TRIGONOMETRIA

1. Efectuar las siguientes operaciones.

a ) sumar : 14∘ 35 ' 38} } ;```` 63 rSup { size 8{ circ ``} } ` 37 rSup { size 8{'} } `` 54 rSup { size 8{ y 77 ∘ 13' 35} } } {} # `````````````````````````````12 rSup { size 8{ circ `````} } 15 rSup { size 8{'} } `;``````````120 rSup { size 8{ circ } } ``` 41 lSup { size 8{'} } `;```````` 115 rSup { size 8{ circ } } ``` 48 rSup { size 8{'} } `57 ; y 42∘ 18' ¿¿

¿

b ) restar : 14∘ 18' 28} } ```` ital de`` 39 rSup { size 8{ circ } } ``` 23 rSup { size 8{'} } `` 54 rSup { size 8{

19∘ 18' 53} } ``` ital de `35 rSup { size 8{ circ } } `````26 rSup { size 8{'} } `` 48 rSup { size 8{

c ) multiplicar : 22∘ 18 ' 37} } ```` ital por ```5;````56 rSup { size 8{ circ } } `` 38 rSup { size 8{'} } ``59 rSup { size 8{ por 3

d ) dividir : 16∘ 17' 36} } ital por ```3;`````` 45 rSup { size 8{ circ } } ```18 rSup { size 8{'} } ``56 rSup { size 8{ por 4

2. Hallar el complemento de los siguientes ángulos:

a ) 85∘ 37' b ) − (35∘ 23' ) c ) 147∘ 43'

d ) 45∘ 18' 37} } `````````````````````````````e \) `` - ``` left ( 70 rSup { size 8{ circ } } ``` 20 rSup { size 8{'} } `` 43 rSup { size 8{

¿¿ f ) 38∘ 25 ' 57} } {} # rSup { size 8{'} } {} } } { ¿¿

3. Hallar el suplemento de los siguientes ángulos.

a ) 120∘ 13' b ) 85∘ 26 ' 37} } ```````````````````````````````c \) ``196 rSup { size 8{ circ } } ```47 rSup { size 8{'} } ```32 ¿d ) 45∘ 58```} } ````````````````````````````````````e \) `` - 100 rSup { size 8{ circ } } ``````````````````````````````````````````f \) `` - ` left ( 78 rSup { size 8{ circ } } `` 48 rSup { size 8{'} } `` 52 rSup { size 8{ ¿¿

¿

4. Exprese los siguientes ángulos en medidas sexagesimal:

a ) 2 . 3 rad b) 3.75 rad c ) 1 . 42 rad d ) 0 .653 rad e )π6

rad f )π4

rad

g ) 5π4

rad h) 4 π3

i) 3 π2

rad j) 2 rev k ) 2. 5 rev l) 3 rev

m) 3.7 rev n ) 2 .6 rev o) 3 .65 rev5. exprese los siguientes ángulos en radianes:

a ) 15∘ b ) 45∘ c ) 120∘ d ) 135∘ e ) 165∘

f ) 180∘ g ) 240∘ h ) 210∘ i ) 345∘ j) 0 .2 rev

k )52

rev l ) 3 rev m) 0 . 8 rev n) 3 .5 rev o )34

rev

6. exprese los siguientes ángulos en revoluciones:

a ) 3 π rad b ) 15∘ 28' 35} } ``̀ ``````c \) `` 45 rSup { size 8{ circ } } } {} # d \) ``135 rSup { size 8{ circ } } ````̀ ``````̀ ``````̀ ``````̀ e \) `165 rSup { size 8{ circ } } ````````̀ ``````̀ ```````̀ f \) ``180 rSup { size 8{ circ } } {} # {} } } { ¿¿¿¿

¿

g ) 240∘ h) 210∘ i) 345∘

j )11 π6

rad k )5π3

rad l)4 π3

rad

7. Una rueda gira a razón de 48

revmin . Expresar esta velocidad en :

a) Rev./seg b) rad/min c) rad/ seg

8. Un alambre esta enrollado en un tubo de 2m. de radio y hay 1000 vueltas de alambre. ¿cuantos metros de alambre hay en total?

9. Hallar el numero de radianes de los ángulos de un triangulo, que están en progresión aritmética, siendo el ángulo menor de 36°.

10. El minutero de un reloj mide 12mm. ¿qué distancia recorre la punta de este durante 20 minutos?

11.Un ángulo central determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 30 cm de radio. Expresarlo en radianes y grados.

12.Una vía férrea ha de describir un arco de circunferencia. ¿Qué radio hay que utilizar si la vía tiene que cambiar su dirección 25°en un recorrido de 120m?

13.Un tren se mueve a razón de 8 millas/ hora, sobre una vía circular cuyo radio mide 2500 pies. ¿Qué ángulo central describe en 1 minuto? ( 1milla= 5280 pies)

14.En un triangulo sus ángulos son 3x°, x° y

xπ3 rad. Hallar el valor de cada

uno de los ángulos en grados.

15.Una rueda de 4 pies de diámetro gira a razón de 80 r. p. m. hallar en pies la distancia que recorre en un segundo. Un punto al borde de la rueda; esto es la velocidad lineal del punto en pies/s.

16.Un punto del borde de una rueda de 10 pies de diámetro se mueve con una velocidad lineal de 15 pies/ s. hallar la velocidad angular de la rueda en rad/s y rev/s.

17.Un tramo de una vía férrea curvilínea está formado por dos arcos sucesivos. El primero corresponde a un ángulo central de 20° con un radio de 2500 pies, y el segundo corresponde a un ángulo central de 25° con un radio de 3000 pies. Encontrar la longitud total de los arcos.

18.Un reloj de pared tiene un péndulo de 20 cm de longitud el cual describe un ángulo de 15°. hallar el área del sector circular descrito por el péndulo.

19.U n vértice de un triangulo equilátero esta en el centro de un circulo de radio de 5 pulg. Y los otros dos vértices están en el círculo. Hallar la longitud del arco y la longitud de la cuerda determinada por los dos vértices que están en la circunferencia.

20.Un vértice de un triangulo equilátero esta en el centro de un circulo de radio de 8 pulg, y el lado opuesto es tangente al circulo. Hallar la longitud del arco cortado por los lados que parten del centro y la longitud de la tangente.

21.Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a ) 405∘ b ) −315∘ c ) −540∘ d ) −5130∘ e ) −910∘

f ) −1200∘ g ) 5130∘ h ) 7770∘

22.Hallar las funciones trigonométricas del ángulo B, si a= 8, b=15y el ángulo c es recto.

23.En que cuadrante cae el lado terminal de θ si :

a ) sen θ y cos θ son negativos? b ) sen θ y tan θ son positivas ?c ) sen θ positivo y sec θ negativos ? d ) sec θ negativo y tan θ negativa?

24.En qué cuadrante está θ si:

a ) csc θ < 0 b) sec θ > 0 c ) ctg θ > 0d ) tan θ < 0 e ) sec θ < 0 f ) ctg θ < 0

25.Hallar las funciones trigonométricas del ángulo θ en el primer cuadrante si:

a ) sen θ =2 mn

m2 + n2b) tan θ =

rp

c ) tan θ=23

d ) ctg θ= mn

e ) ctg θ =m f ) sec θ = m+na

26.Hallar los valores de sen θ y tan θ , si cosθ= 5

6

27.Hallar los valores de senθ y cosθ , si tan θ=−3

4

28. Hallar senθ , si cosθ = − 4

5y tan θ es positiva

29.Construir un triángulo rectángulo en el cual:

a ) sen A = 2 sen B b ) sen A = 3 cos A c ) tan A = 3 tan B

30.Si sen α = 13

5hallar el valor de :

2 sen α − 3 cos α4 sen α − 9 cos α

31.Si ctg θ = p

q hallar el valor de:

p cosθ − q sen θp cosθ + q sen θ

32.Compruebe que:

a ) cos 60∘ = 2 cos2 30∘−1 b ) sen 240∘= sen 180∘ cos 60∘ + sen 60∘ cos 180∘

c ) tan 30∘ =sec 60∘

(sec 60∘ +1 ) csc 60∘ d ) tan 300∘ =tan 240∘+ tan 60∘

1− tan 240∘ tan 60∘

33.hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones.

a ) 2 sen 30∘ cos 30∘ tan 45∘ b) 2 sen 30∘ cos 30∘ ctg 60∘

c ) sen 60∘ ctg 30∘ tan 45∘ d ) ctg 60∘ tan 30∘ + sec2 45∘

e ) tan2 60∘ +2 tan 2 45∘ f ) 2 csc2 45∘ − 3 sec2 30∘

g ) tan2 45∘ sen 60∘ tan 30∘ tan2 60∘ h )12

csc2 60∘ +sec2 45∘− 2 ctg2 60∘

i)tan 120∘ + tan (−150∘)1 − tan 120∘ tan (−150∘)

j) tan 90∘ tan 45∘− sen 30∘

3 − tan 90∘ sen (−150∘ )

k ) cos 60∘−tan2 45∘ +

34

tan 230∘+cos2 30∘ sen 30∘

l) tan 180∘ − 2 cos 180∘ +3 csc 270∘ − sen 90∘

m) hallar el valor de x si : tan245∘−cos2 60∘ = x sen 45∘ cos 45∘ tan 60∘

34.Dar los valores de θ comprendidos entre 0° y 360° que satisfacen a cada una de las siguientes expresiones.

a ) senθ = 12

b ) sen θ= − √32

c ) sec θ= √2

d ) ctg θ=−√3 e ) 2 sen θ+1= 0 f ) 23 tanθ =−√3g ) ctgθ=−1 h ) √3 sec θ−2= 0 i) tan θ− √3 = 0

35. Resolver los siguientes triángulos rectángulos en ángulo C. dados:

a ) A = 20∘ c = 80 b ) A = 36∘ c= 1c ) A = 10∘ b= 30 d ) A = 75∘ a = 80e ) c= 43 a= 38 .31 f ) a= 23 . 32 b= 50g ) a= 30 . 21 c= 33 .33 h ) a= 5√3 b= 15

36. Usando relaciones trigonométricas fundamentales. Calcular los valores de todas las funciones a partir de los siguientes datos.

a ) cos x =−45

si x está en el cuadrante II

b ) tan x = 32

si x esta en el cuadrante III

c ) cscθ=−3 si θ está en el cuadrante IVd ) ctg A =−2 si A está en el cuadrante IIe ) senθ= 0 .25 si θ está en el cuadrante II

37. Reducir las siguientes funciones a otras como un ángulo agudo positivo

a ) sen 130∘ b ) cos (−30∘) c ) ctg (4 π5 )

d ) cos (16π5 ) e ) csc (835∘ ) f ) tan (−3π

4 )g ) cos (−135∘) h ) sen (−17π

6 ) i ) cos (−680∘ )

38.Expresar cada una de las siguientes funciones como una función A

a ) cos (A−180∘) b ) sec (π−A ) c ) sen (π+A )d ) cos (−450∘−A ) e ) sec (−A −90∘ ) f ) tan (720∘−A )g ) cos (A−90∘ ) h) tan (a−360∘ ) i) sen (−540∘−A )

39.Expresar la función de sen A ; a cada una de las cinco funciones trigonométricas de A.

40.Expresar en función de tan θ ; cada una de las siguientes funciones

trigonométricas de θ .

41.Expresar en función de cos θ ; cada una de las cinco funciones

trigonométricas de θ .

42.Si cos

α2= √ s ( s−a )

bcy s=a+b+c

2. probar que : sen

α2= √ (s−b ) ( s−c )

bc

43.Si senα = a

a+1; tan β= 1−a

a, además α−β=90∘; con β ángulo agudo.hallar el

valor de a .

44.Si senα = a−5

5a; tan β= 3

5−ay α+β= 270∘ ; con β ángulo agudo .

hallar el valor de a

45. Si sen β= 4 √a

5 a−3,.

hallar los lados del triangulo de la figura

46.Hallar el valor numérico de :

( sen3φ cos3φ ) (sec2φ−tan2φ )(1−senφ cos φ ) ( senθ+cosθ ) si θ= −315∘

47. Si csc x= 7

3; x en el II cuadrante ,

hallar tan x

48.Si tanφ= a+1

3. hallar los lados del triangulo.

49.g

50.En los triángulos ABC los ángulos A y B son de 30° y 135° respectivamente, y el lado AB de 100m. hallar la longitud perpendicular desde C al lado AB prolongado

51.En el triangulo ABC, AB= 20; BC=33 y B= 42°. Hallar la longitud de la perpendicular desde A a BC y el Angulo C

52.Hallar la tag del Mayor de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo. Si el cuadrado de la hipotenusa es igual a 5/2 del producto de los catetos.

53.Probar las siguientes identidades:

1 . csc x−sen x 2. ctgx⋅sec x=csc x

3 . sec2 x (1−sen2

x )=1 4 . tan2 x−sen2 x=sen2 x tan2 x

5 . sec4 x− sec2 x 6 . (1+ ctg2 x ) sen2 x= 1

7 .sec x−csc xsec x+csc x

=tan x−1tan x+1

8.tan x+tan ysec x−sec y

= sec x+sec ytan x−tan y

9 . (sec2 x−1 ) ctg2 x= 1 10 . √1−sen2 x⋅sec x =111. sec2 x+csc2 x= sec2 xcsc2 x 12 . tan x +ctgx= sec xcsc x

13 .senx+senysenx−seny

14 .1−senxcos x

=cos x1+senx

15 .senx √sec2 y−1

sen y √1−sen2 x= tan x sec y 16.

csc4 x−1

ctg2 x= 2+ctg2 x

17 .cos x1−senx

+1+senxcos x

=2+2 senxcos x

18 .sen4 x−cos4 x

1−ctg4 x

19 .tan xcsc x−ctgx

−senxcsc x+ctgx

=sec x+cos x 20 . csc x +ctgx=senx1−cos x

54.Demostrar las siguientes identidades.

1 . sen 420 cos390∘+cos (−300 ) sen (−330 ) =12 . 3 tan 210∘+ 2 tan120∘=− √33 . cos 570∘ sen 510∘− sen 330∘cos 390∘ = 04 . 5 sec2135∘−6ctg2 300∘ = 85 . a cos (90∘−x )+b cos (90∘+x ) = (a−b ) senx

6 . cos13

( x−270∘ )=sen13x

7 . mcos (π2 −x ) sen (π2 −x)= m senx cos x

8 . tan12

(2π+x )= tanx2

9 . tan x+ tan (− y ) −tan (π− y )= tan x

10 . csc14

(x−2π )= tanx2

11. (a−b ) tan (90−x )+ (a+b ) ctg (90∘+x )= (a−b ) ctgx −(a+b ) tan x

12 . cos (π+x ) cos (3 π2

− y)= cos x seny−senx cos y

55. Probar las siguientes identidades. Transformando el primer miembro en el segundo.

1 . 2 sec x ctg x = 2csc x 2. senθ ctgθ secθ = 13 . (1+ tan2 x ) (1−cos2 x )= tan2 x 4 . (ctg x+1 )2+(ctgx−1 )2= 2 csc2 x

5 . sen2θ (1+sec2θ )=sec2θ−cos2θ 6 . csc α tan α = sec α

7 . sen2θ ( 1+ctg2θ ) = 1 8 . sen2 x sec2 x−sec2 x=−1

9 . (senx+cos k )2+ (senx−cos x )2=2 10 . tan2 xcos2 x+ctg2 x sen2 x=111. sec2 x+csc2 x = sec2 x csc2 x 12. tan x+ctg x= sec x csc x13 . sen4 x +cos4 x=1−2 sen2 x cos2 x 14 . 2 sen2θ−1= 1− 2 cos2θ

15 .1cos2θ

−sen2θcos2 x

=1 16 .sen2φ1+sec φ

+cos φ=1

17 .1− senφcosφ

= cos φ1+senφ

18 .1+tan2γ

1+ctg2 γ= tan2 γ

19 .1−cos2θcos2θ

= tan2θ 20 .senθ cosθ1−sen2θ

=tan θ

21 .1−tan2θ

1+ tan2θ=cos2θ−sen2θ 22 .

tan2θ+1tan θ+ctgθ

= tan θ

23 .senx1+cos x

+1+cos x 2 csc xsenx

24 .tan x − ctg ytan y−ctg x

¿

=tan x ctg y ¿25 .csc2 x1+ tan2 x

= ctg2 x 26 .sen x1+cos x

+ctg x ¿27 .1+ctg2 x1+ tan2 x

⋅ tan2 xctg2 x

= sen2 xcos2 x

28 . 1+ ctg2 x1+csc x

= csc x ¿29 .tan2θ (secθ−1 )secθ+1

−sec2θ= 1−2 secθ 30 .cos x−sen x+1cos x+sen x−1

=csc x+ctg x ¿31.cosθ (1− tan2θ )

cosθ −senθ=1+ tan θ 32

sec2θ (1+cosθ tanθ )( tanθ+secθ )2

=12

¿33 .tan x −sen x

sen3 x=sec x

1+cos x34 .

1−cos x1+cos x

=(ctg x−csc x )2 ¿35.sen x−cos x+1sen x+cos x−1

=1+sen xcos x

36 .tan2x (sec x−1 )sec x+1

−c= 1−2sec x ¿37 . 1−sen x= (1+sen x ) (sec x−tan x )2 38 . 1+cos x= (1−cos x ) (csc x+ctg x ) 2 ¿39 . senθ ( senθ cosθ )2 cscθ−2 sen θ cosθ=1 40 . tan2θ+1= ( tanθ+1 ) ( sec2θ− tan θ ) ¿41 . ( tanα+ctg α )2= sec2α+csc2α 42. sec2 x−tan2x=3 tan2 x sec2 x+1 ¿43 . (1−sen x+cos x )2= 2 (1−sen x ) (1+cos x ) ¿ 44 . (a sen x−bcos x )2+(acos x+bsen x )2=a2+b2 ¿45 . sen2 x+cos2 x=1−3 sen 2 xcos2 x ¿ 46. csc (90∘−x )−tan x sen (90∘−x ) ctg (90∘−x )=cos x ¿47 . cosα (secα+cscα )+senα (secα−cscα )=secα cscα ¿ 48. 1−3cos2φ sen2φ+2 sen3φ cos3 φ= ( cos2φ+ cos3φ )2 ¿ 49. senθ tan2θ+cscθ sec2θ−2 tan θ secθ= cscθ−senθ ¿50 . 9 sen2θ − 6 ctg2θ+7 csc2θ= ( 3 sen3θ+cos3 θ )2 ¿51. sen2 x tan2 x+ cos2 x ctg2 x= tan2 x+ctg2 x−1 ¿52 . 7 sec2θ−6 tan2θ+9 csc2θ =( 1+3cos2θ )2

cos2θ¿53 .

sen2 x ( cos4 x−sen2 x )+cos6 x

cos2 x (2 cos2 x−1 )= sec2 x ¿¿

54 . ctg θ [√1+sen θ1−senθ

+√1−senθ1+senθ ] = 2 csc θ

55 .sen x2 √1+cos2 x

sen x [√sen3 x1+cos2x

+ √1+cos2 xsen x ] =1

56 .cos x2 √1+sen2 x

cos x [√cos3 x1+sen2 x

+ √1+sen2 xcos x ] = 1

57 . √sec2θ−1

sec2θ (1+ctg2θ )+ctg

2θcscθ √csc2θ−1

csc2θ= (1+ctg2θ ) (1−senθ cosθ )

58 .sen2φ cos2φ+cos4φ+2cos2φ+sen2φ1−tan2 φ

= 3+tan2φ1−tan4 φ

59 . [1+1

1+11cos2 x

−1 ] [1+11cos2 x

−1 ] = 1+ csc2 x

60 . [1+ 1

1+11sen2 x

−1 ] [1+11sen2 x

−1 ] = 2csc2 x −tan2 x

61 .sen3 x +senx (1+senx ) cos x +cos2 x

sen4 x−cos2 x= 1+ tan x

senx tan x−1

62 .2sen3 x+sen2 x+senx+1

− 2sen 3 x−sen2 x+senx−1

= 4 sec2 x2−cos2x

63 . [1+1senθ

1senθ

⋅

1senθ

sen2θ+1senθ

]÷ [1senθsenθ−1 +1senθ

]= 1

64 . √ (1+ctgx ) senxsen3 x+cos3 x

−√1+ctg3 x

csc2 x (1+ctgx )=senx cos x

√1−senx cos x

65 . [senxcos y+cos ysenx

−1

sen2 xcos2 y

+cos ysenx

+1⋅

1+cos ysenx

senx−cos y ]÷ [1+cos3 ysen3 x

sen2 xcos y

−cos2 ysenx

] =1

56. Resolver las siguientes ecuaciones para valores positivos del ángulo comprendidos entre 0 y 2π .

1 . senx= √32

2. cos2 x=12

3 . senx cos x= 0 4 . 2 senx −1 = 05 . ( tan x −1 ) ( 4 sen2 x−3 )= 0 6 . sen2 x +senx−2=07 . 3 cos2 x= sen2 x 8 . 2 senx−csc x= 19 . 2 csc x = tan x+ ctgx 10 . tan x−2 ctgx =111. csc x+ ctgx =√3 12 . cos x− √3 senx=113 . 2cos x= 1−senx 14 . 2 senx tan x+ tan x−2 senx−1 =015 . 2 sen2 x − senx−1 = 0 16 . 2 tan x senx− tan x= 017 . 2 cos x+sec x=3 18 . 2 senx+csc x= 319 . senx+1 = cos x 20 . sec x−1= tan x21 . senx−2 senx cos x = 0 22 . 2 tan2 x + sec2 x= 223 . 2 sec x = tan x+ ctgx 24 . 2 cos x+3 senx= 225 . 3 senx +5 cos x +5 = 0 26 . sec2 x = 2 tan2x27 . sec2 x = 3 tan2 x−1 28 . ctg2 x + csc2 x= 3

29 . 3−5 tan x + 5 = 3ctgx

30 .13+cos x

= 14−cos x

31 . (cos x−1 ) (2 cos−1 )= 0 32. tan4 x − 9 = 033 . √3 (tan x+ ctgx ) = 4 34 . 2 cos2 x+4 sen2 x = 335 . 6 cos2 x = 1+cos x 36 . 4 senx = 12 sen2 x−137 . 2 sen2 x = 3 cos x 38. 4 sen2 x−4 senx+1= 039 . 3 sec2x−2 √3 tan x−2 = 0 40 . 4 cos2x−2 (1+√3 ) cos x+ √3= 041 . 4 sen2 x+4 √3 cos x−7= 0 42 . 4 sen2 x− 5 senx +1 = 043 . 2 senx cos x− senx−2 cos x =−1 44 . sen2 x−4 senx cos x+cos2 x = 045 . 4csc x+2 senx= 9 46 . 2 cos x + 2 √2 = 3 sec x47 . 6 tan x−5 √3 sec x 48 . sen 3 x−cos3 x= 049 . (4 cos2 x−3 ) (csc x+2 )= 0 50. 2 √3 cos2 x = senx51 . 4 sec2 x−7 tan2 x−3= 0 52 . 2 tan2 x+3 sec x

57. Probar que :

1 . sen (A+45∘ )= √22

(senA+cos A )

2 . 2 sen (30∘−A )= cos A−√3 senA3 . sen (A+B+C ) = senAcosB cosC+cos A senB cosC+cosA cosB senc − senA senB sen C4 . cos ( A+B+C ) = cos A cosB cosC−senAcosB sen C−cos A senB sen C−senA senB cosC

58. Hallar los valores de :

1 . sen (A+B ) y cos ( A−B ) si cos A =45

y cosB =35

2 . sec ( A+B ) si sec A= 175

y cscB= 54

3 . cos 75∘ . usando las funciones de 45∘ y 30∘

4 . sen 105∘ . usando las funciones de 60∘ y 45∘

5 . sen 90∘ y cos 90∘ usando las funciones de 60∘ y 30∘

6 . sen 15∘ . usando las funciones de 45∘ y 30∘

7 . cos 15∘ . usando las funciones de 60∘ y 45∘

59.Encontrar sen (α+β ) , cos (α+ β ) , cos (α−β ) y determinar los cuadrantes que

pertenecen (α+β ) y (α−β ) dados:

1 . senα=45, cos β=

513

; α y β en el I cuadrante .

2 . senα= 23, cos β= 3

4; α en el II cuadrante y β en el IV cuadrante

60. Probar que:

1 . sen (45∘+θ ) −sen (45∘−θ )= √2 sen θ2 . sen (30∘+θ ) +cos (60∘+θ )=cosθ3 . sen (α+β )+sen (α−β )= 2 sen α cos β4 . cos (α+ β ) −cos (α−β )=− 2 senα sen β

5 .tan (α+ β )−tan α

1+ tan (α+ β ) tan α= tan β

6 . (senα cos β−cos α sen β )2 + (cos α cos β+senα sen β )2=1

7 . tan (45∘+x )= 1+ tan x1−tan x

8 . tan (45∘−x )= 1−tan x1+ tan x

9 . ctg (x+210∘ )= √3 ctgx−1ctgx+√3

10 . 1−tan x+ tan y=cos ( x+ y )cos x cos y

61.Si x esta en el tercer cuadrante y tanx= 2 hallar:

1 . sen2 x 2. cos2 x 3 . tan 2 x

62. Si x está esta en el tercer cuadrante y senx= -

35 . Hallar:

1 . cos (90∘+x ) 2 . sen (180∘−x ) 3 . csc (180∘+2 x )

63. Si x esta en el segundo cuadrante y tanx= -

512 . Hallar:

1 . ctg 2 x 2 . sen (180∘−2x ) 3. sec (270∘−2 x )

64. Considerando que cada una de las funciones siguientes como una función de un ángulo doble, expresarlo en ángulo sencillo.

1 . sen 6 x 2 . sen 10∘ 3 . cos x 4 . tan 400∘ 5. cos3 x 6 . cos 4 x

65. Hallar los valores de: a ) sen 15∘ b ) 292

12

∘.usando las formulas del ángulo

de la mitad.

66.Hallar los valores de sen, cos y tan de

θ2, dado

senθ= 513

y θen el II

cuadrante.67. Dado un triángulo rectángulo en C; probar cada una de las siguientes

relaciones:1 . sen 2 A = sen2 B 2. cos2 A+cos 2B= 0

3 . cos 2 A = b2−a2

c24 . sen3 A = 3ab2−a3

c3

68. Expresar como suma o diferencia:

1 . sen 40∘ cos30∘ 2 . cos 50∘ cos35∘

69.Expresar como un producto:

1 . sen70∘−sen 20∘ 2 . cos 35∘− cos75∘

70.Expresar cos3x en términos de cosx

71. Si A+B+C = 180°. Probar que : sen2 A+sen2 B+sen 2C= 4 sen A sen B sen C72.Verificar las siguientes igualdades:

1 . sen 42∘ +sen 18∘ = cos 12∘

2 . sen 50∘ −sen 10∘ = √3 sen20∘

3 . cos 60∘+cos 30∘= √2 cos 15∘

4 . cos 80∘−cos 20∘=−sen 50∘

5 . sen (60∘+x )+sen (60∘−x ) = √3 cos x6 . sen ( 45∘+x )−sen ( 45∘−x )= √2 senx7 . sen ( x+ y ) sen ( x− y )= sen 2 x−sen2 y8 . cos 5 x+ cos 9 x= 2 cos 7 x cos 2 x9 . tan (45∘+x )−tan (45∘−x )= 2 tan2 x

10 .sen 7 x−sen5 xcos 7 x + cos5 x

= tan x

73.Probar las siguientes identidades transformando el primer miembro en el segundo:

1 .sen ( x+ y )cos x cos y

= tan x + tan y 2 .cos3 xsenx

+sen 3 xcos x

= 2ctg 2x

3 . ( senx+cos y )2 = 1+sen2 x 4 . cos4 x−sen4 x= cos2 x

5 .cos ( x− y )cos ( x+ y )

= 1+ tan x tan y1−tan x tan y

6 . ctgx +ctgy=sen ( x+ y )senx seny

7 .ctg ( 45∘− y )ctg ( 45∘+ y )

= 1+sen2 y1−sen2 y

8 .2−sec2 x

sec2 x= cos2 x

9 .tan (θ−ϕ ) + tan ϕ1−tan (θ−ϕ ) tan ϕ

10 . csc 2 y=sec y csc y2

11. sen2θ= 2 tan θ1+ tan2θ

12 . 2cos2x2

= 1+ cos x

13 . cos2 x= 1−tan2 x

1+ tan2 x14 .

sen2x−senxcos 2x+cos x

= tanx2

15 .sen21+cos 2x

= tan x 16 .2 senx−sen2 x2 senx+sen2x

= tan2 x2

17 . sec2 x = csc2 x

csc2 x−218 .

1+sen2 x1−sen 2x

= ( tan x+1tan x−1 )

2

19 . ctgx = sen 2x1−cos 2x

20 .cos3 x+sen3 xcos x+senx

= 2−sen2x2

21 .sen3 x−senxcos3 x+cos x

= tan x 22 .sen3 x−senxcos x+cos 3x

=ctg 2 x

23 .cos4 x−cos xsenx−sen 4 x

= tan52x 24 .

cos x−cos3 xsen3 x−senx

= tan 2 x

25 . 2ctg 2x= ctg tan x 26 . 2 sen3 x cos5 x= sen8 x−sen2x

27 . sec2 x−tan 2 x= cos x−senxcos x+senx

28 . ctgx4

=sen

x2

1−cosx2

29 . cos 5x+cos 9x= 2 cos7 x+cos2 x 30 . ctg2 x (1−cos2x )+2 sen 2 x= 2

31 . (sen x2

−cosx2 )= 1−senx 32.

ctg (90∘+x )cos2 x−1

=csc2 x

33 . ctgx2

+ tanx2

= 2 csc x 34 .cos x1−senx

=1+ tan

x2

1−tanx2

35 .1−tan

x2

1+ tanx2

= cos x 36 . 1+ ctg2x2

=2

senx tanx2

37 . cos ( x− y )= 1+ tan x tan ysec x sec y

38 .tan2 x

2+ ctg2 x

2

tan2 x2

− ctg2x2

=− 1+cos2 x2 cos x

39 .1+cos x+cos

senx−senx2

= ctgx2

40 .sen ( y−z )cos y cos z

+sen (z−x )cos z cos x

+sen ( x− y )cos x cos y

=0

41 . tan 3 x− tan 2− tan x= tan 3 x tan 2x tan x 42. sen25 x−sen22= sen7 x sen3 x

43 . 4 senx2

cos x cos3 x2

= senx−sen2 x +sen3x 44 . 4 senx sen (60+x ) sen (60−x ) = sen3 x

45 . 2 cos2 x2

= 1+sec xsec x

46 .cos 2xsec x

−sen2 xcsc x

=cos3 x

47 .cos (2 x−3 y )+cos3 y

sen (2x−3 y )+sen3 y48.

1+ tan x1− tan x

=sec 2x+ tan2 x

49 . ( 1+ tan x1−tan x )

2

=1+sen 2x1−sen2 x

50.sec2 (π 4

+α2)

2 tan x (π 4+α

2)= sec x

51 .1+senx−cos x1+senx+cos x

= tanx2

52 .senx+sen2 x+sen3 xcos x+cos2 xcos3 x

=tan 2x

53 . cos 3x= 4 cos x cos (60∘+x ) cos (60∘−x )

54 . sen (30∘+x ) sen (30∘−x )=14

(cos2 x−2 sen2 x )

55 . 1−4 sen4 x−2 sen2 x cos2 x= cos2 x56 . senx+sen2x+sen3 x= sen2x (1+2 cos x )57 . cos x+cos2x cos3 x=cos 2x (1+2cos x )

58 . sen4 x =14 (1−2 cos2 x+1+cos 4 x

2 )59 . cos4 x=1

4 (1+2 cos2 x+1+cos 4 x2 )

60 . sen4 x cos4 x=164 (1−2cos 4 x+

1+cosBx2 )

74. Si X+Y+Z= 180° probar las siguientes expresiones.

1 . senx+seny+senz=4 cosx2

cosy2

cosz2

2 . cos x+cos y+cos z= 4 senx2

seny2

senz2

+1

3 . senx+seny+senz= 4 senx2

seny2

cosz2

4 . sen2 x+sen2 y= sen2 z+2 senx seny cos z5 . cos2 x+cos2 y+cos2 z+2 cos x cos y cos z=1

75.Resolver las siguientes ecuaciones para valores de 0¿ θ ≤ 2 π

1 . sen 3 θ= √22

2 . tan 2 θ=1

3 . sen2 2θ= 1 4 . cosθ2

= cos2θ

5 . cot2θ2=3 6 . sen 2θ+cos θ= 0

7 . cos 2 θ= sen2θ 8 . 2 cos2 θ2

= cos2θ

9 . cos 2 θ+cosθ+1= 0 10 . sen 2 θ+ senθ cosθ= 011. tan 2 θ+2 senθ= 0 12 . sen 2θ= cos2θ

13 . cosθ sen 2θ csc θ=1 14 . sen 2θ= sen 2θ15 . sen 3θ = cos 2θ 16 . tan 4θ=cot 6 θ17 . sen θ+sen 2θ+sen 3θ= 0 18 . sen 5θ−sen 3θ−sen θ=019 . sen 3θ−sen 2θ−sen θ= 0 20 . cos 2θ= cos θ

21 . tan (θ+45∘)= 1+sen 2θ 22 . sen θ+senθ2

=1−cos θ

23 . sen (2θ−180∘)= cos θ 24 . sen2 2θ−sen 2θ−2=025 . sen 4θ−cos3 θ=sen 2θ

76.Resolver cada uno de los siguientes sistemas para r ≥ 0 y 0 ≤ θ ≤ 2 π

1 . r= a senθ 2. r= a cosθr= a cos 2 θ r = a sen2θ

3. r = 4 (1+cos θ )r = 3 sec θ

77.Hallar los valores de X e Y que satisfacen el sistema

x2+x= sen 2θ+2 y (1 )x2−x cosθ= 2 y (2 )

2 x= 2 y+1 (3 )

78.Resolver para r> 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π el sistema:

r senθ=2 (1 )r cosθ = 3 (2 )

79. Aplicaciones

1. En un cierto instante la sombra proyectada por un edificio sobre el plano horizontal es 80m. si el ángulo de elevación del extremo de la sombra a la cúspide del edificio es de 35°. Hallar la altura del edificio. R/= 56.02m

2. Una escalera de 3m está colocada contra una pared, si el pie de la escalera esta a un metro del pie de la pared. Hallar el ángulo de elevación. R/= 10° 31’ 43.6”

3. La base de un triangulo isósceles mide 20.4 m y los ángulos de la base miden 48° 30’. hallar los otros elementos del triangulo. R/= b=a=15.39mÁngulo c= 83°

4. Si un alambre de sostén de poste tiene un ángulo de elevación de 55° y está fijo a la tierra a 8m de pie del poste y el punto de apoyo en el poste esta a 2/3 de su longitud a partir de su base. Cual es la altura del poste? R/= 17.136m

5. En la cima de una colina hay un asta de bandera. Desde el punto A; en el terreno llano , los ángulos de elevación de los extremos D y B del asta miden respectivamente 47° 54’ y 39° 45’. Hallar la altura de la colina si el asta mide 115.5m; R/= 349.97m

6. Un punto en el suelo se encuentra 135m del pie de una torre. El ángulo de elevación de dicho punto a la cúspide de la torre se de 53° 20’. Hallar la altura de la torre. R/= 181.34m

7. Hallar la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su extremo superior crece desde 20° hasta 40° cuando un observador avanza 75m.Hasta el pie del árbol. R/= 48.21m

8. Desde la parte superior de una torre de 120m de altura se observa que el ángulo de depresión de un objeto que esta a nivel con la base de la torre es de 27° 43’, ¿Cuáles son las distancias del objeto a la parte superior y a la base de la torre? R/= 258m; 228.4m

9. Un barco se acerca en línea recta hacía un faro. en un cierto instante el ángulo de elevación del barco a la cima del faro es 10°; sigue acercándose y cuando su distancia al faro es de 500m. el ángulo de elevación es de 20°. Hallar la distancia inicial del barco al faro. R/=1032.1m

10.Un lado de un octógono regular circunscrito a un circulo es de 12.8 pulg. Hallar el radio el radio del círculo y el área del octógono.

R/=15.45pulg ; 791.04pulg2

11.La altura de un triangulo isósceles es 8.96 pulg y el ángulo del vértice es 20.6°. hallar los ángulos iguales y los lados. R/= ángulo= ángulo=79.7A= b = 9.11 pulg

12.Una cuerda de un círculo tiene 12 pies de longitud. Y el ángulo que ella subtiende en el centro es 41.6°. Hallar el radio del círculo. R/= 16.9 pies

13.Probar que el área de un triangulo rectángulo esta dada por cada una de de las igualdades siguientes, donde S representa el área y C es el ángulo recto.

a ) S=12bc senA b ) S= 1

2ac cos A c ) S= 1

2c2 senA cos A .

14. Si R es el radio de un círculo. Probar que el área de un polígono regular

circunscrito de n lados esta dado por: A= nR2 tan

180∘

n.

15.un globo es observado simultáneamente desde dos puntos situados a un mismo nivel horizontal. desde uno de los puntos el globo se observa en la dirección este y su ángulo de elevación es de 78° 13’; desde el otro punto el globo se ve en la dirección oeste y el ángulo de inclinación

es de 66° 5’. Si los dos puntos están en una distancia de 1052m. ¿a que altura esta el globo? R/=1613.20m.

16.en un cierto punto el ángulo de elevación del pico del la montaña es de 40° 30’. A una distancia de 3 millas mas lejos en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevaciones 27° 40’. Hallar la altura de la montaña sobre el plano horizontal y la distancia horizontal del primer punto de observación al punto directamente bajo el pico de la montaña. R/= 4.07 millas; 4.77 m

17. en un cierto punto A, el ángulo de elevación es α : en un punto B. a millas más alejado del A y en el mismo plano horizontal su ángulo de

elevación es β . Si h representa la distancia del plano al pico de la

montaña y x la distancia horizontal del pie a del pico al punto A. probar

que:

h= a tan α tan βtan α− tan β

x= a tan βtan α− tan β

18.Un puente tiene longitud de 3 m. desde uno de los extremos el ángulo de depresión de una roca situada directamente abajo del puente es α y

del otro extremo del ángulo de la roca es θ . ¿a qué altura h está el

puente sobre la roca? Sol:

[ 3 sen α senθ ][sen (α+θ ) ]

19. Una torre se eleva sobre un plano horizontal. Un observador que camina que camina en dirección a ella observaba al llegar a cierto punto , que el ángulo de elevación es de 15° 16’.a) ¿A qué distancia estaba la base de la torre en cada punto de

observación?b) Calcular la altura h de la torre.

R/= 814.7 m; 1229.7 m; h = 22.33m.20. Probar que el área A de cualquier triangulo es:

[b2 sen γ senα ]2 sen ( γ+α )

Con α y γ

ángulos de la base del triangulo.21. Los lados paralelos de un trapecio son a, b y los ángulos formados por

los lados no paralelos en los extremos de uno e los lados paralelos son

respectivamente α y β

. Hallar las longitudes de los lados no paralelos.

R/=

[ (a−b ) sen β ][sen (α+β ) ]

;[(a−b ) senα ]

[sen (α+β ) ]

22.Pruebe que el área de cualquier cuadrilátero convexo es igual a la mitad

de productos de sus diagonales por el seno del ángulo incluido.

23. A lo largo de la playa de un rio es medida la longitud de 500m. los ángulo de los extremos de ésta línea a un punto P sobre el lado opuesto son de 62° 35’ y 55° 20’ respectivamente. hallar el ancho del rio. R/= 413.1m

24. Un puente está siendo construido a través de un valle son

respectivamente α y β . probar que la altura del pilar levantado desde el punto más bajo del valle al soporte del puente es:

h= l senα sen β

sen (α+β )

80. Geometría analítica:1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: a) (-5) y (6)

b) (3) y (-7)2. La distancia entre dos puntos es 9. si uno de los puntos es (-2) . hallar el

otro punto (dos soluciones).3. Un extremo de un segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es

(3). Hallar las coordenadas del otro extremo.4. Hallar la distancia entre los puntos; a) (6, 0) y (0, -8)

c) (-1,-3) y (3,-4)5. Probar que los puntos A (2,1); B (4,0) y C (5,7) son los vértices de un

triangulo rectángulo. halle su área.6. Hallar x de modo que la distancia entre A (x, 3) y B (2,-1) es 5.7. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (-1,1) y B

(3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice (dos soluciones)8. Probar que los puntos A (3,8), B (-11,3) y C (-8,29 son los vértices de un

triangulo isósceles.9. Los vértices de un triangulo son A (3,8),B (2,-1) y C (6,-19)