Título: MANUAL DE EJERCICIOS DE HORMIGÓN ARMADO PARA ...
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Título: MANUAL DE EJERCICIOS DE HORMIGÓN ARMADO PARA ARQUITECTOS.
Autor: Paulus Noah Nevonga.
Tutor: Dr. Ing. Juan José Hernández Santana.
Departamento de Ingeniería Civil
, Junio 2018
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Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las
Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez
Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la mencionada casa
de altos estudios.
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Dedicatoria. A mi mama, mis hermanas y mi hermano.
Agradecimiento.
Primeramente, le doy gracia a Dios por hacer que esto haya sido posible para mí,
a mi tutor Dr. Juan José Hernández Santana, por el esfuerzo que ha invertido en mí y todo lo que
he podido aprender de él. A todos los profesores que han sido parte de mi formación, a todas las
personas que me han apoyado y han sido buenos compañeros y amigos durante mis estudios.
A toda mi familia por todo su apoyo incondicional.
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Resumen. En la actualidad muchas obras y diseños arquitectónicos son conformados por estructuras de
hormigón estructural, por lo que el conocimiento sobre el comportamiento del hormigón armado
es importante y necesario para los arquitectos durante su formación como profesionales. Aunque
ya existe una amplia bibliografía sobre el diseño y revisión de elementos de hormigón armado la
mayoría de esta es dedicada a la carrera y profesión de ingeniería civil, por el nivel de
complejidad y el enfoque que presentan muchos de estos libros supera los objetivos formativos
en el tema para los arquitectos. Por tanto, es necesario mejorar la bibliografía existente para los
estudiantes de la carrera de arquitectura, disponer de nuevas herramientas e información que
facilite el conocimiento y estimule el interese por el comportamiento del hormigón armado en los
estudiantes y profesiones de la carrera de arquitectura. Este trabajo tiene como objetivo realizar
un estudio de la bibliografía existente para la enseñanza del hormigón armado en la carrera de
Arquitectura en Cuba, basada en el libro Hormigón Armado para Arquitectos, bibliografía principal
para la asignatura Estructura IV.
Palabras claves: Hormigón armado, Arquitectura, Diseño estructural, Estructuras de HA
Abstract. Currently most of the architectural Works and designs are conformed by reinforced concrete
structure. Which is why knowledge about the behavior of reinforced concrete is important for the
architecture students during their formation as professionals, even though there exist a wide
biography about reinforced concrete, most if it is dedicated to the career and the profession of
civil engineering, due to the level of complexity which most books presents. Which is why it’s
necessary to amplify the existing biography for the students of architecture, to provide one that
present all the tools and information which will facilitate the knowledge and stimulate the interest
about the behavior of reinforced concrete within the architecture students or professions. This
project has as an objective of realizing a study to complement the existing biography available for
the teaching of reinforced concrete in the career of architecture, with the main focus on the book
Hormigón Armado para Arquitectos, the main biography for the subject Structure IV.
Key words: Reinforced concrete, Architecture, Structural design, Reinforced concrete
Structure
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Tabla de contenido.
Dedicatoria. .................................................................................................................................................. 2
Agradecimiento. ........................................................................................................................................... 2
Resumen. ...................................................................................................................................................... 3
Abstract. ....................................................................................................................................................... 3
Introducción. ................................................................................................................................................ 6
Problema científico. ................................................................................................................................. 6
Pregunta de investigación. ....................................................................................................................... 6
Objetivo de estudio. ................................................................................................................................. 6
Campo de estudio. ................................................................................................................................... 6
Objetivo general. ...................................................................................................................................... 6
Objetivos específicos. ............................................................................................................................... 6
Hipótesis. .................................................................................................................................................. 7
Tareas científicas. ..................................................................................................................................... 7
Valor metodológico. ................................................................................................................................. 7
Valor practico ........................................................................................................................................... 7
Relevancia social ...................................................................................................................................... 7
Capítulo I: Revisión bibliográfica. ................................................................................................................ 8
1.1. Introducción ................................................................................................................................. 8
1.2. Por qué es importante el conocimiento sobre el diseño y comportamiento estructural del
Hormigón armado para los arquitectos .................................................................................................. 8
1.3. Los contenidos de hormigón armado para arquitectos. ............................................................. 9
1.3.1. Sobre libros de estructura para arquitectos. ............................................................ 9
1.3.2. Programa analítico de asignatura de estructura sus objetivos y alcances. .. 11
1.4. Estudio de algunos tópicos de diseño y revisión de secciones de hormigón armado. ............ 13
1.4.1. Capítulo 2: propiedades de los materiales. ............................................................. 13
1.4.2. Capítulo 3: Método de cálculo. ................................................................................... 17
1.4.3. Capítulo 5: Flexión simple ................................................................................................ 18
1.4.4. Capítulo 6 Esfuerzos cortante en vigas. ....................................................................... 21
1.4.5. Capítulo 7: Flexo compresión. ........................................................................................ 23
1.4.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. ...................................................... 24
1.4.7. Capítulo 9: Estado Límite de utilización de deformación. ....................................... 26
5
1.4.8. Conclusiones parciales del capítulo. ............................................................................................ 27
Capítulo II: Bibliografía complementaria para los temas del libro “Hormigón Armado para
Arquitectos”. .............................................................................................................................................. 28
Introducción. .......................................................................................................................................... 28
2.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales ................................................................................ 28
2.2. Capítulo 3: Métodos de cálculo. ................................................................................................ 34
2.3. Capítulo 5: Flexión simple. ......................................................................................................... 41
2.4. Capítulo 6: Esfuerzos cortante en vigas. .................................................................................... 45
2.5. Capítulo 7: Flexo-compresión. ........................................................................................................ 52
2.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. ...................................................................... 55
2.7. Capítulo 9: Estados Límites de Utilización. ................................................................................ 65
2.8. Conclusiones parciales del Capítulo. ......................................................................................... 72
Capítulo III: Ejercicios Resueltos y Propuestos. ......................................................................................... 74
Introducción. .......................................................................................................................................... 74
3.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales. .................................................................................... 74
3.2. Capítulo 5: Flexión simple. .............................................................................................................. 76
3.3. Capítulo 6: Esfuerzo cortante en vigas. ..................................................................................... 83
3.4. Capítulo 7: Flexo compresión. ................................................................................................... 93
3.5. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. .................................................................... 105
3.6. Conclusiones parciales del capítulo. ........................................................................................ 111
Conclusiones y Recomendaciones. .......................................................................................................... 112
Bibliografía. .............................................................................................................................................. 113
Anexos. ..................................................................................................................................................... 114
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Introducción. El Hormigón Armado es uno de los más populares en el Sistema de estructura y mayormente los
estudiantes de arquitectura utilizan el hormigón Armando en su diseño. Dispuesto con una amplia
bibliografía sobre el diseño y comprobación de elemento de hormigón armado y conocimiento
sobre la funcionabilidad estructural, los estudiantes pueden utilizar con mayor facilidad y
seguridad elemento de su preferencia en sus diseños en función de las formas, longitudes y
espacio que embarca. Aunque una consideración estructural excesiva pudiera delimitar su
búsqueda de diseño único, el conocimiento básico sobre el diseño y comprobación de elemento
de hormigón armado es de vital importancia para que ellos hagan diseño que se acercan más a
la realidad.
Haciéndole un análisis a la bibliografía disponible sobre la asignatura de Estructura el libro de
Hormigón Armado para Arquitectos se podrá confeccionar un manual o material que
complemente la insuficiente bibliografía sobre temas que para los arquitectos serán de
importancia a la hora de realizar sus diseños con elementos de hormigón armado.
Problema científico. La bibliografía sobre el diseño y comprobación de secciones de hormigón armado para los
estudiantes de la carrera de arquitectura, es insuficiente y el libro de texto recientemente editado
no dispone de toda la información suficiente sobre algunos de los temas, es escasa la cantidad
de ejercicios propuestos y resueltos y las ayudas de cálculo son inexistentes.
Pregunta de investigación. ¿Cómo mejorar la insuficiente bibliografía disponible sobre hormigón armado para los
arquitectos?
Objetivo de estudio. Realizar un análisis al contenido del libro de Hormigón Armado para Arquitectos, creando
materiales complementarios que amplíen algunos temas y disponga de más ejercicios resueltos
y propuestos.
Campo de estudio. Hormigón armado para arquitectos.
Objetivo general. Realizar un análisis al libro de Hormigón Armado para Arquitectos y proponer ejercicios y ayudas
de cálculo con el fin de complementar la bibliografía disponible.
Objetivos específicos. Realizar un estudio a la bibliografía disponible sobre la asignatura de estructura IV.
Hacer un análisis al contenido del libro Hormigón Armado para Arquitectos.
Ofrecer materiales e información complementaria para el estudio de los contenidos de la
asignatura Estructura para la carrera de Arquitectura.
Desarrollar ejercicios para el diseño y la comprobación de secciones de hormigón
armado.
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Hipótesis. Como bibliografía principal, el libro Hormigón Armado para Arquitectos no dispone de
información suficiente y es necesario hacerle un complemento.
• Elaborando un manual de ejercicios de hormigón armado para arquitectos
complementará la bibliografía de Estructura para los estudiantes de esta carrera.
Tareas científicas. 1. Realizar una búsqueda bibliográfica sobre el tema para adquirir más conocimiento sobre
el tema de estudio.
2. Redacción del Capítulo I: revisión bibliográfica.
Libros y programas de estudio sobre hormigón armado para arquitectos.
Resumen de la bibliografía principal de consulta para el tema.
Análisis de los contenidos de los temas del libro Hormigón Armado para arquitectos.
3. Redacción del Capítulo II: justificación de la necesidad del material.
Material complementario de los temas del libro hormigón para arquitectos.
4. Redacción del Capítulo III: estructura del material.
Ejercicio de diseño y comprobación de sección de hormigón armado para arquitecto
5. Anexos.
6. Realizar conclusión y recomendaciones del estudio y finalmente estructurar el trabajo
definitivo.
Valor metodológico. Con la realización de este trabajo “Manual de ejercicios de hormigón armado para arquitectos”,
se dispondrá de un importante complemento para el estudio, diseño y comprobación de
elementos de hormigón armado para la asignatura de Estructura IV en la carrera de arquitectura.
Valor practico El trabajo se basará en el análisis del libro que actualmente es utilizado como bibliografía principal
en la asignatura de Estructura en la carrera de arquitectura, por tal razón de que este material
servirá de consulta para los estudiantes sobre temas que no han sido tratado con claridad en el
libro y dispondrá de una mayor cantidad de ejercicios y ayudas de cálculo.
Relevancia social Una buena formación de los arquitectos en el diseño y comprobación de elementos de hormigón
armado ayudará a que los arquitectos tengan una mejor visión sobre la funcionabilidad estructural
y durabilidad de su diseño. Ayudará a mejorar el trabajo en equipo entre los arquitectos y los
ingenieros civiles a la hora de realizar su proyecto en su vida profesional.
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Capítulo I: Revisión bibliográfica. 1.1. Introducción En el presente capítulo se realizará una amplia búsqueda y estudio de libros y artículos sobre el
diseño y revisión de estructuras de hormigón armado. Se harán otras búsquedas bibliográficas y
consultas a los profesores sobre el plan de estudio de la carrera para ampliar el conocimiento
sobre la enseñanza de diseño y comprobación de secciones de hormigón armado en la
asignatura Estructura IV de la carrera de arquitectura y conocer los objetivos que deben ser
alcanzados en la enseñanza del hormigón armado en dicha carrera, esto nos permitirá realizar
hipótesis de este trabajo y después realizar tareas que se deben alcanzar en el trabajo.
Inicialmente se realizará una breve evaluación de los objetivos y contenidos plasmados en el
Programa de la asignatura estructura IV y su correspondencia con otras experiencias
internacionales y posteriormente se analizarán algunos contenidos teóricos importantes.
Es clave el uso de la norma ACI - 318 – 2014, como referencia y código principal para el diseño
y comprobación de secciones de hormigón armado, ya que dicha normativa es la base de la
futura norma de diseño estructural en Cuba. El libro de estudio Hormigón Armado para
Arquitectos está compuesta por 10 Capítulos, pero por razón de importancia de algunos los
temas en el diseño y revisión de estructura de hormigón armado y también teniendo en cuenta
el plan académico de la asignatura se escogieron analizar y estudiar los siguientes temas para
este trabajo: Propiedad de los materiales, Método de cálculo, Flexión simple, Cortante,
Flexo-compresión, Losa y Estado límite de utilización. Para cada uno de estos temas se
realizará un corto resumen del tema y algunos de los temas componente de ellas, para entonces
hacerle el complemento bibliográfico en el Capítulo II de este trabajo.
1.2. Por qué es importante el conocimiento sobre el diseño y comportamiento
estructural del Hormigón armado para los arquitectos.
Según el artículo de Jonathan Ochshorn hay tres amplias explicaciones de por qué es importante
enseñar el diseño estructural a los arquitectos: primero, para que los arquitectos puedan resolver
problemas estructurales; segundo, para que ellos puedan comunicarse más o menos
inteligentemente con sus ingenieros consultores; y finalmente, para que ellos realicen diseños
racionales. (Jonathan Ochshorn, 1991)
Resolver problemas estructurales: La razón para la cual los arquitectos necesitan saber
cómo resolver los problemas estructurales realmente es para que sepan determinar la
distribución de tensiones, dimensionar y diseñar vigas, columnas, etc. Aunque sea sólo para
una clase relativamente simple de edificios. En otros términos, los arquitectos sobre todo en
las prácticas pequeñas, podrían encontrarlo necesario o conveniente diseñar e incluso
preparar los documentos de la construcción para los edificios pequeños sin utilizar los
servicios de un consultor de la ingeniería.
Aun cuando se enseñe a los arquitectos a diseñar las estructuras para edificios relativamente
simples no necesariamente implica que ellos necesitan entender el soporte matemático de
los resultados obtenidos, Debido a la disponibilidad extendida y uso de tablas y programa
computacionales de diseño. Incluso cuando se introduzcan fórmulas matemáticas en el aula,
ellas no siempre se desarrollan y se profundizan.
Comunicarse con los consultores: La segunda razón para la que se debe ensenar
estructuras es que, dado que la profesión de la ingeniería ha tomado la tarea de realizar el
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diseño estructural de los edificios, los arquitectos deben poder por lo menos discutir los
problemas del plan estructural con estos ingenieros. En primer lugar, el arquitecto en la
mayoría de las veces es el líder del equipo del plan y sería difícil de ejercer este papel de
dirección, estar involucrando en la coordinación de todo el plan y las especialidades de
ingeniería, sin poseer un poco de conocimiento sobre cada área. Es igualmente importante,
poder colaborar con éxito con los ingenieros en los proyectos grandes. Específicamente, los
arquitectos necesitarían saber, a un mínimo, el vocabulario esencial de estructuras: el
momento, cortante, flexión y así sucesivamente.
Diseñando estructuras racionales / bella: La tercera razón para priorizar la enseñanza de
estructuras es que los arquitectos necesitan una comprensión cualitativa básica de teoría
estructural para diseñar los edificios racionales. Sólo entonces una estructura nazca
saludable, vital y posiblemente bella.
Por otro lado, es importante no exagerar el caso. Por una vez un sistema estructural se ha
puesto común, puede integrarse con éxito en un plan arquitectónico sin mucha consideración
por teoría estructural o conducta, por lo menos por parte del arquitecto.
Otro argumento para un tratamiento cualitativo de estructuras es que es un requisito previo
al análisis cuantitativo. En otros términos, el interés de estudiantes en la formulación
matemática de relaciones estructurales puede ser estimulado por la introducción del mismo
material. El uso de modelos físicos o los gráficos de computación proporciona un nivel
significativo para animar una comprensión cualitativa de comportamiento estructural.
1.3. Los contenidos de hormigón armado para arquitectos.
1.3.1. Sobre libros de estructura para arquitectos.
Tatiana Páez Iturralde comenta y concluye de la siguiente manera sobre los diferentes libros de estructura para arquitectos como herramienta para le enseñanza de estructura para arquitectos y cómo su conformación y enfoque puede mejorar y facilitar la compresión de estructura para los estudiantes de arquitectura. Considero que lo siguiente es relevante para mejorar la bibliografía de estructura IV para arquitecto y es importante tener en cuenta los aspectos mencionada por ella porque con ello se puede realizar bibliografías (libros, artículos, etc.) que presente un buen nivel de claridad para una mejor y fácil comprensión de hormigón armado para la carrera de arquitectura.
La compresión de las estructuras ha sido un tema tocado por ingenieros civiles de renombre como Mario Salvadori, P.A. Corkill (Structural and Architectural Design, 1963), Eduardo Torroja, Heino Engel, que escribieron libros invaluables en la década de los cincuenta y sesenta, en donde se ve una forma diferente de explicar conceptos y criterios estructurales. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
En 1957 se publica el libro Razón y Ser de los tipos estructurales, de Eduardo Torroja, un libro en donde Torroja demuestra su habilidad para transmitir conocimiento desde su propia experiencia; unifica conceptos sobre estética, conceptos de construcción, sin dejar de lado la teoría estructural aprendida a través de la práctica, como él mismo declara en su libro, “Vano sería el empeño de quien pretendiese dar con la atinada traza de una estructura, sin haber asimilado hasta la médula de sus huesos, los principios tensionales que rigen todos sus fenómenos resistentes; tan vano como el de un médico que se pusiera a recetar y ordenar el tratamiento de sus enfermos, sin conocer la fisiología del organismo humano” (Torroja, 2010).
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Este libro ha tenido tres ediciones (1957, 1960, 2007) con varias reimpresiones, y ha sido traducido al inglés con el nombre de Philosophy of Structures. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
Mario Salvadori escribió muchos libros que simplificaban no solo las estructuras sino las matemáticas. Entre los títulos que escribió se encuentran: Math Games for Middle Schools, The Art of Construction, Why Buildings Stands Up, Structural Design in Architecture y Structure in Architecture. El manual que publicó en 1963, junto con Michael Tempel, de Arquitectura e Ingeniería (Architecture and Engineering. An Illustrated Teacher’s Manual on Why Buildings Stand Up) es uno de los primeros en usar un concepto de una aproximación visual a las estructuras para estudiantes de arquitectura. Actualmente la mayoría de libros y artículos escritos sobre estructuras hacen referencia a su obra. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
El libro Sistemas de Estructuras de Heinrich Engel, cuyo libro fue elegido en 1967 como uno de los diez mejores libros de proyecto en la Feria Internacional de Frankfurt. El autor recibió críticas de ingenieros estructurales por el modo no convencional de transmitir la teoría de las estructuras, a través de un lenguaje gráfico y no de las matemáticas. A pesar de esto el libro ha sido impreso seis veces sin ninguna modificación, y ha sido traducido a diversos idiomas (Engel, 2001). Edward Allen revive la forma en la que forma y fuerzas son estudiadas con la manipulación de vectores escalares. El libro que en 1998 publica con W. Zalewski, Shaping Structures: Statics, invita a estudiantes a analizar estructuras a través de la generación de formas estructurales simples. Otro libro de Allen es How buildings work, publicado por primera vez en el año 1980. En el capítulo diecisiete trata sobre el soporte vertical de los edificios de una manera concreta y accesible (Zalewski, 1998). (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
El libro Comprensión de las estructuras en la arquitectura, del autor Fuller Moore, publicado por primera vez en 1999 (título original Understanding Structures), es una compilación de varios acercamientos no cuantitativos sobre estructuras. Se presenta a través de analogías y dibujos, diagramas analíticos e imágenes de modelos físicos. El libro, al igual que el anterior, muestra una separación del uso de expresiones matemáticas y cálculos, antes vistos como la primera o única forma de introducirse a conceptos estructurales. Aunque en la introducción, Moore acepta la necesidad del conocimiento matemático de conceptos, el libro presenta una visión bastante gráfica de las estructuras. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
En la revisión de bibliografía referente a libros escritos para arquitectos sobre estructuras existen varios ejemplos. Se realizó una tabla comparativa de contenidos como forma de presentar los gráficos, analizando si presentaba o no cálculos, y si hacía referencia a ejemplos de los diferentes tipos de estructuras. Además de la clasificación que se realizaba de las estructuras (por tipo de esfuerzo, por materiales, por tipo de estructura etc.). (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
Los resultados revelan que los libros revisados muestran dibujos, diagramas, esquemas o tipos de gráficos que ayudan a mostrar y explicar la teoría. Otra forma visual, a través de la cual se presentan los conceptos, es la de mostrar ejemplos reales de estructuras construidas en la actualidad o a lo largo de la historia, para enfatizar a la estructura como componente de las edificaciones. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
La mayoría de libros también presentan una introducción a la estática y resistencia de materiales como base para el estudio de las estructuras; incluso libros que regresan a lo básico, con la geometría y la trigonometría (por ejemplo, teorema de Pitágoras o Funciones trigonométricas). El alcance de los cálculos en los libros revisados es variado: va desde una aproximación
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meramente cualitativa hasta cálculos profundos de diseño estructural. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
La mayoría de libros realiza una clasificación de los contenidos de acuerdo al tipo de estructuras (marcos, funiculares, neumáticos, armaduras, etc.). De la bibliografía revisada varios libros en sus apartados finales tocan el tema de la forma y su relación con la estructura, concepto importante para los arquitectos. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)
1.3.2. Programa analítico de asignatura de estructura sus objetivos y alcances.
a). Objetivos:
Conocer cómo influyen las propiedades fundamentales del hormigón y el acero en el trabajo
conjunto de ambos materiales: adherencia, retracción, fluencia, cambios de temperaturas, etc.
En los modelos analíticos que se siguen para el cálculo de las estructuras de hormigón armado.
Conocer los principios de los métodos de diseño que han sido empleados para el hormigón, y
cómo introduce la seguridad el método de estados límites.
Reconocer cómo el carácter hiperestático que presenta el análisis de secciones sometidas a
solicitaciones normales de tracción, compresión y flexión simple a nivel de sección, exige la
solución simultánea de las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad de deformaciones y las
ecuaciones físicas o constitutivas de los materiales (hormigón y acero), como invariantes del
proceso de cálculo.
Aplicar el método de los estados límites al diseño y revisión de secciones de hormigón armado
sometidas a solicitaciones normales generadas por la flexión simple.
Aplicar el método de los estados límites al diseño y revisión de piezas de hormigón armado
sometidas a solicitaciones tangenciales de corte.
Conocer los procedimientos para verificar los estados límites de servicio (fisuración y
deformación) en piezas de hormigón armado, a partir de la disminución de la rigidez de sus
secciones transversales.
Conocer las especificaciones y recomendaciones de diseño y construcción para el detalle de
armado de elementos de hormigón, incluyendo: cuantías mínimas, recubrimiento primario del
refuerzo, separación de barras, grupos de barras, anclaje, empalmes, corte de barras, etc.
Interpretar diagramas de interacción en secciones simétricas en tipología y refuerzo, haciendo
énfasis en el caso de la sección rectangular.
Diseñar y revisar secciones simétricas en tipología y refuerzo, sometidas a flexo-compresión
mediante el método gráfico.
Conocer diferentes métodos que permiten determinar las solicitaciones de flexión y cortante que
se originan en losas y placas de hormigón armado, para con ellas diseñar o revisar la armadura
principal en una o dos direcciones, utilizando convenientemente las recomendaciones y
especificaciones de diseño y construcción recogidas en las normativas actuales nacionales e
internacionales.
Conocer los criterios generales sobre: tipología estructural y uso de las cimentaciones, forma de
análisis y diseño y saber decidir cuál resulta más racional para una situación de proyecto dada.
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b). CONOCIMIENTO ESENCIAL A ADQUIRIR.
El hormigón estructural. Propiedades del hormigón y el acero de refuerzo. Propiedades del hormigón estructural. Cambios volumétricos dependiente del tiempo. Desarrollo histórico del hormigón y el hormigón armado como materiales estructurales.
Los estados límites y el diseño del hormigón armado. La seguridad estructural. El procedimiento de diseño especificado en la norma cubana. Resistencia reglamentaria del hormigón y el acero. Cargas y acciones y sus combinaciones. Bases de cálculo.
Estudio de las solicitaciones normales. Hipótesis. Diagrama de dominios. Formas de fallos. Coeficiente reductor de la capacidad resistente. Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones en cada dominio.
Teoría de la Flexión. La viga de hormigón armado. Conceptos básicos de las solicitaciones normales. Ecuaciones de equilibrio para la sección rectangular con refuerzo simple. Estudio del fallo balanceado. Estudio del fallo en tracción controlada. Flexión simple en secciones generales. Flexión simple en secciones rectangulares y T con y sin refuerzo en la zona comprimida: diseño y revisión. La viga L invertida. Cuantías mínimas.
Cortante en vigas de hormigón. Teoría básica. Comportamiento de vigas fallando a cortante. Modelo de la armadura para el comportamiento de vigas fallando a cortante. Resistencia nominal del hormigón a la fuerza cortante. Resistencia nominal de la armadura. Análisis y diseño de piezas de hormigón armado a cortante. Cortante en columnas o en vigas cargadas axialmente. Cuantías mínimas. Disposiciones constructivas.
Estados límites de utilización. Análisis elástico de vigas. La fisuración en hormigón armado. Tipos de fisuras. Factores que influyen en la fisuración. Modelo para la verificación del estado límite de fisuración a partir de la separación libre entre barras. La Deformación lineal en hormigón armado. Generalidades sobre el cálculo de flechas. Casos en los que es necesario comprobar las deformaciones. Evaluación de la rigidez a partir de la Inercia efectiva. Cálculo de flechas en elementos de hormigón armado sometidos a flexión bajo cargas de corta y larga duración.
Disposiciones constructivas. Separación y recubrimiento de las barras. Grupo de barras en contacto. Mecanismo de transferencia de la adherencia. Longitud de anclaje. Anclajes con ganchos. Cortes de barras y longitud de anclaje para elementos en flexión. Cálculo de los puntos de corte de las barras. Empalmes de barras de refuerzo. Especificaciones y recomendaciones de proyecto y construcción.
Teoría de la Flexión combinada. La columna de hormigón armado. Generalidades. Diagrama de
Interacción para columnas de hormigón con refuerzo simétrico. Esbeltez en flexo-compresión.
Contribuciones del acero y el hormigón a la resistencia de la columna. Flexo compresión en
secciones rectangulares.
Losas. Generalidades. Formas de trabajo de las losas: en una y dos direcciones. Estudio de las losas en dos direcciones. Análisis elástico de losas. Diseño de refuerzo.
La solución de cimentación. Tipos y su uso en edificaciones. Características generales de cada tipo. Criterios generales de análisis y diseño.
c). Objetivos generales de la enseñanza de estructura según programas de otras instituciones de otros países como: Universidad Nacional Autónoma de México, Universidad Católica de Chile, Mimar Sinan University of Architecture, Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia.
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Después de una revisión de varios programas analítico de la asignatura de estructura para arquitecto se puede concluir que sus objetivos tienen un mismo enfoque y que se pudo resumir en las siguientes:
El alumno comprenda la metodología para el cálculo y diseño de elementos estructurales de hormigón armado y los principios básicos para el empleo de elementos prefabricados en proyectos arquitectónicos.
Diseñar elementos estructurales de hormigón armado sencillos, tales como vigas y losas apoyadas de luces cortas.
Aplicar las normas y código para el diseño del hormigón armado y sus criterios de aceptación o rechazo.
Estimar las dimensiones mínimas de la sección transversal de los elementos de un edificio de hormigón armado, en función de sus luces y las cargas.
describir las características fundamentales del concreto y el acero de refuerzo, así como las pruebas que los determinan.
comprensión y evaluación de los resultados obtenidos, relacionar los resultados con las técnicas constructivas más apropiadas para la correcta ejecución del proyecto.
Los contenidos de los planes académicos de las diferentes instituciones de Europa (universidad de Sevilla, Universidad de Granada), de latín América (Universidad Nacional Autónoma de México, Universidad Católica de Chile), encara a la enseñanza del hormigón armado, son en general similares y presentan los mismos tópicos de estudio para el hormigón armado para los arquitectos.
1.4. Estudio de algunos tópicos de diseño y revisión de secciones de hormigón armado.
Como el objetivo principal del trabajo es realizar una análisis crítico del libro Hormigón Armado
para Arquitectos que es disponible actualmente como bibliografía principal de la asignatura de
Estructura IV y desarrollar un grupo de materiales que lo complementen, después de realizar un
estudio del libro y de los temas abordados en él y su comparación con los objetivos principal del
plan analítico de la asignatura se comprobó que el libro no presente información suficiente sobre
algunos de los temas, Por tanto, el propósito del presente epígrafe es determinar cuáles son
estos temas y estudiar como son abordados por la principal literatura existente.
1.4.1. Capítulo 2: propiedades de los materiales.
En el texto se abordan en este capítulo los contenidos correspondientes a la distribución del
refuerzo en la sección y a lo largo del elemento. Este enfoque es pertinente pues facilita al alumno
desde el inicio de la asignatura una compresión de la importancia de estos temas. Se considera
que debe ampliarse los contenidos en los siguientes temas:
Sobre la durabilidad de las estructuras y la protección del refuerzo.
Actualizar las expresiones para el cálculo de la longitud de anclaje.
1.4.1.1. Durabilidad:
Según el profesor José Toirac la durabilidad de una estructura de hormigón se define como su
capacidad de soportar durante la vida útil para la que ha sido proyectada, las condiciones físico
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mecánicas y químicas a las que va a estar expuesta sin producir rasgos de degradación, no solo
en la masa de concreto, sino también en las armaduras de acero de refuerzo que se encuentran
embebidas dentro de la misma. (José Toirac, 2009)
La durabilidad del hormigón es el conjunto de cualidades del hormigón que le permiten poseer al
final de su vida útil prevista, un coeficiente de seguridad aceptable. (Profesor. Oldrich Valenta).
El código ACI comenta que el ambiente donde se ubica la estructura determina la categoría de
exposición para la selección de los materiales, detalles de diseño y requisitos de construcción
para minimizar el deterioro potencial prematuro de la estructura, causado por efectos
ambientales. La durabilidad de una estructura también se ve influenciada por el nivel de
mantenimiento preventivo. (ACI-318 2014).
Principales requerimientos a tenerse en cuenta, para la protección proporcionada por el
recubrimiento de hormigón al acero de refuerzo En la etapa de diseño según NC 250:
Categoría de agresividad de acuerdo a la ubicación y función para la que se concibe la obra.
Características y tipos de los materiales, adecuados a la agresividad prevista.
Relación máxima A/C.
Contenido mínimo de cemento.
Resistencia característica del hormigón, la cual será compatible con la relación máxima A/C fijada.
Espesores de recubrimiento.
Control de fisuración.
Uso de aditivos reductores de agua, reductores de agua de alto rango (superplastificantes) e inclusores de aire, de ser requeridos.
Tamaño máximo del árido.
Formas geométricas y detalles arquitectónicos y estructurales que garanticen un mínimo de juntas en el hormigonado y que además faciliten la evacuación rápida de las aguas y la humedad.
Juntas de hormigonado con tratamiento impermeable.
Disposiciones constructivas que faciliten la colocación y compactación del hormigón.
Especificaciones sobre curado del hormigón.
Medidas para proteger al acero embebido en el hormigón según NC 250 2005:
Diseño y prácticas de construcción que incrementan la protección proporcionada por el recubrimiento de hormigón al acero de refuerzo, denominada protección primaria.
Tratamientos que penetran o son aplicados sobre la superficie de los elementos de hormigón armado, creando una barrera que impide o dificulta la penetración del agente agresivo al acero de refuerzo, denominada protección secundaria.
Técnicas que previenen la corrosión del acero de refuerzo, directamente, como: - Uso de acero de refuerzo resistente a la corrosión. - Protección catódica, empleo de inhibidores de.
Tabla 1.1: Resistencia del hormigón a compresión mínimos según la NC 250 2005:
Parámetro Tipo de
Hormigón
Nivel de Agresividad
Muy alta Alta Media Baja
15
Máxima
relación A/C
Simple sin
refuerzo
0,50 0,55 0,65 0,65
Armado 0,40 0,45 0,50 0,55
Pretensado 0,40 0’,40 0,45 0,55
Contenido
mínimo de
cemento(kg/m3)
Simple sin
refuerzo
200 200 200 200
Armado 350 325 300 275
Pretensado 350 325 325 300
R’bk (mínima)
(MPa)
Simple sin
refuerzo
20 15 15 15
Armado 30 30 25 20
Pretensado 35 35 30 30
1.4.1.2. Recubrimiento y Distribución de refuerzo:
El buen comportamiento de una estructura de hormigón no depende sólo de que la estructuración
escogida sea apropiada y de que el análisis del efecto de las fuerzas que actúan sobre la
estructura sea correcto, sino también, en buena parte, de un eficaz detallado del refuerzo que
responda a las características particulares del concreto reforzado. El detallado del refuerzo
consiste en la determinación de la disposición de las barras utilizadas para el armado, de manera
que se logre un comportamiento satisfactorio en condiciones de servicio y un adecuado nivel de
ductilidad bajo las cargas o deformaciones últimas. Comprende también la elaboración de los
dibujos y planos que garanticen que el refuerzo se coloque en la obra de acuerdo con los
requerimientos del proyectista. (Gonzales Cuevas, 2005)
Por otra parte, Harmsen comenta en su libro que el recubrimiento y el espaciamiento del refuerzo
deben ser controlados para evitar las fallas por adherencia descritas en la sección precedente y
para garantizar una distribución del acero que facilite el procedimiento constructivo. Además, es
necesario asegurar un recubrimiento mínimo de hormigón para proteger el refuerzo contra la
corrosión, el fuego, la abrasión, etc. Las varillas colocadas muy cerca de los bordes del elemento
pueden ser atacadas por agentes externos pues el concreto es un material poroso y siempre
presenta fisuras debidas a la contracción de fragua. Sin embargo, el recubrimiento no debe ser
demasiado grueso pues esto puede ocasionar rajaduras en el hormigón por falta de refuerzo.
(Teodoro E. Harmsen, 2002)
El artículo “Concrete Cover to Reinforcement Or Cover-Up” de la revista “Concrete International”
escrito por Adam Neville cito las siguientes funciones e importancia del recubrimiento de refuerzo:
16
Resistencia: en una viga a flexión se transfieren los esfuerzos al acero, que es capaz de resistir
la tracción. Si la tensión no se desarrolla en la armadura, ésta sencillamente no trabaja. Por esta
razón, el recubrimiento debe ser relativamente pequeño; si fuera excesivo, el acero no podría
contribuir a la resistencia. (Adam Neville, 1998)
Fisuración: el recubrimiento es también importante desde el punto de vista de la fisuración por
contracción. Si se presentan esfuerzos en piezas de hormigón simple (sin armadura), que
exceden su capacidad de resistencia, pueden generarse fisuras. Para prevenir esto es necesario
colocar armaduras espaciadas en formas regulares y ubicadas suficientemente cerca de la
superficie exterior, teniendo en cuenta consideraciones de durabilidad en la adopción del espesor
del citado recubrimiento. (Adam Neville, 1998)
Corrosión: el acero embebido en el hormigón se encuentra 'pasivado' y protegido por el entorno
alcalino de la pasta de cemento. Esta protección depende de que la citada alcalinidad no se
reduzca por carbonatación de la capa de hormigón en contacto con el acero. La carbonatación
avanza desde la superficie hacia el interior, y progresa con mayor rapidez cuanto más penetrable
o permeable sea el hormigón. El acero cubierto por hormigón también es pasible de corrosión,
aunque no exista carbonatación, si es alcanzado por iones cloruro proveniente de ambientes
marinos o de sales descongelantes. (Adam Neville, 1998)
Fuego: la protección del acero en este sentido es una de las razones más importantes del
recubrimiento. Los códigos de diseño especifican los recubrimientos mínimos de los distintos
elementos estructurales, necesarios para resistir por un cierto número de horas la acción del
fuego. (Adam Neville)
Papel del recubrimiento en la durabilidad del hormigón armado.
La norma cubana 250 del 2005 comenta que el recubrimiento constituye un parámetro de gran importancia para proveer al acero de refuerzo de la protección requerida durante el período de vida útil considerado de la estructura, siendo decisivo para esta protección, la baja permeabilidad y el espesor del mismo. El recubrimiento tiene dos funciones, una química y otra física. La química es mantener la alcalinidad suficiente (pH por encima de 9) que mantenga el acero pasivado. La física es limitar la entrada de los agentes agresivos desde el exterior. Este espesor deberá estar acorde con el buen diseño estructural, la severidad de las condiciones ambientales y el costo total que conlleva, incluyendo los costos por mantenimiento. El período durante el cual el recubrimiento de hormigón protege al acero de refuerzo es función del cuadrado del espesor de dicho recubrimiento. Esto conlleva que una disminución del recubrimiento a la mitad de su valor de proyecto se traduzca en un período de protección de la armadura reducido a la cuarta parte. (NC 250: 2005)
1.4.1.3. Longitud Anclaje de armadura.
El concepto de longitud de anclaje se basa en el esfuerzo de adherencia obtenible sobre la
longitud embebida del refuerzo. Las longitudes de desarrollo especificadas se requieren, en gran
medida, por la tendencia de las barras sometidas a esfuerzos altos a fisurar el concreto que
restringe la barra cuando las secciones de concreto son relativamente delgadas. Una barra
individual embebida en una masa de concreto no necesita una longitud de desarrollo tan grande;
aunque una fila de barras, aun en concreto masivo, puede crear un plano de debilidad
presentándose fisuración longitudinal a lo largo del plano de las barras. (ACI 318 - 2014)
17
En la práctica, el concepto de longitud de desarrollo requiere longitudes o extensiones mínimas
del refuerzo más allá de todos los puntos de esfuerzo máximo en el refuerzo. Tales esfuerzos
máximos generalmente ocurren en los puntos donde se presentan los esfuerzos máximos y
puntos del vano donde termina o se dobla el refuerzo adyacente. Desde el punto de esfuerzo
máximo en el refuerzo, se necesita cierta longitud o anclaje del refuerzo a través del cual se
desarrolle el esfuerzo. Esta longitud de desarrollo o anclaje se necesita en ambos lados de los
puntos de esfuerzo máximo. Con frecuencia, el refuerzo continúa a lo largo de una distancia
considerable en un lado del punto de esfuerzos críticos, de modo que el cálculo requiere tratar
sólo el otro lado, por ejemplo, el refuerzo por momento negativo continúa a través de un apoyo
hasta la mitad del vano siguiente. (ACI 318 - 2014)
La tracción o compresión calculada en el refuerzo en cada sección de un miembro debe ser
desarrollada hacia cada lado de dicha sección mediante una longitud embebida en el concreto,
gancho, barra corrugada con cabeza o dispositivo mecánico, o una combinación de ellos. (ACI
318 - 2014)
La longitud de anclaje para barras corrugadas o alambres corrugados debe calcularse de
acuerdo con la siguiente tabla.
Tabla 1.2: Longitud de anclaje de armadura (ACI 318 2014)
Espaciamiento y recubrimiento Barras Νο. 19 ó menores
y alambres corrugados
Barras Νο. 22 y
mayores
Espaciamiento libre entre barras o alambres que se están desarrollando o empalmando por traslapo no menor que
𝑑𝑏, recubrimiento libre al menos 𝑑𝑏 , y no menos estribos a lo largo de 𝑑𝑏 que el mínimo del Reglamento o espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo desarrollados o empalmados por
traslapo no menor que 2𝑑𝑏 y recubrimiento libre no menor que 𝑑𝑏
[𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒
2.1λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏 [
𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒
1.7λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏
Otros casos [
𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒
1.4λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏 [
𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒𝜆
1.1λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏
Estas expresiones son aceptadas por los principales autores que basan sus diseños en los
preceptos del ACI, por ejemplo: Nilson, González Cuevas, Nawy, Harmsen, Hernández.
1.4.2. Capítulo 3: Método de cálculo. El ACI 318-2014 introduce la seguridad por medio de aplicar coeficientes de mayoración a las
cargas características o normativas y factores de reducción de la resistencia nominal de las
secciones. El tratamiento de estos últimos factores en el libro de texto requiere de una corrección.
1.4.2.1. Los factores de reducción de resistencia tienen como propósitos: (1) tener en
cuenta la probabilidad de existencia de miembros con una resistencia baja debida a
variaciones en la resistencia de los materiales y las dimensiones, (2) tener en cuenta
inexactitudes en las ecuaciones de diseño, (3) reflejar la ductilidad disponible y la
confiabilidad requerida para el elemento sometido a los efectos de carga en
18
consideración, y (4) reflejar la importancia del elemento en la estructura. (ACI 318 -
2014)
Según el ACI 318 2014, y las notas del PCA 2013 y el libro de Oscar M. Gonzales
cuevas, 2005, los factores de reducción resistencia son en función de combinación
de carga a la cual está expuesta el elemento de hormigón armado y deben cumplir
con los valores presentado en la siguiente tabla.
Tabla 1.3: Coeficientes de reducción de resistencia (ACI 318 2014).
Acción o Elemento Estructural ϕ
(a) Secciones controladas por tracción 0.90
(b) Secciones controladas por compresión:
- Elementos con armadura en espiral - Otros elementos armados
0,75 0,65
(c) Cortante y torsión 0,75
(d) Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje en postesado
y cuando se utiliza el modelo de bielas y tirantes. 0,65
(e) Zonas de anclaje en postesado 0,85
(f) Modelo de bielas y tirantes 0,75
(g) Las secciones en flexión en los elementos pretensados donde la longitud
embebida del torón es menor que la longitud de desarrollo:
- Desde el extremo del elemento hasta el extremo de la longitud de transferencia
- Desde el extremo de la longitud de transferencia hasta el extremo de la longitud de desarrollo, debe permitirse que ϕ sea incrementado linealmente de:
0,75
0,75 hasta 0,9
1.4.3. Capítulo 5: Flexión simple.
Las normativas modernas establecen la necesidad de que las secciones sometidas a la flexión
simple tengan una alta ductilidad para poder enfrentar exitosamente la redistribución de
esfuerzos en las estructuras. En esta dirección es que se reglamenta valores máximos de
refuerzo traccionado para secciones de hormigón armado y la disposición de acero a
compresión para contribuir a la elevación de la ductilidad de la sección. Sobre estos temas es
que se profundiza a continuación, pues no son tratados con suficiente profundidad en el libro
de texto.
La flexión es el encorvamiento que experimenta una estructura por la acción de una fuerza
permanente o transitoria, este encorvamiento ocasiona que parte de la sección transversal esté
sometida a tracción y otra sometida a compresión. (Aguirre & Moscos, 2010)
1.4.3.1. Algunas Hipótesis para el estudio de elemento sometido a flexión según el código
ACI 318 - 2014.
La fuerza a tracción o compresión calculada en el refuerzo en cada sección de la viga
debe ser desarrollada hacia cada lado de dicha sección.
Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo son los puntos donde se presentan
esfuerzos máximos y los puntos dentro del vano donde el refuerzo a tracción doblado o
terminado ya no es necesario para resistir flexión.
19
Se debe proporcionar un anclaje adecuado para el refuerzo en tracción en donde el
esfuerzo en el refuerzo no es directamente proporcional al momento, como ocurre en
vigas inclinadas, escalonadas o de sección variable, o en elementos en los cuales el
refuerzo de tracción no es paralelo a la cara de compresión.
La separación entre los apoyos laterales de una viga no debe exceder de 50 veces el
menor ancho del ala o cara de compresión.
La resistencia a tracción de elemento sometido flexión es variable que la resistencia a
la compresión, y es aproximadamente de 10 a 15 por ciento de la resistencia a la
compresión.
La distribución de la deformación unitaria, a través de una sección transversal de
hormigón armado, resulta esencialmente lineal aun cerca de su resistencia ultima
La deformación unitaria del acero de refuerzo como la del hormigón son directamente
proporcional a la distancia desde el eje neutro.
1.4.3.2. Consideraciones para el diseño y revisión de elemento a flexión.
Cuantía minima.
El código ACI-318 2014 recomienda que se debe colocar un área mínima de refuerzo para
flexión, Amín en toda sección donde el análisis requiera refuerzo a tracción. A debe ser
mayor que:
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25√𝑓𝑐
′
𝑓𝑦𝑏𝑤𝑑
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 1.4
𝑓𝑦𝑏𝑤𝑑
Este requisito tiene la intención de que la resistencia a flexión exceda la resistencia de
fisuración con un margen apropiado. El objetivo es producir una viga que sea capaz de
sostener carga después del comienzo de la fisuración por flexión, con fisuración y
deflexiones visibles, de modo que adviertan de una posible sobrecarga. Las vigas con menor
cuantía de refuerzo pueden sufrir fallas repentinas al comienzo de la fisuración por flexión.
En la práctica, este requisito controla solamente el diseño del refuerzo para aquellas vigas
que, por razones arquitectónicas u otras, tienen sección transversal mayor a la requerida por
las consideraciones de resistencia. Cuando la cuantía de refuerzo en tracción es pequeña,
el momento resistente calculado como sección de concreto reforzado, usando un análisis de
sección fisurada, resulta menor que el correspondiente al de una sección de concreto simple,
calculada a partir de su módulo de rotura. La falla en este caso puede ocurrir con la primera
fisuración y ser repentina y sin advertencia. Para evitar dicha falla, se requiere una cantidad
mínima de refuerzo de tracción, tanto en las regiones de momento positivo como negativo.
(ACI 318-2014)
Teodoro Harmsen (2002) comenta en su libro que el momento crítico que ocasiona el
agrietamiento de una sección es mucho menor que su momento resistente. El acero, antes
de la formación de grietas, presenta esfuerzos muy bajos pues su deformación, compatible
con la del concreto, también lo es. Después de la fisuración debe resistir, además del
20
esfuerzo inicial, la tensión que el concreto no es capaz de asumir. Generalmente, ambos
efectos no ocasionan la fluencia del refuerzo.
En algunas ocasiones, ya sea por razones arquitectónicas o funcionales, se emplea
elementos cuyas secciones tienen dimensiones mayores que las requeridas para resistir las
cargas que son aplicadas. Las cuantías de refuerzo disminuyen propiciando que el momento
crítico sea superior a la resistencia nominal de la sección. En estos casos, la falla se presenta
al superar el momento crítico y es súbita y frágil. Para evitarla, es conveniente definir una
cuantía mínima de acero que garantice que el momento crítico de la sección sea superior a
su momento resistente. (Teodoro E. Harmsen, 2002)
Otra modalidad de falla puede ocurrir en vigas con muy poco refuerzo. Si la existencia a la
flexión de la sección fisurada es menor que el momento que produce agrietamiento de la
sección no fisurada con anticipación, la viga va a fallar de inmediato y sin ningún aviso de
peligro una vez que se forme la primera grieta de flexión. Para protegerse contra este tipo
de falla se puede establecer un límite inferior para la cuantía de acero igualando el momento
de agrietamiento, calculado a partir del módulo de rotura del hormigón con la resistencia de
la sección fisurada. (Arthur H. Nilson, 2004)
Cuantía Máxima.
El código ACI 318 2014 establece que la sección es controlada por tracción si la
deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción 𝜀𝑡 es
mayor o igual a 0,005. Justo cuando el hormigón en compresión alcanza su límite de
deformación unitaria asumido de 0,003. Las secciones con 𝜀𝑡 entre el límite de
deformación unitaria controlada por compresión y 0,005 constituye una región de transición
entre secciones controladas por compresión y secciones controlada por tracción. Para
elementos no pre-esforzados en flexión y cimientos no pre-esforzados con carga axial
mayorada de compresión menor a 0.10𝑓𝑐′𝐴𝑔, 𝜀𝑡 en el estado de resistencia nominal no debe
ser menor a 0.004.
El PCA acepta lo anterior establecido por el código ACI 318 y comenta lo siguiente.
Desde 2002, el código ACI limita el refuerzo máximo en un elemento de flexional (con la
carga axial menos de 0.1𝑓𝑐′𝐴𝑔) a lo que produciría una tensión tensora neta 𝜀𝑡 a la capacidad
nominal no menos de 0.004. Esto compara al límite del código anterior de 0.75𝜌𝑏 que
produce un 𝜀𝑡 de 0.00376. Además, al límite de tensión neta de 0.004, el ∅ factor se reduce
a 0.812. Para secciones muy reforzados, el margen de seguridad global (el factor de carga
/∅) es casi igual que por 318-99, a pesar de los factores de carga reducidos. Vea la figura
debajo.
La capacidad de secciones tensión-controladas es claramente controlada por capacidad de
acero que es menos inconstante que la del hormigón y esto ofrece una fiabilidad mayor. Para
secciones flexional tensión-controlados, desde 2002, el código ACI permite el uso de un ∅ =
0.9, a pesar de los factores de carga reducidos introducidos en 2002. El nuevo código reduce
el requisito de capacidad por aproximadamente 10 por ciento para las secciones tensión-
controladas.
Casi siempre es ventajoso limitar la tensión tensora neta en secciones flexional a un mínimo
de 0.005, aunque el código permite cantidades superiores de refuerzo que produce valores
21
bajo de tensiones neta. Donde el tamaño de la sección sea limitado y se requiere más
capacidad, es mejor usar el refuerzo a compresión para limitar la tensión tensor neta para
que la sección sea tensión-controlada.
El refuerzo a compression.
En muchas circunstancias, las dimensiones de los elementos por calcular están limitadas
por cuestiones ajenas al diseño. No es extraño que, en alguno de éstos casos, la sección
pre-dimensionada no sea capaz de resistir el momento aplicado, aunque se le provea de la
cuantía máxima permitida. En estas situaciones es posible incrementar la capacidad
resistente del elemento añadiéndole refuerzo en la zona de compresión. (Teodoro E.
Harmsen, 2002)
Uno de los efectos más importantes generados por la presencia del acero en compresión,
es el incremento en la ductilidad del elemento. Este comportamiento es adecuado en zonas
de alto riesgo sísmico o si se espera redistribución de esfuerzos en la estructura. El refuerzo
en compresión también disminuye las deflexiones a largo plazo, pues evita el acortamiento
en el tiempo. El acero en compresión trabaja más eficientemente cuanto más alejado se
encuentra del eje neutro. Por ello, su uso no es recomendado en losas y vigas chatas o de
poco peralte. (Teodoro E. Harmsen, 2002)
El profesor Juan José Hernández responde las siguientes preguntas sobre la consideración
del refuerzo a compresión.
¿Cuándo se requiere estructuralmente el refuerzo a compresión?
Cuando se trata de vigas que forman parte de un entrepiso una reducción
en su peralto se traducirá en una disminución total de la altura total de la
edificación.
En zona de parqueo es conveniente asegurar los mayores gálibos con lo
cual se mejorar su explotación. Esta realidad puede conducirse al uso de
secciones poco peraltada.
Cuando el momento actuante supera la contribución del hormigón
correspondiente a las condiciones de fallo balanceado.
Cuando el peralto útil que se disponga sea inferior al peralto mínimo.
¿Si se requiere imponer algunas restricciones al peralto de estas secciones?
Se comprende que cuanto menor sea el peralto mayor es la deformabilidad,
algunos autores recomiendan acortarlo a partir de la condición siguiente:
Si no se trata del caso singular de vías planas, debe ponerse un peralto que
garantice que: 𝑀𝑢 < 1,33∅𝑀𝑙𝑖𝑚
1.4.4. Capítulo 6 Esfuerzos cortante en vigas. En el diseño y revisión de secciones sometidas a fuerzas cortantes se hace necesario reforzar
los contenidos referidos a siguientes aspectos:
Las recomendaciones de diseño y ejecución requieren de una actualización y de mayor
énfasis como parte del proceso de diseño ante los esfuerzos cortantes.
22
Se recomienda la introducción de un nuevo enfoque para desarrollar la distribución del
refuerzo transversal, que favorezca una mayor compresión por los alumnos del
proceso.
1.4.4.1. Recomendación de diseño.
El código ACI 318 establece las siguientes consideraciones y recomendación para el diseño a
cortantes de viga, lo siguiente también las citas los otros autores, Arthur Nilson, Gonzales
Cuevas, Teodoro Harmsen etc. En el capítulo dos del trabajo se explicará en detalle cada de uno
los puntos, cómo se deben considerar según el código ACI 318 – 2014.
Cortante en el apoyo.
Cortante máximo.
Disposiciones respecto al refuerzo longitudinal y transversal.
1.4.4.2. Diseño a cortante. La tabla del libro Hormigón Estructural. Diseño por Estados Límites. Dr. Ing. Julio A. Hernández Caneiro & Dr. Ing. Juan J. Hernández Santana que se coloca abajo resumen algunas especificaciones importantes que se debe cumplir en el análisis y el diseño de elemento hormigón armado. Esto también lo establece el reglamento ACI 318. Tabla 1.4: Resumen para diseño a cortante (libro Hormigón Estructural. Diseño por Estados Límites, Juan José Hernández Santana)
CASOS ESPACIAMIENTO DE LOS ESTRIBOS LONGITUD A REFORZAR
𝑽𝒖 ≤ 𝝓𝑽𝒄
𝟐 NO REQUIERE REFUERZO TRANSVERSAL
𝝓𝑽𝒄
𝟐< 𝑉𝒖 ≤ 𝑽𝒖𝒙
ESPACIAMIENTO MÁXIMO
𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕
𝟎,𝟑𝟓𝒃𝒘 (fc´≤ 30MPa)
𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕
𝟎,𝟎𝟔𝟐√𝒇𝒄´𝒃𝒘 (fc´> 30MPa)
𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟎, 𝟓𝒅 , 𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟔𝟎𝒄𝒎
𝒍𝒓𝟐 = 𝒍𝒓 (𝟏 −
𝝓𝑽𝒄𝟐
𝑽𝒖)
𝑽𝒖𝒙 < 𝑉𝒖 ≤ 𝟓𝝓𝑽𝒄 𝒔𝒙 =
𝝓𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕
𝑽𝒖𝒎𝒂𝒙 − 𝝓𝑽𝒄 𝒍𝒓𝒙 = 𝒍𝒓 (𝟏 −
𝑽𝒖𝒙
𝑽𝒖)
ESPACIAMIENTO MÁXIMO 𝒍𝒓𝒙𝟏 = 𝒍𝒓𝟐 − 𝒍𝒓𝒙
𝑽𝒖 > 𝟓𝝓𝑽𝒄 LA SECCIÓN DE HORMIGÓN ES INSUFICIENTE,
DEBE INCREMENTARSE
1.4.4.3. Distribución del refuerzo. Método del Cortante Límite. El libro de hormigón estructural del profesor Juan José Hernández Santana identifica tres métodos de diseño que se emplean para el cálculo y distribución de los estribos uno de ello es el método de cortante límite, que se basa en obtener el valor del cortante actuante a una distancia x del apoyo para el que se requiere exactamente el espaciamiento máximo, este método permite una distribución mejor y eficiente de los estribos mediante el uso de los cortantes
23
actuantes en los distintos puntos de la sección y por relaciones geométricas se obtienes las longitudes de espaciamiento de los estribos. El elemento a diseñar se divide en tramos que pueden variar entre la cuarta y la sexta parte de la luz. Para cada tramo se analiza el mayor valor de “Vu’’. Por otra parte, el método utilizando en el libro de hormigón armado para arquitectos para el diseño a cortante de secciones no permite realizar una adecuada distribución de los estribos. El método o procedimiento utilizado para el diseño de las secciones de los ejercicios resuelto del libro es basada en las norma vieja, no se han diseñado las secciones según las nuevas actualización del código ACI establece que el diseño a cortantes de secciones de hormigón armado se realiza después de haberse diseñando las secciones a flexión y se le haya colocado el refuerzo principal, pero el libro no reconoces esto, no resuelve o propone los ejercicios con el diseño a flexión hecha para las secciones, esto es clave porque es necesario el diseño a flexión para conocer el área total de refuerzo principal o longitudinal que requiere una sección y con este valor buscar el recubrimiento real que le podrá sobre el refuerzo, que es un dato que es clave para el diseño de secciones de hormigón armado a cortante.
1.4.5. Capítulo 7: Flexo compresión.
La utilización de los diagramas de interacción para el estudio del comportamiento, el diseño y la comprobación de secciones de hormigón armado sometidas a flexión combinada es el método más utilizado en el mundo debido a su gran simplicidad y pertinencia, lo que lo hace particularmente apropiado para los objetivos del curso presente dirigido a los arquitectos. Aunque el texto básico hace referencia breve a los diagramas de interacción desarrolla un enfoque analítico para el diseño de secciones a flexo-compresión, con algunas imprecisiones. Atendiendo a lo anterior se requiere profundizar en:
La construcción e interpretación de los diagramas de interacción como vía principal para la determinación de la capacidad resistente de la sección bajo la flexión combinada.
El empleo de ábacos basados en diagramas de interacción para el diseño de este tipo de secciones, incorporando el uso de secciones rectangulares con refuerzo perimetral y secciones circulares.
1.4.5.1. Diagrama de interacción.
El diagrama de interacción se obtiene determinando varios puntos que lo definan. El procedimiento para encontrar un punto cualquiera es, esencialmente, el mismo usado en flexión para calcular las fuerzas de compresión y de tensión, una vez supuesta la profundidad del eje neutro. Sin embargo, no es necesario hacer varios tanteos hasta igualar ambas fuerzas, ya que su diferencia representa la fuerza normal P y el momento con respecto al eje geométrico representa el momento flexionante M, que corresponden al estado de deformaciones determinado por la profundidad supuesta del eje neutro. Por lo tanto, para cada estado de
deformaciones se obtiene un valor de P y uno de M, que definen un punto del diagrama de interacción. (Oscar M. Gonzales Cuevas, 2005) Obtención de los Diagramas de Interacción. Un elemento sometido a flexo compresión, puede encontrar su estado límite de resistencia para Innumerables combinaciones de solicitaciones de momentos y cargas axiales, estos conjuntos de puntos definen el diagrama de interacción, por lo que el método de obtención de los diagramas de interacción se basa en hallar ese conjunto de puntos y graficarlos para que puedan ser utilizados posteriormente. La capacidad resistente de la sección transversal de un elemento de hormigón armado solicitado a flexo compresión, se evalúa a partir de un sistema de ecuaciones, llamadas ecuaciones de campo, conformado por:
Las ecuaciones de Equilibrio a nivel de sección.
24
Las ecuaciones de Compatibilidad de las deformaciones. Las ecuaciones Físicas o Constitutivas de los materiales
Realizar estos diagramas de forma dimensional puede hacer más difícil su análisis, logrando ecuaciones mayores longitudes que el análisis adimensional, pero facilita que el operador de los diagramas al no perder el sentido físico de las mismas, cuando no se domina perfectamente la teoría de los mismos. Por otra parte, realizar los diagramas de forma dimensional aumenta el número de estos representativamente, pero agiliza el trabajo del diseñador al poder interactuar directamente con el valor del momento y carga axial, no debiendo convertir estas solicitaciones en valores adimensionales, proceso que resulta trabajoso para algunos profesionales.
Fig. 1.1: diagrama de interacción
1.4.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado.
Las losas son elementos destinados a resolver, básicamente, el sistema estructural horizontal de una edificación, y su uso más extendido se aprecia en las soluciones de entrepisos y cubiertas, pudiéndose ofrecer la siguiente definición general para este tipo de elemento estructural: “Las Losas son elementos estructurales planos o superficiales en los que predominan dos dimensiones frente a la tercera, y sobre los cuales las cargas actúan perpendicularmente a su plano medio, incluido su propio peso.” (Hernández Santana, 2011).
El código ACI 318 y consecuentemente las notas de P.C.A y los libros de Nilson, Ramírez Hunter y Teodoro Harmsen etc. Establecen los siguientes métodos para el diseño de losas que trabajan en dos direcciones:
Método de Diseño Directo.
Método del Pórtico Equivalente. En el libro de texto se expone al método de los coeficientes propuesto por la NC, procedimiento que ha sido suprimido de las principales normativas internacionales. Sin embargo, aún es muy utilizado el Método de los coeficientes de Marcus que formó parte de la bibliografía norteamericana hasta hace relativamente pocos años. Dado la sencillez de este procedimiento se considera más apropiado para los propósitos del curso que los aprobados por el ACI 318. Tampoco se aborda procedimientos adecuados para el cálculo del peralto en losas, obviando la importancia del punzonamiento en losas apoyadas sobre columnas.
25
1.4.6.1. Método de Marcus.
Entre las limitaciones más importantes del método están que:
El método se aplica para cargas verticales solamente.
La losa debe estar apoyada en todos sus bordes por muros, vigas de acero o vigas
monolíticas de concreto.
La altura total de las vigas de borde no debe ser menor que aproximadamente tres veces
el espesor de la losa.
La última de las restricciones es impuesta porque uno de los supuestos en que se basa
el método es que los apoyos son rígidos. Específicamente, el método asume que los
apoyos no se deflectan bajo la acción de las cargas y toda la deformación ocurre en la
losa únicamente. (Ramírez Hunter, 2007)
Las restricciones que existen para aplicar este método son resultado de varios supuestos
simplificadores que se hacen sobre el comportamiento del sistema formado por la losa y los
apoyos. (Ramírez Hunter, 2007)
El método utiliza tablas de coeficientes de momento que cubren varias condiciones. Estos
coeficientes se basan en análisis elásticos, pero también tienen en cuenta la redistribución
inelástica. En consecuencia, el momento de diseño en cada dirección es menor en cierta cantidad
que el momento máximo elástico en esa dirección. EI método establece que cada panel debe
dividirse, en ambas direcciones, en una franja central cuyo ancho es la mitad del ancho del panel
y en dos franjas de borde o franjas de columna con un ancho igual a un cuarto del ancho del
panel. Los momentos en las dos direcciones son mayores en la porción central de la losa que en
las regiones cercanas a los bordes. Por tanto, el método establece que toda la franja central se
diseña para el momento de diseño total tabulado. Para las franjas de borde, este momento se
supone que disminuye desde su valor máximo en el borde de la franja central, hasta un tercio de
su valor en el borde del panel. (Nilson, 2001)
En un borde continuo de losa se generan momentos negativos de manera similar al caso de los
apoyos interiores de vigas continuas. También, la magnitud de los momentos positivos depende
de las condiciones de continuidad en todos los cuatro bordes. (Nilson, 2001)
Los momentos negativos en bordes discontinuos se suponen iguales a un tercio de los momentos
positivos para la misma dirección. Estos momentos deben tenerse en cuenta en el diseño puesto
que la rigidez torsional de la viga de borde o del muro de apoyo suministra en general un grado
de restricción en los bordes discontinuos. (Nilson, 2001)
Para los momentos positivos se va a presentar, si acaso, muy poca rotación en los bordes
continuos cuando la carga muerta actúa sola porque las cargas en los dos paneles adyacentes
tienden a producir rotaciones opuestas que se cancelan entre sí o se balancean
aproximadamente. Para esta condición, los bordes continuos pueden considerarse empotrados
y los coeficientes apropiados para los momentos positivos ocasionados por carga muerta se
determinan mediante una tabla que es diferente a la que se utiliza para la carga viva puesto que
los máximos momentos positivos generados por carga viva se obtienen cuando la carga viva se
coloca únicamente en el panel particular y no en los paneles adyacentes. En este caso sí se
presentaría algo de rotación en todos los bordes continuos. Como aproximación se supone que
existe un 50% de restricción para calcular estos momentos ocasionados por carga viva. (Nilson,
2001)
26
1.4.7. Capítulo 9: Estado Límite de utilización de deformación.
Los contenidos referidos a la etapa de servicio de una viga tratados en el texto se limitan al
chequeo de la flecha y no se profundiza en el análisis del comportamiento de la sección bajo
estas cargas y en la obtención de las propiedades de la sección no fisurada y agrietada. Además,
tampoco se explican los procedimientos para el control de la fisuración, aspecto tan importante
en las condiciones cubanas.
1.4.7.1. Control de fisuras.
El código ACI 318 2014 comenta y establece que, para el control de fisuras, el refuerzo adherido debe estar distribuido para controlar la fisuración en las zonas en tracción por flexión de losas y vigas no preesforzadas para resistir flexión en una sola dirección, cuando las cargas de servicio llevan a esfuerzos altos en el refuerzo, deben esperarse fisuras visibles y deben tomarse precauciones al detallar el refuerzo para controlar la fisuración. Por razones de durabilidad y estética, son preferibles muchas fisuras muy finas que pocas fisuras anchas. Las prácticas de detallado del refuerzo generalmente conducirán a un adecuado control de la fisuración si se utiliza acero de refuerzo Grado 420. (ACI 318 - 2014) El mejor control de fisuración se obtiene cuando el refuerzo está bien distribuido en la zona de máxima tracción en el concreto. Varias barras con un espaciamiento moderado son mucho más efectivas para controlar la fisuración que una o dos barras de mayor diámetro de área equivalente. (ACI 318 - 2014) El espaciamiento del refuerzo se limita para controlar la fisuración, para el caso de una viga con acero de refuerzo Grado 420, 50 mm de recubrimiento libre del refuerzo principal y con fs = 280 MPa, el espaciamiento máximo es 250 mm. (ACI 318 - 2014)
Los anchos de fisura en estructuras son muy variables. Los requisitos actuales del reglamento para espaciamiento intentan limitar la fisuración superficial a un ancho que es generalmente aceptable en la práctica, pero que puede variar ampliamente dentro de una misma estructura. (ACI 318 - 2014) También el código comenta que La influencia de las fisuras en la corrosión es un tema controvertido. Las investigaciones (Darwin et al. 1985; Oesterle 1997) muestran que la corrosión no está claramente relacionada con el ancho de las fisuras superficiales en los rangos normalmente encontrados de los esfuerzos del refuerzo a nivel de cargas de servicio. Por esta razón, el reglamento no hace distinción entre exposición interior y exterior. Solamente el refuerzo de tracción más cercano a la cara en tracción necesita ser considerado para seleccionar el valor de cc que se usa para calcular los requisitos de espaciamiento. A pesar de que se han realizado numerosos estudios, no se dispone de evidencia experimental clara respecto al ancho de fisura a partir del cual existe peligro de corrosión. Las pruebas de exposición indican que la calidad del concreto, la compactación adecuada y el apropiado recubrimiento de concreto pueden ser más importantes para la protección contra la corrosión que el ancho de fisura en la superficie del concreto. (ACI 318 - 2014) En vigas T, la distribución del refuerzo negativo para el control de la fisuración debe tener en cuenta dos condiciones: (1) un espaciamiento grande del refuerzo en el ancho efectivo del ala puede provocar la formación de fisuras anchas en la losa cerca del alma, y (2) espaciamiento pequeño en la vecindad del alma deja sin protección las zonas exteriores del ala. La limitación
27
de un décimo sirve para evitar que haya un espaciamiento muy grande, al tiempo que proporciona un poco de refuerzo adicional necesario para proteger las zonas más externas del ala. (ACI 318 - 2014)
1.4.8. Conclusiones parciales del capítulo. 1. Es importante la enseñanza de estructuras (hormigón armado) para los arquitectos pues con
ello se logra que ellos realicen diseños funcionales, seguros y racionales, también para mejorar
su interacción profesional con ingenieros civiles u otros profesionales de la construcción.
2. No existe mucha bibliografía actualizada sobre hormigón estructural, dirigida específicamente
a los estudiantes de arquitectura.
3. Los contenidos recogidos en la asignatura Estructura IV del Plan D de arquitectura responde
a las tendencias mundiales de enseñanza de las estructuras para estos profesionales.
4. El código ACI es el reglamento principal para el diseño del hormigón armado y los autores
más citados lo utiliza como reglamento para sus estudios y explicaciones sobre el diseño y
revisión del hormigón armado.
5. El libro “Hormigón Armado para Arquitectos”, texto básico de la asignatura Estructura IV,
requiere de una actualización y complementación teórica y práctica en los siguientes temas:
Capítulo 2: Propiedades de los materiales, Capítulo 3: Métodos de cálculo, Capítulo 5: flexión
simple, Capítulo 6: Esfuerzos córtate en vigas, Capítulo 7: Flexo compresión, Capítulo 8: Losas
macizas de hormigón armado y el Capítulo 9: Estado límite de utilización, Fisuración.
6. El uso de herramientas (por ejemplo: figuras, tablas, imagen de estructuras reales y ejemplos
de problemas reales y otras presentaciones visuales) ayudan a facilitar y mejorar la comprensión
de los contenidos de un libro de estructura.
28
Capítulo II: Bibliografía complementaria para los temas del libro “Hormigón Armado para Arquitectos”. Introducción. En el siguiente capítulo se realizará un complemento bibliográfico al libro: Hormigo Armado para
Arquitectos, que es actualmente la bibliografía principal para el estudio y la enseñanza del diseño
y comprobación de hormigo armado en la asignatura de Estructuras IV para la carrera de
arquitectura. El objetivo es complementar los contenidos y añadir ayudas de cálculo y ejercicios
que contribuyan a la compresión de los temas por los estudiantes. Se realizará un complemento
bibliográfico de los siguientes capítulos del libro en cuestión: capítulo 2: Propiedades de los
materiales, capítulo 3: Métodos de cálculo, capitulo 5: flexión simple, capitulo 6: Esfuerzos córtate
en vigas, capitulo 7: Flexo compresión, capitulo 8: Losas macizas de hormigón armado y el
capítulo 9: Estado límite de utilización, Fisuración.
2.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales
2.1.1.1. Durabilidad, recubrimientos y resistencia del hormigón a compresión mínimos. El recubrimiento de hormigón es la distancia entre la superficie exterior de la armadura más
externa (incluyendo cercos y estribos) y la superficie exterior de hormigón más cercana, como
se aprecia en la figura 2.1. Esta disposición modifica el uso común en Cuba de considerar el
recubrimiento a la superficie de la armadura principal, buscando por tanto una protección de todo
el refuerzo del elemento, provocando un incremento del recubrimiento efectivo del acero
longitudinal.
Figura 2.1: Espaciamiento entre barras y recubrimiento en vigas.
En la distribución de refuerzo por ACI están normado los valores mínimo y máximo d, Cc,
d’, ds y S, que son valores importantes en el cálculo y distribución de refuerzo
cc = recubrimiento libre del refuerzo, mm S= espaciamiento medido de centro a centro de unidades tales como refuerzo longitudinal, refuerzo transversal, tendones de pre esfuerzo, alambres, o anclajes, mm d = distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción, mm. Este se calcula por: d – h - ds
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d’ = distancia desde la fibra extrema en compresión al centroide del refuerzo longitudinal en compresión, mm. ds = distancia desde la fibra extrema en tracción al centroide del refuerzo longitudinal en tracción, mm. Las notas del PCA sobre el código ACI 318 2011, plantean lo siguiente sobre la separación entre barras de refuerzo. Separación mínima.
En los elementos que tienen una sola capa de armadura, la separación libre mínima entre barras paralelas ubicadas debe ser como mínimo igual a un diámetro de barra, pero siempre mayor o igual que 2.54 cm. En los elementos que tienen dos o más capas de armadura, las barras de la capa superior se deben colocar directamente encima de las barras de la capa inferior; la separación libre vertical mínima entre las diferentes capas debe ser como mínimo igual a 2.54 cm. En los elementos solicitados a compresión armados con estribos cerrados o zunchos, la distancia libre entre las barras longitudinales debe como mínimo mayor o igual que 1,5 diámetros de las barras, pero siempre mayor o igual que 3.81 cm. Separación máxima. En las losas y tabiques, exceptuando las losas nervadas, la separación de la armadura principal de flexión debe ser menor o igual que tres veces el espesor del tabique o de la losa y menor o igual que 18 in. La NC 250-2004 dispone los valores normativos de recubrimientos que se exponen en la tabla
2.1.
Tabla 2.1: Valores mínimos de recubrimiento por elementos estructurales (mm)
CATEGORÍA DE AGRESIVIDAD
Muy Alta Alta Media Baja
Pilotes hormigonados in situ contra el suelo 75 75 75 75
Pilotes prefabricados 50 50 50 50
Cimientos sin sello 70 70 70 70
Cimientos con sello 50 50 50 50
Muros (paredes) hormigonados contra terreno (**) 70 70 70 70
Muros (paredes) hormigonados contra cofre (**) 50 40 40 40
Muros (paredes) prefabricados (**) 40 35 35 35
Zapatas hormigonadas contra terreno (*) 50 50 40 40
Zapatas hormigonadas contra cofre (*) 45 45 35 35
Zapatas prefabricadas (*) 40 40 30 30
Columnas y vigas, hormigonadas in situ 50 40 40 30
Columnas y vigas, prefabricadas 40 35 35 25
Tímpanos y muros, hormigonados in situ 50 40 30 25
Tímpanos y muros, prefabricados 40 35 25 20
Losas, elementos laminares, nervios y viguetas, hormigonados in situ
40 35 30 25
Losas, elementos laminares, nervios y viguetas, prefabricados
35 30 25 20
Pilotes hormigonados in situ contra el suelo 75 75 75 75
30
(*) Cimientos que soportan elementos de cierre (**) Caras de muros contra el terreno
- En ningún caso el recubrimiento podrá ser inferior al diámetro mayor de la barra longitudinal ni a 1,25 veces el tamaño máximo del árido.
- En las estructuras expuestas a peligro de incendio, el recubrimiento vendrá fijado por la norma específica de protección de incendios, pero nunca menor que el señalado en la tabla 8.3
- Las indicaciones de elementos prefabricados se refieren a elementos prefabricados en plantas especializadas únicamente.
- En elementos (como viguetas o losas), prefabricados en instalación industrial fija, para entrepisos unidireccionales de hormigón armado o pretensado, el proyectista podrá contar, además del recubrimiento de hormigón real del elemento, con el espesor del revestimiento del entrepiso, siempre que dicho revestimiento sea compacto e impermeable y tenga carácter definitivo y permanente, y que se garantice con dicho revestimiento, una protección similar a la del recubrimiento de hormigón sustituido, todo ello correspondientemente documentado, al objeto de cumplir con los recubrimientos mínimos de la tabla 8,3. Sin embargo, en estos casos, el recubrimiento real de hormigón no podrá ser inferior a 15 mm.
Con el propósito de incrementar la durabilidad del hormigón y la protección del refuerzo se han
establecido restricciones más severas a los valores mínimos de resistencia del hormigón a
emplear, las que están en dependencia de las características de la zona donde se construya el
elemento y del tipo de hormigón. Estas disposiciones para piezas de hormigón se muestran en
la tabla 2.2:
Tabla 2.2: Valores mínimos de resistencia del hormigón. (NC 120 2014)
TIPO DE
HORMIGÓN
NIVEL DE AGRESIVIDAD DEL MEDIO
MUY ALTO ALTO MEDIO BAJO
fc´ (MPa)
SIMPLE 20 15 15 15
ARMADO 35 30 25 20
PRETENSADO 35 35 30 30
2.1.2. Distribución del refuerzo A continuación, se exponen tablas que facilitan la labor de distribución del refuerzo principal en
vías y columnas.
Tabla 2.3: Áreas de barras de refuerzo (cm2).
NÚMEROS DE BARRAS
N°
N°
(ACI) db (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 3 9.5 0.71 1.42 2.13 2.84 3.55 4.26 4.97 5.68 6.39 7.1
13 4 12.7 1.29 2.58 3.87 5.16 6.45 7.74 9.03 10.32 11.61 12.90
16 5 15.9 1.99 3.98 5.97 7.96 9.95 11.94 13.93 15.92 17.91 19.9
19 6 19.1 2.84 5.68 8.52 11.36 14.2 17.04 19.88 22.72 25.56 28.40
22 7 22.2 3.87 7.74 11.61 15.48 19.35 23.22 27.09 30.96 34.83 38.70
25 8 25.4 5.1 10.2 15.3 20.4 25.5 30.6 35.7 40.8 45.9 51
32 10 32.3 8.19 16.38 24.57 32.76 40.95 49.14 57.33 65.52 73.71 81.9
36 11 35.8 10.06 20.12 30.18 40.24 50.30 60.36 70.42 80.48 90.54 100.6
31
Tabla 2.4: Recubrimientos me efectivos para barras de refuerzo en vigas.
ESTRIBOS N° 10 ESTRIBOS N° 13
RECUBRIMIENTO (mm) RECUBRIMIENTO (mm)
1 C
AM
AD
A
N° Diam (mm) 25 30 35 40 50 25 30 35 40 50
10 9.5 39.3 44.3 49.3 54.3 64.3 42.5 47.5 52.5 57.5 67.5
13 12.7 40.9 45.9 50.9 55.9 65.9 40.9 45.9 50.9 55.9 65.9
16 15.9 42.5 47.5 52.5 57.5 67.5 45.7 50.7 55.7 60.7 70.7
19 19.1 44.1 49.1 54.1 59.1 69.1 47.3 52.3 57.3 62.3 72.3
22 22.2 45.6 50.6 55.6 60.6 70.6 48.8 53.8 58.8 63.8 73.8
25 25.4 47.2 52.2 57.2 62.2 72.2 50.4 55.4 60.4 65.4 75.4
32 32.3 50.7 55.7 60.7 65.7 75.7 53.9* 58.9 63.9 68.9 78.9
36 35.8 52.4 57.4 62.4 67.4 77.4 55.6 60.6 65.6 70.6 80.6
2 C
AM
AD
A
N° Diam (mm) 25 30 35 40 50 25 30 35 40 50
10 9.5 56.5 61.5 66.5 71.5 81.5 59.7 64.7 69.7 74.7 84.7
13 12.7 59.7 64.7 69.7 74.7 84.7 62.9 67.9 72.9 77.9 87.9
16 15.9 62.9 67.9 72.9 77.9 87.9 66.1 71.1 76.1 81.1 91.1
19 19.1 66.1 71.1 76.1 81.1 91.1 69.3 74.3 79.3 84.3 94.3
22 22.2 69.2 74.2 79.2 84.2 94.2 72.4 77.4 82.4 87.4 97.4
25 25.4 72.4 77.4 82.4 87.4 97.4 75.6 80.6 85.6 90.6 100.6
32 32.3 79.3 84.3 89.3 94.3 104.3 82.5 87.5 92.5 97.5 107.5
36 35.8 82.8 77.05 92.8 97.8 107.8 86 91 96 101 111
33
CA
MA
DA
N° Diam (mm) 25 30 35 40 50 25 30 35 40 50
10 9.5 73.8 78.8 83.8 88.8 98.8 77.0 82.0 87.0 92.0 102.0
13 12.7 78.6 83.6 88.6 93.6 103.6 81.8 86.8 91.8 96.8 106.8
16 15.9 83.4 88.4 93.4 98.4 108.4 86.6 91.6 96.6 101.6 111.6
19 19.1 88.2 93.2 98.2 103.2 113.2 91.4 96.4 101.4 106.4 116.4
22 22.2 92.8 97.8 102.8 107.8 117.8 96.0 101.0 106.0 111.0 121.0
25 25.4 97.6 102.6 107.6 112.6 122.6 100.8 105.8 110.8 115.8 125.877
32 32.3 108.0 113.0 118.0 123.0 133.0 111.2 116.2 121.2 126.2 136.2
36 35.8 113.2 118.2 123.2 128.2 138.2 116.4 121.4 126.4 131.4 141.4
Tabla 2.5 (A): Número máximo de barras en una camada para vigas.
DIAMETRO DE ESTRIBO N° 10
Recubrimiento 25 mm Recubrimiento 30 mm
ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)
N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50
13 12.7 2 4 5 6 8 9 10 12 2 3 5 6 7 9 10 11
16 15.9 2 3 5 6 7 8 9 11 2 3 4 6 7 8 9 10
19 19.1 2 3 4 5 6 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 10
22 22.2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
25 25.4 2 3 4 5 6 7 8 8 1 2 3 4 5 6 7 8
32 32.3 1 2 3 4 4 5 6 7 1 2 3 3 4 5 6 7
32
36 35.8 1 2 3 3 4 5 5 6 1 2 2 3 4 4 5 6
Recubrimiento 35 mm Recubrimiento 40 mm
ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)
N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50
13 12.7 2 3 4 6 7 8 10 11 2 3 4 5 7 8 9 11
16 15.9 2 3 4 5 6 8 9 10 1 3 4 5 6 7 9 10
19 19.1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 5 6 7 8 9
22 22.2 1 2 3 4 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 9
25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
32 32.3 1 2 2 3 4 5 6 6 1 2 2 3 4 5 5 6
36 35.8 1 2 2 3 4 4 5 6 1 1 2 3 4 4 5 6
Recubrimiento 50 mm
ANCHO 𝒃 (cm)
N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50
13 12.7 1 2 4 5 6 8 9 10
16 15.9 1 2 3 5 6 7 8 9
19 19.1 1 2 3 4 5 6 8 9
22 22.2 1 2 3 4 5 6 7 8
25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8
32 32.3 0 1 2 3 4 4 5 6
36 35.8 0 1 2 3 3 4 5 5
Tabla 2.5 (B): Número máximo de barras en una camada para vigas.
DIAMETRO DE ESTRIBO N° 13
Recubrimiento 25 mm Recubrimiento 30 mm
ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)
N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50
13 12.7 2 3 5 6 7 9 10 11 2 3 5 6 7 9 10 11
16 15.9 2 3 4 6 7 8 9 10 2 3 4 5 7 8 9 10
20 19.1 2 3 4 5 6 7 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9
22 22.2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 5 6 7 8 9
25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
32 32.3 1 2 3 3 4 5 6 7 1 2 3 3 4 5 6 6
36 35.8 1 2 2 3 4 5 5 6 1 2 2 3 4 4 5 6
Recubrimiento 35 mm Recubrimiento 40 mm
ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)
N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50
13 12.7 2 3 4 6 7 8 10 11 1 3 4 5 7 8 9 11
16 15.9 1 3 4 5 6 8 9 10 1 2 4 5 6 7 9 10
20 19.1 1 2 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 6 7 8 9
33
22 22.2 1 2 3 4 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8
25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
32 32.3 1 2 2 3 4 5 5 6 1 1 2 3 4 5 5 6
36 35.8 1 1 2 3 4 4 5 6 1 1 2 3 3 4 5 6
Recubrimiento 50 mm
ANCHO 𝒃 (cm)
N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50
13 12.7 1 2 3 5 6 7 9 10
16 15.9 1 2 3 4 6 7 8 9
20 19.1 1 2 3 4 5 6 7 9
22 22.2 1 2 3 4 5 6 7 8
25 25.4 0 1 2 3 4 5 6 7
32 32.3 0 1 2 3 3 4 5 6
36 35.8 0 1 2 2 3 4 5 5
2.1.3. Anclaje de la armadura.
El concepto de la longitud de anclaje de las barras conformadas y los alambres
conformados solicitados a tracción se basa en la tensión de adherencia promedio
que se logra en la longitud embebida de las barras o alambres. Este concepto exige
que las armaduras tengan longitudes mínimas especificadas o que se prolonguen
las distancias mínimas especificadas más allá de las secciones en las cuales la
armadura está solicitada a las tensiones máximas. En los elementos solicitados a
flexión estas tensiones máximas generalmente ocurren en las secciones donde la
tensión es máxima y en aquellas donde la armadura adyacente termina o cambia de
dirección.
Tabla 2.6: Longitud de anclaje 𝒍𝒅 para barras o alambres en zonas de alta adherencia, sin revestimiento, colocadas en hormigón de peso normal
𝑓𝑦 = 300𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑦 = 420𝑀𝑃𝑎
CONDICIÓN 𝑓𝑐´(𝑀𝑃𝑎) n° 16 ó menor n° 19 ó mayor n° 16 ó menor n° 19 ó mayor
1
17.5 35𝑑𝑏 44𝑑𝑏 49𝑑𝑏 61𝑑𝑏
20 33𝑑𝑏 41𝑑𝑏 46𝑑𝑏 57𝑑𝑏
25 29𝑑𝑏 36𝑑𝑏 41𝑑𝑏b 51𝑑𝑏
30 27𝑑𝑏 33𝑑𝑏 37𝑑𝑏 46𝑑𝑏
35 25𝑑𝑏 31𝑑𝑏 35𝑑𝑏 43𝑑𝑏
40 23𝑑𝑏 29𝑑𝑏 32𝑑𝑏 40𝑑𝑏
2
17.5 52𝑑𝑏 65𝑑𝑏 73𝑑𝑏 91𝑑𝑏
20 49𝑑𝑏 61𝑑𝑏 68𝑑𝑏 85𝑑𝑏
25 44𝑑𝑏 54𝑑𝑏 61𝑑𝑏 76𝑑𝑏
30 40𝑑𝑏 50𝑑𝑏 56𝑑𝑏 69𝑑𝑏
35 37𝑑𝑏 46𝑑𝑏 52𝑑𝑏 64𝑑𝑏
40 35𝑑𝑏 43𝑑𝑏 48𝑑𝑏 60𝑑𝑏
34
Condición 1: 𝑐+𝐾𝑡𝑟
𝑑= 1,5
La separación libre entre las barras que se anclan o empalman es mayor o igual que 𝑑𝑏,
el recubrimiento libre es mayor o igual que 𝑑𝑏 y la cantidad de estribos a lo largo de 𝑙𝑑 es
mayor que el mínimo indicado en las normativas o bien la separación libre entre las barras
que se anclan o empalman es mayor o igual que 2𝑑𝑏 y el recubrimiento libre es mayor o
igual que 𝑑𝑏.
Condición 2: 𝑐+𝐾𝑡𝑟
𝑑= 1
Otro caso no recogido en los anteriores.
2.2. Capítulo 3: Métodos de cálculo. 2.2.1. Los factores de cargas. Las cargas permanentes o muertas son, en la teoría, invariables en magnitud, dirección, sentido
e, incluso, en el tiempo. En realidad, pueden cambiar por las variaciones en las dimensiones de
los elementos, de la densidad de los materiales y las propias modificaciones estructurales y no
estructurales que ocurren. Mientras tanto, las sobrecargas o cargas vivas varían
considerablemente en función del tiempo y de la edificación de la que se trate. Unido a ello,
existen incertidumbres en el cálculo de las solicitaciones, en las suposiciones de las rigideces,
longitudes de tramo, etc., además de las que se involucran en el modelado de las estructuras
tridimensionales conducentes a diferencias entre las tensiones que realmente ocurren en la
estructura y aquellas estimadas por el diseñador en el análisis.
Para considerar la inevitable variación de las cargas respecto de sus valores característicos y la
consecuente aparición de acciones extraordinarias por incremento posible de las cargas, surge
la necesidad de introducir un factor que permita mayoralas, término que no significa
necesariamente hacerlas de mayor magnitud, sino de un efecto más desfavorable.
En esencia el procedimiento consiste en introducir un factor de carga γf que, como fue definido
al abordar el Método de los Estados Límites, permite transformar la acción característica Sk en
acción de diseño Su:
𝑆𝑢 = 𝛾𝑓(𝑆𝑘)
Sin embargo, no existe un solo factor de carga, este depende de las características de estas, y
por tanto la expresión anterior se convierte realmente en:
𝑆𝑢 = 𝛾𝑓𝐷𝐷 + 𝛾𝑓𝐿𝐿 + ⋯ … . . 𝛾𝑓𝐸𝐸
Las combinaciones básicas sugeridas por el ACI 318-14 y los factores de carga que entran en
cada combinación, se escriben a continuación; se puede apreciar que se manejan factores de
incertidumbre atribuibles, tanto a las características de las cargas, como a sus combinaciones:
𝑆𝑢 = 1,4𝐷
𝑆𝑢 = 1,2 𝐷 + 1,6𝐿 + 0,5(𝐿𝑟 ó 𝑆 ó 𝑅)
𝑆𝑢 = 1,2𝐷 + 1,6(𝐿𝑟 ó 𝑆 ó 𝑅) + (1,0𝐿 ó 0,5𝑊)
35
𝑆𝑢 = 1,2𝐷 + 1,0𝑊 + 1,0𝐿 + 0.5(𝐿𝑟 ó 𝑆 ó 𝑅)
𝑆𝑢 = 1,2𝐷 + 1,0𝐸 + 1,0𝐿 + 0,2𝑆
𝑆𝑢 = 0,9𝐷 + 1,0𝑊
𝑆𝑢 = 0,9𝐷 + 1,0𝐸
Donde las cargas o las solicitaciones correspondientes se denominan:
D Cargas Permanentes o Muertas.
E Efectos de carga de las Fuerzas Sísmicas.
L Cargas de uso, sobrecargas o cargas vivas.
Lr Sobrecarga en la cubierta.
R Cargas provenientes de la lluvia.
S Carga de nieve.
W Carga de Viento.
F Cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas
máximas controlables, que se considerará como parte de la carga muerta.
H Cargas debidas al peso y presión lateral del suelo, del agua en el suelo, u otros
materiales. Esta carga debe evaluarse en función de sus características y entonces
clasificarse como muerta o viva.
T Efectos acumulativos de la retracción o expansión resultante de las variaciones de
temperatura, la fluencia lenta, la retracción y el hormigón de contracción compensada,
la que puede combinarse con cualquiera de las cargas anteriores en una valoración
específica.
En Cuba estas cargas están normadas por diferentes reglamentos, por ejemplo:
• Cargas de edificaciones y obras de ingeniería de F. Medina.
• Para las cargas muertas o permanentes (D): NC 283-2003
• Para las cargas vivas o de uso (L): NC 284-2003
• Para las cargas de viento (W): NC 285-2003
Durante el análisis y diseño de muchos de los elementos que a diario se proyectan, la
combinación que gobierna el diseño (combinación pésima) incluye solo los estados siguientes
de carga: la carga muerta (considerado el peso propio), la sobrecarga, la carga de viento o la
carga sísmica, y ninguna combinación debe admitir la acción simultánea de las cargas de viento
y sismo debido a la escasa probabilidad de que ocurran de manera simultánea esos dos eventos
naturales extremos: el huracán y el sismo.
Note como hay variaciones en los coeficientes de una combinación a otra; por ello se debe tener
en cuenta la probabilidad, mayor o menor, de que estas ocurran de manera simultánea.
36
Una simplificación conservadora consiste en incluir la sobrecarga en las cubiertas Lr junto con la
sobrecarga L, y aplicar en las ecuaciones el factor de carga más alto correspondiente a L o Lr.
La Norma Cubana NC 450: 2006 “Edificaciones, factores de carga o ponderación y
combinaciones” establece las combinaciones básicas de cálculo que son en su esencia
semejantes a las propuestas del ACI y expuestas con anterioridad. En la tabla 2.7 se resumen
las combinaciones más comunes con algunas recomendaciones para su empleo.
Tabla 2.7: Combinaciones de cargas mayoradas para determinar la resistencia requerida
Su
COMBINACIÓN COMENTARIOS
1,4 (D+F) Para cargas gravitatorias, en depósitos y tanques con mínima
fluctuación de la altura del fluido
1,2D+1,6L+0,5Lr Es lo común en el cálculo de entrepisos considerando Lr=0 y para
columnas, tímpanos y muros al considerar simultáneamente L y Lr
1,2D+1,6Lr+ (0,5L o 0,8W)
Es la combinación para evaluar las cubiertas. Se le suma 0,8W
cuando el viento actúa en la misma dirección que la carga de uso de
la cubierta.
1,2D+1,4W+0,5L+0,5Lr Toma en cuenta el accionar simultáneo del viento o el sismo con parte
de la carga de uso. En el caso de garajes, áreas con lugares de
reuniones públicas y donde la carga de uso sea mayor que 5kN/m2,
el coeficiente se toma igual a 1 1,2D+1,4E+0,5L+0,5Lr
0,9D+1,4W Se emplea cuando la combinación más desfavorable sobre columnas
es la carga axial menor. 0,9D+1,4E
2.2.2. El factor de reducción de resistencia La reducción de la resistencia nominal o característica se engloba en un único coeficiente que
recoge los factores de incertidumbre que tienen que ver con esta reducción, precisamente, el
factor de reducción ϕ. Entonces puede plantearse:
𝑅𝑢 ≤ 𝜙𝑅𝑛
El ACI hace depender al factor de reducción, básicamente, del tipo de solicitación, con lo que
reconoce que esta forma de medir la resistencia resulta más completa, pues la capacidad de la
sección depende no solo de la calidad de los materiales que la componen, sino también, sobre
todo, de la combinación de estos en un nuevo material encargado de resistir las cargas externas.
Al emplear coeficientes separados para el hormigón y acero, el CEB-FIB esconde la realidad, ya
que en determinados elementos el aporte relativo de uno u otro es poco significativo. Si se
deseara establecer una equivalencia entre el enfoque de la seguridad que prevalece en Europa
y el del ACI, se pudiera escribir de manera simplificada que 𝜙 ≅ (1 𝛾𝑔𝛾𝑠⁄ ).
A partir de 2002, el Comité 318 del ACI introdujo nuevas definiciones, imprescindibles en los
procedimientos para introducir la seguridad en el caso de secciones sujetas a esfuerzos
normales. Estos son los conceptos de tracción controlada y de compresión controlada, a partir
de la deformación que experimente el acero más traccionado. Para ello establece un valor de
εt = 0,005 como criterio de la caracterización de la ductilidad de la sección.
37
En la figura 2.2 se ilustra que el refuerzo más traccionado es aquel situado en el nivel más alejado
de la fibra de máxima compresión, al que corresponde un peralto efectivo simbolizado por dt y
una deformación representada por εt.
A partir de estas definiciones puede plantearse:
Secciones en tracción controlada: son aquellas en las que el estado deformacional
último asociado al límite de resistencia de la sección, asegura que el acero traccionado
alcance una deformación que supera el 0,5%; es decir, cuando εt ≥ 0,005 o εs ≥ 0,005.
Secciones en compresión controlada: son aquellas en las que el estado
deformacional último asociado al límite de resistencia de la sección, asegura que el
acero traccionado no llega a alcanzar tan siquiera la deformación de fluencia, es decir,
cuando εt ≤ εy o εs ≤ εy.
Secciones en transición: son aquellas en las que el estado deformacional último
asociado al límite de resistencia de la sección es tal que el acero traccionado llega a
fluir, pero sin alcanzar la deformación unitaria de 0,5%, es decir, cuando εy < εt < 0,005
o εy < εs < 0,005.
Figura 2.2: Deformación en el acero más traccionado.
Para definir el factor de reducción de resistencia en el caso de las solicitaciones normales
(compresión, tracción, flexión, flexo-compresión, flexo-tracción), es imprescindible identificar si
se trata de secciones controladas por tracción, por compresión o de transición y para ello se
deben establecer las fronteras entre ellas, como se muestra en la figura 2.3.
38
Figura 2.3: Estados deformacionales fronteras.
La frontera que limita las secciones con tracción controlada es un estado deformacional para el
que se cumple εt = 0,005 y εc’ = ε’cmax = 0,003. De las ecuaciones de compatibilidad de las
deformaciones para estas condiciones, puede determinarse:
0,003
𝑐𝑡=
𝜀𝑡
𝑑𝑡 − 𝑐𝑡
Y si se hace εs = 0,005, entonces.
𝑐𝑡 = 0.375𝑑𝑡.
Por su parte, la frontera que limita las secciones con compresión controlada, asociada como se
verá más adelante al llamado fallo balanceado, se asocia a una deformación a nivel del acero
más traccionado igual εt = εy, y por tanto le corresponde una profundidad de la línea neutra igual
a cb.
Como esta frontera responde a la condición:
0,003
𝑐𝑏=
𝜀𝑡
𝑑𝑡 − 𝑐𝑏
Entonces:
𝑐𝑏 =0,003
0,003 + 𝜀𝑦𝑑𝑡
Los valores del factor de reducción ϕ recomendados por el ACI 318 se muestran en la TABLA
2.8, mientas en la figura 4.16 se grafica su función de variación a partir de la deformación que
experimenta el acero más traccionado.
39
Tabla 2.8: Coeficiente de reducción de resistencia ϕ.
TIPO DE RESISTENCIA ϕ
Secciones controladas por tracción 0,90
Secciones controladas por compresión:
- Elementos con armadura en espiral - Otros elementos armados
0,75 0,65
Cortante y torsión 0,75
Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje en postesado y
cuando se utiliza el modelo de bielas y tirantes. 0,65
Zonas de anclaje en postesado 0,85
Modelo de bielas y tirantes 0,75
Las secciones en flexión en los elementos pretensados donde la longitud
embebida del torón es menor que la longitud de desarrollo:
- Desde el extremo del elemento hasta el extremo de la longitud de transferencia
- Desde el extremo de la longitud de transferencia hasta el extremo de la longitud de desarrollo, debe permitirse que ϕ sea incrementado linealmente de:
0,75
0,75 hasta 0,9
El factor de reducción de la capacidad nominal ϕ indicado en la tabla 4.13 está calibrado para las
condiciones de los EE.UU. y presupone un alto nivel de control de calidad. En consecuencia, no
responde necesariamente a otras condiciones menos favorables en las que el control de
ejecución en obra sea menos estricto y sistemático, elementos que no se reflejan en la calibración
mostrada, la cual solo depende del tipo de solicitación e, indirectamente, de las características
del fallo. Estudios en desarrollo actualmente recomiendan, para las condiciones cubanas, incluir
un coeficiente de seguridad adicional γs, que tome en consideración estos últimos factores.
Como en la zona de transición el factor de reducción depende de εy o de cb, se regirá por
expresiones diferentes, para calidades de acero distintas. Esta variación se puede apreciar en
la figura 2.5.
La tabla 2.9 muestra estas expresiones, dependiendo de la deformación del refuerzo y de la
profundidad de la línea neutra, para los dos tipos de este material que con mayor frecuencia se
emplean como armadura longitudinal en Cuba, en el caso del hormigón armado.
40
Figura 2.5: Factor de reducción de resistencia ϕ
El reglamento norteamericano propone como simplificación que para todos los aceros que
cumplan con la condición fy ≥ 420MPa, se puede adoptar εt = εy = 0,002 y en consecuencia cb =
0,6d, lo que permite escribir el valor del factor ϕ de la manera siguiente:
Para estribos: 𝜙 = 0,48 + 83𝜀𝑡 ó 𝜙 = 0,231 +0,249
𝑐 𝑑𝑡⁄
Para espirales: 𝜙 = 0,65 + 50𝜀𝑡 ó 𝜙 = 0,5 +0,15
𝑐 𝑑𝑡⁄
Tabla 2.9: Valores de ϕ en función de εt y de c para secciones en transición.
Factor de reducción de resistencia 𝜙
GRADO εy ϕ = f(εs) ϕ = f(c)
ESTRIBOS
G-40 0,0015 0,543 + 71,4𝜀𝑡 0,329 +0,214
𝑐 𝑑𝑡⁄
G-60 0,0021 0,469 + 86,2𝜀𝑡 0,21 +0,259
𝑐 𝑑𝑡⁄
ESPIRALES
G-40 0,0015 0,686 + 42,8𝜀𝑡 0,557 +0,128
𝑐 𝑑𝑡⁄
G-60 0,0021 0,641 + 51,7𝜀𝑡 0,486 +0,155
𝑐 𝑑𝑡⁄
En resumen, el coeficiente ϕ considera de manera marcada la ductilidad o no del fallo y la
contribución del hormigón en la capacidad portante de la sección que se evalúa. Observe como
es menor para las solicitaciones donde la resistencia del hormigón ejerce mayor influencia, lo
que sucede en el cortante y la compresión controlada. Además, reconoce indirectamente la
importancia del fallo, al diferenciar el que puede producirse en un elemento en flexión compuesta
41
a tracción controlada del que puede originarse en una columna en flexión compuesta a
compresión controlada, pero también, aunque de forma sutil, prevé la más limitada confiabilidad
de los modelos relacionados con las solicitaciones tangenciales de torsión y cortante, al adoptar
valores menores para tales casos. Sin embargo, este enfoque ignora de modo explícito otros
factores y, sobre todo, la importancia de la obra y la calidad del control, como las reconoce el
coeficiente γs empleado en el Método de los Estados Límites.
2.3. Capítulo 5: Flexión simple. 2.3.1. Fallo por tracción controlada. Profundidad de la línea neutra en la frontera. Como ya se señaló, a la frontera del fallo por tracción controlada corresponde un estado
deformacional último, tal que ε’c = 0,003, mientras que εs = 0,005. La figura 2.6 ilustra las
deformaciones, tensiones y fuerzas en el límite correspondiente a la tracción controlada. Cuando
el acero traccionado alcanza una deformación entre εs = 0,005 y el límite de deformación máxima
εsmax = 0,01, se dice que la sección se encuentra en tracción controlada, y los diseños en flexión
deben encontrarse preferiblemente en esa situación.
Figura 2.6: Ilustración del estado deformacional frontera de la tracción controlada.
El planteamiento de las condiciones de equilibrio conduce a las ecuaciones siguientes:
De la ecuación de fuerzas:
Σ𝐹 = 0
0,85𝑓𝑐´𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑓𝑦𝐴𝑠´ = 𝑓𝑦𝐴𝑠
Dividiendo por bdfc’
0,85𝛽1𝑐𝑡
𝑑+ 𝜔´ = 𝜔
𝜔𝑟𝑎 = 𝜔 − 𝜔´ = 𝜔𝑟 = 0,85𝛽1𝑐𝑡
𝑑 𝜔𝑟𝑎 = 0,85
𝛽1𝑐𝑡
𝑑
𝜔𝑟𝑎 = 0,85𝛽1 ∙ 0,375𝑑𝑡
𝑑= 0,3188𝛽1
𝑑𝑡
𝑑
Y además puede plantearse que:
42
𝜌𝑟𝑎 =𝐴𝑠
𝑏 ∙ 𝑑= 𝜔𝑟𝑎
𝑓𝑐´
𝑓𝑦
En la tabla 2.10 se resumen los valores de ωra y Mra en función del tipo de acero a emplear, si se
sabe que:
𝑀𝑟𝑎 = 𝜔𝑟𝑎(1 − 0,59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑2𝑓𝑐´
Tabla 2.10: Momento específico del hormigón para la frontera del fallo por tracción controlada.
Valor de β1
𝒇𝒄´ ≤ 𝟐𝟖𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ = 𝟑𝟓𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ = 𝟒𝟐𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ = 𝟒𝟗𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ ≥ 𝟓𝟔𝑴𝑷𝒂
0.85 0.80 0.75 0.70 0.65
𝝎𝒓𝒂
𝑑𝑡
𝑑 0.2712 0.2552 0.2393 0.2233 0.2074
𝑴𝒓𝒂
𝒃𝒅𝟐𝒇𝒄´
𝑑𝑡
𝑑 0.2279 0.2169 0.2056 0.1940 0.1821
2.3.2. Cuantía máxima a tracción. El control de la cantidad de refuerzo a tracción en elementos a flexión es la forma de asegurar
secciones con fallos dúctiles. Los requerimientos de ductilidad para alcanzar estructuras con un
buen comportamiento sismo-resistente es una vieja práctica en todas las normativas. En el ACI
318 esto se lograba garantizando que ω – ω’ ≶ 0 ,75ωb, que como se aprecia obligaba a cuantía
menores que la balanceada. Con los cambios ocurridos en el 2002 el ACI 318 – 2014 establece
que la cuantía se controla asegurando que la deformación del acero más traccionado, εs, no
puede ser menor que el valor de 0,004. En la figura 2.7 se muestra de manera comparativa lo
que representa este nuevo enfoque de seguridad del código del ACI.
Figura 2.7: Relación entre la cuantía balanceada y la deformación del refuerzo traccionado
εs
43
En la figura 2.8 pueden evaluarse con claridad las implicaciones que provoca en la seguridad de
secciones a flexión las modificaciones introducidas por el ACI 318-02. Se comparan los factores
de seguridad FS obtenidos por las regulaciones del ACI 318-99 y 318-02 y se ratifican
importantes conclusiones para el diseño:
Si se garantiza que εt ≥ 0,005, entonces ϕ = 0,9 y se alcanzan secciones con un factor de
seguridad global, FS, menor, y por tanto son menos conservadoras y a la vez más
económicas que las obtenidas por las regulaciones del ACI 318:99. Este concepto no
debe confundirse, ya que no se trata de reducir seguridad para ganar en economía, sino
asignar la seguridad necesaria, y no existen dudas al decidir una menor penalización,
cuando se trata de modelar problemas suficientemente conocidos, como es el caso del
predominio de la flexión con suficiente ductilidad.
Figura 2.8: Factor de seguridad global. Análisis comparativo
Si εt = 0,004, entonces ϕ < 0,9. Como el gráfico se obtuvo para el acero G-40 y refuerzo
transversal en forma de estribo, le corresponde un factor de reducción:
𝜙|𝜀𝑠=0.004 = 0,543 + 71,4(0,004) = 0,828
Se aprecia entonces que el FS es semejante al obtenido para el ACI 318:99. Ello brinda
argumentos adicionales a su elección como regulador de la cuantía máxima.
Esta conclusión puede ser mejor comprendida si se observa la figura 2.9, donde se
analiza el FS para secciones con diferentes ductilidades. Para secciones que alcancen
su equilibrio en el límite de resistencia con una profundidad de la línea neutra que
satisfaga la condición c/d > 0,375, se superan los FS establecidos antes, y no son diseños
aconsejables.
Es obvio que buscando diseños en que ϕ = 0,9 se alcanzarán secciones más racionales
que trabajando para la cuantía máxima, es decir, secciones en las que (ω < ωb). Téngase
en cuenta que acotar εt < 0,005 es equivalente a fijar una relación entre la cuantía
mecánica y la cuantía balanceada igual a 0,63 para el acero G60, que es lo que hacía el
Reglamento hasta 1999.
44
Figura 2.9: Factor de seguridad global. Análisis comparativo para el caso en que L/D = 2
2.3.3. Recubrimientos mecánicos aproximados. Un elemento clave para garantizar la adherencia entre el hormigón y el acero son los
recubrimientos y separación de las barras, lo que se estudió en detalles en el capítulo 2. A los
recubrimientos mínimos establecidos por las disposiciones de durabilidad en la NC 250:05, debe
sumarse para obtener el recubrimiento mecánico de las armaduras, el diámetro del estribo y el
del refuerzo principal. Ello provoca que este sea variable. Como simplificación necesaria para
determinar los recubrimientos mecánicos del refuerzo, d’ y ds, se recomiendan los valores
siguientes:
• Para 1 camada 7 cm.
• Para 2 camadas 9 cm.
• Para 3 camadas 11 cm.
2.3.4. Sobre el refuerzo a compresión. Como se dejó establecido en el epígrafe 2.3.2 el criterio de seguridad que se seguirá en los
diseños es garantizar que la sección esté en tracción controlada, es decir que c = 0,375dt o que
εt ≥ 0,005, entonces ϕ = 0,9. Para secciones normalmente peraltadas no se requerirá colocar
refuerzo comprimido para asegurar las condiciones exigidas, pues c < 0,375dt. Sin embargo, esto
no se logra para peraltos pequeños y será imprescindible disponer de acero comprimido como
parte de la resistencia de la sección.
Entonces la frontera entre cuando se requiere o no acero comprimido será la de la tracción
controlada señalada por:
𝑀𝑢 = 𝜙𝑀𝑟𝑎 = 𝜙𝜔𝑟𝑎(1 − 0,59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑2𝑓𝑐´
Finalmente, como resumen, se pueden brindar para el cálculo las recomendaciones siguientes:
1. Si no se requiere refuerzo comprimido por cálculo:
𝑀𝑢 < 𝜙𝑀𝑟𝑎 = 𝜙𝜔𝑟𝑎(1 − 0,59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑2𝑓𝑐´
Lo más económico es que As’ = 0, por lo que se colocará lo requerido por las
especificaciones,
𝐴𝑠′ = 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛
′
2. Si se requiere refuerzo comprimido, por cálculo:
45
𝑀𝑢 > 𝜙𝑀𝑟𝑎
La menor cantidad total de acero se obtendrá para ωr = ωra, con la menor área de refuerzo
a compresión, calculada por:
𝐴𝑠′ ≥
𝑀𝑢𝜙
− 𝑀𝑟𝑎
𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑´)
2.4. Capítulo 6: Esfuerzos cortante en vigas. 2.4.1. Recomendaciones de diseño. El Reglamento ACI 318-14 establece tres condiciones para poder calcular la sección crítica
donde actúa el máximo esfuerzo mayorado de cortante, Vu:
• La reacción en el apoyo, en la dirección de la fuerza cortante aplicada, introduce
compresión en las regiones de los extremos del elemento.
• Las cargas se aplican en la parte superior del elemento o cerca de la parte superior
de este.
• No hay cargas concentradas entre el borde del apoyo y la ubicación de la sección
crítica, la cual está a una distancia d, medida a partir del borde de este.
Estas restricciones se representan en la figura 2.10.
2.4.1.1. Cortante en el apoyo.
Se considera que a una distancia d del apoyo el cortante se trasmite directamente a él, por lo
que no actúa sobre la viga; distintos tipos de apoyo y formas de la carga se muestran en la figura
2.10.
El valor de cortante Vu a considerar en los cálculos es el que actúa a una distancia:
d para hormigón armado.
h/2 para hormigón pretensado.
Debe garantizarse que el refuerzo calculado para este valor de cortante se extienda hasta el
extremo de la viga.
Figura 2.10: Recomendaciones de diseño. Cortante en el apoyo. Sección crítica
46
2.4.1.2. Cortante máximo.
Para evitar el fallo de las bielas a compresión, como se explicó anteriormente, deben
cumplirse las siguientes condiciones:
𝑉𝑠 ≤ 660√𝑓𝑐´𝑏𝑤𝑑 Ó 𝑉𝑠 < 4𝑉𝑐
Lo que puede expresarse como:
𝑉𝑢 < 5𝜙𝑉𝑐
2.4.1.3. Disposiciones respecto al refuerzo longitudinal.
• El refuerzo As se trasladará 3/4d en la dirección más desfavorable para asegurar que
responda a la traslación de los esfuerzos provocados por las grietas de cortante, lo
que puede apreciarse en el gráfico 2.11.
• La armadura As que llegue a los apoyos deberá cumplir:
- As =0,75R/fy, donde R es la reacción de apoyo.
- Un tercio del As para el momento máximo, en apoyos extremos.
- Un cuarto del As para el momento máximo, en apoyos intermedios.
- La mitad del As para el momento máximo, en losas.
2.4.1.4. Disposiciones sobre el refuerzo transversal.
• El espaciamiento máximo a colocar en la viga será:
- 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤𝑑
2
- 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 60𝑐𝑚
Si Vs > 2Vc el espaciamiento anterior se reducirá a la mitad
• Cuando se requiere refuerzo por cálculo, Vu >ϕVc, debe garantizarse que:
𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,062√𝑓𝑐´𝑏𝑤𝑠
𝑓𝑦𝑡 Siempre menor que 0,35
𝑏𝑤𝑠
𝑓𝑦𝑡
La que en plano práctico resulta como:
𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,35𝑏𝑤𝑠
𝑓𝑦𝑡 Para 𝑓𝑐´ ≤ 30𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,062√𝑓𝑐´𝑏𝑤𝑠
𝑓𝑦𝑡 Para 𝑓𝑐´ > 30𝑀𝑃𝑎
Expresada como espaciamiento máximo:
𝑠𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡
0,35𝑏𝑤 Para 𝑓𝑐´ ≤ 30𝑀𝑃𝑎
𝑠𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡
0,062√𝑓𝑐´𝑏𝑤 para 𝑓𝑐´ > 30𝑀𝑃𝑎
47
Figura 2.11: Regla de traslación.
• Ante un cambio brusco de cortante la colocación de los estribos se prolongará un valor
de h/2 con el valor del espaciamiento de esa zona.
• Si h > 1m se colocarán barras longitudinales en los laterales de la sección separadas
como máximo 50cm.
• El diámetro de los estribos no será menor de 3mm ó ¼ del diámetro de la barra
principal.
• No se admitirán diseños con solo barras dobladas. Los estribos deben tomar al menos
el 50% de Vs
• Si Vu < 0,5ϕVc no será necesario colocar refuerzo por cortante.
• Se admite no colocar refuerzo transversal por cortante, obviando las
recomendaciones anteriores, en los siguientes elementos:
- Losas, cimientos, paredes de depósitos y muros
- Vigas en que:
h < 25cm en secciones rectangulares
h < 2,5hf o h < 0.5bw en secciones T
1.4.1.5. Área total de refuerzo. Distribución. Si se tiene en cuenta que los valores de Vu y Vc son variables a lo largo de la viga, también lo
será Vs, y como es natural el espaciamiento de los estribos no será uniforme. Esta situación
puede apreciarse en la figura 2.12, donde se representan las longitudes lr, y el área del gráfico
que se ha de reforzar, Ω y además destacan:
• Cortante resistente, considerando la expresión más detallada, ϕVci.
• Cortante resistente, considerando la expresión simplificada, ϕVc.
• Distancia a reforzar, lr1, para la zona en que se requiere acero transversal por cálculo.
• Distancia a partir de la cual no se requiere colocar refuerzo transversal, lr2.
48
Figura 2.12: Distancia y área a reforzar.
El cálculo de esta área resulta práctico cuando se emplea la expresión simplificada, ya que
permitirá conformar figuras geométricas conocidas y simples, que faciliten obtener estos valores
de forma directa. En la figura 2.13 se muestran las formas más comunes que pueden adoptar
estas áreas que se han de reforzar.
Figura 2.13: Distintas formas del área a reforzar.
El valor de lr es prácticamente el mismo obtenido considerando Vci o Vc por lo que puede
calcularse por la expresión más simple. El problema entonces se reduce al cálculo del área que
se ha de reforzar Ω, y finalmente el área de refuerzo necesario en toda esta zona será:
𝐴𝑣 =Ω
𝜙𝑓𝑦𝑡𝑑
Al final se calculará el número de estribos equivalente a esta área de acero y se distribuirán de
acuerdo con la forma que tenga el área Ω a reforzar y por tanto es como regla variable. Es obvio
que el espaciamiento de todos los estribos no puede ser diferente, por lo que se buscan
soluciones que respondan mejor a las exigencias del constructor, en esta dirección es que se
agrupan varios estribos con el mismo espaciamiento, garantizando que siempre sea segura la
solución. Este procedimiento, que se esquematiza en la figura 2.14, conduce a dividir la zona
que se ha de reforzar en partes iguales y en cada una de ellas a calcular el número de estribos
y el espaciamiento requerido, y parte de determinar el número de zonas en que debe dividirse el
área en lo que la experiencia del proyectista es decisiva.
Entre los procedimientos más empleados pueden señalarse los siguientes:
49
a) Método de los Números Impares.
Como una ayuda a la distribución de los estribos se ha empleado en Cuba el llamado Método
de los Números Impares, consistente en tomar los números impares: 1, 3, 5, 7, etc., hasta
llegar al número total de estribos requeridos. Entonces, el total indica la cantidad de partes
en que debe dividirse el área. Cada parte tendría una cantidad de cercos diferentes en
correspondencia con la división efectuada. Por ejemplo, si se requieren 16 cercos, se suman
1+3+5+7=16, por lo que se emplearán 4 números impares, y estas serán las zonas en que
se subdividirá el área que se ha de reforzar. Finalmente, se colocarán:
7 estribos en la primera porción.
5 estribos en la segunda.
3 estribos en la tercera.
1 estribo en la cuarta porción.
Cabé considerar que el procedimiento resulta solo válido en la medida en que la cantidad de
estribos se acerque a cualquiera de la suma de los números impares, ya que en otros casos
puede provocar soluciones sobrearmadas. Como solución alternativa, recomienda el Método
del Cortante Límite.
Figura 2.14: Distribución de los estribos.
b) Método del Cortante Límite.
El procedimiento consiste en dividir el elemento en tres zonas, como se muestra en la figura
2.15, en función del espaciamiento de los estribos necesario para tomar la fuerza cortante
actuante:
ZONA 1: el espaciamiento de los estribos es menor que el máximo, smax
ZONA 2: el espaciamiento es smax
ZONA 3: no se requiere colocar estribos.
𝐴𝑣1 =𝛺1
𝑓𝑦𝑡𝑑
𝑁º𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 𝑛𝑏𝑒 =𝐴𝑣1
2𝐴𝑏
𝑠1 =𝑎
𝑛𝑏𝑒
50
Figura 2.15: Distribución de los estribos. Método del Cortante Límite.
La frontera entre las zonas 2 y 3 es conocida, la distancia lr2, a partir de la cual Vu < 0,5ϕVc.
La frontera entre las zonas 1 y 2 ocurre cuando el espaciamiento de los estribos requerido
es exactamente el máximo y el aporte del refuerzo transversal es:
𝑉𝑠 =𝜙𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑
𝑠𝑚𝑎𝑥
Entonces se define el término Vux como el valor de cortante externo que marca esta frontera
y puede calcularse como:
𝑉𝑢𝑥 =𝜙𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑
𝑠𝑚𝑎𝑥+ 𝜙𝑉𝑐
Y la distancia a que está situado este valor, llamada lrx, se obtiene por relaciones geométricas
como se representa en la figura 2.15.
𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥
𝑉𝑢)
Donde
Vu valor de cortante en el apoyo
lr distancia del apoyo al punto de momento cero
Entonces puede establecer una metodología de diseño que cuente con los siguientes pasos:
1. Cálculo de lr2, distancia a partir de la cual no se requiere colocar estribos, para la
condición Vu < 0,5ϕVc
𝑙𝑟2 = 𝑙𝑟 (1 −0,5𝜙𝑉𝑐
𝑉𝑢)
2. Cálculo de lrx, distancia a partir de la cual se requiere colocar estribos espaciados a
smax, para la condición Vu =Vux
3. Calcular el espaciamiento requerido para el cortante máximo Vumax
𝑠𝑥 =𝜙𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑
𝑉𝑢 𝑚𝑎𝑥 − 𝜙𝑉𝑐
51
4. Distribución de los estribos
Para vigas grandes o con elevada cantidad de estribos, puede evaluarse subdividir la
primera zona una o dos veces buscando una solución más cercana a los verdaderos
requerimientos de refuerzo transversal.
2.4.2. Diseño por cortante. El diseño de las vigas a cortante es un proceso al que se llega cuando se han cumplido otras
fases de los cálculos estructurales del elemento, es decir, se ha obtenido el refuerzo principal a
flexión, se han chequeado los Estados Límites de Utilización (fisuración y deformación) y
revisado todas las disposiciones constructivas reglamentadas. Por tanto, se manejan los datos
siguientes:
Solicitaciones externas: Mu y Vu.
Dimensiones de la sección transversal y longitudinal.
Resistencia de los materiales: fc’ y fyt.
El acero longitudinal y su distribución: en las secciones transversal y longitudinal.
El proceso de diseño a cortante puede organizarse planteando los pasos siguientes:
1. Cálculo del gráfico de Vu y en la sección crítica.
2. Cálculo del cortante resistente del hormigón: Vc.
3. Cálculo de los espaciamientos máximos y las longitudes que se han de reforzar.
4. Cálculo del área de refuerzo y su distribución.
En la tabla 2.12 se brinda un resumen sobre los procedimientos de diseño de una sección a
cortante. Aunque responde principalmente al método del “Cortante Límite” tiene valor
metodológico para cualquier caso. Para el cálculo del refuerzo mínimo, se diferencian los casos
en que el cortante actuante supere la resistencia del hormigón, (Vu > ϕVc) en este caso el
espaciamiento se calcula por las expresiones de refuerzo mínimo, lo que en la tabla se la llama
“espaciamiento requerido”. Sin embargo, lo más común en vigas de edificios es que este
espaciamiento sea menor que la mitad del peralto efectivo, por lo que predominará la condición
de “espaciamiento máximo” y entonces la solución se simplifica a un solo espaciamiento en toda
la viga d/2 cuando ϕVc < Vu < Vux y a dos, sx, d/2, cuando Vu >Vux.
52
Tabla 2.12: Espaciamientos de los estribos y longitudes a reforzar para diferentes casos
de diseño.
CASOS ESPACIAMIENTO DE LOS ESTRIBOS LONGITUD A REFORZAR
𝑽𝒖 ≤ 𝝓𝑽𝒄
𝟐 NO REQUIERE REFUERZO TRANSVERSAL
𝝓𝑽𝒄
𝟐< 𝑉𝒖 ≤ 𝑽𝒖𝒙
ESPACIAMIENTO MÁXIMO
𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕
𝟎,𝟑𝟓𝒃𝒘 (fc´≤ 30MPa)
𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕
𝟎,𝟎𝟔𝟐√𝒇𝒄´𝒃𝒘 (fc´> 30MPa)
𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟎, 𝟓𝒅
𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟔𝟎𝒄𝒎
𝒍𝒓𝟐 = 𝒍𝒓 (𝟏 −
𝝓𝑽𝒄𝟐
𝑽𝒖)
𝑽𝒖𝒙 < 𝑉𝒖 ≤ 𝟓𝝓𝑽𝒄 𝒔𝒙 =
𝝓𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕
𝑽𝒖𝒎𝒂𝒙 − 𝝓𝑽𝒄 𝒍𝒓𝒙 = 𝒍𝒓 (𝟏 −
𝑽𝒖𝒙
𝑽𝒖)
ESPACIAMIENTO MÁXIMO 𝒍𝒓𝒙𝟏 = 𝒍𝒓𝟐 − 𝒍𝒓𝒙
𝑽𝒖 > 𝟓𝝓𝑽𝒄 LA SECCIÓN DE HORMIGÓN ES INSUFICIENTE,
DEBE INCREMENTARSE
2.5. Capítulo 7: Flexo-compresión. 2.5.1. Seguridad según las disposiciones del ACI. En relación a la flexión compuesta el ACI318-08 establece los siguientes requisitos de seguridad:
𝑃𝑢 ≤ 𝜙𝑃𝑛
𝑀𝑢 = 𝜙𝑃𝑛𝑒𝑜 ≤ 𝜙𝑀𝑛
El factor de reducción de la resistencia 𝜙 para las secciones sometidas a flexión compuesta es
variable y está en función del comportamiento que tenga dicha sección:
Adopta el valor de 𝝓 = 𝟎, 𝟗 si la sección está en tracción controlada, o sea en los que se
cumple que 𝜀𝑡 ≥ 0.005 y 𝑐 ≤ 0375𝑑𝑡, siendo 𝜀𝑡 la deformación del refuerzo más traccionado.
Se asigna el valor de:
𝝓 = 𝟎, 𝟔𝟓 Para columnas transversalmente armadas con estribos.
𝝓 = 𝟎, 𝟕𝟎 Para columnas zunchadas con espirales.
Estos valores se utilizan en los casos en que la sección se sitúe en compresión controlada,
lo que ocurre si 𝜀𝑡 ≤ 𝜀𝑦 y 𝑐 ≥ 𝑐𝑏.
53
La diferencia entre los valores del coeficiente 𝜙 que se fijan para la compresión controlada está
reconociendo el incremento en la capacidad resistente que provoca en la sección el mayor
confinamiento producido por el zunchado del refuerzo transversal, incremento que deriva en una
mayor ductilidad.
Las razones por las cuales los reglamentos fijan valores menores para el factor de reducción de
la resistencia 𝜙 cuando se trata de la compresión controlada, en comparación con el que propone
adoptar para la tracción controlada, se justifica por:
La ductilidad que acompaña a los fallos en tracción controlada, propios de la flexo
compresión con grandes excentricidades, es mucho más ventajosa que la fragilidad
asociada a los fallos en compresión controlada. Estos últimos son generalmente súbitos
y poco deseados.
El fallo de una columna compromete más las prestaciones de una estructura, que el fallo
de una viga.
El peso relativo del hormigón en la capacidad resistente de la sección bajo cargas con
pequeñas excentricidades, es mucho mayor que el que corresponde al flexo compresión
con predominio de la flexión, y es precisamente el hormigón el material sujeto a mayores
variaciones en su calidad. Téngase en cuenta que las afectaciones que produce el
hormigonado de elementos verticales sobre el valor de 𝑓𝑐′, resultan ser mayores.
Cuando el refuerzo menos comprimido 𝐴𝑠 se deforma en el rango de 𝜀𝑦 < 𝜀𝑡 < 0,005,
análogo a asegurar que la línea neutra se sitúe en el intervalo de 0,375𝑑𝑡 < 𝑐 < 𝑐𝑏,
entonces la sección está en la llamada zona de transición y en ella el valor de 𝜙 variará
entre 𝟎, 𝟔𝟓 ó 𝟎, 𝟕𝟎 y 𝟎, 𝟗, permitiéndose una transición lineal en función del aumento de
𝜀𝑠, como se muestra en la figura 2.23.
Otra disposición de seguridad que se introduce en los reglamentos para los casos de flexión
combinada, es considerar excentricidades accidentales para las cargas actuantes debido a
imprecisiones constructivas inevitables, y a la propia incertidumbre que acompaña la definición
exacta de la posición de las cargas. Esta disposición provoca que los casos de compresión y
tracción axial queden prácticamente proscritos por los reglamentos. Para cumplir con este
requerimiento se crea un coeficiente 𝛼 que limita el valor máximo de 𝑃𝑢 a:
𝜙𝑃𝑢 = 𝛼𝜙𝑃𝑜
Siendo 𝑃𝑜 la carga nominal que corresponde a la compresión axial (𝑒𝑜 = 0) y 𝛼 un coeficiente que
toma en consideración, indirectamente, la reducción de esta capacidad debido a la excentricidad
accidental:
𝑃𝑜 = 0,85𝑓𝑐′𝑏ℎ + (𝐴𝑠′ + 𝐴𝑠)𝑓𝑦
𝛼: {0,80 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
0,85 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑧𝑢𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎𝑠
El efecto de este criterio de seguridad sobre la capacidad portante de la sección se puede
apreciar en el diagrama de interacción que se muestra en la figura 2.16.
54
Ayudas gráficas. Como se demostró en del libro de hormigón armado de juan José Hernández santana, 2011,
resulta relativamente sencilla la confección de Diagramas de Interacción para la comprobación
de columnas, las que también pueden emplearse en el diseño. Sin embargo, desde hace
décadas están disponibles ábacos para la solución de la flexión compuesta basada en los
Diagramas de Interacción, que permiten los cálculos de una manera rápida, sencilla y confiable.
Estos ábacos dependen de:
Calidad del refuerzo, por lo general se construyen para el G – 40 y G – 60.
Resistencia del hormigón, pues cuando 𝑓𝑐′ > 30𝑀𝑃𝑎 el coeficiente 𝛽1 es variable y menor
que 0,85.
Valor del recubrimiento del refuerzo, variable que puede aparecer como las relaciones 𝑑−𝑑′
𝑑 ,
𝑑′
𝑑, etc.
Tipo de sección: rectangular, cajón, circular o anular.
Distribución del refuerzo: en caras opuestas, en todos los bordes.
+
Figura 2.16: Diagrama de interacción para la resistencia nominal y de cálculo.
En los anexos se incluyen los ábacos para resolver un número apreciable de estos casos. Están
construidos a partir de las ecuaciones para las cargas y momentos últimos de la sección (𝑃𝑢 y
𝑀𝑢) en base a los siguientes términos adimensionales:
Para secciones rectangulares
𝜐 =𝑃𝑢
𝑏ℎ𝑓𝑐′=
𝜙𝑃𝑛
𝑏ℎ𝑓𝑐′ 𝜇 =
𝑀𝑢
𝑏ℎ2𝑓𝑐′=
𝜙𝑀𝑛
𝑏ℎ2𝑓𝑐′ 𝜔𝑡 =
𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦
𝑏ℎ𝑓𝑐′
Para secciones circulares y anulares.
55
𝜐 =𝑃𝑢
𝐷2𝑓𝑐′=
𝜙𝑃𝑛
𝐷2𝑓𝑐′ 𝜇 =
𝑀𝑢
𝐷3𝑓𝑐′=
𝜙𝑀𝑛
𝐷3𝑓𝑐′ 𝜔𝑡 =
4𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦
𝜋𝐷2𝑓𝑐′
Donde 𝐴𝑠𝑡 es el área total de refuerzo en la sección
El empleo de estas gráficas para una comprobación se realiza a través del siguiente
procedimiento.
a) Calculo de 𝜔𝑡.
b) Selección del gráfico tomando en cuenta a: 𝑑′
𝑑, el tipo de sección, de acero y la distribución
del esfuerzo.
c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a las solicitaciones externas (𝜇, 𝜐)
d) La sección resiste siempre que el par ordenado esté en el interior de la curva
correspondiente a valor de 𝜔𝑡 de la sección.
En el caso del diseño y para la situación más probable, con las dimensiones de la sección
determinadas, se procede:
a) Seleccionar el grafico en función de: tipo de sección, 𝑑′
𝑑, tipo de acero y de distribución
del refuerzo.
b) Calculo de 𝜐 y 𝜇.
c) Plotear en el ábaco el par ordenado (𝜇, 𝜐)
d) Escoger el valor de 𝜔𝑡 que se corresponde con la curva que satisface los requerimientos
de resistencia
e) Calcular
𝐴𝑠𝑡 = 𝜔𝑡𝑏𝑑𝑓𝑐′
𝑓𝑦 Para sección rectangular.
𝐴𝑠𝑡 = 𝜔𝑡𝜋𝐷2𝑓𝑐′
4𝑓𝑦 Para sección circular.
2.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. 2.6.1. Método directo de redistribución. Coeficientes plásticos para losas en una
dirección.
Como una simplificación en el diseño de vigas continuas y losas en una dirección se brindan al
proyectista coeficientes para el cálculo de las solicitaciones que admiten un cierto grado de
redistribuciones de momento. Se admite su aplicación siempre que existan:
• Elementos prismáticos.
• Elementos continuos de dos o más luces.
• Luces iguales o al menos con una diferencia entre luces adyacentes no mayor del 20 %.
• Cargas uniformemente distribuidas.
• La carga viva no debe exceder en tres veces la carga muerta.
Estos coeficientes se pueden aprecian en la tabla 2.13 y las figura 2.23 y 2.24
56
Tabla 2.13: Coeficientes plásticos para vigas continúas.
MOMENTO POSITIVO
LUCES EXTERIORES
- Si el extremo discontinuo no está restringido
- Si el extremo discontinuo se construye integral con el apoyo
𝑞𝑢𝑙𝑛2
11
𝑞𝑢𝑙𝑛2
14
LUCES INTERIORES 𝑞𝑢𝑙𝑛2
16
MOMENTO NEGATIVO
APOYOS EXTERIORES
Cuando el apoyo del elemento que se analiza no ofrece restricción al giro:
Cuando el elemento que se analiza se construye integralmente con el que le
sirve de apoyo:
- Cuando el apoyo es una viga de borde o una viga principal
- Cuando el apoyo es una columna
0
𝑞𝑢𝑙𝑛2
24
𝑞𝑢𝑙𝑛2
16
APOYOS INTERIORES
En la cara exterior del primer apoyo interior
- Dos Luces
- Más de dos Luces
En otras caras de apoyos interiores
𝑞𝑢𝑙𝑛2
9
𝑞𝑢𝑙𝑛2
10
𝑞𝑢𝑙𝑛2
11
Figura: 2.17: Coeficientes de redistribución para el caso de vigas de dos claros.
57
Figura 2.18: Coeficientes de redistribución para el caso de vigas de tres o más claros.
2.6.2. Losas en dos direcciones. Método de los coeficientes de Marcus. Para el cálculo de las solicitaciones en losas en dos direcciones las principales normativas
establecen la utilización del Método de Diseño Directo (MDD) y el Método del Pórtico Equivalente
(MPE). En el caso de losas de escasa complejidad estructural puede admitirse el empleo de los
otros métodos que se describen en la literatura, basados algunos de ellos en coeficientes que
permiten determinar los esfuerzos interiores que tienen lugar en la losa (flexión y cortante), el
corrimiento o flecha que originan las cargas en este elemento, y además sus reacciones a lo
largo de los bordes apoyados.
La mayoría de los Reglamentos para el cálculo estructural referidos al análisis de losas en dos
direcciones mencionan lo siguiente: “…Se permite diseñar un sistema de losas mediante
cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad
geométrica, si se demuestra que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos
igual a la resistencia requerida, y se cumplen todas las condiciones de funcionamiento
incluyendo los límites especificados para las deflexiones!”. Así lo establece el Artículo
13.5.1 de ACI 318:2008 y se espera lo reconozca el Artículo 22.5.1 del Reglamento cubano.
A continuación, se expone uno de los métodos que se apoyan en el empleo de coeficientes para
evaluar las variables del cálculo y diseño estructural de losas en dos direcciones, se trata del
Método de Marcus, aun de uso muy extendido en Europa y Norteamérica.
2.6.3. Limitaciones del método de Marcus.
58
El método es solo aplicable a paneles de losas rectangulares con una rectangularidad inferior a
dos y apoyados linealmente en sus cuatro bordes mediante muros o vigas relativamente
peraltadas y rígidas. Las cargas deben ser uniformemente distribuidas en toda la superficie del
panel, por eso el método se aplica básicamente para la combinación de carga muerta (𝐷) y viva
(𝐿). Puede tratarse de un panel aislado, poco frecuente en los diseños conceptuales de las losas
estructurales, como también a la combinación de varios de ellos en las dos direcciones, sin que
se restrinja la cantidad que se desarrolla en cada dirección. La figura 2.25 ilustra algunas de las
muy diversas situaciones que pueden ser analizadas mediante este método, y obsérvese que la
única restricción es que todos los paneles sean rectangulares y se encuentren apoyados en sus
cuatro bordes, condicionando la rectangularidad de dichos paneles a valores inferiores a dos.
Figura 2.19: Planta de dos soluciones de losas apoyadas sobre vigas.
La losa independiente representada en la figura 2.25a se encuentra simplemente apoyada en
sus cuatro bordes, mientras que en la figura 2.25b se ilustra una situación más real en la que se
combinan varios paneles de losas que presentan diferentes condiciones de apoyo:
El Panel B posee dos bordes simplemente apoyados y otros dos continuos, uno corto y otro
largo.
El Panel C posee solo un borde discontinuo o simplemente apoyado, en este caso un borde
corto, mientras los tres restantes son continuos con paneles vecinos.
El Panel D posee sus cuatro bordes continuos.
El Panel E posee solo un borde continuo (corto) y los tres restantes simplemente apoyados.
En realidad, pueden llegar a existir nueve condiciones diferentes de apoyo para cada panel, y
para cada una de ellas el método ofrece coeficientes que permiten evaluar de manera directa las
variables que luego intervienen en el diseño de la losa, a partir de diferentes rectangularidades
que puede presentar el panel. En la figura 2.26 se indican los nueve casos que refieren las tablas
del método, correspondiendo cada uno a las posibles condiciones de borde o apoyo que puede
presentar el panel.
59
Figura 2.20: Descripción de las nueve condiciones de apoyo del Método de Marcus.
2.6.4. Solución mediante el método de Marcus. El método divide en franjas cada panel en sus dos direcciones, y lo hace definiendo una franja
central de ancho igual a la mitad de la luz en la dirección en que se realiza el análisis, y dos
franjas de bordes cada una de un ancho igual a la cuarta parte de dicha luz, como se observa en
la figura 2.21. En ambas direcciones los momentos flectores son máximos en la franja central y
los coeficientes que ofrece el método se refieren precisamente a los esfuerzos que tienen lugar
en esta franja, reconociéndose que hacia las franjas de borde el momento disminuye y se
considera que llega a ser en el extremo de estas franjas igual a 1/3 del valor que corresponde al
centro de la franja central.
Figura 2.21: Variación del momento entre la franja central y las franjas de borde para un
panel aislado con sus cuatro bordes discontinuos o simplemente apoyados.
60
Los momentos en el punto medio de las franjas centrales que se desarrollan en las dos
direcciones del panel, se evalúan mediante las siguientes expresiones:
𝑀𝑎 = 𝐶𝑎𝑤𝑙𝑎2
𝑀𝑏 = 𝐶𝑏𝑤𝑙𝑏2
Siendo:
𝑙𝑎 , 𝑙𝑏: Longitud de las luces libres en las direcciones corta y larga, respectivamente.
𝐶𝑎 , 𝐶𝑏: Coeficientes de momento tabulados por el método, lo mismo para momentos
negativos que positivos.
𝑤: Carga uniformemente distribuida en una banda de ancho unitario de la franja central
(𝒃 = 𝟏, 𝟎𝒎) (𝐹𝐿−1)
𝑀𝑎 , 𝑀𝑏: Momento flector en el punto medio de la franja central paralela al lado largo (𝑙𝑏) y
corto (𝑙𝑎), respectivamente. Estos momentos corresponden a una banda de ancho
unitario (𝒃 = 𝟏, 𝟎𝒎) de la franja central en cada dirección.
En teoría el espaciamiento del acero no es uniforme tan siquiera en ninguna de las dos
direcciones del panel. Por ejemplo, si se deseara diseñar el refuerzo paralelo a la luz corta 𝑙𝑎 del
panel que se ilustra en la figura 2.27, existirá un espaciamiento calculado para el momento 𝑀𝑎
que resulta uniforme en la longitud 𝑙𝑏 2⁄ (ancho de la franja central del panel paralela a la dirección
que se está analizando), mientras que en las franjas de borde de ancho 𝑙𝑏 4⁄ el espaciamiento
será mayor pues se determinaría para el momento 𝑀𝑎 3⁄ (ver figura 2.27a). Un análisis semejante
se debe realizar para el diseño del refuerzo paralelo a la luz larga 𝑙𝑏 (ver figura 2.27b).
Sin embargo, cuando se trate de paneles que presentan bordes continuos, sobre los apoyos que
corresponden a estos bordes se originan momentos negativos como mismo sucede en las vigas
continuas. El método ofrece también coeficientes para evaluar estos momentos negativos
(tabla 2.14), considerando preferentemente en la evaluación de los mismos la magnitud total de
la carga gravitatoria para la combinación pésima.
En teoría sobre un borde discontinuo (simplemente apoyado) no debería existir momento
negativo, pero lo cierto es que la rigidez torsional de las vigas de borde, de existir estas, imponen
un grado de restricción al giro que no debe ser ignorada, por eso se debe considerar que sobre
este tipo de apoyo exista también un momento negativo igual a 1/3 del momento positivo que
corresponde a la franja central que se analiza.
El tratamiento de los momentos positivos posee una singularidad en este método debido a la
siguiente reflexión: cuando actúa la carga muerta 𝑫, su carácter permanente hace que su
magnitud, posición y sentido sea generalmente igual en todos los paneles, y se debe esperar
que la rotación que origina esta carga sobre un apoyo intermedio a dos paneles adyacentes sea
muy pequeña o incluso nula, debido a que en la práctica las luces de todos los paneles son igual
o difieren muy poco. Este análisis no puede ser el mismo para la carga viva 𝑳 puesto que el
carácter temporal de esta segunda carga puede justificar que en algunos tipos de estructuras
ella se encuentre actuando sobre un panel dado y no hacerlo en los adyacentes. Por esa razón
61
el método ofrece la valiosa oportunidad de considerar que la carga viva actúe solo en el panel
que se está analizando y no en los adyacentes, escenario que se convierte en la situación más
desfavorable para dicho panel por la descompensación de los giros alrededor del apoyo
intermedio, y en consecuencia el incremento del momento positivo en él. Esta reflexión es la que
justifica que el método ofrezca dos tablas diferentes para evaluar los momentos positivos, una
para la carga muerta (tabla 2.15), y otra para la carga viva (tabla 2.16).
Finalmente el método ofrece una cuarta tabla (tabla 2.17) que define los coeficientes para evaluar
la fracción de la carga total 𝑤 que se trasmite en ambas direcciones de cada panel. Esta última
información resulta de mucho interés para determinar el cortante en la losa, la deflexión (flecha)
del panel y también sus reacciones de apoyo, que se convierten en la carga que debe ser luego
considerada para el diseño de las vigas. A continuación, se indican las tablas que permiten
trabajar con este método.
Tabla 2.14: Coeficientes de Marcus para evaluar momentos negativos en la franja central
sobre apoyos continuos en losas en dos direcciones.
𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄
Coeficiente
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO 4
CASO 5
CASO 6
CASO 7
CASO 8
CASO 9
1,00 𝑪𝒂
− - 0,045 - 0,050 0,075 0,071 - 0,033 0,061
𝑪𝒃− - 0,045 0,076 0,050 - - 0,071 0,061 0,033
0,95 𝑪𝒂
− - 0,050 - 0,055 0,079 0,075 - 0,038 0,065
𝑪𝒃− - 0,041 0,072 0,045 - - 0,067 0,056 0,029
0,90 𝑪𝒂
− - 0,055 - 0,060 0,080 0,079 - 0,043 0,068
𝑪𝒃− - 0,037 0,070 0,040 - - 0,062 0,052 0,025
0,85 𝑪𝒂
− - 0,060 - 0,066 0,082 0,083 - 0,049 0,072
𝑪𝒃− - 0,031 0,065 0,034 - - 0,057 0,046 0,021
0,80 𝑪𝒂
− - 0,065 - 0,071 0,083 0,086 - 0,055 0,075
𝑪𝒃− - 0,027 0,061 0,029 - - 0,051 0,041 0,017
0,75 𝑪𝒂
− - 0,069 - 0,076 0,085 0,088 - 0,061 0,078
𝑪𝒃− - 0,022 0,056 0,024 - - 0,044 0,036 0,014
0,70 𝑪𝒂
− - 0,074 - 0,081 0,086 0,091 - 0,068 0,081
𝑪𝒃− - 0,017 0,050 0,019 - - 0,038 0,029 0,011
0,65 𝑪𝒂
− - 0,077 - 0,085 0,087 0,093 - 0,074 0,083
𝑪𝒃− - 0,014 0,043 0,015 - - 0,031 0,024 0,008
0,60 𝑪𝒂
− - 0,081 - 0,089 0,088 0,095 - 0,080 0,085
𝑪𝒃− - 0,010 0,035 0,011 - - 0,024 0,018 0,006
0,55 𝑪𝒂
− - 0,084 - 0,092 0,089 0,096 - 0,085 0,086
𝑪𝒃− - 0,007 0,028 0,008 - - 0,019 0,014 0,005
0,50 𝑪𝒂
− - 0,086 - 0,094 0,090 0,097 - 0,089 0,088
𝑪𝒃− - 0,006 0,022 0,006 - - 0,014 0,010 0,003
EXPRESIONES 𝑀𝑎
− = 𝐶𝑎−(𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑎
2
𝑀𝑏− = 𝐶𝑏
−(𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑏2
𝒘= 𝑫 + 𝑳 (𝒌𝑵 𝒎𝟐⁄ )
62
Tabla 2.15: Coeficientes de Marcus para evaluar momentos positivos en la franja central
debidos a carga muerta en losas en dos direcciones.
𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄
Coeficiente
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO 4
CASO 5
CASO 6
CASO 7
CASO 8
CASO 9
1,00 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,036 0,018 0,018 0,027 0,027 0,033 0,027 0.02 0,023
𝑪𝒃−𝑫+ 0,036 0,018 0,027 0,027 0,018 0,027 0,033 0.023 0,020
0,95 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,040 0,020 0,021 0,030 0,028 0,036 0,031 0,022 0,024
𝑪𝒃−𝑫+ 0,033 0,016 0,025 0,024 0,015 0,024 0,031 0,021 0,017
0,90 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,045 0,022 0,025 0,033 0,029 0,039 0,035 0,025 0,026
𝑪𝒃−𝑫+ 0,029 0,014 0,024 0,022 0,013 0,021 0,028 0,019 0,015
0,85 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,050 0,024 0,029 0,036 0,031 0,042 0,040 0,029 0,028
𝑪𝒃−𝑫+ 0,026 0,012 0,022 0,019 0,011 0,017 0,025 0,017 0,013
0,80 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,056 0,026 0,034 0,039 0,032 0,045 0,045 0,032 0,029
𝑪𝒃−𝑫+ 0,023 0,011 0,020 0,016 0,009 0,015 0,022 0,015 0,010
0,75 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,061 0,028 0,040 0,043 0,033 0,048 0,051 0,036 0,031
𝑪𝒃−𝑫+ 0,019 0,009 0,018 0,013 0,007 0,012 0,020 0,013 0,007
0,70 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,068 0,030 0,046 0,046 0,035 0,051 0,058 0,040 0,033
𝑪𝒃−𝑫+ 0,016 0,007 0,016 0,011 0,005 0,009 0,017 0,011 0,006
0,65 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,074 0,032 0,054 0,050 0,036 0,054 0,065 0,044 0,034
𝑪𝒃−𝑫+ 0,013 0,006 0,014 0,009 0,004 0,007 0,014 0,009 0,005
0,60 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,081 0,034 0,062 0,053 0,037 0,056 0,073 0,048 0,036
𝑪𝒃−𝑫+ 0,010 0,004 0,011 0,007 0,003 0,006 0,012 0,007 0,004
0,55 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,088 0,035 0,071 0,056 0,038 0,058 0,081 0,052 0,037
𝑪𝒃−𝑫+ 0,008 0,003 0,009 0,005 0,002 0,004 0,009 0,005 0,003
0,50 𝑪𝒂−𝑫
+ 0,095 0,037 0,080 0,059 0,039 0,061 0,089 0,056 0,038
𝑪𝒃−𝑫+ 0,006 0,002 0,007 0,004 0,001 0,003 0,007 0,004 0,002
EXPRESIONES
𝑀𝑎−𝐷+ = 𝐶𝑎−𝐷
+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑎2
𝑀𝑏−𝐷+ = 𝐶𝑏−𝐷
+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑏2
𝑤 = 𝐷 (𝑘𝑁 𝑚2⁄ )
63
Tabla 2.16: Coeficientes de Marcus para evaluar momentos positivos en la franja central
debidos a carga viva en losas en dos direcciones.
𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄
Coeficiente
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO 4
CASO 5
CASO 6
CASO 7
CASO 8
CASO 9
1,00 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,036 0,027 0,027 0,032 0,032 0,035 0,032 0,028 0,030
𝑪𝒃−𝑳+ 0,036 0,027 0,032 0,032 0,027 0,032 0,035 0,030 0,028
0,95 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,040 0,030 0,031 0,035 0,034 0,038 0,036 0,031 0,032
𝑪𝒃−𝑳+ 0,033 0,025 0,029 0,029 0,024 0,029 0,032 0,027 0,025
0,90 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,045 0,034 0,035 0,039 0,037 0,042 0,040 0,035 0,036
𝑪𝒃−𝑳+ 0,029 0,022 0,027 0,026 0,021 0,025 0,029 0,024 0,022
0,85 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,050 0,037 0,040 0,043 0,041 0,046 0,045 0,040 0,039
𝑪𝒃−𝑳+ 0,026 0,019 0,024 0,023 0,019 0,022 0,026 0,022 0,020
0,80 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,056 0,041 0,045 0,048 0,044 0,051 0,051 0,044 0,042
𝑪𝒃−𝑳+ 0,023 0,017 0,022 0,020 0,016 0,019 0,023 0,019 0,017
0,75 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,061 0,045 0,051 0,052 0,047 0,055 0,056 0,049 0,046
𝑪𝒃−𝑳+ 0,019 0,014 0,019 0,016 0,013 0,016 0,020 0,016 0,013
0,70 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,068 0,049 0,057 0,057 0,051 0,060 0,063 0,054 0,050
𝑪𝒃−𝑳+ 0,016 0,012 0,016 0,014 0,011 0,013 0,017 0,014 0,011
0,65 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,074 0,053 0,064 0,062 0,055 0,064 0,070 0,059 0,054
𝑪𝒃−𝑳+ 0,013 0,010 0,014 0,011 0,009 0,010 0,014 0,011 0,009
0,60 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,081 0,058 0,071 0,067 0,059 0,068 0,077 0,065 0,059
𝑪𝒃−𝑳+ 0,010 0,007 0,011 0,009 0,007 0,008 0,011 0,009 0,007
0,55 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,088 0,062 0,080 0,072 0,063 0,073 0,085 0,070 0,063
𝑪𝒃−𝑳+ 0,008 0,006 0,009 0,007 0,005 0,006 0,009 0,007 0,006
0,50 𝑪𝒂−𝑳
+ 0,095 0,066 0,088 0,077 0,067 0,078 0,092 0,076 0,067
𝑪𝒃−𝑳+ 0,006 0,004 0,007 0,005 0,004 0,005 0,007 0,005 0,004
EXPRESIONES
𝑀𝑎−𝐿+ = 𝐶𝑎−𝐿
+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑎2
𝑀𝑏−𝐿+ = 𝐶𝑏−𝐿
+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑏2
𝒘 = 𝑳 (𝒌𝑵 𝒎𝟐⁄ )
64
Tabla 2.17: Coeficientes de Marcus para evaluar la fracción de la carga 𝒘 que se reparte
en ambas direcciones para evaluar el cortante en la losa y las reacciones en sus apoyos.
𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄
Coeficiente
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO 4
CASO 5
CASO 6
CASO 7
CASO 8
CASO 9
1,00 𝑾𝒂 0,50 0,50 0,17 0,50 0,83 0,71 0,29 0,33 0,67
𝑾𝒃 0,50 0,50 0,83 0,50 0,17 0,29 0,71 0,67 0,33
0,95 𝑾𝒂 0,55 0,55 0,20 0,55 0,86 0,75 0,33 0,38 0,71
𝑾𝒃 0,45 0,45 0,80 0,45 0,14 0,25 0,67 0,62 0,29
0,90 𝑾𝒂 0,60 0,60 0,23 0,60 0,88 0,79 0,38 0,43 0,75
𝑾𝒃 0,40 0,40 0,77 0,40 0,12 0,21 0,62 0,57 0,25
0,85 𝑾𝒂 0,66 0,66 0,28 0,66 0,90 0,83 0,43 0,49 0,79
𝑾𝒃 0,34 0,34 0,72 0,34 0,10 0,17 0,57 0,51 0,21
0,80 𝑾𝒂 0,71 0,71 0,33 0,71 0,92 0,86 0,49 0,55 0,83
𝑾𝒃 0,29 0,29 0,67 0,29 0,08 0,14 0,51 0,45 0,17
0,75 𝑾𝒂 0,76 0,76 0,39 0,76 0,94 0,88 0,56 0,61 0,86
𝑾𝒃 0,24 0,24 0,61 0,24 0,06 0,12 0,44 0,39 0,14
0,70 𝑾𝒂 0,81 0,81 0,45 0,81 0,95 0,91 0,62 0,68 0,89
𝑾𝒃 0,19 0,19 0,55 0,19 0,05 0,09 0,38 0,32 0,11
0,65 𝑾𝒂 0,85 0,85 0,53 0,85 0,96 0,93 0,69 0,74 0,92
𝑾𝒃 0,15 0,15 0,47 0,15 0,04 0,07 0,31 0,26 0,08
0,60 𝑾𝒂 0,89 0,89 0,61 0,89 0,97 0,95 0,76 0,80 0,94
𝑾𝒃 0,11 0,11 0,39 0,11 0,03 0,05 0,24 0,20 0,06
0,55 𝑾𝒂 0,92 0,92 0,69 0,92 0,98 0,96 0,81 0,85 0,95
𝑾𝒃 0,08 0,08 0,31 0,08 0,02 0,04 0,19 0,15 0,05
0,50 𝑾𝒂 0,94 0,94 0,76 0,94 0,99 0,97 0,86 0,89 0,97
𝑾𝒃 0,06 0,06 0,24 0,06 0,01 0,03 0,14 0,11 0,03
EXPRESIONES 𝑤𝑎 = 𝑊𝑎 ∙ 𝑤
𝑤𝑏 = 𝑊𝑏 ∙ 𝑤
𝒘= 𝑫 + 𝑳 (𝒌𝑵 𝒎𝟐⁄ )
65
2.7. Capítulo 9: Estados Límites de Utilización. 2.7.1. Comportamiento de la sección bajo cargas de servicio. En la curva de comportamiento M vs φ, figura 2.17, se aprecia claramente la trayectoria de
resistencia – deformación de una sección a flexión.
Figura 2.22: Curva de comportamiento en vigas.
En dicha curva se diferencian claramente dos ETAPAS de análisis.
Etapa de rotura: Mn vs φn
Valores que caracterizan el agotamiento, en los que se diseña la sección para resistir la
combinación de carga más desfavorable Mu < ϕMn
Etapa de servicio:
Es la etapa de “funcionamiento” de la viga, por lo que para el momento de servicio M =
Mk, etapa en la cual debe garantizarse que el elemento no se agriete ni se deforme más
allá de valores permisibles. Esto es lo que se llama el chequeo de los Estados Límites de
Utilización: de Fisuración, de Deformación, de Durabilidad, etc. El valor de momento Mk
se calcula con las cargas de servicio, sin mayorar, es decir que: Mk = γf M, donde γf = 1
En la etapa de funcionamiento el momento que provoca la fisuración de la sección (Mcr) resulta
una frontera en la valoración del comportamiento. Si Mk ≤ Mcr la sección no se fisura y aporta en
su totalidad, en la curva de comportamiento puede apreciarse como este punto marca una
frontera en el comportamiento de la sección. En las vigas comunes de hormigón armado, cuando
se alcanza el valor de Mk ya la sección se fisuró, pues ocurre que Mk > Mcr.
Por tanto, podrá establecerse dos zonas
• Mk ≤ Mcr sección no fisurada
• Mk > Mcr sección fisurada
Ha sido confirmado de manera fehaciente tanto teórica, como experimentalmente, que en el hor-
migón armado bajo cargas de servicio este tiene un comportamiento que puede admitirse como
elástico, por lo que a continuación se desarrollan las ecuaciones que rigen tal hipótesis.
2.7.2. Momento de fisuración. En las seciones de hormigón armado el cálculo del Mcr tiene en esencia una importancia
referencial, pues como regla estas se fisuran para cargas relativamente bajas. Considerando un
66
diagrama lineal fc vs ε’c, se muestra en la figura 2.18 los diagramas deformacionales y tensiónales
para la actuación del momento de fisuración Mcr y entonces aplicando Navier.
𝑓𝑟 =𝑀𝑐𝑟
𝑊´=
𝑀𝑐𝑟
𝐼𝑣´
Figura 2.23: Momento de fisuración en sección con comportamiento elástico.
Donde:
fr máxima tensión a tracción del hormigón a flexión
𝑓𝑟 = 0,62√𝑓𝑐´
𝑊´ =𝐼
𝑣′ Módulo de la sección
Para tomar en cuenta el aporte del refuerzo colocado en la sección se calcula la SECCIÓN
TRANSFORMADA, lo que se ilustra en la figura 2.19
Figura 2.24: Sección transformada
Las áreas transformadas de acero a hormigón se obtienen por:
𝐴𝑒𝑓𝑐 = 𝐴𝑠𝑓𝑠
𝐴𝑒𝜀𝑐´𝐸𝑐 = 𝐴𝑠𝜀𝑠𝐸𝑠
67
Y como para cualquier punto considerado en la sección ε’c = εs
𝐴𝑒 = 𝐴𝑠
𝐸𝑠
𝐸𝑐= 𝐴𝑠𝑛
Donde 𝑛 =𝐸𝑠
𝐸𝑐 es el módulo de equivalencia
Entonces:
Ah Área hormigón + Área transformada del acero
𝐴ℎ = 𝐴𝑔 + 𝑛𝐴𝑠 + 𝑛𝐴𝑠´ = 𝑏ℎ + 𝑛(𝐴𝑠 + 𝐴𝑠´)
Y si se considera el área de hormigón desplazada por el refuerzo:
𝐴ℎ = 𝑏ℎ + (𝑛 − 1)(𝐴𝑠 + 𝐴𝑠´)
Para obtener la posición del centroide de la sección transformada, v’, se calcula el momento
estático respecto al borde inferior:
𝑆ℎ =𝑏ℎ2
2+ (𝑛 − 1)𝐴𝑠𝑑𝑠 + (𝑛 − 1)𝐴𝑠´(ℎ − 𝑑´)
𝑣′ =𝑆ℎ
𝐴ℎ
Y finalmente para calcular el momento de inercia de la sección transformada, se divide la sección
en partes y se trabaja con la expresión:
𝐼ℎ = ∑ (𝐼𝑜𝑖 + 𝐴𝑖 𝑦𝑖2n
i=1 )
Donde:
Ih Momento de inercia total de la sección transformada respecto a su
centroide
Ioi Momento de inercia de cada parte de la sección respecto a su centroide
Ai Área de cada parte de la sección
yi Distancia del centroide de cada área hasta el centroide de la sección
Para una sección rectangular, despreciando las inercias de los aceros respecto a su propio
centroide:
𝐼ℎ =𝑏ℎ3
12+ 𝑏ℎ (𝑣′ −
ℎ
2)
2
+ (𝑛 − 1)𝐴𝑠(𝑣′ − 𝑑𝑠)2 + (𝑛 − 1)𝐴𝑠´(ℎ − 𝑑´ − 𝑣′)2
Entonces para el cálculo definitivo del Mcr, tomando en cuenta la sección transformada
𝑀𝑐𝑟 =𝑓𝑟
𝑣′𝐼ℎ
68
2.7.3. Sección fisurada. Cuando Mk > Mcr la sección está fisurada pero aún no ha entrado en la fase de agotamiento,
siendo la etapa más común de la vida de una viga. Analizando para el momento de servicio Mk
el comportamiento de la sección bajo régimen elástico y con apoyo de la figura 2.20, se
desarrollan las ecuaciones básicas del comportamiento de la sección. Note que se llama x a la
posición de la línea neutra, para diferenciarla de c, valor de esta cuando está sometida a Mu, en
el agotamiento.
Figura 2.25: Sección fisurada.
Σ𝐹 = 0 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇𝑠
1
2𝑓𝑐𝑏𝑥 + 𝐴𝑠
′ 𝑓𝑠´ = 𝐴𝑠𝑓𝑠
Donde:
𝑓𝑐 = 𝜀𝑐´𝐸𝑐 𝑓𝑠´ = 𝜀𝑠´𝐸𝑐 𝑓𝑐 = 𝜀𝑠𝐸𝑠
Y por las ecuaciones de compatibilidad
𝜀𝑐´
𝑥=
𝜀𝑠´
𝑥 − 𝑑´=
𝜀𝑠
𝑑 − 𝑥
Sustituyendo en la ecuación de fuerzas
1
2𝜀𝑐´𝐸𝑐𝑏𝑥 + 𝐴𝑠
′ 𝜀𝑐´𝐸𝑠
𝑥 − 𝑑´
𝑥= 𝐴𝑠𝜀𝑐´𝐸𝑠
𝑑 − 𝑥
𝑥
Como 𝑛 =𝐸𝑠
𝐸𝑐 y considerando el área de hormigón desplazado por el refuerzo comprimido, para
calcular 𝑥 se resuelve la ecuación.
1
2𝑏𝑥2 + [𝑛𝐴𝑠 + (𝑛 − 1)𝐴𝑠
′ ]𝑥 − 𝑛𝐴𝑠𝑑 − (𝑛 − 1)𝐴𝑠′ 𝑑´ = 0
La conclusión del problema se logra calculando εs y el resto de las deformaciones, trabajando en
la ecuación de momentos respecto a As.
𝑀𝑘 =1
2𝑓𝑐𝑏𝑥 (𝑑 −
𝑥
3) + 𝐴𝑠
′ 𝑓𝑠´(𝑑 − 𝑑´)
O preferiblemente respecto a la resultante del hormigón Cc
69
𝑀𝑘 = 𝐴𝑠𝑓𝑠 (𝑑 −𝑥
3) + 𝐴𝑠
′ 𝑓𝑠´ (𝑥
3− 𝑑´)
Y como de la ecuación de compatibilidad
𝜀𝑠´
𝑥 − 𝑑´=
𝜀𝑠
𝑑 − 𝑥
Finalmente:
𝑀𝑘 = 𝐴𝑠𝜀𝑠𝐸𝑠 (𝑑 −𝑥
3) + 𝐴𝑠
′ 𝜀𝑠𝐸𝑠
𝑥 − 𝑑´
𝑑 − 𝑥(
𝑥
3− 𝑑´)
Despejando el valor de la tensión en el acero principal:
𝜀𝑠𝐸𝑠 = 𝑓𝑠 =𝑀𝑘
𝐴𝑠 (𝑑 −𝑥3
) + 𝐴𝑠´(𝑥 − 𝑑´) (
𝑥3
− 𝑑´)
𝑑 − 𝑥
Y puede calcularse
𝜀𝑠 =𝑓𝑠
𝐸𝑠
𝑓𝑠´ = 𝜀𝑠´𝐸𝑠 = 𝜀𝑠
𝑥 − 𝑑´
𝑑 − 𝑥𝐸𝑠
𝑓𝑐 = 𝜀𝑐´𝐸𝑐 = 𝜀𝑠
𝑥
𝑑 − 𝑥𝐸𝑐
Pero desde el punto de vista práctico lo importante es el cálculo de fs, pudiendo admitirse una
solución más simple, despreciando el aporte de A’s.
Entonces
𝑀𝑘 =1
2𝑓𝑐𝑏 ∙ 𝑥 (𝑑 −
𝑥
3) = 𝐴𝑠𝑓𝑠 (𝑑 −
𝑥
3)
𝑓𝑠 =𝑀𝑘
𝐴𝑠 (𝑑 −𝑥3)
Por tanto, es razonable calcular también x sin considerar el aporte de A’s, expresión más sencilla
y que no provoca variaciones notables en los resultados. Para tales consideraciones la ecuación
de fuerzas quedaría:
1
2𝑏𝑥2 + 𝑛𝐴𝑠𝑥 − 𝑛𝐴𝑠𝑑 = 0
Quedando finalmente.
1
2𝑏𝑤𝑥2 − [(𝑏 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓 + 𝑛𝐴𝑠]𝑥 −
(𝑏 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓2
2− 𝑛𝐴𝑠𝑑 = 0
70
Expresión de la puede calcularse x. finalmente para la obtención de la tensión en el acero se
puede proceder de forma simplificada y conservadora por:
𝑓𝑠 =𝑀𝑘
𝐴𝑠 (𝑑 −𝑥3
)
2.7.4. Control en vigas y losas en una dirección. En la edición 1999 del Código del ACI se introdujo un cambio significativo en el chequeo de la
fisuración dirigido fundamentalmente a limitar la separación entre las barras más próximas a la
cara traccionada de la sección. Así se sustituye las disposiciones anteriores, que por medio del
factor Z, se controlaba la abertura de grieta por un nuevo método que intenta controlar la
fisuración superficial a un ancho que, en forma general, sea aceptable en la práctica, pero que
puede variar ampliamente dentro de una estructura dada.
Esta separación máxima de la armadura depende solamente de la tensión en el acero 𝑓𝑠 bajo
cargas de servicio, y del recubrimiento libre 𝑐𝑐 de la armadura de flexión a partir de la superficie
traccionada más próxima y viene dada por la siguiente expresión:
𝑠 = 380 (280
𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐
Pero no mayor que:
𝑠 = 300 (280
𝑓𝑠)
Donde:
S separación entre los centros de las barras de la armadura principal por flexión más
cercana a la cara más traccionada (mm).
fs tensión en la armadura calculada para las cargas de servicio (MPa). Se permite adoptar
esta tensión igual a 67 por ciento de la tensión de fluencia especificada de la armadura.
cc espesor del recubrimiento libre, medido desde la barra a la superficie mas traccionada,
en (mm). Ver figura 2.21
Figura 2.26: Espaciamiento entre barras y recubrimientos para el control de la fisuración
r recubrimiento neto (al estribo)
cc recubrimiento a la cara acero principal
dc recubrimiento mecánico (a la 1era camada)
ds recubrimiento mecánico de todo el refuerzo
principal
71
Las expresiones originales del ACI 318 – 99 fueron modificadas en el 2005 teniendo en cuenta
las transformaciones ocurridas en el 2002 en los criterios de seguridad. Estos cambios conducen
en secciones a flexión a una reducción de los coeficientes de seguridad en poco más de un 10%
y por tanto a secciones más dúctiles y más sensibles a la fisuración y a la deformación (para
cargas muertas y vivas iguales el factor de seguridad baja de 1,67 a 1,48). Por tanto, la tensión
en el refuerzo traccionado sobrepasará el 60% estimado como valor promedio y entonces se
propone, simplificadamente, tomarlo como 0,67fy y además se incrementaron en la misma
proporción los límites de espaciamientos máximos establecidos.
Esta expresión es una simplificación de la propuesta por Frosch, aunque no se plantea
explícitamente en el código ACI, evaluada para af = 0,44mm como se ilustra en la figura 2.22.
Las rectas se corresponden con la normativa y las curvas con la ecuación de Frosch, para una
barra de 2cm de diámetro y calculando el factor de profundidad por β = 1+0,0031dc. Por tanto,
este gráfico solo brinda un panorama general del origen de las expresiones y permite evaluar el
fenómeno con una mejor óptica.
Evaluando la información que brinda la figura 2.22, puede plantearse que, si bien se considera
una tensión del refuerzo alta, fs = 280MPa, propia del acero G60, la expresión del ACI 318 - 14
es muy poco exigente en el control del ancho de la grieta, en total correspondencia con el criterio
de que este no es un factor clave en el control de la fisuración. Esto provoca que resulte poco
probable que un elemento a flexión no cumpla esta restricción.
Tratando de aprovechar la enorme ventaja de la sencillez de las expresiones del ACI 318-99 y
adecuándolas a las exigencias de ancho de grietas planteadas para las condiciones cubanas por
la NC 250- 2004(16), podrían establecerse expresiones similares pero para una abertura de fisuras
de 𝑎𝑓 = 0,35𝑚𝑚. Esta simplificación se ilustra también en la figura 2.22. Entonces quedarían
expresadas por la siguiente expresión:
𝑠 = 300 (280
𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐
Pero no mayor que: 𝑠 = 250 (280
𝑓𝑠)
Y considerando como un ancho de grieta aceptable por la práctica en Cuba 𝑎𝑓 = 0,30𝑚𝑚,
preferiblemente debían utilizarse la siguiente expresión:
𝑠 = 260 (280
𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐
Pero no mayor que: 𝑠 = 200 (280
𝑓𝑠)
Un enfoque similar, para considerar alternativas más exigentes en la fisuración, propone
Harmsen al plantear que “aunque el ACI no lo indica, para otros anchos de rajaduras se puede
tomar”:
𝑠 = [380 (280
𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐]
𝑎𝑓
0,41𝑚𝑚≤ [300 (
280
𝑓𝑠)]
𝑎𝑓
0,41𝑚𝑚
72
Figura 2.27: Disposiciones ACI 318-99. Ajustes a las condiciones cubanas
2.8. Conclusiones parciales del Capítulo. 1. El contenido complementario del tema se ha realizado teniendo en cuenta todos
los requisitos actualizada de la norma cubana y el código principal ACI 318 para
el diseño de elementos de hormigón armado.
2. Se puede resumir que se ha realizado complemento bibliográfico en los siguientes
tópicos del libro Hormigón para Arquitectos.
i. Capítulo 2: propiedades de los materiales. Para este capítulo se ha
colocado de información sobre el tópico de: recubrimiento, espaciamiento
entre barras y anclaje de armadura, que son temas importantes en la
distribución de refuerzo.
ii. Capítulo 3: Método de cálculo. Se desarrolló el tema de uso de los
factores de cargas y factores de reducción de resistencias.
iii. Capítulo 5: Flexión simple. como es preferible que la sección se encuentre
en tracción controlada en el diseño a flexión se profundizo en el tema de
fallo a tracción controlada, sobre el tema de cuantía máxima, recubrimiento
mecánico y el aporte de acero en compresión.
iv. Capítulo 6: Esfuerzo a cortante en vigas, las recomendaciones de diseño
a cortante en vigas y los diferentes métodos de diseño son los temas a las
cual se le profundizo en este capítulo.
v. Capítulo 7: Flexo compresión, el tema de las ayudas gráficas, el uso de los
ábacos para el para el diseño y comprobación de columnas y los requisitos
de seguridad.
vi. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. Se profundizo en tema
del uso de coeficientes para el cálculo y distribución de solicitaciones en
losas que trabaje en 1 o 2 direcciones.
73
vii. Capítulo 9: Estado límite de utilización. estudio sobre el comportamiento
de vigas bajo cargas de servicios y el chequeo y control de fisuras en vigas
y losas en 1 dirección.
3. Aspectos como la ubicación final de las estructuras y la forma en la que se realizan
los elementos (in situ o prefabricados) son importante su consideración pues con
ellos se puede conocer las características que debe tener el hormigón y el acero
de refuerzo, datos importantes para el diseño de elementos de hormigón armado.
4. Es importante siempre tener en cuenta las recomendaciones de diseño señalado
por las normas y códigos de diseño para todos los elementos de hormigón armado
pues ellos facilitan el proceso de diseño y responden a los criterios de resistencias.
74
Capítulo III: Ejercicios Resueltos y Propuestos. Introducción. En el siguiente capítulo se realiza un compendio de ejercicios resueltos y propuestos sobre
diseño y comprobación de secciones de hormigón armado para cada uno de los temas a los que
se le realizó el complemento bibliográfico al libro de Hormigón Armado para Arquitectos en el
capítulo II de esta investigación. Durante el análisis realizado en el capítulo I y II, se detectó la
necesidad de realizar la corrección de algunos de los ejercicios presente en esa literatura, que
también se colocarán en el presente capítulo.
3.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales. Para este Capítulo se resolverá un ejercicio dedicado al cálculo de la cantidad de barras de
refuerzo y su adecuada distribución en una sección dada, también se realizará el cálculo del
recubrimiento mecánico y la obtención de la longitud de anclaje entre las barras de refuerzo. Para
este ejercicio son muy importante los datos como: el nivel de agresividad del medio ambiente a
la que estará expuesto la sección, el tipo de hormigón que se utilice y el tipo de barras de refuerzo.
3.1.1. Ejercicio resuelto.
Se tiene una viga prefabricada situada en una zona de agresividad alta, cuya sección es de 30x80
cm, los cálculos a flexión arrojaron que se requiere colocar 28,52 cm2 de refuerzo en la fibra
inferior y se colocaran estribos No 13 espaciada a 20 cm.
a) Determinar el diámetro y cantidad de barras a colocar.
b) Distribuir las barras en la sección, calculando la separación en la 1era camada.
c) Obtenga el recubrimiento mecánico del refuerzo traccionado.
d) Calcule la longitud de anclaje requerida.
Solución.
a) Con el uso de la tabla 2.3 colocada en el capítulo dos se seleccionan las siguientes
variantes:
6 barras No 25 → Asreal = 30,6 cm2
8 barras No 22 → Asreal = 30,96 cm2
De aquí se escoge la primera área, pues con ella obtenemos menor cantidad de barras y
así se facilita su distribución en la sección
b) Comprobar si las 6 barras caben en una camada.
Este proceso se facilita con la ayuda de la misma tabla utilizada en el paso anterior.
𝑑𝑏𝑒 = 1,27 𝑐𝑚
𝑑𝑏 = 2,54 𝑐𝑚
𝑟 = 3,5 𝑐𝑚
𝑐𝑐 = 𝑟 − 𝑑𝑏𝑒 = 3,5 − 1,27 = 4,77 𝑐𝑚
𝑠 =𝑏 − 2𝑐𝑐 − 𝑛𝑏 ∙ 𝑑𝑏
𝑛𝑏 − 1=
30 − 2 ∙ 4.77 − 6 ∙ 2.54
6 − 1= 1,04 𝑐𝑚
La separación mínima (s) de cara a cara de las barras es su diámetro (𝑑𝑏 = 2,54 𝑐𝑚)
Por lo que se concluye que las 6 barras no caben en una camada se procede a distribuirlo
en 4 barras en la primera camada y 2 en la segunda camada y se recalcula la separación
para esta.
𝑠 =𝑏 − 2𝑐𝑐 − 𝑛𝑏𝑑𝑏
𝑛𝑏 − 1=
30 − 2 ∙ 4.77 − 4 ∙ 2.54
4 − 1= 3,43 𝑐𝑚 > 𝑠𝑚𝑖𝑛
75
Una manera más rápida es el uso de la tabla 2.3 donde para:
𝑟 = 3,5 𝑐𝑚
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑜 25
𝐵 = 30 𝑐𝑚
Se determina que caben 4 barras en una camada
c) cálculo del recubrimiento mecánico ds para la distribución escogida.
6𝑑𝑠 = 4 (𝑐𝑐 +𝑑𝑏
2) + 2 (𝑐𝑐 +
3𝑑𝑏
2+ 2,5) = 4 (2.77 +
2.54
2) + 2 (4.77 +
3 ∙ 2.54
2+ 2,5)
𝑑𝑠 = 7,72 𝑐𝑚
Se puede también considerar la misma cantidad de barras que en cada camada:
𝑑𝑠 = 𝑐𝑐 +2𝑑𝑏
2+
2,5
2= 4.77 +
2 ∙ 2.54
2+
2,5
2= 8,58 𝑐𝑚
Esto se puede realizar también con la ayuda de la tabla 2.4 colocada en el capítulo 2
donde para:
Estribos No 13
r= 3,5 cm
Barras principal No 25 colocada en 2 camadas.
→ se obtiene un recubrimiento mecánico ds = 8,58 cm.
d) Cálculo de la longitud de anclaje (ld).
.
𝑙𝑑𝑏 = (𝑓𝑦
1,1√𝑓𝑐′) 𝑑𝑏 = (
300
1,1√20) 𝑑𝑏 = 126,47 𝑐𝑚
Obteniéndose los coeficientes:
𝜓𝑡 = 1 Para zonas de alta agresividad.
𝜓𝑠 = 1 Para para barras No 25.
𝜓𝑒 = 1 Para barras sin revestimientos.
𝜆 = 1 Para hormigón normal.
Cálculo de cb
𝑑𝑐 = 𝑐𝑐 +𝑑𝑏
2= 4.77 +
2.54
2= 6,04 𝑐𝑚 1era camada
𝑠 =𝑏 − 2𝑐𝑐 − 𝑑𝑏
𝑛𝑏 − 1=
30 − 2 ∙ 4,77 − 2.54
4 − 1= 5,97 𝑐𝑚
𝑐𝑏 =𝑠
2=
5.97
2= 2,99 𝑐𝑚 < 𝑑𝑐
Cálculo de Ktr.
76
𝐾𝑡𝑟 =40𝐴𝑡𝑟
𝑠𝑛=
40 ∙ 𝐴𝑡𝑟
5,97 ∙ 2= 1,29 𝑐𝑚
Donde: 𝐴𝑡𝑟 → 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 13 𝑛 → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠
𝑘𝑡𝑟 + 𝑐𝑏
𝑑𝑏=
1.29 + 2.99
2.54= 1,684 < 2,5
Entonces: 𝑙𝑑 = {𝜓𝑡.𝜓𝑠 .𝜓𝑒
𝜆(𝑐𝑏+𝑘𝑡𝑟
𝑑𝑏)} (𝑙𝑑𝑏) (
𝐴𝑠
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙) = {
1.1.1
1(2.99+1.29
2.54)} (126,47) (
28,52
30,96) = 70 𝑐𝑚
Se puede también utilizar la tabla 2.6 del capítulo 2, que se utiliza para el cálculo de
ld teniendo los siguientes datos:
Fc’ = 30 MPa agresividad alta fy = 300 MPa,
S ≤ 2db = 3,43 cm
r ≥ db = 3,5 cm
Se está en la condición dos y se obtiene que ld = 101,6 cm.
3.2. Capítulo 5: Flexión simple. Para este tópico el primer epígrafe se dedicará a ejercicios resueltos y el segundo epígrafe son
los ejercicios propuestos. Variando datos como la zona de ubicación geográfica, las cargas
actuantes, las dimensiones de las secciones transversales, tipo de sección (sección rectangular,
sección T), luces de trabajo, resistencia de los materiales, las condiciones de apoyos, área de
acero de refuerzo, etc. Para el epígrafe de los ejercicios resuelto se resolverán 2 ejercicios de
comprobación y 3 ejercicios de diseño, mientras que en el segundo epígrafe se colocarán 5
ejercicios propuesto de diseño y comprobación.
3.2.1. Ejercicios resueltos.
1. Calcule el momento de servicio que resiste la sección de una viga rectangular
30x60 cm, doblemente armado con área de acero de 49.14 cm2 en la zona
traccionada y 20.4 cm2 en zona de compresión, las resistencias del hormigón y el
acero son de 25 MPa y 300 MPa respectivamente y el módulo de elasticidad del
acero es 2x105 MPa:
h = 60 cm As = 6 barras N.O 32 (49,14 cm2) fc’ = 25 MPa. (Agresividad
media)
b = 30 cm As = 4 barras N.O 25 (20,4 cm2) fy = 300 MPa. ES = 2*105
MPa. dsreal = 8,8 cm d’ = 5,22 cm
Para el recubrimiento exigido se utilizarán estribos número 10 y las barras principales se
2 en tres camadas.
𝑑 = ℎ − 𝑑𝑠 = 60 − 8,8 = 51,2 𝑐𝑚
𝑑𝑡 = ℎ − 𝑑𝑐 = 60 − 6,22 = 54,78 𝑑𝑡
𝑑=
54.78
51.2= 1.06
77
1. Calculo de las características general de la sección
𝜔 =𝐴𝑆𝑓𝑦
𝑏𝑑𝑓𝑐′ =
49,14∙30
30∙51,2∙2,5= 0.38 𝜔′ =
𝐴′𝑆𝑓′𝑦
𝑏𝑑𝑓𝑐′ =
20,4∙30
30∙51,2∙2,5= 0,16
2. Determinación del tipo de fallo.
𝜀𝑦 =𝑓𝑦
𝐸𝑆=
300
2∙105 = 0. ,0015 𝛽1 = 0,85 Para f’c 25 MPa
Entonces 𝜔𝑏 = 0.85 ∙ 0,85 ∙0,003
0,003+0,0015∙ 𝑑𝑡 = 0,51
𝜔 − 𝜔′ = 0,22 < 𝜔𝑏 El fallo es dúctil y 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦.
3. Cálculo de a y c.
𝑎 = (𝐴𝑆 − 𝐴𝑆
′ )𝑓𝑦
0,85 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐′ =
30(49.14 − 20.4)
0,85 ∙ 30 ∙ 2,5= 13,52 𝑐𝑚
𝑐 = 𝑎
0,85=
13.52
0,85= 15,91 < 𝑐𝑡 = 0,375 ∙ 𝑑𝑡 = 20,18 𝑐𝑚
Comprobar que 𝜀𝑠′ > 𝜀𝑦.
𝜀𝑠′ =
𝑐 − 𝑑′
𝑐0.003 =
15,91 − 5,22
15,910,003 = 0,002 > 0,0015
4. Calculo de momento nominal, Mn.
𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑎𝑏 (𝑑 −
𝑎
2) + 𝑓𝑦𝐴′𝑠(𝑑 − 𝑑′)
= 0,85 ∙ 2,5 ∙ 13,52 ∙ 30 (51,2 −13,52
2) + 20,4 ∙ 30(51,2 − 5,22)
= 663.25𝑘𝑁𝑚
Ya que el fallo es dúctil, ɸ = 0,9 y el momento último será igual a:
𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 = 0,9 ∙ 663,25 = 596,93𝑘𝑁𝑚.
2. Calcule el momento de servicio que resiste la sección de una viga rectangular con
dimensiones 30x55 cm doblemente reforzada con área de acero de 80.44 cm2 en la
zona traccionada y 20.4 cm2 en zona de compresión, las resistencias del hormigón
y el acero son de 25 MPa y 300 MPa respectivamente y el módulo de elasticidad del
acero es 2x105 MPa:
h = 55 cm As = 8 barras N.O 36 (80,44 cm2) fc’ = 25 MPa. (Agresividad
media)
b = 30 cm As = 4 barras N.O 25 (20,4 cm2) fy = 300 MPa.
ES = 2*105 MPa.
Para el recubrimiento exigido se utilizarán estribos número 10 y las barras principales se
colocarán en tres camadas.
𝑑 = ℎ − 𝑑𝑠 = 55 − 12,9 = 42,1 𝑐𝑚
𝑑𝑡 = ℎ − 𝑑𝑐 = 55 − 5,74 = 49,26 𝑐𝑚
78
𝑑𝑡
𝑑=
49,26
42,1= 1,17
5. Calculo de las características general de la sección
𝜔 =𝐴𝑆𝑓𝑦
𝑏𝑑𝑓𝑐′ =
80,44∙300
30∙42,1∙25= 0,7643 𝜔′ =
𝐴′𝑆𝑓′𝑦
𝑏𝑑𝑓𝑐′ =
20,4∙300
30∙42,1∙25= 0,1938
6. Determinación del tipo de fallo.
𝜀𝑦 =𝑓𝑦
𝐸𝑆=
300
2∙105 = 0,0015 𝛽1 = 0,85 Ya que f’c 25 MPa
Entonces 𝜔𝑏 = 0.85 ∙ 0.85 ∙0,003
0.003+0.0015
∙𝑑𝑡
𝑑= 0,56
𝜔 − 𝜔′ = 0.5702 > 𝜔𝑏 El fallo es frágil y 𝜀𝑠 < 𝜀𝑦.
7. Calculo de a y c.
Suponiendo que 𝜀′𝑠 > 𝜀𝑦
𝑐𝑐 + 𝑐𝑠 = 𝑇𝑠 0.85𝑓′𝑐𝑎𝑏 + 𝑓𝑦𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠𝐴𝑠
𝑓𝑠 = 𝜀𝑠𝐸𝑠 𝜀𝑠 = 0.003𝑑−𝑐
𝑐
Sustituyendo en le ecuación de fuerza las ecuaciones de fs y 𝜀𝑠 y despejando para
obtener los valores de a y c.
c = 28,99 cm y a = 0,85∙28,99 = 24,64 cm
8. Calculo de momento nominal, Mn.
𝑀𝑛 = 0.85𝑓𝑐′𝑎𝑏 (𝑑 −
𝑎
2) + 𝑓𝑦𝐴𝑠(𝑑 − 𝑑′)
= 0,85 ∙ 2.5 ∙ 24,64 ∙ (42,1 −24,64
2) + 20,4 ∙ 30(42,1 − 5,22) = 693,5𝑘𝑁𝑚
Ya que el fallo es frágil, ɸ = 0,65 y el momento último será igual a:
𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 = 0.65 ∙ 693,5 = 450,77𝑘𝑁𝑚
3. Diseñar la sección de una viga hormigón armado que se encuentra ubicado en un
ambiente de alta agresividad, con la siguiente resistencia del hormigón resistencia
y del acero de refuerzo y momento actuante.
b= 30 cm Mu= 280 kNm
fc’= 30 MPa agresividad alta. fy= 300 MPa
Solución
1. Determinación de las condiciones de trabajo.
Se asume 𝜔 = 0,25 𝜔′ = 0
Por lo que 𝜔𝑟 = 0,25
79
2. Cálculo del peralto h.
Como que no se tiene en cuenta el aporte del acero comprimido, de la ecuación del momento
último se calcula d.
𝑑 = √𝑀𝑢
𝜙𝜔𝑟(1 − 0,59𝜔𝑟)𝑏𝑑𝑓𝑐′ = √512 −
28000
0,9 ∙ (1 − 0,59 ∙ 0,25)30 ∙ 𝑑 ∙ 30= 51,39 𝑐𝑚
Se redondea esto a número constructivo d = 51 y se asume 2 camadas por lo que ds= 9cm
y se concluye que:
d= 51 cm y h= 60 cm
dt = 60 – 7 = 53 cm
d𝑡
d =
53
51= 1,04
3. Cálculo del refuerzo a tracción
𝑎 = 𝑑 − √𝑑22𝑀𝑢
𝜙0.85𝑏𝑓𝑐′ = √512 −
2 ∙ 28000
0,9 ∙ 0,85 ∙ 30 ∙ 30= 15,17𝑐𝑚
Comprobar que c < 0,375d.
𝑐 =𝑎
0,85=
15,17
0,85= 17,85 𝑐𝑚 < 0,375𝑑𝑡 = 0,375 ∙ 53 = 19,86 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐
′𝑎𝑏
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 30 ∙ 15,17
300= 32,46 𝑐𝑚
El área real de la tabla de acero es 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 32,76 𝑐𝑚 esto son 4ɸ32 que se colocaran
en 2 camadas y dsreal= 8,8 cm
4. Calcular el área de acero de refuerzo para una viga rectangular de hormigón armado
con peralto prefijado para que soporte un momento ultimo de 640 kNm, las
dimensiones de la sección transversal 30x70 cm, la viga está ubicada en una zona
de baja agresividad (resistencia de hormigón fc’ = 20 MPa) y la resistencia de acero
fy = 300 MPa, considere recubrimiento mecánico de 4.9 cm.
Datos
b= 30 cm h= 70 cm Mu= 640 kNm
fc’= 20 Mpa (β1= 0.85) fy = 420MPa
1. como es una sección con peralto prefijado se tendrá en cuenta el aporte del acero
comprimida:
para una sola camada de refuerzo d = dt, d=h-ds
80
𝜔𝑟𝑎 = 0,85𝛽10,375𝑑𝑡
𝑑= 0,271 Cuantía para sección traccionada.
𝑀𝑟𝑎 = 𝜔𝑟𝑎(1−0.59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑𝑓𝑐′= 508,2 𝑘𝑁𝑚
Como que 𝑀𝑢 > 𝜙𝑀𝑟𝑎 la sección requiere acero a compresión por cálculo, para garantizar
fallo dúctil.
Comparación del momento de servicio con el momento limite.
𝑚𝑢 < 𝜙𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0.9[1.33(0.333𝑏𝑑𝑓𝑐′)] = 891.92 𝑘𝑁𝑚
2. Cálculo del acero a compresión.
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙′ =
𝑀𝑢𝜙
− 𝑀𝑟𝑎
𝑓𝑦(𝑑 = 𝑑′)=
640000,9
− 50820
42(61 − 7)= 8,42 𝑐𝑚2
El área real de la tabla es 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙′ = 8,52 𝑐𝑚2 3ɸ19 y d’ = 4,9 cm
3. Cálculo del acero a tracción.
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 − 2
𝑀𝑢𝜙 − 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙
′ 𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑′)
0,85𝑏𝑓𝑐′ = 61 − √612 − 2
640000,9 − 8,52 ∙ 42(61 − 4,9)
0,85 ∙ 2 ∙ 30
= 18,99 𝑐𝑚
𝑐𝑡 = 0,375𝑑 = 22,88 𝑐𝑚 > 𝑐 Ok.
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐
′𝑎𝑏 + 𝑓𝑦𝐴𝑠′
𝑓𝑦=
0,8520 ∙ 18,99 ∙ 30 + 420 ∙ 8,52
420= 31,58 𝑐𝑚2
El área real de la tabla es de 32,76 cm2 (4ɸ32).
Distribución del refuerzo: con la ayuda de la tabla 2.5 del capítulo 2, se colocan las 4 barras
en una sola camada.
5. Determinar el acero de refuerzo de la sección transversal en forma T (dimensiones
h = 90 cm, bw = 30 cm y hf = 10 cm) de una viga de hormigón armado que forma
parte de un entrepiso hormigonado insitu en una zona de agresividad media, la
sección está sometido una carga permanente Qd = 6,36 kN/m2 /m(sin peso de la
viga) y una carga viva Ql = 2 kN/m, los materiales tienen resistencias de 25 MPa
para el hormigón y 300 MPa para el acero y ɣh = 24kN/m3.
Datos.
QD = 6,36 kN/m2 (sin peso de la viga) f’c =25 MPa
qL = 2 kN/m2 fy =300 MPa ɣh = 24 kN/m3
Espesor (hf) = 10 cm bw = 30 cm
81
h (altura menos el ala) = 80 cm hTotal = 90 cm
1. Cálculo del momento flector.
Carga por peso de la viga = 0.3*0.8*24 = 5.76kN/m
qu = 1.2(6.36+5.76) + 1,6(2*4) = 50kN/m
𝑀𝑢 =𝑞𝑢𝐿2
8=
50 ∙ 122
8= 900 𝑘𝑁𝑚
2. Cálculo del ancho eficaz del ala (b):
𝑏 ≤𝑙𝑒
4= 12
4⁄ = 3 𝑚
𝑏 ≤ 16ℎ𝑓 + 𝑏𝑤 = 1,9 𝑚
𝑏 ≤ 𝐵 = 4 𝑚
De los tres de toma el menor valor que son 1.9 m = b.
3. Comprobación de comportamiento de la sección, calculando el momento del ala.
Se asume 2 camadas y ds = 9 cm y dc = 7 cm 𝑑 − ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 – d𝑠 = 81 cm
𝑑𝑡 − ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 – d𝑐 = 83 cm
𝑀𝑎𝑙𝑎 = 0,85𝑓𝑐′ℎ𝑓𝑏 (𝑑 −
ℎ𝑓
2) = 0,85 ∙ 2,5 ∙ 10 ∙ 190(81 −
10
2) = 3068,5 𝑘𝑁𝑚
Considerando que la sección está en tracción controlada se admite ɸ=0,9.
𝜙𝑀𝑎𝑙𝑎 > 𝑀𝑢
De aquí se concluye que la sección tiene comportamiento rectangular.
4. Cálculo del acero
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢
𝜙0,85𝑓𝑐′𝑏
= 81 − √812 −2 ∙ 90000
0,9 ∙ 0,85 ∙ 2,5 ∙ 30= 3,12 𝑐𝑚
𝑐 =𝑎
𝛽1=
3.12
0.85= 3,67 𝑐𝑚 ≪ 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 31,125
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐
′𝑎𝑏
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 2,5 ∙ 3,12 ∙ 190
300= 41,96 𝑐𝑚2
El área real total es de 42,96 cm2que son 4ɸ32 y 2ɸ25
82
Distribución del refuerzo: con la ayuda de la tabla 2.5 del capítulo 2, se colocan las 4 barras
primera en una camada y las otra dos en una segunda camada.
3.2.2. Ejercicios propuestos.
1. Encuentre el área de acero necesaria para la viga de hormigón armado con dimensiones
de la sección transversal de b = 25 cm y d = 45 cm, las cuales se sabe que son adecuadas
para sostener un momento para cargas mayoradas de 160 kNm. Las resistencias de los
materiales son fc’ = 40 MPa y fy = 600 MPa.
2. Un sistema de entrepiso consta de una losa de hormigón de 8 cm sobre vigas T continuas
de 7 m de luz y 1 m entre centros. Las dimensiones del alma, determinadas por requisitos
de momentos negativos en los apoyos son b, = 28 cm y d = 50 cm. Cuál es el área de
acero a tensión que se requiere en la mitad de la luz para resistir un momento de 640 kN-
m, si fy = 600 MPa y fc’ = 30 MPa.
3. Para una sección rectangular de una viga sometido a un momento Mu = 787 kN-m,
determine el área requerido en tensión y compresión de reforzamiento para las
dimensione b = 35 cm h = 60 cm, las resistencias del hormigón y el acero de refuerzo son
fc’ = 40 MPa y fy = 600 MPa respectivamente, considere recubrimiento d’ = 6 cm.
4. Una viga rectangular que debe sostener una carga viva de servicio de 10.88 kN y una
carga muerta calculada de 4.67 kN en una luz simple de 6 m, tiene limitada por razones
arquitectónicas la sección transversal a 25 cm de ancho y 50 cm de altura total. Si fy =
400 MPa y fc' = 30 MPa. ¿cuál es el área o las áreas de acero que deben suministrarse?
5. Una viga de hormigón armado reforzada a tensión tiene ancho b = 25 cm y d = 50 cm
hasta el centroide de las barras, ubicadas todas en una sola camada, Si fy = 600 MPa y
fc’ = 40 MPa, encuentre la resistencia nominal (Mn) a flexión para: (a) As = 2 barras No.
8. (b) As = 2 barras No. 10 (c) As = 3 barras No. 11.
6. Verificar si una viga rectangular simplemente apoyada con una luz de 4.6 m, reforzada
con As = 15.52 cm2 resiste el momento último que produce una carga permanente de 1.8
kN y una viva de 3.6 kN. Considere fc’ = 28 MPa, fy = 420 MPa y Es = 2.1*106 MPa, las
dimensiones de la sección transversal son b = 30 cm y h = 50 cm, considere recubrimiento
normativo de 4 cm.
7. Calcule el momento resistente para una viga de sección T que se muestra en la figura
abajo, conociendo que fue hormigonada in situ y colocada en un ambiente con baja
agresividad, por lo que las características de los materiales empleadas son fs’ = 25 MPa
y fy = 300 MPa, utilice áreas de acero de (a) As = 7 barras N. 20 y (b) As = 7 barras N. 25.
83
3.3. Capítulo 6: Esfuerzo cortante en vigas. Para este tema el primer epígrafe se dedicará a ejercicios resueltos y el segundo epígrafe
son los ejercicios propuestos. Variando datos como: la zona de ubicación geográfica, las
cargas actuantes, las dimensiones de las secciones transversales, el tipo de sección
(sección rectangular, sección T), longitud de la luz de trabajo, resistencia de los
materiales, las condiciones de apoyos, área de acero de refuerzo, etc. Para el epígrafe
de los ejercicios resuelto se resolverán 4 ejercicios de diseño (3 sección rectangulares y
1 sección T) en el segundo epígrafe se colocarán 4 ejercicios propuesto de diseño a
cortante.
3.3.1. Ejercicios resueltos.
1. Una viga de 8 m de luz está sometido a una carga Qu = 70 kN/m, las dimensiones de
la sección transversal son b = 30 cm y h = 60 cm, la viga esta esforzado
longitudinalmente con As = 8 barras N. 25 y As’ = 2 barras N. 25. Diseñe a cortante
la viga simplemente apoyada sobre columnas de (30x30) cm, considere Av = 2,58
cm2
Datos:
L= 8 m b = 30 cm As = 8 barras N.o 25
qu = 55 kN / m h = 60 cm As’ = 2 barras N.o 25
Se toma columna de apoyo de (30*30) cm
𝐴𝑣 = 2.58 𝑐𝑚2
Se realizará el diseño por el método de cortante límite.
1. Cálculo de las solicitaciones
Como la carga se distribuye por toda la luz de la viga, las reacciones de apoyo serán la
mitad de la carga actuante
RA = RB = 280 kN
Entonces Vu = 280kN
84
2. Cálculo del cortante actuante máximo.
Con el área dado se escoge de la tabla un dSreal = 7,8 cm
d = h – dS = 52,2 cm
Lr = 4 m (a la mitad de la luz)
d0 = d + (hapoyo/2) = 52,2 + (30/2) = 67,2 cm
𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑢 (𝑙𝑟 − 𝑑0
𝑙𝑟) = 280 (
4 − 0,672
4) = 232,96 𝑘𝑁
3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.
𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170 ∙ √20 ∙ 0,3 ∙ 0,522 = 109,77 𝑘𝑁
∅𝑉𝐶 = 0,75 ∙ 109,77 = 82,32𝑘𝑁
∅𝑉𝐶
2=
82,32
2= 41,16𝑘𝑁
5∅𝑉𝐶 = 5 ∙ 82,32 = 411,6𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.
4. Cálculo de las longitudes a reforzar.
𝑙𝑟1 = 𝑙𝑟 (1 −∅𝑉𝐶
𝑉𝑢) = 4 (1 −
82,32
280) = 2,82𝑚
𝑙𝑟2 = 𝑙𝑟 (1 −
∅𝑉𝐶2𝑉𝑢
) = 4 (1 −41,16
280) = 3,41 𝑚
5. Por norma las separaciones máximas son:
𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡
0,35𝑏𝑤=
2,58∙30
0,35∙0,3= 73,71 𝑐𝑚 (𝑓𝑐
′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑 = 26 𝑐𝑚
De aquí se toma el menor de los dos que es:
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 26 𝑐𝑚
Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del
apoyo:
𝑉𝑢𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑
𝑠𝑚𝑎𝑥+ ∅𝑉𝐶 =
0,75 ∙ 2,58 ∙ 30 ∙ 52,2
26+ 0,75 ∙ 109,77 = 198,87 𝑘𝑁
Con el valor de cortante anterior se calcula la longitud x:
𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥
𝑉𝑢) = 4 (1 −
198,87
280) = 1,34 𝑚
85
Figura 3.1 valores de cortante.
6. Calculo de la separación entre los cercos:
𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑
𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 − ∅𝑉𝑐=
0,75 ∙ 2,58 ∙ 30 ∙ 52,2
232,96 − 82,32= 20,11𝑐𝑚 = 20 𝑐𝑚
Los estribos se colocarán de la siguiente manera:
Para la longitud entre VU y Vux: S = 20 cm del apoyo a 1,34 m
Para la longitud entre Vux y ∅𝑉𝑐
2: S = 26 cm de 1,34 m a 3,41 m
Figura 3.2 Distribución de cercos.
2. Una viga de 6 m de luz está sometido a una carga distribuida de 50 kN/m y una
carga puntual de 300 kN, la sección trasversal de la viga es de 30 cm x 70 cm, y las
resistencias de los materiales son fc’ = 20 MPa para el hormigón y 300 MPa para el
acero, Diseñe el refuerzo transversal necesaria para esta viga simplemente
apoyada.
Datos:
La viga se somete a una carga distribuida de 50kN/m y una carga puntual en el medio de
la luz de 300kN. L = 6 m
b= 30 cm h = 70 cm
fc’ =20 MPa fy = 300 MPa
VU=280 kN
Lr = 4 m
VUmax = 232,96 kN VX= 198,87 kN
∅VC/2= 82,32 kN
Lr2
Lrx
86
primero se debe diseñar la viga a flexión para obtener el refuerzo longitudinal.
b= 30 cm h = 70 cm M𝑢 = 𝑞𝑢𝑙2
8+
𝑝𝑢𝑙
4=
50∙62
8+
300∙6
4=
450 𝑘𝑁𝑚 dt = h – dc = 70 – 7 = 63 cm
fc’= 30 MPa fy= 300 MPa
Solución
1. Cálculo del refuerzo a tracción
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢
𝜙0,85𝑏𝑓𝑐′ = 41 − √612 −
2 ∙ 45000
0,9 ∙ 0,85 ∙ 2 ∙ 30= 19,05 𝑐𝑚
𝑐 =𝑎
0.85=
19,05
0,85= 22,41 𝑐𝑚 < 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 23,63 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐
′𝑎𝑏
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 30 ∙ 5,39 ∙ 25
300= 32,39 𝑐𝑚2
El área real de la tabla de acero es 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 32,76𝑐𝑚 esto son 4ɸ36 que se
colocaran en 2 camadas dsreal = 8,8 cm.
Se realizará el diseño por el método de cortante límite.
1. Cálculo de las solicitaciones.
Como la carga se distribuye igualmente por toda la luz de la viga, las reacciones de apoyo
serán la mitad de la carga actuante.
RA = RB = 300 kN
Entonces Vu = 300kN y Vuo = 150 kN
2. Cálculo del cortante actuante máximo.
Con el área dado se escoge de la tabla un dSreal = 8,8 cm.
d = h – dS = 61,2 cm
Lr = 3 m (a la mitad de la luz)
d0 = d + (hapoyo/2) = 76.2 cm
𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑢 (𝑙𝑟 − 𝑑0
𝑙𝑟) = 300 (
3 − 0,762
3) = 160 𝑘𝑁
3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.
𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170 ∙ √20 ∙ 0,30 ∙ 0,612 = 139,58 𝑘𝑁
∅𝑉𝐶 = 104,69 𝑘𝑁
87
∅𝑉𝐶
2= 52,34 𝑘𝑁
5∅𝑉𝐶 = 523,45 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.
4. Por norma, las separaciones máximas son:
𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡
0,35𝑏𝑤=
1,42∙300
0,35∙30= 40,57 𝑐𝑚 (𝑓𝑐
′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑
De aquí se toma el menor de los dos que es:
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 30,6 𝑐𝑚 = 31 𝑐𝑚
Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del
apoyo:
𝑉𝑢𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑
𝑠𝑚𝑎𝑥+ ∅𝑉𝐶 =
0,75 ∙ 1,42 ∙ 30 ∙ 61,2
31+ 104,69 = 167,77 𝑘𝑁
Con el valor de cortante anterior se calcula la longitud x:
𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥 − 𝑉𝑢𝑜
𝑉𝑢 − 𝑉𝑢𝑜) = 3 (1 −
167,77 − 150
300 − 150) = 2,6
5. Calculo de la separación entre los cercos:
𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑
𝑉𝑢−∅𝑉𝑐=
0,75∙1,42∙30∙61,2
300 − 104,69= 10,01 𝑐𝑚 → 10 𝑐𝑚
Para la longitud entre VU y Vux: S = 10 cm (26 cercos)
Para la longitud entre Vux y 𝑉𝑢𝑜: S = 30 cm (2 cercos)
Figura 3.3 Distribución de cercos.
3. Calcule el refuerzo transversal vertical en forma de estribos para una viga de 6 m
de luz simplemente apoyada sobre columna de 30x30 cm, la viga está sometido a
una carga puntual de 400 kN en el centro de la luz. Se conoce que las dimensiones
de la sección transversal b = 30 y h = 70 cm y que fc’ = 30 MPa y fy = 300 MPa.
Datos:
Una carga puntual en el medio de la luz de 400kN. L = 6m
fc’ =30 MPa fy = 300 MPa
88
primero se debe diseñar la viga a flexión para obtener el refuerzo longitudinal.
b= 30 cm h = 70 cm 𝑀𝑢 =𝑃∙𝑙
4=
400∙6
6= 600 𝑘𝑁𝑚.
fc’= 30 MPa fy= 300 MPa
Solución
Se asume 2 camadas por lo que ds= 9cm, dc = 7 cm y que: d = h – ds = 70 – 9 = 61 cm.
dt = h – dc = 70 – 7 = 63 cm
𝜔𝑟𝑎 = 0,85𝛽10,375𝑑𝑡
𝑑= 0,28 Cuantía para sección traccionada
𝑀𝑟𝑎 = 𝜔𝑟𝑎(1 − 0.59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑𝑓𝑐′ = 0,28(1 − 0.59 ∙ 0,28) ∙ 30 ∙ 61 ∙ 3 = 1283,25 𝑘𝑁𝑚
Como que 𝑀𝑢 < 𝜙𝑀𝑟𝑎 la sección no requiere acero a compresión por cálculo, para el
garantizar fallo dúctil.
2. Cálculo del refuerzo a tracción.
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢
𝜙0,85𝑏𝑓𝑐′ = 61 − √612 −
2 ∙ 60000
0,9 ∙ 0,85 ∙ 2,5 ∙ 30= 16,52 𝑐𝑚
𝑐 =𝑎
0,85=
16,52
0,85= 19,44 𝑐𝑚 < 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 23,63 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐
′𝑎𝑏
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 30 ∙ 16,52 ∙ 30
300= 42,13 𝑐𝑚2
El área real total de la tabla de acero es 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 42,96𝑐𝑚, colocando 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 =
32,76𝑐𝑚 → 4∅32 y 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 10,2𝑐𝑚 → 2∅25 esto son 5ɸ16 dsreal = 8,8 cm
Se realizará el diseño por el método de cortante límite.
1. Cálculo de las solicitaciones.
Como la carga se distribuye igualmente por toda la luz de la viga, las reacciones de apoyo
serán la mitad de la carga actuante.
RA = RB = 200 kN
Entonces Vu = 200 kN.
89
2. Cálculo del cortante actuante máximo.
Con el área dado se escoge de la tabla un dSreal = 8,8 cm
d = h – ds = 70 – 8,8 = 61,2 cm de dato
Lr = 3 m (a la mitad de la luz)
3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.
𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170√30 ∙ 0,30 ∙ 0,616 = 170,9 𝑘𝑁
∅𝑉𝐶 = 128,213 𝑘𝑁
∅𝑉𝐶
2= 64,11 𝑘𝑁
5∅𝑉𝐶 = 641,065 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.
4. Por norma las separaciones máximas son:
𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡
0,35𝑏𝑤=
1,42∙300
0,35∙30= 40,57 𝑐𝑚 (𝑓𝑐
′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑 = 0,5 ∙ 61,2 𝑐𝑚 = 30,6 𝑐𝑚 = 30 𝑐𝑚
De aquí se toma el menor de los dos que es:
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 30 𝑐𝑚
Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del
apoyo:
5. Calculo de la separación entre los cercos:
𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑
𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐=
0,75 ∙ 1,42 ∙ 30 ∙ 61,2
160 − 58,45= 27,24 𝑐𝑚 → 27 𝑐𝑚
Los estribos se colocarán de la siguiente manera:
90
Figura 3.4 Distribución de cercos.
4. Determinar el refuerzo a cortante de una sección T (dimensiones h = 60 cm, bw = 20
cm y hf = 15 cm) de una viga de hormigón armado de 6 m de luz, hormigonado in
situ en una zona de agresividad media, la sección está sometido una carga Qu = 80
kN/m2 /m, los materiales tienen resistencias de 25 MPa para el hormigón y 300 MPa
para el acero.
1. Cálculo del momento flector
𝑀𝑢 =𝑞𝑢𝐿2
8=
80 ∙ 62
8= 360 𝑘𝑁𝑚
2. Comprobación de comportamiento de la sección, calculando el momento del ala.
Se asume 2 camadas y ds = 9 cm y dc = 7 cm, d = htotal – ds = 51 cm dt = htotal – dc =
53 cm.
𝑀𝑎𝑙𝑎 = 0,85𝑓𝑐′ℎ𝑓𝑏 (𝑑 −
ℎ𝑓
2) = 0,85 ∙ 2,5 ∙ 15 ∙ 40 (51 −
15
2) = 490,88 𝑘𝑁𝑚
Considerando que la sección está en tracción controlada se admite ɸ=0,9.
𝜙𝑀𝑎𝑙𝑎 > 𝑀𝑢
De aquí se concluye que la sección tiene comportamiento rectangular.
3. Cálculo de acero traccion
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢
𝜙0,85𝑓𝑐′𝑏
= 51 − √512 −2 ∙ 36000
0,9 ∙ 0,85 ∙ 2,5 ∙ 40= 10,26 𝑐𝑚
91
𝑐 =𝑎
𝛽1=
10.26
0.85= 12,07 𝑐𝑚 < 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 19,88 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐
′𝑎𝑏
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 2,5 ∙ 10,26 ∙ 40
300= 29,07 𝑐𝑚2
El área real total es de 30,6 cm2que son 6ɸ25.
Se realizará el diseño por el método de cortante límite.
1. Cálculo de las solicitaciones.
La carga se distribuye igualmente por toda la luz de la viga, por lo que las reacciones de
apoyo serán igual a la carga actuante multiplicado por la mitad de la luz.
RA = RB = 240 kN
Entonces Vu = 240kN
2. Cálculo del cortante actuante máximo.
Con el área dando se escoge de la tabla un dSreal = 9 cm
d = 51 cm de dato
Lr = 3 m (a la mitad de la luz)
d0 = d + (hapoyo/2) = 66 cm
𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑢 (𝑙𝑟 − 𝑑0
𝑙𝑟) = 240 (
3 − 0,66
3) = 187,2𝑘𝑁
3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.
𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170√20 ∙ 0,20 ∙ 0,51 = 86,7 𝑘𝑁
∅𝑉𝐶 = 65,03 𝑘𝑁
∅𝑉𝐶
2= 32,51 𝑘𝑁
5∅𝑉𝐶 = 326,75 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.
4. Cálculo de las longitudes a reforzar.
𝑙𝑟1 = 𝑙𝑟 (1 −∅𝑉𝐶
𝑉𝑢) = 3 (1 −
65,03
240) = 2,19𝑚
𝑙𝑟2 = 𝑙𝑟 (1 −
∅𝑉𝐶2𝑉𝑢
) = 4 (1 −32,51
240) = 2,59 𝑚
92
5. Por norma, las separaciones máximas son:
𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡
0,35𝑏𝑤=
1,42∙300
0,35∙25= 60,68 𝑐𝑚 (𝑓𝑐
′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)
𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑 = 0,5 ∙ 51 𝑐𝑚 = 25,5 𝑐𝑚 = 26 𝑐𝑚
De aquí se toma el menor de los dos:
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 26 𝑐𝑚
Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del
apoyo:
𝑉𝑢𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡
𝑠𝑚𝑎𝑥+ ∅𝑉𝐶 =
1.42 ∙ 300
26+ 65,03 = 127,7 𝑘𝑁
𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥
𝑉𝑢) = 3 (1 −
127,7
240) = 1,4𝑚
6. Cálculo de la separación entre los cercos:
𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑
𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥−∅𝑉𝑐=
0,75∙1,42∙30∙51
187,2−65.03= 13,33 𝑐𝑚 → 13 𝑐𝑚
Los estribos se colocarán de la siguiente manera:
Para la longitud entre VU y Vux: S = 13 cm
Para la longitud entre Vux y ∅𝑉𝑐
2: S = 26 cm
Figura 3.5 Distribución de cercos.
3.3.2. Ejercicios propuestos.
1. Las dimensiones de la sección rectangular de una viga de hormigón armado son: b =
40 cm y h = 65 m. La altura efectiva es d = 56 cm. Si la viga es simplemente apoyada
de luz l = 6.0 m sometida a una carga uniforme de q = 118 kN/m, determinar el refuerzo
transversal que requiere. Considerar un refuerzo por flexión de As = 6 # 8 y fc’ = 21
MPa.
2. Una viga rectangular con b = 30 cm y d = 50 cm tiene una luz de 6 m cara a cara entre
apoyos simples. Está reforzada a flexión con tres barras No. 11, que continúan sin
interrupción hasta los extremos de la luz. La viga debe sostener una carga muerta de
servicio D = 7 kN/m (que incluye su propio peso) y una carga viva de servicio L = 14
kN/m, ambas uniformemente distribuidas a lo largo de la luz. Diseñe el refuerzo a
93
cortante con estribos verticales. Las resistencias de los materiales son fc’= 40 MPa y
fy = 600 MPa.
3. Una viga de 8 m de luz reforzada longitudinalmente con As = 4 barras No. 8 está
sometido a una carga distribuida de 4 ton/m y una carga puntual 12 ton/m, la sección
trasversal de la viga es de 25 cm x 75 cm, y las resistencias de los materiales son fc’
= 25 MPa para el hormigón y fy = 420 MPa para el acero, Diseñe el refuerzo
transversal necesaria para esta viga simplemente apoyada.
4. Diseñar el refuerzo por corte requerido por la viga que está sometida a una carga
permanente de 50 kN/m (incluye peso propio) y una sobrecarga de 20 kN/m. El
refuerzo longitudinal está distribuido en dos capas. Considerar que el peralte efectivo
de la sección es 51 cm. Utilizar fc’=280 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2.
3.4. Capítulo 7: Flexo compresión. Para este Capítulo, el primer epígrafe se dedicará a los ejercicios resueltos y el segundo
epígrafe son los ejercicios propuestos. Variando datos como: la ubicación geográfica, las
cargas actuantes, las dimensiones de las secciones transversales, área de acero de
refuerzo, etc. Para el epígrafe de los ejercicios resueltos, se resolverán 1 ejercicio de
cálculo del diagrama de interacción, 2 ejercicios de diseño de columna con acero
simétrico y perimetral y 3 ejercicios de comprobación. En el segundo epígrafe se
colocarán 2 ejercicios propuesto de diseño y comprobación. Se utilizará las ayudas de
cálculo para el diseño y comprobación de columnas, estos ábacos se colocarán como
anexo al final de este trabajo.
3.4.1. Ejercicios resueltos.
Ejercicio de cálculo de diagrama de interacción.
1. Obtenga el diagrama de interacción para la siguiente sección con refuerzo
simétrico, ubicada en una zona de alta agresividad.
b = 30 cm fy = 420 MPa sección prefabricada
h = 60 cm Estribo No 10 Agresividad alta
Para estas condiciones:
r = 3,5 cm As’ = AS = 4 barras No25 (20,4 cm2) d’ = 5,72 cm (1 camada)
fC’ = 30 MPa ds = 5,72 cm (1 camada)
d = h – ds = 54.28 cm
a) Tracción axial.
Pn = (As’+ As) fy = - 1713,6 kN ∅𝑃𝑛 = −1542,24 𝑘𝑁
Mn = As’fy(ℎ
2− 𝑑′) +Asfy(
ℎ
2− 𝑑𝑠) = 20,4 ∙ 42 (
60
2− 5,72) − 20,4 ∙ 42 (
60
2− 5,72) = 0 kNm
𝑀𝑛 = 0 𝑘𝑁𝑚
94
𝑒𝑜 =𝑀𝑛
𝑃𝑛= 0 𝑐𝑚
b) c = 5 cm 𝑎 = 𝛽 ∗ 𝑐 = 0,85 = 4,25 𝑐𝑚 ∅ = 0,9
𝜀𝑠′ =
𝑐 − 𝑑′
𝑐0,033 =
0,05 − 0,0572
0,05∙ 0,0033 = −0,00043 < 𝜀𝑦
𝜀𝑠 =𝑑 − 𝑐
𝑐0,033 =
54,28 − 5
5∙ 0,033 = 0,0048 > 𝜀𝑦
𝑓𝑠′ = 𝜀𝑠
′ ∙ 𝐸𝑠 = −86𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎
𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 − 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑠′ − 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 4,25 − 20,4 ∙ 8,64 − 20,4 ∙ 42 = −707,931 𝑘𝑁
∅𝑃𝑛 = −637, ,138𝑘𝑁
𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (
ℎ
2−
𝑎
2) − 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑠′ (
ℎ
2− 𝑑′) − 𝐴𝑠𝑓𝑦 (
ℎ
2− 𝑑𝑠) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 4,25 (
60
2−
4,25
2) +
20,4 ∙ 8,64 (60
2− 5,72) − 20,4 ∙ 42 (
60
2− 5,72) = 255,86 𝑘𝑁𝑚
∅𝑀𝑛 = 366,97 𝑘𝑁𝑚
c) 𝑐 = 0.375𝑑 = 20.36 𝑐𝑚 𝑎 = 17,3 𝑐𝑚
𝜀𝑠 = 0,005 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ∅ = 0,9
𝜀𝑠′ =
20,36−5,72
20,360,003 = 0,0021 = 𝜀𝑦 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 + 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑦 − 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 17,3 + 20,4 ∙ 42 − 20,4 ∙ 42 = 1323,45 𝑘𝑁
∅𝑃𝑛 = 1191,11 𝑘𝑁
𝑀𝑛 = 0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (
ℎ
2−
𝑎
2) + 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑦 (ℎ
2− 𝑑′) + 𝐴𝑠𝑓𝑦 (
ℎ
2− 𝑑𝑠) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 17,3 (
60
2− 17,3) +
20,4 ∙ 42 ∙ (60
2− 5,72) − 20,4 ∙ 42 (
60
2− 5,72) = 698,6187 𝑘𝑁𝑚
∅𝑀𝑛 = 628,76 𝑘𝑁𝑚
d) Fallo balanceado.
𝑐𝑏 =0,003
0,003+0,0021𝑑 = 31,93 𝑐𝑚 𝑎 = 25,35 𝑐𝑚
𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 ; 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ∅ = 0,65 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦
𝜀𝑠′ =
31.93 − 5,72
31.930,003 = 0,0025 = 𝜀𝑦
𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 + 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 25,35 + 20,4 ∙ 42 − 20,4 ∙ 42 = 1939,28𝑘𝑁
∅𝑃𝑛 = 1260,53
95
𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (
ℎ
2−
𝑎
2) + 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑦 (ℎ
2− 𝑑′) + 𝐴𝑠𝑓𝑦 (
ℎ
2− 𝑑𝑠) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 31,93 (
60
2−
25,35
2) +
20,4 ∙ 42 (60
2− 5,72) + 20,4 ∙ 42 (
60
2− 5,72) = 752,04 𝑘𝑁𝑚
∅𝑀𝑛 = 488,83 𝑘𝑁𝑚
e) 𝑐 = 𝑑 = 54.28 𝑐𝑚 𝑎 = 46,14 𝑐𝑚
𝜀𝑠 = 0 ; 𝑓𝑠 = 0
𝜀𝑠′ > 𝜀𝑦 ; 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 + 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 46,14 + 20,4 ∙ 42 + 20,4 ∙ 0 = 4386,51 𝑘𝑁
∅𝑃𝑛 = 2851,23𝑘𝑁
𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (
ℎ
2−
𝑎
2) + 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑦 (ℎ
2− 𝑑′) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 46,14 (
60
2−
46,14
2) − 20,4 ∙ 42 (
60
2−
5,72) = 452,64 𝑘𝑁𝑚
∅𝑀𝑛 = 294,21 𝑘𝑁𝑚
f) Compression Axial.
𝜀𝑠′ > 𝜀𝑦 ; 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦
𝑃𝑜 = 0,85𝑓𝑐′𝑏ℎ + 𝐴𝑆
′ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 60 + 20,4 ∙ 42 + 20,4 ∙ 42 = 6303,6 𝑘𝑁
∅𝑃𝑛 = 4097,34 𝑘𝑁
𝑀𝑛 = 𝐴𝑆′ 𝑓𝑦 (
ℎ
2− 𝑑′) − 𝐴𝑠𝑓𝑦 (
ℎ
2− 𝑑𝑠) = 0 kNm (Igual que en tracción axial) ∅𝑀𝑛 =
27044,037 𝑘𝑁𝑚
𝑒𝑜 =𝑀𝑛
𝑃𝑜= 0 𝑐𝑚
∝ ∅𝑃𝑜 = 0,8 ∙ 0,65 ∙ 6303,6 = 3277,87 𝑘𝑁.
96
Tabla 3.1 Diagrama de interacción, barras en caras opuestas.
Figura 3.6 Diagrama de interacción, acero en las caras opuestas.
Diseño y comprobación de columnas con refuerzo simétrico sometido a flexión
compuesta por método gráfico.
1. Una columna de hormigón armado sección transversal de (40x40) cm situada en un
ambiente de agresividad media está sometido varias combinaciones de cargas axiales
ultimo Pu y momentos flectores ultimo Mu considerando que las resistencias de los
materiales son 25 MPa para el hormigón y 300 MPa para el acero de refuerzo. Encuentre
las posibles solicitaciones máxima que puede resistir la columna, si se sabe que la
columna esta armada con acero simétrico total en las caras opuesta As = 40,8 cm2
b = 40 cm h = 40 cm
30 b (cm) 30 β1 0,83571
420 h (cm) 60
200000 ds (cm) 5,72 ε y 0,0021
d´ (cm) 5,72
d (cm) 54,28 d t (cm) 54,28
20,4 20,4
c (cm) c/d ε s´ ε s f s ´ (MPa) f s (MPa) P n (kN) M n (kN.m) e o (cm) Φ P u (kN) M u (kN.m)
0 0,0000 -0,01000 -0,01000 -420 -420 -1713,6 0,00 0,000 0,9 -1542,24 0,00
5 0,0921 -0,00043 -0,02957 -86,4 -420 -713,40 254,46 -0,357 0,9 -642,06 229,01
10 0,1842 0,00128 -0,01328 256,80 -420 306,39 500,31 1,633 0,9 275,75 450,28
15 0,2763 0,00186 -0,00786 371,20 -420 859,43 619,48 0,721 0,9 773,49 557,53
20,360, 0,3751 0,00216 -0,00500 420 -420 1301,66 695,82 0,5346 0,9 1171,49 626,24
25,0, 0,4606 0,00231 -0,00351 420 -420 1598,30 728,59 0,4559 0,7723 1234,44 562,72
31,93 0,5882 0,00246 -0,00210 420 -420 2041,35 756,11 0,3704 0,65 1326,88 491,47
40 0,7369 0,00257 -0,00107 420 -214,20 2977,12 653,88 0,220 0,65 1935,13 425,02
54,28 1,0000 0,00268 0,00000 420 0,00 4327,04 462,01 0,1068 0,65 2812,57 300,31
62,85 1,1579 0,00273 0,00041 420 81,81 5041,84 317,69 0,0630 0,65 3277,19 206,50
∞ ∞ 0,00200 0,00200 420 420 6303,60 0,00 0,000 0,65 3277,87 0,00
fc´ (MPa)
fy (MPa)
Es (MPa)
A´ (cm2) A (cm2)
OBSERVACIONES
Tracción Axial
ε s=0,005 , c/d=0,375
ZONA TRANSICIÓN
Pn=Pb
k=1
Pu=.8.Φ.Po
Compresión Axial
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 100 200 300 400 500 600 700 800
97
fc’ = 25 MPa (agresividad media) fy = 420 MPa
1. Calculo de la cuantía 𝜔𝑡 correspondiente al área de refuerzo colocado en la columna.
𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦
𝑏ℎ𝑓𝑐′ =
40,8∙42
40∙40∙2,5= 0,43.
2. Obtener valores de cargas axiales y momentos flectores y Calcular valores de 𝜐 y 𝜇
𝜇 =𝑀𝑢
𝑏ℎ2𝑓𝑐′
𝜐 =𝑃𝑢
𝑏ℎ𝑓𝑐′
3. Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la
columna.
Se asume 2 camadas y d’ = ds = 6,5 cm y d = h – ds = 33,5 cm.
d’/d = 0,2, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas se
escoge trabajar con el ábaco: B-8(libro de texto; Hormigón Estructural, tomo II, del DR. Juan
José y DR. Julio Alberto)
Pu Mu 𝝊 𝝁
1 1680 176 0,42 0,11
2 2480 112 0,622 0,07
3 1520 200 0,38 0,125
4 2000 144 0,5 0,09
5 800 298 0,2 0,155
6 2160 136 0,54 0,085
7 1760 188.8 0,40 0,118
8 320 232 0,08 0,145
9 960 216 0,24 0,135
10 2240 128 0,56 0,08
98
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: B-6
fy =420MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟐
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
𝜔𝑡 = 0,43
99
Se puede concluir que de las diez combinaciones escogidas las combinación 2 y 5
se pueden considerar como las más críticas que pueden ser resistido por esta
columna por quedar muy pegado a la curva de la cuantía calculada de 0.43.
2. Considerando que la sección del ejercicio anterior esta armada perimetralmente con 2
barras N.025 en cada una de sus cuatro caras, compruebe si la columna resiste las
combinaciones del ejercicio anterior considerado que la columna posea las mismas
dimensiones transversales igual que la anterior (40x40 cm) y trabaja bajo las mismas
condiciones y características de los materiales.
b = 40 cm h = 40 cm
fc’ = 25 MPa (agresividad media) fy = 420 MPa
1. Calculo de la cuantía 𝜔𝑡 correspondiente al área de refuerzo colocado en la columna.
𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦
𝑏ℎ𝑓𝑐′ =
40,8 ∙ 42
40 ∙ 40 ∙ 2,5= 0,4
2. Obtener valores de cargas axiales y momentos flectores y calcular valores de 𝜐 y 𝜇
Pu Mu 𝝊 𝝁
1 1680 176 0,42 0,11
2 2480 112 0,622 0,07
3 1520 200 0,38 0,125
4 2000 144 0,5 0,09
5 800 298 0,2 0,155
6 2160 136 0,54 0,085
7 1760 188.8 0,40 0,118
8 320 232 0,08 0,145
9 960 216 0,24 0,135
10 2240 128 0,56 0,08
3. Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la
columna.
Se asume 2 camadas y d’ = ds = 6,5 cm y d = h – ds = 33,5 cm.
d’/d = 0,2, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas
se escoge trabajar con el ábaco: B-(libro de texto; Hormigón Estructural, tomo II, del DR.
Juan José y DR. Julio Alberto)
100
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
ε´s = εy
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs = εy
εs =0,005
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
DI: B-6
fy =420MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟐
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
h
b
d´ d´
At
Pu
Mu ωt = 0,43
101
Después de plotear las cordenadas correspondiente a las 10 combinaciones
debajo de la curva de 𝜔𝑡 = 0,43, se puede observar que 5 combinaciones
(1,2,5,7 y 9) quedan afuera de la curva, por lo que esto no son resistido por la
columna y que las combinaciones 3, 6 y 10 son las más críticas por quedar muy
pegado a la curva.
3. Comprobar con el uso de los ábacos si la columna con las siguientes características y
resiste las solicitaciones siguientes.
Pu = 300 kN Mu = 325 kN Ast = 46.44 cm2 (6 #22)
b = 30 cm h = 55 cm
fc’ = 20 MPa agresividad media fy = 300 MPa
a) Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la
columna.
De la tabla de distribución de refuerzo del capítulo II: d’ = 7.28 cm y d = h – ds = 47,72
cm.
d’/d = 0,15, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas
se escoge trabajar con el Abaco: B-7(libro de texto; hormigón estructural tomo II, del DR.
Juan José y DR. Julio Alberto).
b) Calculo de 𝜔𝑡, V y U
𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦
𝑏ℎ𝑓𝑐′ =
46,44 ∙ 30
30 ∙ 55 ∙ 2= 0,42
𝜐 =𝑃𝑢
𝑏ℎ𝑓𝑐′ =
300
30 ∙ 55 ∙ 20= 0,091
𝜇 =𝑀𝑢
𝑏ℎ2𝑓𝑐′ =
325
30∙552∙20= 0,18
c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a la solicitaciones externas (𝜇,
𝜐).
La sección no resiste ya que las coordenadas u = 0,18 y v = 0,091quedan afuera de
la curva correspondiente a 𝜔𝑡 = 0,42.
4. Con el uso de los ábacos compruebe si la siguiente columna, ubicada en una zona de
agresividad media, resiste las siguientes solicitaciones.
Pu = 720 kN Mu = 162 kN Ast = 21.06 cm2
102
b = 30 cm h = 45 cm
fc’ = 25 MPa agresividad media fy = 300 MPa
a) Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la
columna.
De la tabla de distribución de refuerzo del Capítulo II, d’ = 7 cm y d = h – ds = 38 cmd’/d =
0.2, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas se
escoge trabajar con el Abaco: B-8(libro de texto; hormigón estructural tomo II, del DR.
Juan José y DR. Julio Alberto)
b) Cálculo de 𝜔𝑡, V y U.
𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦
𝑏ℎ𝑓𝑐′ =
21,06 ∙ 30
30 ∙ 45 ∙ 2,5= 0.19
𝜐 =𝑃𝑢
𝑏ℎ𝑓𝑐′ =
720
30 ∙ 45 ∙ 2,5= 0.2
𝜇 =𝑀𝑢
𝑏ℎ2𝑓𝑐′ =
162
30 ∙ 452 ∙ 2,5= 0,048
c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a la solicitaciones externas (𝜇,
𝜐).
La sección resiste las combinaciones, ya que las coordenadas u = 0.048 y v = 0.2
quedan dentro de la curva correspondiente a 𝜔𝑡 = 0.19.
5. Con el uso de los ábacos calcule el área acero simétrico máxima, para una columna
de 40x40 cm ubicada en una zona de agresividad media, para resistir las siguientes
combinaciones de cargas.
𝑃𝑢(𝑘𝑁) 𝑀𝑢(𝑘𝑁𝑚)
1 800 100
2 400 420
3 1200 450
4 1800 390
5 3000 100
6 1522,5 330,75
b = 30 cm h = 45 cm
fc’ = 25 MPa agresividad media fy = 300 MPa
a) Escoger el Abaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la
columna.
103
De la tabla de distribución de refuerzo del Capítulo II d’ = 5,75 cm y d = h – ds = 54,28
cm.
d’/d = 0.15, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas
se escoge trabajar con el Abaco: B-16(libro de texto; hormigón estructural tomo II, del DR.
Juan José y DR. Julio Alberto).
b) Cálculo de 𝜐 y 𝜇
𝑉 =
𝑃𝑢
𝑏ℎ𝑓𝑐′ 𝑈 =
𝑀𝑢
𝑏ℎ2𝑓𝑐′
1 0,15 0,032
2 0,076 0,13
3 0,23 0,14
4 0,34 0,12
5 0,57 0,032
6 0,29 0,105
c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a las solicitaciones externas (𝜇,
𝜐).
d) Calculo del área acero máximo correspondiente a la combinación más crítica.
Después de haberse ploteado las coordenadas en el ábaco (ver siguiente
página) correspondientes a las combinaciones se concluye que la
combinación más crítica es la 2 que corresponde a la cuantía 𝜔𝑡 = 0,29 y por
razón de seguridad se escoge un valor de cuantía por encima de esta para el
cálculo del área de refuerzo. Por lo que se escoge 𝜔𝑡 = 0,23 y con este se
calcula el área que puede resistir todas las combinaciones dadas.
𝐴𝑠𝑡 = 𝜔𝑡
𝑏𝑑𝑓𝑐′
𝑓𝑦= 0,3
30 ∙ 60 ∙ 2,5
30= 45 𝑐𝑚2
Se colocan 6 barras #22 (As real = 23.22 cm2) en cada una de las 2 caras opuesta de
la columna.
104
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: B-7
fy =300MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟏𝟓
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
ωt = 0,29
105
Después de plotear los valores de v y u en el ábaco se puede apreciar que 2 de las
combinaciones (1 y 6) quedan por dentro de la curva 𝜔𝑡 = 0,23 lo que significa que estos son
resistidos por la columna, pero las solicitaciones 2, 3, 4 y 5 quedan afuera de la curva
correspondiente a 𝜔𝑡 = 0,23 lo que significa que la columna no es capaz de resistir estas dos.
3.4.2. Ejercicicos propuestos.
1. Utilizando los ábacos diseñe columnas rectangulares que sean capaz de resistir las
siguientes combinaciones de cargas. (a) Pu = 180 T y Mu = 30 T-m (b) Pu = 320 T y
Mu = 7 T-m. considerar como resistencia de los materiales f’c = 21 MPa y fy = 420
MPa.
2. Para una columna de 40x40 cm, ubicada en zona de agresividad media. El elemento
está sometido a las cargas que se muestran en el siguiente cuadro, obtenga la
cantidad de refuerzo necesario para cada una de las combinaciones de cargas
siguientes, utilizando las ayuda graficas:
Pu(kN) Mu(kNm)
950 450
1 300 500
1 900 400
300 500
400 600
3.5. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. En este tópico el primer epígrafe se dedicará a ejercicios resueltos y el segundo epígrafe son
los ejercicios propuestos. Variando datos como: la zona de ubicación geográfica, las cargas
actuantes, el peralto de la losa, longitud de la luz de trabajo, resistencia de los materiales, las
condiciones de apoyos, área de acero de refuerzo, etc. Para el epígrafe de los ejercicios
resuelto se resolverán 2 ejercicios de diseño, empleando el método de diseño directo para el
primer ejercicio y el método de Los Coeficientes de Marcus para el segundo ejercicio. En el
segundo epígrafe se colocarán 2 ejercicios propuesto de diseño.
3.5.1. Ejercicios resueltos.
Calcule una losa de 5x7 m2 apoyado sobre muro de 20 cm de espesor si
WL =1.5 kN/m2 WD = 2 kN/m2
fc’ = 20 MPa y se utilizara acero G-40
El edificio está en una zona de agresividad baja
A) Características generales.
𝐿𝑎 = 5 − 0,2 = 4,8 𝑚 𝐿𝑎
𝐿𝑏= 0,706
𝐿𝑏 = 7 − 0,2 = 6,8 𝑚
Determinación de la forma de trabajo de la losa 7
5= 1,4 < 2 La losa trabaja en 2 direcciones
106
B) Cálculo del peralto. 𝐿𝐶
40=
500
40= 12,5 𝑐𝑚 = 13 𝑐𝑚
2(𝐿𝑎 + 𝐿𝐵)
180= 12,9 𝑐𝑚 = 13 𝑐𝑚
C) Cálculo de las cargas.
𝑤𝑔 = 𝛾ℎ ∙ ℎ = 24 ∙ 0,13 = 3,2 𝑘𝑁/𝑚2
𝑤𝑢𝐷 = 1,2(3,12 + 2) = 6,14𝑘𝑁/𝑚2
𝑤𝑢𝐿 = 1,6(2) = 3,2𝑘𝑁/𝑚2
𝑤𝑢 = 9,34𝑘𝑁/𝑚2
D) Cálculo de momentos.
𝑀𝑎+ = 𝐶𝑎 ∙ 𝑤𝑢 ∙ 𝑙𝑎
2 = 0,068 ∙ 9,34 ∙ 4,82 = 14,63𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑏+ = 𝐶𝑏 ∙ 𝑤𝑢 ∙ 𝑙𝑏
2 = 0,016 ∙ 9,34 ∙ 6,82 = 6,91𝑘𝑁𝑚
E) Cálculo del refuerzo.
Considerando:
r = 2,5 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2
d = h – r – db = 13 – 2,5 – 1,27 = 9,23 cm
Para Ma: 14.63 kNm
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 9,23 − √9,232 −
2 ∙ 1463
∅ ∙ 0,85 ∙ 20 ∙ 100= 1,1 𝑐𝑚
0,375𝑑 = 3,46 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 20 ∙ 100 ∙ 0,53
300= 6,23 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 20,7 𝑐𝑚 = 20 𝑐𝑚
𝐴𝑚𝑖𝑛 0,002𝑏𝑑 = 1,85 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 26 𝑐𝑚
En la franja lateral se colocan a (3/2)20 = 30 cm → S = 26 cm
107
Figura 3.7: Distribución de refuerzo para la luz de 5 m.
Para Mb: 6.91 kNm.
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 9,23 − √9,232 −
2 ∙ 6910
∅0,85 ∙ 20 ∙ 100= 0,5 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 20 ∙ 100 ∙ 0,5
300= 2,83 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 45,6 𝑐𝑚 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 26 𝑐𝑚
Figura 3.7: Distribución de refuerzo para la luz de 7 m.
Ejercicio 2.
Calcule los momentos flectores actuante y el acero de refuerzo en las siguientes losas
apoyadas sobre muros de 20 cm de espesor, situada en una zona de agresividad media.
Datos.
108
fc’ = 25 MPa fy = 300 MPa r = 3 cm WD = 2 kN/m2 WL = 3 kN/m2
Para este ejercicio se emplea el método de Marcus para el cálculo de las solicitaciones.
Considerando los distincito casos que se presentan en cada losa
A) Características generales
𝐿𝑎 = 5 − 0,2 = 4,8 𝑚 𝐿𝑎
𝐿𝑏= 0,828
𝐿𝑏 = 6 − 0,2 = 5,8 𝑚
Losa A → Caso 7
Losa B → Caso 4
Losa C → Caso 6
B) Cálculo del peralto. 𝐿𝐶
40=
500
40= 12,5 𝑐𝑚 = 13 𝑐𝑚
2(𝐿𝑎 + 𝐿𝐵)
180=
2(4,8 + 5,8)
180= 0,17 𝑚 = 12 𝑐𝑚
C) Cálculo de las cargas.
𝑤𝑔 = 𝛾ℎ ∙ ℎ = 24 ∙ 0,12 = 2,88 𝑘𝑁/𝑚2
𝑤𝑢𝐷 = 1,2(2,88 + 2) = 6.14 𝑘𝑁/𝑚2
𝑤𝑢𝐿 = 1,6(3) = 4,8 𝑘𝑁/𝑚2
𝑤𝑢 = 10.656 𝑘𝑁/𝑚2
D) Calculo de momento
Losa A (caso 7)
Ca Ma(kNm) Cb Mb (kNm)
M- - - 0,054 19,36
MD+ 0,0425 5,73 0,0235 4,63
ML+ 0,048 5,3 0,0245 3,95
Ma+ 11,03 Mb
+ 8,58
Cálculo del refuerzo
Considerando:
r = 3 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2
d= h – r – db = 12 – 3 – 1.27 = 7.73 cm
Para Ma: 11.03 kNm
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −
2 ∙ 1103
0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 0,73 𝑐𝑚
0,375𝑑 = 2.9 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada
109
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 0,73
300= 5,17 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 24,56 𝑐𝑚 → 25 𝑐𝑚
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,0014𝑏𝑑 = 1,082 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 24 𝑐𝑚
Para Mb: 19.36 kNm
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7.732 −
2 ∙ 1936
0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 1.44 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 1,44
300= 10,2 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 12, ,45 𝑐𝑚 → 13 𝑐𝑚
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 24 𝑐𝑚
Losa B (caso 4)
Ca Ma(kNm) Cb Mb(kNm)
M- 0,0685 16,82 0,0315 11,29
MD+ 0,0375 5,06 0,01 1,97
ML+ 0,0455 5,03 0,0215 3,47
Ma+ 10,09 Mb
+ 5,44
Cálculo del refuerzo.
Considerando:
r = 3 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2
d= h – r – db = 12 – 3 – 1.27 = 7.73 cm
Para Ma: 16.82 kNm
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7.73 − √7.732 −
2 ∙ 1682
0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 100= 1.20𝑐𝑚
0,375𝑑 = 2.9 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0.85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 1.20
300= 8.5 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 14.94 𝑐𝑚 → 15 𝑐𝑚
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,002𝑏𝑑 = 1.082 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 24 𝑐𝑚
Para Mb: 11.29 kNm
110
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −
2 ∙ 1129
0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 0,81 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 0,81
300= 5,74 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 14,94 𝑐𝑚 → 15
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 24 𝑐𝑚
Losa C (caso 6)
Ca Ma(kNm) Cb Mb(kNm)
M- 0,0845 20,75 - -
MD+ 0,0425 5,73 0,0165 4,04
ML+ 0,0485 5,36 0,0205 3,31
Ma+ 11,09 Mb
+ 7,35
Cálculo del refuerzo.
Considerando:
r = 3 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2
d= h – r – db = 12 – 3 – 1.27 = 7.73 cm
Para Ma: 20.75 kNm
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −
2 ∙ 2075
0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 1,56 𝑐𝑚
0,375𝑑 = 2.9 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada
𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 1,56
300= 11,05 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 11,49 → 12 𝑐𝑚
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,002𝑏𝑑 = 1.082 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 24 𝑐𝑚3𝑛
Para Mb: 7.35 kNm
𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈
∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −
2 ∙ 735
0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 0,51 𝑐𝑚
𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎
𝑓𝑦=
0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 0,51
300= 3,61 𝑐𝑚2
𝑠 =𝑏𝐴𝑏
𝐴𝑠= 35,18 𝑐𝑚 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 24 𝑐𝑚
111
3.5.2. Ejercicios propuestos.
1. Los entrepisos de las aulas de una escuela situada en una zona de agresividad media
cuentan con entrepisos de losas de hormigón armado fabricada monolíticamente
apoyadas sobre vigas, como se muestra en la figura, calcule las cargas actuantes, el
peralto de la losa y obtenga el refuerzo a flexión utilizando acero G-40.
2. Diseñar las losas apoyadas sobre columna, de un edificio, cuya planta se muestra a
continuación, el mismo será utilizado para oficinas, el hormigón empleado tiene una
resistencia f’c = 21 MPa, y la resistencia del acero refuerzo fy = 420 MPa.
3.6. Conclusiones parciales del capítulo. I. Con el desarrollo de los ejercicios prácticos se pudo corregir también algunos de los
ejercicios presente en el libro “Hormigón Armado para Arquitectos” teniendo en cuenta
todas las actualizaciones de los requisitos y normas (ACI – 318 2014) para el diseño
estructuras de hormigón armado.
II. El empleo de las tablas de distribución de refuerzo, tablas de coeficientes, formularios
y todas las recomendaciones de diseño que aparecen el capítulo anterior, ayuda a
facilitar la realización de los ejercicios y así obteniéndose resultados que cumple con
los requisitos de diseño.
III. Para la realización de los ejercicios de tema flexo compresión es importante el uso de
los ábacos para el diseño de columnas pues con los ábacos se facilita el proceso
diseño y se obtiene resultados fiables.
112
Conclusiones y Recomendaciones.
1. Conclusiones.
La realización de este trabajo nos ha permitido llegar a las siguientes conclusiones.
1. Se ha realizado una correcta organización de los temas abordados en el libro
Hormigón Armado para Arquitectos para la posterior consulta de los arquitectos e
ingenieros.
2. El conocimiento sobre el comportamiento de elemento hormigón armado es de suma
importancia para la formación de los arquitectos, pero carecen materiales
actualizadas sobre hormigón armado destinado a la carrera de arquitectura.
3. Se ha logrado la correcta actualización y complemento de los temas del libro
“Hormigón Armado para Arquitectos” basado en las disposiciones del código principal
ACI.
4. Por necesidad de diseñar elementos más resistentes, durables y económico etc.,
siempre se realizan estudios que conlleva a la obtención de nuevas informaciones
sobre el comportamiento del hormigón y surgen nuevas tecnologías para
manipulación, por lo que es importante siempre el uso de normas actualizada para el
diseño o comprobación de elemento de hormigón armado.
2. Recomendaciones.
1. desarrollar un manual más detallado basado en este trabajo, con fin de amplia y crear
un documento que pueda servir de consulta para los estudiantes de arquitectura.
2. confeccionar una tarea analítica donde los estudiantes tengan que resolver un
problema estructurar real (edificio, etc.) con diferentes elementos de hormigón
armado.
3. realizar una edición de la versión actual del libro Hormigón Armado para Arquitectos
para así obtener una versión que cumpla con todos los requisitos de las normas
actualizadas de diseño y comprobación de secciones de hormigón armado, como es
el actual código ACI-318 2014.
113
Bibliografía.
1. ACI 318, 2014. Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (ACI-318-2014). s.l.:s.n.
2. Álvaro Mocoso, S. (2010) Estado Teórico y Experimental de Vigas de Hormigón Armado. Bolivia: Universidad Privada Boliviana.
3. Carlos Rondón, S.M. (2005). Manual de Armaduras de Refuerzo para Hormigón: Fabricación, Instalación y Protección. Chile.
4. Chen, W. F. and Luis, E. M. (2006). Principles of structural design. USA.
5. Escorihuela, J. y FEUNANDEZ PEÑA, O. Durabilidad del Hormigón.
6. Escrig, C. Refuerzo a Cortante de vigas de hormigón armado mediante TRM.
7. Giraldo Bolívar, O. (2003). Diseño a Cortante del Hormigón Armado. Colombia: Universidad Nacional de Colombia.
8. Gonca, A. and Asena, S. (05-07 February 2015). The 7th. World Conference on Educational Sciences, (WCES-2015): The Architecture Departments’ Students Approach to the Reinforced Concrete Course. Greece: Athens, Novotel Athens Convention Center.
9. Gonzales cueva, O. M. & Fernández Villegas, F. R. (2005). Aspectos fundamentales de concreto reforzado. (4ta edición). México.
10. Harmsen, T. E. (2002). Diseño de Estructura de Concreto Armado. (3ra edición) Perú.
11. Hernández Montes, H. y Gil Martin, L. M. (2007), Hormigón Armado y Pretensado. España: Granada.
12. Hernández Santana, J. J. y Hernández Caneiro, J. A. (2012). Hormigón Estructural: Diseño por Estados Límites. Cuba.
13. Macdonald, A. J. (2004) Structural Design for Architecture.
14. Merritt, F. S. And Ricketts, J. T. (2000). Building Design and Construction Handbook. (6th Ed.). USA.
15. Morales, R. (2006). Diseño de Concreto armado. (3ra edición). Perú.
16. Neville, A. (1998). Articulo Extraído de la revista ‘Concrete International’: Concrete Cover to Reinforcement Or Cover-Up.
17. Nilson, A., Darwin, D. & Dolan, C. W. (2004). Diseño de estructuras de hormigón armado. (13ra. Edición). USA.
114
18. Ochshorn, J. (1990) "Separating Science from Architecture: Why technoogy is taught outside the design studio." San Francisco, CA: Proceedings of the ACSA Annual Meeting.
19. Páez Iturralde, T. (2014). Reseña sobre la enseñanza de las estructuras: base para una metodología de aprendizaje. Ecuador: Universidad de Cuenca.
20. PCA, 2013. BUILDING CODE REQUIREMENTS FOR STRUCTURAL CONCRETE
(ACI-318-11). 12th Ed. Skokie: s.n
21. Pujadas Álvarez, P. Durabilidad del hormigón.
22. Ramírez Hunter, G. A. (2007). Estudio paramétrico para la comparación de diseño de losas por el Método 3 y por el Método del Marco Equivalente.
23. Ray, S. (1995). Reinforced Concrete: Analisys and Design. (5th Ed.).
24. Tejera Garofalo, P. & Silva Gonzales, A. (2016). Hormigon Armado para Arquitectos. Cuba: La Habana.
25. Toirac Corral, J. (2009). La Resistencia a Compresión del Hormigón. República Dominicana.
Anexos. A continuación, se colocan las ayudas graficas o ábacos que se emplean para el diseño y
comprobación de secciones de columnas
115
Anexo 1: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: A-1
fy =300MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟎𝟓
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
116
Anexo 2: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: A-2
fy =300MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟏
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
117
Anexo 3: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: A-3
fy =300MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟏𝟓
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
118
Anexo 4: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: B-1
fy =420MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟎𝟓
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
119
Anexo 5: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy 𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: B-2
fy =420MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟏
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
120
Anexo 6: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: B-3
fy =420MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟏𝟓
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS
121
Anexo 7: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
ωt = 0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
εs =0
εs = εy
εs =0,005
ε´s = εy
𝑴𝒖
𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´
𝑷𝒖
𝒃𝒉𝒇𝒄´
0,0
h
b
d´ d´
As As´
Pu
Mu
DI: B-4
fy =420MPa
fc´ ≤ 30MPa
𝒅´
𝒅= 𝟎, 𝟐
𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚
𝒃𝒉𝒇𝒄´
ESTRIBOS