Transf de Calor (1)
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MODELACIÓN MATEMÁTICA
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería
MÉTODOS NUMÉRICOS EN CONDUCCIÓN DE CALOR
Karol Cascavita, I.M, MSc. Modelación MatemáticaUniversidad Nacional de Colombia
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CONTENIDO
1. Mecanismos de transferencia de calor: Conducción.
1.1. Conservación de la energía en sólidos.
2. Mecanismos de transferencia de calor: Convección
MÉTODOS NUMÉRICOS EN CONDUCCIÓN DE CALOR
EL MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS
1. Descripción Método de las Diferencias Finitas
2. Modelado de un problema de conducción de calor 1D
2.1. Solución de E.D. por diferencias finitas.
3. Solución por el método de las diferencias finitas: Modelo Transitorio.
4. Método Iterativo Jacobi.
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Mecanismos de Transferencia de
Calor
Convección Conducción
Transferencia de energía calorífica entre dos sistemas, basado
en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de
materia.
Radiación
1. TIPOS DE MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR: CONDUCCIÓN
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Principio de conservación :La ley de la conservación de la energía establece que el cambio de la energía interna de un volumen de control es igual a la entrada y la salida de la energía que atraviesan sus fronteras.
Para un volumen de control (VC), el balance de masa se expresa de la siguiente manera:
Suponiendo:Régimen transitorio
1.1. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN SÓLIDOS
en sal
EE
tE
x
z
E
t
y
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Se tiene, por conservación de energía:
En el dominio del tiempo:
Mediante el balance de energía se tiene que el cambio de energía interna, se define por:
Para la generación de volumen de control:
1.1. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA-SÓLIDOS
x
z
E
t
y
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Por conservación de energía, remplazando la masa (m=rVol):
El volumen se define por:
Al dividir por el término del volumen y reordenando, se obtiene:
1.1. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA-SÓLIDOS
x
z
E
t
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Para transferencia de Calor en la dirección X se tiene:
Ley de Fourier
Por ley de Fourier:
Remplazando :
1.1. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA-SÓLIDOS
= Conductividad térmica(Cte. de proporcionalidad)
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Para X:
Análisis en las otras direcciones:
Ecuación de Calor
Asumiendo k, independiente de T: Finalmente:
Difusividad
1.1. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA-SÓLIDOS
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ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN: Transporte
en la frontera
generación Acumulación
Estado estable con generación:
Ecuación de Poisson
Estado transitorio sin generación:
Ecuación de Calor con f=0
Estado estable sin generación:
Ecuación de Laplace
Asumiendo conductividad Constante
1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
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Se parte de una análisis de conservación de energía de donde:
donde la ley de Fourier establece que
Por lo tanto los flujos de calor en las fronteras son:
Por otra parte el término es un término de generacióndado por :
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0
CONDUCCIÓN 1D-EST. ESTACIONARIO: NODO INTERNO
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1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
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Mecanismos de Transferencia de Calor
Convección
Mecanismo de transferencia de energía ocasionada por el movimiento macroscópico de
un fluido
Conducción Radiación
2. TIPOS DE MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR: CONVECCIÓN
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Convección
Libre Forzada
2. TIPOS DE MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR: CONVECCIÓN
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Ley de Enfriamiento de Newton:
Donde h es el coeficiente de transferencia de Calor por convección, tiene por unidades:
h
Propiedades del Fluido
Viscosidad, Conductividad
Térmica, densidad
Régimen de Flujo
Laminar, turbulento
Superficie SólidaAspereza,
Configuración Geométrica
2. TIPOS DE MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR: CONVECCIÓN
MODELACIÓN MATEMÁTICA
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MÉTODOS DE LAS DIFERENCIAS FINITAS
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1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
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Métodos Usados en transferencia de Calor:
Diferencias Finitas
Volumen de Control
Análisis por
Nodos
Elementos Finitos
Análisis por
Grupos de
Nodos Asociado
s
Características del Método MDF:
• Surge de la expansión de la serie de Taylor en torno a una punto especifico de una función definida.
• Remplaza las cantidades diferenciales por diferencias suficientemente pequeñas.
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• Surge como un método para la solución de ecuaciones diferenciales (bien comportadas), basado en la discretización de un dominio de solución continuo (elementos finitos y volúmenes finitos).
Discretización E.D.
Discretización de ecuaciones en forma integral
Diferencias Finitas
Volúmenes Finitos
• Su origen radica en el truncamiento de la serie de
Taylor:
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
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x x x xxx
( )f x
Definición de derivada:
Diferencias finitas hacia adelante:
Diferencias finitas hacia atrás:
Diferencias finitas centradas:
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Representación nodal
en función del tiempo y
la distancia.
Aplicando el concepto para el estado unidimensional tenemos:
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
y
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Representación en
diferencias finitas
Error de truncamient
o
D.F hacia delante
(FFD)
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D.F hacia atrás (BFD)
Representación en
diferencias finitas
Error de truncamient
o
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
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En algunos casos es necesario tener un error de truncamiento de
un orden mayor a (x)1, para lo cual se puede plantear una
representación adicional realizando la diferencia entre las dos
representaciones anteriores (FFD, BFD):
D.F centradas (CFD)
Representación en
diferencias finitas
Error de truncamient
o
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
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Para los diferenciales de orden superior, se puede mostrar que:
D.F de alto orden y
exactitud
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
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Para los diferenciales de orden superior, se puede mostrar que:
D.F de alto orden y
exactitud
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
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En Resumen:
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D.F hacia atrás (BFD):
D.F hacia delante
(FFD)
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En Resumen:
D.F centradas de primer orden
(CFD)
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
D.F centradas de Segundo orden
(CFD)
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En Resumen:
1. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS (MDF)
Representaciones D.F centradas de
Segundo orden
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Sea la ecuación de la aleta estacionaria:
Donde se ha hecho un cambio de variable de la
forma:
Además las condiciones de frontera están dados
por :
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2. MODELADO DE UN PROBLEMA DE CONDUCCIÓN DE CALOR 1D : EC. DE LA ALETA
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Sea la ecuación de la aleta estacionaria:
Se discretiza la ecuación diferencial por medio de D.F de tipo
centrado(CDS) con lo cual se obtiene:
2.1. SOLUCIÓN DE E.D. POR DIFERENCIAS FINITAS
Esta ecuación se aplica únicamente a
los nodos internos. Los nodos externos
no tienen definido alguno de los nodos
vecinos (Sea para el nodo=1 o
para el nodo=N) pero en ellos se
especifica alguna condición de
frontera, con lo cual se determina el
problema.
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Se reorganiza el sistema de
ecuaciones obtenido en una
forma conveniente para su
generalización.
Donde . Los términos
conocidos son escritos a la
derecha del igual. 5 ecuaciones y 6 incógnitasEn forma matricial:
2.1. SOLUCIÓN DE E.D. POR DIFERENCIAS FINITAS
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La ecuación restante se obtiene expresando la segunda condición
de borde en términos de diferencias finitas centradas:
2.1. SOLUCIÓN DE E.D. POR DIFERENCIAS FINITAS
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Matrix tridiagonal simétrica
2.1. SOLUCIÓN DE E.D. POR DIFERENCIAS FINITAS
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Sin embargo, aprovechando la exactitud de las CFD, se puede
escribir:
Obsérvese como el nodo 8 es ficticio, generado para poder
expresar la derivada de en el extremo de la aleta. Si este es el
caso una ecuación más se puede escribir al conjunto de las cinco
expresiones obtenidas anteriormente:
son entonces 7 ecuaciones y 7 incógnitas …
2.1. SOLUCIÓN DE E.D. POR DIFERENCIAS FINITAS
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3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
Sea la ecuación de calor unidimensional de la aleta en estado transitorio:
La discretización de la ecuación diferencial parcial parabólica planteada anteriormente podría plantearse como:
Note como el cambio temporal en la energía en el nodo i esta asociado con la energía en los nodos i-1, i, i+1 en el tiempo n.
Este esquema temporal hacia delante se denomina comúnmente Forward-Euler o esquema explícito.
2
2
t x
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Aunque dicha discretización puede plantearse en los siguientes términos:
Note como el cambio temporal en la energía en el nodo i esta asociado con la energía en los nodos i-1, i, i+1 en el tiempo n+1.
Este esquema temporal hacia delante se denomina comúnmente Backward-Euler o esquema implícito.
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Por supuesto cualquiera de las dos discretizaciones son válidas, no obstante es de esperarse que un planteamiento que incorpore las dos consideraciones anteriores, permita alcanzar una mayor exactitud.
Note como el cambio temporal en la energía en el nodo i está asociado con la energía en los nodos i-1, i, i+1 en el tiempo n y n+1.
Este esquema temporal hacia delante se denomina comúnmente Crank-Nicolson o esquema semi-implícito.
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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En términos generales, esta discretización temporal puede ser escrita como:
Evaluando la anterior ecuación para el nodo i :
Esta formulación permite obtener un planteamiento explícito, implícito o semi-implícito en el tiempo, tal como se muestra a continuación:
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Planteamiento Totalmente Explícito
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Tomando un valor , se encuentra un planteamiento totalmente explícito (Backward-Euler) y condicionalmente estable, el cual se expresa como:
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Planteamiento Totalmente Implícito
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Tomando un valor , se encuentra un planteamiento totalmente implícito (Forward-Euler) e incondicionalmente estable, el cual se expresa como:
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Tomando un valor , se encuentra un planteamiento semi-implícito
(Crank-Nicolson), el cual se expresa como:
Planteamiento Totalmente Semi -Implícito
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Considerando la malla mostrada en la figura, para un problema con condiciones de borde de Dirichlet, el esquema explícito empleado para el cálculo de los valores nodales en el tiempo 2, arroja las siguientes ecuaciones:
Ejemplo: Planteamiento Explicito
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Ejemplo: Planteamiento Explicito
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Considerando el mismo problema, el esquema implícito empleado para el cálculo de los valores nodales en el tiempo 2, arroja las siguientes ecuaciones:
Ejemplo: Planteamiento Implícito
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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La solución de este sistema de ecuaciones (4x4) permite el cálculo de los valores nodales para el tiempo 2. Una vez conocidos estos valores se puede repetir el procedimiento para calcular los valores nodales para los tiempos siguientes.
En forma matricial este sistema de ecuaciones se puede escribir como:
Ejemplo: Planteamiento Implícito
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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Observe que la matriz [A] es simétrica, tridiagonal y además diagonal dominante. De este modo el sistema de ecuaciones puede ser solucionado empleando por ejemplo el método iterativo de Jacobi.
Ejemplo: Planteamiento Implícito
3. SOLUCIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS: MODELO TRANSITORIO
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4. MÉTODO ITERATIVO JACOBI
La matriz [A] se puede descomponer como la suma de una matriz diagonal y otra matriz [C]:
De modo que el sistema de ecuaciones ahora se puede escribir como:
o en otras palabras:
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Dado que [C] es una matriz de menos peso que la matriz diagonal de [A], una primera aproximación a [q ] puede hacerse eliminando este término, de modo que:
Así, con esta primera aproximación, se puede incorporar la matriz [C] al cálculo, de modo que una mejor aproximación para [q] está dada por:
Repitiendo este procedimiento se configura un método iterativo para la solución del sistema de ecuaciones:
4. MÉTODO ITERATIVO JACOBI