Tránsito de Avenidas 2
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Facultad de Ingeniería
Escuela Académico Profesional de Ing. Hidráulica.
pág. 1 HIDROLOGIA GENERAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA HIDRÁULICA
DOCENTE: ING. VASQUEZ RAMIREZ Luis
ALUMNOS: ESPINO CALLA, Deyni Judith
GUERRERO MARTINEZ, Jeiner
MURGA LOPEZ, Wilma Edelvina.
SANCHEZ PEÑA, Adriana Lisseth.
TEMA : TRÁNSITO DE AVENIDAS EN PRESAS.
CURSO : HIDROLOGÍA GENERAL.
CICLO : VI
Cajamarca 21 de octubre del 2015
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Facultad de Ingeniería
Escuela Académico Profesional de Ing. Hidráulica.
pág. 2 HIDROLOGIA GENERAL
INDICE
I. INTRODUCCION ................................................................................................. 3
II. OBJETIVOS. ..................................................................................................... 4
III. MARCO TEORICO ........................................................................................... 5
A. PRESA. .............................................................................................................. 5
a. ELEMENTOS DEL SISTEMA PRESA – EMBALSE. ................................... 5
B. TRÁNSITO DE AVENIDAS. ............................................................................ 6
1. Definición: ...................................................................................................... 6
2. TRÁNSITO DE AVENIDAS EN VASOS. ..................................................... 7
2.1. Ecuación de continuidad ............................................................................ 10
2.2. Método de solución. .................................................................................. 11
2.2.1. Integración numérica: método de Runge – Kutta. ................................... 11
2.2.2. Método semigráfico. .............................................................................. 12
2.2.3. Método numérico ................................................................................... 16
3. Tránsito de avenidas en causes. ........................................................................ 17
3.2. Métodos de tránsito de avenidas en cause .................................................. 17
a. En el tránsito de flujo distribuido o tránsito hidráulico. ................................. 17
b. En el tránsito de flujo agrupado o tránsito hidrológico................................... 18
MÉTODO MUSKINGUM ............................................................................ 19
EJEMPLOS: ................................................................................................. 22
IV. CONCLUSIONES ........................................................................................... 24
V. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 25
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pág. 3 HIDROLOGIA GENERAL
I. INTRODUCCION
Las presas son obras hidráulicas que se oponen al paso del agua en una corriente o cuerpo
de agua, mediante una cortina. Pueden tener diferentes fines, como almacenar, derivar
y/o para protección, además, el recurso hídrico puede ser aprovechado para diferentes
usos, como agrícola, pecuario, domestico, público urbano, generación de energía
eléctrica, etc., por lo que las presas son necesarias en el desarrollo de las poblaciones. Sin
embargo, en ocasiones son construidas aguas arriba de asentamientos humanos y áreas
productivas que podrían ser afectados ante una falla, o en otros casos se propician
asentamientos cerca de estas obras, en zonas que podrían ser catalogadas de alto riesgo.
Estas son algunas de las razones de la gran importancia de la seguridad de las presas.
Desde el punto de vista hidrológico, la seguridad radica en la capacidad de la presa para
controlar una avenida, entendiéndose avenida como el incremento de los gastos o niveles
del agua, por arriba de los valores medios, ocasionados regularmente por una tormenta.
El control entonces está en función básicamente de la capacidad del vaso y de la obra de
excedencias, y de estos dos aspectos el que puede ser más fácilmente manipulado en
cuanto a sus dimensiones es la obra de excedencias, por lo que el diseño de esta es
fundamental para la seguridad hidrológica de una presa.
Por lo tanto, para el diseño o revisión de las obras de excedencias se debe realizar el
análisis del tránsito o paso de una avenida máxima probable por el vaso, buscando las
dimensiones óptimas del vertedor, tales como la longitud y altura de la cresta a la corona,
de tal manera que se obtenga el mejor funcionamiento hidráulico y menor costo de la
obra. (Peñaloza y González .2014).
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pág. 4 HIDROLOGIA GENERAL
II. OBJETIVOS.
Describir el propósito y las aplicaciones del tránsito de avenidas.
Describir los conceptos de almacenamiento y descarga, y de onda de crecida.
Describir las principales categorías de flujo y su impacto en la elección del
método de cálculo de tránsito de avenidas.
Usar las curvas de gastos para determinar la relación nivel-caudal.
Explicar el enfoque de almacenamiento en cuña y prisma, específicamente en
el contexto de los métodos basados en Muskingum.
Identificar la diferencia entre los métodos hidráulico e hidrológico para
calcular el tránsito de avenidas, y saber cuándo usar uno u otro.
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pág. 5 HIDROLOGIA GENERAL
III. MARCO TEORICO
A. PRESA.
En ingeniería se denomina presa o represa a un muro grueso de piedra u otro material, como
hormigón; material suelto o granular, que se construye a través de un río, arroyo o canal para
almacenar el agua y elevar su nivel, con el fin de regular el caudal, para su aprovechamiento en
el riego de terrenos, en el abastecimiento de poblaciones o en la producción de energía mecánica.
a. ELEMENTOS DEL SISTEMA PRESA – EMBALSE.
El embalse: es el volumen de agua que queda retenido por la presa.
El vaso: es la parte del valle que, inundándose, contiene el agua embalsada.
La cerrada: es el punto concreto del terreno donde se construye la presa.
La presa: propiamente dicha, cuyas funciones básicas son, por un lado garantizar la
estabilidad de toda la construcción, soportando un empuje hidrostático del agua muy
fuerte, y por otro no permitir la filtración del agua hacia abajo.
A su vez, en la presa se distingue:
Los paramentos: el interior, que está en contacto con el agua, y el exterior.
La coronación: es la superficie que delimita la presa superiormente.
Los estribos: los laterales, que están en contacto con las paredes de la cerrada.
La cimentación: la superficie inferior de la presa, a través de la cual descarga su peso al
terreno.
El aliviadero o vertedero: es la estructura hidráulica por la que rebosa el agua cuando la
presa se llena.
Las tomas: son también estructuras hidráulicas pero de mucha menos entidad y son
utilizadas para extraer agua de la presa para un cierto uso, como puede ser abastecimiento
a una central hidroeléctrica o a una ciudad.
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La descarga de fondo: permite mantener el denominado caudal ecológico aguas abajo de
la presa.
Las esclusas: que permiten la navegación "a través" de la presa.
La escalera de peces: que permite la migración de los peces.
En otros términos presa es una barrera artificial que se construye en algunos ríos para embalsarlos
y retener su caudal. Los motivos principales para construir presas son concentrar el agua del río
en un sitio determinado, lo que permite generar electricidad, regular el agua y dirigirla hacia
canales y sistemas de abastecimiento, aumentar la profundidad de los ríos para hacerlos
navegables, controlar el caudal de agua durante los periodos de inundaciones y sequía, y crear
pantanos para actividades recreativas. Muchas presas desempeñan varias de estas funciones.
B. TRÁNSITO DE AVENIDAS.
1. Definición:
El tránsito de avenidas es un procedimiento matemático para predecir el cambio en
magnitud, velocidad y forma de una onda de flujo en función del tiempo (Hidrograma de
Avenida), en uno o más puntos a lo largo de un curso de agua (Cauce o canal).
El curso de agua puede ser un río, una quebrada, un canal de riego o drenaje, etc. y el
hidrograma de avenida puede resultar del escurrimiento producto de la precipitación y/o
deshielo, descargas de un embalses etc.
En 1871, Barré de Saint Venant formuló la teoría básica para el análisis unidimensional
del flujo transitorio o no permanente, sin embargo para obtener soluciones factibles que
describan las características más importantes de la onda de flujo y su movimiento, es
necesario realizar simplificaciones de dichas ecuaciones. (Chavarri, E. 2008).
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pág. 7 HIDROLOGIA GENERAL
2. TRÁNSITO DE AVENIDAS EN VASOS.
(Díaz, S.2006).Un almacenamiento de agua superficial puede ser natural o construido por
el ser humano, como son las presas y bordos. Su característica básica es que puede
transformar una entrada de agua intensa y de corta duración, en un volumen de
almacenamiento. Esto puede ser utilizado para beneficiar a la sociedad en dos aspectos
centrales que se incluyen en la política de operación de un cuerpo de agua superficial:
1. El incremento de la disponibilidad del agua superficial, que puede durar desde
unas semanas, con la finalidad de cubrir las necesidades de los usuarios en el
estiaje siguiente, o si las condiciones topográficas, geológicas e hidrológicas lo
permiten, hasta de varios años, para cubrir los requerimientos durante periodos de
baja precipitación o incluso de sequía.
2. Protección contra inundaciones, donde se aprovecha el almacenamiento para
atenuar aquella parte del hidrograma de una avenida que supera durante un
intervalo temporal dado la capacidad hidráulica del cauce, protegiendo de esta
manera las zonas ribereñas aledañas, así como las de aguas abajo.
En general, los almacenamientos superficiales están constituidos por los elementos
siguientes:
Las corrientes de alimentación
El vaso donde se almacena el agua vertida
La zona de contracción u obstrucción donde se provoca el remanso
El cauce o canal de salida.
Cada uno de estos elementos se caracteriza como se indica a continuación:
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1. Los cauces de entrada: se caracterizan a través de un hidrograma, el cual se
obtiene por medio de técnicas hidrológicas en las que se definen el gasto pico, así
como los tiempos de pico y de descarga. De manera implícita se incluyen las
características hidráulicas y geométricas del cauce.
2. La capacidad del vaso: depende de la topografía que forma su fondo, por lo tanto
su caracterización se obtiene a partir de una curva de capacidades o volúmenes –
áreas del espejo de agua – elevaciones. Generalmente se obtiene de mapas
topográficos o mapas trazados a partir de la información generada por trabajos de
batimetría: se estima el área por cada curva de nivel y la capacidad o volumen se
calcula a partir de las áreas adyacentes.
3. La zona de contracción o de obstrucción: es la que define en parte la capacidad
de almacenamiento. En los almacenamientos naturales depende de las
características topográficas e hidráulicas del canal o cauce de descarga del vaso;
para las presas y bordos, la zona de obstrucción corresponde a la cortina.
4. Los cauces o canales de salida: se caracterizan a través de hidrogramas, con la
diferencia que son el resultado de la interrelación de los diferentes elementos, así
como de variables tales como volúmenes de extracción para diferentes usos,
evaporación, lluvia sobre el área del espejo del agua, infiltración, etc.
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Los elementos de un embalse se muestran en la ilustración siguiente:
Figura: Los elementos de un embalse
El análisis para obtener el resultado de interrelacionar los elementos de un
almacenamiento con los factores externos mencionados con anterioridad se denomina
tránsito de avenidas en vasos. Se trata de un procedimiento para determinar la variación
temporal del nivel del agua en un vaso conforme ocurren de manera simultánea las
diferentes variables involucradas. En este punto es necesario definir algunas de las cotas
de mayor interés en el funcionamiento de un almacenamiento.
Nivel de Agua Mínimo de operación, NAMin, es el límite inferior del volumen de
agua al que debe quedar el vaso para continuar llevando a cabo las actividades
relacionadas con su aprovechamiento
Nivel de Agua Máximo de Operación, NAMO, es el nivel donde se alcanza la
capacidad máxima del vaso.
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Nivel de Aguas Máximo Extraordinario, NAME, corresponde al
superalmacenamiento y está asociado a los niveles del agua donde los vertedores
de excedencias están operando.
El volumen muerto corresponde al espacio dedicado a la captación de los
sedimentos que serán arrastrados por las corrientes y que finalmente se
depositarán en el lecho; conforme se incrementa este volumen, la vida útil del
vaso disminuye.
Figura: se distingue los NAME Y NAMO
2.1. Ecuación de continuidad
La ecuación básica para determinar la variación temporal del almacenamiento de un
vaso, que depende tanto de las entradas como de las salidas, es la de continuidad, la cual
se muestra a continuación:
𝑑𝑣
𝑑𝑡= 𝐸 − 𝑆
Donde: 𝑑𝑣
𝑑𝑡= la variación del almacenamiento V en el tiempo t.
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E = I = es el gasto de entrada al vaso.
S = Q= es el gasto de salida del vaso. Incluye el gasto de salida por la obra
de excedencias y de toma.
Dicha expresión puede expresarse en diferencias finitas como:
𝑉𝑖+1 + 𝑉𝑖
𝛥𝑡=
𝐸𝑖+1 + 𝑉𝐸𝑖
2−
𝑆𝑖+1 + 𝑆𝑖
2… … … … … … … … … … … … 𝐸. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑
Los subíndices i e i+1 denotan valores al inicio y al final del intervalo de tránsito Δt,
respectivamente. Generalmente se recomienda que Δt sea menor o igual a una décima
parte del tiempo pico del hidrograma de entrada.
𝛥𝑡 ≤ 0.1𝑇𝑝
2.2.Método de solución.
2.2.1. Integración numérica: método de Runge – Kutta.
(Chow et al, 1988).El método de Runge–Kutta es un método numérico para resolver la
ecuación diferencial (ecuación de continuidad).
Pueden adoptarse varios esquemas de diferente orden, dependiendo del esquema de
integración seleccionado. En este trabajo se describe el esquema de tercer orden; se divide
cada intervalo de tiempo en tres incrementos y calcula valores sucesivos de la elevación
de la superficie del agua y el caudal de salida del embalse para cada incremento. Como
primer paso se plantea el cambio del volumen como una función de la elevación del vaso
o carga hidráulica.
.dV = A (H) dH……………… (1)
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Dónde: A (H) = es el área de la superficie del agua correspondiente a la elevación o
carga Hidráulica H.
La ecuación de continuidad entonces puede rescribirse como:
𝑑𝐻
𝑑𝑡=
𝐸(𝑡) − 𝑆(𝐻)
𝐴(𝐻)… … … … … … … . . (2)
Para un esquema de tercer orden, existen tres incrementos en cada intervalo de tiempo
Δt y se hacen tres aproximaciones sucesivas para el cambio en la carga hidráulica o
elevación dH, las cuales se muestran a continuación:
𝛥𝐻1 =𝐸(𝑡𝑖) − 𝑆(𝐻𝑖)
𝐴(𝐻𝑖)𝛥𝑡 … … … … … … … … … . . (3)
𝛥𝐻2 =𝐸 (𝑡𝑖 +
𝛥𝑡3 ) − 𝑆 (𝐻𝑖 +
𝛥𝐻1
3 )
𝐴 (𝐻𝑖 +𝛥𝐻1
3 )𝛥𝑡 … … … … … (4)
𝛥𝐻2 =𝐸 (𝑡𝑖 +
2𝛥𝑡3 ) − 𝑆 (𝐻𝑖 +
2𝛥𝐻1
3 )
𝐴 (𝐻𝑖 +2𝛥𝐻1
3 )𝛥𝑡 … … … … … (5)
El valor de 𝐻𝑖+1 está dado por:
𝐻𝑖+1 = 𝐻𝑖 + 𝛥𝐻…………………………………...........(6)
Con
𝛥𝐻 =𝛥𝐻1 + 3𝛥𝐻3
4… … … … … … … … … … … … … . . (7)
2.2.2. Método semigráfico.
El método semigráfico desarrollado por Hjelmfelt y Cassidy (1976) se ha estructurado a
través de dos etapas sucesivas.
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pág. 13 HIDROLOGIA GENERAL
a) Primera etapa
En esta etapa se procede a calcular y dibujar una figura auxiliar indispensable para usar
el método. La curva a obtener es (2V/Δt + O) contra O y para construirla se emplean las
curvas elevaciones-capacidades y elevaciones-gastos de salida de la forma siguiente:
1) Se selecciona el valor del incremento de tiempo Δt.
2) Se escoge una elevación y se obtiene el volumen V y el gasto de salida O.
Con los valores de V y O se calcula 2V/Δt + O.
3) En una gráfica se representa a 2V/Δt + O contra O.
4) El procedimiento se repite para otras elevaciones. La figura 7.4 indica el resultado
que se obtiene al graficar el número de parejas que se han seleccionado.
Figura: Curva 2V/Δt + O contra O.
Fuente: Principios y fundamentos de la hidrología superficial.
b) Segunda etapa
1. En esta etapa se aplica la secuencia que se menciona a continuación:
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Para las condiciones iniciales, se calcula el miembro izquierdo de la ecuación
continuidad. Su resultado es igual a:
2𝑉𝑖+1
∆𝑡+ 𝑂𝑖+1 = 𝐾
Donde K es una constante
3. Con el valor obtenido para las condiciones iniciales, se entra a la curva 2V/Δt +
O contra O como se muestra en la figura anterior y se encuentra el valor de
Oi+1. El valor de Vi+1 se calcula con:
𝑉𝑖 + 1 = (𝐾 − 𝑂𝑖 + 1)∆𝑡
2
4. Se considera a i+1 como i, es decir Ii+1, Oi+1 y Vi+1 pasan a ser Ii, Oi y Vi en
el instante siguiente. Se repite el procedimiento hasta terminar todos los valores
de interés del hidrograma de entrada.
5. El método puede sistematizarse tal como aparece en la tabla. El significado de
cada una de las siete columnas se describe a continuación.
Figura: Secuencia del cálculo para el método semigrafico.
Fuente: Principios y fundamentos de la hidrología superficial.
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Columna 1
t1 es igual al tiempo de inicio del tránsito, t2 es igual a t1+(i-1)Δt, para i =
2, 3, 4,..., n
Columna 2
Se anotan los valores de i desde 1 hasta el número de incrementos de tiempo que
interese.
Columna 3
Se escriben las ordenadas del hidrograma de entrada, correspondientes a los
tiempos ti, para i=1, 2, 3,..., n.
Columna 4
Se calcula la suma de Ii + Ii+1 y se apunta su valor en el renglón i. Las columnas
anteriores se llenan antes de comenzar con el método de tránsito. Como las
condiciones iniciales son conocidas, por tanto V1 y O1 son datos y en el primer
renglón de la columna 5 se escribe 2V1/Δt-O1.
Las columnas 5 a 7 se llenan por renglones. Se consideran conocidas las
variables con subíndice i y desconocidas aquellas con subíndice i+1.
Columna 5
Se anota el valor de 2V1/Δt-O1 del renglón 1. El valor del renglón j (para
j>1) se calcula al restar al valor de 2Vi+1/Δt+Oi+1 el de 2Oi+1 que aparece en
el renglón j-1.
Columna 6
Se suman los valores del renglón i de las columnas 4 y 5 y el resultado se escribe
en la columna 6 del mismo renglón. Con ello se conoce la magnitud de
2Vi+1/Δt+Oi+1 = K.
Columna 7
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pág. 16 HIDROLOGIA GENERAL
Con el valor de K se entra a la figura de 2V/Δt + O contra O. Se encuentra el
valor de Oi+1 del renglón i y se vuelve a empezar nuevamente el procedimiento.
2.2.3. Método numérico
El objetivo del método numérico es resolver la ecuación siguiente representada por:
𝑰𝒊 + 𝑰𝒊+𝟏 + (𝟐𝑽𝒊
∆𝒕− 𝑶𝒊) =
𝟐𝑽𝒊+𝟏
∆𝒕+ 𝑶𝒊+𝟏………….. Ecuación 1
Con el auxilio de un procedimiento del tipo predictor-corrector de la forma
siguiente:
1) Se conocen los valores Ii, Ii+1, Vi, Oi y Δt. Por consecuencia se puede
calcular el miembro izquierdo de la ecuación (1).
2) Se supone que Oi+1 = Oi
3) Con el valor de Oi+1 y la ecuación (1) se obtiene Vi+1
4) A partir de la curva elevaciones-gastos de salida, con el valor de Vi+1 se
encuentra la elevación Ei+1.
5) Con Ei+1 se entra a la curva elevaciones-gastos de salida y se calcula Oi+1
6) Se compara el valor de Oi+1, estimado en el paso 5, con el supuesto en el
paso 2:
a) si son aproximadamente iguales se ha encontrado el valor correcto de Oi+1 y
se va al paso 7;
b) si no son iguales, con el valor de Oi+1 calculado en el paso 5, se repite el
proceso desde el paso 3.
7). Si interesan las condiciones para el siguiente tiempo se considera que:
Ii+1 = Ii ; Oi+1 = Oi ; Vi+1 = Vi, y se va al paso 1.
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pág. 17 HIDROLOGIA GENERAL
8) El proceso termina cuando se ha realizado el cálculo para todos los intervalos
de tiempo.
3. Tránsito de avenidas en causes.
(Díaz, S.2006).El tránsito de avenidas en causes es el método por medio del cual se
determina la variación temporal y espacial de los tirantes en un tramo de acuse o canal
provocada por la ocurrencia de una avenida, la cual está caracterizada por un
hidrograma, es decir, el cambio temporal de los gastos(Aparicio 2003).
El tránsito de avenidas en causes puede ser útil para:
Determinar la capacidad máxima de conducción de un tramo particular.
Identificar las zonas susceptibles de inundación bajo diferentes
condiciones hidrológicas.
Diseñar las obras de protección y control tal como la elevación de bordos,
diques, espigones, taludes, etc.
3.2. Métodos de tránsito de avenidas en cause
Se pueden clasificar en:
a. En el tránsito de flujo distribuido o tránsito hidráulico: el flujo se
calcula también como una función de tiempo pero de manera simultánea
en varias secciones transversales a lo largo del curso de agua.
Los métodos hidráulicos se basan en la solución de las ecuaciones de
conservación de masa y cantidad de movimiento para escurrimiento no
permanente mostradas a continuación:
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pág. 18 HIDROLOGIA GENERAL
Conservación de masa:
𝑦𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝑦
𝜕𝑡=
𝑞
𝐵… … … … … … … … … … … . . (8)
Conservación de cantidad de movimiento:
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑔
𝜕𝑦
𝜕𝑥= 𝑔(𝑆0 − 𝑆𝑓) … … … … … … … (9)
Donde:
y = Tirante
v = Velocidad
q = Gasto lateral
B = Ancho de la superficie libre
𝑺𝟎 = Pendiente del fondo
𝑺𝒇 =Pendiente de fricción, donde se emplea Manning:
𝑆𝑓 =𝑣2𝑛2
𝑅𝐻
43
… … … … … … … … … (10)
Donde:
𝑅𝐻 = Radio hidráulico
𝑛 = Coeficiente de rugosidad.
𝑥 = Coordenada espacial.
𝑡 = Tiempo.
b. En el tránsito de flujo agrupado o tránsito hidrológico: el flujo se
calcula como una función del tiempo para todo un tramo a lo largo de un
curso de agua.
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pág. 19 HIDROLOGIA GENERAL
MÉTODO MUSKINGUM
(Sánchez, F. 2013). El tránsito en un tramo de un cauce responde a la misma
idea básica que hemos visto para un estanque o depósito. Posiblemente el
método más utilizado en cálculos manuales por su sencillez sea el de
Muskingum.
Figura N°:……………..
El almacenamiento (S) en un tramo del cauce puede descomponerse en dos
partes: almacenamiento en prisma, que sería proporcional al caudal de salida (Q)
y almacenamiento en cuña, que sería función de la diferencia entre el caudal de
entrada y el de salida (I-Q), ya que cuanto mayor sea esa diferencia, más
pronunciada será la cuña.
𝑆𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐾 ∗ 𝑄 … … … … (11)
𝑆𝑐𝑢ñ𝑎 = 𝑏 ∗ (𝐼 − 𝑄) … … … … (12)
Dónde:
𝑆 = almacenamiento en el tramo considerado de un cauce.
𝐼 = caudal de entrada en ese tramo.
𝑄 = caudal de salida de ese tramo.
K = constante para ese tramo de cauce referente al almacenamiento en prisma.
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pág. 20 HIDROLOGIA GENERAL
b = constante para ese tramo de cauce referente al almacenamiento en cuña.
Sumando las dos expresiones anteriores, se obtiene:
𝑆 = 𝑆𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 + 𝑆𝑐𝑢ñ𝑎
𝑺 = 𝐾𝑄 + 𝑏(𝐼 − 𝑄)
𝑺 = 𝑏𝐼 + (𝐾 − 𝑏)𝑄
𝑺 = 𝐾 [𝑏
𝐾𝐼 +
(𝐾 − 𝑏)
𝑘𝑄]
𝑺 = 𝐾 [𝑏
𝐾𝐼 + (1 −
𝑏
𝑘) ∗ 𝑄] … … … … … … … … (13)
Si denominamos 𝑋 a la relación 𝑏/𝐾 entre las dos constantes consideradas en las
ecuaciones 1 y 2, la expresión (13) resulta:
𝑺 = 𝑲[𝑿𝑰 + (𝑰 − 𝑿)𝑸] … … … … . (𝟏𝟒)
Dónde:
𝑋 = constante adimensional para ese tramo de cauce que asigna mayor o menor
importancia relativa al almacenamiento en cuña o en prisma.
Aplicamos (4) a dos tiempos consecutivos t1 y t2, separados por un intervalo ∆t:
𝑆1−𝑖 = 𝐾[𝑋𝐼1−𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄1−𝑖] … … … … . (14𝑎)
𝑆𝑖 = 𝐾[𝑋𝐼𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄𝑖] … … … … … … . (14𝑏)
Sustituimos las expresiones (4a) y (4b) en la ecuación de continuidad:
𝐼1−𝑖 + 𝐼𝑖
2−
𝑄1−𝑖 + 𝑄𝑖
2=
𝐾[𝑋𝐼𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄𝑖] − 𝐾[𝑋𝐼1−𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄1−𝑖]
∆𝑡… … … . . (14𝑐)
Y despejando Q2, resulta:
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pág. 21 HIDROLOGIA GENERAL
𝑄𝑖 = 𝐼𝑖
−𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡
𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡+ 𝐼1−𝑖
𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡
𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡+ 𝑄1−𝑖
𝐾 − 𝐾𝑋 − 0.5∆𝑡
𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … … … . (15)
Que para el cálculo del caudal de salida para el tiempo 𝑡𝑖 , se esquematiza así:
𝑸𝒊 = 𝑪𝟎𝑰𝒊 + 𝑪𝟏𝑰𝟏−𝒊 + 𝑪𝟐𝑸𝟏−𝒊 … … … … … … … … … … . . (𝟏𝟔)
Dónde:
𝐼1−𝑖 , 𝑄1−𝑖 =Caudales de entrada y salida al final del tiempo anterior.
𝐼𝑖 , 𝑄𝑖 = Caudales de entrada y salida tras este ∆tiempo.
𝐶0 =−𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡
𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … … … . . (17𝑎)
𝐶1 =𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡
𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … … … … (17𝑏)
𝐶2 =𝐾 − 𝐾𝑋 − 0.5∆𝑡
𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … . . … … . (17𝑐)
𝐾, 𝑋 = Constantes que dependen de cada tramo de cauce.
Con las ecuaciones 17a, 17b y 17c se multiplica por 2
2= 1, donde obtenemos:
𝐶0 =∆𝑡 − 2𝐾𝑋
2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡… … … (18𝑎)
𝐶1 =∆𝑡 + 2𝐾𝑋
2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡… … … (18𝑏)
𝐶2 =2𝐾(1 − 𝑋) − ∆𝑡
2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡… … … . (18𝑐)
Donde 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 1 𝑦 𝐾
3≤ ∆𝑡 ≤ 𝐾
𝐾 𝑦 𝑋 : Son determinados mediante calibración de hidrogramas observados de entrada
y salida de un tramo del río.
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pág. 22 HIDROLOGIA GENERAL
𝐾 =0.5∆𝑡[𝐼1−𝑖 + 𝐼𝑖 − (𝑄1−𝑖 + 𝑄𝑖)]
𝑋(𝐼𝑖 − 𝐼1−𝑖) + (1 − 𝑋)(𝑄𝑖 − 𝑄1−𝑖)… … … … (19)
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1: Supongamos que se dispone de los registros de los hidrogramas de entrada
y salida de un tramo de río.
t (dias) I (m3/s) Q (m3/s) t (dias) I (m3/s) Q (m3/s)
0 59 42 11 252 481
1 93 70 12 203 371
2 129 76 13 158 252
3 205 142 14 130 196
4 210 183 15 105 161
5 234 185 16 90 143
6 325 213 17 80 112
7 554 293 18 68 95
8 627 397 19 59 83
9 526 487 20 59 75
10 432 533
De la ecuación (10) tenemos los valores del numerador y denominador, donde el
Numerador es 0.5∆𝑡[𝐼1−𝑖 + 𝐼𝑖 − (𝑄1−𝑖 + 𝑄𝑖)] y el Denominador es 𝑋(𝐼𝑖 − 𝐼1−𝑖) +
(1 − 𝑋)(𝑄𝑖 − 𝑄1−𝑖)
t (dias) I (m3/s) Q (m3/s) Numerado
r suma
numerador Denominado
r
suma denominado
r
0 59 42 0 0 0 0
1 93 70 20 20 29.2 29.2
2 129 76 38 58 12 41.2
3 205 142 58 116 68 109.2
4 210 183 45 161 33.8 143
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Escuela Académico Profesional de Ing. Hidráulica.
pág. 23 HIDROLOGIA GENERAL
5 234 185 38 199 6.4 149.4
6 325 213 80.5 279.5 40.6 190
7 554 293 186.5 466 109.8 299.8
8 627 397 245.5 711.5 97.8 397.6
9 526 487 134.5 846 51.8 449.4
10 432 533 -31 815 18 467.4
11 252 481 -165 650 -77.6 389.8
12 203 371 -198.5 451.5 -97.8 292
13 158 252 -131 320.5 -104.2 187.8
14 130 196 -80 240.5 -50.4 137.4
15 105 161 -61 179.5 -33 104.4
16 90 143 -54.5 125 -17.4 87
17 80 112 -42.5 82.5 -26.8 60.2
18 68 95 -29.5 53 -16 44.2
19 59 83 -25.5 27.5 -11.4 32.8
20 59 75 -20 7.5 -6.4 26.4
Se encuentra para ∆𝑡 = 1 día, los valores de X = 0.2 y K = 1.834, según la siguiente
figura:
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pág. 24 HIDROLOGIA GENERAL
Los valores de C0, C1 y C2 serán:
C0 0.068
C1 0.441
C2 0.492
IV. CONCLUSIONES
Se determinó el propósito y aplicación del tránsito de avenidas.
Se diferenció los métodos a utilizar en el tránsito de avenidas.
Se diferenció tránsito hidráulico de tránsito hidrológico.
Se definió el concepto de elementos básicos de vasos de almacenamiento.
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pág. 25 HIDROLOGIA GENERAL
V. BIBLIOGRAFIA
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López, A; Ocampo, N y Maya, A. (2012). Tránsito de Avenidas en un Vaso. Series
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Ramírez, A y Aldama A. (2005). Solución analítica aproximada de la ecuación de
transito de avenidas en vasos. Instituto Mexicano de Tecnología del Agua.
México.122p.
Sánchez, F. (2013). Tránsito de Hidrogramas. Edit. Departamento de Geología
Universidad de salamanca. España 20p.