en el cas del

moviment dels projectils sotmesos a l'acceleració de la gravetat, podem tractar-los de forma general si considerem que es poden descompondre en dos moviments més senzi l l s : un moviment horitzontal rectilini uniforme i un moviment vertical rectilini uniformement accelerat.

A partir d'aquesta idea no és complicat establir les equacions del moviment. Només cal tenir en compte que la velocitat inicial és un vector que, en el cas general, forma un angle α amb l'horitzontal. En el cas del tir horitzontal α valdrà 0°, i en el cas que α valguera 90° tindríem el llançament vertical que ja hem estudiat abans.

El vector E de la figura suposem que fóra el vector velocitat inicial, v0 i suposem també el

cas més senzill on llancem des de terra: y0 = 0 i considerem g = -9,8 m/s2.

Equació del vector de posició (descomposta en les component x i y):

x = vox· t = (vo· cos α) t

y = voy· t + ½ g· t2 = (vo· sin α) t + ½ g· t2 = (vo· sin α) t - 4,9· t2

En notació vectorial quedaria: r = [(vo· cos α) t]· i + [(vo· sin α) t - 4,9· t2]· j

Equació del vector velocitat: només cal derivar les equacions anteriors respecte al temps:

vx = vox = vo· cos α

vy = voy + g· t = vo· sin α + g· t = vo· sin α - 9,8· t

En notació vectorial quedaria: v = [(vo· cos α)]· i + [(vo· sin α) - 9,8· t]· j

A partir d'aquestes equacions ja podem resoldre tots els casos, igual que hem fet en els moviments d'una sola component. També podem deduir les equacions per al moviment hor i tzontal , substituint α per 0°, on cos 0° = 1 i sin 0° = 0, i assumint que ara yo no sol valdre zero, encara que això depèn del SR que emprem, tindrem:

x = vox· t = vx· t

y = yo + voy· t + ½ g· t2 = yo + ½ g· t2 = yo - 4,9· t2

U.6 CINEMÀTICA

6.14

vx = vox = vo· cos α = vo

vy = voy + g· t = g· t = - 9,8· t

Veurem ara diferents casos pràctics que es resolen aplicant les equacions.

Tir obl i c : pro j e c t i l s , fonts , sa l t s . . .

A.60 Es dispara un canó amb un angle de tir de 300 i amb una rapidesa inicial de 500 m/s. Calculeu: a) el mòdul de la velocitat als 3 s; b) les coordenades de posició del mòbil en aqueix moment; c) l'altura màxima a què arriba; d) l'abast del tir. (R: a) 490,43 m/s ; b) r = (1299,04 i + 705,9 j) m ; c) 3188,72 m ; d) 22092,18 m)

A.61 En un jardí raja aigua d'unes fonts en un angle de 30° respecte a l'horitzontal

del sòl. Es demana: a) Calculeu amb quina velocitat ha de brollar l'aigua per tal que el doll caiga dins d'un estany circular que té un diàmetre de 2 m, si el raig ix de la vora de l'estany. b) Calculeu el temps que tardarà el raig d'aigua en creuar l'estany. c) Calculeu quina altura màxima assolirà l'aigua. (R: a) 4,76 m/s ; b) 0,49 s ; c) 0,29 m)

A.62 Durant unes proves d'atletisme un saltador de longitud fa un salt de 8,9 m. Si

suposem que l'angle de salt ha estat el de l'abast màxim (45°), calculeu el temps que ha durat el salt, l'altura màxima assolida i la rapidesa inicial. (R: 1,35 s ; 2,22 m ; 9,32 m/s)

El següent applet ens pot servir per a modificar les variables implicades en un tir parabòlic mitjançant la simulació de les trajectòries que seguirà el projectil:

https://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html

U.6 CINEMÀTICA

6.15

Tir hor i tzontal : pro j e c t i l s , l lançaments . . .

A.63 Un hidroavió tracta d'apagar un incendi forestal. Considerem una situació ideal on no hi haja vent ni resistència de l'aire. Com haurà de deixar caure la càrrega d'aigua que porta? a) Per esbrinar-ho, feu primer un estudi gràfic del problema i dibuixeu la trajectòria que seguirà l'aigua tal com es veu des de l'avió i des de terra. b) Indiqueu quines variables caldrà considerar per a fer els càlculs referents al moment oportú en què s'ha de descarregar l'aigua. c) Si suposem que l'avió vola a 300 m d'altura i a una velocitat de 360 km/h calculeu l'abast del llançament, el temps que tarda l'aigua en caure i la velocitat amb què arriba a l'incendi, en components, mòdul i angle. (R: 782,46 m ; 7,82 s ; v = 100 i - 76,64 j , ⏐v⏐ = 125,99 m/s , α = 37,47°)

A.64 Una ampolla de plàstic té un forat lateral a 8 cm sobre la taula on es troba. L'ampolla és plena d'aigua de manera que raja un doll pel forat. Suposem que durant el temps que observem el raig d'aigua el nivell no baixa massa, de manera que la velocitat amb que raja l'aigua es puga considerar com a constant. a) Feu primer un estudi gràfic del problema i dibuixeu la trajectòria que seguirà l'aigua. b) Suposem que el doll d'aigua arriba a 3 cm sobre la taula, comptats des de la vertical d'on raja. Calculeu el temps que tarda l'aigua en caure, la velocitat que té a l'eixida i la velocitat amb què arriba a la taula, i doneu les components i el mòdul de cada velocitat. (R: 0,13 s ; 0,23 m/s ; v0 = 0,23 i , vf = 0,23 i - 1,27 j ⏐vf⏐ = 1,29 m/s , α = 79,73°)

U.6 CINEMÀTICA

6.16

En nombroses circumstàncies resulta interessant experimentar què ocorre en "absència" de gravetat. Com que l'absència real de gravetat és pràcticament fora del nostre abast, sovint es recorre a la simulació de la mal anomenada gravetat zero mit jançant un vol parabòl i c , on des de dins d'un avió es fa una caiguda lliure momentània i els passatgers sembla que suren en l'espai.

Vegeu-ho en aquests vídeos i tracteu de donar-hi una explicació correcta que ignore la falsa absència de gravetat:

http://www.youtube.com/watch?v=1ieR8hIXUIg

http://www.youtube.com/watch?v=NkXrpbOEWC4

6. MOVIMENT CIRCULAR UNIFORME

A.65 Determineu l'equació que dóna la posició angular en qualsevol instant per a un moviment circular uniforme.

A.66 Determineu la relació que existeix entre la rapidesa angular (ω) i la rapidesa lineal (v) en un moviment circular.

A.67 Un mòbil recorre una circumferència de 5 m de radi amb una rapidesa constant de 10 revolucions per minut (r.p.m.) Quin és el valor del període, de la freqüència i de les rapideses angular i lineal?

A.68 Les rodes d'un tractor tenen uns diàmetres de 0,6 i 1 m. Determineu quina rapidesa angular tindrà cada roda quan el tractor es desplaça a 30 km/h. El moviment circular uniforme és un cas particular de moviment per iòdic , és a dir, es van

repetint les posicions del mòbil cada cert temps, per això la seua descripció implica l'ús de les magnituds que anomenem període i freqüència.

El per íode (T) és el temps que tarda el mòbil en tornar a passar per la mateixa posició. Cada repetició completa de les posicions és un c i c l e . Anomenem f r eqüènc ia (ν) el nombre de cicles que es repeteixen en la unitat de temps. Si el per íode el mesurem en segons, la f r eqüència estarà en c i c l es/s o hertz (Hz). Resulta senzill comprovar que: T = 1/ν i també ν = 1/T .

En un moviment c i r cu lar uni forme també podem demostrar que la magnitud rapi-desa angular és directament proporcional a la freqüència i s'hi compleix:

ω = 2πT = 2π · ν (rad/s)

A.69 Una roda de bicicleta té una freqüència de 4,5 voltes per segon. a) Determineu el període i la rapidesa angular de la roda. b) Calculeu el seu radi si circula a 15 m/s. (R: 0,22 s ; 28,27 rad/s ; 0,53 m)

U.6 CINEMÀTICA

6.17

7. MOVIMENT CIRCULAR UNIFORMEMENT ACCELERAT

A.70 Explicació del professor sobre les magnituds i equacions del moviment circular uniformement accelerat.

A.71 Un disc està girant i fa 33 r.p.m. quan comença a frenar amb una acceleració angular uniforme, de manera que s'atura als 15 s. Calculeu: a) la rapidesa angular inicial en rad/s; b) l'acceleració angular durant la frenada; c) l'angle descrit fins que s'atura i les voltes que fa. (R: a) 3,46 rad/s ; b) -0,23 rad/s2 ; c) 26,03 rad, 4,14 voltes)

A.72 Deduïu la relació entre l'acceleració angular d'un moviment circular i l'ac-celeració tangencial.

A.73 Resumiu les equacions que relacionen les magnituds angulars θ, ω i α, amb les lineals s , v i at .

8. COMPONENTS INTRÍNSEQUES DEL VECTOR ACCELERACIÓ (a )

Per definició, el vector acceleració és la derivada del vector velocitat, però si escrivim el vector velocitat en funció del seu unitari tangent a la trajectòria, que anomenarem vector tau (τ), tindrem:

a = dvdt

v = v·τ

a = d

dt(v·τ ) = dv

dt·τ + v·d

τdt

= aT ·τ + aN ·

n

Per definició: aT =dvdt

i ara demostrarem que: aN =v2

R

Escrivim els vectors unitaris τ i n en funció de l'angle θ que forma el vector tau amb

l'eix de les abscisses (vegeu la figura 1, on tau és ur, ena uθ, i és ux i j és uy, on també manca la corba, tangent a la direcció r, que per al nostre propòsit no és cap radi, sinó la tangent a la trajectòria):

Fig.1

Els vectors unitaris τ i n entre ells són

perpendiculars, els seus mòduls són iguals, però les direccions són diferents. τ (tau) és tangencial, és a dir, paral·lel al vector velocitat, tangent a la corba. n (ena) és normal, és a dir, perpendicular al vector velocitat i, a més, va dirigit al centre de la corba (centrípet)

τ = cosθ ·

i + sinθ ·

j

n = cos(θ + π2)·i + sin(θ + π

2)·j = −sinθ ·

i + cosθ ·

j

Calculem la derivada del vector unitari tau respecte al temps:

U.6 CINEMÀTICA

6.18

d τdt

= (−sinθ )·dθdt·i + cosθ ·dθ

dt·j = dθ

dt·(−sinθ ·

i + cosθ ·

j ) = dθ

dt·n

Ara calcularem el valor de dθ/dt , per això desenrotllarem l'expressió introduint la variable ds . La relació dθ/ds procedeix de la definició de radiant, segons la figura següent (2), i la relació ds/dt és el mòdul de la velocitat o rapidesa lineal, per definició.

θ =sR

dθ = dsR

dθds

=1R

dθdt

=dθds·dsdt=1R·v = v

R

Si ara tornem a la primera equació, on apareixien les dues components del vector acceleració, i ens fixem en l'acceleració normal o centrípeta, resulta:

aN ·n = v·d

τdt

= v· vR·n = v

2

R·n

Per tant queda demostrat que el valor numèric del vector acceleració normal és

proporcional al quadrat de la rapidesa i inversament proporcional al radi de curvatura. D'altra banda, queda també demostrat que aquesta component té una direcció "normal" o "centrípeta", és a dir, perpendicular a la direcció tangencial del vector tau.

A.74 Una atracció de fira comença a girar i arriba a 100 r.p.m., rapidesa que manté mentre dura el viatge. Des que estava en repòs accelera uniformement fins que assoleix l'esmentada rapidesa i tarda 5 s. Calculeu: a) la rapidesa angular assolida en rad/s; b) l'acceleració angular durant la posada en marxa; c) l'acceleració centrípeta que experimenten els passatgers situats a 5 m de

l'eix de rotació; d) el nombre de voltes que fa fins assolir les 100 rpm. (R: a) 10,47 rad/s ; b) 2,09 rad/s2 ; c) 548,10 m/s2 ; d) 4,17 voltes)

U.6 CINEMÀTICA

6.19

9. DESCRIPCIÓ DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

Els fenòmens vibratoris es poden descriure a partir d'un tipus bàsic de moviment periòdic anomenat moviment harmònic s imple o M.H.S. Es tracta del moviment vibratori més senzill i al mateix temps el més important, en el qual l’acceleració i la força són proporcionals a la distància que separa la partícula que oscil·la de la seua posició d’equilibri estable. Aquest tipus d'oscil·lació és important pel fet que explica entre d'altres el moviment ondulatori.

A.75 Discutiu i analitzeu les característiques qualitatives que presenta un moviment vibratori en general, com ara el d'un moll elàstic que l'estirem i el deixem anar o bé el d'un pèndol simple i indiqueu les magnituds que caldrà fer servir per a la seua descripció completa.

A.76 Tracteu de relacionar el moviment oscil·latori amb un altre de més senzill ja estudiat abans i que en coneixem les equacions. Dibuixeu-ne un esquema il·lustratiu.

A.77 Escriviu l'equació θ = f(t) per a un M.C.U. de rapidesa angular ω i deduïu l'equació de l'elongació del M.H.S. que li podríem associar.

Podem obtenir l’equació del M.H.S. si el relacionem amb el moviment circular uniforme d'un objecte que es projecta sobre una pantalla paral·lelament a un moll que oscil·la. Imaginem que l'objecte recorre una circumferència de radi A, amb una velocitat constant, i observem el moviment que realitza la seua projecció sobre el diàmetre horitzontal. Es tracta d'un moviment harmònic simple. En la figura següent s'hi mostra la projecció vertical, però el cas és el mateix.

Començarem a comptar el temps en l’instant en el qual l'oscil·lador es troba en la posició

d’equilibri O, en el qual el punt auxiliar projectat es trobarà en P. Al cap d’un temps t, l’oscil·lador tindrà una elongació x i el punt P' serà la posició del M.C.U. que es projecta sobre l'horitzontal. És com si el punt P es desplaçara a P' recorrent un angle θ en un temps t.

L’angle descrit pel M.C.U. de rapidesa ω serà: θ = ω· t

L’elongació vindrà donada per: x = A· sin θ = A· sin ωt

En general, l’angle inicial (ϕ quan t = 0) potser no siga zero, per la qual cosa l’equació anterior l'escriurem:

x = A· sin (ωt + ϕ) que és l’ equació del moviment harmònic simple

A.78 Obteniu les equacions de la velocitat i l'acceleració d'un M.H.S. per derivació de l'equació de l'elongació.

proporcional a la distància respecte de la posició d’equilibri (elongació) i dirigida en sentit contrari a aquesta. Igualant l’equació fonamental de la dinàmica a la llei de Hooke podem obtenir l’equació diferencial del moviment d’un oscil·lador harmònic simple:

F =ma =m d 2xdt2

F = −kx m d 2x

dt2= −kx→ d 2x

dt2+kmx = 0

L’equació diferencial del moviment harmònic és: d 2xdt2

+ω 2x = 0

Aquesta equació diferencial, en integrar-la, dóna com a solució l’equació del moviment harmònic simple:

on x és l’elongació, A l’amplitud, ω la freqüència angular i ϕ és la constant de fase que ens indica la posició de l’oscil·lador en iniciar-se el moviment quan t = 0 s.

Q.44.- (2008-B) Una massa m penjada d’un moll de constant elàstica K i longitud L oscil·la harmònicament amb freqüència ν. Tot seguit, la mateixa massa es penja d’un altre moll que té la mateixa constant elàstica K i longitud doble 2L . Amb quina freqüència oscil·larà? Raoneu la resposta.

x = A·sin(ωt +ϕ )

U.6 CINEMÀTICA

6.20

Si apliquem el càlcul diferencial, la velocitat de la partícula que es mou amb un M.H.S. vindrà donada per:

v = dx/dt = A· ω·cos (ωt + ϕ) Igualment, l’acceleració l’obtindrem tornant a derivar

respecte del temps:

a = dv/dt = −A·ω2· sin (ωt + ϕ) = −ω2·x Al dibuix de la dreta es mostren les representacions

gràfiques de la posició (a), la velocitat (b) i l’acceleració (c) d’una partícula sotmesa a un M.H.S. en funció del temps:

A.79 Ens donen l'equació: x = 0,2·sin πt (m si temps en s). Calculeu: a) els valors d' A, ω, T i ν ; b) les equacions v = f(t) i a = f(t) ; c) ompliu aquesta taula amb els valors calculats per a x, v i a :

t (s) x (m) v (m/s) a (m/s2)

0

T/4

T/2

3T/4

T

d) representeu de forma gràfica les equacions x = f(t), v = f(t) i a = f(t), a partir de les dades de la taula anterior.

MAGNITUDSNECESSÀRIESPERLADESCRIPCIÓDELM.H.S.

MAGNITUD DEFINICIÓ SÍMBOLIUNITATS

Període És el temps que tarda en produir-se una oscil·lació completa

T(s)

Freqüència És el nombre d’oscil·lacions que es produeixen per unitat de temps i equival a la inversa del període, com es veu a la relació adjunta

ν =1T (Hzocicles/s)

Elongació És la posició de la partícula oscil·lant en cada instant respecte d’un origen que pot ser el mateix punt d’equilibri

x(m)quanl'oscil·laciótélloc

enladireccióOX

Amplitud És la màxima distància de la partícula oscil·lant a l’origen, per tant és la màxima elongació

A(m)

Freqüènciaangularopulsació

És una altra manera de donar el període o la freqüència i s'hi relaciona, segons l'equació indicada al costat

ω =2πT

= 2π ·ν (rad/s)

AL TEMA DE DINÀMICA

x. DINÀMICA DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE Considerem un ressort elàstic ideal que hi porta subjecte una massa m amb llibertat

per moure’s sobre una superfície horitzontal sense fregament. L’observació de les deformacions produïdes per una força que actua sobre el ressort o moll, mostren que a major força major deformació. Això permet emetre la hipòtesi que la força aplicada és proporcional a la deformació, o dit d’altra manera, que el ressort s’oposa a la deformació amb una força idèntica però de sentit contrari, que rep el nom de força recuperadora o força elàstica: Fext = k· x Fint = −k· x

Les expressions anteriors, vàlides dintre del límit d’elasticitat del moll, constitueixen la llei de Hooke. La constant k rep el nom de constant recuperadora o elàstica, i es mesura en N/m en el S.I. La llei de Hooke ens permet donar una definició operativa del moviment harmònic simple: una partícula oscil·lant movent-se alternativament a ambdós costats de la seua posició d’equilibri, descriu un M.H.S. quan la força que actua sobre el mòbil siga

U.6 CINEMÀTICA

6.21

10. ACTIVITATS COMPLEMENTÀRIES

MOVIMENTS BÀSICS

A.80 Indiqueu de forma raonada si són certes les següents afirmacions: a) Quan es llança verticalment cap amunt un cos, l’acceleració amb la qual

puja és menor que l’acceleració quan baixa, ja que quan puja va més a poc a poc que quan baixa.

b) En un moviment circular uniforme hi ha acceleració, malgrat el que indica el seu nom.

c) Quan un cos cau verticalment cap avall, en absència de fregament, recorre la mateixa distància en intervals de temps iguals.

d) Dues xiquetes que viatgen en una roda de cavallets, una al costat de l’altra, giren a la mateixa velocitat, perquè la distància entre elles no varia.

e) Com més gran és la massa d’un cos, major és el seu pes i, en conseqüència, menor és l’altura que assoleix quan es llança verticalment cap amunt amb una mateixa velocitat inicial.

f) Dues rodes que giren avancen amb la mateixa rapidesa, v; això implica que la seua rapidesa angular ω, també és la mateixa.

g) Tres patinadors es mouen en fila, un darrere de l’altre, amb velocitat constant. Si el segon d’ells llança verticalment cap amunt una pilota, la pilota l’arreplegarà el que va en tercer lloc.

h) Quan es llança verticalment cap amunt un cos, el valor de l’acceleració va disminuint fins que es fa nul en el punt més alt de la seua trajectòria.

i) Quan es representen les funcions x = f(t), v =f(t) i a = f(t) i obtenim línies rectes significa que es tracta d'un moviment rectilini.

j) El moviment de tir horitzontal, en realitat, no és parabòlic, sinó que és com un moviment de caiguda lliure.

k) Quan es llança verticalment cap amunt un cos, el valor de la seua acceleració és positiu, perquè va cap amunt, però es transforma en negatiu quan va cap avall.

(R: a) F ; b) V ; c) F ; d) V (ω) i F (v) ; e) F ; f) F, depèn del radi; g) F ; h) F, a = g = constant ; i) F, uniforme ; j) V, però depèn del SR ; k) F, sempre mateix signe)

A.81 Dibuixeu de forma qualitativa les gràfiques que tot seguit s’indiquen: a) Gràfiques v = f(t) d’un cotxe que va amb velocitat constant paral·lelament

a la via del tren i en el mateix sentit que un tren que ix del repòs amb una acceleració constant en el mateix instant que el cotxe es troba a l’altura de l’estació.

b) Gràfiques x = f(t) d’un tren que ix del repòs amb acceleració constant i un altre tren que circula en la mateixa direcció amb velocitat constant però en sentit oposat, de manera que en cert instant es creuen.

c) Gràfiques y = f(t) d’un cos que llancem verticalment cap amunt i d’un altre cos que deixem caure verticalment cap avall.

d) Gràfiques v = f(t) d’un cos que llancem verticalment cap amunt i d’un altre cos que deixem caure verticalment cap avall.

U.6 CINEMÀTICA

6.22

A.82 Un mòbil es desplaça en línia recta amb una rapidesa inicial de 30 m/s i posseeix una acceleració de –2 m/s2. a) Escriviu l’equació de la posició i l’equació de la velocitat del mòbil. b) Representeu x = f(t) i v = f(t) de forma qualitativa. c) Calculeu la posició i la velocitat en els instants: t = 10 s, t = 15 s, t = 20 s. d) Calculeu Δx entre els instants t = 10 s i t = 15 s. (R: c) x10 = x20 = 200 m, x15 = 225 m, v10 = 10 m/s, v15 = 0, v20 = -10 m/s; d) 25 m)

A.83 Deixem caure una pilota de 15 g des d’una altura de 40 m i un segon després llancem cap amunt una altra pilota de 40 g a una velocitat inicial de 15 m/s. Es demana: a) calculeu l'altura on es creuen les dues pilotes; b) determineu la velocitat de cada pilota en el moment de creuar-se i expliqueu el signe que té cada velocitat; c) repetiu tots els càlculs si la pilota que cau té 40 g i la que puja 15 g. (R: a) 11,4 m ; b) -23,7 m/s, baixa; 1,1 m/s, puja ; c) =)

A.84 Un globus està ascendint amb una rapidesa de 5 m/s. Quan es troba a 100 m, amolla un llast, quant tardarà el llast en arribar a terra? (R: 5,14 s després d'amollar-lo)

A.85 Llancem un cos cap amunt amb una rapidesa de 20 m/s i un segon després deixem caure un altre cos des d'una altura de 25 m. ¿En quin punt es trobaran?

(R: Es trobaran a 20,39 m de terra i als 1,97 s de l'eixida del primer)

A.86 Deu segons després de l'eixida d'un mòbil que té una rapidesa de 20 m/s, ix a perseguir-lo un segon mòbil amb una rapidesa de 30 m/s, des d'una posició retardada 100 m respecte del punt d'eixida del primer. Calculeu quan i en quin punt es trobaran.

(R: 40 s després de l'eixida del primer i a 800 m del punt on aquest va eixir)

A.87 Des de dalt d'una torre deixem caure sense rapidesa inicial dues pedres, la segona 0,1 s després de la primera. ¿Al cap de quant de temps la separació de les pedres serà d'1 m? Quina distància haurà recorregut llavors cadascuna de las pedres i quina rapidesa tindran?

(R: t = 1,03 s; ΔyA = 5,20 m; ΔyB = 4,24 m; vA = 10,1 m/s; vB = 9,1 m/s)

A.88 Des d'un pont llancem cap amunt una pedra amb una rapidesa inicial vertical de 6 m/s. Calculeu fins a quina altura s'eleva la pedra i quant tarda en tornar a passar cap avall al nivell del pont des d'on va ésser llançada. Quina serà llavors la seua rapidesa? Si la pedra cau al riu 1,94 s després d'haver-la llançada, quina altura hi ha des del pont fins al nivell de l'aigua? Amb quina rapidesa arriba a la superfície de l'aigua?

(R: S'eleva 1,84 m sobre el pont; torna a passar pel pont als 1,22 s de llançar-la i té una rapidesa de 6 m/s; l'aigua està 6,8 m sota el pont i hi arriba amb una rapidesa de 13,0 m/s)

A.89 Dos trens ixen des de sengles estacions separades 5 km en sentits contraris. Partint els dos del repòs, un tren accelera 3 m/s2 i l’altre 2 m/s2. Determineu en quin punt es creuen i quines velocitats porten en eixe instant si mantenen l’acceleració com a mínim fins que es creuen. (R: Es creuen a 3 km de l’estació d’on ha eixit el tren que accelera més; un porta 134,16 m/s i l’altre -89,44 m/s)

U.6 CINEMÀTICA

6.23

A.90 Un coet de focs d’artifici es llança verticalment cap amunt i se li acaba la pólvora quan es troba a una altura de 200 m. En eixe moment ha adquirit una velocitat d’ascens de 45 m/s. a) Calculeu l’altura màxima a què aplegarà el coet. b) Calculeu el temps que tardarà en caure a terra, comptat a partir del moment que se li acaba la pólvora. c) Calculeu la velocitat que tindrà en el moment d’aplegar a terra. (R: a) 303,32 m ; b) 12,46 s ; c) -77,1 m/s)

A.91 Un ascensor que puja amb certa acceleració duu penjada del sostre una làmpada. Si en cert instant es trenca el fil que la sostenia ¿caurà la làmpada al terra de l'ascensor? Calculeu el temps de caiguda si la làmpada penja a 3 m del terra i l'acceleració de l'ascensor val 1 m/s2 en el sentit del moviment. Com varien els resultats si l'ascensor baixa? (R: Si l'ascensor puja i la seua acceleració val 1 m/s2, la làmpada tocarà terra als 0,75 s des que es trenca el fil)

COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS UNIFORMES

A.92 Un transbordador tarda 1 min en creuar un riu. El punt d’arribada es desplaça 114,25 m del punt que està a l’altra banda just enfront del punt d’eixida i la trajectòria del transbordador forma un angle de 35˚ amb la línia del marge. Calculeu l’ample del riu, la velocitat del transbordador i la velocitat del corrent. (R: ample 80 m; vt = 1,33 m/s ; vc = 1,90 m/s)

A.93 Un nadador vol creuar un riu de 70 m d’amplària. El corrent té una rapidesa mitjana de 4,3 km/h i ell és capaç de nadar a una mitjana de 1,6 m/s. Si el nadador es situa en direcció perpendicular al corrent del riu: a) calculeu el temps que tardarà en creuar-lo; b) raoneu com variarà el temps si el corrent val 8,6 km/h; c) calculeu l’angle que s’haurà desviat el nadador respecte a la vora; d) calculeu la distància riu avall que haurà recorregut el nadador; e) raoneu com variaria aquesta distància si el nadador nadara a 0,8 m/s. (R: a) 43,75 s ; b) = ; c) 53,36° ; d) 52,06 m ; e) es duplica perquè tarda el doble de temps)

MOVIMENTS PARABÒLICS

A.94 Un avió vola horitzontalment a l'altura de 1200 m, amb una rapidesa de 500 km/h i deixa caure un objecte. Quant dura la caiguda? Determineu la velocitat amb què l'objecte arriba a terra, tant les components com el mòdul i la direcció. Quina distància abans d'un punt A de terra s'ha de llançar per tal que caiga en ell? Quina és la posició de l'avió en el moment que l'objecte arriba a terra? Considereu nul·la la resistència de l'aire. (R: 15,6 s; v = (138,89 i + 152,88 j) m/s, mòdul 206,55 m/s, angle 47,73° amb l'horitzontal; llançar 2167 m abans d'A)

A.95 Llancem rodant per la taula una boleta. L’altura de la taula sobre el terra és de 90 cm. Quan arriba al final de la taula la boleta cau a terra i arriba a una distància de 65 cm mesurada des de la base en la vertical del punt on comença a caure. Es demana: a) Dibuixeu un esquema amb la trajectòria que seguirà la boleta des del moment que aplega al final de la taula. b) Calculeu quant de temps tarda en caure la boleta. c) Calculeu la velocitat amb què la boleta arriba a terra en mòdul i direcció. (R: b) 0,43 s ; c) v = 1,51·i – 4,21·j , mòdul 4,47 m/s , 70,27°)

U.6 CINEMÀTICA

6.24

A.96 Es dispara un projectil amb una inclinació de 300 i amb una rapidesa inicial de 1000 m/s. Calculeu: a) la velocitat horitzontal i vertical als 5 s d'iniciat el moviment; b) l'altura màxima; c) l'abast màxim; d) el temps que tarda en aconseguir l'altura màxima i l'abast màxim. (R: a) v = (866,03 i + 451 j) m/s; b) 12755 m; c) 88369 m; d) 51,02 s i 102,04 s, res-pectivament)

A.97 Des de dalt d’un penya-segat a 300 m sobre el nivell del mar es dispara un canó horitzontalment amb una velocitat de 400 km/h, dirigit a un vaixell que es troba en línia recta des del canó a 1 km de distància. Feu els càlculs adequats i determineu si serà possible fer blanc sobre el vaixell.

(R: No serà possible, ja que l’abast val 869 m)

A.98 Dos canons disparen una bala cadascun en trajectòries paral·leles. El canó A dispara en un angle de 35° i una velocitat inicial de 30 m/s. El canó B dispara en un angle de 60° i una velocitat inicial de 25 m/s. Ambdós canons estan situats en la mateixa línia de referència i podem considerar que la bala ix des d’una altura inicial pràcticament nul·la. Es demana: a) determineu quin dels dos canons llança la bala més lluny; b) calculeu quin dels dos projectils ateny una altura major durant el seu recorregut. (R: a) xA = 86,3 m, xB = 55,23 m ; b) yA = 15,1 m, yB = 23,92 m)

A.99 Un corredor de camp a través es troba en mig del camí una tanca que té una altura d’1,5 m. Quan es troba a 2 m de la base inicia un salt amb una velocitat de 36 km/h i fent un angle de 35° amb l’horitzontal. Es demana: a) Dibuixeu un esquema amb la trajectòria que seguirà el corredor en el moment del salt. b) Feu els càlculs adequats i determineu si el corredor podrà superar l’obstacle o no. (R: b) quan arriba a la tanca s’eleva 1,1 m, per tant no supera l’obstacle)

MOVIMENTS CIRCULARS

A.100 Un disc gira a 45 rpm. Quan se’n va la llum, comença a frenar i tarda 25 s en aturar-se completament. Calculeu: a) l’acceleració angular de frenada; b) el nombre de voltes que farà fins que s’atura del tot.

(R: a) α = -0,188 rad/s2 ; b) 9,36 voltes)

A.101 Calculeu la rapidesa angular de la Terra en la seua rotació al voltant del seu eix i la rapidesa lineal d’un punt situat a l’equador. Calculeu l’angle descrit per la Terra en un mes de 30 dies i determineu l’acceleració centrípeta d’un punt situat a l’equador. El radi equatorial de la Terra val 6378 km.

(R: ω = 7,27·10-5 rad/s; Δθ = 188,5 rad; ac = 0,0338 m/s2)

A.102 La llum del Sol tarda 8 min 16 s en arribar a la Terra. La Terra tarda 1 any a descriure el moviment aproximadament circular al voltant del Sol. Calculeu l’acceleració centrípeta de la Terra. (Velocitat de la llum 3·108 m/s).

(R: ac = 5,91·10-3 m/s2)

U.6 CINEMÀTICA

6.25

A.103 Les aspes d’un ventilador comencen a girar i tarden 10 s en arribar a 600 rpm. a) Determineu la rapidesa angular en unitats del SI quan ja gira amb rapidesa constant. b) Determineu l’acceleració angular durant la posada en marxa. c) Calculeu les voltes que pega en els primers 10 s. d) Per a un punt que es troba a 0,3 m de l’eix de rotació, determineu la rapidesa lineal quan ja està en marxa. e) Per al mateix punt de l’apartat anterior determineu l’acceleració normal o centrípeta quan ja està en marxa. (R: a) 62,83 rad/s ; b) 6,28 rad/s2 ; c) 50 voltes ; d) 18,85 m/s ; e) 1184,28 m/s2)

A.104 El tambor d’una rentadora gira durant el centrifugat a 400 rpm. El fre que la para s’aplica durant 5 s. a) Determineu la rapidesa angular en unitats del SI quan comença a frenar. b) Determineu l’acceleració angular durant la frenada. c) Calculeu les voltes que pega fins que s’atura. d) Per a un punt que es troba a 0,4 m de l’eix de rotació, determineu la rapidesa lineal en el moment de començar a frenar. e) Per al mateix punt de l’apartat anterior determineu l’acceleració normal o centrípeta en l’instant que comença a frenar. (R: a) 41,89 rad/s ; b) -8,38 rad/s2 ; c) 16,67 voltes ; d) 16,76 m/s ; e) 702 m/s2)

MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

A.105 Un cos oscil·la amb moviment harmònic simple l’amplitud i període del qual són, respectivament, 10 cm i 4 s. En l’instant inicial, t = 0 s, l’elongació val 10 cm. Determineu l’elongació en l’instant t = 1 s. (R: x = 0)

A.106 Calculeu els valors màxims de la velocitat i de l’acceleració d’un punt donat d’un moviment harmònic simple d’amplitud 10 cm i període 2 s. (R: vmax = 0,1·π m/s ; amax = 0,1·π2 m/s2)

A.107 Un cos dotat d’un moviment harmònic simple de 10 cm d’amplitud, tarda 0,2 s en descriure una oscil·lació completa. Si en l’instant t = 0 s la seua velocitat era nul·la i l’elongació positiva, determineu: a) l’equació que representa el moviment del cos; b) la velocitat del cos quan t = 0,25 s. (R: a) x = 0,1·sin (10π·t + π/2) ; b) v = -π m/s)

A.108 Una partícula realitza un moviment harmònic simple d’amplitud 8 m que respon a l’equació a = -16·x, on x indica la posició de la partícula en metres i a és l’acceleració del moviment en m/s2. a) Calculeu la freqüència i el valor màxim de la velocitat. b) Calculeu el temps invertit per la partícula per a desplaçar-se des de la posició x1 = 2 m fins a la posició x2 = 4 m. (R: a) ν = 2/π Hz ; vmax = 32 m/s ; b) Δt = 0,068 s)

A.109 Una partícula efectua un moviment harmònic simple que té com a equació: x(t) = 0,3 cos (2t + π/6)

on x es mesura en metres i t en segons. a) Calculeu la freqüència, el període, l’amplitud i la fase inicial del moviment. b) Calculeu la velocitat i l’acceleració en l’instant inicial t = 0 s. (R: a) ν = 1/π Hz , T = π s , A = 0,3 m , ϕ = π/6 rad ; b) v0 = -0,3 m/s , a0 = -2,56 m/s2)

U.6 CINEMÀTICA

6.26

A.110 Un cos realitza un moviment harmònic simple. L’amplitud del moviment és A = 2 cm, el període T = 200 ms i l’elongació inicial és y(0) = +1 cm. a) Escriviu l’equació de l’elongació del moviment en qualsevol instant y(t). b) Representeu gràficament aquesta elongació en funció del temps. (R: a) y = 0,02·sin (10π + π/6) )

A.111 La velocitat en unitats del S.I. d’una massa puntual, el moviment de la qual és harmònic simple, ens la dóna l’expressió:

v(t) = -0,01·π·sin[π(t/2+1/4)] Calculeu el període, l’amplitud i la fase inicial del moviment. (R: T = 4 s ; A = 0,02 m ; ϕ = π/4 rad)

UN TAST D'HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA

A.112 Llegiu i comenteu la següent referència biogràfica de Galileu amb l'ajut de les qüestions proposades.

ElcientíficitaliàGalileoGalileivanàixeralaciutattoscanadePisal'any1564iésconeguttradicionalmententrenosaltresambelnomdeGalileu.Sonpareeraunnobleflorentí,encaraquepobre,id'ellaprenguél'interèsperlapoesia,lamúsicaielsestudisclàssics.Estudiavamedicinaquandissenyàunpèndolperaprendreelpolsieraconegutperquècontínuamentdesafiavalesopinionsautoritàriesdelsseusmestres.Abandonàlamedicinais'interessàperlesmatemàtiquesiarribàaser-neprofessoralaseuamateixauniversitat.Comatretscaracterísticsdelaseuapersonalitatdestaquenlaindependènciad'esperitiunaintel·ligènciainquisitivairàpida.S'oposàenèrgicamentalsseuscol·leguesaristotèlicsdogmàticsquesovintinterpretavenerròniamentelgranmestregrec.

Capal1590semblaquevaferelconegutexperimentdedeixarcaurepesosdiferentsdes delCampanile o torre inclinadadePisa per demostrar que queien amb lamateixavelocitat, encara que molts estudiosos qüestionen l'autenticitat de l'anècdota. El 1591morí son pare i deixà una llarga família per mantenir. Esgotat el contracte amb launiversitat de Pisa no li'l renovaren per l'enemistat que s'havia guanyat amb elspartidarisd'Aristòtil.PersortaconseguíunnoucontracteaPàduaonpassàdivuitanysamb millor salari i un ambient més tranquil. Tingué tres fills amb la seua serventaMarinaGamba,peròmainos'hivacasar,iessepararenl'any1610quanGalileutornàaFlorència,laciutatd'onprocedialaseuafamília.

U.6 CINEMÀTICA

6.27

APàduainiciàelsseusmillorstreballsd'astronomiaifoullavorsquanintercanviàalgunescartesambJohannesKeplersobreelmodelcopernicà,delquefoudesd'aleshoresundefensorferm.Semblaquecapal'any1609liarribarennotíciesd'unartefacteformatper dues lents que augmentava considerablement la grandària dels objectes. Així vaconstruir laseuapròpiaulleraperobservarelscelsquetant l'apassionaven.Aconseguíatraurel'atenciódelduxveneciàamblacuriosaandròminaquepermetia,entred'altrescoses, veure els vaixells que s'atansaven al port algunes hores abans d'arribar. Això livalguéunsucóscontracteperpetuiunconsiderableincrementdesou.

Però lament inquietadeGalileuno s'hi conformà i dedicà el seu llibreSidereusNuntius(ElMissatgerCelestial)aCosmedeMèdici,GranDucdeToscana,perveuresifinançavalesseuesinvestigacionssensemésobligacionsqueli llevarentemps.PeraixòacabàabandonantlarepúblicadeVenècia,onseguramenthauriatingutmésllibertatdepensament i, possiblement, s'hauria deslliurat de la Inquisició amb qui haguéd'enfrontar-sealesacaballesdelaseuaexistència.D'altrabanda,larepercussiórealdelllibre foumínimaperquè estava escrit en llatí, quemalgrat ser encara la llenguade laciènciaoficial,cadavegadaeramésdesconegudadelgranpúblic.

Era amic del papa Barberini quan aquest només era cardenal i, creient-se segur,publicà algunes obres on es manifestava clarament defensor del sistema heliocèntriccopernicà,quel'Esglésiacondemnavaperconsiderar-locontrarialadoctrinareveladaenla Bíblia. Galileu intentà inútilment explicar el sentit de les seues afirmacions i acabàretractant-se públicament davant els tribunals de la Inquisició, per por d'acabar tanmalamentcomelseucontemporaniGiordanoBrunoquemoríabrasatalafoguerasotal'acusaciód'heretgia.

Galileumanifestàsempreunagrancapacitatperaltreball,quenol'abandonàfinsalamort,esdevingudaen1642,als78anys.Detoteslesseuesobresendestaquendues-elsDiàlegs sobre els dos grans sistemes delmón i elsDiscursos sobre dues novesciències- redactades en forma d'interessants i apassionades discussions entre elspartidarisidetractorsdelesdiferentsteories,onrevelal'habilitatespecialqueteniaperaposar en ridícul els seus opositors, cosa que contribuïa enormement a fer créixer elnombreilaqualitatdelsseusenemicspotencials.Aquestesobres,amés,jaforenescritesen italià iperaixòconeguerenunagrandivulgació fins i tot foradelmónestrictedelserudits,cosaquelesfeiapotencialmentmésperilloses.

Q1. Confeccioneu una llista dels personatges que apareixen en el text i feu un es-quema que expresse les relacions entre ells.

Q2. Esmenteu algun personatge històric conegut del vostre país o ciutat contemporani de Galileu.

Q3. Tracteu d'aclarir en quins territoris amb governs diferents va viure Galileu, ja que llavors Itàlia no era un sol estat com ho és avui dia.

Q4. Feu una breu cronologia amb les dates que apareixen en el text i, pa-ral·lelament, esmenteu fets històrics que es puguen identificar fàcilment.

Q5. Resumiu els fets que considereu més significatius de la vida de Galileu.

B