Trifasica

Sistemas polifsicos 1 de 38

SISTEMAS POLIFSICOS

1. INTRODUCCIN .............................................................................................................................................. 3

2. GENERACIN DE UN SISTEMA ENEFSICO DE TENSIONES EQUILIBRADAS ................................................. 3

3. NOCIN DE FASE Y SECUENCIA DE FASES ................................................................................................... 7

4. CONEXIN DE FUENTES EN ESTRELLA Y EN POLGONO .............................................................................. 9

5. TENSIN SIMPLE, DE FASE Y TENSIN DE LNEA. INTENSIDADES DE FASE Y DE LNEA. RELACIONES ENTRE LAS MISMAS EN LOS SISTEMAS EQUILIBRADOS .................................................................................... 10

Ejemplo 1. .......................................................................................................................................................... 14

6. ANLISIS DE SISTEMAS TRIFSICOS EQUILIBRADOS. CLCULO DE LOS MISMOS POR REDUCCIN A UN PROBLEMA MONOFSICO ................................................................................................................................... 16

Conexin estrella-estrella ................................................................................................................................... 16 Conexin tringulo-tringulo ............................................................................................................................. 19 Conexiones estrella-tringulo y tringulo-estrella .............................................................................................. 21

7. ANLISIS DE SISTEMAS DESEQUILIBRADOS ................................................................................................. 22

Teorema de Millman .......................................................................................................................................... 22 CONEXIN Y-Y ................................................................................................................................................... 23 VARIAS CARGAS CONECTADAS EN PARALELO.................................................................................................... 24

CONOCIDAS LAS TENSIONES EN LOS BORNES ..................................................................................................... 24

8. POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFSICOS EQUILIBRADOS ......................................................................... 25

Comparacin de los sistemas trifsicos equilibrados con los monofsicos ........................................................ 26 Ejemplo 2 ........................................................................................................................................................... 29

9. MEDIDA DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFSICOS ........................................................................................ 34


Sistemas con hilo neutro ..................................................................................................................................... 34 Sistemas sin hilo neutro ...................................................................................................................................... 34

10. EJERCICIOS .................................................................................................................................................. 37


1. INTRODUCCIN Hoy en da se utilizan, de forma casi generalizada, consumos en energa elctrica en forma de

corriente alterna C.A., en los sistemas de potencia.

Esto ha obligado a desarrollar tcnicas de generacin, transporte y consumo mucho ms eficaces y rentables. El transporte y la generacin se puede realizar en C.A. monofsica, trifsica o polifsica, el consumo exactamente igual.

El que se realice tanto el transporte como la generacin en C.A. trifsica se debe a que presenta una serie de ventajas respecto al monofsico, como veremos en el captulo.

Los sistemas polifsicos, en general, quedan determinados por:

-Tensin.

-Nmero de fases o circuitos monofsicos que lo constituyen,

-ngulo de desfase que lo caracteriza, siendo:

2 360;

m m

pi = =

donde m es el nmero de fases.

Si las tensiones y corrientes son iguales as como el ngulo entre fases, el sistema es equilibrado, en caso contrario el sistema es desequilibrado.

En 1888 Ferraris descubri que se poda generar un campo magntico giratorio con dos a ms corrientes alternas fuera de fase, y esta es otra de las grandes ventajas de los sistemas polifsicos frente a los monofsicos.

De los sistemas polifsicos el ms utilizado es el trifsico.

2. GENERACIN DE UN SISTEMA ENEFSICO DE TENSIONES EQUILIBRADAS

Si una espira rgida gira con una velocidad constante en el seno de un campo magntico uniforme,

se genera en la misma una tensin senoidal debido a que el flujo que la atraviesa tiene una variacin senoidal en el tiempo. Igualmente se logra esa tensin permaneciendo fija la espira y girando los polos con velocidad angular constante . Por diversas razones, en cuyo estudio no nos detenemos ahora, este ltimo procedimiento

es el que se utiliza en la prctica.


figura 1

En la figura 1 se representa un generador de tensin alterna, que consta de un rotor, formado por un electroimn de cuatro polos salientes, dos norte y dos sur, dispuestos alternativamente de forma tal que producen una distribucin senoidal del flujo magntico a lo largo del entrehierro, y de un estator, donde se alojan los lados activos de unas bobinas cuyas secciones transversales se representan convencionalmente por un solo conductor. Una bobina abarca el arco entre dos polos consecutivos. El lado conectado al terminal de entrada, esto es, al extremo de polaridad de referencia positiva, le designamos con la letra A y el conectado al terminal de salida le designamos con la letra X. Suponemos que los lados de las bobinas se cierran por la parte posterior del plano, conexin que al solo efecto de que quede representada dibujamos fuera del estator, y que en la parte anterior estn los terminales extremos. En esta figura se representan, pues, dos bobinas, una la Al -

X1 y otra la A2 - X2. Al girar el rotor con velocidad angular g, se induce en cada bobina una tensin alterna

senoidal de pulsacin . Si la rueda polar o rotor tuviera slo un polo norte y un polo sur, esto es, un solo par

de polos, la pulsacin de la tensin inducida en cada bobina sera:

g =

pues en una vuelta se completara un perodo.

En la mquina tetrapolar de la figura, nmero de pares de polos p = 2, se completa en media vuelta un perodo del flujo senoidal y de la tensin inducida en cada bobina; luego:

gg g

T 2 T2

= pi =

en donde Tg es el tiempo empleado por el rotor en una revolucin. Esto significa que el perodo T de la tensin inducida es la mitad de Tg o que, segn la expresin anterior,

En general ser:

gp =

lo que quiere decir que en una mquina de p pares de polos basta una rotacin igual a l/p de vuelta, que. equivale a 360/p grados geomtricos, para obtener un perodo de la tensin inducida, esto es, 360 elctricos.


Las tensiones inducidas en las bobinas Al X1 y A2 -X2 estn en fase, como se ve fcilmente por su idntica disposicin respecto de dos polos consecutivos. Las podemos conectar, pues, en serie, terminal de salida de una con el de entrada de la otra, con lo que se duplica la tensin en los terminales libres. Este alternador, en que slo se obtiene una tensin senoidal o tensiones en fase, se denomina monofsico. Obsrvese que la separacin entre las entradas Al y A2 de las bobinas es 360/p y que estarn en fase las tensiones inducidas en dos bobinas cuya separacin geomtrica tenga este valor o un mltiplo del

mismo.

figura 2

En cambio, en bobinas como las representadas en la figura 2, cuyas entradas son Al, B1 Y C1, se inducen tensiones no en fase y que, si se toma como referencia la inducida en la bobina A1 pueden expresarse por

A A

B B B

C C C

E 0E

E

=

= =

EEEE

EEEE

EEEE

pues, segn el sentido de rotacin indicado en la figura, estas tensiones van retrasadas en tiempo


g g

g g

B B B

g

C C C

g

p

p

= =

= =

Por consiguiente, llamando a la diferencia de fase o ngulo elctrico, entre las tensiones inducidas en dos bobinas y designando por g su separacin o ngulo geomtrico, puede escribirse en general

gp =

Si a lo largo del dimetro interior del estator hay distribuidas uniformemente pn bobinas iguales, esto es, p grupos de n bobinas (un grupo por cada 360/p grados geomtricos) y si la rueda polar es simtrica, las tensiones de las bobinas de cada grupo forman un sistema n-fsico de tensiones equilibradas, denominacin debida a que las amplitudes son iguales y a que entre cada dos sucesivas hay una diferencia de fase igual a l/n

de perodo. (Para la figura 2 se ha tomado n = 3.) Haciendo g 2n

pi = diferencia de fase del sistema n-fsico,

podemos escribir:

( )

1

2 s

3 s

n s

E 0E

E 2........................

E n 1

=

= =

=

EEEE

EEEE

EEEE

EEEE

Conectando en serie las bobinas de los distintos grupos cuyas tensiones estn en fase, por ejemplo, conectando el terminal X1 con A2, X2 con A3 y as sucesivamente, obtendremos entre Al y el X de la ltima bobina una tensin

U pE=

Se obtiene, en definitiva, el sistema

( )

1

2

3

n

U 02Un

2U 2n

........................

2U n 1n

=

pi=

pi=

pi=

UUUU

UUUU

UUUU

UUUU

cuya representacin vectorial se muestra en la figura 3


figura 3

En la prctica no se encuentran nada ms que los sistemas

bifsico

trifsico

tetrafsico y

hexafsico

En la figura 4 se muestran sus respectivas representaciones vectoriales. Por excepcin, la diferencia de fase entre las tensiones del sistema bifsico es

s

2pi =

y no igual a pi, como resultara de seguir la ley general. El ms utilizado en la distribucin de energa

elctrica es, sin duda alguna, el sistema trifsico.

figura 4

3. NOCIN DE FASE Y SECUENCIA DE FASES Cada uno de los sistemas monofsicos que componen el sistema trifsico.


Por extensin, se da el nombre de fase a cada una de las partes de un circuito en que se genera, se transmite o se utiliza una de las tensiones del sistema.

Secuencia de fases es el orden en que se suceden las correspondientes tensiones. Recurdese que los vectores asociados a las funciones senoidales se representan en la posicin correspondiente a un instante determinado, por ejemplo, t = 0, pero son unos vectores rotatorios que giran con velocidad angular constante en sentido contrario al de las agujas de un reloj. (Sentido sinistrrsum o sentido directo de rotacin en el plano.)

El orden en que los vectores representados en la figura 3 y figura 4 van coincidiendo con un eje que pase por el origen, por ejemplo, el eje real, es 1, 2, 3, ... En este caso se dice que el sistema polifsico, tal como le hemos numerado, es de secuencia positiva o directa.

En la figura 5 se representa un sistema trifsico equilibrado de secuencia negativa. Ntese que la secuencia de fases expresa el orden en que se suceden los mximos de los valores instantneos de las tensiones.

figura 5

Segn el sentido de rotacin representado en la figura 2, las fases se suceden en el orden A-B-C, esto es, en secuencia directa, y si cambia el sentido de rotacin, las fases se suceden en el orden C-B-A, esto es, en secuencia inversa. Pero imaginemos que disponemos de las tensiones en un punto alejado del generador y que los conductores que all poseemos no estn marcados por nmero o letra alguno. En este caso, lo primero que tenemos que hacer para entendemos es marcar los conductores y luego determinar experimentalmente en el orden en que se suceden las tensiones. Si ocurre que stas se suceden en el orden convencional de las marcas, el sistema de tensiones es de secuencia directa, y si no ocurre as, es de secuencia inversa. Pero se ve lo relativo de este concepto, pues basta cambiar dos marcas cualesquiera, en este caso de sistema trifsico, para tener la secuencia Inversa.

No se crea que, a pesar de su relatividad, carece de utilidad el concepto de secuencia. El orden de sucesin de fases de un sistema polifsico es causa de que ste produzca, por ejemplo, un campo rotativo de un sentido u otro. Tambin se producen resultados distintos en los sistemas desequilibrados al aplicarse en ellos fuentes de secuencias contrarias, y es por ello que hemos de considerar el orden de sucesin de las fases.


El concepto de secuencia de fases, a veces denominado rotacin de fases, se aplica tambin, aunque el sistema sea desequilibrado. En este caso, los vectores del correspondiente diagrama no son de igual mdulo, no estn separados por igual ngulo o se dan las dos circunstancias simultneamente.

4. CONEXIN DE FUENTES EN ESTRELLA Y EN POLGONO En la figura 6 se representa un sistema trifsico equilibrado de fuentes de tensin.

figura 6

En la figura 7(a) se representa su conexin en estrella, la que se obtiene uniendo en un punto comn N, llamado punto neutro, los terminales a, b' y c' de polaridad de referencia negativa. Suele ser costumbre representar las fuentes en estrella, como se hace en la figura 7(c), esto es, en la forma de estrella de que recibe el nombre.

figura 7

En la figura 8(a) se representa la conexin en tringulo. Se obtiene conectando sucesivamente los terminales de distinta polaridad. La figura 8(c) es la representacin usual de la conexin en tringulo.

Creemos conveniente advertir aqu, aunque a muchos lectores les parecer innecesario, que, aun en el caso de representar las fuentes en la disposicin geomtrica de Y o , los vectores asociados o representativos de las tensiones complejas no coincidirn en orientacin, en general, con las flechas


correspondientes de referencia de polaridad. Esto es lo que ocurre en las figura 7 y figura 8. Para evitar confusiones, aparte de tener en cuenta esta advertencia, se aconseja que, como referencia de polaridad, se utilice aqu doble subndice en lugar de flechas.

figura 8

Los sistemas tetrafsicos y hexafsicos se pueden conectar tambin en estrella y en polgono. No ofrecen dificultad alguna los correspondientes esquemas y diagramas vectoriales. El sistema bifsico no permite la conexin en polgono.

5. TENSIN SIMPLE, DE FASE Y TENSIN DE LNEA. INTENSIDADES DE FASE Y DE LNEA. RELACIONES ENTRE LAS MISMAS EN LOS SISTEMAS EQUILIBRADOS

Un sistema n-fsico de fuentes de tensin puede utilizarse para suministrar corriente a n cargas. No es usual la conexin independiente que, por ejemplo, se muestra en la figura 9 para un sistema trifsico.

figura 9

Esta disposicin requiere seis conductores para distribuir la energa a las cargas. La conexin de stas en estrella o en tringulo permite una reduccin de ese nmero de conductores, lo que, como analizaremos ms adelante, supone una economa en los gastos de la instalacin. A ello es debido el que uno u otro de estos tipos de conexin, que se representan en la figura 10 para un generador trifsico en estrella, sea la norma


prctica de utilizar los sistemas polifsicos. En el esquema de los generadores de esta figura se ha incluido la

impedancia interna Zg de cada uno de ellos. Estas impedancias son las de los devanados donde se inducen las

tensiones de cada fase.

Para la conexin en estrella se utiliza el smbolo Y y para la conexin en tringulo el .

En la figura 10(a) se representa la conexin Y-Y con hilo neutro. En la figura 10(b), la distribucin se realiza a tres hilos, o sea, sin conductor de conexin entre los puntos neutros N' y N del generador y de la carga. Por ltimo, en la figura 10(c) se representa la conexin Y-. Cabe tambin considerar las conexiones -Y y -.

Se denomina tensin simple a la diferencia de potencial que existe entre cada uno de los conductores de lnea y el hilo neutro.

Se denomina tensin de fase a la diferencia de potencial que existe en cada una de las ramas monofsicas de un sistema trifsico. Para las cargas en estrella, la tensin de fase es la que aparece en la

correspondiente impedancia, y coincide con la tensin simple, por ejemplo, UaN para, Z1 en los dos casos representados en la figura 10.

figura 10


Tensin compuesta o de lnea (caracterstica del sistema trifsico) es la diferencia de potencial que existe entre dos conductores de lnea. Si se considera que es nula la impedancia ofrecida por esos conductores, las tensiones de lnea en la carga son idnticas a las que se tienen en la salida del generador.

Intensidad de lnea es una de las intensidades Ia, Ib o Ic que circulan por los conductores de la lnea

de conexin entre el generador y la carga. Se llama intensidad de fase a la que circula por cada una de las ramas monofsicas de un sistema trifsico.

En los sistemas en estrella, ya sean cargas o generadores, la intensidad de lnea IL coincide con la intensidad de fase IF, esto es,

L F=I II II II I

como se deduce de la simple inspeccin de la figura 10.

Para la conexin tringulo, por el contrario, es la tensin de lnea la que coincide con la tensin de fase, es decir,

F L=U UU UU UU U

lo que puede apreciarse en la figura 10(c) y en la figura 8.

Un sistema trifsico se dice equilibrado cuando lo es la carga y el generador, esto es, cuando las impedancias que presentan estos elementos en sus distintas fases son iguales entre s y las fuentes de tensin

del sistema estn equilibradas. La lnea de distribucin ha de presentar tambin una misma impedancia ZL por fase.

En los sistemas equilibrados, tanto las tensiones como las intensidades, ya sean las de fase o las de lnea, forman un conjunto de magnitudes equilibradas. Los vectores a ellas asociados son de igual mdulo y entre cada dos sucesivos hay una diferencia de fase constante.

Veamos las relaciones que existen entre las magnitudes denominadas de lnea y las de fase en los sistemas equilibrados.

Sean, figura 11, tres impedancias de carga iguales ZY conectadas en estrella. Supongamos que las

tensiones a ellas aplicadas formen un sistema trifsico equilibrado de secuencia positiva.

figura 11


El diagrama vectorial que se representa en la misma figura muestra que las intensidades de fase forman tambin un sistema equilibrado, puesto que

a b c = =

e

a b cI I I= =

ya que las impedancias en estrella son iguales entre s.

Veamos las tensiones de lnea,

( )ab aN Nb aN bN aN aNU 1 0 1 120 U 3 30 = =U =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U U Por tanto, podemos escribir,

( )( )( )

ab aN

bc bN

ca cN

1 301301 30

=

=

=

U UU UU UU U

U UU UU UU U

U UU UU UU U

esto es,

L FU 3U=

con un adelanto de 30 de la tensin de lnea respecto de la tensin de fase del mismo origen. Obsrvese que esta conclusin referente a la diferencia de fase es vlida slo para las tensiones de lnea tomadas en sucesin directa, esto es, a-b, b-c, e-a, como hemos hecho en el referido diagrama.

Las mismas conclusiones obtenidas para las cargas se deducen para los generadores en Y, lo que puede comprobarse comparando la figura 7(b) y la figura 11.

figura 12


Consideremos ahora el caso, figura 12, en que las tres impedancias Z

estn conectadas en tringulo y

sea tambin positiva la secuencia de las tensiones de lnea. Las intensidades de fase

IIIIab, IIIIbc, IIIIca

que representamos en el diagrama vectorial, forman un mismo ngulo , igual al argumento de Z

;

con las respectivas tensiones.

Las intensidades de lnea vienen dadas por

a ab ca

b bc ab

c ca bc

=

=

=

I I II I II I II I I



o bien por

( )( )( )

a ab

b bc

c ca

3 30

3 30

3 30

=

=

=

I II II II I

I II II II I

I II II II I

esto es,

L FI 3I=

con un retraso de 30 de la intensidad de lnea respecto de la intensidad de fase del mismo origen de referencia y de sucesin directa, esto es, a-b, b-c, c-a.

Del diagrama vectorial y esquema de la figura 12 se deducen de forma inmediata las ecuaciones anteriores.

Ha de observarse que si los generadores estn conectados tambin en tringulo, las intensidades de fase suministradas por ellos se han de designar por:

IIIIba, IIIIcb, IIIIac

Y se verificar

ab b a

bc c b

ca a c

=

=

=

I II II II I

I II II II I

I II II II I

Ejemplo 1. A un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa se conecta una carga pasiva y equilibrada,

como se muestra en la figura 13.


Sabiendo que la carga est conectada en estrella, que su impedancia por fase es 25 6= piZZZZ y que

la tensin de lnea es de 150 V, construir un diagrama vectorial donde aparezcan todas las magnitudes de lnea y de fase (escalas: 3 V ~ 1 mm; 1 A ~ 1 cm). Tomar como origen de fases a Uan.

figura 13

Por ser el sistema de tensiones de secuencia inversa, se cumplir:

an F

bn F

cn F

U 0U 120U 120

=

=

=

UUUU

UUUU

UUUU

Veamos las tensiones de lnea:

( )ab an nb an bn F FU 1 0 1120 U 3 30 = = U =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U UU =U +U =U U Por tanto, podemos escribir,

( )( )( )

ab an

bc bn

ca cn

1 301 301 30

=

=

=

U UU UU UU U

U UU UU UU U

U UU UU UU U

osea;

L FU 3U=

con un retraso de 30 de la tensin de lnea respecto de la tensin de fase del mismo origen.

Para nuestro caso tendremos:

LF

U 150U 86,6v3 3

= = =

Las intensidades de fase, que coinciden con las de lnea, forman tambin un sistema equilibrado de secuencia inversa, ya que lo es el de tensiones de fase. Como la carga es capacitiva, dichas intensidades de

fase irn adelantas pi/6 respecto a su correspondiente tensin de fase. Su valor eficaz ser:


FF

U 86,6I 3, 46AZ 25

= = =

Por consiguiente, el diagrama vectorial pedido es el construido en la figura 14.

figura 14

6. ANLISIS DE SISTEMAS TRIFSICOS EQUILIBRADOS. CLCULO DE LOS MISMOS POR REDUCCIN A UN PROBLEMA MONOFSICO

Conexin estrella-estrella

Estudiaremos en primer lugar el sistema trifsico equilibrado Y-Y que se representa en la figura 15(a). Para realizar el estudio con mayor generalidad se han considerado las impedancias Zg, o interna del

generador, ZL, o de los conductores de lnea y ZN, o del hilo neutro, aparte, claro est, de las impedancias Z de carga.

Escribamos las ecuaciones circulares correspondientes a los lazos bsicos definidos por cada fase y el hilo neutro. Con las referencias tomadas figura indicada se obtiene:

g1 L a N a b c

g2 L b N a b c

g3 L c N a b c

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

E Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I IE Z Z Z I Z I I I



y siendo:

1 2 3 0+ + =E E EE E EE E EE E E


figura 15

puesto que se trata de un generador equilibrado, se verifica que:

g L N a b c0 ( 3 )( )= + + + + +Z Z Z Z I I IZ Z Z Z I I IZ Z Z Z I I IZ Z Z Z I I I

luego:

a b c 0+ + =I I II I II I II I I


por lo que

' N a b cNN ( )= + +U Z I I IU Z I I IU Z I I IU Z I I I

cualquiera que sea el valor de la impedancia ZN, Si no hay hilo neutro, N = ZZZZ es obvio que se

verifica que la suma de intensidades es cero, pero entonces las ecuaciones de las tensiones E1, E2, E3 pueden

escribirse en la forma:

'

'

'

g1 L a NN

g2 L b NN

g3 L c NN

( )( )( )

= + + +

= + + +

= + + +

E Z Z Z I UE Z Z Z I UE Z Z Z I UE Z Z Z I U



y teniendo en cuenta que la suma tensiones es cero resulta que

'g L a b c NN0 ( )( ) 3= + + + + +Z Z Z I I I UZ Z Z I I I UZ Z Z I I I UZ Z Z I I I U

Por lo que verificndose que la suma de intensidades es cero, se concluye tambin

'NN0=UUUU

Los puntos neutros de la carga y del generador en los sistemas trifsicos equilibrados estn, pues, al mismo potencial, ya exista o no hilo neutro. Esto nos permite poner en corto circuito los referidos puntos N y N sin que se altere en nada el rgimen de intensidades en las distintas partes del sistema. Esta situacin se

representa en la figura 15(b), donde tambin se han sustituido las impedancias en serie Zg, ZL y Z, y por una impedancia ZY equivalente.

Teniendo en cuenta que la tensin de neutro es cero, las ecuaciones para el clculo de las intensidades quedan:

1a

Y

2b

Y

3c

Y

=

=

=

EEEEIIII

ZZZZ

EEEEIIII

ZZZZ

EEEEIIII

ZZZZ

esto es, el mismo resultado que considerando aisladamente los tres circuitos monofsicos que se representan en la figura 15(c), donde cada uno de ellos est formado con los elementos de una sola fase y con los puntos N y N en cortocircuito.

Obsrvese que, por ejemplo, una vez calculada Ia y dado que el sistema es equilibrado, puede escribirse inmediatamente:


b a

c a

(1 120 )(1 120 )

=

= +

I II II II I

I II II II I

Conexin tringulo-tringulo

Consideremos ahora el sistema equilibrado - que se representa en la figura 16(a).

Cabe reducirlo a un sistema equivalente Y-Y transformando, de la forma que ya hemos estudiado, las fuertes y

las impedancias de carga. As se calculan las intensidades y las tensiones de lnea. Estas tensiones de lnea entre

terminales de la carga, o sea,

ab bc ca, ,U U UU U UU U UU U U

permiten calcular inmediatamente las intensidades de fases de la conexin original, pues no hay ms

que dividir una de ellas por Z, ya que las otras son de igual mdulo y estn separadas entre s 120.

Tambin pueden calcularse las intensidades de fase a partir de las intensidades de lnea. Para ello

basta utilizar las relaciones que existen entre estas cantidades en la conexin equilibrada, cuestin que

hemos estudiado anteriormente.

Sin embargo, vamos a analizar directamente el sistema equilibrado -, que representamos en su

forma ms general en la referida figura 16(a). Si no existieran las impedancias de 1nea ZL sera:

' '

' '

' '

ab a b

bc b c

ca c a

=

=

=

U UU UU UU U

U UU UU UU U

U UU UU UU U

Por ser equilibrado el sistema se verifica, exista o no ZL, que

' '

' '

' '

ab a b

bc b c

ca c a

=

=

=

I II II II I

I II II II I

I II II II I

lo que puede comprobarse inmediatamente examinando los diagramas vectoriales de intensidades en las cargas y en los generadores.

Para ZL = 0, las intensidades de fase son las que circulan por los circuitos monofsicos que se representan en la figura 16(b) y que se calculan inmediatamente. En efecto,


figura 16

abg

bc ab

ca ab

E 0

(1 120 )(1 120 )

=

+

=

= +

IIIIZ ZZ ZZ ZZ Z

I II II II I

I II II II I


Veamos ahora el efecto de la impedancia ZL. Para la malla correspondiente a la fase a-b, esto es, la

formada por la rama a-b de la carga, la rama a-b del generador y los conductores de lnea que unen sus extremos homlogos, podemos escribir:

' 'g L a ab L bb aE 0 = + + Z I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z IZ I Z I ZI Z I

de donde, teniendo en cuenta la igualdad entre las intensidades de fase en el generador y la carga y teniendo en cuenta las relaciones entre intensidades de lnea y fase en sistemas equilibrados, se verifica para la

carga equilibrada en y sistema de secuencia directa que:

a ab

b bc ab

( 3 30 )( 3 30 ) ( 3 150 )

=

= =

I II II II I


reulta

( ) ( )g ab L ab g L abE 0 ( ) 3 30 3 150= + + = + +Z Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z IZ Z I Z I Z Z Z I luego

abg L

E 03

=

+ +IIII

Z Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

y anlogamente

bcg L

ca

g L

E 1203

E 1203

=

+ +

+=

+ +

IIIIZ Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

IIIIZ Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

Estas intensidades son las que se obtienen en los circuitos monofsicos de la figura 16(c). Cada uno de stos comprende los elementos de la correspondiente fase ms una impedancia igual a 3 ZL, la que representa

el efecto producido por la impedancia de lnea. Vemos, pues, que no hay que tomar el doble de ZL, como

pudiera creerse a primera vista. Ello se debe a que las intensidades de lnea son 3 veces las intensidades de fase.

Conexiones estrella-tringulo y tringulo-estrella

Los sistemas Y- y -Y se reducen fcilmente a Y-Y o -, transformando ya sean las cargas o los

generadores


7. ANLISIS DE SISTEMAS DESEQUILIBRADOS

Teorema de Millman

Permite calcular la tensin UAB que en rgimen permanente existe entre los nudos A y B, conociendo las impedancias concurrentes en B y las tensiones entre el nudo A y los otros extremos de las citadas impedancias.

m m

k k k1 1

AB m m

k k1 1

=

EU IEU IEU IEU I

U =U =U =U =

Y YY YY YY Y

Sistemas desequilibrados, el desequilibrio se presenta cuando la carga lo es, o el generador o ambas cosas a la vez, aunque normalmente el desequilibrio se suele presentar en la carga.

Los procedimientos de anlisis se suelen dividir en dos:

Mtodos generales de anlisis.

Mtodo de las componentes simtricas.

En este curso nos centraremos en los mtodos generales de anlisis. El mtodo de componentes simtricas se basa en que un sistema trifsico desequilibrado se puede descomponer en tres sistemas trifsicos equilibrados, secuencia directa, secuencia indirecta y secuencia cero u homopolar, no puede haber acoplamientos mutuos

En algunos casos se pueden hacer ciertas simplificaciones.

( )

( )

( )

1B1B AB A1 1 1 AB A1

1

2B2B AB A2 2 2 AB A2

2

mBmB AB Am m m AB Am

m

= = =

= = =

= = =

UUUUU U U I Y U -UU U U I Y U -UU U U I Y U -UU U U I Y U -U

ZZZZ


ZZZZ


ZZZZ


Conexin Y-Y

1 g1 L1 r1

2 g2 L2 r2

3 g3 L3 r3

= +

= +

= +

Z Z + Z ZZ Z + Z ZZ Z + Z ZZ Z + Z Z



Aplicando Millman

1 1 1 2 3 3 N NNN

1 2 3 N

+ +=

+ + +

EY+EY EY E YEY+EY EY E YEY+EY EY E YEY+EY EY E YUUUU

Y Y Y YY Y Y YY Y Y YY Y Y Y

Como:

NNN 1 2 3 NN N

N

+ + =

UUUUI = I I I =U YI = I I I =U YI = I I I =U YI = I I I =U Y

ZZZZ

Llegamos a:

Intensidades de Lnea Tensiones en el receptor Tensiones en el generador

1 NNa

1

2 NNb

2

3 NNc

3

=

=

=

E UE UE UE UIIII

ZZZZ

E UE UE UE UIIII

ZZZZ

E UE UE UE UIIII

ZZZZ

aN r1 a

bN r2 b

cN r3 c

U = Z IU = Z IU = Z IU = Z I



a N 1 g1 a

b N 2 g2 b

c N 3 g3 c

U =E - Z IU =E - Z IU =E - Z IU =E - Z I

U = E - Z IU = E - Z IU = E - Z IU = E - Z I

U =E - Z IU =E - Z IU =E - Z IU =E - Z I


Para el caso de que no exista hilo de neutro, las frmulas son vlidas Zn= Yn=0.

Si el neutro es ideal, impedancia cero, los puntos N y N estn al mismo potencial. Las intensidades de fase son entonces las de tres circuitos monofsicos independientes.

31 2a b c

1 2 3

; ;EEEEE EE EE EE E

I = I = I =I = I = I =I = I = I =I = I = I =Z Z ZZ Z ZZ Z ZZ Z Z

Las conexiones Y-, -Y, -, se pueden analizar planteando las ecuaciones, o bien reducindolas al

caso Y-Y.

CASOS PARTICULARES

Varias cargas conectadas en paralelo.

Se transforman todas a tringulo, con lo que quedan conectadas en paralelo, se calcula el equivalente de cada una de las ramas del tringulo, y se transforma a estrella.

Conocidas las tensiones en los bornes

Es muy frecuente que se conozcan las tensiones en los bornes, normalmente equilibradas que alimentan a un receptor trifsico. En este caso el clculo se puede simplificar, estudiaremos tres casos:

Carga en Y con hilo neutro(impedancia de los hilos despreciable frente a la carga)

Carga en

ab bc ca an bn cn

an bn cna b c

1 2 3

n a b c

NN

, , , ,

, ,

0

= = =

= + +

=

U U U U U UU U U U U UU U U U U UU U U U U U

U U UU U UU U UU U UI I II I II I II I I


I I I II I I II I I II I I I

UUUU

ab bc caab bc ca

1 2 3

a ab bc

b bc ca

c ca ab

, ,= = =

=

=

=

U U UU U UU U UU U UI I II I II I II I I


I I - II I - II I - II I - I




Carga en Y sin hilo neutro

En este caso se produce un desequilibrio en las tensiones simples en la carga Uan, Ubn, Ucn,

desequilibradas.

El procedimiento es calcular las corrientes de fase pasando

de Y a , posteriormente se calculan Ia, Ib, Ic y con ellas las

tensiones simples en la carga.

8. POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFSICOS EQUILIBRADOS La potencia suministrada por un generador trifsico, o la consumida por un receptor trifsico, es, en

los sistemas equilibrados, igual a tres veces la suministrada o consumida por una fase. Designando en general por PF la potencia de una fase, esto es,

F F FP U I cos=

en donde es la diferencia de fase entre UF e IF, podemos escribir, como expresin de la potencia en l, un sistema trifsico equilibrado

F FP 3U I cos=

Es conveniente expresar P en funcin de la tensin e intensidad de lnea. Para ello, observando que se verifica en todo caso,

F F L L1U I U I3

=

puesto que para la conexin Y es

F L F L1U U e I I3

= =

y para la conexin en

F L F L1I I e U U3

= =

resulta:


L LP 3U I cos=

Ntese que ahora no es en ningn caso la diferencia de fase entre UL e IL, sino la que existe entre UF e IF, como ya hemos dicho antes.

Por convencin se toma como tensin U de un sistema trifsico la tensin UL y como intensidad I la IL. Ntese que stas son cantidades cuya medicin es siempre posible.

As, pues, escribimos, de acuerdo con este convenio,

P 3UI cos=

De forma anloga, siendo

F F FQ U I sen=

podemos escribir, como expresin general de la potencia reactiva de un sistema trifsico equilibrado:

Q 3UIsen=

La potencia compleja es, pues, en estos sistemas:

F F3P j3Q P jQ 3= + = + = ****S UIS UIS UIS UI

Extendiendo el concepto de potencia aparente dado para un circuito monofsico obtenemos

S 3UI=

Se verifica

Pcos

S =

y

Qtg

P =

Advertimos de nuevo que el concepto de potencia compleja y el teorema de Boucherot permiten simplificar extraordinariamente la resolucin, de ciertos problemas, sobre todo en sistemas equilibrados.

Comparacin de los sistemas trifsicos equilibrados con los monofsicos

Estudiemos algunos de los diversos aspectos que presentan la distribucin y utilizacin de energa segn se realicen mediante un sistema monofsico o mediante un sistema trifsico equilibrado.


1. Distribucin de energa

Supongamos que tenemos que suministrar a una carga cierta potencia P, con una tensin de lnea UL y

con un factor de potencia cos .

La carga y el generador estn a cierta distancia, por lo que tenemos que realizar su conexin mediante cables que presentan una resistencia.

Si tuviramos opcin a disponer de la potencia mediante una simple carga monofsica o mediante una carga trifsica equilibrada, cabe estudiar cul de los dos procedimientos es ms conveniente desde el punto de vista de la potencia perdida en la resistencia de los cables de conexin (figura 17).

figura 17

Llamaremos R1 a la resistencia de cada uno de los cables de la distribucin monofsica y R3 a la de cada uno de los tres cables que componen la lnea trifsica.

Para la conexin monofsica, la corriente de lnea IL1 viene dada por:

L1L

PIU cos

=

Luego la potencia P1 perdida en la lnea es:

22

1 1 L1 2 2L

PP 2R I 2R1U cos

= =

Para la distribucin trifsica, la intensidad de lnea es:

L3L

PI3U cos

=

luego

23 3 L3 2 2

L

PP 3R IU cos

= =

As, pues,


3 3

1 1

P RP 2R

=

Si utilizamos cables idnticos en uno y otro caso es

3 11P P2

=

por lo que, desde este punto de vista, resulta ms conveniente la distribucin trifsica. A esta misma conclusin se llega comparando los volmenes de material conductor que son necesarios para que se produzca la misma prdida de potencia con ambas formas de distribucin. En este supuesto, de la expresin anterior deducimos que

3 1R 2R=

por lo que para un solo hilo

( ) ( )3 11Vol Vol2=

y para toda la lnea

( )( )

3

1

3 Vol 32 Vol 4

=

esto es, el volumen de material conductor necesario en la distribucin trifsica es las tres cuartas partes del que se necesita en la monofsica de igual prdida.

Para comparar econmicamente ambos sistemas hay que considerar an otros muchos factores, por ejemplo, los aisladores y los transformadores que son necesarios. No entramos en detalles sobre esta cuestin, pero si diremos que no se obtiene apreciable economa en la lnea correspondiente a uno u otro caso. Las ventajas del sistema trifsico se refieren ms a la maquinaria terminal que a la lnea de distribucin.

2. Potencia instantnea

En los sistemas trifsicos equilibrados, la potencia instantnea, suma de las correspondientes a cada fase, es constante.

En efecto,

( )( ) ( )( ) ( )

a a a F F

b b b F F

c c c F F

p u i 2U cos t 2I cos t

p u i 2U cos t 120 2I cos t 120

p u i 2U cos t 120 2I cos t 120

= =

= =

= = + +


expresiones que podemos poner

( )( )( )

a F F F F

b F F F F

c F F F F

p U I cos U I cos 2 tp U I cos U I cos 2 t 240p U I cos U I cos 2 t 240

= + = + = + +

y siendo

( ) ( ) ( )cos 2 t cos 2 t 240 cos 2 t 240 0 + + + = resulta

a b c F Fp p p U I cos P+ + = =

como queramos demostrar.

Esta propiedad es de gran inters. Debido a ella, los motores trifsicos arrancan mejor y trabajan ms satisfactoriamente que los monofsicos. Adems los grandes generadores monofsicos son muy ruidosos debido a las vibraciones originadas por la potencia fluctuante.

Ejemplo 2 La figura 18 representa a un generador trifsico y equilibrado alimentando a una carga pasiva,

trifsica, equilibrada y conectada en estrella a travs de tres hilos, cuya impedancia por fase es Zl = 1 + j.

Sabiendo que el generador trabaja a 50 Hz, que cede una potencia = 21,2 kW y que la carga pasiva consume Pc = 20 kW con un factor de potencia 0,8 inductivo, determinar:

1. Intensidad de lnea.

2. Tensin de fase en la carga.

3. Impedancia Z por fase de la carga.

4. Tensin de lnea en el generador.

5. Capacidad por fase de la batera de condensadores, conectados en tringulo, en paralelo con la carga, que hace aumentar el factor de potencia del conjunto a 0,9.

6. Idem, silos condensadores estn conectados en estrella.

7. Una vez conectados los condensadores segn los apartados anteriores calcular la nueva intensidad de lnea en cada uno de dichos casos para que las tensiones en la carga sean las mismas que antes de conectar los condensadores.


figura 18

Corno el circuito es totalmente equilibrado, para efectuar su estudio podemos reducir el problema a uno monofsico, tal como indica la figura 19. En este circuito, las potencias, consumidas por la carga y cedida por el generador, son las potencias por fase del circuito trifsico y, por tanto, la tercera parte de las totales.

figura 19

1 Para el clculo de la intensidad de lnea basta observar que, por aplicacin del teorema de Boucherot en el circuito monofsico, la potencia permitida en uno de los hilos de la lnea es:

Fl Fg FcP P P 0, 4kw= =

y como

2Fl lP R I=

tenemos para la intensidad de lnea

Fl

l

P 400I 20R 1

= = =

2 En la carga monofsica se cumple:

Fc FcP U Icos=

de donde la tensin de fase en la carga ser:

3Fc

FcP 20 10 3 1250U 417V

Icos 20 0,8 3

= = = =


3 El valor de la impedancia por fase de la carga es:

FcU 1250 3 125ZI 20 6

= = =

y, por tanto

125 25Z Z(cos jsen ) (0,8 j0,6) (4 j3)6 6

= = + = + = +ZZZZ

4 Las potencias reactivas consumidas por fase en la carga y en la lnea son:

Fc Fc20 3Q P tg 5kVAr3 4

= = =

y

2Fl lQ X I 400VAr= =

En consecuencia, la potencia reactiva cedida por fase del generador, por aplicacin del teorema de Boucherot, ser:

Fg Fc FlQ Q Q 5,4kVAr= + =

La potencia aparente del mismo es:

22 2 2Fg Fg

21,1SFg P Q 5,4 8,9kVA3

= + = + =

y como

Fg FgS U I=

Resulta para la tensin por fase en el generador

3Fg

Fg

S 8,9 10U 445VI 20

= = =

Por tanto la tensin de lnea en el mismo ser:

g FgU 3U 445 3 770V= = =

5 Los condensadores a colocar vienen representados en la figura 20. La potencia reactiva que deben ceder dichos condensadores es la diferencia de las potencias reactivas consumidas por la carga por separado y por el conjunto carga + condensadores. Es decir:

2c Fc c cQ 3Q 3 C U P (tg tg ) = = =


figura 20

donde QFc es la potencia reactiva por fase cedida por los condensadores; Uc, la tensin de lnea en la carga, que coincide con la tensin de fase en los condensadores, ya que estn conectados en tringulo, y el argumento de la impedancia total del conjunto condensadores + carga.

Por tanto, la capacidad pedida ser:

c

2 2c

P (tg tg ) 20 10(0,75 0,484)C 10,8 F3 U 3 2 50( 3 417)

= = =

pi

figura 21

Los condensadores conectados en estrella, figura 21, deben ceder la misma potencia reactiva que los conectados en tringulo. Adems, como las tensiones de lnea son las mismas en dichas conexiones, la configuracin en estrella ser la equivalente de la en tringulo. Ahora bien, como dicha equivalencia se resuma en

Y3 =Z ZZ ZZ ZZ Z


donde Z y ZY son las impedancias conectadas en tringulo y estrella, respectivamente, y como, en

nuestro caso, la impedancia de un condensador es inversamente proporcional a su capacidad, se cumplir

YC 3C 3 10,8 32,4 F= = =

Nota.- Es necesario observar que los condensadores en estrella slo deben soportar la tensin de fase en la carga, mientras que los conectados en tringulo soportan la tensin de lnea.

Estas observaciones, de mayor capacidad y menor tensin a soportar de las bateras de condensadores en estrella en relacin con las de tringulo, han de tenerse en cuenta como criterio econmico para mejorar el factor de potencia de una instalacin trifsica.

7 En ambos casos, las potencias consumidas por el conjunto carga + condensadores son:

cP P 20kWQ Ptg 20 0,484 8,7kVAr

= =

= = =

La potencia aparente ser, por lo tanto:

2 2 2 2S P Q 20 8,7 22, 2kVA= + = + =

Ahora bien, como

FcS 3U I=

la nueva intensidad de lnea ser en ambos casos

3

Fc

S 22, 2 10I 17,8A3U 3 417

= = =

Como se observa, al mejorar el factor de potencia, la intensidad de lnea disminuye, con lo que tambin disminuirn las prdidas en los hilos de la lnea.

Se puede ver tambin que, al mejorar el factor de potencia del receptor, se requiere menor tensin en bornes del generador para mantener una misma tensin en bornes del receptor.


9. MEDIDA DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFSICOS Pueden presentarse los siguientes casos en la medida de potencia activa:

Sistemas con hilo neutro

Solo se pueden dar en la conexin Y-Y pudindose a su vez dar dos casos.

a)equilibrado. b)desequilibrado

P= 3W1 P=W1+W2+W3

Sistemas sin hilo neutro

-Conexin Y con neutro accesible, caso anterior.

-Conexin en con fases accesibles.

*Equilibrado: Un vatmetroP= 3W1.

*Desequilibrado: Tres vatmetros

P= W1+W2+W3.


-Conexin Y sin neutro o fases accesibles

a)Equilibrado: creando un neutro artificial:

b)Equilibrado o desequilibrado: 3 vatmetros iguales:

-Conexin ARON o mtodo de los dos vatmetros.

Es un caso particular del anterior vlido para sistemas equilibrados y desequilibrados, con la condicin de la distribucin a tres hilos (sin neutro).

P=W1+W2+W3


Vectorialmente:

1 ac a ac a

2 bc b bc b

W cos( )W cos( )

= U I U I= U I U I= U I U I= U I U I

= U I U I= U I U I= U I U I= U I U I

Suponemos sistema equilibrado y dibujamos el diagrama vectorial.

Esta suma no ha de entenderse en sentido algebraico, veamos casos prcticos:

i) Si = 0 cos =1;

W1=W2 P = 2 W1

ii) Si || = 60 cos = 0,5 uno de los dos vatmetros indica cero a) Receptor inductivo = + 60 W2 = 0 b) Receptor capacitivo = - 60 W1 = 0 iii) Si || > 60 cos < 0,5 uno de los dos vatmetros indica cero a) > 60 carga inductiva W2 < 0 P = W1 W2. b) < -60 carga capacitiva W1 < 0 P = W2 W1.

p=vania+ vbnib+ vcnic

ia+ib+ic=0

p=vania+ vbnib- vcn(ia+ib)

p=ia(van-vcn)+ib(vbn-vcn)= iavac+ibvbc P=W1+W2

( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

1 L L

2 L L

1 2 L L

L L L L

W U I cos 30W U I cos 30

W W U I cos 30 cos 30

=2U I cos 30 cos 3U I cos P

= = + + = + + =

= =


Uno de los dos vatmetros tender a medir negativo y habr que invertir la conexin.

Tratndose de sistemas equilibrados, la diferencia W1 W2 multiplicada por 3 proporciona la potencia reactiva del sistema trifsico.

( )( )

( )( )

1 2 L L L L

1 2

1 2

1 2

1W W 2U I sen30 sen U I sen30 sen Q3

Q 3 W W3 W WQ

tgP W W

= = =

=

= =+

Para la medida de potencia reactiva utilizaremos los mismos procedimientos sustituyendo los vatmetros por varmetros, o bien mediante la conexin ARON.

10. EJERCICIOS

Primer Ejercicio

Calcular el mdulo y argumento de las intensidades de fase en el receptor, de las intensidades de lnea y de las intensidades de fase en el generador. Tomar las referencias dadas en el esquema, de la figura 22

figura 22

Segundo Ejercicio

Encontrar las relaciones entre las intensidades de fase y de lnea de una carga equilibrada, conectada en tringulo y alimentada por un sistema equilibrado de tensiones de secuencia inversa. Suponer que la carga es inductiva.


Tercer Ejercicio

En el circuito de la figura 23, calcular:

figura 23

1. La intensidad de lnea y la intensidad de fase en la carga.

2. La tensin de lnea en la carga.

3. Factor de potencia con que trabaja el generador.

4. Potencia reactiva suministrada por el generador.

5. Potencia reactiva absorbida por la carga.

6. Valor de la inductancia L en cada fase de la lnea.

7. Valor de la impedancia Z por fase de la carga.

8. Capacidad por fase de la batera de condensadores en estrella que, colocada en paralelo con la carga, da un conjunto de factor de potencia unidad.

9. La misma pregunta anterior, pero en el caso de que la batera de condensadores se monte en tringulo.

Trifasica

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