DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

Compiladora: MSc. Marcia García Leyva

1

PROBLEMAS METODOLÓGICOS ESPECIALES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.

Autores: Geissler E. y otros

El tratamiento de los números naturales y su representación.

La estructuración del contenido de la enseñanza de la Matemática en los grados está determinada esencialmente por la ampliación, por etapas, de los conocimientos de los alumnos sobre los números naturales, por lo que es aconsejable:

Al tratamiento de los números hasta 10 se une la elaboración de los ejercicios básicos de la adición y sustracción hasta 10.

Al tratamiento de los números hasta 20 le siguen la elaboración de los demás ejercicios básicos de la adición y la división.

El tratamiento de los números hasta 100 es condición previa para todo el trabajo de formación de habilidades de cálculo incluyendo la elaboración de los ejercicios básicos de multiplicación y de división.

El tratamiento de los números hasta 10 000 crea la posibilidad para la formación ulterior de habilidades de cálculo, incluyendo el desarrollo de habilidades en la realización de los procedimientos escritos de cálculo.

Finalmente, el tratamiento de los números mayores que 10 000 y el cálculo con dichos números concluye relativamente.

La calidad de los conocimientos de los alumnos acerca de los números naturales y sus capacidades y habilidades en el trabajo con ellos, tiene gran influencia sobre la efectividad del tratamiento posterior del cálculo con estos números. Además, la ejercitación en el cálculo con números naturales es condición importante para la comprensión de estos y para su representación en el sistema de posición decimal.

Condiciones previas que poseen los alumnos que asisten por primera vez a la escuela para el tratamiento de los números naturales del 1 al 10.

Su aseguramiento.

Los alumnos que asisten por primera vez a la escuela tienen determinados conocimientos matemáticos, antes de que se comience el tratamiento sistemático de la materia de Matemáticas de su grado.

Cuando comienzan el primer grado, por lo general, ya conocen los números del 1 al 10. En el Jardín y en el hogar han aprendido a contar y/ o emplear los números dentro de determinados límites. La mayoría no sólo puede decir los números en el orden correcto, sino además coordinar números a conjuntos de objetos que los representan.

Los que han asistido al jardín pueden denominar correctamente cuerpos triangulares, cuadrangulares, circulares, en forma de cubo y de esfera.

2

La mayoría de los niños están en condiciones de orientarse en el espacio, utilizan correctamente las palabras «izquierda», «derecha», «arriba», «abajo», «delante» y «detrás», y comprenden las relaciones «uno junto a otro», «uno debajo del otro»,«al lado», «debajo». Estos conocimientos previos hacen posible tratar el voluminoso asunto.

El nivel de dominio de los conocimientos previos señalados es diferente en cada niño, y es una tarea importante del maestro informarse lo antes posible sobre los conocimientos y capacidades de cada uno, para poder crear en todos un nivel inicial uniforme para el tratamiento de los números hasta 10.

Cuando el maestro detecta a tiempo las deficiencias en los conocimientos previos de sus alumnos está en condiciones de eliminar las consecuencias de ellas. Esto es muy importante. Un alumno que por ejemplo, no conozca la relación «uno junto a otro», tendrá dificultades para comprender las indicaciones del maestro en la representación de números naturales con medios de trabajo.

Para informarse sobre los conocimientos previos de los alumnos, el maestro debe pedirles que digan el número de lámparas, de ventanas y de cuadros que hay en el aula, les orienta que representen números y figuras con medios de trabajo. Pregunta a algunos alumnos, quién está a su derecha, a su izquierda, delante o detrás de él, otro alumno debe decir en qué fila está su pupitre. Se les pide que digan lo que pueden contar en sus casas sobre el aula. Todas estas medidas útiles para el análisis son componentes de la clase y acompañan el proceso planificado de impartición de nuevos conocimientos, del desarrollo de capacidades y habilidades que comienza desde la primera clase.

En la clase el maestro adquiere la información necesaria acerca de los conocimientos de todos y cada uno de sus alumnos. Él detecta los niños cuyo nivel de rendimiento y conducta está por debajo del promedio, y así puede comenzar a tiempo la ayuda a estos alumnos y llevarlos al nivel requerido. Familiarizan a los niños con la norma más importante de la conducta durante la clase y con las técnicas más elementales de trabajo y aprendizaje.

La calidad del trabajo del maestro en las primeras clases ejerce gran influencia respecto al éxito de las clases siguientes. En el tratamiento sistemático de los números naturales del 1 al 10 se crean bases importantes para la formación matemática, y hay que garantizar que las diferencias iniciales en los conocimientos y capacidades de los alumnos se eliminen para lograr los objetivos señalados en el programa del primer grado.

Elaboración de los números naturales del 1 al 10 como números cardinales de conjuntos finitos.

Cada clase de conjuntos finitos equipotenciales entre sí es un número natural, de esa forma el número 4 es la clase de todos los conjuntos de cuatro elementos y cada conjunto de cuatro elementos es representante del número 4.

Cada conjunto finito es representante de un número natural bien determinado. Un número natural puede representarse por conjuntos de la potencia correspondiente.

3

La explicación teórica de los números naturales se ajusta al proceso de obtención de algunos números naturales por los niños de edad preescolar. Los alumnos adquieren los primeros conocimientos acerca de los números naturales durante el juego, en el trabajo con conjuntos, con bloques de construcción, muñecas, etcétera, aprenden a coordinar a determinados objetos, determinados numerales. También en el tratamiento sistemático de los números naturales del 1 al 10 tiene gran Importancia en la clase, el trabajo con los conjuntos, cuyos elementos son objetos sencillos. Este trabajo con conjuntos forma la base intuitiva para la abstracción posterior de los números naturales.

Los alumnos tienen que comprender por su contenido, que todos los conjuntos que tienen «la misma cantidad» de elementos, que los elementos que tiene un conjunto dado, representan el mismo número, independientemente del tamaño, color, de la naturaleza de los elementos, Independientemente también de la disposición en el espacio de los objetos pertenecientes a los conjuntos observados.

Mediante la comparación puede determinarse si dos conjuntos tienen «la misma cantidad» de elementos.

El tratamiento de los números naturales hasta el diez comienza por ello, con ejercicios de comparación de conjuntos.

Para la comparación de conjuntos los alumnos disponen de varios procedimientos:

a) Cuando dos conjuntos se diferencian mucho por la cantidad de sus elementos, los alumnos reconocen «a primera vista», cuál de los dos contiene más y cuál menos elementos. Si los elementos de un conjunto se pueden hacer corresponder en determinada forma a los elementos del otro cómo por ejemplo, en un aula las sillas a las mesas, entonces esta reflexión del contenido los conduce hacia proposiciones verdaderas.

b) El importante procedimiento desde el punto de vista matemático, de comparación de dos conjuntos según su potencia se realiza mediante el establecimiento de correspondencias. Los alumnos comparan dos conjuntos entre si, sin determinar «la cantidad» de sus elementos, haciendo corresponder cada elemento de un conjunto a un elemento del otro. Él conjunto en el que quedan elementos después de realizada esta correspondencia unívoca tiene más elementos que el otro. Si no sobran elementos entonces son equipotentes. Una correspondencia como esta posibilita proposiciones como: «Hay más círculos que triángulos», «Hay menos triángulos negros que blancos» «Arriba hay tantos círculos como abajo».

c) Como los alumnos conocen ya algunos números naturales, pueden comparar dos conjuntos en relación con su potencia de forma que determinen, mediante el conteo o la percepción simultánea, cuántos elementos tienen los conjuntos, y sobre la base de sus conocimientos acerca de las relaciones entre los números naturales determinen que “cuatro varillas son más varillas que tres varillas” y al final comprueban su proposición estableciendo correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos.

4

Con ayuda de estos procedimientos de comparación los alumnos pueden afirmar que en el aula hay más sillas que alumnos, menos mesas que sillas, tantos varones como niñas. En la comparación de conjuntos representados como medios de ilustración y de trabajo llegan a proposiciones similares.

Aprenden a comparar conjuntos únicamente según la cantidad de sus elementos y prescindiendo de otras características como disposición y naturaleza de los elementos de esos conjuntos.

Para el proceso de reconocimiento en la elaboración de números naturales como números cardinales estas comparaciones de conjuntos donde la equipotencia puede comprobarse, tienen especial significación.

Los alumnos dominan un número natural determinado sólo cuando comprenden que este número natural puede representarse mediante conjuntos cualesquiera equipotentes entre sí; que todos los conjuntos equipotentes son representantes, exactamente, de un número natural y cuando están en condiciones de comprender los conjuntos como representantes de este número y representar el número mediante conjuntos.

En relación directa con la introducción de un número natural y su numeral (nombre) se introduce también el símbolo gráfico de este número, la cifra. El numeral y la cifra no son resultado de una abstracción, sino símbolos conveniados que no requieren explicación.

La escritura de las primeras cifras plantea a los alumnos requerimientos esencialmente más elevados que la escritura de los símbolos utilizados al mismo tiempo en la clase de Escritura. Por tanto hay que planificar tiempo suficiente para su introducción. Es importante que todos los alumnos se apropien correctamente de la escritura de las cifras básicas. Para ello el maestro escribe la cifra en el pizarrón con un tamaño adecuado, los alumnos se ponen de pie y siguen el trazo en el aire con la mano derecha. Esto se repite hasta que todos los alumnos memoricen la imagen escrita de la cifra y su forma de escritura. Después los alumnos escriben la cifra en un papel sin rayas (adecuado para escribir con tinta), primero en gran tamaño, después cada vez más pequeño. Luego se escribe en papel cuadriculado. Los ejercicios siguientes se facilitan mediante el cuaderno de ejercitación para el primer grado.

Las cifras básicas, con excepción del 4, 5 y 7 se escriben sin interrumpir el trazo.

Para la fijación de los números elaborados son necesarios muchos ejercicios.

Los alumnos hacen corresponder a un conjunto determinado el numeral correspondiente o la cifra (comprensión).

Los alumnos hacen corresponder a un conjunto dado Otros conjuntos equipotentes y a estos conjuntos el numeral o la cifra correspondiente.

Los alumnos hacen corresponder a un numeral dado o a una cifra un conjunto representante del número correspondiente (representar).

Los alumnos hacen corresponder a un numeral o a una cifra varios conjuntos representantes del número correspondiente.

5

Los alumnos hacen corresponder a un numeral dado la cifra correspondiente (escritura, mostrar la tarjeta correspondiente).

Los alumnos hacen corresponder a una cifra dada el numeral correspondiente (lectura).

En la estructuración de la ejercitación hay que tener en cuenta que se utilicen medios de trabajo de diferentes tipos y que los alumnos se mantengan activos.

En la fijación de un número tratado hay que relacionar siempre los números tratados anteriormente.

Elaboración de los números naturales del 6 al 10 mediante la unión de conjuntos a otros unitarios.

Después de la elaboración de los números naturales del 1 al 5 se introduce la comparación de números y se explica el orden de los números naturales del 1 al 5 además, se introduce la unión de conjuntos y la adición de números naturales, le ofrece la posibilidad de partir, en el tratamiento de los números del 6 al 10, del hecho de que cada número natural puede representarse mediante un conjunto unión de dos conjuntos finitos, no vacíos y disjuntos.

En la clase se observan ante todo los casos en los que se une un representante de un número ya tratado con un conjunto unitario.

Al igual que en el tratamiento de los números del 1 al 5, también en la elaboración de los números naturales siguientes se partirá del trabajo con los conjuntos de objetos. Por ejemplo en la elaboración del número 6 se representan, primeramente, conjuntos de cinco elementos, y se destaca que todos estos conjuntos tienen «la misma cantidad» de elementos.

Después estos conjuntos de cinco elementos se unen cada uno a un conjunto unitario. A cinco discos verdes se agrega uno rojo, a cinco plaquitas cuadradas azules se agrega una de algún otro color, etcétera.

Se explica que el número 6 puede comprenderse como la clase de todos los conjuntos unión formados por un conjunto de cinco elementos y un conjunto unitario, como suma de 5 y 1. Finalmente, estableciendo correspondencia entre los elementos, se determina que todos los conjuntos unión surgidos de esa forma son equipotentes. El número 6 se introduce como la clase de todos los conjuntos de 6 elementos. De forma correspondiente puede elaborarse el número 7 como suma de 6 y 1, y también los números del 8 al 10.

La inclusión de la unión de conjuntos y la adición en el proceso de elaboración y fijación de los números naturales del 6 al 10 se ajusta al conocimiento de que la capacidad del hombre para percibir un conjunto simultáneamente es limitada.

En general un conjunto de cinco elementos se puede percibir simultáneamente, pero los conjuntos con más elementos requieren un conteo. Este puede hacerse de forma breve, cuando los elementos de un conjunto se han ordenado de forma

6

determinada, ejemplo, cuando en un conjunto pueden diferenciarse dos o más subconjuntos y se conoce la suma de los números correspondientes.

Ejemplos:

a) Simultáneamente se percibe que se han trazado 4 círculos.

b) La percepción simultánea se posibilita cuando los círculos se ordenan de forma conocida.

c) Hay que contar la cantidad de círculos.

d) El conjunto puede contarse así: 2, 4, 6, 8.

e) Puede contarse a partir de un conjunto percibido simultáneamente.

Utilizando este conocimiento pueden reafirmarse los principios didácticos siguientes:

Los ejercicios de percepción de conjuntos unión profundizan los conocimientos de los alumnos acerca de los números naturales tratados. Al mismo tiempo contribuyen a que se forme una amplia base intuitiva para el tratamiento de la adición de números naturales.

Los ejercicios variados de percepción de conjuntos descompuestos en subconjuntos conducen a que los alumnos memoricen una serie de ejercicios básicos de adición sobre una base intuitiva. Estos son, ante todo, los ejercicios del tipo a+1, (0 < a < 10) y los ejercicios del tipo a + a (0 < a < 5).

El mismo valor tienen los ejercicios de descomposición de conjuntos en dos subconjuntos disjuntos y la observación de números como sumas de dos sumandos cada una.

El maestro tiene que cuidar que en la elaboración y fijación de los números del 6 al10 se realicen ejercicios para la comprensión y representación con ayuda del conteo y utilizando relaciones sencillas entre los números en proporciones adecuadas.

Medios de ilustración y de trabajo para el tratamiento de los números del 1 al10.

El tratamiento de los números naturales hasta el 10 y también en el trabajo posterior con los números hasta el 20, el empleo correcto de los medios de trabajo e ilustración son de vital importancia para el éxito del aprendizaje.

Los medios de ilustración y de trabajo ofrecen la posibilidad de formar varios conjuntos de objetos y relacionarlos entre sí, creando con ello la base intuitiva.

Para el proceso de abstracción como medio de ilustración en el tratamiento de los números naturales del 1 al 10 pueden servir, primeramente, todos los objetos que se encuentren en el aula o sea, cuadrados, mesas, sillas, pizarra, lámparas, carteras, libros, cuadernos, etcétera. El maestro puede utilizar objetos adecuados para la representación de situaciones que contribuyan a que los alumnos profundicen su conocimiento acerca de los números naturales. Por ejemplo

7

pueden colocarse cuatro sillas junto a una mesa, para cada huésped se coloca un plato sobre la mesa, para cada plato un platillo, en cada platillo una taza y una cuchara.

Para poder consolidar los conocimientos acerca de los números naturales, con situaciones que no pueden representarse en el aula con objetos reales, pueden utilizarse representaciones gráficas de personas, animales, frutas, etcétera.

Las más adecuadas son las aplicaciones. Estas son representaciones provistas de plaquitas imantadas y que pueden colocarse en una pizarra magnética.

Las aplicaciones con representaciones gráficas de objetos ofrecen la ventaja, de que abarcan diferentes relaciones y situaciones y permiten reproducirlas sencillamente. La diferencia esencial para el proceso de abstracción entre los objetos y sus imágenes consiste en que las representaciones gráficas muestran menos características que el objeto mismo.

Los objetos y las imágenes de estos, como medio de visualización se complementan mediante el medio de ilustración y trabajo, como barrillas, plaquitas y cubos. En la representación de situaciones los discos pueden ser platos, las varillas, cucharas pero eso también los medios de este tipo pueden señalarse frecuentemente como símbolos correctos.

Ellos tienen una gran importancia porque ofrecen a los alumnos múltiples posibilidades de formar conjuntos por sí mismo y de trabajar con conjuntos de objetos sencillos.

Para determinar los objetos a utilizar deben tenerse en cuenta las características esenciales como: forma, estructura y color. Los elementos de los conjuntos formados con representaciones son más pobres en características que los objetos del medio de los alumnos.

Los símbolos gráficos tienen gran importancia también como medios de ilustración. Un triángulo representado en la pizarra puede representar una banderola, los círculos trazados en los cuadernos pueden representar ruedas, pelotas, platos, etcétera. En el tratamiento de los números naturales mientras menos características tienen los conjuntos que representa a los números, más orientan hacia la potencia de estos conjuntos, o sea hacia la cantidad de sus elementos. De esto depende, precisamente, de qué número natural es representante ese conjunto.

Los medios de ilustración que sirven para la demostración tienen que cumplir los requerimientos siguientes:

Tener un tamaño tal que todos los alumnos del aula puedan reconocer claramente cada uno de los elementos de los conjuntos.

Algunos medios de ilustración tienen que permitir la representación de conjuntos con diferente disposición de sus elementos, estos pueden tener diferentes características.

Algunos medios que el maestro utiliza deben ser iguales a aquellos con los que trabajan los niños.

8

Los medios de trabajo para el uso de los alumnos deben estar dotados de los requerimientos siguientes:

Ser fáciles de manejar y no ofrecer peligro.

Permitir la representación de conjunto con diferente disposición de los elementos y estos pueden presentar diferentes características.

Ser fáciles de transportar, para que puedan utilizarse en la escuela y en la casa.

Ser sencillos para que puedan sustituirse fácilmente en caso de extravío y debe satisfacer determinados requisitos higiénicos.

Mediante la variación conveniente de los medios de ilustración es importante que se cree una base intuitiva, lo suficientemente amplia para la siguiente abstracción y se evite la monotonía y el aburrimiento.

Ante todo, hay que asegurar que los alumnos tengan oportunidad de trabajar con los medios de ilustración. Las indicaciones exactas del maestro son necesarias para que todos los alumnos participen en el trabajo racional con los medios de ilustración.

No es racional que alumnos aislados trabajen con medios de ilustración ante el grupo a modo de demostración.

No son adecuadas para la ilustración las cosas que desvían a los alumnos del contenido matemático como por ejemplo: animales, juguetes, etcétera.

Tampoco son adecuadas las canicas u objetos similares que puedan caerse fácilmente del pupitre y ocasionar así el desorden en el aula.

Por razones higiénicas y también éticas no se deben usar alimentos, frutas, caramelos, etcétera, como medios de ilustración.

Es necesario seleccionar correctamente el momento de la no utilización de los medios de trabajo. Las condiciones esenciales para ello son la observación detallada de todos los alumnos y el análisis constante de sus rendimientos y su conducta.

La elaboración de las relaciones «... es menor que.... », «…es mayor que...», «…es igual a...»

Desde el tratamiento de los números del 1 al 5, los alumnos poseen las condiciones previas necesarias para el tratamiento de las relaciones «... es menor que... », «... es mayor que...» y «…es igual a...».

Han aprendido a comparar conjuntos según su potencia y encontrar proposiciones acerca de comparaciones de conjuntos como por ejemplo: «dos círculos son menos que cinco círculos», «cinco círculos son más que dos círculos», «arriba hay tres círculos y abajo hay tres círculos», «arriba hay tantos círculos como abajo».

9

Los alumnos dominan los números del 1 al 5 y pueden escribir las cifras correspondientes.

Los alumnos deben aprender a comparar números entre sí, encontrar proposiciones como: «2 es menor que 5»; «5 es mayor que 2»; «3 es igual a 3».

Al Igual que en el tratamiento de los números naturales hay que desarrollar aquí un proceso de abstracción.

Es importante que antes de la comparación de dos números los alumnos realicen varias comparaciones de los conjuntos correspondientes. Deben reconocer que la comparación de conjuntos conduce siempre al mismo resultado, independientemente de las características de los elementos del conjunto, cuando los conjuntos que se comparan tienen la misma cantidad de elementos. Además, los alumnos deben reconocer en varias comparaciones de números, que un número es menor que otro exactamente cuando un conjunto representante de este número tiene menos elementos que el conjunto que representa al otro número.

Para ello se le muestran a los alumnos, primeramente, ejemplos que conduzcan a proposiciones como «dos círculos son menos que cinco círculos», «dos triángulos son menos que cinco triángulos», «dos rayas son menos que cinco rayas». Los alumnos deben reconocer: «Dos cosas son siempre menos que cinco cosas», independientemente de la estructura característica de estas cosas. Con ello se prepara el paso esencial hacia la abstracción, el paso hacia la comparación de los números naturales.

Decimos: «El número 2 es menor que el número 5» ó «2 es menor que 5».

Entonces se comparan entre sí representantes de otros pares de números: «Tres autos son menos que cuatro autos» y se afirma:

«3 es menor que 4». Se introduce el signo relación «<», y los alumnos aprenden a escribir: 3 <4.

«Si 3 es menor que 4, entonces 4 es mayor que 3». Entonces se introduce el signo de relación «>» y los alumnos escriben: 4> 3.

Se puede ayudar a los alumnos a diferenciar los signos «<» y «>» diciéndoles que el vértice de cada uno de ellos señala siempre hacia el menor de dos números.

Los intentos por ilustrar estos signos no son recomendables, ya que ellos no son el resultado de una abstracción, sino de un convenio.

En los ejercicios se fijan los nuevos conocimientos.

Dos conjuntos que no son equipotentes se comparan entre sí según su potencia; los alumnos mencionan o escriben una desigualdad.

Los alumnos comparan dos números, mencionan o escriben la desigualdad correspondiente, representan después los números con ayuda de conjuntos y comprueban mediante una comparación de conjuntos la exactitud de la proposición planteada.

10

Hay que decir a los alumnos que ellos tienen que aprender a diferenciar en cada caso dos números entre sí, y aquí tenemos, precisamente, tres casos: o bien dos números no son iguales, entonces uno es menor o mayor que el otro, o dos números son iguales. Con ejercicios apropiados se vencen rápidamente las dificultades señaladas.

Tratamiento del orden de los números naturales y de la relación de sucesión

Con ayuda de la relación «... es menor que...» es posible hacer conciencia en los alumnos del orden de los números naturales. Esto tiene lugar después del tratamiento de los números naturales del 1 al 5.

Mediante la comparación, los alumnos determinan que de los números del 1 al 5, el número 1 es el menor, el número 2 el menor de los números restantes, que el número 3 es menor que los números 4 y 5 y finalmente que 4 es menor que 5. Por medio del ordenamiento de los números naturales que ya conocen, hasta formar una sucesión, los alumnos reciben una explicación para el conteo con ayuda de los numerales «uno» hasta «cinco». Aprenden a señalar qué número se encuentra «antes» y cuál «después», en esa sucesión.

En la elaboración de los números naturales del 6 al 10 con ayuda de la adición de un elemento a cada conjunto que sirvió de ilustración al número anterior, los alumnos aprenden a ver cada nuevo número como sucesor del tratado anteriormente. La sucesión de los números naturales conocidos por los alumnos se amplía.

Conjuntamente se introducen los conceptos “Antecesor y Sucesor”. El hecho de que cada número natural tenga exactamente un sucesor se expresa con el uso del artículo determinado en proposiciones como: 7 es el sucesor de 6.

Con cada nuevo número se amplía también la sucesión de numerales correspondientes a la sucesión de números.

En los ejercicios de conteo se fijan los conocimientos de los alumnos acerca del orden de los números naturales.

Como conteo puede comprenderse la simple mención de la sucesión de numerales. El alumno menciona constantemente el sucesor correspondiente del último número. En el conteo regresivo menciona siempre, comenzando por un número determinado, el antecesor correspondiente del último número mencionado.

Conteo puede significar también otra cosa.

En la mención de la sucesión de numerales, comenzando por el alumno se hace corresponder a cada elemento de un conjunto exactamente un numeral. Cada numeral utilizado señala, en el sentido de la numeración, aquel elemento del conjunto observado al cual se hará corresponder y, al mismo tiempo, expresa la cantidad de elementos del conjunto observado, a los cuales se le ha coordinado ya un numeral. El último de los numerales necesitados señala cuántos elementos tiene el conjunto.

11

En este conteo se manifiesta claramente el doble carácter del número natural como número cardinal y número ordinal.

En qué sentido se debe comprender el requerimiento conteo, se expresa regularmente mediante otras indicaciones o mediante la situación en la que se plantea.

Ejemplos:

a) Cuenta hasta ocho. Cuenta regresivamente a partir de ocho.

b) Cuenta los cuadros del aula.

Con ayuda de la comparación de números los alumnos pueden ordenar en una sucesión los números que conocen. Para ello le sirven los conocimientos de la sucesión de estos números y de los numerales correspondientes en la comparación de los números. Un número, cuyo numeral se encuentra en la sucesión de numerales ante que el numeral de otro número, es el menor de ambos números.

Los conocimientos de los alumnos acerca del orden de los números naturales se resumen nuevamente, después del tratamiento de los números del 1 al 10.

Los números del 1 al 10 se ordenan. Se hacen ejercicios en la determinación del antecesor y sucesor de un número dado.

Introducción de los numerales ordinales.

En la elaboración y fijación de los números naturales del 1 al 10 los alumnos han hecho corresponder, en cada caso, números a los conjuntos que los representan.

Ahora deben aprender a señalar conscientemente cada uno de los elementos de los conjuntos dados con numerales o hacerlos corresponder a sus numerales de orden.

Hay que enseñar a los alumnos que en un conjunto de elementos no ordenados, lo primero es establecer un orden para poder coordinar unívocamente a cada uno de los elementos de este conjunto un número natural, si se quiere realizar con ellos una numeración.

En relación con la enumeración de los elementos de un conjunto se introducen los numerales ordinales. Para indicar por ejemplo. Cuál es el tercer elemento de un conjunto, el alumno tiene que determinar primeramente la forma en que está ordenado el conjunto observado, sólo después puede señalar el elemento mencionado. Para determinar qué pelota de un conjunto de ellas es verde, primero tiene que determinar la forma en que el conjunto está ordenado; sólo después puede contestar la pregunta planteada.

De acuerdo con el orden dado puede decir: “La tercera pelota de la izquierda es verde” o “la quinta pelota de la derecha es verde”, o “la cuarta pelota de arriba (abajo, delante, detrás) es verde”.

12

Las preguntas del maestro que llevan hacia esas respuestas tienen que ser, de acuerdo con el orden determinado para el conjunto correspondiente, aproximadamente así: ¿Qué pelota, a partir de la izquierda (derecha...), es verde?.

Al igual que estas preguntas los requerimientos para señalar un elemento determinado de un conjunto contiene también, junto al numeral de orden, una indicación para ordenar este conjunto, sea el caso: “muestra el tercer círculo de la derecha (izquierda)”

Para la práctica en el uso de los numerales ordinales y de los signos correspondientes se pueden utilizar:

La determinación de un elemento de un conjunto ordenado, cuando se ha dado el numeral ordinal.

La determinación de un elemento de un conjunto ordenado.

La indicación del numeral ordinal para el elemento dado de un conjunto ordenado.

La indicación de un elemento dado de un conjunto ordenado.

En estos ejercicios se parte de que los principios para ordenar los conjuntos de objetos empleados son conocidos o se han señalado. Después se realiza la correspondencia entre los elementos y numerales de orden o cifras.

Posibles y lógicos son también los ejercicios en los cuales los alumnos deben señalar la forma en que está ordenado un conjunto, cuando algunos elementos determinados de este conjunto se han señalado con numerales ordinales o con cifras.

Ejercitación para la fijación de los números del 1 al 10.

El éxito del aprendizaje de la Matemática en los grados inferiores está determinado por la ejercitación intensiva y efectiva. Esto es válido especialmente para las primeras clases del primer grado.

Por medio de una estructuración interesante y variada de la ejercitación se logra que todos los alumnos trabajen activamente con la materia de enseñanza. En el tratamiento de los números naturales del 1 al 10 existen condiciones adecuadas desde el punto de vista del contenido de la clase:

Los alumnos tienen oportunidad de trabajar con sus medios de trabajo.

En el trabajo con los conjuntos se presentan ocasiones numerosas para la expresión oral.

El conocimiento de la cifra, los signos de relación.

<, >, = y el signo + hace posible también la realización de ejercicios escritos.

En estas formas de trabajo se realizan los ejercicios siguientes:

Comprensión

13

Se hacen corresponder conjuntos a números dados. Se mencionan los numerales correspondientes y las cifras.

Determinados elementos de conjuntos ordenados se hacen corresponder a los numerales ordinales respectivos. Se mencionan los numerales ordinales y se escriben las cifras correspondientes con puntos.

Representación

A numerales o cifras dadas se hace corresponder los conjuntos correspondientes de objetos.

A numerales ordinales o cifras con puntos dados se hacen corresponder determinados elementos de conjuntos ordenados.

Lectura y escritura

A numerales dados se hacen corresponder sus símbolos (cifras).

A cifras dadas se hacen corresponder numerales.

Comparación

Conjuntos de objetos se comparan según su potencia.

Se comparan números naturales. Aquí se mencionan y escriben igualdades y desigualdades.

Determinación de antecesor y sucesor

Se busca el antecesor de un número natural dado a, 1 < a <10.

Se busca el sucesor de un número dado a, 1 < a < 10.

Conteo progresivo y regresivo.

Unión y descomposición de conjuntos

Siempre se unen dos conjuntos disjuntos. A cada uno de los ejemplos se hacen corresponder igualdades de la forma a + b = c; se escriben las igualdades.

Se descomponen conjuntos de 2 subconjuntos disjuntos propios. Se hacen corresponder a los ejemplos igualdades de la forma c = a + b; se escriben las igualdades.

Los ejercicios de unión de conjuntos y de adición están subordinados al objetivo de la fijación y de la elaboración de los números naturales. En el primer encuentro de los alumnos con la adición, a continuación del tratamiento de los números naturales hasta 5 no se trata aún de que aprendan a calcular y de que dominen los ejercicios básicos. Esta tarea debe realizarse en el tratamiento de adición y sustracción hasta 10, que continúa el tratamiento de los números naturales del 1 al 10.

Todos los contenidos de los ejercicios señalados aquí no son importantes solamente para la fijación de los números naturales hasta 10, sino también para la fijación de números mayores que se tratarán posteriormente.

14

El trabajo con los números naturales se continúa cuando se tratan las operaciones adición y sustracción y los alumnos memorizan los primeros ejercicios básicos.

Posibilidades para la elaboración del número cero.

En el tratamiento del asunto adición y sustracción hasta 10 se encuentra un complemento importante de los conocimientos de los alumnos con respecto a los números naturales, el tratamiento del número cero.

El número cero puede introducirse como:

Número cardinal del conjunto vacío.

Clases de todas las diferencias entre dos números naturales iguales.

El conjunto vacío no contiene elemento alguno y por ello no puede utilizarse como base intuitiva para la obtención de un número natural.

El proceso de formación del conjunto vacío como conjunto diferencia de dos conjuntos idénticos, sí se puede ilustrar.

El conjunto vacío, es el conjunto de todos los círculos que quedan cuando de 5 círculos se tachan 5 círculos, es el conjunto de todas las manzanas que quedan cuando de 3 manzanas se come 3 manzanas.

Después de un repaso de los ejercicios de sustracción conocidos se incluye también en la práctica aquellos ejercicios en los cuales el minuendo y el sustraendo son iguales. El conjunto diferencia de los representantes del minuendo y el sustraendo es vacío. En este caso la diferencia no puede expresarse por medio de un número natural conocido de antemano.

Se hace necesaria la introducción de un nuevo número natural, el número 0.

También se introduce la cifra «0».

Para el proceso de abstracción es importante que se observen varias diferencias de dos números Iguales.

Después de su elaboración se relaciona el número natural 0 con los otros números naturales conocidos. Se afirma que el número 0 es menor que todos los demás números, que él es el menor número natural. Los alumnos aprenden a ver el número 0 como antecesor de 1 y el número 1 como sucesor del número 0.

El número 0 se incluye en los ejercicios de adición y sustracción. Los alumnos reconocen que una suma de dos sumandos, de los cuales uno es igual a 0, es igual al otro sumando; que una diferencia con el sustraendo 0 es igual al minuendo. Después que los alumnos han conocido el número 0 se introduce el rayo numérico como medio para la representación de números naturales.

Esta introducción puede producirse en dos fases.

Primeramente se señalan en una recta varios segmentos de igual longitud. Ahora puede ilustrarse un número natural mediante un segmento que tiene una cantidad correspondiente de segmentos unidad.

15

También en la representación siguiente puede hacerse corresponder a un número natural determinado un conjunto de segmentos de igual longitud como representantes.

Ahora un número natural no se representa más por un conjunto, sino que a él le corresponde únicamente un punto sobre una recta.

Aquí los puntos tienen la misma distancia entre si, al punto inicial se le hace corresponder el número 0, a los puntos siguientes se les hace corresponder los números naturales 1, 2, 3…

Si un alumno debe ilustrar el número 5 en la recta numérica, entonces debe señalar el punto designado con 5.

Este segmento, ilustra un segmento de la sucesión de los números naturales. De dos puntos de la recta numérica, el que se encuentra más a la derecha corresponde siempre al mayor de los dos números en cuestión.

El sucesor de 5 es 6 el sucesor de un número natural dado puede hallarse fácilmente.

16