ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

“El bienestar del hombre proviene de la Ciencia”

Algebra Lineal

Grupo Nº 01

TRANSFORMACIONES LINEALES( aplicaciones lineales)

V W

u f(u)= w

f

Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo campo. Una función (aplicación) f de V en W ( f : V W ) que se asigna a cada vector v ∈ V, un vector f(u)= w W es una transformación lineal, si y solo si, ∈ ∀∝∈K, ∀u, v V∈ , satisface lo siguiente:

f : V W u f(u)= w

Estas dos son condiciones semejantes

Nota: se escribe f : V W para indicar que f transforma el espacio vectorial V en el espacio vectorial W.

Propiedades

Sea f : V W una transformación lineal, entonces se cumple que:1. f(0v)= 0w2. f(u-v)= f(u) - f(v)3. Si S es un subespacio vectorial de V, entonces f (S) es

subespacio vectorial de W.4. Si T es subespacio vectorial de W, entonces f -1(T) es

subespacio vectorial de V.

Ejemplo:V W

(x,y) f((x,y))= (a,b,c)

f

Núcleo

Sea una transformación lineal, entonces el núcleo de f , notado por N(f) , es el subconjunto de V, que contiene todos los elementos de v ∈ V, tales que sus imágenes son igual al vector nulo de W. Así:N(f)={ v V / ∈ f(v)= 0w}

f : V W

V W

0wu

f

N(f)

Imagen

Sea una transformación lineal, entonces la imagen de f , notado por Im(f) , es el subconjunto de W, que contiene todos los elementos de w ∈ W, que son imágenes de vectores v ∈ V debidas a la transformación f. Así:Img(f)={ w W / ∈ ∃ v V∈ v f(u)= w }

A la imagen de f también se la conoce como rango o recorrido de f.

f : V W

V W

u

f

Img(f)w

Img(f)={ w W / ∈ ∃ v V∈ v f(u)= w }

N(f)={ v V / ∈ f(v)= 0w}

VW

(x,y) f((x,y))= (a,b,c)

f