11san marcos rEGULar 2014 II TrIGonomETra TEma 10

SnII2t10

TrIGonomETraTEma 10

IdEnTIdadEs TrIGonomTrI-cas dE arcos compUEsTos

DESARROLLO DEL TEMA

I. IdentIdades trIgonomtrIcas para la suma de dos arcos

Estas igualdades se verifican para todos los valoresadmisiblesdesusvariablesysonlassiguientes:

Sen(x+ y) =SenxCosy+CosxSeny

x,y

Cos(x+ y) =CosxCosxySenxSeny

x,y

Tan(x+ y) = Tanx+Tany1 TanxTany

x,y,(x+ y) (2k+ 1) p/2;K

Ejemplo:

CalculeelvalordeSen75

Resolucin

Expresamosnuestravariablequees"75"enfuncindengulosconocidosporejemplo"45+30",paraluegoaplicarlasidentidadesdelasumadengulos

Sen75= Sen(45+ 30)= Sen45Cos30+ Sen30cos45

Sen75 = +22

22

23 1

2

6 2Sen754

+=

II. IdentIdades trIgonomtrIcas para la dIferencIa de dos arcos

Estas igualdades se verifican para todos los valoresadmisiblesdesusvariablesysonlassiguientes:

Sen(x y) =SenxCosyCosxSeny

x,y

Cos(x y) =CosxCosy+SenxSeny

x,y

Tan(x y) = TanxTany1 +TanxTany

x,y,(x y) (2k+ 1) p/2;K

Ejemplo:

CalculeelvalordeTan8

Resolucin:

Expresaremosnuestravariable8enfuncindengulosconocidos.

Tan45 Tan37Tan8 Tan(45 37 )1 Tan45 Tan37

= =

+

3 114 4Tan83 714 4

= =+

1Tan87

=

identidades trigonomtricas de arcos compuestos

22 san marcos rEGULar 2014 IITrIGonomETraTEma 10

III. demostracIn del seno y coseno de la suma de dos ngulos

Delsiguientegrfico:

C.T.

RSenyCosx

SenxSeny

M

SenxCosx

C.T.

Ax

S

T

x

x

CosxCosyCosq

Cosy

y

P

Senq

Seny

q

Q

1

y

A'

Enelgrficoseobservaque q (y +x)sonsuplementarios

"Senq =Sen(y+x)

"Cosq = Cos(x+ y)

Ademas QP = RS

Senq = SenxCosy+SenyCosx

Sen(x+ y) =SenxCosy+SenyCosx

Tambin:PS= QR

Cosq +CosxCosy=SenxSeny

Cosq =SenxSenyCosxCosy

Cos(x+ y) CosxCosy

Cos(x+ y) =CosxCosySenxSeny

Iv. IdentIdades auxIlIares

Sen(x y) Tanx TanyCosxCosy

=

Sen(x+y)Sen(x y) =Sen2xSen2ySen(x+y)Sen(x y) =Cos2y Cos2x

Cos(x+y)Cos(x y) =Cos2xSen2y

Tan(x y) =TanxTanyTanxTanyTan(x y)

Observacin:

Si : 454

Tan Tan Tan Tan 1

pa b < >

a b a b

=

=

Importante:

f(x) aSenx bCosx; x

a b f(x) a b

2 2 2 2

=

+ + +

v. propIedades para tres ngulos

Estas propiedades se cumplen siempre que los tresngulosestnrelacionadosbajounacondicin

1. Siendo:

x+ y + z = pkp,k

Tanx+Tany+Tanz=TanxTanyTanz

CotxCoty+CotxCotz+CotyCotz= 1

x, y, z (2n 1) ;n2

x, y, z n ,n

p

p

+

2. Siendo:

x y z (2k 1) ;k2 2p p + + = +

Cotx+Coty+Cotz=CotxCotyCotz

TanxTany+TanxTanz+TanyTanz= 1

x, y, z n ;n

x, y, z (2n 1) ;n2

p

p +

identidades trigonomtricas de arcos compuestos

33san marcos rEGULar 2014 II TrIGonomETra TEma 10

Problema 1

Indiquelaexpresinequivalentea

E Cos x Cosx x Cosx, ]0; [6 6 2p p p

= + +

A) 3Cosx

B) 2 3Cosx

C) ( 3 +3)Cosx

D) ( 3 +1)Cosx

E) (2+ 3)Cosx

UNMSM 2014II

Resolucin:

Planteamiento

Sabemos:

Cos(x y) =Cosx.CosySenx.SenyCos(A B) =Cos(A+ B)

Desarrollando las formulas:

E Cos .Cosx Sen Senx6 6p p= Cosx.Cos

6

Senx.Sen6

p +

p

+

Cosx+

E 2Cos Cosx Cosx6p= +

E 3Cosx Cosx= +

E ( 3 1)Cosx= +

Respuesta: D

Problema 2

Si:4pa b+ = ,halle(1cota)(1 cotb)

A) 2/3

B) 3 2

C) 3 2/2

D) 2 3

E) 2

UNMSM 2014II

Resolucin:

Inicialmenteubicamoslapropiedad

4pa b+ = "Tana +Tanb +Tana.Tanb = 1

Enbaseaestapropiedad,seprocederaindicarlaformadelaincgnita.

Tana +Tanb +Tana.Tanb = 1

Dividiendo miembro a miembro por "Tana.Tanb"

Cotb +Cota + 1 =Cota.Cotb

Trasponiendo

(Cotb Cota.Cotb) (Cota 1) + 1 = 1

Factorizando:

Cotb(1 Cota) (Cota 1) =2

Respuesta: E

Problema 3

Enlafigura,Tana =2 3

q

a

60

A) 5/ 3

B) 7 3/9

C) 7/2 3

D) 5 3/9

E) 4 3/9

UNMSM 2014II

Resolucin:Planteamiento nguloscompuestos SeobservateoradenguloexteriorOperacin del problema:

q

a

60Tana = 2 3

ngulo exterior

q =(60+ a)Cota =Cot(60+ a)

Desarrollando

1 ( 3)(2 3)Cot3 2 3

q =+

5 3Cot9

q =

Respuesta: D

proBlemas resueltos

identidades trigonomtricas de arcos compuestos

44 san marcos rEGULar 2014 IITrIGonomETraTEma 10

proBlemas de clase

eJercItacIn

1. Calculeelvalorde:2.Sen57 Cos27

Sen27

A) 1 B) 1 C) 3D) 3 E) 2

2. Reduzcalaexpresin

SenCos(45 ) Sec2

q q q

+ +

A) 3 B) 1 C) 2/2D) 2Tanq E) 2Secq

3. CalculeelvalordeM1 1M

Tan7x Tan3x Cot7x Cot3x=

; x=15

A) 3 B) 3/3 C)1D) 3 1 E) 3 + 1

4. Reduzcalaexpresin21 Sen

4MSen(30 )Cos(60 )

q

q q

=

A) 1 B) 1/2 C)2D) 1/4 E) 3/2

5. Calculeelvaloraproximadode:(Cos60 Sen7 )(Cos60 Sen7 )

Sen23

+

A) 0,5 B) 0,4 C)0,3D) 0,6 E) 0,7

profundIZacIn

6. Delgrfico,calculeCosq

Dq

A

B C37

21A) 16/65 B) 56/65 C)16/65D) 56/65 E) 13/65

7. Calculeelvalorde:

2Sen57 3Sen272Sen72 Sen27

A) 3/2 B) 1 C) 2D) 2/2 E) 1/2

8. Enengrfico,calcule15(Tana + Tanb)

B

E

4u

3u

D1u

A 4u C

ab

A) 12 B) 13 C)14

D) 15 E) 16

9. SiSenx.Cosy= a

Calcule:

Sen (x y) 2Sen x Sen (x y) 2Sen y2 2 2 2+ + +

A) a B) a C)a

D) 2a E) 2a

sIstematIZacIn

10. Si:5Cosa = 2Cos(a 2q)

Calcule:Cot(a q) Cotq

A) 4/5 B) 3/4 C)7/3

D) 7/3 E) 7/3

11. Con los datos del tringulos ABC del grfico y Tan(q a) =0,4,calculex.

xCB

A

a

3

q

5

A) 40 B) 38,5 C)45

D) 45,5 E) 42,5

12. Simplifiquelaexpresin:

3Cos10+2Cos40+3cos80

A) 2Sen70 B) Cos50 C)4Sen70

D) Sen50 E) 2Cos50