CONTENIDO TEÓRICO Definición: Es una figura cerrada formada por la reunión de 3 segmentos.

B

w°

AC

b

c a

Región triangular

Elementos:

VÉRTICES : A, B, C LADOS : ACyBC,AB ÁNGULOS INTERNOS : , y ÁNGULOS EXTERNOS : w° PERÍMETRO : 2p = a + b + c

NOTACIÓN: Triángulo ABC: Δ ABC APLICACIONES EN LA VIDA REAL

CLASIFICACIÓN:

A. SEGÚN SUS ÁNGULOS 1. TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

B

A

C

* OBTUSÁNGULO

90° < ° < 180°

2. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

°, °, W° < 90°

B

A C

W°

3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO:

90B

B

A C B. SEGÚN SUS LADOS

B

A C

1. Escaleno

ac

b

2. Isósceles

B

A C

LL

base

3. Equilátero

B

A C

LL

60°

60° 60°

PROPIEDADES GENERALES: 1. Suma de sus ángulos interiores

B

A C

W°

° + ° + W° = 180° 2. Suma de sus ángulos exteriores

e1

e3

e2

360eee 321

3. Suma de 1 ángulo exterior

x

x = ° + °

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO 1. CEVIANA

B

A CD

Punto cualquiera de AC

CEVIANA:BD

2. MEDIANA

B

A CM

MEDIANA:BM

3. ALTURA:

B

A CH

B

AC

H

ALTURA:BH 4. MEDIATRIZ:

B

A C

Mediatriz de AC

5. BISECTRIZ:

B

A C

Bisectrizinterior

B

A D

Bisectriz

exterior

C

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno igual a 90°. Los lados que forman el ángulo recto se les denomina CATETO y al lado mayor HIPOTENUSA Teorema de Pitágoras “La suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado”

Demostración Geométrica

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

45°

m

45°

m 2L2

245°

45°

L

L2

2m

30°

60° 37°

53°

h

h2

h2

3

3K

4K

5K

Algunos triángulos Rectángulos cuyos lados son números enteros

12

13

5

24

25

7

15

17

8

40

41

9 Observación

A

h

15°

75°

B

H C4h

PROPORCIONALIDAD

a2 + b2 = c2

APLICACIONES DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Ejemplo gráfico1:

Ejemplo gráfico2:

Ejemplo 1: Hallar “x” en el gráfico: Solución: Usando Pitágoras: 102 = x2 + 82 100 = x2 + 64 100 – 64 = x2

36 = x2

36 x x = 6 Respuesta Ejemplo 2: Hallar “x” en el gráfico: Solución: Usando Pitágoras: x2 = (x-1)2 + 72 x2 = x2 -2x +1 + 49 x2 – x2 +2x = 50 2x = 50 x = 25 Respuesta

PROPORCIONALIDAD Definición.- Un número proporcional es aquel que expresa cuántas veces una cantidad contiene en sí otra inferior; por ejemplo: doble, triple.

Thales de Mileto Reparto Proporcional

Teorema de Thales Tres o más rectas paralelas determinan

sobre otras dos secantes a ellas segmentos cuyas longitudes serán proporcionales entre sí.

A

B

C

D

E

F

L1

L2

L3

Si L1 // L2 // L3

BC EF

AB DE= También :

AC DF

AB DE=

Ejemplo: Si L1 // L2 // L3. Hallar x

L1

L2

L3

4

6

x - 2

x + 2

Resolución:

10x

2x62x4

2x

2x

6

4

Aplicación del Teorema de Thales

1. A un triangulo

M N

CA

B

BM BN=

MA NC

Si: MN // AC

2. Teorema de la Bisectriz Exterior

x ba

m n

a bm n=

3. Teorema de la bisectriz Exterior:

ab

nm

a bm n=

PROPIEDAD

B

1° 2° 3°

A M C N Si BM bisectriz interior y BN bisectriz exterior

MC CN

AM AN=

4. Teorema de Menelao :

M

N

PCA

B

AM . BN . CP = MB . NC . AP

5. Teorema de Ceva

M N

CPA

B

AM . BN . CP = MB . NC . AP

ABC MNB

ABC MNB

SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMETRICAS

SEMEJANZA DE TRIÁ NGULOS Definición: Dos triángulos serán semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean iguales a los ángulos del otro; como consecuencia. Sus lados respectivos serán proporcionales entre sí:

A C

B

M P

N

MA Si: NB PC K: razón de semejanza

CASOS DE SEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS

1. Primer Caso:

Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2. Segundo Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen un mismo ángulo y los lados que lo forman son proporcionales.

a

b

m

n Si: 3. Tercer Caso:

Dos triángulos serán semejantes si sus lados son proporcionales entre si.

a bm n

c p

Si:

PROPIEDADES 1.

A C

M N

B

Si: AC//MN

2. M N

A C

B

Si: AC//MN

ABC MNP

APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

En la figura se encuentran dos edificios a la misma hora y muy cerca uno del otro.

El más alto proyecta una sombra de 12

m, mientras que el más bajo proyecta una sombra de 4m, Si el edificio más pequeño tiene una altura de 10m. ¿Cuál es la altura del más grande?

a) 18m b) 20m c) 30m d) 40m e) 60m

Resolución: Por el teorema se semejanza:

30

)10(124

10

12

4

x

x

x

Luego la altura del edificio más grande es de 30 metros

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THALES

01. En la figura mostrada. Si m // n // t Hallar x:

4x 15

n

x + 2

m

x

l

a) 1,75 b) 1,5 c) 1,42 d) 2,5 e) 1,25 02. En la figura mostrada. Si m // n // l //r Hallar x.

6 y

n 2

m

x

t

2y +1 3x+2l

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. En la figura mostrada. Si m // n // l. y

CD//AB . Hallar x.

E2x

n

x +1

m

A

l

C

3x B 9 D a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 5 04. Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC

4

F

E

G

AL 1

L 2

L 3

5k - 5 1

5k +1

C

B

a) 5 b) 10 c) 15 d) 7/5 e) 8