ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO

TEMA: Transformada Z en Sistemas Digitales

OBJETIVO:

General.

Hallar la Transformada Z y Transformada Z Inversa de la funciones de tiempo, para

modelar sistemas digitales.

Específicos.

Investigar las características de la Transformada Z y Transformada Z Inversa, y sobre su

resolución con la utilización de MATLAB.

Investigar las funciones de Matlab para el cálculo de la Transformada Z e Inversa.

Resolver Ejercicios de la Transformada Z e Inversa utilizando Matlab, para analizar cada

una de las instrucciones utilizadas en la resolución de los ejercicios.

RESUMEN

La transformada Z es un método que se trabaja en función de la frecuencia, el cual nos da conocer

la estabilidad de un sistema utilizando el círculo unitario. Un sistema es estable si los polos del

sistema están dentro del círculo unitario. La resolución de ejercicios de Transformada Z y

Transformada Z Inversa se lo realiza con la herramienta MATLAB; ya que, con la ayuda de

MATLAB se puede facilitar el análisis y el desarrollo de éstos ejercicios.

ABSTRACT

The transformed Z is a method that one works in function of the frequency, which gives us to know

the stability of a system using the unitary circle. A system is stable if the poles of the system are

inside the unitary circle. The resolution of exercises of having Transformed Z and Transformed

Inverse Z is carried out it with the tool MATLAB; since, with the help of MATLAB it can facilitate

himself the analysis and the development of these exercises.

MARCO TEÓRICO:

Transformada Z

La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto

en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar

"Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber

sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de

tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una

transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z)

que se define

(1) Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada

Z unilateral se define como

(2) En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la

Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo |z|>R; es decir que converge "hacia

afuera".

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde

x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z)

suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la

teoría de la probabilidad.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

Linealidad: Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z],

entonces:

Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z] (3)

siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.

Desplazamiento temporal: Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado

cualquier entero n0>0, se tiene:

(4)

Simultáneamente, se puede demostrar que

(6)

Multiplicación por : Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de X[n]

está dada por X[ Z].

Demostración:

(7)

En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para n<0.

Diferenciación con respecto a Z: Si se deriva la expresión

(8)

que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se tiene:

(9)

De la expresión anterior se deduce que:

(10)

Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:

(11)

Teorema del Valor inicial: Dada una secuencia causal X[n] se tiene que

(12)

Desarrollando la sumatoria, se tiene que

X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n

Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto,

(13)

Teorema del Valor final: Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor de

X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión:

(14)

Siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.

Convolución: La convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es más que el producto

normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir:

X[n]*y[n]=X[Z]y[Z] (15)

En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la

respuesta al impulso, entonces se tendrá que:

Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z] (16)

donde H[Z] es la transformada de h[n].

Para obtener la salida y[n] bastará hallar la transformada inversa de y[Z].

Transformada Z inversa

La Transformada Z inversa se define

(17) Donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El

contorno, C, debe contener todos los polos de X(z).

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C es el círculo unidad (que

también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa

de tiempo discreto de Fourier:

(18)

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser

procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier

(DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo

unidad.

La notación para la transformada Z inversa será Z-1. La transformada Z inversa de X[Z] da como

resultado la correspondiente secuencia X[n].

Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán:

1. Método de la División Directa.

2. Método Computacional.

3. Método de expansión en fracciones parciales.

4. Método de la Integral de inversión.

El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z] está expandida en una serie de

potencias de Z-1, esto es sí

(19)

Entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente, los valores de X[n] se pueden hallar por

inspección para n= 0, 1, 2,...

Región de convergencia (ROC)

La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z

existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita.

La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya

que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando x[n]z^ {-n} es absolutamente

sumable.

(20) Propiedades de la Región de Convergencia:

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n].

La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que

x[z] tiene que ser finita para toda la z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para

ROC.

Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en

|z|=0 o |z|=∞.

Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el

ultimo polo desde x[z].

Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde

el polo más cercano en x[z].

Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta

restringida en su interior y exterior por un polo.

TRANSFORMADA Z CON MATLAB

Las Rutinas de Matemática Simbólica de MATLAB y el comando ztrans(f) se puede usar para

determinar la trasformada-z de una función, f, representada como f(nT). MATLAB supone por

omisión que la variable de tiempo muestreada independiente es n y que la variable independiente de

la transformada es z. Si se desea usar k en lugar de n, es decir, f(kT), entonces es necesario usar

ztrans(f,k,z). Este comando hace caso omiso de los parámetros que por omisión tiene MATLAB y

supone que la variable de tiempo muestreado independiente va ser k.

TRANSFORMADA Z INVERSA CON MATLAB

Las Rutinas de Matemática Simbólica de MATLAB y el comando iztrans(F) se pueden usar para

determinar la función en tiempo muestreado representada como f(nT) dada su transformada z, F(z).

Si se desea tener de regreso una función del tiempo muestreado f(kT), entonces hay que cambiar los

parámetros que por omisión tiene MATLAB de la variable de tiempo muestreada independiente

usando el comando iztrans(F,k).

RESULTADOS:

TRANSFORMADA Z

Ejercicio 13.1: Correr el ch13p1, del Apéndice E. Aprenderán a hallar la transformada z de las

funciones de tiempo.

% Transformada Z de 'f=(n*T)' syms n T % Construir objetos simbólicos para 'n' y 'T'. 'f(nT)' % Desplegar etiqueta f=n*T; % Definir f(nT). pretty(f) % Impresión f(nT). 'F(z)' % Desplegar etiqueta F=ztrans(f); % Determinar la transformada z, F(z). pretty(F) % Impresión F(z).

Fig 1: La Transformada Z de f=n*t.

% Transformada Z de ' f (kT)=e^(-akT)' syms n T a e % Construye objetos simbólicos para 'n', 'T', 'w'. 'f(nT)' % Despliega etiqueta. f=e^-(a*n*T); % Define f(nT). pretty(f) % Impresión en bonito de f(nT). 'F(z)' % Despliega etiqueta. F=ztrans(f); % Determina la transformada z , F(z). pretty(F) % Impresión F(z).

Fig. 2: La Transformada Z de f (kT)= .

% Transformada Z de 'sin (w*k*t)' syms n T w % Construye objetos simbólicos para 'n' and 'T'. 'f(nT)' % Despliega etiqueta. f=sin(w*n*T); % Define f(nT). pretty(f) % Impresión en bonito de f(nT). 'F(z)' % Despliega etiqueta. F=ztrans(f); % Determina la transformada z , F(z). pretty(F) % Impresión F(z).

Fig. 3: La Transformada Z de f (kT)=sin (w*k*t).

% Transformada Z de 'cos (w*k*t)' syms n T w % Construye objetos simbólicos para 'n', 'T', 'w'. 'f(nT)' % Despliega etiqueta. f=cos(n*T*w); % Define f(nT). pretty(f) % Impresión en bonito de f(nT). 'F(z)' % Despliega etiqueta. F=ztrans(f); % Determina la transformada z , F(z). pretty(F) % Impresión F(z).

Fig. 5: La Transformada Z de f (kT)=cos (w*k*t).

% Transformada Z de ' (e^(-a*t))*(sin (w*t)) ' syms a n T w % Construye objetos simbólicos para 'n' and 'T'. 'f(nT)' % Despliega etiqueta. f=(exp(-a*T))*sin(w*n*T);% Define f(nT). pretty(f) % Impresión en bonito de f(nT). 'F(z)' % Despliega etiqueta F=ztrans(f); % Determina la transformada z, F(z). pretty(F) % Impresión F(z).

Fig. 6: La Transformada Z de f (kT)= *sin (wkt).

Análisis de Resultados

En los ejercicios se observa que una función de s, F*(s), que representa una onda de tiempo

muestreada, se puede transformar en una función de z, F(z). El resultado dela figura 1, es una forma

cerrada a diferencia de F(s). Si éste es el caso para otras numerosas ondas de tiempo muestreadas,

entonces tenemos de modo conveniente la transformada que estábamos buscando.

TRANSFORMADA Z INVERSA

Ejercicio 13.2: Correr el ch13p2, del Apéndice E. Aprenderán a hallar la transformada z de

las funciones de tiempo.

Ejemplo 1:

'(ch13sp2) Example 13.2' % Desplegar etiqueta syms z k % Construir objetos simbólicos para 'z' y 'k' 'F(z)' % Desplegar etiqueta F=0.5*z/((z-0.5)*(z-0.7)); % Definir F(z). pretty(F) % Impresión de F(z). 'f(kT)' % Visualiza etiqueta f=iztrans(F,k); % Encuentra la transformada z inversa, f(kT). pretty(f) % Imprime f(kT). 'f(nT)' % Visualiza etiqueta f=iztrans(F); % Encuentra la transformada z inversa, f(nT). pretty(f) % Impresión de f(nT).

Fig. 6: Transformada Z Inversa – ch13p2

Ejemplo 2: syms z k % Construir objetos simbólicos para 'z' y 'k' 'F(z)' % Display label. F=(z*(z+1)*(z+2))/((z-0.5)*(z-0.7)*(z-0.9)); % Desplegar etiqueta pretty(F) % Impresión de F(z). 'f(kT)' % Desplegar etiqueta f=iztrans(F,k); % Encuentra la transformada z inversa, f(kT). pretty(f) % Imprime f(kT). 'f(nT)' % Desplegar etiqueta. f=iztrans(F); % Encuentra la transformada z inversa, f(nT). pretty(f) % Impresión de f(nT).

Fig. 7: Transformada Z Inversa – ch13p2

Análisis de Resultados

La transformada Z Inversa se lo puede hacer de forma directa a partir de F(z). Para mayor facilidad

con el uso de Matlab de lo realiza en el menor tiempo donde se lo puede analizar los sistemas.

CONCLUCIONES:

La Transformada Z es un método que nos permite conocer la estabilidad de un sistema en

base al círculo unitario, el cual si los polos está dentro del círculo unitario es estable.

La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo

discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

La Transformada Z modela los sistemas de datos muestreados con funciones de

transferencia analizadas y diseñadas con facilidad.

En la Transformada Z, el comando ztrans(f,k,z) hace caso omiso de los parámetros que por

omisión tiene MATLAB y supone que la variable de tiempo muestreado independiente va

ser k.

La transformada Z Inversa da solo los valores de la función de tiempo, en los instantes de

muestreo.

En la Transformada Z Inversa, el comando iztrans(F) se pueden usar para determinar la

función en tiempo muestreado representada como f(nT) dada su transformada z, F(z).

Matlab es un software que nos permite el cálculo de la Transformada Z y la Transformada

Z Inversa en base a las funciones “ztrans ” y “iztrans”, el cual nos agilita el cálculo de

diferentes sistemas su estabilidad.

RECOMENDACIONES:

Aplicar las propiedades de la transformada Z para obtener su correspondiente transforma

del sistema y así conocer su estabilidad.

En la Transformada Z Inversa, si se desea tener de regreso una función del tiempo

muestreado f(kT), entonces se recomienda cambiar los parámetros que por omisión tiene

MATLAB de la variable de tiempo muestreada independiente usando el comando

iztrans(F,k).

Al momento del desarrollo de cada ejercicio, unos de los aspectos a tener muy en cuenta es

el tipo de sistema, ya sea de primer orden, segundo orden o de orden n para poder realizar

correctamente el programa.

Aplicar las funciones de Matlab en los sistemas correctos para conocer su transformada Z

correcta.

Analizar su ROC del sistema para conocer su estabilidad del sistema.

BIBLIOGRAFIA:

[1] Sistemas de Control para ingeniería.

Web:

http://www.uv.es/~soriae/tema_3_pds.pdf

http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/TZ00.pdf

http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/TZ00.pdf