Transformada Z

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA ESCUELA DE INGENIERA MECATRNICA INGENIERA DE CONTROL DIGITAL

DOCENTE: ING. Luis Pacheco Cribillero APUNTES TRANSFORMADA Z

Transformada Z

En las matemticas y procesamiento de seales, la Transformada Z convierte una seal que est

definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de nmeros reales) en una

representacin en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podra llamar

"Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre ms adecuado para la TZ podra

haber sido "Transformada de Laurent", ya que est basada en la serie de Laurent. La TZ es a las

seales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las seales de tiempo continuo.

Definicin

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una

transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una seal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una funcin X(z)

que se define

donde n es un entero y z es, en general, un nmero complejo de la forma

z = Aej

donde A es el mdulo de z, y es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] est definida nicamente para n 0, la

transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de seales, se usa esta definicin cuando la seal es causal. En este caso,

la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge

"hacia afuera".

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la funcin de generacin de probabilidades, donde

x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la funcin X(z)

suele escribirse como X(s), ya que s = z1. Las propiedades de las transformadas Z son tiles en

la teora de la probabilidad.

Transformada Z inversa

La Transformada Z inversa se define

donde es un crculo cerrado que envuelve el origen y la regin de convergencia (ROC). El

contorno, , debe contener todos los polos de .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el crculo unidad (que

tambin puede usarse cuando la ROC incluye el crculo unidad), obtenemos la transformada

inversa de tiempo discreto de Fourier:



La TZ con un rango finito de n y un nmero finito de z separadas de forma uniforme puede ser

procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier

(DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el crculo

unidad.

Regin de convergencia (ROC)

La regin de convergencia, tambin conocida como ROC, define la regin donde la transformada-

z existe. La ROC es una regin del plano complejo donde la TZ de una seal tiene una suma

finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z

converge. Ya que la transformadaz es una serie de potencia, converge cuando x[n]z n es

absolutamente sumable.

Propiedades de la Regin de Convergencia:

La regin de convergencia tiene propiedades que dependen de la caracterstica de la seal, x[n].

La ROC no tiene que contener algn polo. Por definicin un polo es donde x[z] es infinito.

Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir

ningn polo para ROC.

Si x[n] es una secuencia de duracin finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en

|z|=0 o |z|=.

Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el

ultimo polo desde x[z].

Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro

desde el polo ms cercano en x[z].

Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que est

restringida en su interior y exterior por un polo.

Ejemplo 1 (Sin ROC)

Sea . Expandiendo en obtenemos

Siendo la suma

No hay ningn valor de que satisfaga esta condicin.

Ejemplo 2 (ROC causal)

ROC muestra en azul, el circulo es un punto gris y el

crculo muestra del crculo.



Sea (donde u es la funcin escaln). Expandiendo en

obtenemos

Siendo la suma

La ltima igualdad se obtiene con la frmula del sumatorio para series geomtricas, y la igualdad

slo se conserva si , lo cual puede ser reescrito para definir de modo .

Por lo tanto, la ROC es . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al crculo de

radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

ROC muestra en azul, el crculo unitario como un punto

gris circular i el circulo exterior muestra del

crculo.

Sea (donde u es la funcin

escaln). Expandiendo entre obtenemos

Siendo la suma

De nuevo, usando la frmula de sumatorio para series geomtricas, la igualdad slo se mantiene

si , de modo que podemos definir como . Aqu, la ROC es , es

decir, el interior de un crculo centrado en el origen de radio 0,5.

Conclusin de los ejemplos

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada de es nica si y slo si

se especifica cul es la ROC. Dibujando los grficos de polos y ceros para los casos causal y

anticausal, comprobaramos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que est en 0,5.

Esto se extiende a los casos con mltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye , mientras que al sistema

anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye .

En los sistemas con mltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni ni

. La ROC crea una regin circular. Por ejemplo,



tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC ser , la cual no incluye ni el origen ni el

infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que

contiene un trmino causal y otro anticausal .

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC

contiene el crculo unidad (p. ej. ) entonces el sistema es estable. En los sistemas

anteriores, el sistema causal es estable porque contiene el crculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un ambiguo) podemos determinar una

nica seal en funcin de que queramos o no las siguientes propiedades:

Estabilidad

Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el crculo unidad. Si queremos un sistema

causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe

contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una seal en el tiempo que sea nica.

Propiedades

Linealidad. La TZ de una combinacin lineal de dos seales en el tiempo es la

combinacin lineal de sus transformadas en Z.

Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del

tiempo es una multiplicacin por zk en el dominio de Z.

Convolucin. La TZ de la convolucin de dos seales en el tiempo es el producto de

ambas en el dominio de Z.

Diferenciacin.

Tabla con los pares ms habituales de la transformada Z

Seal, x(n) Transformada Z, X(z) ROC

1

2

3

4

5



6

7

8

9

10

Relacin con Laplace

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la seal muestreada

donde es la seal continua muestreada, la n-sima muestra, el perodo

de muestreo, y con la sustitucin .

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la

seal ideal muestreada. En ambas se asume que la seal muestreada vale cero para todos los

ndices negativos en el tiempo.

Relacin con Fourier

La TZ es una generalizacin de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT

puede hallarse evaluando la TZ en o, lo que es lo mismo, evaluada en el crculo

unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el

crculo unidad. 001

Ecuacin diferencial de coeficientes lineales constantes

La ecuacin diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representacin de un

sistema lineal basada en la ecuacin de la media autorregresiva.

Ambos trminos de esta ecuacin pueden dividirse por , si no es cero, normalizando

la ecuacin LCCD puede ser escrita

Esta forma de la ecuacin LCCD es ms explcita para comprobar que la salida actual se

define en funcin de las salidas anteriores , la entrada actual , y las entradas

anteriores .



Funcin de transferencia

Se calcula haciendo la TZ de la ecuacin

y dividiendo

Ceros y polos

Gracias al teorema fundamental del lgebra sabemos que el numerador tiene M races (llamadas

ceros) y el denominador tiene N races (llamadas polos). Factorizando la funcin de transferencia

donde es el k-simo cero y es el k-simo polo. Los ceros y polos son por lo general

complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuacin obtenida de igualar el numerador a cero,

mientras que los polos son las de la ecuacin que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposicin en fracciones simples, las cuales

pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta

al impulso y la ecuacin diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Salida del sistema

Si por un sistema pasa una seal entonces la salida ser .

Haciendo una descomposicin en fracciones simples de y la TZ inversa de cada una de

ellas puede encontrarse entonces la salida .

CAPITULO 11 LA TRANSFORMADA Z

11.1 Introduccin. La transformada Z es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de

Laplace en tiempo continuo.

Tal como se seal en el Captulo 6, en la prctica aparecen muchas seales de tiempo discreto

mediante el muestreo de una seal de tiempo continuo x(t).

En las secciones 11.2 y 11.3 se define la transformada Z de una seal de tiempo discreto X[n] y

despus se estudian las propiedades bsicas de la transformada Z. En las secciones 11.4 y 11.5

se estudia la transformada Z inversa y se utiliza el mtodo de la transformada inversa para la

solucin de ecuaciones en diferencias. Con el mtodo de la transformada Z, las soluciones a las

ecuaciones en diferencias se convierten en un problema de naturaleza algebraica.

La transformada Z hace posible el anlisis de ciertas seales discretas que no tienen

transformada de Fourier en tiempo discreto; pudindose demostrar que la transformada Z se

reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformacin es

unitaria sea cuando |Z| = 1 .

11.2 La Transformada Z



La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:

donde Z es una variable compleja. Otra notacin para la sumatoria es Z( X[n] ). Si la secuencia es

causal, la transformada Z se convierte en :

Esta transformada se llama unilateral, para distinguirla de la primera definicin que toma el

nombre de la transformada Z bilateral.

La transformada Z unilateral es de gran utilidad en el anlisis de sistemas causales, especificados

por ecuaciones en diferencias, con coeficientes constantes y con condiciones iniciales, es decir,

aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo.

Ejemplo 1

Halle X[Z] si X[n]=d [n].

Solucin

Se define

por consiguiente,

o sea,

X[Z] = 1Z0 = 1.

Ejemplo 2

Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos. Hallar

X[Z].

Solucin

Ac,

por consiguiente,

Sabiendo que

se tiene,



S el periodo de muestreo T = 1, se tiene

Ejemplo 3

Sea

Halle X[Z].

Solucin

por tanto,

como

es una serie geomtrica, la expresin para

X[Z] slo es vlida s

|1/3Z-1| < 1

sea que |Z-1| < 3, y por tanto |Z| > 1/3. La

anterior ecuacin, define la regin de

convergencia de X[Z] en el plano complejo

as:

Ejemplo 4

Dada X[Z] como,

Halle X[Z].

Solucin

Si se hacen los siguientes cambios de variables:

n = -m en la primera sumatoria



n = 2m en la segunda sumatoria

n = 2m + 1 en la tercera sumatoria se tiene :

Se trata de tres series geomtricas que convergen s:

|1/3Z| < 1 o sea |Z| < 3

|1/9Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/3

|1/4Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/2

El intervalo de convergencia de X[Z] ser la interseccin de los tres intervalos anteriores, o sea

1/2 < |Z| < 3.

por tanto:

Ejemplo 5

Si X[n] = U[n] , halle X[Z].

Solucin

Se sabe que:

por tanto,

que es una serie geomtrica que converge si |Z-1| < 1 o sea si |Z| > 1.

Ejemplo 6

Halle la transformada Z de



Siendo a una constante.

Solucin

converge si |aZ-1| o sea si |Z| > a.

Ejemplo 7

Si

y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X[t] cada T segundos. Halle X[Z].

Solucin

Se sabe que

por tanto,

por el ejemplo 2, se sabe que la transformada de X[n]=l-ant es

por tanto, en este caso se tiene:



En la siguiente tabla se escriben las transformadas Z de las principales secuencias discretas.

X[n] con n 0 X[Z] Radio de Convergencia |Z| >

R

d[n] 1 0

Z-m 0

U[n]

1

n

1

n2

1

an

|a|

nan

|a|

(n+1)an

|a|

1

1



11.3 Propiedades de la Transformada Z

11.3.1 Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z],

entonces:

Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]

siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.

11.3.2 Desplazamiento temporal.Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z].

Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :

Simultneamente, se puede demostrar que

Ejemplo 8

Considere la ecuacin en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y la condicin inicial y[-1]=3. Halle y[n]

para n0.

Solucin

Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuacin, y usando la propiedad de

desplazamiento temporal, se tiene:

Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]+y[-1]Z)=1

Por tanto,

Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n

11.3.3 Multiplicacin por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de

anX[n] est dada por X[a-1Z].

Demostracin

En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para n



es decir

entonces

11.3.4 Diferenciacin con respecto a Z. Si se deriva la expresin

que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se tiene:

De la expresin anterior se deduce que:

Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:

Ejemplo 10

Sea y[n]=n(n+1)U[n], halle y[Z].

Solucin

y[n] se puede escribir como y[n]=n2U[n]+nU[n]

Aplicando el teorema anterior se tiene:

Por tanto,



11.3.5 Teorema del Valor inicial. Dada una secuencia causal X[n] se tiene que

Desarrollando la sumatoria, se tiene que

X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n

Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto,

Ejemplo 11

Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya transformada Z es

Solucin

Se puede observar que X[n]=U[n]

11.3.6 Teorema del Valor final. Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el

valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresin:

siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.

La demostracin se deja al lector.

Ejemplo 12

Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:

Solucin

Aplicando el Teorema del Valor final se tiene:

Hay que hacer notar que

es la transformada Z de X[n]=4-nU[n]

11.3.7 Convolucin. La convolucin de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es ms que el

producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]

En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la

respuesta al impulso, entonces se tendr que:



Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z]

donde H[Z] es la transformada de h[n].

Para obtener la salida y[n] bastar hallar la transformada inversa de y[Z] .

Ejemplo 13

Dadas las secuencias X[n]={1,3,-1,-2} y la respuesta la impulso h[n]={1,2,0,-1,1}en un sistema

lineal invariante con el tiempo.

Hallar la salida y[n].

Solucin

y[n]=X[n]*h[n]

Aplicando la propiedad de convolucin se tiene que:

y[Z]=X[Z]H[Z] donde

X[Z]=1+3Z-1-Z-2-2Z-3

H[Z]=1+2Z-1-Z-3+Z-4

Por tanto y[Z]=1+5Z-1+5Z-2-5Z-3-6Z-4+4Z-5+Z-6-2Z-7

Por tanto, la secuencia de salida es: y[n]={1,5,5,-5,-6,4,1,-2}

11.4 La Transformada Z inversa. La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto

juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo.

Para que la transformada Z sea til, se debe estar familiarizado con los mtodos para hallar la

transformada Z inversa.

La notacin para la transformada Z inversa ser Z-1. La transformada Z inversa de X[Z] da como

resultado la correspondiente secuencia X[n].

Existen cuatro mtodos para obtener la transformada Z inversa y sern:

1. Mtodo de la Divisin Directa.

2. Mtodo Computacional.

3. Mtodo de expansin en fracciones parciales.

4. Mtodo de la Integral de inversin.

El mtodo de la divisin directa proviene del hecho de que si X[Z] est expandida en una serie de

potencias de Z-1, esto es s

entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente, los valores de X[n] se pueden hallar por

inspeccin para n= 0, 1, 2,...

Ejemplo 14

Halle X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, cuando

Solucin

Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene:

X[Z]=10Z-1+17Z-2+18.4Z-3+18.68Z-4+ ...

Al comparar esta expansin X[Z] en una serie infinita



se obtiene: X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68

En la mayora de los casos no resulta tan sencillo identificar el trmino general mediante la

observacin de algunos valores de la secuencia.

El mtodo mas utilizado es la descomposicin en fracciones parciales de X[Z]. En vista de la

unicidad de la transformada Z, se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para

identificar las secuencias correspondientes.

Ejemplo 15

Halle la transformada inversa de

mediante el mtodo de expansin en fracciones parciales.

Solucin

Expandiendo en fracciones parciales se tiene que:

Usando una tabla de transformadas, se tiene que:

X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0, 1, 2,...

Ejemplo 16

Halle la transformada inversa de

Solucin

Expandiendo en fracciones parciales, se tiene que:

Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que

X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]

Por tanto

11.5 Mtodo de Transformada Z para la solucin de ecuaciones en diferencias.

Dada una ecuacin en diferencias de orden n, utilizamos las propiedades de la transformada Z, en

especial las de linealidad y desplazamiento, para transformarla en una ecuacin algebraica.

La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas secuencias, usando la propiedad de

desplazamiento.

Funcin Discreta Transformada Z



X[n+4] Z4X[Z]-Z4X[0]-Z3[1]-Z2X[2]-ZX[3]

X[n+3] Z3X[Z]-Z3X[0]-Z2X[1]-ZX[2]

X[n+2] Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]

X[n+1] ZX[Z]-ZX[0]

X[n] X[Z]

X[n-1] Z-1X[Z]

X[n-2] Z-2X[Z]

X[n-3] Z-3X[Z]

X[n-4] Z-4X[Z]

Ejemplo 17

Resuelva la siguiente ecuacin en diferencias.

X[n+2]+3X[n+1]+2X[n]=0

con X[0]=0, X[1]=1

Solucin

Al tomar la transformadas Z de ambos miembros de la ecuacin en diferencias dadas, se obtiene:

Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]+3ZX[Z]-3ZX[0]+2X[Z]=0

Al sustituir las condiciones iniciales y simplificar, se obtiene:

por tanto, X[n]=[(-1)k-(-2)k]U[n]

Ejemplo 18

Resuelva la siguiente ecuacin en diferencias:

X[n+2]=X[n+1]+X[n]

con X[0]=0, X[1]=1

Solucin

Al tomar la transformada Z de esta ecuacin en diferencias, se obtiene: Z2X[Z]-Z2X[0]-

ZX[1]=ZX[Z]-ZX[0]+X[Z]

Al resolver para X[Z] se obtiene:



Al sustituir la condiciones iniciales se obtiene:

por tanto,

6.1 Seales Las seales pueden describir una variedad muy amplia de fenmenos fsicos, y aunque se pueden representar de muchas formas, en todo caso la informacin dentro de una seal est contenida en un patrn de variaciones de alguna forma. Por ejemplo, el mecanismo vocal humano produce el habla mediante la creacin de fluctuaciones de la presin acstica. As, los diferentes sonidos corresponden a diferentes patrones en las variaciones de la presin acstica, y el sistema vocal humano produce una voz inteligible generando secuencias diferentes de esos patrones. Las variaciones de presin acstica se convertirn despus en seal elctrica. Es decir, una seal no va a ser ms que una funcin de una o unas variables independientes que contiene informacin acerca de la naturaleza o comportamiento de algn fenmeno. As, por ejemplo, la seal de voz se representa de forma matemtica por la presin acstica como una funcin del tiempo. Hay dos tipos bsicos de seales, de tiempo continuo y de tiempo discreto. En el caso de las seales de tiempo continuo la variable independiente es continua y entonces estas seales estn definidas para una sucesin continua de valores de la variable independiente. De otra parte, las seales de tiempo discreto estn slo definidas en tiempos discretos y en consecuencia para estas seales, la variable independiente toma solo un conjunto de valores discretos. Ejemplo de seales de tiempo continuo es una seal de voz como funcin del tiempo y la presin atmosfrica como funcin de la altitud.



Para distinguir entre las seales de tiempo continuo y las de tiempo discreto se usarn los smbolos t y n respectivamente. Adems, para las seales de tiempo continuo la variable independiente se encerrar entre parntesis y para las de tiempo discreto se usar el corchete. Una seal o secuencia de tiempo discreto x[n] puede representar un fenmeno para el cual la variable independiente es inherentemente discreta. Tambin puede representar muestras sucesivas de un fenmeno para el cual la variable independiente es continua. Por ejemplo, el procesamiento de la voz en una computadora digital requiere del uso de una secuencia discreta que represente los valores de la seal de voz de tiempo continuo en puntos discretos en el tiempo. Sin embargo, no importa cual sea el origen de los datos, la seal x[n] est definida solo para valores enteros de n. Ejemplo 1. La temperatura promedio diaria en la ciudad de Medelln, medida en una semana, es una funcin de variable discreta y se puede representar grficamente, veamos: Supongamos que la funcin est descrita por la siguiente secuencia: {20,25,23,26,24,21,25}. A continuacin representamos grficamente la funcin.

6.2 Transformaciones de la variable independiente En muchas situaciones es importante considerar seales relacionadas mediante una modificacin de la variable independiente. Por ejemplo, como se muestra en la figura siguiente, la seal x[-n] se obtiene a partir de x[n] mediante una reflexin alrededor de n = 0.



Similarmente, en la figura siguiente, x(-t) se obtiene a partir de x(t) mediante una reflexin alrededor de t = 0. Esto es, si x(t) representa una seal de audio en una grabadora de cinta, entonces x(-t) es la misma grabacin pero representada en sentido contrario.

Igualmente, x(2t) seria la grabacin reproducida al doble de velocidad y x(t/2) la grabacin reproducida a media velocidad. Otro ejemplo es una transformacin en la que se tienen dos seales y que son idnticas en forma pero que estn desplazadas o corridas una con respecto a la otra. De forma similar representa una versin de x(t) desplazada en el tiempo. Una seal o es una seal par si es idntica a su reflexin alrededor del origen, es decir, si:

Una seal es impar si:

Un hecho importante es que cualquier seal se puede separar en la suma de dos seales, una de las cuales es par y la otra es impar. As :

Donde la primera expresin es una seal par y la segunda expresin es una seal impar. Nos limitaremos en este captulo a seales en tiempo discreto. 6.3 Seales bsicas de tiempo discreto. Definiremos el escaln unitario de tiempo discreto como:

La secuencia se muestra as:

Definimos la muestra unitaria de tiempo discreto as:

La grfica es, entonces:



La muestra unitaria de tiempo discreto posee muchas propiedades. As:

o sea que el impulso unitario de tiempo discreto es la primera diferencia del escaln de tiempo discreto. En general dada una secuencia cualquiera x[n], podemos representarla en la forma siguiente:

El escaln unitario de tiempo discreto es la sumatoria de la muestra unitaria.

Ejemplo 2. Representar grficamente las siguientes funciones:



6.4 Seales de tiempo discreto exponencial compleja y senoidal. Al igual que en tiempo continuo, una seal importante en tiempo discreto es la seal o secuencia

exponencial compleja definida por: donde C y son en general nmeros complejos.

De forma alterna sta se puede expresar como: donde Si C y son reales se tiene:

la seal crece en forma exponencial.

se tiene una exponencial decreciente.

Si es positiva todos los valores de son del mismo signo,pero si es negativa, entonces se alterna el signo de .

Si = 1, es constante, mientras que si = -1 el valor de se alterna entre C y -C.

Otra exponencial compleja importante se obtiene cuando y forzando que sea imaginaria pura.

Sea, como en el caso continuo, esta seal est muy relacionada con:

Si se escribe ; se obtiene:

As para , las partes real e imaginaria de una secuencia exponencial compleja son senoidales.

Para corresponden a secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial decreciente;

para son secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial creciente.

Veamos las propiedades de periodicidad de

Consideremos la exponencial compleja con frecuencia:

O sea, que en tiempo discreto la seal con frecuencia es idntica a las seales con frecuencia:

; , etc. Por tanto, al considerar las exponenciales de tiempo discreto se necesita tomar en cuenta

solamente un intervalo de longitud 2 dentro del cual se escoge Por lo general:

Ahora, para que sea peridica con perodo N > 0 se debe cumplir que:

Es decir que o sea que debe ser mltiplo de



Por tanto,

Por lo anterior, no es peridica para valores arbitrarios de ; solo es peridica si

es un nmero racional.

Como en el caso continuo se definir la frecuencia fundamental como o sea que

Perodo fundamental es .

Veamos en una tabla las siguientes diferencias entre y

m y N no tienen factores en comn. Ejemplo 3. Represente grficamente las siguientes funciones de variable discreta. 1. x(n) = 2n( u(n) - u(n - 5)).

2. y(n) = 2n u(n). 3. z(n) = (-1)n (0.8)n u(n).

4. w(n) = z(n 2).



Ejemplo 4. Considere la siguiente funcin de variable discreta:

Represente grficamente: magnitud, fase, parte real y parte imaginaria.

Observe que tanto la parte real como la parte imaginaria son sinusoidales amortiguadas similares a las que se manejan en variable continua.

Para representar la parte imaginaria dibujamos la funcin y la multiplicamos por la magnitud.



Ejercicios 6.4 1. Verifique los siguientes resultados:



2. Genere y grafique los trminos de las siguientes secuencias.

3. Usando la funcin impulso unitario, represente las secuencias siguientes:

4. Una secuencia x[n] est representada por x[n]=u[n+1]-u[n-4]+0.5 [n-4]. a) Representarla grficamente.

b) Representar grficamente x[-n], x[n2], x[n - 1] [n - 3], 0.5(-1)nx[n]. 5. Considere la secuencia siguiente:

a) Representarla grficamente. b) Muestre que h[n]puede expresarse en la forma:

c). Muestre que h[n] puede expresarse en la forma h[n] = d) Represente grficamente la funcin S[n] = h[n + 2] +h[-1 - n]. 6. Dibuje la parte par y la parte impar de las siguiente secuencias:

a) x[n] = [n + 2] + 2[n + 1] + 3[n] + [n - 7].

b) y[n] = -[n + 4] + 2[n + 3] + 2[n + 2] + 2[n + 1] + [n] + 2[n - 1] - [n - 3]. 7. Muestre que si x[n] es una secuencia impar entonces:

8. Muestre que x[n] es impar y y[n] es impar, entonces que x[n]y[n] es impar, 9. Muestre que:

10. Si la parte par de una secuencia est dada por xp[n] = [n + 3] + 2[n + 2] + 4[n + 1] + 16[n]

+ 4[n - 1] + 2[n - 2] + [n - 3] y si x[n] = 0 para n 0, determinar x[n]y represntelo grficamente.

11. Dada la secuencia x[n] = [n + 4] + [n + 3] + 2[n + 2] + [n + 1] + 2[n] + [n - 1] + 2[n - 2]

+ [n - 3] + [n - 4] a) Represente y[n] = x[2n]



6.5 Sistemas. Un sistema se puede ver como cualquier proceso que produce una transformacin de seales. Entonces un sistema tiene una seal de entrada una seal de salida la cual est relacionada con la entrada a travs de la transformacin del sistema. Nos interesan tanto sistemas en tiempo continuo como en tiempo discreto. Un sistema de tiempo continuo es aquel en el que las seales de entrada de tiempo continuo son transformadas en seales de salida de tiempo continuo. Tales sistemas se sealan en forma grfica como:

De forma similar, un sistema de tiempo discreto, transforma entradas de tiempo discreto en salidas de tiempo discreto, as:

Los sistemas se pueden conectar en serie, en paralelo, o en serie paralelo como en los diagramas siguientes:



El smbolo denota que la suma o adicin es la suma de la salida de los sistemas. Se pueden disear sistemas para, por ejemplo, calcular expresiones aritmticas complicadas, como el que ilustra el siguiente diagrama para el clculo de:

Otro tipo de sistema es la interconexin de retroalimentacin como en la siguiente figura.



Ac la salida del sistema 1 es la entrada al sistema 2, mientras que la salida del sistema 2 se retroalimenta y se suma a la entrada externa para producir la entrada actual al sistema 1. 6.5.1 Sistemas con y sin memoria. Se dice que un sistema es sin memoria si su salida para cada valor de su variable independiente depende slo de la entrada en ese mismo instante de tiempo. Por ejemplo el sistema que ilustra la ecuacin:

es sin memoria, ya que el valor de y[n] en un instante n depende slo del valor de x[n] en ese mismo instante. Un resistor es un sistema sin memoria, as la relacin entrada - salida es de la forma:

Donde R es resistencia, x(t) es corriente y y(t) es voltaje. Un ejemplo de un sistema con memoria es:

Otro ejemplo es: Un capacitor es otro ejemplo de un sistema con memoria, ya que

Donde C es capacitancia, x(t) es corriente y y(t) es voltaje. 6.5.2 Invertibilidad. Se dice que un sistema es invertible si distintas entradas producen distintas salidas. Dicho de otra forma, un sistema es invertible si al observar su salida podemos determinar la entrada.

Por ejemplo, , entonces su sistema inverso es . Al interconectarlos en serie se obtiene la entrada original como salida. Otro ejemplo de sistema invertible es el dado por la ecuacin:

Para este sistema, la diferencia entre dos valores sucesivos de salida es precisamente el ltimo valor de entrada. Por tanto, en este caso el sistema inverso es:

6.5.3 Causalidad. Un sistema es causal si su salida en cualquier instante de tiempo depende slo de los valores de la entrada en el tiempo presente y en el pasado. Tal sistema es llamado no anticipativo, ya que la salida no anticipa valores futuros de la entrada. El movimiento de un automvil es causal ya que no anticipa acciones futuras del conductor.



6.5.4 Estabilidad. Intuitivamente, un sistema estable es aquel en el que entradas pequeas conducen a respuestas que no divergen. Es decir, si la entrada a un sistema es limitada, entonces la salida debe ser tambin limitada y por tanto no debe diverger.

6.5.5 Invarianza en el tiempo. Un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento en tiempo de la seal de entrada causa un desplazamiento en tiempo de la seal de salida. Es decir, si y[n] es la salida cuando x[n] es la entrada, entonces y[n-n0] es la salida cuando se aplica x[n-n0]. Ejemplo: sea y(t)=sen x(t) Sean x1(t) y x2(t)= x1(t - to) dos entradas desplazadas en el tiempo.



Entonces el sistema es variante en el tiempo. 6.5.6 Linealidad. Un sistema lineal en tiempo continuo o tiempo discreto, es aquel que posee la importante propiedad de superposicin: Si una entrada consiste de la suma ponderada de varias seales, entonces la salida es slo la superposicin, esto es, la suma ponderada de las respuestas del sistema a cada una de estas seales. Matemticamente, el sistema es lineal si:

Ejemplos de sistemas no lineales son los descritos por:

Por ltimo, un sistema incremental lineal de tiempo continuo o discreto es aquel que responde de manera lineal a cambios de entrada.

Esto es, la diferencia entre las respuestas de un sistemas incremental lineal a cualquiera de dos entradas es una funcin lineal de la diferencia entre las dos entradas. Hay que observar que y[n]=2x[n]+3 no es lineal. Ejercicios 6.5 1. En el sistema descrito por z[n] = y[n] - y[n - 1], analizar:



a) LInealidad. b) Invarianza en el tiempo. c) Causalidad. d) El sistema tiene memoria? e) Estabilidad. 2. En el sistema descrito por:

analizar los mismos aspectos del problema anterior. 3. En las siguientes secuencias, para que valores de la variable independiente la parte par de la seal es cero

4. Dada la seal discreta , determine los valores de los enteros M y n0 de manera que x[n] se exprese como x[n] = u[Mn - n0]. 5. Considere un sistema S con entrada x[n] y salida y[n] obtenido mediante la conexin en serie

de y , donde x1[n] y x2[n] denotan seales de entrada. Determine la relacin entrada-salida del sistema S.

6. Sea un sistema discreto cuya relacin entrada salida es: a) El sistema es sin memoria?.

b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es A [n], donde A es un nmero real o complejo. c) El sistema es invertible? 7. Considere un sistema discreto con entrada x[n] y salida y[n] relacionadas mediante: donde no es un entero positivo finito. a) El sistema es lineal?. b) El sistema es invariante en el tiempo?. 8. Determine cul de las siguientes seales es o no peridica. Si la seal es peridica, determine su periodo fundamental. 9. Cul de los siguientes sistemas es invertible. Si alguno lo es, construya el sistema inverso. Si no, encuentre dos seales de entrada al sistema que den la misma salida.



10. Considere un sistema S con entrada x[n] y salida y[n] relacionadas mediante y[n]=x[n](g[n]+g[n-1]) a) Si g[n]=1 para toda n, demuestre que S es invariante en el tiempo. b) Si g[n]=n para toda n, demuestre que S no es invariante en el tiempo. c) Si g[n]= 1+(-1)n para toda n, demuestre que S es invariante en el tiempo. d) En todos los casos anteriores, el sistema ser lineal?.

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