Unidad II : Geometría Unidad II : Geometría TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES

ISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.Profesora: Fionella Macklins

8° año básico

LOS EJE DE COORDENADA

Plano cartesiano

El plano cartesiano esta formado por dos rectas numéricas.

La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x).

La Recta vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y).

El punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

Localización de un punto en el plano cartesiano

Ubicación del punto A (4,3)

A) B(-3,4)

B) C(1,1)

C) D(-2,-4)

TRANSFORMACIONES

Es necesario tener presentes tres elementos:

•La figura original

•La operación que describe el cambio

•La figura que se obtiene después del cambio

En una transformación isométrica:

No se altera la forma ni el tamaño de la figura, ya que sólo cambia la posición.

(orientación o sentido de ésta)(orientación o sentido de ésta)

ISOMÉTRICAS

Tipos de transformaciones isométricas

Ejemplos de transformacionesisométricas en la naturaleza.

Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura

geométrica, produce el efecto de un espejo.

Axial: Reflexión respecto a un eje

Central: Reflexión respecto a un punto

Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría.

El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría.

A’

A

El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico.

Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de

180º.

O

A’

A

Las traslaciones, son aquellas isometrías que permite desplazar en línea recta todos los puntos del plano.

Toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector de traslación”

Dirección: Horizontal, vertical u oblicua.

Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.

Distancia: Es la magnitud que existe entre el punto inicial y la posición final de cualquier punto de la figura

que se desplaza.

Al deslizar la figura todos los puntos describen

líneas rectas paralelas entre sí.

En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación.

Estas son un par ordenado de números (x,y)

Donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el

desplazamiento vertical.

•A(4,6)

•A’ (2,3)

Traslación de A(4,6)

a través del vector v(-2,-3)

Traslación de B(-5,2)

a través del vector v(4,4)•B(-5,2)

• B’(-1,6)

Traslación de C(-4,-2)

a través del vector v(7,1)•

C(-4,-2)

• C’(3,-1)

Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.

Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.

Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.

Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

Permiten girar todos los puntos del plano.

Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien determinados, por lo que toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro.

Si la rotación se efectúa en sentido a las manecillas del reloj, es negativa u horaria; en caso contrario es positiva o antihoraria.

El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación.La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación.

El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)

O

MM’

N’

N

.

Rotación en 90º en torno al origen:

A

x

yA

x

y

A’

A’x’

y’x’

y’

Entonces: x’ = -y y’ = x

Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

Rotación en 180º en torno al origen:

A

x

y

A’

x’

y’

A

x

y

A’

x’

y’

Entonces: x’ = -x y’ = -y

Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

¡Importante!

Toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.

A

B

C

A’

B’

C’

A’’

B’’

C’’

A’’’

B’’’

C’’’

TRASLACIÓN DE FIGURAS

11 UNIDADES A LA DERECHA

5 UNIDADES ABAJO

8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO

A’

B’

C’

A

B

C

A’’

C’’

90º

ROTACIÓN DE FIGURAS

A

B

C

A’

B’

C’

A’’

B’’

C’’

A’’’

B’’’

C’’’

REFLEXIÓN DE FIGURAS

CON EL EJE Y

CON EL EJE X

CON RESPECTO A LA RECTA m

m

Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER

Hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano, para poder mostrar que un plano es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad.

“A pesar de que no tengo ningun conocimiento ni enseñanza - de matemáticas -, habitualmente me parece que tengo más cosas en común con los matemáticos que con mis compañeros artistas”.  

Si observamos  detalladamente alguna de sus obras podemos descubrir su dominio de la geometría. 

A Escher le maravillaba todo tipo de teselados, regulares o irregulares, y especialmente lo que él llamó “metamorfosis”, donde las figuras cambian e interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.

Teselaciones de Escher

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TESELACIONES DE ESCHER

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