5/20/2018 trazadores c bicos

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INTERPOLACION

En el subcampo matemtico del anlisis numrico, se llama interpolacin a la obtencin de

nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniera y algunas ciencias es frecuente dispones de un cierto nmero de puntos obtenidos

por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una funcin que los ajuste.

Otro problema ligado con el dela interpolacin es la aproximacin de una funcin complicada por

una ms simple, si tenemos una funcin cuyo clculo es difcil, podemos partir de un cierto

nmero de valores e interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple, por supuesto

no obtendremos las mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evaluramos la funcin

original , dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin la

ganancia en eficiencia puede compensar los errores.

En todo caso, se trata que a partir de n parejas de puntos, obtener una funcin f que verifique,

denominada funcin interpolante de dichos puntos. A los puntos se les llama nodos.

La interpolacin consiste en obtener una funcin que corresponda a una serie de datos conocidos.

Una de las clases ms tiles y mejor conocidas es la de polinomios algebraicos, es decir, el

conjunto de funciones de la forma:

()

En donde n es un numero entero no negativo y son constantes reales, una de las

razones importantes por la cual se debe considerar esta clase de polinomios en la interpolacin de

funciones, es que la derivada y la integral de un polinomio son fciles de determinar y tambin son

polinomios, por esta y por otras razones ms con frecuencia se usan los polinomios para

aproximar a las funciones continuas.

TRAZADORES CUBICOS O SPLINES.

Las interpolaciones polinomica fragmentaria ms comn utilizando polinomios de grado tres entre

cada par de puntos consecutivo, recibe el nombre de interpolacin de trazadores cbicas o Splines

cbicos. El objetivo de los trazadores cbicos, es obtener un polinomio de tercer grado para cada

intervalo entre los nodos.

Las curvas producidas por los polinomios que pasan por los (n) puntos de datos especificados

[ ] [ ], elcomportamiento de la curva entre los puntos de datoas puede producirfuertes oscilaciones cuando se utilizan polinomios de alto grado. Por ejemplo, supongamos que los

puntos de los datos son aproximaciones de una recta. Al forzar un polinomio de alto grado a pasar

por varios puntos la curva que produce se puede desviar significativamente de la recta. Para evitar

esto es posible utilizar aproximaciones a fon de obtener un buen ajuste de la curva, a este tipo de

procesos de ajuste se denomina trazadores cbicos.

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La aproximacin mediante trazadores cbicos se aplica a n pares ordenados de datos. Se buscan

(n-1) curvas que conectan los puntos 1 y 2, los puntos 2 y 3, 3 y 4, y los puntos n-1 y n. Adems se

requiere que las dos curvas que conectan los puntos (k-1) y k y los puntos k y (k+1), tengan la

misma pendiente en el punto k. Y de esta manera el ajuste de curvas resulte continuo.

Mtodo:

Un trazador se usa para dibujar curvas suaves a travs de un conjunto de puntos. Los trazadores

cbicos naturales se utilizan para crear una funcin que interpola un conjunto de puntos de datos.

Esta funcin consiste en una unin de polinomios cbicos, uno para cada intervalo, y est

construido para ser una funcin con derivada primera y segunda continuas. El spline cbico

natural tambin tiene su segunda derivada igual a cero en la coordenada x del primer punto y el

ltimo punto de la tabla de datos.

El interpolante segmentario cubico (o interpolante de trazador cubico, o spline cubico)

correspondiente a los puntos . y los valores, es una funcion S definida en

[ ],...,que cumple con las condiciones siguientes:

1. Para toda i {0 n- 1}, la restriccin = S[ ]es un polinomio cubico:

() ( ) ( ) ( )

4. Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera:

() () , (Frontera libre o frontera natural, splines cbicos naturales).

() () ; Donde a y son nmeros dados (frontera sujeta).

Supongamos que tenemos n + 1 puntos[ ],...,[ ], con . En vez de

interpolar f con un solo polinomio que pase por todos estos puntos, interpolamos la funcin f en

cada subintervalo [ ]con un polinomio cbico ()de tal manera que el polinomio cbico

(o trazador cbico) ()en [ ] y el trazador cbico () en [ ] , coincidan en

xi+1 y que tambin sus derivadas primera y segunda coincidan en este punto. Cada trazador

cbico coincide con f en los extremos de cada intervalo.

Las curvas producidas por los polinomios que pasan por los n puntos de datos especificados

[ ] [ ], el comportamiento de la curva entre los puntos de datos puede producir

fuertes oscilaciones cuando se utilizan polinomios de alto grado. Por ejemplo, supongamos que los

puntos de los datos son aproximaciones de una recta. Al forzar un polinomio de alto grado a pasar

por varios puntos la curva que produce se puede desviar significativamente de la recta. Para evitaresto es posible utilizar aproximaciones a fon de obtener un buen ajuste de la curva, a este tipo de

procesos de ajuste se denomina trazadores cbicos.

La aproximacin mediante trazadores cbicos se aplica a n pares ordenados de datos. Se buscan

(n-1) curvas que conectan los puntos 1 y 2, los puntos 2 y 3, 3 y 4, y los puntos n-1 y n. Adems se

requiere que las dos curvas que conectan los puntos (k-1) y k y los puntos k y (k+1), tengan la

misma pendiente en el punto k. Y de esta manera el ajuste de curvas resulte continuo.

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http://metodosnumericos.herobo.com/TEMA1.html

http://esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/cubic_splines.pdf

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