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GUÍA DE REPASO: VECTORES Y CINEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MISS YORMA RIVERA M. PROF. JONATHAN CASTRO F.

NOMBRE alumno(a): __________________________________

CURSO: II° medio ___

U N I D A D D E R E P A S O

Un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un punto fijo a medida que pasa el tiempo. En el ejemplo, cuando estás sentado dentro del bus en marcha te mueves respecto a un observador que tiene como referencia la calle, pero no te mueves respecto a otro observador que se encuentra en el bus. Entonces, el movimiento es relativo, ya que depende del marco de referencia. Así, las observaciones que realizamos estarán siempre referidas al marco de referencia elegido. Tanto la calle como el bus son marcos de referencia para los distintos observadores. Cualquier sistema sirve de marco de referencia; por ejemplo, un árbol, una casa, un cerro, e incluso nosotros mismos. Generalmente, los marcos de referencia elegidos para estudiar el movimiento de los cuerpos están fijos a un sistema en reposo o bien a un sistema en movimiento con velocidad constante, como por ejemplo la Tierra. Entonces, todo marco de referencia fijo en la Tierra se considera en reposo respecto a esta; sin embargo, sabemos que la Tierra se mueve respecto a su eje de rotación, al Sol, al Sistema Solar y a la galaxia. En general, la descripción de las propiedades de un cuerpo se realiza a través de valores numéricos y unidades de medida, por ejemplo: la altura de un edificio, la masa de un auto. la longitud de una calle, etc. Toda magnitud física que solo necesita un valor numérico y su unidad de medida para ser descrita es una magnitud escalar. Otros ejemplos de estas magnitudes son la temperatura, la rapidez y la energía. Sin embargo, para describir algunas magnitudes físicas es necesario especificar su valor numérico y una dirección respecto a un sistema de coordenadas. Como estudiamos anteriormente. la posición de un cuerpo no solo describe una magnitud, sino que especifica un lugar determinado en el espacio. Toda magnitud física que para ser descrita debe especificar un valor numérico y una dirección es una magnitud vectorial. Ejemplos son el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, entre otras. Es usual llamar vector a toda magnitud vectorial, y para diferenciarlo de las cantidades escalares, se representa por una letra en negrita, o bien por una letra con una flecha sobre esta, es decir, tanto

𝑨 como �⃗⃗� representan correctamente a un vector.

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Los vectores son herramientas muy útiles para analizar diversas situaciones de la Física. En general, se representan por flechas cuya longitud corresponde al módulo o valor numérico del vector. La dirección del vector se indica a través de la línea sobre la cual se dibuja la flecha, y el sentido del vector especifica la orientación respecto a la dirección del mismo.

El vector de posición La posición de un cuerpo se describe a través del vector de posición �⃗� . La flecha que lo representa parte en el origen del sistema de coordenadas y termina en el punto donde se ubica el cuerpo en un instante específico. Por ejemplo: dos estudiantes caminan por un pasillo en sentidos opuestos. El origen del sistema de coordenadas unidimensional se fija en la puerta del lado izquierdo. La posición del joven se representa por el vector 𝑟 1 = 1 𝑖 ̂(𝑚), en tanto la posición de la niña es 𝑟 2 = 9𝑖 ̂(𝑚)

El vector desplazamiento El desplazamiento ∆𝑟 es una magnitud vectorial y corresponde a la diferencia entre el vector de posición final 𝑟 𝑓 y el vector de posición inicial 𝑟 𝑖, en el movimiento de un cuerpo.

∆𝑟 = 𝑟 𝑓 − 𝑟 𝑖

Por ejemplo, la posición inicial del corredor de la figura es 𝑟 𝑖 = 50 𝑖 ̂m y la posición final, luego de un tiempo, es 𝑟 𝑓= 30 𝑖 ̂m; ¿cuál es su desplazamiento?

∆𝑟 = 30 𝑖 ̂m − 50 𝑖 ̂m

∆𝑟 = − 20 𝑖 ̂m El signo del vector desplazamiento indica el sentido del movimiento. En este caso, el desplazamiento se realiza en la dirección horizontal x y el signo negativo indica su sentido opuesto a la orientación del sistema de coordenadas. En un movimiento en una dimensión, como en el ejemplo anterior, la distancia recorrida coincide con el valor o magnitud del desplazamiento, solo si la trayectoria entre dos puntos es rectilínea y ocurre sin cambios de sentido. Cuando el desplazamiento de un cuerpo se estudia en dos dimensiones, es necesario analizar los componentes de los vectores posición inicial y final, para obtener el cambio horizontal y vertical de la posición.

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El vector velocidad La velocidad media �⃑�𝑚 es un vector que representa la variación de la posición de un cuerpo en el tiempo, es decir, la razón entre el desplazamiento de un cuerpo ∆𝑟 y el intervalo de tiempo 𝑡 que emplea en dicho desplazamiento.

En el Sistema Internacional de Unidades, la velocidad media se mide en [𝑚

𝑠] y su valor numérico o

módulo es la rapidez media. Para el ejemplo anterior, se puede calcular la velocidad media del ciclista que demora 20 segundos en avanzar desde su posición inicial hasta su posición final. La velocidad media se estima como el cambio de posición en el intervalo de tiempo, es decir:

∆𝑣 = ∆𝑟

𝑡

∆𝑣 = −20 𝑖 ̂𝑚

40 𝑠

∆𝑣 = −0,5 [𝑚

𝑠]

En este caso, el movimiento es unidimensional, en la dirección horizontal, y el signo negativo indica su sentido, es decir, opuesto a la orientación del sistema de coordenadas. Si pensamos, por ejemplo, en una competencia ciclística, es muy difícil que durante la carrera los competidores mantengan su velocidad constante. Lo más probable es que esta cambie varias veces durante el trayecto. Al finalizar la competencia podemos calcular la velocidad media del ciclista ganador, dividiendo el desplazamiento por el tiempo empleado. Pero, si reducimos el de tiempo a un intervalo cada vez menor (tiende a cero…), obtendremos una velocidad instantánea.

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1. Los vectores de posición de un automóvil en los instantes de tiempo 𝑡𝑖 y 𝑡𝑓 son 𝑟𝑖⃗⃗ = (3𝑖̂ + 6𝑗̂)

m y son 𝑟𝑓⃗⃗⃗ = (6𝑖̂ + 7𝑗̂) m respectivamente. Calcula el vector desplazamiento.

2. Un móvil se traslada en línea recta desde el punto A (-2, 0), pasa por B (1, 2) y se detiene en el

punto C (2,0). a) Dibuja en el plano XY los vectores de posición en A, B Y C. b) Representa cada vector en función de los vectores unitarios del plano cartesiano. c) Calcula el módulo de cada vector. d) Calcula el vector B - A; ¿qué representa el vector resultante?

3. En el plano XY, están representados los desplazamientos ∆𝑟1 y ∆𝑟2 que realiza un corredor

durante su entrenamiento.

a) Representa el vector desplazamiento total del corredor. b) Calcula la distancia recorrida en el tramo AB, BC y AC.

4. Un peatón observa el tráfico en una avenida principal y toma una fotografía en el instante t. El

observador establece un marco de referencia fijo en el semáforo 2 central. De acuerdo con esto, responde:

a) Representa el vector de posición de cada automóvil. b) Calcula la distancia de cada vehículo al origen. c) El vehículo amarillo (central) avanza una cuadra hacia el este y se detiene en el semáforo 3,

¿cuál fue su desplazamiento? Supongamos que, para un segundo observador, el origen del sistema de coordenadas se ubica en el extremo oeste de la fotografía, en el semáforo 1.

d) ¿Qué vectores representan la posición de cada automóvil? e) ¿Cuál será el desplazamiento del automóvil amarillo (central) en el nuevo marco de

referencia? 5. Dos motociclistas viajan en sentidos opuestos por una carretera en la dirección oeste-este con

respecto al marco de referencia fijo en tierra: el motociclista A viaja hacia el este a 70 km/h y el motociclista B a 90 km/h hacia el oeste. a) ¿Cuál es la velocidad relativa 𝑣 𝐴𝐵 de la motocicleta A, respecto al conductor de la moto B? b) ¿Cuál es la velocidad relativa 𝑣 𝐵𝐴 de la motocicleta B, respecto al conductor de la moto A?

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6. Una persona viaja en un auto por un camino recto en dirección norte-sur. Su rapidez, con

respecto al suelo, es 100 km/h. Un camión viaja delante de él a 120 km/h, con respecto al suelo. ¿Cuál es la velocidad relativa del auto con respecto al camión?

7. En las Olimpíadas de Beijing 2008, Usain Bolt obtuvo el oro olímpico en los 100 metros planos al llegar a la meta en 9,69 segundos. En la tabla se muestra el tiempo registrado durante la carrera cada 10 metros.

a) ¿Cuál fue la velocidad media del atleta? b) Calcula la velocidad cada 10m; ¿se mantiene constante? Justifica. c) Grafica la velocidad en función del desplazamiento, ¿cuál es la rapidez máxima alcanzada?

8. Diego decide visitar a Francisca, que vive en un pueblo cercano a 10 km de su casa. Emprende

el viaje a las 10:00 a.m. con una rapidez de 15 km/h. Luego de 20 minutos, se detiene y descansa 10 minutos, continuando el viaje con rapidez 20 km/h hasta la casa de Francisca. A las 13:00 horas emprende el viaje de vuelta, sin detenciones y con rapidez constante de 12 km/h. a) Representa el movimiento de ida y vuelta de Diego en un gráfico distancia en función del

tiempo. b) ¿Qué distancia recorre con rapidez 20 km/h? c) ¿En cuál de los viajes demora más, en el viaje de ida o de regreso a casa?

9. Un campesino alimenta al ganado lanzando fardos desde un tractor que se desplaza con

velocidad 5 𝑖 ̂ m/s respecto a la carretera. Si cada fardo es lanzado en sentido contrario al movimiento del tractor, con velocidad -3 𝑖 ̂m/s, respecto al tractor, ¿cuál es la velocidad de los fardos para una persona que observa la situación desde la carretera?

10. Un barco viaja hacia el este, con rapidez constante de 10 m/s, respecto al agua. Un pasajero

decide dar un paseo por la cubierta del barco moviéndose horizontalmente en línea recta. Determina la rapidez del pasajero respecto al agua cuando: a) se mueve en dirección y sentido del movimiento del barco, con rapidez de 0,5 m/s respecto

a la cubierta; b) mantiene la dirección, pero se desplaza en sentido contrario al movimiento del barco, con

rapidez 0,8 m/s relativa a la cubierta. 11. Un tren de alta velocidad viaja con rapidez 300 km/h, respecto al suelo. El inspector se dirige

en línea recta hacia la cola del tren con rapidez 6 km/h, respecto al tren. Para un observador en tierra: a) ¿hacia dónde se mueve el inspector? b) ¿cuál es la velocidad del inspector respecto al suelo?

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12. Se analiza el movimiento horizontal de un tenista durante 5 segundos. En el gráfico se observan

las trayectorias en línea recta que desarrolla el deportista. De acuerdo al gráfico:

13. En el gráfico se muestra la posición de dos automóviles respecto al tiempo. Los puntos de cada trayectoria están representados por círculos y cruces, respectivamente.

a) Describe la posición de cada auto en t = 0 minutos. b) ¿Cuál es la posición de los autos en t = 25 minutos y en t = 35 minutos? c) En t = 50 minutos, ¿a qué distancia entre sí se encuentran los vehículos? d) ¿Cuál es la velocidad promedio de cada auto? e) ¿Cuál es la velocidad de cada auto en los últimos 5 minutos del recorrido?