Trigonometría 4.1º (reparado)
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Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
2 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Síntesis histórica de la trigonometría
A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo
desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.
La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable,
pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.
LA TRIGONOMETRÍA
La palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos, Actualmente la trigonometría es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos para
determinar distancias inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de esta
disciplina se ha ido enriqueciendo progresivamente. Así, abarca también el estudio de las funciones circulares y su aplicación en la vida cotidiana, en las telecomunicaciones, la mecánica, la astronomía,
etc. Como del modelamiento matemático, de gran utilidad en la explicación de fenómenos naturales como las ondas o vibraciones.
ORIGEN En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir
del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.
Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo
llegar tan lejos.
UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGEN
La época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de la aceptación
que a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.
Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en las
lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.
Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones del
ángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año 140 a.C.
Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionara
admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.
Históricamente fueron los geometrías y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C.
encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría y los aplicaron a los problemas astronómicos.
Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien
se le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla de
valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.
Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando el
Teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos cualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).
Nociones Preliminares Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 3
Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien, valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica,
que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.
Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de
la trigonometría esférica.
Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogado de asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor
parte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posición económica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a sus
contrarios científicos.
Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funciones
trigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo, y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricos
aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.
Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculos
trigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por las analogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta
aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos. Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 –
1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto
analítico, hasta darle forma que conserva actualmente.
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
4 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Lado Inicial
Lado Terminal
0
A
B
A
B
0
Tema nº 01 : ángulo trigonométrico
Capacidades:
Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados: horario y
antihorario.
Graficar el ángulo trigonométrico en cualquiera de los sentidos conocidos.
Operar correctamente los ángulos trigonométricos.
Diferencia el ángulo como figura geométrica generada por la rotación de un rayo alrededor de un
punto fijo (vértice) en un mismo plano.
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar las características de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Definición
Abertura determinada por dos rayos a partir de un mismo punto.
Abertura que se genera por el movimiento de rotación de un rayo
alrededor de su origen, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una
posición final (lado final)
Características
Son estáticos
No tienen sentido de giro, por lo
tanto no hay ángulos negativos.
Están limitados (
º360 ricoTrigonomét º0 águlo )
Son móviles
Su sentido de giro está
definido:
Los ángulos positivos tienen sentido antihorario ().
Los ángulos negativos tienen sentido horario ().
Su magnitud no tiene límites.
Ángulo Coterminales: Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si
tienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).
Ángulo Trigonométrico Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 5
Ejemplos:
410º y 50º son coterminales
–240º 30º no son coterminales
Propiedad: La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un
número positivo entero de vueltas.
Si son coterminales tal que > entonces se cumple:
– = k (360º) ; K Z+
Ejemplos:
1) 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas)
2) 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas)
3) 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)
4) 450º y –90º coterminales porque 450º – (–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas
Ejercicios Para La Clase
1. Del gráfico
Se cumple:
A) – = 180º B) = C) + = 90º D) – = 180º E) – = 90º
2. Si: “” es la octava parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
son coterminales
no son coterminales
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
6 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
3. Del gráfico:
Que relación se cumple:
A) – = 180º B) = C) + = 180º D) – = 180º E) – = 90º
4. Si: “” es la sexta parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/5 E) N.A.
5. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales: º3106 ; º854 y
º5186
6. Con respecto a los ángulos: º1370 ; º2450 y º3310 , indicar cuales son
coterminales
7. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales: º3106 ; y
º5186 , indicar
8. Sean º17 2 x y º31 2x ángulos coterminales, tal que Rx . Calcular el mínimo
valor que puede tomar ""
9. La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el
mayor esta comprendido entre 500° y 800°.
A) -90° B) 270° C) 720 D) -100° E) -80°
10. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales: º3106 ; º854 y
º5186
11. Con respecto a los ángulos: º1370 ; º2450 y º3310 , indicar cuales son
coterminales
12. A partir del grafico, calcular el suplemento de “x”
º854
Ángulo Trigonométrico Cuarto Año
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13. De la figura, calcular x
14. De la figura, calcular x
15. De la figura indicar que relación existe entre y,
16. De la figura, calcular x , de acuerdo al gráfico
17. Dos ángulos coterminales son entre si como 1 es a 10. Calcular el mayor de dichos ángulos, si el
menor se encuentra comprendido entre 190° y 230°.
A) 1800° B) 1500° C) 2000° D) 1000° E) 800°
18. De la figura, calcular x
19. A partir del grafico, calcularp
c
n
b
m
a
20. En la figura se cumple que: 1823 x , calcular xE
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
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Tarea domiciliaria Bloque I
1. En cada caso, tomando como inicio de giro
el rayo , dibuje un ángulo en sentido:
a. Horario:
b. Antihorario
2. En cada caso, tomando como inicio de giro
el rayo , dibuje un ángulo en sentido:
a. Horario:
b. Antihorario:
3. En cada caso, tomando como inicio de giro
al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use transportador).
a. 140º
b. -70º
c. -120º
4. En cada caso, tomando como inicio de giro
al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use transportador).
a. 100º
b. -50º
c. -160º
5. Del gráfico, señalar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
a) + b) - c) -
d) - - e)F. D.
6. Del gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos.
a) + + b) - - c) - -
d) - + e) - -
7. Del gráfico, hallar "x" en función de los
otros ángulos trigonométricos mostrados.
a) 90º - b) - 90º c) 180º +
d) 90º + e) -90º -
O
P
O
P
P O
P O
O
P
O P
O
P
O
P
P O
O P
x B
C
AO
x
B
C
A
O
D
A
B
C
x
O
Ángulo Trigonométrico Cuarto Año
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8. En el gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
a) - 90º b) 90º - c) 90º +
d) -90º - e) -180° +
9. Del gráfico, calcular "x".
a) 2 b) 4 c) 8
d) 12 e) 10
10. Del gráfico, calcular "x".
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
11. Indicar si los ángulos dados son o no coterminales
50º y 410º
160º y 880º 400º y 1480º
700º y 2880º
1950º y 3850º -150º y -510º
-80º y 640º
-340º y -1420º 40º, 400º y 760º
2580º, 1140º y 420º
-359º, 721º y 2521º
Bloque II
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a) + = 180º b) - = 180º
c) = 180º d) + = -180º
e) + = 90º
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a) + = 240º b) + = 120º
c) - = 240º d) - = 120º
e) - = 240º
3. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a) + = 90º b) + = -90º
c) - = 90º d) - = 270º
e) + = 180º
4. Del gráfico, señale lo correcto:
a) x + y = 300º b) x - y = 300º c)x + y = 270º d)x - y = 270º
O DA
x
C
B
O BA
5xº
C
(12 - 11x)º
A
B
(9 - 9x)º
O
(5x + 1)º
-120º
y
x
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
10 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
e) x - y = 180º
5. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a) x + y = 180º b) x + y = 360º
c) x - y = 360º d) x - y = 180º e) x - y = 270º
6. Del gráfico, señale lo correcto:
a) x - y = 180º b) x + y = 180º c)x - y = 300º d) x + y = 300º
e) x - y = 450º
7. Si en el gráfico es bisectriz del ;
calcular:
a) 4 b) - 4 c)
d) - e) -
8. Si en el gráfico, es bisectriz de ,
calcular "x/y".
a) 1 b) - 1 c)
d) - e) - 2
9. Del gráfico señale lo correcto, si: es
bisectriz del .
a) 2 - = 90º b) 2 - = 180º
c) 2 + = 90º d) 2 + = -90º
e) 2 + = 45º
10. Del gráfico señale lo correcto, si: es
bisectriz del .
a) 2 - = 360º b) 2 - = 360º
c) 2 + = 180º d) 2 + = 360º
e) 2 + = 360º
x
y
x
y
OP AOB
y
x
A
P
BO
x - y
3x + 2y
4
1
4
1
4
1
OP AOB
A
P
BO
2x - 3y
3x - 2y
2
1
2
1
OQ
AOB
A
B
C
Q
O
OP
AOB
C AO
P
B
Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 11
Tema nº 02: Sistemas De Medidas Angulares
Capacidades:
Conoce y diferencia entre las principales unidades de medición angular.
Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal(S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
)``(3600º1
)``(601̀
)`(60º1
)(360
1º1
gesimalSegunoSexa
agesimalSegundoSex
gesimalMinutoSexa
esimalGradoSexagv
Sistema centesimal (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
)(100001
)(1001
)(min1001
)(400
11
tesimalsegundoCen
tesimalSegundoCen
malutoCentesi
simalGradoCentev
sg
sm
mg
g
Sistema radial (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian.
Equivalencias:
2 cuadrante IV
2
3cuadrante III
cuadrante II
2 cuadrante I
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
12 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
arad
RradCSg
g
2400º360
º
crad
RradCSg
g
200º180
º
krad
RradCSg
g
20
10º9
º
También una equivalencia de esta última relación es:
20
10
9
kR
kC
kS
OBSERVACIÓN
RELACIÓN DE MINUTOS:
. 5027
mM . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES
m: # MINUTOS CENTESIMALES RELACIÓN DE SEGUNDOS:
. 25081
ba . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
También:
10
C
9
S ;
RS 180
;
R200C
Ejemplos: 1. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: = 12º
Resolución
Magnitud Equivalente Factor de Conversión
rad = 180º º180
rad
radrad
15º180º12
2. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: = 15g
Resolución
Magnitud Equivalente Factor de Conversión
rad = 200g g
rad200
radrad
gg
40
3
20015
Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 13
3. Hallar: gm
g
E5
º9
1
1
'1
º1
Resolución
Recordando: 1º = 60’
1g = 100m 9º = 10g
Reemplazando en:
g
g
m
m
E5
10
1
100
'1
'60
.E. = 60 + 100 + 2 = .162.
4. Hallar: a + b, sabiendo que: 'º8
barad
Resolución
Equivalencia: rad = 180º
'º'ºº
ººººº
πradº
.radπ
conversiondeFactor
302230222
122
2
144
2
45
8
180180
8
Luego:
'30º228
rad
Comparando: a = 22
b = 30 .a + b = 52.
5. Convertir 5
rad a grados sexagesimales
Resolución
RS
180
5/
180
S S = 36
. º365
rad
.
6. Convertir 60g a radianes
Resolución
RC
200
R
200
60
10
3R . radg
10
360
.
7. Convertir 27º a grados sexagesimales
Resolución
109
CS
109
27 C C = 30
.27º = 30g.
8. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus
grados centesimales es 222 ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo?
Resolución
Si S, C y R son los números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en
grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos.
6S + 2C = 222.......... (1)
Sabemos:
?
200
180
200180KR
KC
KS
KRCS
Reemplazando en (1) 6(180K) + 2(200K) = 222
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
14 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
1480K = 222
20
3K
.20
3 KR .
9. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el valor simplificado de:
4 3 8
SCSC
SCSC
P
Resolución
KCS
109
KC
KS
10
9
Calculamos en forma particular
1919
910
910
KK
KKKK
SCSC
Reemplazando en “P”
4 3
27
81919 P
4 319P
4 16P
.P =2.
Ejercicios Para La Clase
1. Convertir: 108º a centesimales y radianes
1000g a radianes y sexagesimales 45º a centesimales y radianes
150g a sexagesimales y radianes
5
7 rad a sexagesimales y centesimales
6
rad a sexagesimales y centesimales
2. Si: rad5
3
(7x + 17)º. Hallar “x”
3. Si: rad24
= aºb’.
Calcular: E = b – a
4. Si: 120º radB
A. Hallar P
BA
BABA.
5. Si: 9º 27’ g0a 0b m. Calcular: a + b
6. Reducir: s
m
P60
60
"100
'100
7. Reducir: '120
º10
200
18M m
g
8. Simplificar:
Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 15
g
radH
180"60'59º26
2,0º99
9. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de
cada uno de ellos
10. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?
11. Hallar “” de la figura
12. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial.
13. Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifica: 276
10
3
12
RCS
Calcular la medida radial de dicho ángulo
14. Si, S, C Y R es lo convencional para un mismo ángulo, reducir: SC
RSCE
60
15. Reducir la Expresión: 22
22
SCSC
SCSCE
16. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: ´´´.32
ZYXrad
; calcular
XZY 5
A) 2
1 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A.
17. Reducir la expresión: CSRE
9102
A) 1 B) 0 C) 10 D) 9 E) adr
18. Determinar la medida de un ángulo en radianes, talque verifique la siguiente condición:
SCCS
SC
181
922
A) rad3
B) rad
2
C) rad
4
D) rad
5
E) rad
6
19. Calcular la medida del ángulo expresado en radianes; si se cumple que: 25045
CRSR
A) rad3
B) rad
2
C) rad
4
D) rad
5
E) rad
6
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
16 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
20. Los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°. Calcular la medida
del menor de dichos ángulos expresada en radianes.
Tarea domiciliaria
1. Calcular:
radN
g
10º216
º270360
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/3
2. Sumar gradP 409
7
A) 166º B) 158º C) 176º D) 186º E) 196º
3. Hallar “P” '120
º20
300
78 m
g
P
A) 6 B) 2 C) 16 D) 36 E) 7
4. Convertir 8000m a sexagesimales.
A) 45º B) 55º C) 68º D) 72º E) 75º
5. Simplificar: SC
RSCE
4023
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
6. Calcular rad
radE
g
g
640º64
350º25
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. Hallar “x”
A)
B)
3
C)
9
D)
4
E)
10
8. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en
radianes
A) /20 B) 3/20 C) 9/20 D) 22/45 E) /3
9. Siendo rad16
xºy'. Hallar xy
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?
A) rad6
B) rad
3
C) rad
30
D) rad
10
E) rad
21
Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 17
11. Si: gxx 22 ; calcular el valor de x:
A) 43 B) 51 C) 36 D) 38 E) 39
12. Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: 17 xS ; xC 8
A) rad3
2 B) rad
3
2 C) rad
3
D) rad
5
E) rad
5
2
13. Un ángulo es tal que los números que indican su medida en grados sexagesimales (S), grados
centesimales (C) y radianes (R) respectivamente cumplen con la condición:
1200190180
CRSCRS. Hallar la medida de dicho ángulo en radianes:
A) rad B) rad20
C) rad
2
D) rad
40
E) 2rad
14. La diferencia de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales correspondientes a la
medida de un ángulo, es igual al doble del número de radianes de su medida entre 81. Luego dicha medida
en el sistema centesimal es:
A) 27g B) 30g C) 54g D) 60g E) 90g
15. Los ángulos internos de un triángulo miden: 27º; rad4
3 y
g
x
5; Hallar “x”
A) 0,25 B) 0,50 C) 1 D) 2 E) 4
16. Sean los ángulos complementarios de medidas: = (10x)g y = radx
30
Luego uno de ellos es:
A) 45º B) 63º C) 36º D) 60º E) 40º
17. Calcular la medida del menor de dos ángulos suplementarios, sabiendo que su diferencia es 0,1 rad.
A) 20g B) 110g C) 180g D) 220g E) 90g
18. Si: rad25
< > xºy’; calcular: x – y
A) 5 B) 7 C) –5 D) –12 E) 19
19. Se ha medido un ángulo en grados centesimales y sexagesimales; la diferencia de los números que
representan dichas medidas es 3,2. Indicar la medida de dicho ángulo en el sistema circular.
A) rad5
16 B) rad
5
8 C) rad
125
D) rad
25
2 E) rad
25
4
20. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar 10C de la igualdad: SC = CS
A) 9
10 B)
10
9
C) 9 D) 10 E) 1
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
18 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Tema nº 03 : razones trigonométricas de ángulos agudos
Capacidades:
Reconocer los catetos opuestos, adyacentes e hipotenusa en un triángulo rectángulo
Definir las razones trigonométricas de ángulos agudos.
Aplicar las razones trigonométricas de ángulos agudos.
Definición: Se denomina de esta manera al resultado de dividir dos lados de un triángulo rectángulo
tomados con respecto a uno de sus ángulos agudos. Dichos resultados se nombran de la siguiente
manera:
Se lee:
Veamos como se observa esto en un triángulo, sea el triángulo ABC; recto en C.
Razones Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 19
OBSERVACIONES: 1. El valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida del ángulo. 2. Conocido el valor de una razón trigonométrica se pueden encontrar los valores de las cinco restantes. 3. Como en todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, entonces: SenA y CosA 1 ; SecA y CscA 1
EJEMPLO 1 : En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, reducir: E = a . SenB + c . CtgC Resolución:
EJEMPLO 2 :
Tg = 2
3 ; determine: E = 13 .Sen + 6. Ctgademás "" es un ángulo agudo
EJEMPLO 3 : En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe que: 4 . TgA=TgB, determine "SecA". Resolución: Graficando el triángulo rectángulo.
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
20 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
EJEMPLO 4:
Del gráfico; calcular:
EJEMPLO 5: En un triángulo rectángulo, un cateto es la mitad de la hipotenusa. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.
Razones Trigonométricas Recíprocas
Siendo un ángulo agudo se cumple:
1csc.1
csc
sensen
1sec.coscos
1sec
1.1
ctgtgtg
ctg
Ejemplo:
Si: 3
4csc
4
3sen 5sec
5
1cos
5
3
3
5 tgctg
3
2
2
3csc sen
" Tg Ctg ", si :AP 3PB.
Razones Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 21
Razones Trigonométricas De Ángulos Complementarios
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.
En la figura se muestra:
y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en
consecuencia:
coscb
sen ; sencacos
ctgab
tg ; tgba
ctg
cscsec ac
; seccsc bc
Debido a estas relaciones las razones:
seno y coseno
tangente y cotangente
secante y cosecante
Teorema del complemento de ocomplementRTcoαRT
Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra
Ejemplos: sen40º = cos50º sec20º = csc70º
tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º
cos62º = sen28º csc24º = sec66º
Ejercicio:
si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle
Resolución
Por lo anterior se tiene:
(40º + ) + (10º + ) = 90º
2 = 40º = 20º
Ejercicios Para La Clase 1. Según el gráfico, hallar:
a) 5 b) 7 c) 9
d) 11 e) 13 2. Según los gráficos, hallar:
E = Tg + 2Cos
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. En un triángulo rectángulo ABC ( = 90°)
Ctg3Csc3E 2 ..
B
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
22 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Reducir: E = senA . secC + senC . secA
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
reducir: J = sen2A + sen2C + sec2A - ctg2C a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Calcular: Sen ,si" "es agudo; además:
a) b) c)
d) e)
6. Si " " es un ángulo agudo tal que:
Calcular: M = 8 Csc2 + Tg2
a) 15 b) 17 c) 21 d) 18 e) 16
7. Si: (Considere "
" y " " ángulos agudos); Calcular:
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
8. En un triángulo ABC, recto en B, se cumple
que: 2 . TgA = CscC Calcular: SenA.
a) b) c)
d) e) 9. En un triángulo ABC, recto en A, se tiene
que: SenB = 2 . SenC
Calcular: E = CosB . CosC. a) 0,5 b) 0,4 c) 0,3
d) 0,2 e) 0,1
10. Del cuadrado ABCD, calcular:
M = Tg + Tg
a) 1 b) 2 c)
d) e) 3
11. Del gráfico, hallar:
a) b) 7 c)
d) e) 5
12. Siendo ABCD un cuadrado, hallar:
W = Tg . Ctg
13. De la figura, calcular: Ctg - Tg
a) 3 b) -1 c) -2 d) 1 e) 2
2
1Tg
3
33
4
3
6
6
2
1
6
3
1Cos
5
5Sen
5
1Sen
2
CscCscE
22
4
3
2
1
4
1
2
3
3
32
3
2
2
3
Ctg
CtgCtgCtgE
1
7
13
5
12
7
Razones Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 23
14. En el triángulo rectángulo ABC, recto en A; se cumple que: CosB . CosC = 3/7,
Hallar: TgB + TgC.
a) b) c)
d) e)
15. Del gráfico, calcule "Tg ".
16. El perímetro de un triángulo rectángulo es
de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el
cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m
17. Determinar la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el producto de los Senos
de los ángulos agudos es 0,22.
a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m e) 7 m
18. De la figura, hallar
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) 0
19. Del gráfico mostrado, calcular: , si: ABCD es un cuadrado.
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,5
20. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
1. En un triángulo ABC, recto en B, reducir:
E = TgA.SenC - CosC
2. En un triángulo rectángulo ABC ( B= 90º) Reducir:
M = Cos2A + Cos2C + Csc2A - Tg2C
3. Si "" es agudo y Ctg = 2/3;
Hallar: M =
4. De la figura mostrada, calcular:
M = 2 Sen + Cos
5. Si:
Calcular: E= 6 .Tg + 10 .Sen
6. Si se sabe que: Sec =3 y además "" es
agudo, calcular: E = Sen . Tg
7. Si "" es un ángulo agudo y Cos = 3/4.
Calcular: E = Csc2 + 7
4Ctg
8. Siendo " " un ángulo agudo tal que:
Cos = 9
6 . Calcular:
5
4
8
35
3
7
3
7
2
2)2Tan(
m
n
2 mn
"TgwTg"
A
B C
D
E
2a
3a
w
3
2
SecB
SecA
CtgB3CosA13E
13 . Cos 8.Tg
3
5Sec
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
24 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
M = 5.Csc2 + 4.Tg2
9. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe que: TgA = 2,4 ; Calcular: J = CscC + CtgC.
10. Si: Sen = 5
2 Tg = ; (Si " " y
" " son s agudos)
Calcular:
11. En un triángulo rectángulo ABC ( B=90°) reducir:
12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B)
se sabe que: b2. SenA. SenC = 8
¿Cuál es el área del triángulo?
13. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96.
Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 m
d) 52 m e) 412 m
14. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos
agudos es 2,6. Calcular la longitud del
mayor cateto. a) 20 u b) 30 u c) 40 u
d) 50 u e) 60 u
15. En el gráfico, hallar "Sec ".
16. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe: SenA = 2.SenC
Determine: T = Sec2A + Tg2A.
17. En un triángulo ABC, recto en C, se
cumple que:
Calcular: E = 13 .SenA + 6.TgB
18. Del gráfico, calcular: Ctg - Ctg .
19. Del gráfico mostrado, calcular:
20. Si " " es la medida de un ángulo agudo y
se cumple que: ; calcular:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
21. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C"
se cumple que: 4SenA=7SenB; calcular:
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
22. Del gráfico mostrado, calcular:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3/2
23. En un triángulo rectángulo, los lados
menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor
ángulo agudo de dicho triángulo mide " ".
Halle el valor de:
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 5,5
7
11
Ctg7Csc4E
2
..
TgACosC
CtgC.SenAE
4
2
3
2
3
SecB
SecA
A BD
C
Tg
TgM
3
2Tg
Cot12Sen13T
TgB42ASen65E 2
A
B
CE
F
a2a
1Sen17W 2
Razones Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 25
Ejercicios de repaso 1. Si: Sen(x+ y - 20º) . Csc (70º - z) = 1
Calcular:
Cscx
zySec
Ctgz
yxTgD
)(
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Si:
Calcular: T = sen . tg
3. Siendo:
Tg =2
1Sen40º Csc40º -
3
1Cos10º . Sec10º
("" es agudo), calcular: C = 2 . Csc2 -17
a) 32 b) 57 c) 52
d) 53 e) 74
4. En el siguiente gráfico, hallar "x", si se
cumple que: Sen4 = Cos2
5. Sabiendo que:
Tg(30º+x) + tg(7x-20º) = Ctg(60º-x) + Ctg4x
Calcular el valor de "x" (agudo) a) 2º b) 4º c) 6º
d) 8º e) 10º
6. Hallar " + " tal que:
Tg(3-35°) = Ctg(90° -) ; 2-=15º
7. Reducir: J=(3.Sen40º+4 . Cos50º)Csc40º
8. Calcular el valor de "x" (agudo) en:
4Sen (22º+ x) .Cos(68º-x) = Tg(30º+x) . Tg(60º-x)
9. Si:
Calcular:
10. Indicar verdadero (V) ó falso (F) según
corresponda: I. Sen15º = Cos75º ...... ( )
II. Tg40º. Ctg50º = 1 ......... ( ) III. Sec20º = Csc20º .......... ( )
IV. Cos(x+y) . Sec(x+y) = 1 .. ( )
V. Tg10º . Tg80º = 1 ............. ( ) a) VFVFV b) FFVFV c) VFFVF
d) VFFVV e) VVVFF
11. Si: Tg = Ctg40º y Sec = Csc70º.
Hallar " +"
a) 40º b) 50º c) 60º
d) 70º e) 80º
12. Hallar "x"
Sabiendo que: Tg (8x - 9º) = Ctg3x. a) 1º b) 3º c) 5º
d) 7º e) 9º
13. Calcule el valor de "x"; en:
Sen2x. Csc40º = 1.
a) 10º b) 20º c) 25º d) 28º e) 30º
14. Siendo: Sen4x - Cosx = 0
Hallar: L = 5 . Sen(2x + 1º) + 2 . Sen(2x - 6º)
a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5
15. Si: Senx = Cos2x
Calcular: R = Tg2x . Tgx
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e)
16. Sabiendo que: Sen4x . Csc(x+30º) = 1
Calcular: J = Tg3x . Tg6x
17. Si: Tg7x = Ctg(2x+9°)
Sen4x . Csc3y = 1
Calcular: K = Cos5x . Ctg4y . Ctg(4x+6°)
18. Sabemos que:
Tg3x . Ctg (x+40º) = 2Sen30º.
Hallar: K = Cos3x + 4Tg(x + 17º)
19. Siendo "" un ángulo agudo donde se
cumple:
Tg3 . Ctg(2 + 10º) = Sen50º. Sec40º
Calcular: A = 1 + Tg3 . Tg4 . Tg5 . Tg6
20. Calcular:
D = (3sec40° + csc50°)cos40°
a) 1 b) 3 c) 4 d) 8 e) 12
3sec20 csc70sec
3csc70
º58Ctg
º32Tg+
º48Cos
º42Sen=n
n2Tg
n3SenP
2
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
26 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
3
32Csc60º
2sec60º
ctg60º
tg60º
cos60º
2
3sen60º
Csc30º
sec30º
ctg30º
tg30º
2
3cos30º
sen30º
Tema nº 04 : razones trigonométricas de ángulos Notables
Capacidades:
Aplicar las razones trigonométricas de ángulos notables.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se
encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son :
Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º: Las razones
trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.
RECTÁNGULOS NOTABLES:
Triángulo Notable de 30º Y 60º
Tenemos:
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
37º
53º
35
4
22º 30'
67º 30'
14 + 2 2
2 + 1
15º
75º
6 - 24
6 + 2
18º 30'
71º 30'
110
3
26º 30'
63º 30'
15
2
8º
82º
1
7
16º
74º
725
24
5 2
R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 27
4
5Csc53º
3
5sec53º
ctg53º
tg53º
cos53º
sen53º
2Csc30º
sec45º
ctg45º
1tg45º
cos45º
2
2sen45º
3
5Csc37º
4
5sec37º
3
4ctg37º
tg37º
cos37º
sen37º
Triángulo Notable De 45º y 45º
Triángulo Notable De 37º y 53º
De los triángulos anteriores se obtiene:
Ángulo
R.T. 30º 37º 45º 53º 60º
sen 2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
cos 2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
tg 3
3
4
3 1
3
4 3
ctg 3 3
4 1
4
3
3
3
sec 3
32
4
5 2
3
5 2
csc 2 3
5 2
4
5
3
32
OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES
DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
28 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.
Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: ABBC
sen
Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: '
''
ABCB
sen
Luego:
'
''
ABCB
ABBC
Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos
para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.
R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 29
Ejercicios Para La Casa 1. Indicar lo incorrecto:
a) b) Sec45º= 2
c) d)
e) Sec60º=2
2. Si: C = (Sen45º + Sec45º) Sec60º
S = 2Tg37º + Tg45º Calcular: C + S
a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9
3. Siendo:
T = 2sen30° + tg45°
R = sec60° + sec245° I = 5(sen53° - sen37°) Calcular: T - R + I
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Calcular:
a) 1 b) 1,5 c) 2,5
d) 1,75 e) 1,25
5. Calcular:
T =
a) 2
5 b)
4
5 c)
6
5
d) 5
4 e)
8
5
6. Resolver: 5x . Cos53° - Sec60° = x . Tg45°
a) 1 b) 2
1 c) 2
d) 3
1 e) 3
7. Resolver: 3x .Tg53º - Csc30º = 2x . Cos60º + 4 . Sec37º
a) 3
1 b)
3
5 c)
3
7
d) 2
5 e)
2
3
8. Siendo: Tg= Sen 60º.
Calcular "Sen"
a) b) c)
d) e)
9. Si: Csc = Tg260°
Calcular: T = . Cos+ Sen
a) 3
5 b)
3
4 c) 1
d) 2 e) 2,5
10. Sabiendo que: Sen = Cos60º.Cos45º (""
es agudo). Calcular:
M =
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11. Si: f(x) = xtg
xSenxSec
3
224
Calcular: f(15°) a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg".
a) 1 b) 2
1 c)
4
1
d) 2 e) 4
Si ABCD es un cuadrado, hallar: Tg
14. Si en el gráfico: AB = BC.
Calcule:
2
1º30Sen
5
4º53Sen
5
3º37Tg
Sen45 .Cos30 (Sec37 Tg37 )T
Sec45 .Csc60 (Csc53 Cot53 )
º53Cscº.37Secº.45Tgº.60Cosº.30Sen4
3
2
5
3
7
2
7
3
7
5
2
2Cot2
Tan
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
30 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
a) 9
2 b)
9
4 c)
3
2
d) 3
1 e)
5
2
15. Calcular:
a) 2 b) 2,25 c) 2,5
d) 2,75 e) 3
16. Según el gráfico, hallar: Ctg
17. En el gráfico, hallar: T = Tg + Ctg
18. Calcular: P = 10. Tg + 11Tg
19. Del gráfico mostrado, calcular: .
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
20. Calcular: a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5
d) 8,5 e) 9,5
tarea domiciliaria
1. Determine "U + N + I", siendo: U = Sec53º + Tg53º.
N = Tg60º . Cos30º. I = Ctg45º + Sen30º.
2. Calcular: "T + R + I"; si:
T = Tg45º + Ctg45º - 1 R = 2Sen30º + 4Cos60º - 2
I = 5Sen37º - 4Ctg53º + 1
3. Calcular: E=Sen53º + 2Sen37º + Tg45º
4. Calcular: E= 3Tg53º - 2 Sec45º + 2Sen30º
5. Calcular:
6. Calcular:
7. Calcular "m" en:
m Csc30º + 6Tg53º = m + 20 . Sen37º
A
B
C
53º
M
º45Secº30Tg2
º45Cotº.60Secº.30CotE
22
2
"Cotw"
a
4a
45ºw
3Cos3
6Sen6
4Tg4E
º30Senº45Tg
º30Cscº45Secº60TgV
222
4 4
2
Tg 60º Sec 45ºE
(Sec30º Ctg60º )
R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 31
8. Hallar "x" de la ecuación:
3xTg53°+2Sec245°=12x Sen30°- 17
9. Sabiendo que "" es agudo, y además:
Tg=Sen30º. Calcule: M=4 Sec2+ Ctg
10. Si: Tg - Sen45º . Tg60º = 0 ("" agudo)
Calcular: E = 10 . Sen2 + 6Csc2
11. Si:
Calcular el valor de:
12. Si: Sen = Tg37º
Calcular:
13. Si:
Calcular: f().
14. De la figura, calcular "Tg".
15. Del gráfico, calcular "Tg".
16. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x"
agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
17. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1
Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
18. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
20. Si:
Calcular:
a) b) c)
d) e) 0
Ctg Tg Sec (" " es agudo)
4 3
)CosSen(10
4
1Cos7P
2
x x xSec Tg 2Sen
3 4 6f(x)
x1 tg
3
Tgy.Tgx).3
yx(Cot).
2
yx(TgE
1nCos2
n2Tan
n3Cscf
)x(
)2(f
02 12 2232
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
32 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
TEMA nº 05 : Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud (R.T.C.M.)
Capacidades:
Definir las razones trigonométricas en el Plano Cartesiano
Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, conociendo un
punto de su lado final.
Reconocer los ángulos cuadrantales y sus razones trigonométricas
Ángulo En Posición Normal: Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si
su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.
Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO
CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.
Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.
Ejemplos:
I
II
III
90º a ningún cuadrante
no está en posición normal
ÁNGULO CUADRANTAL
Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 33
Propiedad
Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:
Si I 0 < < 90º
Si II 90º < < 180º
Si III 180º < < 270º
Si IV 270º < < 360º
Ejemplos:
1. Si III ¿En qué cuadrante está 2/3?
Resolución
Si III 180º < < 270º
60º < 3
< 90º
120º < 32
< 270º
Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al:
.II Cuadrante.
2. Si II ¿A qué cuadrante pertenece º70
2
?
Resolución
Si II 90º < < 180º
45º < 2
< 90º
115º < º70
3
< 160º
Como /2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces pertenece al:
.II Cuadrante.
ÁNGULO COTERMINALES
Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si tienen el mismo lado final y
el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).
Ejemplos:
SON COTERMINALES
NO SON COTERMINALES
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
34 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
70
410º y 50º SON COTERMINALES
–240º 30º NO SON COTERMINALES
1. Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un
número positivo entero de vueltas.
Si son coterminales tal que > entonces se cumple:
. – = k(360º). K Z+
Ejemplos: 1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas)
2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas)
3. 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)
4. 450º y –90º coterminales porque 450º –(–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas)
Razones Trigonométricas De Ángulos En Posición Normal: Si es un
ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:
22 yxr
radior
ordenadaY
Abcsisax
VECTORRADIOORDENADA
ry
sen ORDENADA
VECTORRADIO
yrcsc
VECTORRADIOABCSISA
rx
cos ABSCISA
VECTORRADIO
xrsec
ABSCISAORDENADA
xy
tg ORDENADAABSCISA
yx
ctg
OBSERVACIONES: 1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP.
POR CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A
“r” COMO VECTOR.
2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:
CATETO OPUESTO = ORDENADA CATETO ADYACENTE = ABSCISA RADIO VECTOR = HIPOTENUSA
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 35
Signos De Las Razones Trigonométricas En Cada Cuadrante
1) Primer Cuadrante En el primer cuadrante TODAS las razones trigonométricas son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) la
ordenada (y) y el radio vector (r) son positivas.
2) Segundo Cuadrante En el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) y el RADIO
vector (r) son positivas. Las demás razones trigonométricas son negativas.
3) Tercer Cuadrante En el tercer cuadrante la TANGENTE y la COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y la
ordenada (y) son negativas. Las demás razones trigonométricas son negativas.
4) Cuarto Cuadrante En el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y el radio vector
(r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas.
5) Cuadro – Resumen Son Positivos
Razones Trigonométricas De Ángulos Cuadrantales: Como ejemplo modelo
vamos a calcular las razones trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razones
trigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º.
Del gráfico observamos que x = 0 r = y =1 , por tanto:
Sen 90º = r
y
= y
y
= 1
Cos 90º = r
x
= r
0
= 0
Tg 90º = x
y
= 0
y
= No definido (N.D.) .
Ctg 90º = y
x
= y
0
= 0
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
36 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Sec 90º = x
r
= 0
y
= No definido (N.D.) .
Csc 90º = y
x
= y
y
= 1
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, tenemos:
∢
R.T. 0º 90º 180º 270º 360º
Sen 0 1 0 –1 0
Cos 1 0 –1 0 1
Tg 0 ND 0 ND 0
Ctg ND 0 ND 0 ND
Sec 1 ND –1 ND 1
Csc ND 1 ND –1 ND
¡Muy importante!
1) En general podemos establecer lo siguiente:
2) Recuerda que:
La circunferencia trigonométrica hace coincidir su centro con el origen de coordenadas del plano
cartesiano, además de tener siempre un radio igual a la unidad.
Y
X
Q(–b;a )
P(a ;b)
R(–a ; b)–
M(b;–a)
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 37
Ejercicios Para La Clase
1. Del gráfico, hallar "Tg".
a) 1,4 b) -1,4 c) 0,7 d)-0,7 e)-3,5
2. Hallar "Sen - Cos", según los datos de la figura adjunta.
a) 5
7 b) -
5
7 c)-
5
1 d)
5
1 e)
5
3
3. Sea P(-2; -3) un punto del lado final de un ángulo "" en posición normal. Hallar "Csc".
a) -3
2 b)
2
3 c)-
2
13 d)
2
13 e)-
3
13
4. Si "" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-2; - 5 ). Calcular:
E = 5 Ctg + Sec
a) 1 b) -1 c) 2
1 d)-
2
1 e)-
2
3
5. Si los puntos (1; -2) y (b; -4) pertenecen al lado final del ángulo en posición normal "", hallar "b".
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. Determine el signo de cada letra:
T = Sen100° + Tg250° R = Cos200° + Sec150°
C = (Sen140° + Cos350°)(Tg110° + Csc210°) a) (+)(+)(+) b) (+)(-)(+) c) (+)(-)(-) d) (-)(-)(-) e) (+)(+)(-)
7. A qué cuadrante pertenece "", si:
Sec < 0 y Sen > 0
a) I b) II c) III d) IV e) No se puede precisar
8. A qué cuadrante pertenece "", si:
Tg > 0 y Sec < 0
a) I b) II c) III d) IV e) Ninguno
9. Si: [210°; 300°], hallar el signo de:
I. Tg
2
.csc
x
y
-5
7
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
38 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
º60sec
º45sec
(1; 2)
a) + b) - c) + ó - d) + y - e) F.D.
10. Si: II C y Cos2=
9
2
Hallar "Cos"
a) 3
3 b) -
3
2 c) 2 d) 3 e)
2
3
11. Si: Ctg = 3 ( IIIC), calcular:
Q = 2Sen - Cos
a) 4
1 b) -
4
1 c)
10
1 d) -
10
1 e)-
10
5
12. Sabiendo que: Tg = - 3
2 ( IIC), calcular:
Q = Sen + Cos
a) 13
1 b) -
13
13 c)
13
5 d)
13
135 e)
13
3
13. Si: (SenSen = y Tg > 0
Hallar el valor de:
E = Sec - Tg
a) 2
3 b)
3
3 c)
2
2 d)
3
2 e) 1
14. Del gráfico mostrado, calcular "a".
a) -3 b) -1 c) 1 d)3 e) 0
15. Si: ABCD es un cuadrado, calcular "Tg".
a) -3
.7 b) -
2
.7 c) -
7
3 d) -
7
2 e) -
7
4
16. Calcular "Tg".
a) 2 b) -2 c) -2
1 d)
2
1 e) 3
x
y
(-4; a+1)
(1-a; 2)
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 39
17. Diga usted qué ángulo no es cuadrantal.
a) 630º b) -450º c) 1170º d) 1100º e) 900º
18. Calcular: Q = (3Cos180º - Cos90º)2 + (2Sen180º - Sen90º)2
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8
19. Calcular:
a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 3
20. Calcular el valor de:
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2
21. Reducir:
a) n + m b) m - n c) d) e)
22. Calcular:
a) 1 b) a c) b d) a - b e) 0
23. Calcular:
a) 4ab b) 4 c) 4a d) 4b e) b
24. Si:
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -3
25. Si:
f(x) = cos4x - sen2x + sec8x Calcular:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 3 e) -3
3Cos -Sen 4Csc
2 2E
Cos0 Tg4
Csc Sec( )2
3Ctg
3 32Sen - C sc
2 Cos( ) 2
2 7 2 4n Cos 180 m Sen 90
CmSen90 nCos0
nm
n-m
nm
nm 22
n-m
nm 22
ba
90aCsc180Sen)270bCosa(90aSen
2 2 2
4 3
(a b) Sen90 -(a-b) Cos 180Q
aSen 90 bCos 270
3Sen2x-Cos4x 2Sec8xf(x)
Tgx-Csc6x
4
f
4
f
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
40 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
2Sen Sen
2Cos Cos
2 2
2 2
a Cos0º-ab.Sen b Sec223
a Tg ab.Csc -b Cos4 2
26. Dos ángulos coterminales suman 960º, siendo positivos, determine el valor que puede tomar uno de ellos.
a) 120º b) 60º c) 100º d) 300º e) 320º
27. Dos ángulos coterminales están en la relación de 10 a 1. Si su diferencia está comprendida entre
1000º y 1200º, ¿cuánto suman los ángulos?
a) 1300° b) 1310° c) 1320° d) 1580° e) 1620°
28. Halle el mayor de dos ángulos coterminales, si su suma es 1520º y el menor está comprendido entre
200º y 250º. a) 1100° b) 1200° c) 1300° d) 1750° e) 1800°
29. Del gráfico, calcular: Sec - Sec
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) - 2
30. Del gráfico, calcular: E =
a) 4
3 b)
8
5 c) -
12
5 d)
5
12 e) 1
31. Determine: E = A - aB
Si: A = aSen 2
- bcos
B =
a) 0 b) a c) b d) 2a e) 2b
32. Sabiendo que:
cifras
A99
...12121cos ;
cifrasB 100
...12121
sec
Calcular: A + B
A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) 100
33. Calcular el valor de:
3642sec2
9324cos3215
senR
A) 2 B) -2 C) 1/2 D) 0 E) N.A.
x
y
x
y
(-12; 5)
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 41
Tarea domiciliaria 1. Si "" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (3; -4). Calcular: E = Sec - Tg
2. El punto Q(-1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal ""; calcular: K = 10 Sec - Tg
3. Siendo "" un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-3; 2), determine: E = 13 Sen + 12Ctg
4. De acuerdo al gráfico, calcular:
K = Sec - Tg
5. Del gráfico, calcular:
L = 2Cos + Sen
6. Indicar lo correcto:
I. Si: Sec > 0; Tg < 0 IVC
II. Si: Cos < 0; Sen > 0 IIIC
7. Indicar el signo de: A = Tg100º . Cos200º
B = Tg300º + Sec190º
8. Si: Sen = - 3
2( IVC), calcular: R = 5 Ctg - Csc
9. Si: Secx = 5 , además: Secx > 0. Calcular: E = Tgx + 5 Cosx
10. Si "" es un ángulo canónico del tercer cuadrante el cual cumple: (Tg)2Ctg = 27
8
Calcule: R = 3Cos + 2Sen
11. De la figura, calcular "Tg"
(-12; 5)
x
y
(-4; 3)
x
y
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
42 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Sen C sc-
C os S ec
De la figura, calcular: R = Sen2 + Ctg
13. Del gráfico, calcular: E =
14. Del gráfico, calcular "Tg", si G es el baricentro del triángulo AOB.
15. Del gráfico, hallar "Tg".
16. Indicar el orden creciente dados los siguientes valores.
a = Tg2 b = Csc 2
3 c = Sen
2
17. Calcular: E = 3Sen2
+ 2Cos - Csc
2
3 + Tg2
18. Calcular: E = Tg(Sen) + Cos(Tg2)
x
y
(4; 7)
x
y
45º
x
y
x
y
A(-6; 0)
B(0; 4)
G
O
x
y
37º
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 43
19. Calcular:
20. Calcular:
21. Calcular:
22. Calcular:
23. Calcular:
24. Calcular: Q = Sen
2cos
+ Cos(Sen0°) + Tg
2
3ctg
25. Señale la medida del mayor de dos ángulos coterminales, sabiendo que este es a la suma de los dos ángulos como 8 es a 11. Se sabe además que el mayor está comprendido entre 900º y 1100º.
26. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, que están en la relación de 2 a 7 y la diferencia de ambas está comprendida entre 1200º y 1500º.
27. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 1320º y el mayor de ellos está
comprendido entre 900º y 1200º.
Si: Tg = 5
2 , calcular: E = 29 Sen + Tg
29. Si: Sen < Cos2
y Tg > Sen
Halle el signo de:
30. Siendo: f(x) = a2 . Senx + b2 . Cos2x
Calcular:
Sen 2Cos -Tg22P
3Csc -Sec0
2
Sec2 -Cos Sen2E
3Tg -Sen
4 2
3Cos0º-4Sen270º Sec360º
Cos180º Csc270º
9Sec0º-Sen270º 2Cos180º
Csc90º-Cos180º
Sen Sec2 -Cos2P
3Cos Tg -Sen
2 2
x
y
Ctg Cos CtgM
Sen Tg Csc
)(f
2
3f
2f
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
44 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
31. Calcular el valor de: 12537cos41236 senR
A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) N.A.
32. Calcular el valor de:
cifras100
1...1111sec
A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) 100
TEMA nº 06 : CIRCUNFERENCIA trigonométrica
Capacidades:
Representar, graficar y analizar las líneas trigonométricas seno, coseno y tangente en la
circunferencia trigonométrica
Interpretar el paso de una razón trigonométrica a un número real
Definir la circunferencia trigonométrica relacionada con los números reales.
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
A : Origen de arcos
M y N : Extremos de arco B : Origen de complementos de arcos
A' : Origen de suplementos de arcos B' : Sin nombre especial
Todo arco dibujado a partir de "A" se denomina arco en posición normal; y numéricamente (en rad) es
igual al ángulo central que le corresponde; siendo el extremo del arco, el punto más importante para el
análisis que sigue a partir de ahora. Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en grados sexagesimales, en radianes o como
números reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
By
M
B' N
R = 1
A' Ax
(+)
(-)
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 45
Líneas trigonométricas Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; que van a representar los valores numéricos de las
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número real, siempre que esté definido. Vamos a estudiar tres razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.
1. L.T. seno
El seno de un arco se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado,
hacia el eje de abscisas. (, , y son arcos en posición normal)
Con lo mostrado en el gráfico anterior, trazar las L.T. seno de los arcos mostrados en:
I. Variación del seno de un arco: Significa determinar entre qué valores se encuentra el seno de un arco cuando éste varia en un cierto
intervalo. Si consideramos un arco "" que se desplaza sobre toda la circunferencia trigonométrica (de
0 a 2) notaremos que el "sen" toma como máximo valor 1, mientras que su mínimo valor es -1, es
decir:
y90º
180º
360º
270º
0º
x
y
2
2
0
x
3
2
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
y
Ax
Q
sen
(-)
-1
sen
(+)
M
1sen
(+)
N
sen
(-)
P
y
x
90º
0º
270º
180º
-28º
260º
150º
70º
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
46 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
mientras que la variación por cuadrantes será:
2. L.T. coseno
El coseno de un arco se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco
considerado, hacia el eje de ordenadas. (, , y son arcos en posición normal)
Con lo mostrado en el gráfico anterior, trazar las L.T. coseno de los arcos mostrados:
II. Variación del coseno de un arco:
Trabajando de la misma manera que en el caso anterior consideramos un arco "" que se desplaza
sobre toda la circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremos que el "cos" toma como máximo
valor 1, mientras que su mínimo valor es -1, es decir:
/2
2
3 /2
-1
1
O
1sen11.mínsen
1.máxsen
IC
0
2
IIC
2
IIIC
32
IVC
232
0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
sen
y
x
N
M
cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A
P
cos(-)
cos
(+)
Q
y
x
90º
0º
-80º
180º
270º
140º
50º
230º
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 47
mientras que la variación por cuadrantes sería:
III. Análisis de las variaciones en intervalos de IR:
Cuando te pidan la variación, extensión o rango de expresiones que dependan del seno o coseno de un arco; y este arco varíe en un intervalo restringido, se procede de la siguiente manera:
1. Reconocer de qué R.T. depende la expresión.
2. Reconocer de qué variable depende la R.T.
3. Ubicar en la C.T. el intervalo al que pertenece la variable, respetando si es abierto, cerrado o semicerrado.
4. Trazar las líneas trigonométricas correspondientes a la R.T. de la que depende la expresión (las más importantes).
5. Reconocer la mayor y menor de las líneas trigonométricas trazadas. 6. Ubicar la R.T. de la variable, entre los extremos encontrados en el punto anterior, respetando si
puede o no tomar dichos extremos.
7. Terminar de formar la expresión pedida, a partir de la variación encontrada en el punto anterior.
3. L.T. tangente Para representar la tangente de un arco, previamente se traza una recta tangente a la circunferencia
trigonométrica en el origen de arcos "A", para luego prolongar el radio que pasa por el extremo del
arco considerado hasta que se corte con la recta anterior. La tangente de un arco se representa por el segmento que une el punto "A" con el punto de intersección anterior. Por ejemplo, para representar
"tan" prolongamos hasta "T", luego AT representa "tan"; mientras que para representar "tan"
prolongamos NO hasta T1 luegorepresenta "tan"; y así también para "" y "".
/2
2
3 /2
O1
-1
1cos11.míncos
1.máxcos
IC
0
2
IIC
2
IIIC
32
IVC
232
0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0
cos
y
x
N
O
P
Q
M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
48 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Con la ayuda del gráfico adjunto trazar la L.T. tangente de cada arco indicado.
Ejercicios Para La Clase
1) Dibuje un arco positivo "" del IIC y
represente gráficamente: sen; cos y tan.
2) Ubique un arco que mide -110º y represente gráficamente: sen(-110º), cos(-110º) y
tan(-110º).
3) Señale verdadero (V) o falso (F), según
corresponda en: I. sen70º > sen20º
II. sen216º > sen254º
III. sen300º > sen320º a) VVV b) VFV c) VVF
d) FVV e) VFF
4) Señale la variación de: L = 7sen - 5; IR
a) [-7; 12] b) [-12; 2] c) [2; 12]
d) [-2; 12] e) [-6; 8]
5) Señale la variación de: C = 6cos - 3; IR
a) [-6; 6] b) [-6; 3] c) [-3; 6] d) [-9; 3] e) [-3; 9]
6) Señale la variación de: L = 3 - 2cos; IR
a) [1; 5] b) [1; 3] c) [-1; 3] d) [-3; 3] e) [-5; 5]
7) Sabiendo que IR, además:
¿cuál es la suma de los valores enteros que
toma "n"?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
8) Sabiendo que IR, además: 4cos = 3n + 1
¿cuál es la extensión de "n" para que la
igualdad anterior sea imposible de verificarse?
a) IR - b) IR - c) IR - d) IR -
e) IR -
9) Sabiendo que: IC; señale la extensión
de: L = 4sen - 1
a) <1; 4> b) <-1; 3> c) [-1; 3]
d) [-1; 4] e) [-5; 3]
10) Sabiendo que: IIC; señale la extensión
de: L = 4cos + 1
a) <-3; 5> b) [1; 5] c) <-1; 5>
d) <-3; 1> e) [-3; 1]
11) Sabiendo que: 40º < < 180º; señale la
extensión de: L = 3sen + 1
a) [0; 3> b) [1; 4> c) [1; 3>
d) [1; 4] e) <1; 4]
12) Sabiendo que: <70º; 270º>; señale la
variación de: L = 4sen - 1
a) <-3; 5] b) <-3; 5> c) <-5; 3]
d) <-5; 3> e) [-5; 3>
13) 10. Sabiendo que: <25º; 75º]; señale el
rango de: L = 4sen2(3- 45º) + 1
a) [1; 2> b) [1; 2] c) [1; 5>
d) <1; 5] e) [1; 5]
14) Señale la variación de:
L = sen(sen + 1); IR
a) [-1; 2] b) c)
y
Ox
32º
160º
242º
310º
7
1-n2sen
2;
4
1-
1;
2
1-
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 49
d) e) [-1; 3] 15) Señale el valor de:
Siendo: "L" real
a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) -2
16) Señale verdadero (V) o falso (F), según
corresponda en: I. cos70º > cos20º
II. cos100º > cos160º III. cos200º > cos230º
a) VVV b) FFF c) VVF
d) FVV e) FVF
17) Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:
I. tan50º > tan70º II. tan130º > tan150º
III. tan310º > tan340º
a) FFF b) FVV c) VVV d) VFV e) VFF
18) Señale verdadero (V) o falso (F), según
corresponda en:
I. sen1 > sen2 II. cos2 > cos3
III. tan5 > tan6 a) FFV b) FVV c) VVF
d) FVF e) FFF
19) En la C.T. mostrada, hallar la longitud de .
a) 1 - cos b) 1 + cos c) 1 + sen
d) 1 - sen e) -2cos
20) En la C.T. mostrada, hallar el área de la
región sombreada.
a) sen b) 2sen c) 2cos
d) -cos e) -2cos
21) En la C.T. mostrada, hallar el área de la
región sombreada.
a) -sen b) -cos c) -sen
d) -cos e) -2sen
22) En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
a) b)
c) d)
e)
23) Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
I. Si:
II. Si:
III.
2;
2
1-
coscossen
csc1-cos1-senL
By
B’
A’ AxP
M
By
B’
A’ Ax
M
By
B’
A’ Ax
M
By
B’
A’ Ax
M
T
2
cos)tan1(
2
cos)tan1(
2
tan)cos1(
2
tan)cos-1(
2
tan)sen1(
coscos2
sensen2
3
tantan22
3
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
50 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
a) FVV b) FVF c) FFV
d) VFF e) VFV
24) En la C.T. mostrada, hallar la longitud de .
a) b) c)
d) e)
25) Señale verdadero (V) o falso (F) según
corresponda en: I. sen(sen2) > sen(sen3)
II. cos(cos2) > cos(cos3)
III. tan(sen5) > tan(sen6) a) VVV b) VVF c) FVV
d) VFV e) FVF
26) Señale verdadero (V) o falso (F) según
corresponda en:
I. sen(sen70º) > sen(sen40º) II. cos(cos70º) > cos(cos40º)
III. cos(cos100º) > cos(cos160º)
Tarea domiciliaria
1) En una C.T. ubique aproximadamente un arco que mida 130° y trazar: sen130°;
cos130° y tan130°.
2) En una C.T. ubique aproximadamente un
arco que mida 220° y trazar: sen220°, cos220° y tan220°.
3) Señale los signos de desigualdad que deben colocarse en cada circulo, según
corresponda en: sen70° sen50°
sen140° sen160°
sen200° sen260°
4) Señale los signos de desigualdad que deben colocarse en cada circulo según corresponda
en: tan70° tan40°
tan130° tan160°
tan220° tan260°
5) Sabiendo que: 90° < < < 180°; señale
verdadero (V) o falso (F), según
corresponda en:
I. sen > sen
II. cos > cos
III. tan > tan
6) En la C.T. mostrada, hallar el área de la
región sombreada:
7) En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada:
8) En la C.T. mostrada, determinar la superficie de la región sombreada:
OP
By
B’
A’ Ax
M
P
O
cos1
sen
cos1
sen
sen1
cos
sen1
cos
)sen1(2
cos
M
y
B'
A' A
x
B
Ty
B'
A' A
x
B
M
y
B'
A' A
x
B
Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 51
9) En la C.T. mostrada, determinar la longitud del segmento MP.
10) En la C.T. mostrada, hallar la longitud del segmento MP Y NQ.
11) En la C.T. mostrada hallar la longitud del
segmento .
12) En la C.T. mostrada, hallar la longitud del
segmento (sug: sen2a + cos2a = 1).
13) En la C.T. mostrada, determinar la superficie de la región sombreada.
14) En la C.T. mostrada, determinar la superficie de la región sombreada.
15) En la C.T. mostrada, determinar la superficie
de la región sombreada.
Sabiendo que IR; señale la extensión
de:
B = 5 + 2sen
17) Sabiendo que IR; señale la variación de:
D = 5 - 3sen
18) Señale el menor valor entero que puede
tomar:
F = 7 + 4sen; si IIIC
19) Señale el mínimo valor entero que puede
tomar:
H = 3 - 5sen; IC
20) Señale la suma del máximo y mínimo valor
que toma:
J = 5cos - 1; IR
Sabiendo que IIIC; señale la extensión
de:
L = 6 - 4cos
y
B'
A' A
x
B
MP
y
B'
A' A
x
B
M
N
Q
P
y
B'
A' Ax
B
M
T
PN
y
B'
A'
x
B
M
A
y
B'
A'
x
B
M
A
y
B'
A'
x
B
A
M
y
B'
A'
x
B
A
M
N
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
52 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
22) Sabiendo que IVC; sume los valores
enteros, máximo y mínimo, que puede
tomar:
N = 3cos+ 5
23) Señale la suma de los valores enteros que puede tomar "n" para que la relación:
3sen = 2n + 1; sea posible de verificarse.
24) Señale la variación de "n" para que la igualdad:
4cos = 7 - 2n; sea imposible de verificarse.
25) Sabiendo que: 30º < 180º; señale la
variación de:
Q = 4sen - 1
26) Sabiendo que: < 80º; 296º >; señale la
variación de:
S = 6sen + 5
27) Si: 20º < < 95º; señale la extensión de:
E = 4sen(2 - 10º) + 1
28) Señale el valor máximo de:
B = 2sen - cos + 1; y son
independientes
29) Halle el valor máximo de:
30) Halle el valor máximo de:
F = sen
2sen
1sen2D
2x2
Identidades Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 53
TEMA nº 07 : Identidades trigonométricas
Capacidades:
Aplicar correctamente las identidades trigonométricas en las demostraciones
Aplicar adecuadamente las identidades fundamentales en la simplificación de ejercicios.
Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son aquellas igualdades que relacionan funciones
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo admisible, clasificándose de la siguiente manera:
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS
Sen . Cosec = 1 R - n
Cos . Sec = 1 R–(2n+1)
Tan . Cotan = 1 R – n /2
2. IDENTIDADES POR DIVISION
Tan = Sen / Cos R–(2n+1)/2
Cotan = Cos / Sen R – n
3. IDENTIDADES PITAGORICAS
Sen2 + Cos2 = 1 R
1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1)/2
1 + Cotan2 = Cosec2 R – n
4. IDENTIDADES AUXILIARES
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
5. DEMOSTRACIONES
A continuación te proponemos algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios
de demostración, estas son:
Escoger el miembro más complicado de la identidad
Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos
Hacer uso de identidades algebraicas, según sea el caso
Cuando haya potencias puede ser útiles hacer factorizaciones
De las identidades fundamentales se podrán deducir otras.
Los ejercicios sobre IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos: Demostraciones, Simplificaciones, Condicionales, Eliminación del ángulo
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
54 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Problemas para la clase
Demostrar las siguientes identidades:
1. (Csc 1
1
cos
cos
2. cos² ²
coscos
x
senx
sen x
xx senx
1 1
3. 1
secsec
tagtag
4. senxtgxx .cos
5. 1)1( 22 BsenBctg
6. xxsenxxsen 2244 coscos
7. 2)cos()cos( 22 xsenxxsenx
Simplificar las siguientes expresiones:
8. Px
senx sen x
cos³
³
9. Rx
sensen
cos³cos
1
10. Ttag
sensen
sec
²
11
Eliminar el ángulo en las siguientes expresiones:
11. x = 3sen ....(1)
y = 2cos.......(2)
12. x = cos................... (1)
y = cos² - sen²...... (2)
13.
senx = m …........ (2)
14. Si: Secx - Tgx = 0,75; Entonces el valor de: Secx + Tgx , es:
15. Si cos + sec = 3
Calcular el valor de: sec² - sen²
16. Si Sen - Cos
Calcular el valor de: Sen4 + Cos
4
17. Si : + Tgx = asecx y Tgx = bsecx calcular a² + b²
18. Si csecα – cos α= 1 ;
Calcular T =
cos1
3
sen
a) 1 b) -1 c) senα
d) –senα e) cosα
19. Reducir Q =
sen
sen cos1
cos1
a) Senα b) cosecα c) 2cos
α d) 2cosec α e) 2 tagα
20. Simplificar la expresión
E = xxxsenxsen
xxxsenxsen6226
4224
coscos.2
coscos.
a) -1 b) 0 c) 1
d) tagx e) ctagx.
21. Reducir la expresión
xsenxtgx 22sec
a) Sen x b) Cos x c) Tg x d) Sec x e) Csc x
22. Si: 2cos1
2
x
senx
Calcular: tg x + 2ctg x a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 23. Si: csc x – sen x = a .........(1) Sec x – cos x = 2a .......(2) Hallar tg x
a) 24 b) 3 2 c) 2 d) 1 e) 2
24. Si: sec x – tg x = 0.75; entonces el valor
de sec x + tg x,es: a)2/3 b)4/3 c)3/2 d) 3 e) 4
25. Si: 2 ctgtg
Hallar: 33 ctgtg
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
26. Si: 21)( xxf
Simplificar:)(sec
)(cos
)(csc
)(
xf
xf
xf
senxfP
a) 1 b) -1 c) -2 d) 1/2 e) 2
Identidades Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 55
27. Si: tgxsenx 2cos.
Hallar: )cos1)(1( 22 xxsenE
b) 22sen b) 2 c) 2sec2
d) 2cos e) 2tg
28. HallarM, si se cumple:
)cos2()2()21( 2222 senMsensen
a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4
29. Simplificar:
sen
sentg
1
1 donde: º900
c) sen b) tg c) sec
d) cos e) 1
30. Eliminar "" de:
m cscsec ..............(1)
nctgtg ................. (2)
31. Eliminar "" en:
actg ...............(1)
bsen cos ................(2)
32. Eliminar "" en:
psen cos ................(1)
qsen cos ........(2)
Tarea domiciliaria
1. Reducir la expresión
k = 3
sec
seccos
csen
a) Senα b) cosα c) tagα
d) ctagα e) 1
2. Calcular
a) Senx b) cosx c) tagx
d) ctagx e) 1
3. Al simplificar la expresión se halla:
xcxc
xctagxcsec
1sec3
23sec2 2
a) -1 b) 0 c) 1
d) ctagx e) csecx
4. Hallar M para que sea identidad
xcxMxctag
xctag
xtag
xtagsec.sec2
11 2
2
2
3
a) senx. b) cosx c) senx. Cosx
d) tagx. Secx e) ninguna
5. Hallar mnn
m ,si se cumple la identidad;
xxctsgxxctsg nm cos.cos22
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
6. Hallar el valor de M, si :
xsenxsenxsenxM 6423 1cos
a) 2secx b) 4tagx c) 2cosx
d) 3tagx e) senx
7. Calcular M - N, si
M = xctagxtagcsexx 222.sec
4422 sec.sec22 tagtagN
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Calcular el valor de P.
22
22coscos
ctagxtagxctagxtagx
xsenxxsenxP
a) 0 b) ½ c) 1
d) 2 e) ¼
9. Si cosx - senx = a .
Hallar: K = 4(cosx – senx) +3(senx – cosx)
a) 4a b) a c) 3a
d) 3a e) 2a
10. Si senα + cos α= 1/3;
Halar tagα + Ctagα
a) -4/9 b) -2/9 c) -9
d) -9/2 e) -9/4
11. Calcular tgα + Ctgα.
Sabiendo que tgα – Ctg.α = 3
a) 1 b) 15 c) 1,5
d) 2 e)2,5
ctagxtagxxcx
ctsgxxtagxSenx
1
secsec
.cos.
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
56 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
12. Simplificar:
A) B) C)
D) E)
13. Reducir:
A) 1 B) C)
D) E)
14. Calcule:
A) B) C)
D) E)
15. Simplifique:
A) B) C)
D) E)
16. Demostrar las siguientes identidades:
xtgxx 222 sec)cos1(
xsentgxxsenx 2.cos.
xxctgxsenx csccos.
xsenxtgxx cos.sec
17. Simplificar
senxsenx
1
1
1
1
xx cos1
1
cos1
1
xx
xsen3
3
coscos
senxx
xx
csc
cossec
18. Simplificar
tgxxtgxxE
sec
1
sec
1
19. Simplificar
x
senx
senx
xM
cos
1
1
cos
20. Reducir 22 )cos.().( xtgxsenxctgxM
21. Simplificar senx
x
x
senxP
cos1
cos1
Si: mtgxx sec Hallar: tgxx sec
22. Reducir: 22 )()( ctgxtgxctgxtgx
23. Si ctga ; cscb Hallar: 2
21
b
a
24. Si: 2cos xsenx
Hallar: xsenx cos.
25. Reducir:
senxctgx
senxtgxxxM
.
.sec.cos 23
26. Si: 5/1cos xsenx
Hallar: xxsenE 33 cos
27. Si: 73cos16 22 asena Hallar: tga
28. Hallar (a+b+c), para que la siguiente
igualdad sea una identidad.
cxbtgxasenxtgxxxsen 222222 7sec5cos34
29. Simplificar: ctgxtgxx
A1
sec
1
30. Si: sensena .
b = sen.cos
c = cos
Hallar: 222 cba
a) 2 b) -1 c) 3 d) 1 e) 4
31. Sabiendo que:
cos..sensena
senb .cos.cos
sensenc .
cosd
Hallar: 2222 dcba
a) 2 b) -1 c) 3 d) 4 e) 1
32. Eliminar en:
senx cos3y
E tg .cos .senx x x
senx cosx2
sen x
2cos x
3cos x
A sen ctg secx x x
cos x sec x
tgx senx
V tg ctgx x senx
cos x tgx sec x
senx csc x
2I ctg 1 cosx x
2sen x senx cosx
3cos x
2sen x
Reducción al Primer Cuadrante Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 57
R T co RT
R T RT
.
.
90
270
180
306
R T n R T n. .360
TEMA nº 08: reducción al primer cuadrante
Capacidades:
Definir el valor equivalente de una razón de ángulos menores de 360º
Definir el valor equivalente de una razón de ángulos mayores de 360º
Aplicar razones trigonométricas equivalentes de ángulos mayores a 360° y negativos.
La conversión de una razón trigonométrica (r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un
ángulo del primer cuadrante se llama: ”reducción al primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier
ángulo en forma directa mediante reglas prácticas las cuales mencionaremos a continuación recordando
antes que:
- Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.
- Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente.
- Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.
I Regla: “Para ángulos positivos menores a una vuelta.
¡Importante!
- El signo + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”.
- se considera un ángulo agudo.
Ejemplos de Aplicación:
1. Reducir al primer cuadrante:
a) Cos 150º b) Tg 200º
c) Sen 320º d) Sec 115º
e) Csc 240º f) Ctg 345º
II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta.
Nota: Se eliminan los múltiplos de 360º.
Ejemplos de Aplicación
2. Reducir al primer cuadrante:
a) Sen (548º) b) Cos (987º)
c) Tg (1240º)
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
58 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Sen Sen
Tg Tg
Ctg Ctg
Csc Csc
Cos Cos
Sec Sec
( )
( )
Resolución
2a) Sen548° = sen(1 × 360° +
188°) = sen188°
Luego:
Sen548° = sen188 =
sen(180° + 8°) = -sen8°
ó
sen548° = sen188° =
sen(270 - 72°) = -cos72°
2b) Cos987° = cos(2 × 360° +
267º) = cos267°
2c) Tg1240º =Tg(3 × 360° +
160°) = Tg160°
III Regla: para ángulos negativos:
Para todo ángulo , se cumple:
Nota:
Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valor
positivo. Veamos ejemplos:
Ejemplo de Aplicación
3. Reducir al primer cuadrante:
A) cos(-130°) B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)
Nota Importante: Todo el capítulo “Reducción al 1er Cuadrante” se desarrolló trabajando netamente en
el sistema sexagesimal la cual también se pudo haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo todos
los casos reglas y aplicaciones propuestas.
Reducción al Primer Cuadrante Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 59
2.
2
3.
2
CscSec
CosSen
E
º1470Tgº.900aSec9º1140btg
º630Cscbº540Cos.390abSen4º810SenaR
22
22
34Tg.2Cos
32Tg..2Sen
Ejercicios de aplicación:
1) º180sen =
2) º180cos =
3)
2sen =
4)
2
3secc =
5) º100sen = 6) º200cos = 7) º2100secc =
8) 4
7sec
=
9) 3
5sec
c =
10) º130sen =
11) º4520cos =
12) º300tg =
13) º240ctg =
14) º540sen =
15) º720sec =
16) 15tg
17) 10ctg =
18) º630cos =
19)
2
5sen =
20)
2
33ctg =
21)
2
27sec =
Ejercicios para la clase
1. Simplificar:
AsenA
ActgAtgE
º902º180cos
º360.º540
A)secA B)-secA C)1/2
D)-1 E) N.A.
2. Calcular el valor numérico de:
º90cscº1352º1503 tgsen
A)5/2 B) -1/2 C)1/2 D)-1 E) N.A.
3. Calcular el valor numérico de:
º180cosº2702º225 baasentgbaQ
A)b-a B)2b - a C)2( b –a)
D)2a – b E) N.A.
4. Determinar el valor de:
º315secº.210cscº.210º.120cos
º300secº.330º.240cosº.135
ctg
tgsenE
A)-1/6 B)-1/3 C)-1/2
D)1/6 E) 1/2
5. Reducir:
xxxtg
xtgxxsenK
º180cos.º360cos.º180
º360.º180cos.º90
A) senx B)-1 C)1
D)cosx E) tgx
6. Reducir:
xctgxtg
xxsen
K
22
3
cos2
A) senx B)-senx C)-secx
D)cosx E) tgx
7. Calcular el valor de:
xsenxsenM
2
322 22
A)2 B)3 C)4 D)1 E) 0.5
8. Si: x + y = 2 . Calcular
E=Tg(x +10º) + Sen(y + 40º) + Tg(y - 10º) + Sen(x-40º)
9. Si: 5tgx .calcular:
xxctgx
xxtgxsen
F
2
3csc.2.
2
3cos
2sec..
A) 5 B)-2 C)5
D)- 5 E) 2
10. Calcular el valor de: Sabiendo que = 6
11. Simplificar:
12. Si y son complementarios reducir:
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
60 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
2
35Cos.2053Ctg
2
69Sen.92Sec
N
4
9.40.
2
91
90.2
37.99
TgxSenxCtg
xSecxCosxTg
º115Tgº155Tg
º115Tgº155TgK
2
3Tg.Tg
2
3CtgCtg
Ctg.2
Ctg
Tg.2
Tg
E
º310Senº1930Senº850Sen
320Senº860Senº4360SenR
4º1800Tgº.270Cos
º450Tg180Sen
322
)º590(Cos;1a
1º490Sen.
1a
a1
2
3Tg.Tg
2
3CtgCtg
Ctg.2
Ctg
Tg.2
Tg
E
13. Reducir la expresión
y calcular: N.Cos
14. Simplificar:
15. Si: Tg25º = a Calcular
16. Si Sen40º = m. Calcular:
º320Cscº.410Secº.220Ctg
º230Tgº.130Cosº.140SenP
17. Calcular el valor de:
L = Sen(-350º) + Sen(-340º) + Sen(-330º)
+ … + Sen (-20º) + Sen(-10º)
18. Simplificar:
a) -2 b) 0 c) 1
d) -1 e) 2
19. Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
b11a10Tg.a5b4Cos
a14b13Tg.b7a6SenM
a) -2 b) -1 c) 2
d) 0 e) 1
20. ¿Qué relación existe entre a y b?
sabiendo que:
04
b2a36Ctg
8
b3a2Tg
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) 1/6
tarea Domiciliaria
1. Reducir:
2. Siendo IIC y además
Calcular: Sen Cos
3. Si: x + y = 2 . Calcular
E = Tg(x +10º) + Sen(y + 40º) + Tg(y -
10º) + Sen(x-40º)
4. La expresión:
º160Cscº.290Secº.340Ctg
)º470(Tg)º.520(Cosº650SenE
Es equivalente a:
a) Sen220º.Cos202º b) –Sen220º
c) Cos220º d) –Sen20ºCos220º
e) –Sen220.Cos20º
5. Si Tg(-230)º = a, entonces
Es igual a:
a) -2 b) 2 c) 3
d) 3 221 e) 0
6. Simplificar:
a) -2 b) 0 c) 1
d) -1 e) 2
Reducción al Primer Cuadrante Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 61
º750Ctg.º300bTg.420Ctgº540aSec9
º1170Senbº540Cosº.750abSen4º990Csca2
22
4
7Csc
4
5Sec
4
3Tg
3
5Sec
6
7Cos
3
2Sen
7. Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
b11a10Tg.a5b4Cos
a14b13Tg.b7a6SenM
a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
8. Calcular el valor de :
º150Senº240Cosº330Cscº45Sec3C
a) -2 6 b) 1233
c) 26 d) 62 e) 26
9. Reducir la expresión:
aº360Tg.aº270Sen.aº540Cos
aº180Tgº.90aCos.aº180Sen
aº1170TgCº180Cos
º90cSen.aº450Ctg
a) 0 b) –Tg2a c) 2Tg2a
d)-2Tg2a e) Tg2a
10. Simplificar:
a)3
ba b)
3
ab
c) )ba(3
2 d)
3
ba e)
2
ba
11. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
que:
04
b2a36Ctg
8
b3a2Tg
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) 1/6
12. Simplificar :
x270Ctgx90Csc.x360Sen
x270Cosx360Sec.x180TgQ
a) 1 b) -1 c) Tg2x
d) Sen2x e) Senx
13. Calcular el valor de:
a) -2 b) -1 c) 1
d) 2 e) 0
14. Reducir la expresión:
270Secb90Sena540abCos2
360Secb360abTg60CosaP
22
22
a) ba
ba
b) a - b c) a + b
d) ba
ba
e) a2 – b2
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
62 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
TEMA nº 09 : razones trigonométricas de ángulos Compuestos
Capacidades:
Aplicar correctamente las identidades trigonométricas de los arcos compuestos.
Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares para dos arcos.
I. Para la Suma:
II. Para la Diferencia:
PROPIEDADES:
I.
II.
III.
IV.
V.
ó
TanyTanx1
TanyTanx)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
TanyTanx1
TanyTanx)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
ySenxCos)yx(Cos)yx(Cos
ySenxSen)yx(Sen)yx(Sen
22
22
CosyCosx
)yx(SenTanyTanx
: donde ; )x(SenbaK
R b, a bCosx aSenx K : Si
22
b
a
a + b2 2
22mín
22máx
baL
baL
R x , b, a ;bCosx aSenxL
: Si
Donde :
a b : constantes
x : variables
)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx
)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx
R.T: de Ángulos Compuestos Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 63
x
1
4
37º
PROBLEMAS PARA LA ClASe
1. Reducir:
J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x) a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx
d) Senx e)
2. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x)
a) Cosx b) Senx c)
d) e)
3. Halle un valor agudo de "x" que verifique:
a) 6º b) 12º c) 18º
d) 21º e) 24º
4. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla: Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x =
0,5 a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 30º
5. Si: Tgx = 2 Tgy = 3
Calcular: Tg(x+y) a) 1 b) -1 c) 2
d) -1/2 e) -2
6. Si:
Calcular:
a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17 d) -1/17 e) -1/19
7. Hallar el valor de: Sen7º
a) b) c)
d) e)
8. Calcular: Tg8º a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7
d) 1/9 e) 1/11
9. Si: Calcular: E =Sen(x+z); x z son agudos.
a) b) c)
d) e)
10. Simplificar:
a) 1 b) 2 c)
d) e)
11. Sabiendo que: Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y)
Cos(2x+y) = Calcular: Ctg3x
a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5 d) 5/4 e) 3/5
12. Obtener: Sen23º
a) b) c)
d) e)
13. Del gráfico mostrado,
Calcular: "x".
a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13
d) 13/51 e) 3
14. Si: Calcular: Tg(45º-x)
a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3
d) 5 e) 3/7
15. Reducir:
a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º d) Cot45º e) Sen30º
16. Si:
Hallar : Cotx a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º
d) Csc37º e) 1
17. Simplificar:
a) b) c)
d) e) 1
18. Simplificar:
a) b) 1 c)
e) 2 e)
19. Siendo: x + y = 30º ; x - y = 37º
Calcular: J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)
Senx3
Cosx2
Cosx3 2
2
2
1Senx.x4SenCosx.x4Cos
5
2Tan;
3
1Tan
)(Tan
10
433
10
433
10
334
5
433
2
433
25
24Senzy
5
3Senx
225
127
117
125
222
117
125
117
25
39
)xº30(Sen)xº30(Sen
)xº30(Cos)xº30(CosM
3
3
3
33
5
4
10
3
10
433
10
433
10
334
10
334
Cosx
3
Senx
2
º40Cosº10Sen2º50SenC
)º45x(Cos2)º37x(Sen5
SenSen)(Cos
CosSen)(SenC
Tan Tan Cot
Cot
º10Senº30Senº40Cos
º30Cosº10Senº40SenJ
3 3
3
3
32
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
64 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3
d) 1,4 e) 1,5
20. Siendo:
Calcular:
Tarea domiciliaria
1. Hallar:
a) Cosx-Senx b) Senx-Cosx
c) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx)
e)
2. Simplificar:
L=(Sen3x+Cos3x)(Sen2x+Cos2x)-Sen5x
a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x
d) Cos4x e) Cos5x
3. Reducir:
a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º
d) Cot45º e) Sen30º
4. Si:
Hallar : Cotx
a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º
d) Csc37º e) 1
5. Simplificar:
a) b) c)
d) e) 1
6. Simplificar:
a) b) 1 c)
e) 2 e)
7. Siendo: x + y = 30º ; x - y = 37º
Calcular: J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3
d) 1,4 e) 1,5
8. Siendo:
Calcular:
a) b) c)
d) e) 3
9. Siendo: x + y = 60º ;
Calcular:
a) b) c)
d) e)
10. Señale el valor máximo que toma la
expresión:
C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x - Cos2x) + Senx
a) 1 b) c) - 1
d) e)
11. Sabiendo que: Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny
+ 3Cosy = 0 Donde:
Calcular: L = Sen(x + y) + Cos(x - y)
a) b) c)
d) e)
12. Si: y Tanb = 3
Calcular: Tan (a - b + c)
a) b) c)
d) e)
º60
22 )SenSen()CosCos(C
)xº45(Sen2M
2
2
º40Cosº10Sen2º50SenC
)º45x(Cos2)º37x(Sen5
SenSen)(Cos
CosSen)(SenC
Tan Tan Cot
Cot
º10Senº30Senº40Cos
º30Cosº10Senº40SenJ
3 3
3
3
32
º60
22 )SenSen()CosCos(C
32 )32(2 )32(3
32
4
3Tany
)yx(Tan)TanxTany1(M
28
3
28
35
28
33
14
33
14
35
12
14
1
3
2
IIC y; IIICx
213
32
13
62
13
6
213
3 2
13
5
5
3)cba(Tan
7
6
7
21
11
27
17
29
27
11
R.T. de Ángulos Compuestos Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 65
x
7
2 3
30º
13. A partir de la figura, hallar "x".
a) b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
14. Si: A + B + C = 180º
El valor de:
E = TanA+ TanB+TanC - TanA TanB TanC
a) 1 b) - 1 c) 2
d) 0 e) - 2
15. Calcular el valor de:
Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º
a) b)
c) d)
e) 1
16. Simplificar la siguiente expresión:
a) b) c) Ctg7a
d) Ctg3a e)
17. Si: ; Tan(y - z) = 1
Entonces: Tan(x - z) es igual a:
a) b) c)
d) e)
18. Los ángulos , y satisfacen la relación:
Hallar la suma de:
(K : Número entero)
a) 0 b) c)
d) e)
19. En la siguiente figura, la medida del lado x
es:
a) b) c)
d) e)
20. Nos situamos a una distancia de 500 metros
de un edificio de 100m de altura, que tiene
25 pisos idénticos.
Hallar el valor de la Tangente del ángulo
mostrado.
a) b) c)
d) e)
3
22 21
2
21
2
2
a2Ctga5Ctg
1
a2Tana5Tan
1
a3Sen
a7Cos
a7Sen
a3Cos
a7Sen
a3Sen
ba
ba)yx(Tan
b
a
a
b
ba
ba
ba
ba
a
ba
TanTanTanTanTanTan
k2
k
2
k4 k
x
2
6
4
64 234 134
173 63
10mo. piso
9no. piso
500
3143
5
500
3143
274
1
3143
25
3143
36
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
66 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Tema 10: razones trigonométricas de ángulo Doble
Capacidades:
Reconocer las identidades de arco doble
Aplicar correctamente las identidades del arco doble en la resolución de problemas.
1. Fórmulas básicas
I. Para el seno del doble: (sen2)
II. Para el coseno del doble: (cos2)
III. Para la tangente del doble: (tan2)
También:
2. Fórmulas de Degradación:
Ejemplos:
Sen80° = 2Sen40°Cos40° 2Sen3xCos3x = Sen6x Cos72° = Cos
236° – Sen
236°
Cos10x = 2Cos25x – 1
Cos5x = 1 – 2Sen2
2
x5
2Cos2
8
– 1 = Cos
4
1 – 2Sen225° = Cos50°
30Tg
15Tg1
15Tg2
2
3. Propiedades: I.
II.
sen2 = 2sen cos
sen2 =
sen40º =
sen8 =
cos = cos - sen 2 2
2
cos2 =
cos40º =
cos4 =
tan2 =
tan2 = __________________
tan2 =
__________________
2tan
1 - tan
2
xSen21x2Cos 2
1xCos2x2Cos 2
x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2
x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2
42
42
x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222
x2Csc2TanxCotx
R.T. de Ángulo Doble Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 67
III.
IV.
V.
4Cos8
3
8
5CosSen
4Cos4
1
4
3CosSen
66
44
Ejemplos: 2Sen
43x = 1 – Cos 6x
2Cos218
= 1 + Cos
9
1 – Cos60° = 2Sen230°
1 + Cos74° = 2Cos37° Cot15° + Tg15° = 2Csc30° Cot3x – Tg3x = 2Cot6x
Sen415° + Cos
415° =
4
1
4
3 Cos60°
Sen6
8
+ Cos
6
8
=
2Cos
8
3
8
5
4. Triángulo del Ángulo Doble:
Ejemplos:
Sen18° =
9Tg1
9Tg2
2
Cos8x = x4Tg1
x4Tg1
2
2
PROBLEMAS PARA LA ClASe
1) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: cot
= 4, calcular "sen2".
a) b) c)
d) e)
x2Sen1)CosxSenx(
x2Sen1)CosxSenx(
2
2
CosxSenxx2Sen1
CosxSenxx2Sen1
1x2SecTanx
x2Tan1x2SecxTanx2Tan
2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan22Sen
Tan22
Tan1
2
Tan1
2
15
4
17
4
15
8
17
8
17
15
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
68 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
2) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: tan
= 2/5, calcular "sen2".
a) b) c)
d) e)
3) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: sen
= , calcular "cos2".
a) b) c)
d) e)
4) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: tan
= , calcular "cos2".
a) b) c)
d) e)
5) Siendo: cos = ; IVC, calcular
"tan2".
a) b) c)
d) e)
6) Del gráfico, calcular "cos", si: CP = 3
y DQ = 5
a) b) c)
d) e)
7) Del gráfico, calcular "cos".
a) b) c)
d) e)
8) Siendo: sen = IIC; calcular
"tan2"
a) b) c)
d) e)
9) Demostrar que:
(sen2.sec)2 + (sen2.csc)2 = 4
Demostrar que: (sen2.sec + sen2.csc)cot = 3cos
Demostrar que: 1 + cos2 = 2cos2
12) Simplificar:
C = (sen2 + 2sen) (1 - cos)
a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3
d) cos3 e) 2sen2
13) Simplificar:
L = (2cos - sen2) (1 + sen)
a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3
d) cos3 e) cos2
Señale el equivalente de:
C = sen.cos.cos2.cos4
a) sen4 b) 4sen4 c) sen4
d) 8sen8 e) sen8
Señale el equivalente de:
L = sen.cos.cos2
a) sen4 b) 2sen4 c) sen
d) 4sen4 e) sen4
Reducir: C = cos4 - sen4
a) cos22 b) cos4 c) cos2
d) cos2 e) 2cos2
Reducir: L = sen.cos5 - sen5.cos
a) sen4 b) sen4 c) 2sen4
d) sen4 e) 4sen4
18) Siendo:
a) b) c)
d) 9 e)
29
21
29
20
29
10
29
17
29
19
61
3
2
3
1
6
5
3
2
6
3
61
3
2
6
5
7
5
4
3
3
1
3
1
2 22 2-
22- 24-
A
o BPQ
D
C
3
2
5
3
6
5
12
5
6
1
2 RP
Q
ba
b
a
a
b
b
a2
b2
a
a2
b
;6
5
52- 5- 5
2
5-
2
5
4
1
8
1
2
1
4
1
2
1
2
1
4
1
:calcular;3
xcos
2
senx
x2cos1
cos2x-1C
3
2
9
1
4
9
9
4
R.T. de Ángulo Doble Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 69
19) Siendo
a) 2 b) 4 c)
d) e) 16
20) Siendo: senx + cosx = calcular "sen2x".
a) b) c)
d) e)
21) Siendo: senx - cosx = calcular "sen2x".
a) b) c)
d) e)
Tarea domiciliaria
1) Reducir: L = 8cos4 - 8cos2 + 1
a) cos4 b) 4cos22 c) 2cos4
d) cos24 e) 2cos24
2) Siendo:
tanx.tan2x + tany.tan2y + tanz.tan2z = 6 Calcular:
C = cotx.tan2x + coty.tan2y + cotz.tan2z
a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
3) Siendo: cos2x + cos22x + cos32x = 1 Calcular:
L = tanx + tan2x + tan3x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Demostrar que: sen2 sec = 2sen
Demostrar que: sen2 csc = 2cos
6) Demostrar que: (sen40º + cos40º)2 = 1 + sen80º
Demostrar que:
(sen - cos)2= 1 - sen2
8) Demostrar que: tan + cot = 2csc2
Demostrar que: 1 - cos2 = 2sen2
10) Demostrar que:
cos410º - sen410º = cos20º
Demostrar que: (1 - tan2) tan2 = 2tan
12) Demostrar que:
(1 - tan2)(1 - tan22)(1 - tan24) tan8 = 8tan
13) Siendo "" un ángulo agudo tal que:
tan = 2/5; calcular: sen2
14) Siendo "" un ángulo agudo tal que:
sen = 1/3; calcular: sen2
15) Siendo "" un ángulo agudo tal que:
cot = ; calcular: cos2
18. Siendo "" un ángulo agudo, tal que:
tan = ; calcular: tan4
16) Simplificar:
A = (sen2 - 2sen) (1 + cos)
17) Simplificar:
B = (sen2 + 2cos) (1 - sen)
18) Simplificar:
19) Simplificar:
20) Simplificar:
E = [(sen + cos)2 - 1 + cos2]2 - 1
21) Simplificar: F = cos20º cos40º cos80º
Siendo: sen + cos = ; calcular:
sen2
Siendo: sen - cos = ; calcular: cos 4
24) Señale el valor máximo de:
C = sen cos5 - sen5 cos
25) Si: 2sen2x + 3senx cosx + 4cos2x = a +
bsen2x + c cos2x Señale el valor de: L = a + 4b - 2c
:calcular;xcos4
senx
x2senx2cos1
sen2xcos2x-1L
4
1
16
1
;2
3
2
1
4
1
3
2
4
3
3
1
;3
2
3
2
3
1
6
1
6
5
4
3
7
2
sen2cos21
sen2cos2-1C
2)cos(sen
sec)sen22cos4-1(D
5
6
2
1
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
70 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
26) Se puede verificar que el máximo valor de:
asenx + bcosx es según esto,
determine el valor máximo de:
J = 3sen2 + 4sen cos + 5 cos2
22 ba
Identidades Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 71
Tema 11: razones trigonométricas de ángulo mitad
Capacidades:
Reconocer las identidades del arco mitad.
Aplicar correctamente las identidades del arco mitad.
1. Fórmulas básicas
2
cos1
2
xxsen
2
cos1
2cos
xx
x
xxtg
cos1
cos1
2
x
xxctg
cos1
cos1
2
Nota: El signo + ó – dependerá del cuadrante a que pertenece .
2. Propiedades:
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Si: cosx = 3/8; x 1Q , Calcular sen x/2
2. Si: tgx = 3 7 ; x 1Q , Calcular cos x/2
3. Calcular tg22º30`
4. Calcular ctg18º30´
5. Si: secx = 6; x 4Q ; Calcular cos x/2
6. Reducir: R = senx
xcos1
7. Si: tg x = 2 ; x 3Q , calcular el valor de:
12
2 x
tgK
8. Si: cosA = 60/61; A 4Q , calcular ctg A/2
9. Calcular: sen 296º30`
10. Calcular el valor de: P = 88
tgctg
11. Calcular: 24
ctg
12. ¿A qué es igual: Ctg8º?
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
13. Reducir: E = Sec40º-Tg40º
a) Tg25º b) Ctg25º c) -Tg25º d) -Ctg25º e) 1
x
2
CotxCscx2
xCotCotxCscx
2
xTan
2
x de Cotangente
2
x de Tangente
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
72 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
2
x
2
x
14. Si:
Calcule:
a) 0 b) 1 c)
d) 2 e) 2
15. Indique la expresión simplificada de:
a) b)
c) d)
e)
16. Si : ;
Halle:
a) b) c)
d) e)
17. Señale el valor de
a) b)
c) d)
e)
18. Reducir:
a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3º
d) Cos3º e) Sen12º
19. Si : , hallar
:
a) 3 b) c) - 3
d) e) 1
20. Si : , donde ,entonces cuál
de las siguientes alternativas es la correcta.
a) b)
c) d)
e)
tarea domiciliaria
1. Si: Calcule el valor de: Sen
a) b) - c)
d) e)
2. Si:
Calcule el valor de:
a) b) c)
d) e)
3. Si:
Calcule el valor de:
a) b) c)
d) e)
4. Si: , calcule: a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4
d) -1/3 e) -2/3
5. Si: Calcular el valor de: Tg
a) 3 b) c) -3
d) - e) 5
4
3Cos
2
2Cos
2Sen.7E
ZK ; 2
K ;
4Cos1
2Cos1M
2Cos42Cos
2
1
2Sen2
12Csc
4
1
2Sen4
13
5Cos
2
3
2Cos
13
2
13
3
13
2
13
3
26
5
8Cos
2
22
2
22
2
12
2
12
2
24
2
2
º24Cos11
H
270º180º y5
4Cos
2Tan
5
4
4
5
n2
xTan
x
22
2
n1
2nCosx ;
n1
n1Senx
22
2
x1
2xCosx ;
x1
x1Senx
2
2
2 n1
n1Cosx ;
n1
n2Senx
2
2
2 x1
x1Cosx ;
x1
x2Senx
22
2
n1
n2Cosx ;
n1
n1Senx
º180xº903
2Cosx
6
6
6
6
12
6
12
6
3
62
º270º18025
7Sen
2Sen
10
2
10
23
10
25
10
27
10
25
º180º904
3Cos
2Cos
2
2
3
2
4
2
3
2
4
2
3
1
2Cos
Cos
º180xº903
1Cosx
2 2 2
2 2
Identidades Trigonométricas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 73
6. Si:
Calcule:
a) -5/4 b) -5/2 c) 3/4 d) -3/4 e) 1
7. Si: cosx= -5/13; x 3Q , Calcular sen x/2
8. Si:
Calcular:
9. Si:
Calcular:
10. Calcular el valor de:
a) sen 22º30'
b) cos 22º30'
11. Calcular el valor de:
P = sen18º30' cos26º30'
12. Simplificar:
13. Simplificar:
14. Reducir:
15. Simplificar:
16. Reducir:
17. Sabiendo que:
Calcular:
18. Reducir:
E = tg10º + ctg20º + tg70º
19. Si: cscx – ctgx = 2
Calcular:
20. Simplificar:
21. Calcular el valor de:
E = tg7º30' – ctg7º30'
22. Simplificar:
23. A qué es igual:
a) b) c)
d) e)
º270º18021
20Tg
2Tg
5sen ; ;
13 2
E 5 sen cos2 2
3cos ; 3 ;2
5 2
sec2
R tg 45º – – sec2
ctg 45º – – tg2
E
sec – tg 45º –2
xx
xx
M csc 20º csc40º csc80º tg10º
2K tg 2 sen ctg2 2
·
P sen tg ctg – 12
·
cos ; cos ; cos– – –
a b c
b c a c a b
2 2 2P tg tg tg2 2 2
P tg – ctg2 2
x x
ctg – csc2K
tg ctg2
xx
xx
2K ctg – 2 cos ctg2 2
·
4
xCtg
4
xCscE
2
xTg
2
xCtg
8
xTg
8
xCtg
8
xCtg
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
74 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Tema 12: razones trigonométricas de ángulo triple
Capacidades:
Reconocer las identidades de arco triple.
Aplicar correctamente las identidades del arco triple.
1. Formulas Básicas:
xTg31
xTgTgx3x3Tg
Cosx3xCos4x3Cos
Sen4Senx3x3Sen
2
3
3
3
2. Formulas Especiales:
1x2Cos2
1x2Cos2Tgxx3Tg
)1x2Cos2(Cosxx3Cos
)1x2Cos2(Senxx3Sen
3. Formulas de Degradación:
CosxCosx3xCos4
x3SenSenx3xSen43
3
4. Propiedades:
x3Tg)x60(Tg)x60(TgxTg
x3Cos)x60(Cos)x60(CosxCos4
x3Sen)x60(Sen)x60(SenxSen4
5. Observación:
4
1536Cos
4
1518Sen
Ejercicios para la clase
1. Calcule cos111º
2. Calcule:
3. Si:
Hallar: sen3x
4. Si:
4
72º
18º
5 – 1
10+ 2 5
4
36º
5 + 1
10 – 2 5
2
sen 3 senM
cos
x x
x
1sen
2x
1tg
2x
R.T. de Ángulo Triple Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 75
Hallar: tg3x
5. Del grafico, calcular la longitud de AB
6. Reducir:
7. Calcular:
8. Calcular:
9. Reducir:
10. Simplificar:
11. Simplifique la expresión:
12. De la expresión:
Calcule el valor de P.
13. Reduzca la expresión:
14. Si se cumple que:
Dar el valor de cos3q.
15. Calcular: tg3x
Si: 2tg3x = 3tg
2x + 6tgx – 1
16. Calcular:
H = 2 sen70º sen10º + sen10º
17. Si:
Calcule el valor de: sen6x
18. Si:
Calcule: cos2q
19. Calcular:
20. Si:
Calcule el valor de: tg3x
21. Reducir:
4
120Cos20Sen3K 33
22. Simplificar:
2
a3Cos
)1Cosa2(SenaM
23. Simplificar:
Sen
3SenSen
Cos
3CosCos 33
24. Si: Tg3 = x + 1; Tg = 2
Calcular: el valor de x.
2
B
A C
6
2
M
34sen sen3
Esen
x x
x
M 4sen10º sen50º sen70º · ·
M tg20º tg40º tg80º · ·
sen3 cos 3M –
sen cos
x x
x x
2
2
3 – tg tg3M –
tg1 – 3 tg
x x
xx
3
3
cos – cos 3K
sen sen3
3 P4 cos18º –
cos18º ctg18º
2M 4 cos 11º –1 sen11º
1
cos 60º4
2sen – cos
3x x
cos 3 2
cos 3
1
E ctg18º tg18º 1 ctg18º –12
1
tg 60º2
x
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
76 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
tarea domiciliaria
1. Si:
Calcule: cos2q
2. Simplificar:
3. Si:
Calcular: cos3x
A) B)
C) D)
E)
4. Si:
Calcular tg3q
A) B)
C) D)
E)
5. Simplifique:
A) senx B) cosx C) tgx
D) ctgx E) secx
6. Simplificando:
Se obtiene:
A) –3 B) 3 C) –1
D) –2 E) 1
7. Si: A = 3 – 4sen2q
B = 4 cos2q – 3
Calcular:
A) B)
C) D)
E)
8. Simplificar:
22 CosSen
3SenSen
9. Calcular el valor de:
10Tg
40Tg50TgK
10. Reducir:
P = (4Cos211° – 1)Sen11°Cos33°
11. Reducir:
xCosx2SenSenx
x2SenxSenx3SenK
2
12. Reducir:
M = Cos10° – 2Sen10°Cos70°
13. Siendo: 212
xTg
Calcular: Cot3x
14. Simplificar:
64Cos56Cos4Cos
66CosP
15. Simplificar:
20Sen
30Csc40Sen80SenM
2
16. Simplificar:
R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x
a) 27Senx b) 40Senx c) 30Senx d) 21Senx
e) N.A.
17. Calcular el valor de:
M = Cos5°Cos55°Sen25°
a) 4
6 b)
16
26
c) 4
2 d)
4
26
e) 4
26
sen3 4
sen 3
sen9K – 2cos3
tg3
xx
x
2cos
3x
2–13
27
2–5
9
2–21
27
2–19
27
2–4
9
1tg
3
13
4
10
3
11
4
11
9
13
9
3sen – sen3E
2sen sen2
x x
x x
·
2 cos 3E 4 cos –
cos
xx
x
A
B
ctg3 tg · tg3 ctg ·
ctg3 ctg3 tg2 ·
tg3 ctg2
R.T. de Ángulo Triple Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 77
18. Reducir: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1
a) 5 b) 2
c) 3 d) 7
e) 11
19. Si: 3
2Senx ,
Calcular: Sen3x
a) 3
22 b)
20
27
c) 27
22 d)
5
23
e) N.A.
20. Si: Cosx + Cosy + Cosz = 10° Calcular:
szCosxCosyCo
0Coszy3Cosx3CosP
a) 6 b) 12 c) -12 d) -6
e) 9
21. Si: Sen3x = nSenx
Hallar: Cos2x
a) n – 1 b) 3
1n
c) 2
1n d) )1n(
2
1
e) n + 1
22. Calcular:
B = Cos20° + Cos40°Cos80°
a) 2
1 b)
8
1
c) 7
1 d)
3
1
e) 4
1
23. Simplificar:
Y = Sen3Csc – Cos3Sec
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
78 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
Tema nº 13: ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
Capacidades:
Aplicar reglas prácticas en la solución de problemas.
ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión. (ver gráficos).
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. El Ángulo de elevación con el cual se
observa la parte superior de un edificio es
15º, acercándose 15 m. el nuevo ángulo de elevación es el doble del inicial. Calcular
la altura del edificio
2. A 9.6m. de un poste, una persona de 1.8m
de estatura divisa lo más alto del poste con un ángulo de elevación de 37º.
Calcular la altura del poste
3. Desde lo alto de un edificio de 60m. de
altura se observa una señal en el suelo con un ángulo de depresión de 53º. ¿a que
distancia del edificio se halla la señal observada?
4. Dos personas están colocadas en ambos
lados de un poste. Una de ellas observa la
parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 45º y la otra con un ángulo
de elevación de 37º. Si la distancia entre
ambas partes es 28m. ¿cual es la altura
del poste?
5. Un farolero situado a 12m. sobre el nivel del
mar observa un barco que se aleja con un ángulo de depresión “x”; 0.4s. más tarde se
observa al barco en la misma dirección,
ahora con un ángulo de depresión “y”. calcular la velocidad del braco en Km/h,
siendo: ctgx = 2 y ctgy = 3
6. Una persona observa la parte más alta de
un edificio con un ángulo de elevación de 45º, y el techo del sexto piso con un
ángulo de elevación de 37º. Calcular el número de pisos que tiene el edificio.
7. Desde un avión que esta por aterrizar se
observa en su misma trayectoria la pista
de aterrizaje, al extremo más cercano con un ángulo de depresión de 60º, al extremo
más alejado con un ángulo de depresión de 30º. calcular la longitud de la pista de
Línea Horizonta l
Línea Visu
a l
h
: Ángulo de Elevación
H
Línea Horizonta l
Línea Visual
: Ángulo de Depresión
Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visua les; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte ba ja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.
Ángulo de Elevación y Depresión Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 79
aterrizaje, si el avión se encuentra a 600
3 m. de altura.
8. Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de
45º, acercándose 48m. el nuevo ángulo de elevación es de 53º. Calcular la altura del
edificio.
9. Un niño de 1.3m. de estatura esta situado
a 5.4m. de la base de un poste y observa la parte más alta de un poste con un
ángulo de elevación de 53º. Calcular la altura del poste.
10. Una persona situada en la parte superior
de una torre de 15 3 m. de altura
observa 2 personas con ángulos de
depresión de 30º y 60º respectivamente. Calcular las distancias que separan a las
personas.
11. Dos personas están colocadas a ambos lados de un poste, de tal forma que una
de ellas observa la parte mas alta con un
ángulo de elevación de 45º y la otra observa el punto medio del poste con un
ángulo de elevación de 37º. Calcular la distancia del poste si las personas están
separadas una distancia de 25m.
12. Una persona observa la parte superior de
una torre con un ángulo de elevación de 50º, después de caminar 1km. En
dirección hacia la torre la elevación
angular es ahora de 70º ¿a que distancia en km. Se encuentra de la torre?
13. Desde la parte superior de un edifico se observa a una persona que se acerca hacia
ésta con un ángulo de depresión “x” y cuando la persona ha recorrido una
distancia igual a la altura del edificio es
observada con un ángulo de depresión que es el complemento de x. calcular la
tgx.
14. Una persona observa la parte superior de
un edificio con un ángulo de elevación de 37º. se dirige hacia el edificio y cuando ha
caminado 8m el nuevo ángulo de elevación es de 45º ¿Cuántos metros más debe
caminar para que el ángulo de elevación sea de 53º?
15. Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de
53º y el techo del noveno piso con un ángulo de elevación de 37º.- calcular el
número de pisos que tiene el edificio.
Tarea domiciliaria
01. Desde un punto de tierra se observa lo alto
de un edificio con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m, determinar la altura
de edificio. a) 3 m b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo
alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura del poste es de 20 m. ¿A
qué distancia de el se halla la persona?
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 32
03. Desde un punto ubicado a 24 m de una
torre, se divisa su parte más alta con un
ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre?
a) 24 b) 36 c) 32 d) 42 e) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de
37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A
qué distancia del poste se encuentra el punto de observación?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte alta de un farol que se
encuentra entre ellos con ángulos de
elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte alta y baja un poste con ángulos de
elevación y depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la altura del
poste.
a) 15 m b) 24 c) 30 d) 36 e) 48
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de
una torre con un ángulo de elevación " " (Tg =1/4). ¿A qué distancia de la torre se
halla el punto de observación, si la altura de
la torre es 7 m? a) 14 b) 28 c) 56
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
80 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
d) 21 e) N.A.
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de
un poste con un ángulo de elevación de
37º. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de elevación
es " ". Calcular: "Tg ". a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un
poste se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Caminamos 3 m en
dirección al poste y el ángulo de elevación para su parte más alta es " ". Calcular:
"Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
10. Una hormiga observa la copa de un árbol
con un ángulo de elevación de 37º, luego
se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Calcular
la altura del árbol. a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
11. Desde dos puntos separados 52 m se
observa lo alto de un poste con ángulos de
elevación 53º y . Si el poste se
encuentra entre los dos puntos. Determine su altura.
a) 12 m b) 16 c) 18 d) 9 e) 11
12. Se observa un poste con ángulo de
elevación " " nos acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la altura de
poste es "2 L". Determinar: Tg .
a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 1/2 e) 3/2
13. Desde un edificio de 12 m de altura se
observa un automóvil con ángulo con
ángulo de depresión " " . Luego se
observa una señal más cerca del edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la
distancia entre la señal y el automóvil.
a) 12 m b) 18 c) 24 d) 36 e) 10
14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de
un poste con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto ubicado en la mitad
de la distancia que hay entre el primer
punto y el poste, el ángulo de elevación es "
". Calcular: "Tg ". a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 16 15. Desde un punto ubicado a 30 m de una
torre se divisa su parte más alta con un
ángulo de elevación " " (Tg =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la altura
de la torre, el ángulo de elevación es " ".
Calcular: "Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
16. Desde las partes superiores del primero,
segundo y tercer piso de un edificio se
observa lo alto de otro edificio con ángulos
de elevación , , , respectiva-mente.
Si: Tg -Tg = 0,1 y Tg =2,7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?
a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40
17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se
ve un punto en tierra con un ángulo de
depresión de 45º. Cuánto mide cada piso del edificio, si el punto observado se halla a
24 m del mismo? a) 2 b) 2,5 c) 3
d) 3,5 e) 4
18. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de
un poste con un ángulo de elevación " "
; y si nos acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.
¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m
19. Desde el puesto del vigía de un barco que
tiene 48 m de altura se observa que el
ángulo de depresión de un bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el barco.
a) 48 b) 48 c) 12
d) 24 e) 6
20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un ángulo
de elevación de 45º, el mismo punto es
observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular
la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m.
a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40
5
2Tg
3
1Tg
)6
1Tan(
3
3
Ángulo de Elevación y Depresión Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 81
miscelánea
Capacidades:
Resolver problemas de trigonometría, aplicando sus propiedades.
01) La medida de un ángulo es el sistema sexagesimal es (20 + x)° y en el sistema centesimal es (20 – x)g. Calculare la medida de dicho ángulo en radianes.
02) Sabiendo que “S”, “C” y “R” son al medidas de los 3 sistemas para un
ángulo, se cumple: 5R2
SC
.
Calcular la medida del ángulo en radianes.
03) Dos ángulos y son coterminales y
además complementarios. Hallar la
medida del ángulo ,
Si: 200° < < 300°
04) El número de grados sexagesimales que
mide un ángulo más el número de grados centesimales que mide otro ángulo e 196. calcular la medida del menor ángulo en radianes, sabiendo que son complementarios.
05) El perímetro de un triangulo es 330m. Si
la tangente de uno de los ángulos agudos vale 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?
06) Si: Sec = Csc2.
Hallar: )63330(Sec2
TgR
07) De la figura, expresar h en términos de
, y x
08) El perímetro de un triangulo rectángulo
ABC (B = 90°) es 180. Calcular su área
si la secante de su mayor ángulo agudo es 2,6.
09) En la figura, MNPQ es cuadrado. B es punto medio y AB = MN. Calcular: Sen
10) Se tiene un triangulo ABC, tal que AB =
6,5 y AC = 12. Calcular el área de dicho
triangulo si 12
5TgA
11) ¿A qué cuadrante pertenece ?
2
3920
12) ¿A que cuadrante pertenece ?
2
403201
13) Si es un ángulo en posición normal, tal
que en un punto de su lado final es (-5 ; -12). Hallar la Csc
14) Si: 3
2Tg ; IVC.
Calcular: Sen – Cos
15) Si 13
12Cos
, además: IIIC.
Hallar: N = Csc + Cot
16) Sabiendo que: Secx4
x3Cot
2
xSenF )x(
Calcular: F() + F(2)
17) Si y son ángulo positivos menores
de una vuelta, tal que; IVC y IIC.
x
h
A
M
N
Q
B
P
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
82 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
¿A que cuadrante pertenece: 5
32 ?
18) Calcular el valor de “ + ”, sabiendo que se cumple:
Sen – Cos = 0 …….. (1)
SenCsc4 = 1 …….. (2)
Además, y son ángulos agudos.
19) Si 8CotxTgx .
Calcular: Tg2x + Cot2x 20) Si: Sen2
+ Sen = 1
Calcular: 24 CotSecM
21) Del grafico mostrado calcular: “aTg”
22) En un triangulo ABC, se cumple:
TgC = 2TgB = 3TgA Calcular: Cos2A
23) Calcular: Sen2, si: 3VersSen
24) Calcular el valor de:
M = Cos40°Cos20° + Cos120°.Sen70°
25) Hallar el valor de “k”, a partir de:
KSen40° = Sec40° + Sec100°
26) Reducir:
7
577Csc
14
897Q
27) Si: = 72° y = 63°. Calcular:
)317(Cos)75(Cos
)59(Sen)97(SenR
28) Sabiendo que se cumple la identidad:
nmCosSenxx2Sen
x3Sen
Indicar un valor de: m – n
29) Hallar el valor de: P = A + B, si además:
A = Sen210° + Sen250° + Sen280° B = Cos220° + Cos240° + Cos280°
30) Simplificar:
2CotSec
Tg2
Cos2Cos2
Cot
M
2
31) Hallar el mínimo valor de la expresión:
R = Sen2x + 9Cos2x + 6SenxCosx 32) Se tiene tres triángulos, tales que si los
sumamos de dos en dos, se obtiene
respectivamente: 50°, 80g y /6rad. Hallar el menor de los ángulos en grados sexagesimales.
33) Si X e Y son dos nuevos sistemas de
ángulos, tales que 120 grados X equivale a un ángulo llano y 50 grados Y equivale a un ángulo recto. ¿Cuántos graos x equivalen 80 grados Y?
34) Los números S y C que expresan las
medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal están expresados como sigue:
S = n2 + 7 C = 3n2 + 2
Donde “n” es un número cualquiera. Luego el ángulo en radianes mide:
35) Dado el sistema de ecuaciones:
Sen(x – 18°)Sec(y + 18°) = 1 Cos(x – 18°)Sec(y + 18°) = 1 Hallar x/y
36) El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es: 2,4; ¿Cuánto mide el cateto menor?
37) Una semicircunferencia de radio )13(
cm. Se divide en 30 arcos iguales. Hallar la medida de la proyección sobre el diámetro del arco comprendido entre la quinta y la décima división.
38) En la figura adjunta, hallar (x + y),
si:
y
x
3;
2
a
(-2 ; -a)
Misceláneas Cuarto Año
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 83
3AB y 16
27AC
39) Si (-3 ; -4) es un punto del lado terminal de “” y (5 ; 12) es un punto del lado
terminal de , Calcular:
CscCsc
SecSecK
40) En un circunferencia trigonométrica se
tiene que:
21 xx2
Luego, señale las proposiciones verdaderas: I) Senx1 > Senx2 II) |Cosx2| > |Cosx1| III) Cosx2 < Cosx1
41) Si “” es un arco del IIC, positivo y
menor que una vuelta. Hallar la extensión de Cos( + ), si:
46
42) Si: 7
7CosSen , calcular el valor de
la expresión:
22 CscSec
CotTgK
43) La expresión:
CosSen
CosSen
CotTg
CotTgE
En términos de “Tg” es:
44) Si: mCosSen
CosSen
66
44
, hallar K en
termino de “m”: K = Sec2 + Csc2
45) Sabiendo que: ,62CscxSecx
calcular (Tgx + Cotx); 2
x0
46) Calcular el valor de la expresión: K = Sen16° + Cos16°
47) Calcular el valor de la expresión:
K = Sen75° + Cos75°
48) Si: 2
1)yx(Tg y
3
1)yx(Tg
Hallar el valor de “x”: 49) Calcular:
K = (1 + Tgx)(1 + Tgy), Si: x + y = 15°
50) Simplificar:
)(Cov)(Cov
)(Vers)(VesK
51) Simplificar:
)()(2 22
2
yxCosCosxCosyyxCosyCos
xSenE
52) Si:
2
yxCot)ba(bCotyaCotx
Entonces la expresión equivalente a: K = aSeny – bSenx es:
53) Calcular el valor de la expresión:
2
3Sec)(Cot
2
3Cos
2Csc)(Tg
2Sen
M
54) Hallar el valor de “x” en la figura
adjunta:
55) Calcular el valor de la expresión:
E = 5Sen2x + 7Cos2x
Si 7
5Tgx
56) Simplificar la expresión:
CosxSenx1
CosxSenx1K
A
C
B x
y
2
6
4
x
Trigonometría I.E.P. Corpus Christi
84 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
57) Simplificar:
Cosx1
Cosx
x2Cos1
x2SenK
58) Si sen2x = 4/5, calcular el valor de la expresión:
844
633
)CosxSenx(xCosSen
)CosxSenx(xCosSenP
59) Simplificar: Cosx
x3Cos
Senx
x3SenK
60) Calcular:
40Cos20Cos
40Cos20CosM
33
61) Simplificar:
221
221
2
21
CosSen
CosSen
SenSen
CosCosQ
62) Si: Tgx = 1/3, el valor de la expresión:
x2Covx4Ver
x4Covx2VersK
63) Si la expresión: 0c2
xbTg
2
xaTg2
Es idéntica a: mCosx + Senx + p = 0, Hallar (m + n + p)
64) Si: a
1aCos2 , entonces “2Cos3x” es
igual a: 65) Simplificar:
xSenxSen
xCosxCos
xSenSenx
CosxxCosK
3
3
33
333
3
66) De la figura adjunta, calcular Tgx.
Si 6AB ; 2CD
67) Reducir: A = Csc40° + Csc80° + Tg10°
68) Si: 12
5Tgx ; x IIIC
Calcular:
2
xCos
2
xSen
69) Si se cumple: 3
1)x60(Sen
Calcular el valor de Sen3x 70) Si: Tg3 = x + 1 ; Tg = 2
Calcular el valor de x 71) Calcular: 8Cos340° – 6Cos40° + 1 72) Hallar el rango de la siguiente función:
f(x) = Cos2x – 2Cosx 73) Hallar el máximo valor de:
f(x) = Senx(Senx – 6) + 4 74) De la figura adjunta, calcular la longitud
de AB , si: 2BM,6CM
75) Hallar el rango de f: Cosx2
3f )x(
76) Hallar el dominio de la función f:
Senx
CosxTgxf )x(
77) Del problema anterior, hallar su rango. 78) Hallar el periodo de la siguiente función:
f(x) = 2Sen3x + 1 79) Hallar el periodo de la siguiente función:
3
xTg1g )x(
80) Hallar el periodo de la siguiente función:
h(x) = 2Cos4x – 3
81) Hallar P: y2Senx2Sen
)xy3(Cos)yx3(CosP
Para: 6
yx
B
A
D
C
3x
x
A B
C
2
M
Índice
TRIGONOMETRÍA - 4TO
AÑO DE SECUNDARIA Pág. Índice ......................................................................................................................................
Historia del Álgebra ...................................................................................................................... 2
T e m a 1 Ángulo Trigonométrico ................................................................................... 4
T e m a 2 Sistema de medidas angulares ....................................................................... 11
T e m a 3 Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos ................................................ 18
T e m a 4 Razones Trigonométricas de Ángulos Notables ............................................... 26
T e m a 5 Razones Trigonométricas de Ángulos en Cualquier Magnitud............................ 31
T e m a 6 Circunferencia Trigonométrica ........................................................................ 43
T e m a 7 Identidades Trigonométricas .......................................................................... 51
T e m a 8 Reducción al Primer Cuadrante ...................................................................... 45
T e m a 9 Razones Trigonométricas de ángulos Compuestos ........................................... 60
T e m a 1 0 Razones Trigonométricas de Ángulo Doble ..................................................... 64
T e m a 1 1 Razones Trigonométricas de Ángulo Mitad .................................................... 68
T e m a 1 2 Razones Trigonométricas de Ángulo Triple .................................................... 71
T e m a 1 3 Ángulos Verticales ........................................................................................ 75
Misceláneas ................................................................................................................................. 78