Tracción simple - Cálculo por elementos finitos.docx
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“AÑO DEL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD INGENIERIA MECÁNICA
1era Práctica Calificada
CURSO: CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
PROFESOR: CUEVA PACHECO Ronald
ALUMNO: VERA RUIZ Jonathan Efraín
CÓDIGO: 20104004G SECCIÓN: “D”
LIMA - PERU
Septiembre – 2013
Tracción Simple
Índice
Enunciado del Problema............................................................................. 3
Solución...................................................................................................... 4
Grados de Libertad Nodales....................................................................... 5
Vector Carga............................................................................................... 6
Matriz de Rigidez........................................................................................ 7
Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8
Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9
Diagrama de Flujo....................................................................................... 10
Uso de Matlab............................................................................................. 11
Conclusiones……………………………………………………………………. 14
Página 2
Tracción Simple
PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
(TRACCION SIMPLE)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es
constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el
apoyo. Utilizar tres elementos finitos.
Considerar:
PA = 50 KN
t (espesor) = 150 mm
E = 3.0x105 N/mm2
Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3
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Tracción Simple
SOLUCIÓN:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos
tendrán longitud de 600, 400 y 200mm.
Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:
b1=(1000+500 )2
=750 mm
b2=(500+500 /3 )2
=333 .333 mm
b3 =500/32
=83 .333 mm
Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:
Y las áreas se calculan de la siguiente relación: A1= b1 x t
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Tracción Simple
Cuadro de conectividad:
e
NODOS GDL le
(mm)
Ae
(mm2)(1) (2) 1 2
1 1 2 1 2 600 112500
2 2 3 2 3 400 50000
3 3 4 3 4 200 12500
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)
A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
Luego el vector de desplazamiento será:
Q∫¿ =¿ [0 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3¿ ] ¿
¿¿¿
¿
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Tracción Simple
Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son
incógnitas que tendrán que ser calculadas.
3. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
F11=
y ( Axl )12
+R1 = 2647 .7+ R1 N
F21=y ( Axl )12
+PA = 52647 .7 N
F22=
y (Axl )22
= 784 .5 N
F32 =
y (Axl )22
= 784 .5N
F33 =
y (Axl )32
= 98.1 N
F43 =
y (Axl )32
= 98 .1 N
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
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Tracción Simple
F1= F11 = 2647 .7 + R1 N
F2= F21 + F2
2 = 53432.2 N
F3 = F32 + F3
3 = 882 .6 NF4 =F4
3 = 98 .1 N
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera
F1= ¿ [F 1¿ ] [F 2¿ ] [F3 ¿ ] ¿¿
¿
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada
por la siguiente ecuación:
Ki∫¿= (AEl )1 ¿
[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿
¿¿
+ ( AEl )2¿ [0 0 0 0 ¿ ] [0 1 −1 0 ¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿
¿¿− ( AEl )
3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿
¿¿
Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad
obtenemos:
Ki∫¿= (112500 x 3x 105600 )
1¿
[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿
¿¿+ (50000 x3 x105400 )2¿ [0 0 0 0¿ ] [0 1 −1 0¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿
¿¿
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Tracción Simple
+ (12500 x3 x105200 )3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿
¿¿
Finalmente:
Ki∫¿= 10
5x ¿
[ 562.5 −562 .5 0 0 ¿ ] [−562 .5 937 .5 −375 0 ¿ ] [ 0 −375 562.5 −187 .5¿ ]¿¿
¿¿
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
F i = K i∫ Q∫¿¿
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
¿ [2647 .7 + R1 ¿ ] [ 53432.2 ¿ ] [882 .56 ¿ ]¿¿
¿= 105 x ¿ [ 562.5 −562 .5 0 0 ¿ ] [−562 .5 937 .5 −375 0 ¿ ] [ 0 −375 562.5 −187 .5¿ ]¿¿
¿
Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:
¿ [ 53432 .2 ¿ ] [882.56 ¿ ]¿¿
¿= 105 x ¿ [ 937 .5 −375 0 ¿ ] [ −375 562 .5 −187 .5 ¿ ] ¿¿
¿Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
Q2 = 96 .734 x 10−5 mm
Q3 =99 .35 x10−5 mm
Q4 =99 .872 x10−5 mm
Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:
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Tracción Simple
[2647 .7 + R1 ] = 105 x [562 .5 −562.5 0 0 ]¿ [0 ¿ ] [Q2 ¿ ] [Q3 ¿ ] ¿¿
¿Resolviendo obtenemos:
R1=−57060 .5 N
6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente
ecuación:
σ e=( El )e
[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿
¿
Y obtenemos lo siguiente:
σ 1= ( 3 x 105600 )1
[−1 1 ] ¿ [ 0 ¿ ] ¿¿
¿
σ 2= ( 3 x 105400 )2
[−1 1 ] ¿ [96 .734 ¿ ] ¿¿
¿
σ 31= ( 3 x 105200 )3
[−1 1 ] ¿ [ 99.35 ¿ ] ¿¿
¿
7. RESULTADOS Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
R1 =−57060 .5 N
σ1 = 0 .48367N
mm2
σ 2= 0 .01961N
mm2
σ 3= 0 .007845N
mm2
8. DIAGRAMA DE FLUJO
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Tracción Simple
INICIO
INGRESO DE DATOSCONSTANTES : E, f, tVECTORES : L, A, P
CALCULO DE VECTORES
F=
[AL1 γ2
+R1
AL2 γ2
+ AL1 γ2
+P A
AL3 γ2
+ AL2 γ2
AL3 γ2
] ; K=
[EA1
L1−EA1
L10 0
−EA1
L1EA2
L2+EA1
L1−EA2
L20
0 −EA2
L2EA3
L3+EA2
L2−EA3
L3
0 0 −EA3
L3EA3
L3]
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL
[AL1 γ2
AL2 γ2
+ AL1 γ2
+P A
AL3 γ2
+ AL2 γ2
AL3 γ2
]=
[−1 −EA1
L10 0
0EA2
L2+EA1
L1−EA2
L20
0 −EA2
L2EA3
L3+EA2
L2−EA3
L3
0 0 − EA3
L3EA3
L3] [R1Q2Q3Q4
]IMPRESIÓN DE RESULTADOS
R1 , Q2 , Q3 , Q4 , E1 , E2 , E3
FIN
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Tracción Simple
9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
SCRIPT
clcclear allR1=sym('R1');%datos de entradab0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):')bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):')t=150 %input('Ingrese espesor(mm):')h=1200 %input('Ingrese altura(mm):')n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:')E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):')y=0.00007845 %input('Ingrese densidad(N/mm3):')Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):') %calculo de bases y áreas de elementosle=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1); Fe=zeros(n+1,1);bo(1)=b0; ho(1)=h;for i=1:n if n>i le(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):'); b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2; a(i)=b(i)*t; ho(i+1)=ho(i)-le(i); bo(i+1)=2*b(i)-bo(i); else le(i)=ho(i); b(i)=(bn+bo(i))/2; a(i)=b(i)*t; end enddisp('Bases(mm):')disp(b')disp('Longitudes(mm):')disp(le')disp('Areas(mm^2):')disp(a') %calculo de las fuerzasfor i=1:n Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2;end for i=1:n+1 if i==1 F(i)=Fe(i); elseif i==n+1 F(i)=Fe(i-1); else F(i)=Fe(i-1)+Fe(i); endendF(2)=F(2)+Pa;
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Tracción Simple
disp('El vector de fuerzas(N):')disp(F') %calculo de la matriz rigidezk=zeros(n+1);for i=1:n x=zeros(n+1); x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1; k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x;enddisp('La matriz de rigidez es(N/mm):')disp(k) %calculo de desplazamientosinv(k(2:n+1,2:n+1));((F(2:n+1))');Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))');Q=[0;Q];disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):')disp(Q) %calculo de la reaccionk(1,:)*Q;R1=k(1,:)*Q-F(1);disp('La reaccion en el extremo es:')disp(R1) %calculo de esfuerzosfor i=1:n e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];enddisp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):')disp(e');
VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB
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Tracción Simple
CONCLUSIONES
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Tracción Simple
Podemos apreciar, al utilizar más nodos, que las respuestas no varían enormemente, solo aumentan la precisión con la cual se presentan.
Se recomienda utilizar un número moderado de nodos, ya que las operaciones con matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el número de nodos.
Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de micras), además todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como referencia.
En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos específicamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones y esfuerzos; es por ello que se utilizó en el desarrollo milímetros en vez de metros.
Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro sistema de referencia.
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