Trabajo y Energia

Captulo 4

Trabajo y energa

4.1. Trabajo y energa cintica

El trabajo dW que efecta una fuerza aplicada ~F sobre uncuerpo P que se desplaza una distancia d~r es

Ca

b

Figura 4.1: El trabajo de una fuerza ~F cuando el cuerpo se desplaza desde un punto a a un puntob a lo largo de un camino C. Slo en casos especiales la integral (4.1.2) no depende del camino Cseguido al hacer la integral.

dW = ~F d~r (4.1.1)Si no hay desplazamiento no hay trabajo.Si la fuerza vara de punto en punto: ~F(~r ) y el cuerpo P se mueve desdeel punto a hasta el punto b, por el camino C, entonces el trabajo efectuadopor la fuerza es

Wab(C) = b

a (C)~F d~r (4.1.2)

El trabajo se mide en Joule, que es una unidad de energa.

87

88 P. Cordero S. & R. Soto B. versin de 21 de abril de 2008

C

C

Y

X

2

1

(x,y)

( ,0)xFigura 4.2: En el ejemplo se definen dos caminos, C1 y C2 para calcular la integral de trabajo.

EJEMPLO: Considrese un cuerpo que se mueve en el plano XY debido auna fuerza dada por la expresin

~F =Ax2 y5

5 Bx3 y4

3j (4.1.3)

Se har la integral de trabajo asociada a esta fuerza, entre los puntos (0,0)y (x, y) siguiendo dos caminos: C1 es el camino que primero va en formarecta desde el origen hasta (x,0) y luego en forma recta desde este ltimopunto a (x, y) y C2 es el camino recto entre los dos puntos extremos.La integral de trabajo por C1 es

W (C1) = x

0~F dx+

y0 x=x(y=0)

~F j dy

= 0 x3

3By5

5

= Bx3 y5

15Para poder hacer la integral por C2 se debe tener claro que (a) la rectaC2 es descrita por la ecuacin x y = y x, entonces se puede, por ejemplo,integrar con respecto a x usando un integrando donde se ha reemplazadoy = y x/x; (b) se debe usar d~r = dx + j dy = (+ j y

x

)dx. (c) Ahora es trivial

hacer el producto punto ~F d~r e integrar con respecto a x lo que da:

W (C2) =(

A40

+B24

)x3 y5

4.1. TRABAJO Y ENERGA CINTICA Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Mecnica 89

que no coincide con W (C1) salvo que A = B.

Obtenga la forma de d~r en el ejemplo anterior con x = y para el caso en que sedesee hacer la integral a lo largo de una semicircunferencia que parte del origenhacia arriba y tiene su centro en (x,0). Calcule la integral de camino en el casoA = B.

En la definicin (4.1.2) no se ha dicho que ~F sea la nica causa del mo-vimiento. Cuando sobre el cuerpo P estn actuando varias fuerzas ~Fk, sepuede definir un trabajo W (k)ab(C) asociado a cada una de ellas usando elcamino C de a a b,

W (k)ab(C) = b

a (C)~Fk d~r (4.1.4)

Si el desplazamiento es perpendicular a la fuerza considerada, esa fuerzano ejerce trabajo.El trabajo total es el que efecta la fuerza total,

W totalab(C) = b

a (C)~F total d~r

= m

ba (C)

d~vdt d~r

= m tb

ta (C)

d~vdt ~vdt

= m

~vb~va (C)

~v d~v

=m

2

v2bv2a (C)

dv2

=m

2v2b

m

2v2a (4.1.5)

Se define la energa cintica K de un cuerpo de masa m y velocidad~v como

K =12

mv2 (4.1.6)

Y de aqu que el trabajo total pueda expresarse como la diferencia entre laenerga cintica final menos la energa cintica inicial.

W totalab(C) = KbKa (4.1.7)

Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias


El signo de W total indica si el sistema ha ganado (W > 0) o perdido (W < 0)energa cintica. Por ejemplo, si una partcula es lanzada verticalmentehacia arriba con rapidez inicial v0 y en algn momento se detiene, el trabajoefectuado por la fuerza total a lo largo de la trayectoria, sobre esa partcula,desde que fue lanzada hasta que se detiene, es 12 mv20.

El trabajo de la fuerza total en el caso de un cuerpo que se mueve con rocesobre una superficie a rapidez constante, es nulo. Pero, para comprenderbien los conceptos es preferible separar el trabajo efectuado por la fuerzaf que arrastra al cuerpo, Wf , del trabajo Wr asociado a la fuerza de roce.El trabajo Wf es positivo porque el desplazamiento apunta en la mismadireccin que la fuerza, mientras que Wr es negativo y se cumple que Wf +Wr = 0.

En un movimiento circunferencial con velocidad angular constantela fuerza total no efectua trabajo, por dos razones: ella es perpendi-cular al desplazamiento y la rapidez no cambia.Si un cuerpo desliza con roce sobre una superficie en reposo, la fuer-za normal ~N no efecta trabajo, porque es perpendicular al desplaza-miento.

dsdz

Figura 4.3: El camino recorrido ds y la altura descendida dz se relacionan trivialmente con lapendiente.

Cuando un carro baja por una montaa rusa sin roce, depende el trabajo queefecta el peso de la forma de la montaa? Al avanzar una distancia ds = d~r enuna zona en la cual el riel forma un ngulo con la vertical, el carro desciendeuna altura dz = ds cos . El trabajo infinitesimal es dW = m~g d~r = mgdz. Al integrarse obtiene que el trabajo solo depende de la altura descendida z: W = mgz, que nodepende de la forma del riel.

EJEMPLO: Se ilustra una forma como se puede utilizar la relacin (4.1.7)para resolver un problema. Se considerar el ejemplo visto en 3.3.2 de unpndulo de largo R apoyado en un plano inclinado, con el cual tiene roce, fi-gura 3.7, asociada a la ecuacin (3.3.9). El desplazamiento es d~r = Rd .

4.1. TRABAJO Y ENERGA CINTICA Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Mecnica 91

De las fuerzas, tanto la tensin ~T del hilo, como la normal ~N son perpendi-culares al desplazamiento, por tanto no efectan trabajo. Las fuerzas ques contribuyen son la fuerza de roce ~FRD = N , (con N = mgcos ) y lacomponente del peso a lo largo de , que es mgsin cos . El trabajo dela fuerza total, entonces, es el trabajo que efectan estas dos fuerzas:

W total=0=1 = 1

0(mgsin cos mgcos ) Rd (4.1.8)

donde 1 es el ngulo en el cual el pndulo se detiene. Como ha partidodel reposo el trabajo total tiene que ser cero y entonces la integral anteriordebe ser nula

mgsin sin 1 mgcos 1 = 0 (4.1.9)que implica la relacin

= sin11 tanque es (3.3.18).

4.2. Potencia

Se define la potencia como la variacin del trabajo con el tiempo

P =dWdt (4.2.1)

Si esta potencia es positiva se trata de potencia entregada al sistema y,si es negativa, es potencia que el sistema pierde. Cuando se trata de lapotencia asociada a la fuerza total, P es energa cintica por unidad detiempo que el sistema gana (P > 0) o pierde (P < 0).Si una de las fuerzas actuando sobre un cuerpo es ~F y en ese instante suvelocidad en~v entonces

dW = ~F d~r = ~F ~vdt (4.2.2)y la potencia asociada a esta fuerza es

P = ~F ~v (4.2.3)Si la dependencia de P en el tiempo es conocida, el trabajo puede calcu-larse como

W = t

t0P(t )dt



Un cuerpo en cada libre tiene velocidad ~v =gt k y la fuerza queest actuando es el peso ~F = mg k. La potencia que el peso le estentregando al cuerpo que cae es P = (gt k) (mg k) = mg2 t.

Pero si el cuerpo ha sido lanzado hacia arriba, entonces~v = (v0gt) ky, mientras t < v0/g, se est perdiendo potencia: P = (v0 gt)mgt,porque el trabajo de la fuerza peso en ese lapso es negativo.

La fuerza efectiva que mantiene a velocidad constante a un auto-mvil es opuesta al roce viscoso cuadrtico, y es F = v2. La potenciaentonces es P = v3, lo que muestra lo rpido que aumenta la poten-cia consumida a medida que aumenta la velocidad.

4.3. La energa cintica de un sistema

Recordando que~ra = ~RG +~a se puede demostrar que la energa cinticapuede ser separada en la energa cintica del sistema en su conjunto y laenerga cintica total con respecto al centro de masa:

Ktot =12

N

a=1

mava2

=12

N

a=1

ma

(~VG + ~a

)2

=12

N

a=1

ma

(V 2G + 2a + 2 ~a ~VG

)

pero el ltimo trmino en el parntesis es nulo debido a que a ma~a = 0.De aqu que

Ktot =12

MV 2G +12

N

a=1

ma2a (4.3.1)

La energa cintica total se divide en la energa cintica asociada a la ma-sa total con la velocidad del centro de masa ms la energa cintica conrespecto al sistema de referencia G.

4.3. LA ENERGA CINTICA DE UN SISTEMA Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Mecnica 93

ro

CC1

3C2

r

Figura 4.4: El trabajo de una fuerza ~F conservativa que se calcula con caminos C1, C2 etc. entrepuntos~r0 y~r es siempre el mismo.

4.4. Fuerzas conservativas y energa potencial

4.4.1. Energa mecnica

Se dice que una fuerza es conservativa cuando la integral de trabajo (4.1.2)que se le asocia no depende del camino C escogido. Si se integrapordiversos caminosentre un punto~r0, que se fija arbitrariamente, y un punto~r, siempre se obtiene el mismo valor W (~r).Resulta natural, entonces, definir la funcin asociada a la integral trabajo.Supongamos que se escoge un punto arbitrario~r0 y se hace la integral detrabajo desde este punto a un punto cualquiera~r. En general esta integraldepende del camino escogido. Si la fuerza que se est considerando es talque el trabajo que se le asocia no depende del camino de integracin, sinoque da el mismo valor cada vez que se integra desde~r0 hasta~r, adquieresentido definir una funcin

U(~r ) = ~r~r0

~F d~r (4.4.1)

a la que se llama energa potencial asociada a la fuerza ~F. Estrictamentedebiera decirse que U depende tanto de~r como de~r0, pero ya se ver que~r0 siempre es dejado fijo mientras que el otro punto es variable y juega unpapel interesante.



En el prrafo anterior se ha dicho que existen fuerzas, llamadasconservativas, para las cuales la integral de trabajo no depende delcamino de integracin y para estas fuerza se puede definir una fun-cin escalar U(~r ) llamada energa potencial.

Si la fuerza total ~F total, actuando sobre un cuerpo, es una fuerza conser-vativa, entonces el trabajo que esta fuerza efecta cuando el cuerpo sedesplaza de a a b es

Wab = ~rb~ra

~F total d~r

=

~r0~ra

~F total d~r + ~rb~r0

~F total d~r

=

~ra~r0

~F total d~r + ~rb~r0

~F total d~r

= U(~ra)U(~rb) (4.4.2)pero ya se sabe que tambin es

Wab = KbKa (4.4.3)lo que implica que

Kb +U(~rb) = Ka +U(~ra) (4.4.4)Pero los puntos a y b son arbitrarios, por lo cual se puede afirmar que laenerga mecnica total

E =12

mv2 +U(~r)

.

(4.4.5)

permanece constante durante la evolucin del movimiento.

Conclusin: fuerza total conservativa implica que la energa mec-nica total, (4.4.5) es una cantidad conservada, es decir, mantiene unmismo valor durante la evolucin del sistema.

Reiterando la conservacin de E se puede calcular dE/dt a partir de (4.4.5),dEdt = m~v

~v+ U ~r =~v (mv+ U

)= 0

4.4. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGA POTENCIAL Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Mecnica 95

donde se ha hecho uso que dU/dt = dU/d~r d~r/dt. En efecto U = j U/x j ydU/dt = (U/x j)(dx j/dt) = U ~v.

Ms arriba se ha dicho que si ~F es conservativa, entonces su integral detrabajo no depende del camino de integracin. Equivalentemente una fuer-za es conservativa si y solo si ella puede ser escrita como el gradiente dela funcin U de energa potencial,

~F =U(~r )

Ux

Uy

U z

(4.4.6)

La expresin anterior, escrita en componentes cartesianas, es

Fx =Ux , Fy =

Uy , Fz =

U z . (4.4.7)

Si se toma cualesquiera dos de estas relaciones y se las deriva una vezms, pero con respecto a otra coordenada, se obtiene, por ejemplo,

Fxy =

2Uxy ,

Fyx =

2Uxy

Una fuerza es conservativa si y solo si

Fxy =

Fyx ,

Fy z =

Fzy ,

Fzx =

Fx z (4.4.8)

que puede ser descrito en forma ms compacta como la condicin

~F = 0 (4.4.9)

EJEMPLO: Si se usa (4.4.8) en el ejemplo visto inmediatamente despus de(4.1.2), se obtiene Fx/y = Ax2 y4 mientras que Fy/x = Bx2 y4, es decir,la fuerza de ese ejemplo es conservativa si y solo si A = B lo que antes sepudo meramente sospechar despus de hacer dos integrales. Si A = B seconcluye que U(x,y) = x3 y5/15.



4.4.2. Energa mecnica de un sistema

Para un sistema de N partculas de masas ma (a = 1,2 . . .N) en el que slohay fuerzas conservativas entre las partculas y tambin externas (conser-vativas) al sistema, la energa mecnica total es

E =N

a=1

12

ma v2a +

a

Mecnica 97

y el parntesis redondo es cero porque al producto masa por aceleracin de cadapartcula a se le resta la fuerza total (conservativa) proveniente de los potenciales.

4.4.3. Energa de un pndulo extendido

Se considear un pndulo extendido con en la figura 4.5. Si el pndulo estinclinado un ngulo y se considera un punto arbitrario P del sector cuyo

X

Y

Figura 4.5: Un sector de crculo, de apertura 2 y radio R tiene densidad (masa por unidadde superficie) uniforme . Este oscila en el plano XY en torno al origen (y centro de curvatura delsector). El ngulo que forma la vertical con la bisectriz del ngulo 2 define totalmente la posicindel pndulo.

vector posicin~r = forma un ngulo con la vertical, entonces de define tal que = + . El ngulo tiene el rango [ , ] que define la aperturadel sector. El punto P tiene una velocidad que depende del movimiento delpndulo:

~v = no depende del tiempoLa energa cintica es

K =

22 dS2

=

22( R

03 d

)(

d)

= R4

42

donde el elemento de rea es dS = d d y el elemento de masa de dS.Tomando la energa potencial del elemento de superficie dS como dU = ghdS se debe usar h = cos = cos( + ). Integrando resulta

U =2gR3 sin

3 cos



que, naturalmente, tiene un mnimo en torno a = 0.Al exigir que la energa total: K +U no vare en el tiempo se obtiene

=4g3R

sin sin

que es una ecuacin de pndulo.

4.4.4. Fuerzas centrales y energa potencial

4.4.4.1. Energa potencial de fuerzas centrales

Se ver a continuacin que toda fuerza central de la forma

~F = f (r)~r , con r = ~r=

x2 + y2 + z2 (4.4.11)

es conservativa. Para verlo primero se nota que

rx =

x

r,

ry =

yr,

r z =

z

r

y de aquFxy =

y ( f (r)x) =

fy x =

f r

ry x =

xyr

f (4.4.12)

que es simtrica en x e y y por tanto se satisfacen las condiciones (4.4.8).Una vez que se sabe que estas fuerzas son conservativas se puede de-terminar la funcin energa potencial escogiendo un camino de integracinconveniente entre dos puntos cualesquiera~r0 y~r. Llamaremos r0 a la dis-tancia entre~r0 y el centro O asociado a la fuerza central y r a la distanciade O a~r.Ya que se tiene tres puntos especiales:~r0,~r y O, ellos definen un plano (elplano del papel en la figura adjunta). El camino se puede construir avan-zando desde ~r0 por un arco de circunferencia con centro en O hasta unpunto p (definido por ~rp) que est en la recta que une a O con ~r y desdep se sigue en lnea recta hasta ~r. La integral de camino tiene dos partes:(a) la integral ~F d~r de ~r0 hasta ~rp es nula porque mientras la fuerza esen la direccin r, el elemento de camino d~r es en la direccin tangente ala curva, que es ortogonal a r; (b) la integral desde~rp hasta~r que es unaintegral a lo largo de una lnea radial (pasa por el centro de fuerza) como


Mecnica 99

p

O r0

r

Figura 4.6: Para integrar desde~r0 hasta~r conviene tomar un camino que primero es un arco decircunferencia hasta el punto P que se muestra en la figura y luego seguir por un camino recto yradial hasta~r.

muestra la figura adjunta. Siendo as, el desplazamiento a lo largo de estecamino es radial: d~r = r dr lo que lleva a

U(r) = r

r0f (r)~r r dr =

rr0

f (r)r dr (4.4.13)

Es inmediato de lo anterior ver que la funcin de energa potencial dependetan solo de la coordenada radial r.

El gradiente de una funcin que solo depende de r, escrito en coordenadasesfricas, se reduce a U(r) = r dU/dr es decir,

~F =dUdr r (4.4.14)

lo que muestra que la fuerza que implica una funcin de energa potencialU(r) que solo depende de la coordenada radial r es una fuerza central deltipo restringido descrito en (4.4.11). Lo que se ha expresado en la frmulade arriba se puede decir en forma ms bsica: si U(r) entonces Fx = Ux = U r

rx = U

xr. Pero como ~r es el vector (x,y,z) entonces ~F = 1

rU ~r =

U r. La funcin f (r) es 1rU .



4.4.4.2. La energa potencial asociada a la fuerza de gravitacin uni-versal

La ley de gravitacin universal

~F =G M mr3

~r (4.4.15)

ya fue mencionada en 3.1. Para determinar la funcin energa potencialbasta con hacer la integral a lo largo de un radio tal como se explic en4.4.4.1, es decir, d~r = r dr. En tal caso

U = GM m r

r0

r ~r

r3dr = GM m

rr0

drr2

= GM m(

1r

+1r0

)(4.4.16)

Lo normal es escoger r0 = de donde

U(r) =GM m

r(4.4.17)

4.4.4.3. La energa potencial del oscilador armnico tridimensional

El potencial

U(r) =k2

r2 (4.4.18)

implica una fuerza,~F =U(~r ) =k~r (4.4.19)

que corresponde a la de un oscilador armnico tridimensional de largonatural nulo.Casos ms generales son

U(~r ) =k2

(rD0)2 (4.4.20)

o incluso

U(~r ) =k12

(xD1)2 +k22

(yD2)2 +k32

(zD3)2 (4.4.21)


Mecnica 101

4.5. Energa mecnica total no conservada

En general la fuerza total que acta sobre un cuerpo puede ser separa-da en una suma de fuerzas conservativas ms una suma de fuerzas noconservativas,

~F total = ~FC +~FNC (4.5.1)En consecuencia, el trabajo total efectuado desde a hasta b puede serseparado,

W total = ~rb~ra

~FC d~r + ~rb~ra

~FNC d~r

= WC +WNC

=12

m(v2b v

2a

) (4.5.2)pero

WC = UaUb (4.5.3)por lo cual

KbKa = UaUb +WNC (4.5.4)de donde resulta que

WNC = (Kb +Ub) (Ka +Ua) (4.5.5)que se puede expresar como: el trabajo de las fuerzas no conservativas esigual a la diferencia: energa mecnica total final menos la energa mec-nica total inicial,

WNC = EfinaltotalEinicial total (4.5.6)

El trabajo infinitesimal de las fuerzas no conservativas es dWNC = dEmec.totdt dtde donde se ve que

PNC =dWNC

dt =dEmec.tot

dt (4.5.7)La potencia asociada a las fuerzas no conservativas es igual a la derivadade la energa mecnica total.

4.5.1. Sistema unidimensional desde dos sistemas de referen-cia

Este resultado se puede ilustrar muy sencillamente con el sistema unidi-mensional descrito en la Fig. 4.7. Es un sistema de dos partculas unidas



por un resorte. La partcula P oscila libremente, mientras que Q es mante-nida a velocidad uniforme debido a una fuerza externa. En el sistema dereferencia en que Q est fija la energa es constante

EQ =mv2

2+

k2

(yD)2 , con v = y

Q Pk,D

y

Figura 4.7: La partcula P oscila debido al resorte. La partcula Q es mantenida con velocidaduniforme por efecto de una fuerza externa no conservativa.

En este sistema de referencia la fuerza externa no hace trabajo porque Qno se desplaza. Pero en el sistema de referencia en que Q se mueve convelocidad uniforme v0 el trabajo de la fuerza externa es WNC = Fexterna v0. Laenerga en el sistema de referencia en que Q se mueve con v0 es

EO =m

2(v+ v0)

2 +k2

(yD)2

= EQ +mv20

2+ mvv0

Al calcular dEO/dt el nico trmino no constante es mvv0 cuya derivada esmav0 = F v0, donde F = k(yD) es la fuerza que el resorte ejerce sobreP (que es la misma en ambos sistemas de referencia). Pero si el resorteejerce sobre P una fuerza F, P ejerce sobre el resorte una fuerza F.Sobre el resorte acta esta fuerza F y adems la fuerza Fexterna y, comose mueve a velocidad uniforme, la fuerza total sobre el resorte tiene queser nula, es decir

Fexterna = F =dEOdt = Fexterna v0

que es lo que dice (4.5.7). Esta fuerza depende del estado de movimientodel cuerpo por lo que no puede ser escrita como funcin de punto (distan-cia entre O y P) independiente de las condiciones iniciales del problema.Puede ser vista como una fuerza normal actuando en O.

4.5. ENERGA MECNICA TOTAL NO CONSERVADA Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Mecnica 103

4.6. Problemas

4.1 Una argolla de masa m puede deslizar libremente a lo largo de unavara y esta vara gira, en torno a un punto fijo O, barriendo un planohorizontal con velocidad angular = constante. Inicialmente es li-berada a distancia 0 del origen con = 0. Determine el trabajo queefecta la normal desde el instante inicial hasta un tiempo t. Se co-nocen 0, m y .

4.2 Si se lanza una partcula de masa m verticalmente hacia arriba convelocidad inicial ~v0 y hay roce viscoso ~F = ~v~v, determine el tra-bajo total efectuado por ~F hasta que la partcula vuelve a su punto departida.

4.3 Un ascensor cargado tiene masa total M1 y estconectado a travs de una polea A a un motory por otra polea a un contrapeso de masa M2(M2 < M1). Las poleas tienen roce despreciablepero el ascensor tiene roce viscoso lineal. Pa-ra simplificar el problema suponga que los doscables nacen del mismo punto del techo del as-censor, que no hay ngulo entre ellos y que lainercia de las poleas es despreciable, de modoque el trabajo que se busca es el que hace latensin del cable de la izquierda.

M1

M2

Amotor

a) Determine el trabajo que debe hacer el motor para que el ascensorsuba una altura h a velocidad constante v0.

b) Lo mismo que antes pero para que el ascensor suba con ace-leracin constante entre una posicin y otra h metros ms arriba siv(t) = a0t, con a0 < g entre esas dos posiciones.

Datos: las masas, g, v0, a0, el coeficiente de roce lineal, la altura h.

4.4 Dos bloques de masas m1 y m2 estn apoyados en una superficiehorizontal con la que ambos tienen coeficientes de roce esttico ydinmico e y d .



Los bloques estnadems unidos por unresorte de constan-te elstica k y largonatural D.

m1 m2

En el instante inicial el resorte no est deformado, el bloque de masam2 est en reposo y el bloque de la izquierda tiene rapidez v1. (a) De-termine la compresin mxima del resorte para que el bloque 2 noalcance a moverse. (b) Determine el valor mximo de v1 para que 2no deslice si m2 = 2m1 y d = e/2.

4.5 Una partcula de masa m puededeslizar sobre una superficie hori-zontal con la que tiene coeficientede roce dinmico . La masa es-t unida a una cuerda, la cual pa-sa por una polea en Q y su extremoes recogido con rapidez V0 = cte. Lapolea tiene un radio despreciable yse encuentra a una altura h del sue-lo.

.

m

h

Vo Q

O

g

a) Determine la tensin como funcin de la posicinb) Determine en qu posicin la partcula se despega del suelo.c) Determine el trabajo hecho por la fuerza de roce desde que lapartcula estaba a una distancia x0 del punto O hasta la posicin enque se despega de la superficie.

4.6. PROBLEMAS Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

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