Trabajo y energía. Introducción -...

Trabajo y energía. Introducción

204/11/2016

En los temas anteriores hemos analizado el movimiento de los cuerpos(cinemática) y las causas que lo producen (leyes de Newton). Desde un punto de vistafundamental, con estos conocimientos, podríamos abordar el análisis delcomportamiento mecánico de cualquier sistema. Sin embargo, es obvio que laaplicación de las leyes de la Cinemática y de Newton a sistemas reales es en generalmuy complicado desde un punto de vista matemático. Esta complicación proviene dedos factores principales: Las magnitudes que definen el movimiento de los cuerpos sonmagnitudes vectoriales y la mayoría de los sistemas están formados por muchossubsistemas. Esto hace que sea interesante en desarrollar las leyes de Newton para quela descripción matemática del movimiento sea más simple.

A esto nos vamos a dedicar en este tema y en el siguiente. En este primertema introduciremos unas magnitudes Físicas escalares, el trabajo de una fuerza y laenergía, que bajo ciertas circunstancias permiten analizar matemáticamente elmovimiento de los sistemas mecánicos de forma más simple. Por otro lado, en el temasiguiente analizaremos resultados generales que tienen que ver con sistemas mecánicosformados por muchos subsistemas (sistemas de partículas).

Es interesante subrayar que la realidad viene dada por las definiciones dadaspor la cinemática y las Leyes de Newton. Todo lo que vamos a analizar en este tema esun “artificio” matemático para tratar de simplificar el análisis de los sistemasmecánicos.

Trabajo y energía. Introducción

304/11/2016

4.1.- Introducción.

4.2.- Trabajo realizado por una fuerza.

4.3.- Concepto de energía. Energía cinética.

4.4.- Fuerzas conservativas. Energía potencial.

4.5.- Principio de la conservación de la energía mecánica.

4.6.- Potencia.

ESQUEMA DE DESARROLLO

Trabajo y energía. Trabajo realizado por una fuerza

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DEFINICIÓN DE TRABAJO DE UNA FUERZA:

X

Y

Z

1r

2r

r∆

F

( )( )

12 cos

cos

W F r F r F r

F r F r

= ⋅∆ = ∆ ∧∆ =

= ⋅∆ ⋅ ∧ ∆

El trabajo que una fuerza hace sobre un sistema cuando estesufre un desplazamiento infinitesimal viene dado por:


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DEFINICIÓN DE TRABAJO DE UNA FUERZA:

1lim

m B

AB i i Am iW F r F dr

→∞=

= ⋅∆ = ⋅∑ ∫

A

B

Si extendemos este concepto a la trayectoria seguida por un sistema mecánico para ir de unpunto A a un punto B podemos definir.

Definición de trabajo de una fuerza: El trabajo que una fuerza realiza sobre una partículaal trasladarse esta entre dos puntos A y B es igual a la integral de línea de la fuerza a lolargo de la trayectoria que une ambos puntos.

Consecuencias directas de la definición

1.- El trabajo realizado por una fuerza es una magnitud escalar y quedará perfectamentedefinido con un número y las unidades de trabajo que estemos utilizando.


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2.- Las unidades del trabajo realizado por una fuerza son el producto de una unidad defuerza por una unidad de longitud, es decir:

En el sistema internacional las unidades del trabajo son el Newton por metro que recibe unnombre especial, Julio (J), es decir:

3.- Debido a que el trabajo se define a partir del producto escalar de dos vectores podemosescribir también el trabajo como:

por tanto, el trabajo realizado por una fuerza es máximo cuando es tangencial a latrayectoria de una partícula siendo mínimo (cero) cuando es perpendicular a la trayectoria.

4.- Si dividimos la fuerza en una componente tangente a la trayectoria y otra normal a latrayectoria tenemos que todo el trabajo será debido a la componente tangencial mientras quela componente normal no efectuará ningún trabajo, es decir, solo la componente queproduce una variación en el módulo de la velocidad va a producir trabajo.

[ ] [ ]ABW F L = ⋅

1 J = 1 N m

( )cosB B

AB A AW F dr Fdr F dr= ⋅ = ∧∫ ∫


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5.- En un movimiento circular con velocidad angular constante, la fuerza neta aplicada alsistema no realiza trabajo alguno.

6.- Si la componente tangencial de la fuerza actúa en el sentido en el que tiene lugar elmovimiento, es decir, el sistema se acelera, el producto escalar resultante y, por tanto, eltrabajo, es positivo. Cuando la componente tangencial de la fuerza actúa en sentidocontrario al movimiento, es decir, el sistema se decelera, el producto escalar resultante y,por tanto, el trabajo, es negativo.

7.- El trabajo que realiza una fuerza depende, en general, de la trayectoria seguida por lapartícula para ir desde A hasta B.

8.- El trabajo que realiza una fuerza tangencial en todo punto a la trayectoria y de móduloconstante para llevar una partícula de un punto A a otro punto B es

donde L es la longitud total de la trayectoria seguida.

Ejercicio.- Si una partícula recorre 6 m bajo la acción de una fuerza constante, calcular: a)Trabajo realizado por la fuerza si es de 8 N y forma un ángulo de 60º con la horizontal; b)Valor de la fuerza horizontal necesaria para que el trabajo sea de 18 J.

B B B

AB A A AW F dr Fdr F dr FL= ⋅ = ± = ± = ±∫ ∫ ∫

Trabajo y energía. Concepto de energía. Energía cinética.

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CONCEPTO DE ENERGÍA

Según lo visto en el apartado anterior, el trabajo está relacionado con la “capacidad”que tiene una fuerza de producir un cambio en el módulo de la velocidad que tiene el sistema. Deuna forma más general nos podemos plantear la “capacidad” que tiene un sistema de producir unavariación en el movimiento de otro sistema. Esta ampliación del concepto de trabajo nos va allevar al concepto de energía.

Podemos definir el concepto de energía de diferentes maneras equivalentes entre sí. Aquí vamos autilizar dos definiciones equivalentes

Definición 1.- Capacidad de un sistema para hacer un trabajo sobre otro sistema.

Definición 2.- Trabajo “almacenado”, o trabajo latente, en un sistema que puede convertirse entrabajo bajo condiciones adecuadas.

En cualquiera de las dos definiciones está claro que la energía está relacionada con lacapacidad de un sistema para realizar un trabajo sobre sí mismo o sobre otro sistema. Ladiferencia entre ambas estriba en que la primera definición deja abierta la posibilidad de convertirtoda la energía almacenada en un sistema en trabajo, mientras que la segunda, al requerir las“condiciones adecuadas”, indica que difícilmente toda la energía del sistema podrá convertirse entrabajo. La primera definición sería más adecuada en sistemas microscópicos mientras que lasegunda lo sería en sistema macroscópicos (por ejemplo en Termodinámica).


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En ambas definiciones queda claro que puesto que la energía es en realidad lacapacidad de un sistema para realizar un trabajo, el patrón de la energía es el mismo que eldel trabajo que en el sistema internacional hemos visto que es el julio.

Es importante señalar que, al contrario que de lo que ocurría con las fuerzas, laenergía no es un estado físico real, ni una "sustancia intangible" sino sólo una magnitudescalar que se le asigna al estado del sistema físico, es decir, la energía es una herramienta oabstracción matemática de una propiedad de los sistemas físicos.

Finalmente nótese, que al estar ligado al trabajo, el concepto de energía estárelacionado con el concepto de fuerza. Esto último hace que, al igual que ocurría en el casode las fuerzas, aunque podamos hablar de muchos tipos de energía todos ellos puedenexplicarse en virtud de los cuatro tipos fundamentales de interacciones.


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Energía cinética

Vamos a suponer un cuerpo o sistema mecánico que se mueve desde un punto A aun punto B y sobre el que actúa una fuerza neta . Por definición tendremos que el trabajoque realiza la fuerza neta sobre el sistema en dicho desplazamiento será:

En virtud de la segunda ley de Newton, la fuerza neta actuando sobre un cuerpotiene que ser igual a la masa inercial del cuerpo por su aceleración:

B

AB AW F dr= ⋅∫

A

B

F

( )2 2 2

2 2 2

B B B B

AB A A A A

BB B B

B AAA AA

dv drW ma dr m a dr m dr m dvdt dt

v v m mm dv v m v dv m v v v

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ = = = −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫


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Si definimos la energía cinética como:

podemos interpretar el resultado obtenido en diciendo que el trabajo realizado por la fuerzaneta actuando sobre un sistema es igual a la variación de su energía cinética.

Ejercicio.- Un objeto de 5 kg de masa se levanta mediante una cuerda que ejerce unatensión de 75 N y hace que el objeto ascienda 3 m, partiendo del reposo. Determinar: a)Trabajo realizado por la tensión; b) Trabajo realizado por la gravedad; c) Velocidad finaldel objeto.

Ejercicio.- Una partícula de 5 kg de masa, partiendo con una velocidad inicial de 12 m/s,recorre 3 m en una trayectoria rectilínea bajo la acción de una fuerza dada por F=Cx3,donde C=2 N/m3. Determinar el trabajo realizado por la fuerza y la velocidad final de lapartícula.

212CE mv=

( )2 2

2AB B AmW v v= −

( ) ( )AB c cW E B E A= −

Trabajo y energía. Fuerzas conservativas. Energía potencial.

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Fuerzas conservativas y no conservativas

Supongamos que un sistema se mueve desde un punto A a un punto B del espaciobajo la acción una fuerza neta. Como hemos visto esta fuerza en general (salvo que dichafuerza sea normal a la trayectoria) va a realizar un trabajo sobre el sistema dado por:

Como hemos visto de esta definición se derivaban una serie de cuestionesimportantes de las que aquí destacaremos la dependencia, en general, del trabajo de latrayectoria seguida por el sistema para ir desde el punto A al punto B. Esta consecuencia dela definición de trabajo de una fuerza es general, sin embargo existen fuerzas para las cualesel trabajo realizado no depende de la trayectoria seguida sino solamente de los puntosinicial y final. Esta propiedad permite distinguir o hacer una selección de los diferentestipos de fuerzas existentes en la naturaleza:

a).- Fuerzas de tipo conservativo: aquellas en las que el trabajo que realizan para pasar deun punto a otro es independiente de la trayectoria seguida y depende sólo de los puntosinicial y final.

b).- Fuerzas de tipo no conservativo: aquellas en las que el trabajo que realizan para pasarde un punto a otro depende de la trayectoria seguida.

B

AB AW F dr= ⋅∫


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El trabajo realizado por las fuerzas de tipo no conservativo es en general difícil deevaluar, depende del tipo concreto de fuerza, y, en cualquier caso, no pueden obtenerseresultados teóricos generales interesantes para el mismo. Aquí vamos a analizar las fuerzasde tipo conservativo y vamos a ver que, en general, el cálculo del trabajo que realizan va aser mucho más sencillo.

Puesto que, por definición, el trabajo de las fuerzas conservativas esindependiente de la trayectoria dependiendo sólo de los puntos inicial y final, debe depoder escribirse como la diferencia de una función escalar evaluada en dichos puntos, esdecir:

esto significa que la integral debe de tener una función primitiva.

Además, por la definición de integral, dicha función escalar debe de menos lafunción primitiva de la integral del producto escalar de la fuerza por diferencial de :

A la función se le denomina energía potencial y como se verá a lo largo de este cursolas fuerzas gravitatoria y electrostática son conservativas y podremos definir, por tanto, unaenergía potencial gravitatoria y una energía potencial electrostática.

( ) ( )B

AB p A p BAW F dr E r E r= ⋅ = −∫

( )pE r F dr K= − ⋅ +∫

( )pE r

dr


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Energía potencial gravitatoria

En primer lugar vamos a comprobar que la fuerza o interacción gravitatoria es una fuerzaconservativa para ello vamos a calcular el trabajo realizado por dicha fuerza cuando nosmovemos desde un punto con un vector posición a un punto con un vector posición . Eltrabajo realizado por la fuerza gravitatoria vendrá dado por:

ˆrdru

Ar

Br

( )

( )

2

2

2

2

ˆ

ˆ ˆ ˆ

1 ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1 1 1

B B

A A

B

A

B

A

BB

AA

B r r TAB rA r r

r Tr rr

r

T r r rr

rr

T T Tr r B A

Gm mW F dr F dr u drr

Gm m u dru d ur

Gm m dru u d u ur

Gm m dr Gm m Gm mr r r r

⊥

⊥

= ⋅ = ⋅ = − ⋅ =

= − ⋅ + Θ =

= − ⋅ + Θ ⋅ =

= − = = −

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

ˆd u⊥Θ

dr

A

B


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Podemos calcular fácilmente el valor de la energía potencial gravitatoria evaluando laintegral indefinida

ˆrdru

( )

( )

2

2

2

2

ˆ( )

ˆ ˆ ˆ

1 ˆ ˆ ˆ ˆ

1

Tp r

Tr r

T r r r

TT

Gm mE r F dr K u dr Kr

Gm m u dru d u Kr

Gm m dru u d u u Kr

Gm mGm m dr Kr r

= − ⋅ + = ⋅ + =

= ⋅ + Θ + =

= ⋅ + Θ ⋅ + =

= = − +

∫ ∫

∫

∫

∫

ˆd u⊥Θ

dr

F dr⋅∫

Lo habitual es tomar el origen de energía potencial gravitatoria, es decir,Ep=0 en r→∞, en cuyo caso la constante de integración se anula y laenergía potencial gravitatoria tomaría la forma:

( ) Tp

Gm mE rr

= −


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Supongamos ahora que queremos calcular la diferencia de energía potencial gravitatoriaentre dos puntos muy próximos a la superficie de la tierra.

( )2( ) ( ) Tp A p B B A

T

GmE r E r m h h mghR

− = − =

RT

hB

hAB T

A T

h Rh R


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Energía potencial elástica

Como vimos en el tema anterior cuando se ejerce una fuerza moderada de tracción ocompresión sobre un sólido la deformación, elongación o contracción, que sufre es, enprimera aproximación, directamente proporcional a la fuerza a través de una constante quedepende de las propiedades del material y que se denomina constante elástica del material.

F kx

F

x

( )2

2 2

1 11

22 22 12 2

xB x x

AB A x xx

x kW F dx kx dx k xdx k x x

= ⋅ = − ⋅ = − = − = − −

∫ ∫ ∫

El trabajo realizado por esta fuerza será igual a

Por lo tanto la energía potencial elástica será igual a:2

( )2P

kxE x =

Trabajo y energía. Principio de conservación de la energía mecánica.

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Principio de conservación de la energía mecánica

Vamos a considerar un sistema sobre el cual está actuando un conjunto de fuerzas quepodremos separar, según la definición que hemos dado, en conservativas y noconservativas:

El trabajo realizado por estas será igual a:

El trabajo realizado por la fuerza neta hemos visto que es igual a la variación de la energíacinética, es decir

( ) ( )

1 1

n mconservativas no conservativas

i j netai j

F F ma F

( ) ( )

1 1

( ) ( )

1 1

( ) ( )

1

n mBconservativas no conservativas

i jA i j

n mBconservativas no conservativas

i jA i j

n Bconservativas no conservativas

i iAi

F F dr

F dr F dr

F dr F d

1

n B B

netaA Ai

r F dr

( ) ( )B

neta c cAF dr E B E A⋅ = −∫


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Por otro lado, el trabajo realizado por cada una de las fuerzas conservativas puede escribirsecomo la diferencia de evaluar una función potencial al inicio y al final de la trayectoriaconsiderada, es decir:

De donde:

Definiendo la energía mecánica como:

Si sobre el sistema no actúan fuerzas no conservativas tenemos:

( )

1 1

( ) ( )i i

n nBconservativas

i P PAi i

F dr E A E B

( )

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

i i

i i

n nBno conservativas

i c c P PAi i

n n

c P c Pi i

F dr E B E A E B E A

E B E B E A E A

( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

n n Bno conservativas

mecanica c P mecanica mecanica iAi i

E r E r E r E B E A F dr

mecanicaE cte


2004/11/2016

Ejercicio.- Si una partícula de 200 g se suspende de un hilo de 80 cm de longitud y sesepara 45º de la vertical, determinar: a) Velocidad cuando pasa por la posición deequilibrio; b) tensión del hilo en esa posición.

Solución: a) 2.16 m/s b) 3.17 N

Ejercicio.- Una partícula de masa m desliza sin rozamiento por la pista de la figura.Determinar: a) Valor mínimo de la altura H desde la que hay que dejarla caer para quecomplete la trayectoria circular de radio R; b) Velocidad de la partícula en esa posición.

Solución: a) H=2.5R b) gR


2104/11/2016

Ejercicio.- Una partícula se deja en libertad en la parte superior de un plano inclinado de 30ºy 4 m de altura. Si el coeficiente de rozamiento es 0.2, determinar su velocidad al llegar alsuelo. Solución: 7.23 m/s.

Ejercicio.- Un objeto de 3 kg se deja libre a unaaltura de 5 m sobre una rampa curva y sinrozamiento, como en la figura. Si el objeto sedesliza por la rampa y choca contra un muelle deconstante elástica k=400 N/m, determinar: a)Velocidad del bloque antes de chocar contra el

Ejercicio.- Un bloque de 2 kg se deja en libertadsobre un plano inclinado de 30º a una distancia de 4m de un muelle de constante 100 N/m. Determinar:a) Máxima compresión del muelle en ausencia derozamiento; b) Máxima compresión del muellecuando el coeficiente de rozamiento es µ=0.2; c)Distancia que subirá el bloque cuando abandone elmuelle si µ=0.2. Solución: a) 1 m b) 0.79 m c) 2.32m

muelle; b) Distancia x que comprime al muelle antes de quedar momentáneamente enreposo. Solución: a) 10 m/s b) 0.87 m

Trabajo y energía. Potencia.

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Potencia

Supongamos que queremos subir una caja pesada a una cierta altura:

minplano sinF mg minpoleaF mgminpolea minplanoF F

W mgh

hL

Aplicamos F>Fminpolea>Fminplano y calculamos la aceleración y el tiempo que tardamos ensubir la caja en cada caso:

sin

2sin sin

plano

plano

F mga

mmht

F mg

2

polea

polea

F mgammht

F mg

sinsin( ) 1polea

plano

polea plano

t F mgt F mg

t t


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Potencia

La potencia que desarrolla un sistema es igual a la variación de la energía respecto altiempo:

Las dimensiones de la potencia serán la energía o el trabajo divido por unidad de tiempo,que en el sistema internacional serán el julio partido por segundo, y a esta unidad se ledenomina watio (W):

J J 1 W = 1 s s

WP

t

dWPdt

Es muy usual, sin embargo, utilizar para esta magnitud otro patrón de medida, el caballo devapor (HP o CV), cuya relación con el vatio es la siguiente:

Es interesante hacer notar que a veces se utiliza la potencia por unidad de tiempo paraexpresar la energía, así, por ejemplo, es muy usual hablar del kilovatio·hora. Sin embargoesta cantidad equivale a una energía o trabajo y no hay que confundirla con una unidad depotencia.

31 W = 1.3405 10 HP1 HP = 1 CV = 746 W


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Potencia

Teniendo en cuenta la definición de potencia y teniendo en cuenta la definición de trabajo seobtiene:

Ejercicio.- Un pequeño motor mueve un ascensor que eleva una carga de ladrillos de peso800 N a una altura de 10 m en 20 s. ¿Cuál es la potencia mínima que debe suministrar elmotor?

Ejercicio.- Un automóvil acelera a máxima potencia de 0 a 96 km/h en 6.5 s. Suponiendoque la potencia es constante en todo el proceso de aceleración ¿Cuánto tiempo necesitarápara acelerar de 80 km/h a 112 km/h?

dW F dr drP F F vdt dt dt

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