Correlación Lineal

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo © 2008, Rev 2010

Objetivos de Lección

• Conocer el significado de los conceptos: correlación y coeficiente de correlación

• Calcular los coeficientes de correlación de Pearson y de Spearman rho e interpretar sus significados

• Distinguir entre los conceptos de correlación, causalidad y relación de causa y efecto

Introducción

Introducción• Muchos proyectos estadísticos estudian una sola variable. En este caso, describen la muestra usando medidas de tendencia central y variación.

• Hay estudios que miden dos variables en una misma muestra o grupo.

•Por ejemplo: Puntuaciones de CEEB y Promedio General

Introducción

• En el caso de un estudio con dos variables, el investigador podría analizar los resultados de cada variable individualmente.

•Pero, al observar que existe cierta relación, le gustaría determinar hasta qué punto están relacionadas las dos variables.

Introducción

• En este caso, conviene realizar un análisis de correlación.

• El coeficiente de correlación producto-momento de Pearson y el coeficiente de correlaciónSpearman rho son dos de las medidas que utilizamos para hacer este análisis.

Introducción

• En esta lección veremos:

• Cómo se calculan los diferentes coeficientes de correlación (Pearson y Spearman rho)

• Cuándo se usan

• Qué factores afectan su tamaño

• Cómo se interpretan

CorrelaciónLineal

Descubriendo el significado de correlación

• Supongamos que el profesor de estadística administra el examen final. Al observar los resultados, desea conocer si los estudiantes que salieron bien en el examen son aquellos que entraron a la universidad con una alta puntuación en la parte de matemáticas del CEEB. También, quiere conocer si los que salieron mal en el examen final son aquellos cuya puntuación en matemáticas de CEEB era también baja.

Descubriendo el significado de correlación

•Este profesor está interesado en conocer si estas dos variables (puntuación de Ceeb en matemáticas y resultado de examen final de estadística) están relacionadas.

•Para esto recopila la información de los 15 estudiantes de su grupo sobre estas dos variables.

•Los resultados se muestran a continuación.

EjemploResultados de dos variables en muestra de 15 estudiantes de Estadística

Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y)1 595 682 520 553 715 654 405 425 680 646 490 457 565 568 580 599 615 56

10 435 4211 440 3812 515 5013 380 3714 510 4215 565 53

Total 8010 772534 51.47

s = 96.53 10.11x

Ejemplo• En esta muestra, luego de recopilar la información relacionada con las dos variables, uno quisiera ver si las variables se relacionan.

•O sea, uno quiere determinar si a medida que el valor de una variable aumenta, la otra aumenta también (o disminuye, o quizás no están relacionadas)

Ejemplo• Se podría hacer el análisis por una simple inspección visual.

• O sea, se construiría una gráfica donde se observen ambas variables.

• En este caso, la gráfica de puntos (scatterplot) es la ideal.

• Se representa en el eje de x la variable x, y en el eje de y la variable y, como se ilustra en la próxima pantalla.

• Ver signficado de los puntos de la gráfica.

Gráfica de Puntos(Scatterplot)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 100 200 300 400 500 600 700 800

E

x

a

m

F

i

n

a

l

E

s

t

a

d

(

y)

CEEB-Math (x)

Puntuaciones de 15 Estudiantes de Estadística

Est

CEEB (Math)

(x)Exam Final Estad (y)

1 595 68

2 520 55

3 715 65

4 405 42

5 680 64

6 490 45

7 565 56

8 580 59

9 615 56

10 435 42

11 440 38

12 515 50

13 380 37

14 510 42

15 565 53

Total 8010 772

534 51.47

s = 96.53 10.11

x

Relación entre la correlación y las gráficas de puntos

• Se puede ver si existe relación mirando la gráfica

• Tipos de correlación:

•Correlación positiva

•Correlación negativa

•Correlación perfecta

•No hay relación

• Ver diagramas en pág.98 (Libro de Hinkle), Figura 5.2, para distinguir los diferentes tipos de relación

Relación entre la correlación y las gráficas de puntos

•Figura 5.2-Tipos de correlación:

•Correlación positiva (Figura 5.2-A)

•Correlación negativa (Figura 5.2-B)

•Correlación perfecta (Figuras 5.2-C y D)

•No hay relación (Figura 5.2-E)

• Observe formas de las líneas y forma de agrupación de los datos.

Reflexión• La gráfica ayuda a tener noción de si existe correlación, pero no es lo suficientemente precisa para propósitos estadísticos.

• No nos dice cuán relacionadas están las variables: cuál es la magnitud de la relación y cuál es la dirección de la relación.

•Para esto, se necesita tener un índice cuantitativo que establezca esta precisión.

• El coeficiente de correlación sirve este propósito.

Coeficiente de Correlación

• Un coeficiente de correlación asume valores que van desde -1 hasta +1.

-1 0 +1•+1- Correlación perfecta positiva

-A medida que una aumenta la otra aumenta también, o a medida que una disminuye, la otra disminuye también

•-1- Correlación perfecta negativa

-A medida que una aumenta la otra disminuye, o si una disminuye, la otra aumenta

• 0 – No hay correlación

Coeficiente de Correlación

• Un coeficiente de correlación asume valores que van desde -1 hasta +1.

-1 0 +1•Cerca de +1- Correlación positiva

-A medida que una aumenta la otra tiende a aumentar, o a medida que una disminuye la otra tiende a disminuir

•Cerca de -1- Correlación negativa

-A medida que una aumenta la otra tiende a disminuir, o a medida que una disminuye, la otra tiende a aumentar

• Cerca de 0 – Tiende a no haber correlación

Coeficiente de Correlación• El signo indica la dirección de la relación:

•Signo positivo- indica relación positiva o cambio en la misma dirección. Esto significa que:

• si una variable aumenta, la otra también aumenta

• si una variable disminuye, la otra también disminuye

•Signo negativo- indica relación negativa o cambio en la dirección opuesta. Esto significa que:

• si una variable aumenta, la otra disminuye

•si una variable disminuye, la otra aumenta

• El cero indica que no hay relación

Coeficiente de Correlación•El valor absoluto del coeficiente indica la magnitudde la relación.

• +1 -Magnitud mayor posible que indica relación positiva

• Cerca de +1 -Relación altamente positiva

• -1 - Magnitud menor posible que indica relación negativa

• Cerca de -1 –Relación altamente negativa

• Cerca de cero –Tiende a no haber relación

Coeficiente de Correlación

• El valor numérico del coeficiente es una función de la pendiente de la recta que forma el patrón de correlación.

•La pendiente indica la dirección de la relación. (+ ó -)

• El ancho de la elipse que se forma en el patrón de correlación, indica la magnitud de la relación.

• Ver Figura 5.2 en pág. 98.

Coeficiente de Pearson• Desarrollado por Karl Pearson, estadístico inglés (1857-1936)

• Este coeficiente se simboliza con la letra: r

• El nombre completo del coeficiente es: Coeficiente de correlación producto-momento de Pearson.

•Aplica a muestras.

Coeficiente de Pearson•Se llama así porque para calcularlo se halla la suma de los productos cruzados.

• En la fórmula se multiplican los valores de las dos variables x , yde cada sujeto de la muestra y luego se suman todos esos productos (los de los n sujetos de la muestra).

• Luego se divide esta suma por n-1.

• En resumen, la fórmula es la media de los productos cruzados.

Coeficiente de Pearson• Para que las diferencias en las unidades de medidas de las dos variables no afecte el coeficiente de correlación, Pearson usó puntuaciones estandarizadas (z) en vez de puntuaciones crudas.

• Ver fórmula de Pearson en la próxima pantalla.

Fórmula de r

• Recordar que:

1n

zzr

yx

xy

x

xs

xxz

y

ys

yyz

Fórmula 1

Fórmula de Puntuaciones Estandarizadas

Ejemplo para hallar r con fórmula 1Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y)

1 595 68 0.63 1.64 1.03

2 520 55 -0.15 0.35 -0.05

3 715 65 1.88 1.34 2.52

4 405 42 -1.34 -0.94 1.26

5 680 64 1.51 1.24 1.87

6 490 45 -0.46 -0.64 0.29

7 565 56 0.32 0.45 0.14

8 580 59 0.48 0.74 0.36

9 615 56 0.84 0.45 0.38

10 435 42 -1.03 -0.94 0.97

11 440 38 -0.97 -1.33 1.29

12 515 50 -0.2 -0.15 0.03

13 380 37 -1.6 -1.43 2.29

14 510 42 -0.25 -0.94 0.24

15 565 53 -0.32 0.15 -0.05

Totales 8010 772 0.00 0.00 12.67

xz yz yx zz

534xx 53.96xs 47.51yx 11.10ys

Continuación de Ejemplo

•

90.0

14

67.12

1n

zzr

yx

xy

Reflexión• Calcular r de la forma anterior puede ser tedioso.

• Hay otras fórmulas que requieren menos cálculos.

• En esta lección veremos 4 métodos o fórmulas para calcular r:

Fórmula 1- Puntuaciones estandarizadas

Fórmula 2- Puntuaciones de desviación

Fórmula 3- Puntuaciones crudas

Fórmula 4- Usando la covarianza

Fórmula 2•Fórmula de Puntuaciones de Desviación para calcular r:

• En esta fórmula se utilizan las puntuaciones que representan desviaciones de cada puntuación respecto a la media aritmética.

22

))((

yyxx

yyxxrxy

Hallar r usando fórmula 2

•Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y)

1 595 68 61 16.53 1,008.33 3,721 273.24

2 520 55 -14 3.53 -49.42 196 12.46

3 715 65 181 13.53 2,448.93 32,761 183.06

4 405 42 -129 -9.47 1,221.63 16,641 89.68

5 680 64 146 12.53 1,829.38 21,316 157

6 490 45 -44 -6.47 284.68 1,936 41.86

7 565 56 31 4.53 140.43 961 20.52

8 580 59 46 7.53 346.38 2,116 56.7

9 615 56 81 4.53 366.93 6,561 20.52

10 435 42 -99 -9.47 937.53 9,801 89.68

11 440 38 -94 -13.47 1,266.18 8,836 181.44

12 515 50 -19 -1.47 27.93 361 2.16

13 380 37 -154 -14.47 2,228.38 23,716 209.38

14 510 42 -24 -9.47 227.28 576 89.68

15 565 53 31 1.53 47.43 961 2.34

Totales 8010 772 0 0 12,332.00 130,460 1,429.72

xx yy yyxx2

xx2

yy

534xx 47.51yx

Continuación de Ejemplo

•

90.0

72.429,1460,130

332,12

))((

22

yyxx

yyxxrxy

Fórmula 3•Fórmula de Puntuaciones Crudas para calcular r:

• En esta fórmula se utilizan las puntuaciones crudas.

• Esta fórmula es más conveniente ya que produce menos cálculos matemáticos al utilizar las puntuaciones crudas.

2222 yynxxn

yxxynrxy

Ejemplo de hallar r usando fórmula 3

•Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) xy x2 y2

1 595 68 40,460 354,025 4,624

2 520 55 28,600 270,400 3,025

3 715 65 46,475 511,225 4,225

4 405 42 17,010 164,025 1,764

5 680 64 43,520 462,400 4,096

6 490 45 22,050 240,100 2,025

7 565 56 31,640 319,225 3,136

8 580 59 34,220 336,400 3,481

9 615 56 34,440 378,225 3,136

10 435 42 18,270 189,225 1,764

11 440 38 16,720 193,600 1,444

12 515 50 25,750 265,225 2,500

13 380 37 14,060 144,400 1,369

14 510 42 21,420 260,100 1,764

15 565 53 29,945 319,225 2,809

8,010 772.00 424,580 4,407,800 41,162

Continuación de Ejemplo

90.0

772162,4115010,8800,407,415

772010,8580,42415

22

2222 yynxxn

yxxynrxy

Fórmula 4•Fórmula para calcular r usando la Covarianza:

• La covarianza es el promedio de los productos cruzados de las puntuaciones de desviación.

• La covarianza está representada por :

• es la desviación estándar de x

• es la desviación estándar de y

1n

yyxxs

ss

sr

xy

yx

xy

xy

xysxs

ys

Reflexión• No podemos usar la covarianza en sí misma para determinar la relación entre dos variables ya que la covarianza está afectada por la unidad de medida que representa.

•Además, la covarianza no está delimitada en el intervalo de +1 a -1 como lo está r.

• Sin embargo, se puede usar la covarianza para determinar r si usamos la fórmula 4 anterior, ya que r será igual al cociente de la covarianza dividido por el producto de las desviaciones estándar de las dos variables.

1n

yyxxs

ss

sr

xy

yx

xy

xy

Ejemplo de hallar r usando fórmula 4

•Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y)

1 595 68 61 16.53 1,008.33

2 520 55 -14 3.53 -49.42

3 715 65 181 13.53 2,448.93

4 405 42 -129 -9.47 1,221.63

5 680 64 146 12.53 1,829.38

6 490 45 -44 -6.47 284.68

7 565 56 31 4.53 140.43

8 580 59 46 7.53 346.38

9 615 56 81 4.53 366.93

10 435 42 -99 -9.47 937.53

11 440 38 -94 -13.47 1,266.18

12 515 50 -19 -1.47 27.93

13 380 37 -154 -14.47 2,228.38

14 510 42 -24 -9.47 227.28

15 565 53 31 1.53 47.43

Total 0 0 12,332.00

xx yy yyxx

53.96xs 11.10ys

Continuación de Ejemplo

1n

yyxxs

ss

sr

xy

yx

xy

xy

86.88014

332,12

1n

yyxxsxy

90.011.1053.96

86.880

yx

xy

xyss

sr

53.96xs 11.10ys

Fórmula 4 Paso 1- Calcular la Covarianza

Paso 2- Calcular la desviación estándar de la variable x y de la variable y

Paso 3- Calcular r

Factores queafectan el

tamaño de r

Factores que afectan el tamaño de r

• Hay 4 factores que afectan el tamaño de la relación entre dos variables.

• Para poder usar r como coeficiente de correlación entre dos variables, hay que asegurarse que se cumplen las condiciones establecidas en estos 4 factores.

1. Supuestos que tienenque cumplirse

• Las dos variables tienen que ser observaciones pareadas del mismo grupo de sujetos.

• Las dos variables tienen que estar en la escala intervalar o de razón.

2. Linealidad

• El coeficiente de Pearson es un coeficiente de linealidad.

•Esta relación aplica sólo si la relación es lineal. Esto es, si los puntos que representan las dos variables caen alrededor de una línea recta (forman una elipse alrededor de la línea)

2. Linealidad• Hay relaciones entre variables que no son lineales.

• Ejemplo: relaciones curvilíneas.

• Ver diagrama en Figura 5.3 de la pág. 105 (libro de Hinkle).

• Si se usa r en relaciones curvilíneas, se subestimará la posible relación entre las variables. Por eso no se puede usar r en relaciones curvilíneas.

2. Linealidad• Si la relación es curvilínea, se usa un Análisis de Covarianza (ANCOVA) para determinar la relación. (Cap. 19 libro de Hinkle)

• Por eso, para determinar si aplica el coeficiente de Pearson, es muy útil ver primero el diagrama de la relación (Scatterplot).

3. Homogeneidad del Grupo• Si el grupo es homogéneo la varianza tiende a ser cero.

• A medida que la homogeneidad aumenta, la varianza disminuye.

• Si la varianza disminuye, rtiende a cero.

• Se debe usar r si el grupo es heterogéneo.

3. Homogeneidad del Grupo• Hay que estar alerta a la interpretación de r si el grupo es homegéneo.

• Un valor de r cerca de cero no implica que no exista relación entre las variables, si el grupo es homogéneo.

• Ejemplo: Relación entre IQ y Resultados de Prueba Cognitiva si el grupo es homogéneo

3. Homogeneidad del Grupo•Si el grupo es homogéneo, o sea, tienen más o menos el mismo intervalo de IQ, los resultados de la prueba cognitiva tenderán a ser altos también. Las variables están relacionadas, pero, al obtener el valor de r , estará cerca de 0. La homogeneidad del grupo limitará la magnitud del coeficiente de correlación.

3. Homogeneidad del Grupo

•Muestras aleatorias tienden a ser heterogéneas.

• Para conocer si el grupo es homogéneo, se hacen pruebas estadísticas de homogeneidad.

4. Tamaño del Grupo

• El tamaño del grupo (n) no afecta r.

• En general, el tamaño del grupo puede ser cualquier n ≥ 2.

•Aunque el caso de n = 2 es especial ya que dos puntos diferentes determinan una recta y el diagrama siempre producirá una línea recta. Esto no necesariamente significará que la relación sea lineal perfecta.

Interpretaciónde r

La escala de medición de r• La escala de medición de res ordinal, no intervalar ni de razón.

• Por eso, no se puede interpretar que un r de 0.80 es el doble de un r de 0.40.

• Tampoco se puede interpretar que la diferencia entre un r de 0.40 y un r de 0.60 es la misma que la de un r de 0.60 y un r de 0.80.

Interpretación de r

• ¿Qué cantidad de r se interpretaría como alta correlación, baja correlación, o no hay correlación?

• Existe una regla general para interpretar el tamaño de la relación entre dos variables.

• La próxima pantalla presenta esta regla.

Regla General para interpretar r

r Interpretación

De 0.90 a 1.00 De (-0.90) a (-1.00)

Muy alta correlación positivaMuy alta correlación negativa

De 0.70 a 0.90De (-0.70) a (-0.90)

Alta correlación positivaAlta correlación negativa

De 0.50 a 0.70De (-0.50) a (-0.70)

Correlación positiva moderadaCorrelación negativa moderada

De 0.30 a 0.50De (-0.30) a (-0.50)

Baja correlación positivaBaja correlación negativa

De 0.00 a 0.30De 0.00 a (-0.30)

Muy poca correlación, si algunaMuy poca correlación, si alguna

Interpretación de r en términos de la varianza

• r es un índice que indica la proporción de las diferencias individuales de una variable que puede asociarse a las diferencias individuales de otra variable.

• Indica qué cantidad de la varianza total de una variable se puede asociar a la varianza de la otra variable y qué cantidad se asocia con otros factores distintos a la variable estudiada.

Ejemplo

• Un estudio sobre la relación entre los resultados de una prueba de aptitud matemática (x) y el promedio general (y) de 75 estudiantes reflejó que r = 0.69.

• Esto significa que una puntuación alta en la prueba de aptitud está asociada con un promedio general alto, y vice versa.

• r también sugiere que hay otros factores, además de la aptitud, tales como motivación, salud, etc., que pudieran contribuir a las diferencias individuales en el promedio general.

Continuación de Ejemplo• Simbólicamente:

Varianza total en el promedio general

Varianza en el promedio general asociada

con las diferencias en la aptitud

Varianza en el promedio general

asociada a otros factores

222

wxy sss2

ys

2

xs2

wsA mayor correlación entre las variables promedio y

aptitud, mayor será la porción de la varianza total en el

promedio que se puede asociar con la varianza en

aptitud

Continuación de Ejemplo

• La asociación específica está dada por la siguiente ecuación:

Varianza total de y

Varianza en y que está

asociada con la varianza en x

Cuadrado del coeficiente de

correlación

2

2

2

y

x

s

sr

2

ys

2

xs

2r

Coeficiente de Determinación• r2 se llama Coeficiente de Determinación.

• El Coeficiente de Determinación indica la proporción de la varianza total de y que se puede asociar con la varianza en x.

• Ejemplo:

En el ejemplo anterior, r = 0.69, r2 = 0.48.

Esto significa que 48% de la varianza en el promedio general se puede asociar a la varianza en aptitud.

• A mayor correlación entre las variables promedio y aptitud, mayor será la porción de la varianza total en el promedio que se puede asociar con la varianza en aptitud.

• Ver Figura 5.6 pág. 111 (libro de Hinkle).

CoeficienteSpearman

rho

Coeficiente Spaerman rho

• Este es un caso particular del coeficiente de Pearson.

• Aplica cuando los datos son ordinales.

• Cuando los datos están pareados en orden de rango o se han convertido a rango

• El símbolo que se usa para representar este coeficiente es:

Coeficiente Spaerman rho

• La fórmula para calcular el coeficiente es:

n es el total de datos en la muestra

d es la diferencia en los rangos de las variables x, y (rango x – rango y)

1

61

2

2

nn

d

Ejemplo de hallar

•Estudiante CEEB (Math) (x) Exam Final Estad (y) Rango x Rango y

d (Rang x – Rang y) d2

1 595 68 4 1 3 9

2 520 55 8 7 1 1

3 715 65 1 2 -1 1

4 405 42 14 12 2 4

5 680 64 2 3 -1 1

6 490 45 11 10 1 1

7 565 56 6.5 5.5 1 1

8 580 59 5 4 1 1

9 615 56 3 5.5 -2.5 6.25

10 435 42 13 12 1 1

11 440 38 12 14 -2 4

12 515 50 9 9 0 0

13 380 37 15 15 0 0

14 510 42 10 12 -2 4

15 565 53 6.5 8 -1.5 2.25

0 36.50

Si hay empate en las puntuaciones se

promedian los rangos empatados

Continuación de Ejemplo

93.0

07.01

3360

2191

22415

2191

122515

2191

11515

50.3661

1

61

2

2

2

nn

d

Correlaciónvs

Causalidad

Correlación vs Causalidad

• No se debe confundir la relación de correlación con la relación de causa y efecto.

• Que exista relación entre dos variables, no implica que una variable causa la otra.

• Para poder hacer la inferencia de causalidad se requiere otro análisis estadístico.

Ejemplo

• Un director de escuela estudia la comprensión lectora de estudiantes de kinder a sexto grado y la velocidad con que corren estos estudiantes.

• Encuentra un alta correlación entre estas variables y concluye que si adiestra los estudiantes a correr a mayor velocidad mejorarán en la comprensión lectora.

Continuación de Ejemplo• Lo que este director encontró fue que los estudiantes de sexto grado corren más rápido y leen mejor que los estudiantes de kinder.

• En este estudio la variable edad está interviniendo en el coeficiente de correlación, así que no puede asignar la relación de causa y efecto que establece su conclusión (la comprensión lectora no es un efecto de la velocidad al correr).

Fin de la Lección