U07 Iniciacion Al Calculo de Derivadas

8/6/2019 U07 Iniciacion Al Calculo de Derivadas

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Unidad 7. Iniciacin al clculo de derivadas. Aplicaciones 1

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REFLEXIONA Y RESUELVE

Tomar un autobs en marcha

En la grfica siguiente, la lnea roja representa el movimiento de un autobs

que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.

y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el auto-

bs en marcha.

a) Al viajero lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la veloci-dad a la que corre.

b) Cul es la velocidad aproximada del autobs en el momento que lo alcanza elpasajero ?

Entra este pasajero suavementeen el autobs?

a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s despus de que saliera el autobs, y lo alcanza 5 sdespus, 40 m ms all.

Corri, por tanto, a = 8 m/s. Es decir: 8 3,6 = 28,8 km/h

b) En el instante 14 s est a 35 m de la parada. En el instante 16 s est a 50 m de laparada.

Velocidad media = = 7,5 m/s = 27 km/h

Las velocidades del pasajero 2 y del autobs son, aproximadamente, iguales en el mo-mento en el que el pasajero accede al autobs; por tanto, acceder suavemente.

15 m2 s

405

5 s

50 m

10 s 15 s 20 s1

2

INICIACIN AL CLCULODE DERIVADAS.APLICACIONES7


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Es preferible esperar o correr tras el autobs?

Los viajeros y, en el momento de la salida del autobs, estaban a 100 m de

la parada. El

decide esperarlo y entrar en l cuando pase por all.El tiene un extrao comportamiento. Extrao?

a) Describe el movimiento del pasajero.

b) Explica por qu el comportamiento del pasajero es mucho ms sensato queel del, quien tendr muy difcil la entrada en el autobs.

a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobs para acceder a lsuavemente.

b) El pasajero 4 accede suavemente al autobs (con la misma velocidad, aproximada-mente); sin embargo, el 3 no.

Carrera de relevos

La siguiente grfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo,durante una carrera de relevos:

a) Por qu en las carreras de relevos 4 100 m cada relevista empieza a correrantes de que llegue su compaero?

b) Qu pasara si esperara quieto la llegada delotro?

c) Es razonable que las grficas de sus movi-mientos sean tangentes?

Cmo son sus velocidades en el momentode la entrega del testigo?

a) Para que el testigo pase sin brusquedades del que llega al que se va.

b) El intercambio sera muy brusco y se perdera tiempo.

c) S, as llevarn los dos la misma velocidad,

2. relevista

1.er relevista

5 s

50 m

10 s 15 s 20 s

4

3100 m

Unidad 7. Iniciacin al clculo de derivadas. Aplicaciones2


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1. Halla la T.V.M. de la funciny= x2 8x+ 12 en los siguientes intervalos:

[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8]

T.V.M. [1, 2] = = = 5

T.V.M. [1, 3] = = = 4

T.V.M. [1, 4] = = = 3

T.V.M. [1, 5] = = = 2

T.V.M. [1, 6] = = = 1

T.V.M. [1, 7] = = = 0

T.V.M. [1, 8] = = = 1

2. Halla la T.V.M. de y= x2 8x+ 12 en el intervalo variable [1, 1 + h]. Com-

prueba, dando a h los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejer-cicio anterior.

T.V.M. [1, 1 + h] = = =

= = = h 6

Dando a h los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicioanterior.

Pgina 178

1. En la grfica, en verde, de la funcin adjunta, se han sealado cinco puntos,A, B, C, Dy E.

En cada uno de ellos est trazada la recta tangente, cuya pendiente se puedecalcular.

Expresa los resultados utilizando la expresinf '(a) =

Por ejemplo, para el punto B:

f '(3) =

h (h 6)h

h2 6hh

(1 + h)2 8 (1 + h) + 12 5h

f(1 + h) f(1)

h

12 57

f(8) f(1)

8 1

5 56

f(7) f(1)

7 1

0 55

f(6) f(1)

6 1

3 54

f(5) f(1)

5 1

4 53

f(4) f(1)

4 1

3 52

f(3) f(1)

3 1

0 51

f(2) f(1)

2 1


7UNIDAD


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f '(8) = ; f '(3) = ; f '(1) = 1; f '(5) = ; f '(10) = 2

Pgina 179

2. Halla, aplicando la definicin, el valor de la derivada de y= 5xx2 en los

puntos de abscisas 0, 1, 2, 4 y 5.Hazlo tambin, aproximadamente, con calculadora, tomando h = 0,0001.

Por la definicin f '(a) = :

f '(0) = 5; f '(1) = 3; f '(2) = 1; f '(4) = 3; f '(5) = 5

Con calculadora (numricamente, de forma aproximada):

f '(0) = 4,9999

f '(1) = 2,9999

f '(2) = 0,9999

f '(4) = 3,0001

f '(5) = 5,0001f(5,0001) f(5)

0,0001

f(4,0001) f(4)

0,0001

f(2,0001) f(2)

0,0001

f(1,0001) f(1)

0,0001

f(0,0001) f(0)

0,0001

f(a + h) f(a)

hlm

h 8 0

1

2

1

7

9

5

A

B

C

y=f(x)

D

E



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Pgina 180

1. Halla la derivada de f(x) = 5xx2 y comprueba que, a partir de ella, se pue-den obtener los valores concretos hallados en la pgina anterior.

f '(x) = = =

= = (5 h 2x) = 5 2x

f '(3) = 1; f '(0) = 5; f '(1) = 3; f '(2) = 1; f '(4) = 3; f '(5) = 5

2. Halla la derivada de y= x2 5x+ 6 y, a partir de ella, hallaf '(2), f '(0) yf '(3). Qu significan los resultados?

= =

= =

= = 2x+ h 5

= (2x+ h 5) = 2x 5

f '(x) = 2x 5

f '(2) = 2 (2) 5 = 9

f '(0) = 2 0 5 = 5

f '(3) = 2 3 5 = 1

Significa que la tangente pasa de tener pendiente negativa a tenerla positiva.

Pgina 182Halla la funcin derivada de las siguientes funciones:

1. f(x) = 3x2 6x+ 5

f '(x) = 6x 6

2. f(x) = +

f '(x) = +1

33x2

1

2x

3

xx

lmh 8 0

f(x+ h) f(x)

hlm

h 8 0

2xh + h2 5h

h

x2 + 2xh + h2 5x 5h + 6 x2 + 5x 6

h

[(x+ h)2 5(x+ h) + 6] [x2 5x+ 6]h

f(x+ h) f(x)h

lmh 8 0

5h h2 2xhh

lmh 8 0

[5(x+ h) (x+ h)2] [5xx2]h

lmh 8 0

f(x+ h) f(x)

hlm

h 8 0


7UNIDAD


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3. f(x) = +

f '(x) = +

4. f(x) =

f(x) =x3/2 8 f' (x) = x5/2 = =

5. f(x) = sen x cos x

f '(x) = cos2xsen2x

6. f(x) = tg x.

Expresa tg x= y deriva como cociente. Al simplificar, ten en cuenta

que:

(sen x)2 + (cos x)2 = 1

tg x=

D tg x = = =

= =

7.f(x) = x ex

f '(x) = ex+x ex= ex(1 +x)

8.f(x) = x 2x

f '(x) = 2x+x 2x ln 2 = 2x(1 +x ln 2)

9.f(x) = (x2 + 1) log2 x

f '(x) = 2x log2 x+ (x2 + 1) = 2x log2 x+

10.f(x) =

f '(x) = = =4x

(x2 1)22x3 2x 2x3 2x

(x2 1)22x(x2 1) (x2 + 1) 2x

(x2 1)2

x2 + 1

x2 1

(x2 + 1)x ln 2

1ln 2

1x

1

cos2x

cos2x+ sen2x

cos2x

cos x cos xsen x (sen x)

(cos x)2D(sen x) cos xsen xD(cos x)

(cos x)2

sen x

cos x

sen x

cos x

3

2x2x

3

2x532

1

xx

5

335x

1

2x

3

5x2x



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11.f(x) =

f '(x) = = = 2x+ 3

12.f(x) =

f '(x) = =

13.f(x) =

f '(x) = = =

= +

14.f(x) =

f(x) = =x1/2x1/2

D f(x) = x(1/2) 1 x(1/2) 1 = +

Pgina 183

Halla la funcin derivada de las siguientes funciones:

15.f(x) = sen(x2 5x+ 7)

f '(x) = (2x 5) cos(x2 5x+ 7)

16.f(x) = = (5x+ 3)2/3

f '(x) = (5x+ 3)1/3 5 =

17.f(x) = sen(3x+ 1) cos (3x+ 1)

f '(x) = 3 [cos2 (3x+ 1) sen2 (3x+ 1)]

10

335x+ 3

23

3(5x+ 3)2

1

2

x3

1

2

x)12(

1

2

1

xx

xx

x

x

1 +x2

(x2 1)21 x2

(x2 + 1)2

1 x2(x2 1)2

1 x2(x2 + 1)2

1(x2 1) x(2x)(x2 1)2

1 (x2 + 1) x(2x)(x2 + 1)2

x

x2 1

x

x2 + 1

1 ln 10 log x

x2 ln 10

[1/(ln 10)] log x

x2

log x

x

3

x2

2x3 + 3x2 3

x2

(3x2 + 6x 5)x (x3 + 3x2 5x+ 3)

x2

x3 + 3x2 5x+ 3x


7UNIDAD


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18.f(x) =

f(x) = 8 f '(x) =

19.f(x) = cos (3x)

f '(x) = 3sen (3x)

20.f(x) =

f '(x) =

21.f(x) = x e2x+ 1

f '(x) = e2x+ 1 +x e2x+ 1 2 = e2x+ 1 (1 + 2x)

22.f(x) =

f '(x) = =

=

Pgina 184

1. Calcula la funcin derivada de f(x) = x3 4x2 + 1 y halla:

a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas 1, 1 y 3.

b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes.c) Las abscisas de los posibles mximos y mnimos relativos.

d) Es f(x) creciente o decreciente en x= 2 ?

f '(x) = 3x2 8x

a) f '(1) = 11, f '(1) = 5, f '(3) = 3

b) y= 11 (x+ 1) 4; y= 5 (x 1) 2; y= 3 (x 3) 8

c) f '(x) = 0 8 3x2 8x= 0 8 x= 0, x= 8/3

d) f '(2) = 4 < 0 8 decreciente

2x(1 x2) cos(x2 + 1) +x sen (x2 + 1)

(1 x2)3

2x

1 x2 cos(x2 + 1) + [x sen (x2 + 1)]/

1 x2

1 x2

sen(x2 + 1)

1 x2

1

1 + 2x

1 + 2x

2 (1 ln 10 log x)

x2 ln 10

2 log x

x

log x2

x



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LENGUAJE MATEMTICO

1. En la frmula que sirve para hallar la ecuacin de la recta tangente a una cur-va en un punto

y=f(a) +f '(a) (xa)

di el papel que desempea cada una de las letras que intervienen. La x es lavariable independiente, de qu funcin?

f es el nombre de la funcin; a es la abscisa, el punto de la curva en el cual se trazala tangente; f(a) es la ordenada de ese punto, y f '(a) es la pendiente de la rectatangente, pues f ' es el nombre de la funcin derivada.

Las variables x e y son la abscisa y la ordenada de un punto genrico (un puntocualquiera) de la recta tangente.

x es, pues, la variable independiente de la funcin lineal descrita por la recta tangen-te a f en el punto de abscisa a.

Pgina 187

1. Representa estas funciones:

a)y= 2x3 3x2 12x+ 8 b)y= 3x4 + 4x3 + 36x2 90 c)y= x4 + 4x3

a) f '(x) = 6x2 6x 12 = 0 8 x1 = 1, x2 = 2

Mximo en (1, 15).

Mnimo en (2, 12).

b) f '(x) = 12x3 + 12x2 + 72x= 12x(x2x 6) = 0

x= 0

x= = =

Mximo en (2, 26) y en (3, 99).

Mnimo en (0, 90).

100

200

200

2 44 2

100

x= 3x= 2

1 52

1 1 + 242

10

20

20

2 44 2

10


7UNIDAD


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c) f '(x) = 4x3 + 12x2 = 4x2(x+ 3) = 0

Mnimo en (3, 27).

Punto de inflexin en (0, 0).

f(x) = 0 8 x3 (x+ 4) = 0

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (4, 0)

Pgina 189

1. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la pgi-

na anterior:

a)y= b)y= c)y=

d)y= e)y= f )y=

a) f '(x) = =

= =

= = 0 8 x1 = 2, x2 = 4

Mximo en (4, 5).

Mnimo en (2, 7).

Asntota vertical: x= 1

Asntota oblicua: y=x+ 2

b) f '(x) = =

= =

= 0

Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (3, 0)


Asntota oblicua: y=x+ 2

10

20

20

4 88 4

10

x2 + 2x+ 3

(x+ 1)2

2x2 + 2x+ 3x+ 3 x2 3x

(x+ 1)2

(2x+ 3) (x+ 1) (x2 + 3x)

(x+ 1)2

10

20

20

4 88 4

10

x2 + 2x 8(x+ 1)2

2x2 + 2x+ 3x+ 3 x2 3x 11

(x+ 1)2

(2x+ 3) (x+ 1) (x2 + 3x+ 11)

(x+ 1)2

x2 1x2

x2 + 2x2 2x

1

x2 + 1

x2

x2 + 1x2 + 3x

x+ 1x2 + 3x+ 11

x+ 1

20

40

40

2 44 2

20x= 0x= 4

x= 0x= 3



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c) f '(x) = = =

= 8 x= 0

Mnimo en (0, 0).

Asntota horizontal: y= 1

d) f '(x) = 8 x= 0

Mximo en (0, 1).


e) f '(x)= = =

= = 0 8 x= =

Mximo en (0,73; 2,73).

Mnimo en (2,73; 0,73).

Asntotas verticales: x= 0, x= 2


f) Dominio = {0}

Asntota vertical:

x= 0 es asntota vertical

Asntota horizontal:

y= = 1 ; y= 1 es asntota horizontal

Cuando x8@, y< 1; y cuando x8 +@, y< 1.

Por tanto, la curva est por debajo de la asntota.

1

x2x2 1

x2

x2 1lm = @

x8 0 x2

x2 1lm = @

x8 0+ x2

2

4

4

2 44 2

2

x1 = 0,73x2 = 2,73

2 122

2x2 4x+ 4

(x2 2x)2

2x3 4x2 2x3 + 2x2 4x+ 4

(x2 2x)22x(x2 2x) (x2 + 2) (2x 2)

(x2 2x)2

1

2

2

2 44 2

1

2x

(x2 + 1)2

1

2

2

2 44 2

1

2x

(x2

+ 1)2

2x3 + 2x 2x3

(x2 + 1)22x(x2 + 1) x2 2x

(x2 + 1)2


7UNIDAD


12/49

Puntos singulares:

f '(x) = = = =

f '(x) ? 0 8 f(x) no tiene puntos singulares

Observamos que f '(x) < 0 si x< 0; y que f '(x) > 0 si x> 0. Luego la fun-cin es decreciente en (@, 0) y es creciente en (0, +@).

Corta al eje x en (1, 0) y (1, 0).

Grfica:

2

2 4

y= 1

4 2

4

2

6

2

x32x

x42x3 2x3 + 2x

x42xx2 (x2 1) 2x

x4



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Pgina 194

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Tasa de variacin media

1 Calcula la tasa de variacin media de esta funcin en los intervalos:

a) [2, 0] b) [0, 2] c) [2, 5]

a) T.V.M. [2, 0] = = = 1

b) T.V.M. [0, 2] = = =

c) T.V.M. [2, 5] = = =

2 Halla la tasa de variacin media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e in-dica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo:

a)f(x) = 1/x

b)f(x) = (2 x)3

c)f(x) = x2x+ 1

d)f(x) = 2x

Si la T.V.M. es positiva, la funcin crece.

T.V.M. [1, 3] =

a) T.V.M. [1, 3] = = 8 Decrece

b) T.V.M. [1, 3] = = 1 8 Decrece

c) T.V.M. [1, 3] = = 3 8 Crece

d) T.V.M. [1, 3] = = 3 8 Crece8 2

2

7 12

1 12

13

1/3 12

f(3) f(1)3 1

13

1 03

f(5) f(2)

5 2

32

0 32

f(2) f(0)

2 0

3 12

f(0) f(2)

0 + 2

2 52 0

PARA PRACTICAR


7UNIDAD


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3 Compara la T.V.M. de las funciones f(x) = x3 yg(x) = 3x en los intervalos[2, 3] y [3, 4], y di cul de las dos crece ms en cada intervalo.

Para f(x): T.V.M. [2, 3] = 19

T.V.M. [3, 4] = 37

Para g(x): T.V.M. [2, 3] = 18

T.V.M. [3, 4] = 54

En [2, 3] crece ms f(x).

En [3, 4] crece ms g(x).

4 Dada la funcinf(x) = x2 1, halla la tasa de variacin media en el inter-

valo [2, 2 + h].

T.V.M. [2, 2 + h] = = = h + 4

5 Comprueba que la T.V.M. de la funcinf(x) = x2 + 5x 3 en el intervalo[1, 1 + h] es igual a h + 3. Calcula la T.V.M. de esa funcin en los interva-los [1, 2], [1; 1,5], utilizando la expresin anterior.

T.V.M. [1, 1 + h] = = = 3 h

T.V.M. [1, 2] = 2

T.V.M. [1; 1,5] = 2,5

Derivada en un punto

6 En esta funcin se han trazado las tangentes en los puntos A, By C. Ha-lla sus pendientes y di el valor de f '(5); f '(0) yf '(4).

mA = = 8 f '(5) =

mB= 0 8 f '(0) = 0

mC= = 8 f '(4) =2

3

2

3

2 0

7 4

4

3

4

3

0 4

2 + 5

22

AB

C

(1 + h2 + 2h) + 5 + 5h 3 1h

f(1 + h) f(1)h

4 + h2 + 4h 1 3h

f(2 + h) f(2)h



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7 a) Hallaf ' en los puntos de abscisas 3, 0 y 4.

Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en

esos puntos.

b)En x= 1, la derivada es positiva o negativa?

a)f '(3) = 3, f '(0) = , f '(4) = 2

b) Positiva.

8 a) En qu puntos de esta funcin la derivada vale 0?

b)Cunto vale f '(4)?

c) Di para qu valores de x la derivada es negativa.

a) En (1, 5) y en (3, 2).

b) m = = 2 8 f '(4) = 2

c) (@, 3) (1, +@)

9 Aplicando la definicin de derivada, calculaf '(2) yf '(3), siendo:

f(x) =

f '(2) = = = =

= =

f '(3) = = = =

= =25

25

lmh 8 0

6 + 2h 3 35h

lmh 8 0

2 (3 + h) 3 3

5 5

h

f(3 + h) f(3)h

lmh 8 0

25

25

lmh 8 0

4 + 2h 3 + 75h

lmh 8 0

2 (2 + h) 3 7+

5 5h

f(2 + h) f(2)h

lmh 8 0

2x 35

2 04 5

11 3

32

2 2

2

4

6

4

f


7UNIDAD


16/49

10 Halla para valores muy pequeos de h (por ejemplo, h = 0,01

o bien h = 0,001) y di despus el valor de f '(1) en cada caso:

a)f(x) = 3x2 1 b)f(x) = (2x+ 1)2

c)f(x) = x2 + 5x d)f(x) =

a) = = = 3h + 6

f '(1) = 6

b) = = = 4h + 12

Si h = 0,001 8 = 12,004 8 f '(1) = 12

c) = = = h + 7

Si h = 0,001 8 = 7,001 8 f '(1) = 7

d) = = =

Si h = 0,001 8 = 1,998 8 f '(1) = 2

11 Halla la pendiente de la tangente a la curvay= x2 5x+ 1 en el punto de

abscisa x= 2, utilizando la definicin de derivada.

m =f '(2) =

= = = h 9

h 9 = 9

Por tanto, la pendiente es 9.

lmh 8 0

h2 9h

h

(2 + h)2 5(2 + h) + 1 15

hf(2 + h) f(2)

h

f(2 + h) f(2)h

lmh 8 0

f(1 + h) f(1)h

2

h + 1

2h

h(h + 1)

(2/h + 1) 2

hf(1 + h) f(1)

h

f(1 + h) f(1)h

h2 + 7h

h

(1 + h)2 + 5(1 + h) 6

hf(1 + h) f(1)

h

f(1 + h) f(1)h

4h2 + 12h

h

(2(h + 1) + 1)2 9

hf(1 + h) f(1)

h

f(1 + h) f(1)Si h = 0,01 8 = 6,03

hf(1 + h) f(1)

Si h = 0,001 8 = 6,003

h

3h2 + 6h

h

3(h + 1)2 1 2

hf(1 + h) f(1)

h

2

x

f(1 + h) f(1)h



17/49

12 Halla el valor del crecimiento de f(x) = (x 3)2 en los puntos x= 1 yx= 3, aplicando la definicin de derivada.

f '(1) = = = (h 4) = 4

f '(3) = = = h = 0

13 Comprueba, utilizando la definicin de derivada en cada caso:

a)f(x) = 5x 8 f '(x) = 5 b)f(x) = 7x2 8 f '(x) = 14x

c)f(x) = x2 + x 8 f '(x) = 2x+ 1 d)f(x) = 8 f '(x) =

a) f '(x) = = = =

= = 5

b) f '(x) = = =

= = =

= = 14x

c) f '(x) = = =

= = =

= = 2x+ 1

d) f '(x) = = =

= = = =

= = =3

x23

x(x+ h)lm

h 8 0

3hhx(x+ h)

lmh 8 0

3hx(x+ h)

hlm

h 8 0

3x 3x 3h

x(x+ h)

hlm

h 8 0

3x 3 (x+ h)

x(x+ h)

hlm

h 8 0

3 3x+ h x

hlm

h 8 0

f(x+ h) f(x)h

lmh 8 0

h (h + 2x+ 1)h

lmh 8 0

h2 + 2xh + hh

lmh 8 0

x2 + h2 + 2xh +x+ h x2xh

lmh 8 0

(x+ h)2 + (x+ h) (x2 +x)h

lmh 8 0

f(x+ h) f(x)h

lmh 8 0

h (7h + 14x)h

lmh 8 0

7h2 + 14xhh

lmh 8 0

7 (x2 + h2 + 2xh) 7x2

hlm

h 8 0

7 (x+ h)2 7x2

hlm

h 8 0

f(x+ h) f(x)h

lmh 8 0

5hh

lmh 8 0

5x+ 5h 5xhlmh 8 05 (x+ h) 5xhlmh 8 0

f(x+ h) f(x)hlmh 8 0

3

x23x

lmh 8 0

(3 + h 3)2 0

hlm

h 8 0

f(3 + h) f(3)h

lmh 8 0

lm

h 8 0

(1 + h 3)2 4

hlm

h 8 0

f(1 + h) f(1)

h

lm

h 8 0


7UNIDAD


18/49

14 Existe algn punto en esta funcin en el que la derivada seanegativa?

Ordena de menor a mayor los valores de f '(2), f '(2) yf '(0).

No, pues es creciente.

f '(2)


19/49

21 f(x) = sen2x+ cos 2x; x=

f '(x) = 2cos x 2sen 2x 8 f '() = 2

22 f(x) = ; x= 8

f '(x) = 8 f '(8) =

23 f(x) = x 2x+ 1; x= 1

f '(x) = 2x+ 1 ln(2)x+ 2x+ 1 8 f '(1) = ln2 + 1

24 f(x) = (5x 2)3; x=

f '(x) = 15(5x 2)2 8 f ' = 15

25 f(x) = ; x= 3

f '(x) = 8 f '(3) =

26 f(x) = x2 + log x; x=

f '(x) = 2x+ 8 f ' = 1 +

27 f(x) = e2x ln(x2 + 1); x= 1

f '(x) = 2e2x ln (x2 + 1 ) + 8 f '(1) = 2e2 ln 2 +

Halla la funcin derivada de estas funciones:

28 a)f(x) = + b)f(x) = (x2 3)3

a) f '(x) = + b) f '(x) = 6x(x2 3)2

29 a)f(x) = b)f(x) =

a) f '(x) = 1 (si x? 0) b)f '(x)=x

x2 + 1

x2 + 1x3x2

x2

1

2x

13

2xx3

)12(]x

x2 + 1[

2ln 10)

12(

1x ln 10

12

5

2

10

(x 5)2

x+ 5x 5

)15(

15

1

16

1

2

(x 4)3

1

x 4


7UNIDAD


20/49

30 a)f(x) = b)f(x) = (1 + ex)2

a) f '(x) = b)f '(x)= 2ex (1 + ex)

31 a)f(x) =

b)f(x) = 7x+ 1

a) f(x) = 3 (1 x2)1/2; f '(x) = (1 x2)3/2 (2x) =

b)f '(x) = 7x+ 1 ln 7

32 a)f(x) = + b)f(x) = ln3x

a) f '(x) = + b)f '(x) = =

33 a)f(x) = b)f(x) =

a) f '(x) = =

b)f '(x) =

34 a)f(x) = b)f(x) = ln

a) f '(x) = = = =

=

b)f(x) = ln x1/2 = ln x 8 f '(x) =

35 a)f(x) =

b)f(x) = x3 e1 x

a) f '(x) = = =

b)f '(x) = 3x2 e1 xx3 e1 x= e1 x (3x2x3) =x2 e1 x (3 x)

x2 (x2 12)

(x2 4)23x4 12x2 2x4

(x2 4)23x2 (x2 4) 2xx3

(x2 4)2

x3

x2 4

12x12

x3 3x2

(x 1)3

3x3 3x2 2x3

(x 1)33x2 (x 1) 2x3

(x 1)33x2 (x 1)2x3 2 (x 1)

(x 1)4

xx3

(x 1)2

e2x

(7 10x)(1 5x)2

1 x2

(1 +x2)21 +x2x 2x

(1 +x2)2

e2x

1 5x

x

1 + x2

1x

33x

13

1

3x2

x3

13x

3x

(1 x2)332

3

1 x2

2

33x+ 6

3(x+ 6)2



21/49

36 a)f(x) = ln b)f(x) = log

a) f '(x) = 0

b)f(x) = log x2log(3 x) = 2 log xlog(3 x)

f '(x) = +

37 a)f(x) = b)f(x) =

a) f '(x) = =

b)f '(x) =

Puntos en los que la derivada vale k

38 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funcio-nes:

a)y= 3x2 2x+ 1 b)y= x3 3x

a) f '(x) = 6x 2 = 0 8 x= . Punto ( , )b)f '(x) = 3x2 3 = 0 8 x= 1, x= 1. Puntos (1, 2) y (1, 2)

39 Obtn los puntos donde f '(x) = 1 en los siguientes casos:

a)f(x) = x2 3x+ 2 b)f(x) =

a) f '(x) = 2x 3; 2x 3 = 1 8 x= 2; f(2) = 0 8 P(2, 0)

b) f '(x) = =

= 1 8 (x+ 5)2

= 4

40 Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes fun-ciones es igual a 2:

a)y= x2 2x b)y=

c)y= 4 d)y= ln(4x 1)

a) f '(x) = 2x 2 8 2x 2 = 2 8 x= 2; f(2) = 0 8 P(2, 0)

x+ 3

x

x+ 2

x= 3; f(3) = 1 8 P(3, 1)

x= 7; f(7) = 3 8 Q(7, 3)

4

(x+ 5)2

4

(x+ 5)2x+ 5 x 1

(x+ 5)2

x+ 1x+ 5

23

13

13

1

2x ln x

x4 +x2 + 2

(x2 + 1)2(3x2 + 2) (x2 + 1) 2x(x3 + 2x)

(x2 + 1)2

ln xx3 + 2x

x2 + 1

1(3 x) ln 10

2x ln 10

x2

3 xe


7UNIDAD


22/49

b) f '(x) = 8 = 2 8

8 (x+ 2)2 = 1

c) f '(x) = 8 = 2 8 = 1 8 x= 2;

f(2) = 4 8 P(2, 4)

d) f '(x) = 8 = 2 8 x= ; f = ln 2 8 P , ln 2

41 Halla los puntos en los que la derivada vale 0 en cada uno de los siguientescasos:

a)y= 2x2 8x+ 5 b)y= x2 + 5x

c)y= x4 4x2 d)y=

a) f '(x) = 4x 8 8 4x 8 = 0 8 x= 2; f(2) = 3 8 P(2, 3)

b) f '(x) = 2x+ 5 8 2x+ 5 = 0 8 x= ; f = 8 P ,

c) f '(x) = 4x3 8x 8 4x3 8x= 0

d) f '(x) = 8 = 0 8 2x= 0 8 x= 0; f(0) = 1 8 P(0, 1)

42 Comprueba que las siguientes funciones no tienen ningn punto en el quela derivada sea igual a 0.

a)y= b)y= 2x3 + 6x

c)y= x3x2 + x d)y=

a) f '(x) = 8 ? 0 para cualquier x.

b) f '(x) = 6x2 + 6 8 6x2 + 6 = 0 no tiene solucin.

c) f '(x) = 3x2 2x+ 1 8 3x2 2x+ 1 = 0; x= no tiene solucin.

d) f '(x) = 8 = 0 no tiene solucin.6

(x 2)26

(x 2)2

2 4 126

7

2

7

2

3xx 2

7x 32

2x

(x2 + 1)22x

(x2 + 1)2

x= 0; f(0) = 0 8 P(0, 0)

x= 2; f(2) = 4 8 Q(2, 4)

x=

2; f(

2) = 4 8 R(

2, 4)

)2545

2(25

4)5

2(5

2

1

x2 + 1

)34()3

4(3

4

4

4x 1

4

4x 1

x+ 32

x+ 3

2

x+ 3

x= 1; f(1) = 1 8 P(1, 1)

x= 3; f(3) = 3 8 Q(3, 3)

2

(x+ 2)22

(x+ 2)2



23/49

Pgina 196

Recta tangente

43 Halla la ecuacin de la recta tangente a la curvay= x2 5x+ 6 en el pun-to de abscisa x= 2.

f '(x) = 2x 5; m =f '(2) = 1, f(2) = 0

La recta es y= (x 2) = 2 x

44 Escribe la ecuacin de la recta tangente a y= x2 + 2x+ 5 en el punto deabscisa x= 1.

f '(x) = 2x+ 2; m =f '(1) = 4, f(1) = 2

La recta es y= 4 (x+ 1) + 2 = 4x+ 6

45 Escribe la ecuacin de la recta tangente a y= x2 + 4x+ 1 cuya pendientesea igual a 2.

f '(x) = 2x+ 4 = 2 8 x= 1; f(1) = 2

La recta es y= 2 (x+ 1) 2 = 2x

46 Halla la ecuacin de la recta tangente a la curvay= en x= 0.

f '(x) = ; m =f '(0) = , f(0) = 1

La recta es y= x+ 1

47 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la funciny= 4 x2 en lospuntos de corte con el eje de abscisas.

Puntos de corte con el eje de abscisas: 4 x2 = 0 8 x= 2, x= 2

Puntos (2, 0) y (2, 0)

f '(x) = 2x, f '(2) = 4, f '(2) = 4

Las rectas son: En x= 2, y= 4(x+ 2) = 4x+ 8

En x= 2, y= 4(x 2) = 4x+ 8

Puntos singulares

48 Obtn los puntos singulares de las siguientes funciones:

a)y= 3x2 2x+ 5 b)y= 2x3 3x2 + 1

c)y= x4 4x3 d)y= x3 12x

12

12

1

2x+ 1

x+ 1


7UNIDAD


24/49

a) f '(x) = 6x 2 8 6x 2 = 0 8 x= ; f = 8 P ,

b) f '(x) = 6x2 6x 8 6x2 6x= 0

c) f '(x) = 4x3 12x2 8 4x3 12x2 = 0

d) f '(x) = 3x2 12 8 3x2 12 = 0

49 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones:

a)y= b)y=

a) f '(x) =

= 0 8 x2 1 = 0

b) f '(x) = 8 = 0 8 4x= 0 8 x= 0; f(0) = 0 8 P(0, 0)

50 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares:

a)y= x3 + 3x b)y= c)y= d)y= ln x

a) f '(x) = 3x2 + 3 8 3x2 + 3 = 0 no tiene solucin.

b) f '(x) = 8 = 0 no tiene solucin.

c) f '(x) = 8 = 0 no tiene solucin.

d) f '(x) = 8 = 0 no tiene solucin.

Crecimiento y decrecimiento

51 Observa los resultados obtenidos en los ejercicios 15 al 27 y di si cada unade las funciones dadas es creciente o decreciente en el punto que se indica.

15) Creciente. 16) Creciente. 17) Creciente. 18) Decreciente.

19) Creciente. 20) Creciente. 21) Creciente. 22) Decreciente.

23) Creciente. 24) Creciente. 25) Decreciente. 26) Creciente.

27) Creciente.

1

x

1

x

1

2

x

1

2

x

1

x21

x2

x1x

4x

(x2 + 1)24x

(x2 + 1)2

x= 1; f(1) = 2 8 P(1, 2)

x= 1; f(1) = 2 8 Q(1, 2)

x2 1x2

x2 1x2

2x2

x2

+ 1

x2 + 1x

x= 2; f(2) = 16 8 P(2, 16)

x= 2; f(2) = 16 8 Q(2, 16)

x= 0; f(0) = 0 8 P(0, 0)

x= 3; f(3) = 27 8 Q(3, 27)

x= 0; f(0) = 1 8 P(0, 1)

x= 1; f(1) = 0 8 Q(1, 0)

)1431

3(14

3)1

3(13



25/49

52 Obtn los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las si-guientes funciones:

a)y= b)y= 5 2x c)y= x2 3x+ 2

d)y= 2xx2 e)y= x3 f)y= x3 3x

a) f '(x) = 8 Creciente en (@, +@).

b) f '(x) = 2 8 Decreciente en (@, +@)

c) f '(x) = 2x 3 8 Crece en , +@ . Decrece en @, .

d) f '(x) = 2 2x 8 Crece en (@, 1). Decrece en (1, +@).

e) f '(x) = 3x2 8 Creciente en (@, +@).

f) f '(x) = 3x2 3 8 Crece en (@, 1) (1, +@). Decrece en (1, 1).

53 Indica en cada una de estas funciones los valores de x en los que f ' es po-sitiva y en los que f ' es negativa.

Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si x < 1.

a) f '> 0 si x< 1

f '< 0 si x> 1

b) f '> 0 si x< 0

f '< 0 si x> 0

c) f '> 0 si x(@, 1) (1, +@)

f '< 0 si x(1, 1)

54 Dada la funcinf(x) = x3 6x2 + 9x+ 4, obtn su funcin derivada y es-tudia su signo.

Cules son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f? Tiene fmximo o mnimo?

f '(x) = 3x2 12x+ 9 8 3x2 12x+ 9 = 0

f '> 0 f '< 0 f '> 0

1 3

x= 1

x= 3

22

2

2 2

2 2 2

2

)32()3

2(

3

2

3x+ 12


7UNIDAD


26/49

Crece en (@, 1) (3, +@).

Decrece en (1, 3).

Mximo en x= 1. Mnimo en x= 3.

Grficas de funciones polinmicas y racionales

55 Representa una funciny=f(x) de la que sabemos:

Es continua.

f(x) = +@; f(x) = @

Tiene tangente horizontal en (3, 2) y en (1, 5).

Indica si los puntos de tangente horizontal son mximos o mnimos.

(3, 2) es un mnimo.

(1, 5) es un mximo.

56 De una funcin polinmica sabemos que:

f(x) = +@; f(x) = +@

Su derivada es igual a 0 en (2, 2) y en (2, 1).

Corta a los ejes en (0, 0) y en (4, 0).

Represntala grficamente.

lmx8 +@

lmx8@

lmx8 +@

lmx8@



27/49


28/49

60 Comprueba que la funciny= :

Tiene derivada nula en (0, 0).

La rectay= 2 es una asntota horizontal.

Posicin de la curva respecto a la asntota:

Si x 8 @, y< 2. Si x 8 +@, y< 2.

Represntala.

f '(x) = =

f '(0) = 0; f(0) = 0

= 2

61 Completa la grfica de una funcin de la que sabe-mos que tiene tres puntos singulares:

3, , (0, 0) y 3,

y que sus ramas infinitas son las representadas.

2

1

2)52()52(

2x2

x2 + 1lm

x8 @

4x

(x2 + 1)24x(x2 + 1) 2x(2x2)

(x2 + 1)2

2x2

x2 + 1



29/49

62

Los coches, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 20% cadaao, aproximadamente. Esta grfica muestra el valor de un coche desde quese compr hasta 12 aos ms tarde.

Calcula lo que se deprecia el coche en los dos primeros aos, entre los aos4 y 6, y entre los aos 8 y 10. Es constante la depreciacin?

Depreciacin: [0, 2] 8 9000

[4, 6] 8 3500

[8, 10] 8 1500

La depreciacin no es constante.

63 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curvay= x3 3x que seanparalelas a la recta 6xy+ 1 0 = 0 .

La pendiente de la recta es el coeficiente de x cuando la y est despejada.

f '(x) = 3x2 3 = 6 8 x= , x= . Puntos: ( , 0 ) y ( , 0)

Rectas: y= 6 (x+ ), y= 6 (x )

64 En qu puntos la recta tangente ay= x3 4x tiene la pendiente igual a 8?

f '(x) = 3x2 4 = 8 8 x= 2, x= 2

Puntos (2, 0) y (2, 0).

65 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curvay= que sonparalelas a la recta 2x+y= 0.

f '(x) = = = 2 8 (x 1)2 = 1 8 x= 0, x= 2

En (0, 0), y= 2x

En (2, 4), y= 2 (x 2) + 4 = 2x+ 8

2

(x 1)22 (x 1) 2x

(x 1)2

2xx 1

33

3333

1

10

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (en aos)

VALOR(en miles de euros)

11

PARA RESOLVER


7UNIDAD


30/49

66 Halla los puntos de tangente horizontal de la funciny= x3 3x2 9x 1.

f '(x) = 3x2 6x 9 = 0 8 x= 1, x= 3.

Puntos (1, 4) y (3, 28).

67 En qu puntos de la funcin y= 1/x la recta tangente es paralela a la bi-sectriz del segundo cuadrante?

Existe algn punto de tangente horizontal en esa funcin?

f '(x) = = 1 8 x= 1, x= 1. Puntos (1, 1) y (1, 1).

No existe ningn punto de tangente horizontal, pues f '(x) = = 0 no tiene solu-cin.

68 La altura que alcanza una piedra lanzada hacia arriba viene dada por la fun-cinf(t) = 20t 5t2 (t en segundos, f en metros).

a) Calcula su velocidad media entre t= 0 y t= 5.

b)En qu instante la velocidad es igual a 0?

c) En algn momento su velocidad de la piedra es 15 m/s? En caso afirma-tivo, a qu altura?

a) T.V.M. [0, 5] = = = 5 m/s

b) f '(t) = 20 10t 8 f '(t) = 0; 20 10t= 0 8 t= 2A los 2 segundos.

c) f '(t) = 15 8 20 10t= 15 8 t= 0,5 s

A los 0,5 segundos la velocidad es 15 m/s.

La altura en ese instante es:

f(0,5) = 8,75 m.

69 Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguien-tes funciones y di si tienen mximo o mnimo:

a)y= 3x2 + 6x b) y= 2x2 8x+ 7

c)y= d) y=

a) f '(x) = 6x+ 6 8 En (@, 1) crece y en (1, +@) decrece.

Tiene un mximo en (1, 3).

b) f '(x) = 4x 8 8 Creciente en (2, +@); decreciente en (@, 2).

Tiene un mnimo en (2, 1).

x 12x+ 3

2xx 3

25 0

5

f(5) f(0)

5 0

1

x2

1

x2



31/49

c) f '(x) = 8 Decreciente en todo su dominio: {3}

d) f '(x) = 8 Creciente en todo su dominio:

70 Halla el vrtice de la parbolay= x2 + 6x+ 11 teniendo en cuenta que enese punto la tangente es horizontal.

f '(x) = 2x+ 6 = 0 8 x= 3

Punto (3, 2).

71 Halla el valor de k para que la tangente a la grfica de la funciny= x2

+kx 1 enx= 0 sea paralela a la rectay= 3x+ 2.

f '(x) = 2x+ k 8 f '(0) = k 8 k= 3

Pgina 198

72 En cada una de las siguientes funciones, halla los puntos singulares y, conayuda de las ramas infinitas, decide si son mximos o mnimos. Represn-talas:

a)y= x3 3x2 b)y= x3 3x+ 2

c)y= x4 + 4x3 d)y= x3 9x2 + 24x 20

e)y= 12xx3 f )y= x4 + x2

g)y= x5 6x3 8x 1 h) y= x4 8x2 + 2

a) f '(x) = 3x2 6x

f '(x) = 0 3x2 6x= 0

(x3 3x2) = @

(x3 3x2) = +@

(0, 0) mximo y (2, 4) mnimo.

y=x3 3x2

Y

X

2

2

246 2 4 6

4

6

8

10

4

6

lmx8 +@

lmx8@

x= 0 8 f(0) = 0 8 (0, 0)x= 2 8 f(2) = 4 8 (2, 4)

3

2

5

(2x+ 3)2

6

(x 3)2


7UNIDAD


32/49

b) f '(x) = 3x2 3

f '(x) = 0 x= 1

(x3 3x+ 2) = @

(x3 3x+ 2) = +@

(1, 4) mximo y (1, 0) mnimo.

c) f '(x) = 4x3 + 12x2

f '(x) = 0

(x4 + 4x3) =

= (x4 + 4x3) = +@

(3, 27) mnimo.

d) f '(x) = 3x2 18x+ 24; f '(x) = 0

x= = =

(x3 9x2 + 24x 20) = @

(x3 9x2 + 24x 20) = +@

(2, 0) mximo y (4, 4) mnimo.

e) f '(x) = 12 3x2; f '(x) = 0 x= 2

(12xx3) = +@

(12xx3) = @

(2, 16) mximo y (2, 16) mnimo.

lmx8 +@

lmx8@

f(2) = 16 8 (2, 16)

f(2) = 16 8 (2, 16)

y=x3 9x2 + 24x 20

2 4 6

5

5

20

4 2

Y

X

lmx8 +@

lmx8@

f(4) = 4 8 (4, 4)

f(2) = 0 8 (2, 0)

42

6 22

6 36 322

y=x4 + 4x3

5

5

246 2 4 6

10

15

20

25

10

Y

X

lmx8 +@

lmx8@

x= 0 8 f(0) = 0 8 (0, 0)x= 3 8 f(3) = 27 8 (3, 27)

y=x3 3x+ 2

2

2

246 2 4 6

4

4

6

Y

X

lmx8 +@

lmx8@

f(1) = 0 8 (1, 0)

f(1) = 4 8 (1, 4)


2 44 2

5

10

15

5

10

15y= 12xx3

Y

X


33/49

f) f '(x) = 4x3 + 2x; f '(x) = 0

x= 0 8 f(0) = 0 8 (0, 0)

x= 8 f( ) = 8 ( , )x= 8 f( ) = 8 ( , )

(x4 +x2) = @; (x4 +x2) = @

( , )y( , ) son mximos y (0, 0), mnimo.

g) f '(x) = 5x4 18x2 8; f '(x) = 0

(x5 6x3 8x 1) = @

(x5 6x3 8x 1) = +@

(2, 31) mximo y (2, 33) mnimo.

h) f '(x) = 4x3 16x; f '(x) = 0

(x4 8x2 + 2) = +@

(x4 8x2 + 2) = @

(0, 2) mximo, y (2, 14) y (2, 14) mnimos.

2

246

4 6

y=x4 8x2 + 2

Y

X

lmx8@

lmx8 +@

x= 0 8 f(0) = 2 8 (0, 2)x= 2 8 f(2) = 14 8 (2, 14)

x= 2 8 f(2) = 14 8 (2, 14)

5 1551015

10

20

40

30

20

30

40

y=x5 6x3 8x 1

10

10

Y

Xlm

x8 +@

lmx8@

x= 2 8 f(2) = 33 8 (2, 33)

x= 2 8 f(2) = 31 8 (2, 31)

14

22

14

22

lmx8 +@

lmx8@

14

22

14

22

22

14

22

14

22

22


7UNIDAD

y= x4 +x2

1

1

1

1 Y

X


34/49

73 Representa las siguientes funciones hallando los puntos singulares y estu-diando sus ramas infinitas:

a)y= x3 2x2 + x b)y= x4 + 2x2

c)y= d)y=

e)y= f )y=

a) f '(x) = 3x2 4x+ 1 = 0 8 x= , x= 1

Puntos de tangente horizontal:

( , ), (1, 0)

(x3 2x2 +x) = +@

(x3 2x2 +x) = @

b) f '(x) = 4x3 + 4x= 4x(x2 1) = 0 8 x= 0, x= 1, x= 1


(1, 1), (0, 0) y (1, 1)

(x4 + 2x2) = @

(x4 + 2x2) = @

c) f '(x) = = = 0 8 x= 2, x= 2

Puntos de tangente horizontal: (2, 1), (2, )

= 0

= 0

Asntotas verticales:

x= 4, x= 1

x

x2 + 5x+ 4lm

x8@

x

x2 + 5x+ 4lmx8 +@

19

x2 + 4

(x2 + 5x+ 4)2x2 + 5x+ 4 x(2x+ 5)

(x2 + 5x+ 4)2

y= x4 + 2x2

212 1

1

2

3

1Y

X

lmx8@

lmx8 +@

11

1

1

y=x3 2x2 +x

Y

X

lmx8@

lmx8 +@

427

13

13

2x2

x+ 2x

(x+ 5)2

1x2 3x+ 2

xx2 + 5x+ 4


y= x

x2 + 5x+ 4

1

1 22 134 3

Y

X


35/49

d) f '(x) = = 0 8 x=


(, 4

)= 0

= 0


e) f '(x) = = = 0 8 x= 5

Puntos de tangente horizontal: (5, )= 0

= 0


y= x

(x+ 5)2

2

2 44 2

2

4

6

6 6

Y

X

x

(x+ 5)2lm

x8@

x

(x+ 5)2lm

x8 +@

120

5 x

(x+ 5)3(x+ 5)2x 2 (x+ 5)

(x+ 5)4

1

1 22 1

1

2

3

4

5

2

3 3

y= 1

x2 3x+ 2 (, 4)32

Y

X

1

x2 3x+ 2lm

x8@

1

x2 3x+ 2lm

x8 +@

3

2

32

(2x 3)

(x2 3x+ 2)2


7UNIDAD


36/49

f) f '(x) = = = = 0 8 x= 0, x= 4


(4, 16), (0, 0)

= 2x 4 +

(y= 2x 4 asntota oblicua)


74 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente horizontal.Represntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con losejes:

a)y= b)y= c)y= + 4x d)y=

a) f '(x) = ? 0

Los puntos de corte son: (0, ), (3, 0)

= 1

= 1


x 3x+ 2

lmx8 +@

x 3x+ 2

lmx8@

32

5

(x+ 2)2

1

(x 2)2x3

3x2 1

x

x 3x+ 2

y= 2x2

x+ 25

2 42

5

10

15

20

10

15

46 6

Y

X

8

x+ 2

2x2

x+ 2

2x(x+ 4)

(x+ 2)22x2 + 8x

(x+ 2)24x(x+ 2) 2x2

(x+ 2)2


y= x 3x+ 2

2

4

6

2

4

2 4 6 84 26810

Y

X


37/49

b) f '(x) = ? 0

Los puntos de corte son: (1, 0), (1, 0)

=x

(y=x asntota oblicua)


c) f '(x) =x2

+ 4 ? 0El punto de corte es: (0, 0)

+ 4x= @

+ 4x= +@

d) f '(x) = ? 0

El punto de corte es: (0, )Asntota vertical: x= 2


75 Estudia y representa las siguientes funciones:

a)y= b)y=

c)y= d)y=

e)y= f )y=

g)y= h)y=

i)y= j)y= x2 5

2x 4

x2x+ 1

x2 + x+ 1

x2

(x 2)2x2

x2 4x+ 3

x2

1 x2x2 1x+ 2

(x 1)2

x+ 2x+ 2

x2 6x+ 5

x

1 x2x

x2 16

y= 1(x 2)2

4

2

2 4 64 2

Y

X

14

2

(x 2)3

y= + 4xx3

3 5

5

2 4 64 26

Y

X

x3

3lm

x8 +@

x3

3lm

x8@

y= x2 1

x 4

2

6

2

4

6

2 4 64 26

Y

X1

xx2 1

x

x2 + 1

x2


7UNIDAD


38/49

a) f '(x) =


Asntotas horizontales: y= 0

No hay asntotas oblicuas ni puntosde tangente horizontal.

b) f '(x) =



No hay asntotas oblicuas ni puntosde tangente horizontal.

c) f '(x) =



No hay asntotas oblicuas.

Sus puntos de tangente horizontal son, aproximadamente:

(6,58; 0,052), (2,58; 1,197)

y= x+ 2

x2 6x+ 5 1

0,5

1,5

0,5

1

1,5

2 4 64 26

Y

X

x2 4x+ 17

(x2 6x+ 5)2

y= x

1 x22

1

3

1

2

3

1 2 32 13

Y

X

x2 + 1

(1 x2)2

y= x

x2 16

4

2

6

2

4

6

2 4 64 26

Y

X

x2 16

(x2 16)2



39/49

d) f '(x) =

Asntotas verticales: x= 2

Asntotas oblicuas: y=x 4

No hay asntotas horizontales.

Sus puntos de tangente hori-zontal son:

(1, 0), (5, 12)

e) f '(x) =


Asntotas oblicuas: y=x 2

No hay asntotas horizontales.

Sus puntos de tangente hori-zontal son, aproximadamente:

(0,26; 0,54), (3,73; 7,46)

f) y'=




Su punto de tangente horizontal es:

(0, 0)

y= x2

1 x

2 4 6246

2

4

6

2

4

X

Y2x(1 x2)2

y=

y=x 2

x2 1x+ 2

2 4 62462

4

6

2

4

6

X

Yx2 + 4x+ 1

(x+ 2)2

y=

y=x 4

(x 1)2

x+ 2

10

5

15

5

10

15

20

2 4 64 26

Y

X

x2 + 4x 5

(x+ 2)2


7UNIDAD


40/49

g) f '(x) =




Sus puntos de tangente hori-zontal son:

(0, 0), ( , 3)

h) f '(x) =




Su punto de tangente hori-zontal es: (0, 0)

i) f '(x) =

Asntotas horizontales: y= 1No hay asntotas verticales ni oblicuas.

Sus puntos de tangente horizontal son:

(1, ), (1, 3)

j) f '(x) =


Asntotas oblicuas: y= + 1

No hay asntotas horizontalesni puntos de tangente hori-zontal.

y= x2 52x 4

2 4 624

2

4

2

4

6

X

Y

x

2

2x2 8x+ 10

(2x 4)2

y= x2 x+ 1

x2 +x+ 1

2 4 6246

2

4

6

2

4

6

X

Y

13

2x2 2

(x2 +x+ 1)2

y= x2(x 2)2

2 4 6246

2

4

6

X

Y

4x

(x 2)3

y= x2

x2 4x+ 3

2 4 6246

2

4

6

2

4

6

X

Y

32

4x2 + 6x

(x2 4x+ 3)2



41/49

76 Determina la parbolay= ax2 + bx+ c que es tangente a la rectay= 2x 3en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, 2).

f(x) = ax2 + bx+ c

f '(x) = 2ax+ b

La funcin es f(x) = x2 + 6x 7.

77 Halla el valor de x para el que las tangentes a las curvas y= 3x2 2x+ 5 ey= x2 + 6x sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes.

6x 2 = 2x+ 6 8 x= 2

Para f(x) = 3x2 2x+ 5 la tangente en x= 2 es:

y= 10 (x 2) + 13 8 y= 10x 7

Para g(x) =x2 + 6x la tangente en x= 2 es:

y= 10 (x 2) + 16 8 y= 10x 4

78 Halla a, b y c enf(x) = x3 + ax2 + bx+ c de modo que la grfica de f ten-ga tangente horizontal en x= 4 y en x= 0 y que pase por (1, 1).

f(x) =x3 + ax2 + bx+ c

f '(x) = 3x2 + 2ax+ b

La funcin es f(x) =x3 + 6x2 6.

79 Calcula ay b de modo que la funcinf(x) = 2x3 + bx2 + ax 5 tenga unmximo en x= 1 y un mnimo en x= 2.

f '(x) = 6x2 + 2bx+ a

f '(1) = 0 8 6 + 2b + a = 0

f '(2) = 0 8 24 + 4b + a = 0

a = 12

b = 9

a + 2b = 6

a + 4b = 24

a = 6

b = 0

c = 6

f '(4) = 0 8 48 8a + b = 0

f '(0) = 0 8 b = 0

f(1) = 1 8 1 + a + b + c = 1

f(x) = 3x2 2x+ 5 8 f '(x) = 6x 2

g(x) =x2 + 6x 8 g'(x) = 2x+ 6

a = 1

b = 6

c = 7

f(2) = 1 8 4a + 2b + c = 1

f '(2) = 2 8 4a + b = 2

f(5) = 2 8 25a + 5b + c = 2


7UNIDAD


42/49

80 Calcula la T.V.M. de f(x) = 3x 2 en los intervalos [1, 2], [1, 3] y [3, 4].Justifica por qu obtienes el mismo resultado.

T.V.M. [1, 2] = = 3

T.V.M. [1, 3] = = 3

T.V.M. [3, 4] = = 3

T.V.M. = 3 para todos, porque la funcin es una recta de pendiente 3.

81Dibuja una funcin que tenga derivada nula en x= 1 y en x= 1, deriva-da negativa en el intervalo [1, 1] y positiva para cualquier otro valor de x.

82 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada seaf '(x) = 2x. Cuntas exis-ten?

Existen infinitas.

f(x) =x2 + k, donde k es cualquier nmero.

83 Esta es la grfica de la funciny= x3.

Por qu podemos asegurar que el eje de abscisas es latangente de esa curva en (0, 0)?

Ecuacin de la tangente en (0, 0):

f '(x) = 3x2 8 f '(0) = 0 8 y= 0 + 0(x 9) 8 y= 0 esel eje de abscisas.

84 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vrtice de la parbola

y= ax2 + bx+ c es x= .

f '(x) = 2ax+ b = 0 8 x=b2a

b2a

1

2

1 2

2

1

1

1

10 + 117

7 12

4 + 53

CUESTIONES TERICAS



43/49

85 Sif '(2) = 0, cul de estas afirmaciones es correcta?

a) La funcinf tiene mximo o mnimo en x= 2.

b) La recta tangente en x= 2 es horizontal.

c) La funcin pasa por el punto (2, 0).

La correcta es la b).

Pgina 199

86 La ecuacin de la recta tangente a una funcinf(x) en el punto de abscisa

x= 2 es 4x 3y+ 1 = 0. Cul es el valor de f '(2)? Y el de f(2)?

La recta tangente es y= ; su pendiente es =f '(2)

f(2) = 3

87 Qu relacin existe entre fyg?

Y entre f 'yg'?

Son rectas paralelas (de igual pendiente).

88 Esta es la grfica de f ', la funcin derivada de f.

a) Tiene f algn punto de tangente horizontal?

b) Di para qu valores de x es f creciente y para cules esdecreciente.

a) S, en x= 2, puesto que f '(2) = 0

b) Si x< 2 es creciente, pues f '> 0; y si x> 2 es decreciente, pues f '> 0.

89 El coste total (en dlares) de fabricacin de qunidades de cierto artculo es

C(q) = 3q2 + 5q+ 75. El coste medio por unidad es: M(q) = .

a) Cuntas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidadsea mnimo?

b) Calcula C(q) yM(q) para el valor de q que has hallado en el apartado a).

C(q)

q

Y

X

f '

f=g+ 1f '=g'

Y

X

f

g

0

43

4x+ 13

PARA PROFUNDIZAR


7UNIDAD


44/49

a) M(q) =

M'(q) = = =

= = 0 8 q2 = 25 8 q= 5 unidades

Se deben fabricar 5 unidades.

b) C(5) = 175; M(5) = 35

90 La funcinf(x) = indica los beneficios obtenidos por una empresa

desde que comenz a funcionar (f(x) en miles de euros, x en aos).

a) Represntala grficamente.

b) Al cabo de cunto tiempo obtiene la empresa el beneficio mximo? Cules ese beneficio?

c) Perder dinero la empresa en algn momento?

a) f '(x) = = = = 0 8

8 x= 3 (x= 3 no est en el dominio)

Mximo en (3, 10).

f(x) = 0 8 asntota horizontal: y= 0

La grfica sera:

b) Beneficio mximo en x= 3 8 A los 3 aos.

El beneficio sera f(3) = 10 miles de euros.

c) No perder dinero pues f(x) = 0 yf(x) > 0 para todo x> 0.

2

2 6

4

6

8

10

4 8 10 1412 16 18

lmx8 +@

60x2 + 540

(x2 + 9)260x2 + 540 120x2

(x2 + 9)260 (x2 + 9) 60x 2x

(x2 + 9)2

60x

x2 + 9

3q2 75

q2

6q2 + 5q 3q2 5q 75

q2(6q+ 5)q (3q2 + 5q+ 75)

q2

3q2 + 5q+ 75q



45/49

Pgina 199

AUTOEVALUACIN

1. Observa la grfica de la funciny=f(x) y responde.

a) Cul es la T.V.M. en los intervalos [0, 3] y [4, 2]?

b) Tiene algn punto de tangente horizontal?

c) Para qu valores de x es f '(x) > 0?

d)Sabemos que la tangente en el punto de abscisa x= 0 es paralela a la bi-sectriz del segundo cuadrante. Cunto vale f '(0)?

a) T.V.M. [0, 3] = = =

T.V.M. [4, 2] = = = 2

b) S, P(2, 4).

c) Si x< 2, f '(x) > 0.

d) La recta y= x (bisectriz del 2. cuadrante) tiene pendiente igual a 1. Por tanto,f '(0) = 1.

2. Dadaf(x) = x2 3x, prueba que f '(2) = 7 aplicando la definicin de deri-vada.

f '(2) =

f(2) = (2)2 3(2) = 4 + 6 = 10

f(2 + h) = (2 + h)2 3(2 + h) = 4 4h + h2 + 6 3h = h2 7h + 10

f(2 + h) f(2) = h2 7h

= = h 7

h 7 = 7

Por tanto, f '(2) = 7.

lmh 8 0

h2 7h

h

f(2 + h) f(2)

h

f(2 + h) f(2)

h

lm

h 8 0

4 0

2 + 4

f(2) f(4)

2 (4)

1

2

1/2 2

3

f(3) f(0)

3 0

X11

1

2 2 3

Y

4


7UNIDAD


46/49

3. Halla la derivada de las siguientes funciones:

a)y= + b)y= ex

c)y=3

d)y=

a) f '(x) =

b) f '(x) = ex+ (1)ex= ex

c) f '(x) = 32

=2

= (3x 5)2

d) f '(x) = = = =

4. Escribe la ecuacin de la tangente a la curvay= ln x2 en el punto de abscisax= 1.

Punto de tangencia: x= 1, y= ln 12 = 0 8 P(1, 0)

Pendiente de la recta tangente: f '(x) = = 8 f '(1) = 2

Ecuacin: y= 0 + 2(x 1) 8 y= 2x 2

5. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f(x) = x2 3x

f(x) = x2 3x 8 f '(x) =x2 2x 3

Buscamos los valores de x para los que f '(x) > 0 8 x2 2x 3 > 0

Intervalos de crecimiento de f: (@, 1) (3, +@)

Intervalo de decrecimiento de f: (1, 3)

La funcin tiene un mximo en x= 1 y un mnimo en x= 3.

1 3

f '(x) > 0 f '(x) < 0 f '(x) > 0

x3

3

x3

3

2

x

2x

x2

x2 4x

x2 4x+ 4

x2 4x

(x 2)22x2 4xx2

(x 2)22x(x 2) x2

(x 2)2

9

8)3x 5

2(9

2

3

2)3x 5

2(

)1 x3(x

3

1

3

2

x21

2

x

x2

x 2)3x 5

2(

x

3

2

xx



47/49

6. Determina los puntos singulares de:

y=

de la cual conocemos sus asntotas y la posicinde la curva con respecto a ellas. Represntala.

f(x) =

f '(x) = =

= =

f '(x) = 0 8 = 0 8 x2 + 4x= 0

f(0) = = 2; f(4) = = 6

Los puntos singulares son (0, 2) y (4, 6). El primero es un mnimo y el segundo, unmximo.

7. Representa la funciny= x3 12x+ 16.

y=x3 12x+ 16 es una funcin polinmica, por ello es continua en .

Ramas infinitas:

(x3 12x+ 16) = +@

(x3 12x+ 16) = @lmx8@

lmx8 +@

2 X

Y

2

42 2 4 + 4

2 4

0 0 + 4

2 0

x= 0

x= 4

x2 + 4x

(2 x)2

x2 + 4x(2 x)2

(4x 2x2 4 + 2x) + (x2 2x 4)(2 x)2

(2x 2)(2 x) (x2 2x+ 4)(1)

(2 x)2

x2 2x+ 4

2 x

2 2 X

Y

x2 2x+ 4

2 x


7UNIDAD


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Puntos singulares:

f '(x) = 3x2 12

f '(x) = 0 8 3x2 12 = 0

f(2) = 23 12 2 + 16 = 0 8 (2, 0)

f(2) = (2)3 12(2) + 16 = 32 8 (2, 32)

Los puntos singulares son (2, 0) y (2, 32).

Esta es su grfica:

8. Estudia y representay= .

f(x) =

El dominio de esta funcin es.

Asntotas:

y= 0 es una asntota horizontal.

Cuando x8 +@, f(x) > 0 8 la curva est por encima de la asntota.

Cuando x8@, f(x) < 0 8 la curva est por debajo de la asntota.

Cortes con los ejes:f(x) = 0 8 4x= 0 8 x= 0

La funcin corta a los ejes en el punto (0, 0).

Extremos relativos:

f '(x) = = =

f '(x) = 0 8 4x2 + 4 = 0 8 x2 = 1x1 = 1

x2 = 1

4x2 + 4

(x2 + 1)24x2 + 4 8x2

(x2 + 1)24(x2 + 1) 4x 2x

(x2 + 1)2

lm f (x) = 0x8 +@

lm f (x) = 0x8@

4x

x2 + 1

4x

x2 + 1

32

4

12 X

Y

x= 2

x= 2



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As, observando la asntota y el corte con el eje X, (1, 2) es un mximo relativo, y(1, 2), un mnimo relativo.

La grfica es:

9. La funcin f(x) = x2 + bx+ c tiene un mnimo en x= 2 y pasa por (2, 2).Calcula b y c.

f(x) =x2 + bx+ c

f '(x) = 2x+ b x= 2 es un mnimo:

f '(2) = 0 8 2 2 + b = 0 8 b = 4

Pasa por (2, 2):

f(2) = 2 8 22 4 2 + c = 2 8 c = 6

As, la funcin es y=x2 4x+ 6.

1

2

2

X

Y

1

7UNIDAD

U07 Iniciacion Al Calculo de Derivadas

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