Trigonometria 9 .º Ano...

Trigonometria - 9.º Ano 2011/2012

Novo Programa de Matemática do Ensino Básico – 3.º Ciclo Página 1

Trigonometria – 9 .º Ano

Tarefas



Introdução……………………………………………………………………………………………3

Proposta de planificação…………………………………………………………………………….4

Tarefas:

Tarefa 1 –…………………………………………………………….………………………………5

Tarefa 2 –…………………………………………………….…………………………………….12

Tarefa 3 – ………………………………………………………………………………..………...18

Tarefa 4 – …………………………………………………….……………………………………22

Tarefa 5 – ……………………………………………………………….………………………….26

Bibliografia - ………………………………………………………………………………………..27

Anexo

CD com:

Ficheiro Triângulo em Geogebra

Ficheiro trig.1 em Geogebra



Ficheiro 2 em Geogebra



Introdução

Para a concretização da tese A opinião dos professores de Matemática do 9.º Ano sobre

materiais didáticos específicos para apoiar a concretização das alterações programáticas de alunos

com N.E.E. a investigadora adaptou tarefas matemáticas e construiu ficheiros no programa geogebra

para serem utilizados pelos alunos com necessidades educativas especiais, em detrimento da sua

construção pelos mesmos, pois são construções com um nível de dificuldade elevado, o que causaria

diversas dificuldades aos alunos, assim como o desaproveitamento de tempo. Naturalmente, não são

necessários pré-requisitos na aplicação do programa Geogebra para a execução destas actividades.

A primeira tarefa produzida tem como objetivo a introdução dos conceitos de seno, co-seno e

tangente de um ângulo agudo, bem como o uso correcto das terminologias das razões

trigonométricas.

Quanto à quarta tarefa, sobre as relações entre as três razões trigonométricas,

designadamente, a Fórmula Fundamental da Trigonometria e a tangente.

Os alunos poderão aprender e compreender a Trigonometria de uma forma lúdica e mais

clara, usufruindo das capacidades deste software de Geometria Dinâmica.

Neste documento encontra-se em anexo os powerpoints, as tarefas, e a planificação do

capítulo Trigonometria. Este documento tem como objetivo auxiliar os professores, que participaram

no estudo e aqueles que no futuro pretendam aplicar estas tarefas, os powerpoints e ficheiros

geogebra.



Planificação

CONTEÚDOS COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS/

COMPETÊNCIAS ESSENCIAIS ESTRATÉGIAS/ ACTIVIDADES RECURSOS

TEMPOS

LECTIVOS (90 MIN)

Trigonometria no triângulo

rectângulo

• Razões trigonométricas de

ângulos agudos

• Relações entre razões

trigonométricas

• Identificar o seno, o co-seno e a tangente

de um ângulo agudo dado como razões

obtidas a partir de elementos de um

triângulo rectângulo.

• Estabelecer relações trigonométricas

básicas entre o seno, o co-seno e a

tangente de um ângulo agudo.

• Resolver problemas utilizando razões

trigonométricas em contextos variados.

• Propor a determinação das razões

trigonométricas de um dado ângulo

agudo por construção geométrica,

recorrendo à calculadora ou conhecida

uma razão trigonométrica do mesmo

ângulo.

• A partir das respectivas definições,

estabelecer as relações trigonométricas:

e

• Propor a determinação de distâncias a

locais inacessíveis (como a largura de

um rio num certo troço ou a altura de

um edifício).

• Apresentação dos conteúdos

recorrendo sempre que possível a

problemas/situações da vida real.

• Solicitar sempre que possível, a

participação dos alunos.

• Resolução de propostas de trabalho na

sala de aula.

• Utilização de figuras/esquemas para

interpretar e resolver problemas.

• Utilização adequada da calculadora.

• Utilizar, de acordo com a situação,

valores exactos ou aproximados,

escolhendo a aproximação adequada.

Manual adoptado

Actividades de

investigação

Fichas de trabalho

Fichas informativas

Videoprojector

Computador

Programa Geogebra

Calculadora

Régua, compasso e

transferidor

8



Tarefa 1 – Razões trigonométricas

Objetivo: ambiciona-se que os alunos reconheçam as razões trigonométricas, como razões invariantes

em triângulos retângulos semelhantes.

Tema matemático: Geometria

Nível de ensino: 3.º ciclo

Tópico matemático: Trigonometria no triângulo retângulo

Capacidades transversais:

Raciocínio matemático: formulação, teste e demonstração de conjeturas.

Comunicação matemática: discussão de resultados, processos e ideias matemáticas.

Conhecimentos prévios dos alunos:

Critérios de semelhança de triângulos

Aprendizagens visadas:

Identificação do seno, do co-seno e da tangente de um ângulo agudo dado como razões obtidas a

partir de elementos de um triângulo retângulo.

Recursos: Computador com software de geometria dinâmica – Geogebra.

Notas para o professor:

O professor disponibiliza a cada aluno (ou par de alunos) uma pasta contendo o ficheiro

geogebra necessário para a concretização da tarefa1. O professor deve orientar os alunos de forma a

estes resolverem a atividade o mais autonomamente possível. Após os alunos terem resolvido os 17

primeiros itens, o professor analisará, em conjuntos com os alunos com NEE, a conjectura que os alunos

enunciaram e posteriormente em plenário. Onde o professor deverá organizar as conclusões dos alunos

numa síntese, definindo as razões de um ângulo agudo.

Se os alunos não obtiverem êxito na resolução do item 17 ou se demonstrarem dificuldades, o

professor deverá algumas pistas, tais como:

- quando movem o ponto P obtêm-se triângulos diferentes.

- como são os ângulos desses triângulos?

- como se designam esses triângulos?

O professor deverá dar importância às notações de sen(), cos e tan .

Para completarem a tabela do item 7, 10, 11 e 14, o professor poderá orientar aos alunos para

efectuarem os cálculos com um dos seguintes métodos: a calculadora, a folha de cálculo do Geogebra, a

folha de cálculo (Excel) e o uso da ferramenta “Caixa de Texto”.



Na análise e discussão com toda a turma, o professor, deve frisar que as razões entre as medidas

dos lados dos triângulos rectângulos, com ângulos correspondentes congruentes, são iguais pois trata-se

de triângulos semelhantes. E referir o critério de semelhança de triângulos que permite tirar esta

conclusão.

Adaptado (Professores das turmas piloto do 9º ano de escolaridade, 2011)



Tarefa 1 – Razões trigonométricas

1. Observa a figura construída no software Geogebra. Os segmentos de reta GF, ED e CB são

perpendiculares a FA.

2. Classifica o triângulo ABC quanto aos ângulos.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Quantos triângulos retângulos estão representados na figura?

___________________________________________________________________________

4. Justifica que os triângulos ABC, ADE e AFG são triângulos semelhantes.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

5. Mede, no software Geogebra, o comprimento dos lados dos diferentes triângulos e

completa a tabela.

AB AC AE AD AG AF CB ED GF

Comprimento

dos

lados dos

triângulos

Sugestão:

Clica o software Geogebra ,

clica em Ficheiro



clica em Abrir

clica no ficheiro Triângulo

clica em Abrir

Clica no canto inferior direito da figura, clica em ângulo.



Clicla em Distância, comprimento ou perímetro

Clica no ponto A e em seguida no ponto B

E assim obténs o comprimento do lado AB

Procede do modo análogo para os outros lados.

6. Mede a amplitude do ângulo CAB, no software Geogebra.

Sugestão:

clica no canto inferior direito mais

concretamente em ângulo.

Clica em C, A e B, respetivamente



7. Completa a tabela seguinte com as medidas dos lados do triângulo. Usa a calculadora para

efetuares as razões.

30º

Cat.

Oposto

( ..oc )

Cat.

Adjacente

( ..ac )

Hipotenusa

( h ) h

oc ..

h

ac .. ..

..

ac

oc

Triângulo

ABC

Triângulo

ABC

Triângulo

ABC

Nota:

8. Usa a calculadora para obteres os seguintes valores sin(30º); cos(30º) e tan(30º).

9. Tira conclusões a partir dos resultados que registas-te no item 7 e 8.



10. Abre o ficheiro trig.1 e completa a tabela para º45 .

45º

Cat.

Oposto

( ..oc )

Cat.

Adjacente

( ..ac )

Hipotenusa

( h ) h

oc ..

h

ac .. ..

..

ac

oc

Triângulo

1

Nota:

Coloca o cursor do rato em cima do ponto do seletor

Clica no botão do rato do lado direito e arrasta o seletor até aparecer a amplitude de

45º .

11. Arrasta o ponto P para obteres outros triângulos e completa a tabela.

45º

Cat.

Oposto

( ..oc )

Cat.

Adjacente

( ..ac )

Hipotenusa

( h ) h

oc ..

h

ac .. ..

..

ac

oc

Triângulo

2

Triângulo

3


13. Tira conclusões a partir dos resultados que registaste no item 10, 11 e 12.



14. No mesmo ficheiro altera o seletor para º60 e completa, analogamente, a tabela.

30º

Cat.

Oposto

( ..oc )

Cat.

Adjacente

( ..ac )

Hipotenusa

( h ) h

oc ..

h

ac .. ..

..

ac

oc

Triângulo

ABC

Triângulo

ABC

Triângulo

ABC


16. Tira conclusões a partir dos resultados que registaste no item 14 e 15.

17. Tenta encontrar uma justificação para a conclusão retirada.

18. As razões anteriormente utilizadas têm uma denominação:

h

coseno de ou seja sen().

h

cacosseno de ou seja cos().

ca

cotangente de ou seja tan().



No mesmo ficheiro clica nas caixas , e .

Move o ponto P para diversos valores de e verifica o que ocorre aos valores de sen() e

cos() e tan(). Copia alguns valores das três razões trigonométricas para esta folha.

19. Com base na alínea anterior, diz entre que valores variam as razões seno e cosseno?

20. Apresenta uma conclusão para a conclusão retirada.



Tarefa 2 – Trigonometria e a calculadora

Objetivo: ambiciona-se que os alunos apliquem as razões trigonométricas na

determinação de lados e de ângulos em triângulos retângulos.





Raciocínio matemático: Selecionar e usar vários tipos de raciocínio.

Comunicação matemática: discussão de resultados, processos e ideias

matemáticas.

Resolução de problemas: identificar os dados, as condições e o objetivo do

problema; formar e colocar em prática estratégias de resolução de problemas.


Razões trigonométricas de um ângulo agudo.


Determinação das razões trigonométricas de um dado ângulo agudo por

construção geométrica, recorrendo à calculadora ou conhecida uma razão trigonométrica

do mesmo ângulo.

Recursos: régua graduada, transferidor, calculadora e powerpoint – Trigonometria.


O professor deverá apresentar a apresentação em powerpoint, que aborda um

resumo de história sobre a trigonometria e revê as razões trigonométricas. Em seguida,

deverá propor aos alunos a resolução dos itens 1, 2 e 3. Quando a maior parte dos alunos

tiver resolvido essa parte, o professor deverá impulsionar o debate dos resultados

obtidos. Em seguida, o professor deverá interrogar os alunos sobre a maneira de calcular

a amplitude do ângulo α da questão 3, sem recurso ao transferidor mas sim pela

calculadora.

Depois, os alunos devem efetuar restantes itens da tarefa e no final devem expor

os resultados e os processos empregados.




Tarefa 2 – Trigonometria e a calculadora

1. Observa a figura ao lado.

1.1. Relativamente ao ângulo , identifica:

a) o cateto oposto;

b) o cateto adjacente;

c) a hipotenusa;

1.2. Usando uma régua graduada, mede o comprimento dos lados do triângulo ABC e

calcula as razões trigonométricas do ângulo com uma aproximação às décimas.

2. Determina, o valor exato do sen(), cos() e tan().

3. Observa os triângulos retângulos de cada uma das figuras.

Determina x e y.

Apresenta esses valores arredondados às décimas.



4. O acesso a uma das entradas da escola da Rita é

feito por uma escada de dois degraus iguais,

cada um deles com 10 cm de altura.

Com o objectivo de facilitar a entrada na escola

a pessoas com mobilidade condicionada, foi

construída uma rampa.

Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa

foi construída de modo a fazer com o solo um ângulo de 3°, como se pode ver no esquema

que se segue (o esquema não está à escala).

Determina, em metros, o comprimento, c, da rampa.

Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos que efectuares.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro

casas decimais.

GAVE: Exame Nacional, 2005, 1.ª chamada

5. No jardim da família Coelho, encontra-se um balancé, com uma trave de 2,8 m de

comprimento, como o representado na figura.

Quando uma das cadeiras está em baixo, a trave do balancé forma um ângulo de 40º com o

solo, tal como mostra a figura.

Determina, em metros, a altura máxima, a, a que a outra cadeira pode estar.

Apresenta os cálculos que efectuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às

décimas.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas

casas decimais.

GAVE: Exame Nacional, 2009 2ª chamada



6. Para cada um dos triângulos determina a amplitude do ângulo . Indica o valor

aproximado às unidades.



Tarefa 3 – “ Distâncias inacessíveis”

Objetivo: ambiciona-se que os alunos apliquem as razões trigonométricas na determinação de

distâncias inacessíveis em contexto real.





Raciocínio matemático: Selecionar e usar vários tipos de raciocínio.


Resolução de problemas: identificar os dados, as condições e o objetivo do problema; formar

e colocar em prática estratégias de resolução de problemas.


Teorema de Pitágoras;



Resolução de problemas usando razões trigonométricas.

Recursos: calculadora





Tarefa 3 – “ Distâncias inacessíveis”

1. Visualizar o powerpoint sobre as distâncias inacessíveis.

2. Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas

aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena.

No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de

43°, parte da sombra da antena estava projectada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia

ser medida.

Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as

extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com 1,8 m de altura, estava a 14

m de distância da antena.

Na figura que se segue, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende

ilustrar a situação descrita.

Qual é a altura (h) da antena?

Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. Apresenta

todos os cálculos que efectuares.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas

casas decimais.

GAVE: Exame Nacional, 2007, 2ªchamada



3. A figura representa uma sala de cinema. O

João sentou-se no último lugar da última fila,

assinalado, na figura, pelo ponto A. O ângulo

de vértice A é o seu ângulo de visão para o

ecrã. No cinema, as pessoas que se sentam

no lugar em que o João está sentado devem

ter um ângulo de visão de, pelo menos, 26º,

sendo o ideal 36º, para que possam ter uma

visão clara do filme. Tendo em atenção as

medidas indicadas na figura, determina a

amplitude do ângulo de visão do lugar do

João.

Na tua resposta, apresenta os cálculos que efectuares e explica se a amplitude obtida permite

uma visão clara do filme.

GAVE: Exame Nacional, 2008, 1.ª chamada

4. A mãe da Marta vai colocar dentro da piscina um escorrega como o representado na

figura1.

Figura 1 Figura 2

A figura 2 representa um esquema do escorrega da figura 1.

Qual é, em graus, a amplitude do ângulo α?

Apresenta os cálculos que efectuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às

unidades.

GAVE: Teste Intermédio 9.º Ano, Maio 2009



5. A figura 3 mostra um conjunto de painéis solares. Numa das estruturas de apoio de um

desses painéis, imaginou-se um triângulo rectângulo.

A figura 4 é um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala.

Relativamente ao triângulo rectângulo ABC, sabe-se que:

A medida do segmento AB é 2,5m

A medida do segmento BC é 1,7m

Figura 3 Figura 4 Qual é a amplitude, em graus, do ângulo CAB?

Escreve o resultado arredondado às unidades.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais.

GAVE: Teste Intermédio 9.º Ano, Maio 2010



Tarefa 4 – Relações trigonométricas

Objetivo: ambiciona-se que os alunos demonstrem a fórmula fundamental da tri-gonometria e

relacionem as razões trigonométricas.





Raciocínio matemático: diferenciar entre uma demonstração e um teste de uma conjectura e

fazer demonstrações simples; distinguir uma argumentação informal de uma demonstração.


Resolução de problemas: verificar da possibilidade de abordagens diversificadas para a

resolução de um problema.





Estabelecimento de relações trigonométricas básicas entre o seno, o co-seno e a tangente de

um ângulo agudo.

A partir das respectivas definições, estabelecer as relações trigonométricas

1cossin 22 e

cos

sintan .

Recursos: Computador com software de geometria dinâmica – Geogebra e a calculadora.


O professor deverá disponibilizar a cada aluno (ou par de alunos) uma pasta com os ficheiros

geogebra indispensáveis para a concretização das tarefas.

Averiguar se descobriram a relação

cos

sintan

Clarificar os alunos que a notação sen2

equivale a 2)(sen .




Tarefa 4 – Relações trigonométricas

1. Abre o ficheiro trig.2ggb, utiliza o seletor e os valores dos comprimentos dos lados

observados no triângulo retângulo, calcula os valores das razões trigonométricas e

completa a tabela.

sen() cos() tan()

)cos(

)(

sen

20º

30º

45º

60º

Comprova os valores determinados, no ficheiro trig.2ggb, clica nas caixas

2. Analisa as colunas da tabela tan() e )cos(

)(

sen , o que concluis?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Na figura em baixo está representado um triângulo retângulo

3.1. Completa a tabela, utilizando as letras da figura.

sen() cos()

)cos(

)(

sen

tan()

3.2. Observa a tabela, que relação parece existir entre as razões trigonométricas de um

ângulo agudo?



4. Abre o ficheiro trig.3ggb, utiliza o seletor e os valores dos comprimentos dos lados

observados no triângulo retângulo, calcula os valores das razões trigonométricas e

completa a tabela.

sen() cos() sen2

cos2

sen2

cos2

20º

30º

45º

60º

5. Analisa a tabela, o que verificas?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

6. Desloca o ponto P, no ficheiro trig.3ggb, e o seletor e verifica que a conclusão que

identificaste se confirma.

7. Na figura em baixo está representado, novamente, um triângulo retângulo.



7.1. Completa a tabela, utilizando as letras da figura

sen() cos() sen2

cos2

sen2

cos2

Nota: sen2

2)(sen

7.2. Sabendo que, pelo Teorema de Pitágoras, 222 oah , simplificando a expressão

algébrica da última coluna da tabela, demonstra a Fórmula fundamental da

trigonometria.

1)(cos)( 22 sen



Tarefa 5 – Jogo Trigonometria





Raciocínio matemático: diferenciar entre uma demonstração e um teste de uma conjectura e

fazer demonstrações simples; distinguir uma argumentação informal de uma demonstração.


Resolução de problemas: verificar da possibilidade de abordagens diversificadas para a

resolução de um problema.




Recursos: Powerpoint – Jogo Trigonometria


O professor deve disponibilizar o Powerpoint aos alunos com necessidades educativas especiais.



Bibliografia consultada

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http://www.engcivil.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/DanieldosSantosCosta.pdf

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Anexo 1

Powerpoint Números Reais – parte 1



Anexo 2

Powerpoint Números Reais – parte 2

Trigonometria 9 .º Ano...

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