TRABAJO Y ENERGIA

5/17/2018 TRABAJO Y ENERGIA - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/trabajo-y-energia-55ab5889865b7 1/35

[email protected] 1

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



TRABAJO Y ENERGIA

TRABAJO. Es el agente transformador de energía y existe mientrasdura el proceso de transformación.

2

Ejemplos:

• Mediante el trabajo que hacenlos frenos de un vehículo para

detenerlo se transforma ener-gía cinética o de movimientoen energía calorífica en laspastillas (o zapatas) y demáscomponentes de los frenos.

• Mediante el trabajo quehacen nuestros músculos

podemos subir por la escale-ra de un edificio, transfor-mando, en cada paso, ener-gía orgánica en energía po-tencial gravitatoria de nues-tro cuerpo.

Disco Pastilla

y

http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://jovenes.cespsin.gob.mx/images/subiendoescaleras.jpg&imgrefurl=http://jovenes.cespsin.gob.mx/seguridadenlacalle.html&h=240&w=180&sz=18&hl=es&start=10&um=1&tbnid=fYoIE4eo1_ImwM:&tbnh=110&tbnw=83&prev=/images%3Fq%3Dsubir%2Bescaleras%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN



TRABAJO Y ENERGIA

En mecánica, el trabajo relaciona la fuerza y el desplazamiento quele produce a una partícula o cuerpo.

3

Esta relación se define medianteel producto escalar de la fuerzapor el desplazamiento

W = F r = F r cos θ (1)

θ

F

r

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Br = X i

Consideremos la fuerza constante neta F que desplaza elcuerpo de la figura, desde el punto A hasta el punto B.

F sen θ Fθ

F cos θ X

Y

j

i A



El trabajo realizado por esta fuerza es

4

W = F X cos θ = (F cos θ) X

W = (F cos θ i + F sen θ j ) (X i )

Donde: F cos θ = Fx es la componente de la fuerza paralela aldesplazamiento. Por lo tanto:

(2)W = Fx XSegún esta relación, la componente (F sen θ = Fy), perpendicularal desplazamiento, no realiza trabajo.

TRABAJO Y ENERGIA

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

T

dr F

A

B Cuando una fuerza variable F actúa sobre

una partícula y le produce un desplazamien-to infinitesimal dr a lo largo de la curva C,el trabajo infinitesimal que realiza está defi-nido por

d W = F dr (3)



TRABAJO Y ENERGIA

El trabajo total que realizará la fuerza para desplazar la partículadesde el punto A hasta el punto B de la trayectoria es

5

d W = F dr0 A

w B

W = F dr A

B

(4)A

W = F dr cos θ B

Ejemplo 1. Calculemos el trabajo que se realiza al deformar unresorte que obedece la Ley de Hooke.

X = 0k

kX

F

De acuerdo a esta ley, la relación entre lafuerza F aplicada y la deformación X pro-ducida es una constante “k” característicapropia del resorte, a la cual se denominaconstante elástica del resorte.



TRABAJO Y ENERGIA

Esta relación se expresa en la forma:

6

F

X= k F = k X (5)

Las unidades de la constante elástica son: [N/m], [din/cm],[pd/pie], [kgf/m] y [lbf/pie].

Según la Ec.(5), la fuerza es una variable que depende de la lon-gitud que se deforme el resorte. Por lo tanto, el trabajo realizado enla deformación de un resorte entre dos posiciones es

W = F dX cos 0° = F dX x1

x2

x1

x2

Donde θ = 0°, porque F y dX están en la misma dirección.W = k X dx = k X dx

x1

x2

x1

x2

(6)W = ½ k [(x2)2 - (x1)2 ]



TRABAJO Y ENERGIA

Si x1 = 0, entonces x2 = x, con lo que tendremos solamente:

7

Unidades de Trabajo

En el Sistema SI : [N.m]= Joule = [J ]

En el Sistema CGS : [din.cm]= ergio = [erg]En el Sistema inglés : [pd.pie] = poundl-pie

W = ½ k x2

En el sistema MKS gravitatorio: [kgf.m] = kilográmetro =[kgm]

En el sistema inglés gravitatorio: [lbf. pie]

Algunas equivalencias:

1 [J ] = 107 [erg] = 0,738 [lbf.pie], 1 [kgm ] = 9,81 [J ]



TRABAJO Y ENERGIA

ENERGÍA CINÉTICA. Es la energía que tiene la masa de un cuerpodebido a su movimiento.

8

La expresión matemática que define la energía cinética seobtiene considerando una fuerza constante neta F, aplicada aun cuerpo de masa m para cambiar su velocidad desde v1 hasta v2, en un cierto desplazamiento X.

El trabajo realizadopor esta fuerza es

W = F Xm

v1 v2

X

F

Que según la segundaley de Newton

F = m a v22 – v12

2 X donde: a =

Entonces F = m v2

2 – v12

2 X



TRABAJO Y ENERGIA

Entonces el trabajo realizado es

9

En esta ecuación, cada término del segundo miembro es unacantidad escalar que se denomina Energía Cinética del cuerpo

Simplificando obtenemos

W = ½ m v22 - ½ m v1

2 (7)

Ek = ½ m v2 (8)

La unidades de la energía cinética son las mismas que las del trabajo.

W = m Xv2

2 – v12

2 X

Por lo tanto la Ec.(7) podemos entonces escribirla en la forma:

donde Ek1 es la energía cinética inicial y Ek2 es la energía cinéticafinal del cuerpo.

W = Ek2 – Ek1 = Ek (9)



TRABAJO Y ENERGIA

Esta ecuación que relaciona el trabajo y la variación de energíacinética del cuerpo en movimiento se denomina “Teorema del Trabajo- Energía”

10

Este teorema es también válido para una fuerza variable, porqueno interesa la trayectoria seguida por el cuerpo, el trabajo

depende solamente del valor final e inicial de la velocidad delcuerpo. Si el trabajo es positivo el cuerpo gana energía cinética ysi es negativo pierde energía cinética.POTENCIA. Es la rapidez con que se realiza trabajo o transforma energía. Estarapidez significa una cantidad de trabajo hecho en la unidad de

tiempo. POTENCIA MEDIA. Es el trabajo W realizado sobre un en untiempo t. W

t(10)

m =



TRABAJO Y ENERGIA

POTENCIA INSTANTÁNEA. Es la potencia en un cierto instante. Sedefine como el valor límite de la potencia instantánea cuando eltiempo t tiende a cero

11

P

= limW

tt 0

(11)d W

d t=

Usando la definición de trabajo: dW = F dX se tiene

Por lo tantoP = F v = F v cos

(12)

dX

d t = vpero

P = F dX

d t

Donde es el ángulo que forman la fuerza y la velocidad



TRABAJO Y ENERGIA

Unidades de Potencia.

12

En el sistema SI : [J/s] = Watt = [w]En el sistema cgs : [erg/s]

En el sistema Inglés : [pd.pie/s]

En el sistema mks gravitatorio:kgm/s]

En el sistema Inglés gravitatorio:: lbf.pie/s]

1 Gigawatt = 1 [Gw ] = 1012 [w]1 Megawatt = 1 [Mw ] = 106 [w]

1 Kilowatt = 1 [Kw ] = 103 [w]

1 miliwatt = 1 [m w ] = 10-3 [w]

1 microwatt = 1 [μ w ] = 10-6 [w]

1 Caballo fuerza = 1 [H p = 745.7 [w] 746 [w]

El kilowatt-hora es unidad de energía equivalente a:

1 [kwh] = (103 [J/s])(3600 [s]) = 3,6x106 [J ]

Unidades Prácticas



TRABAJO Y ENERGIA

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. Es la energía que tiene uncuerpo por su posición dentro de un campo gravitatorio.

13

Esta energía depende del trabajo que se realice contra la fuerzagravitatoria para ubicar una masa dentro del campo gravitatorio.

W12 = – m g dy = –m g (y2 – y1)y1

y 2

Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (peso) cuandose desplaza el cuerpo desde la posición inicial y 1 hasta la posición final

y 2 es:

X

Y

y 1 m g

Superficie terrestre

Para pequeños desplazamientos cercanos a la superficie terrestre, elmódulo de la fuerza que se aplica para mover un cuerpo es igual alpeso del cuerpo, F = m g.

A

B

W = ( – mg j ) ( dx i + dy j )

A

B

W =

mg drdy y 2

dx

dr



TRABAJO Y ENERGIA

Reordenando se obtiene

14

Esta ecuación nos demuestra que el trabajo realizado contra lafuerza gravitatoria no depende de la trayectoria que siga el cuerpoal cambiar de posición. El trabajo depende solamente de la

posición inicial (y 1) y de la posición final (y 2). La fuerza que realizaeste tipo de trabajo se denomina fuerza conservativa .

Cada sumando del segundo miembro la Ec.(13) se denominaenergía potencial gravitatoria.

Según la Ec.(13, el trabajo realizado por una fuerza conservativacomo la gravitatoria sirve solamente para variar la energía poten-cial gravitatoria del cuerpo, desde un valor inicial Ep1 = m g y1,hasta un valor final Ep2 = m g y2

EP = m g y (14)

W12 = m g y 1 – m g y 2 (13)



TRABAJO Y ENERGIA

El trabajo realizado se puede expresar entonces como

15

En esta ecuación el signo negativo es esencial . Porque, cuando elcuerpo sube, “y ” aumenta, el trabajo realizado por la fuerzagravitatoria es negativo y la energía potencial aumenta. Si elcuerpo baja, “y ” disminuye, el trabajo realizado por la fuerzagravitatoria es positivo y la energía potencial disminuye.

W12 = Ep1 – Ep2 = – (Ep2 – Ep1)

Ep = Ep2 – Ep1

Donde la variación de energía potencial es:

W12 = – Ep(15)

Con lo cual

Es decir que, la energía potencial gravitatoria es una propiedadcompartida del sistema cuerpo-Tierra, dependiente de la posiciónrelativa entre ellos. La unidades de la energía potencial gravitatoria son las mismas que las del trabajo.



TRABAJO Y ENERGIA

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA. Es la energía que tienen loscuerpos elásticos deformados.

16

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA. Es la energía que tienen

los cuerpos elásticos deformados. Este tipo de energía se hallapresente en cuerpos tales como: resortes, ligas, muelles,láminas flexibles y otros.

Para un resorte de constante elástica k,la energía potencial elástica es igual altrabajo realizado en la deformación.

kX = 0

kX

F

W = ½ k X2

Como el trabajo realizado en la deforma-ción es

Este tipo de energía se halla presente en cuerpos tales como:resortes, ligas, muelles, láminas flexibles y otros cuerposdeformables que recuperan su forma.



TRABAJO Y ENERGIA

Entonces la energía potencial elástica , debido a la deformación Xdel resorte, es

17

W12 = Ep2 – Ep1 = ½ k (X22 – X1

2)

(17)Ep = ½ k (X22 – X1

2)

Ep = ½ k X2 (16)

Si la deformación del resorte es desde la posición inicial X1 hasta la posición final X2, el trabajo realizado sirve para variar suenergía potencial elástica.

kX = 0

k

X1

X2

F



TRABAJO Y ENERGIA

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA PARA FUERZASCONSERVATIVAS.

18

Un sistema de fuerzas conservativas es aquel en el cual laenergía mecánica total del sistema (cuerpo o partículas) semantiene constante.La energía mecánica total E de un sistema conservativo sedefine como la suma de su energía cinética Ek y su energíapotencial Ep .

E = Ek + Ep = ½ m v2 + Ep (r) = Constante (18)

Donde Ep(r) indica que la energía potencial es función de laposición.

Otra forma de escribir la ecuación de conservación de la energíamecánica consiste en igualar la energía mecánica total delsistema en el estado inicial E1 con la energía mecánica total enel estado final E2

E1 = E2



TRABAJO Y ENERGIA

Definiendo la energía mecánica total en cada estado se tiene:

19

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

Según esta expresión, el principio de conservación de la energíamecánica total también significa que la variación de tal energíaen un sistema de fuerzas conservativas es nulo.

(Ek2 – Ek1) + (Ep2 – Ep1) = 0

Reordenando obtenemos la variación de la energía cinética y lavariación de la energía potencial

E = 0 (19)

Cuya suma nos da la variación de energíamecánica total

Ek + Ep = 0

Que se puede expresar en la forma



TRABAJO Y ENERGIA

EL TEOREMA TRABAJO- ENERGÍA PARA FUERZAS NOCONSERVATIVAS

20

Un sistema no conservativo es aquel en el cual la energíamecánica total no es constante.

En sistemas no conservativos, el trabajo que realiza la fuerzaneta estará dado por la suma del trabajo Wc, realizado por lasfuerzas conservativas y el trabajo Wnc, realizado por las fuerzasno conservativas.

Según el Teorema Trabajo- Energía, el trabajo realizado por lafuerza neta es igual a la variación de la energía cinética

Wc + Wnc = Ek

Wnc = Ek – Wc

Por lo general, en sistemas físicos reales, existen fuerzas no

conservativas, tales como la fricción.



TRABAJO Y ENERGIA

Pero según la Ec. (15) el trabajo realizado por una fuerza conserva-tiva sirve para variar la energía potencial, Wc = – Ep, entonces

21

(Ek2 – Ek1) +(Ep2 – Ep1) = Wnc (21)

(Ek2 + Ep2) – (Ek1 + Ep1) = Wnc E2 – E1 = Wnc (22)

Con esta relación se demuestra que el trabajo que realizan lasfuerzas no conservativas sirve para cambiar la energía mecánicatotal del sistema.

Usando las definiciones de cada tipo de energía podemos expresaresta ecuación en la forma

E = Wncó

Esta ecuación representa la forma que adopta el Teorema Trabajo-Energía para un sistema de fuerzas no conservativas.

Wnc = Ek + Ep(20)



TRABAJO Y ENERGIA

Ejemplo 1. Un hombre empuja un cuerpo mediante una fuerza deF = 180 [N] aplicada según un ángulo de = 44° sobre la horizontal.Cuando se ha detenido el trabajo realizado es de 580 [J]. ¿Qué dis-tancia se ha desplazado el cuerpo?

22

θ

F

X

Datos.

F = 180 [N], θ= 44°, W = 580 [J]

Solución

Usando la definición de trabajoW = F x cos θ

X = ……. [m]

580 = 180 (X) cos 44°



TRABAJO Y ENERGIA

Ejemplo 2. Una masa de 7 [kg] se levanta verticalmente hasta unaaltura de 6 [m] usando una cuerda ligera en la que se aplica unatensión de 95 [N]. Encontrar: a) el trabajo efectuado por la fuerza detensión, b) el trabajo efectuado por la gravedad, c) la rapidez final dela masa, si ésta parte del reposo y d) la potencia media desarrolladasi el proceso de levantar la masa dura 2 minutos.

23

Cuerda

T

m g

y

Datos m = 7 [kg], y = 6 [m], T = 95 [N], v1 = 0,t = 2 minutos = 120 [s]. Solucióna) El trabajo realizado por la tensión es

WT = T y cos 0° = 95(6)(1)W

T

= ……. [J]

b) El trabo de realizado por la gravedad es debidoal peso del cuerpo

WG = mg y cos 180° = 7(9,81)(6)( – 1)

WG = ………… [J]



TRABAJO Y ENERGIA

c) Según el Teorema Trabajo-Energía, el trabajo neto es igual a lavariación de energía cinética

24

Trabajo neto = W = WT + WG = Ek

570 – 412,02 = ½ (7) v22 – 0

WT + WG = ½ m v22 – ½ m v1

2

Usando los valores obtenidos en (a), (b) y datos del problema se

tiene:V2 = ………… [m/s]

d) La potencia media desarrollada es el trabajo neto entre el tiempoW

t

Pm =

Pm = 570 – 412,02120

Pm = …… [w]



TRABAJO Y ENERGIA

Ejemplo 3. En la figura se tiene un bloque de masa m en reposo en laparte superior del plano inclinado y que al dejarlo libre se deslizahacia abajo una distancia de 6 [m]. Considerando que no hay fricciónentre el boque y el plano, aplicar el Teorema Trabajo-Energía paracalcular: a) la velocidad del bloque al llegar al final del plano y b) eltiempo que demora el bloque en recorrer el plano.

25

35º

y 1

P = mg

θ

y 2

r

a) Como no hay fricción se tiene

un sistema de fuerzas conserva-tivas. Entonces según el teore-ma Trabajo-Energía, la energíainicial es igual a la energía final.

Solución: En primer lugar,dibuja-mos las coordenadas deposición, velocidades y fuerzasque actúan sobre el sistema

E1 = E2 Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2



TRABAJO Y ENERGIA

Definiendo las energías en cada posición se tiene:

26

½m (0) + mgy 1 = ½m v22 + mgy 2

½m v22 = mgy 1 – mgy 2

v2 = 2 g (y 1 – y 2)

½m v12 + mgy 1 = ½m v2

2 + mgy 2

Como en la posición inicial v1 = 0, entonces

Que según la figura y los datos del problema:y2 – y1 = r sen 35º = 6 sen 35º

y2 – y1 = ……… [m]

Luego v2 = 2 (9.81) (3.44)v2 = ……… [m/s]

Esta velocidad es la misma que hubiese adquirido el bloque si hubiera caído verticalmente desde la posición inicial y 1 hasta la posición final y 2



TRABAJO Y ENERGIA

b) Una forma de calcular el tiempo que demora el bloque en recorrerel plano inclinado, es mediante la ecuación cinemática

27

r = tv1 + v2

2t = 2 r

v1 + v2

t = 2 (6)

0 + 8.22t = 1,46 [s]

Otra forma.

El tiempo también podemos calcularlo usando la ecuacióncinemática:

r = v1 t + ½ a t2.

Como v1 = 0, entonces r = ½ a t2

De dondet = 2 r

a



TRABAJO Y ENERGIA

Para calcular la aceleración, aplicamos la 2da. Ley de Newton a lafuerza paralela al plano inclinado.

28

Fp = mg sen = m a

a = g sen De donde

Usando valores obtenemos

a = 9.81 sen 35º a = 5.63 [m/s2]

Por lo tanto, el tiempo es:

t = 2 (6)5.63

t = 1.46 [s]

También se puede usar la ecuación cinemáticav2 = v1 + a t

Queda como tarea para el estudiante hacer uso de esta ecuación para calcular el tiempo



TRABAJO Y ENERGIA

Ejemplo 4. En el sistema de la figura, el bloque de masa m es dejadolibre en la parte superior de un plano inclinado áspero, el cual semueve hacia abajo una distancia de 6 [m]. Aplicar el TeoremaTrabajo-Energía para calcular: a) la velocidad del bloque al llegar alfinal del plano y b) el tiempo que demora en recorrer el plano.Considere que el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es

0.15.

29

a) Como existe fricción, se tie-

ne un sistema no conservativo,la relación Trabajo-Energía aaplicar es:

Ek + Ep = Wnc

Solución. En primer lugar, dibu-jamos las coordenadas de posi-ción, velocidades y fuerzas queactúan sobre el sistema

35º

y 1

P = mg

θ

y 2

rf



TRABAJO Y ENERGIA

En este caso consideremos que la fricción (f = N) es constante alo largo de todo el plano inclinado.

30

Definiendo las variaciones de energía en la ecuación propuesta setiene (Ek2 – Ek1 ) + (Ep2 – Ep1 ) = Wnc

(½ m v22 – ½ m v1

2 ) + (mgy 2 – mgy 1) = Wnc

Wnc = f r cos 180º = – f r

El trabajo realizado por la fuerza no conservativa de fricción ( f )a lo largo del desplazamiento r es

Donde la fuerza de fricción es f = μ N = μ mg cos 35º

Wnc = – (μ mg cos 35º) rEntoncesConsecuentemente

(½ m v22 – ½ m v1

2 ) + (mgy 2 – mgy 1) = – (μ mg cos 35º) r



TRABAJO Y ENERGIA

Factorizando m , usando (y 2 – y 1) = –(y 1 – y 2) = – r sen 35º y v1 = 0, setiene:

31

Simplificando la masa y reordenando obtenemosv2

2 – 2g r sen 35º = – 2μg r cos 35º

v2

= 2g r (sen 35º – μ cos 35º)

De donde finalmente

b) Para calcular el tiempo que demora el bloque en recorrer ladistancia r sobre el plano inclinado usamos la misma ecuación

cinemática del problema anterior

½ m (v22 – 0 ) – m g r sen 35º = – m g(μ cos 35º) r

Y usando valores obtenemos

v2 = 2 (9.81)(6)(sen 35º – 0.15 cos 35º) v2 = ……. [m/s]

r = tv1 + v2

2t = 2 r

v1 + v2 t = 2 (6)

0 + 7.48t = …….. [s]

El uso de otras fórmulas cinemáticas lo dejamos como tarea al estudiante.



TRABAJO Y ENERGIA

Ejemplo 5. Mediante un bloque de masa 2,8 [kg] en A, se comprime en15 [cm] un resorte de constante elástica k = 600 [N/m], como se indicaen la figura. Al dejar libre el bloque se desliza hasta C sobre unasuperficie horizontal sin fricción. para luego ascender desde C hasta Dsobre una superficie oblicua áspera. Si el coeficiente de fricción entreel bloque y la superficie oblicua es µk = 0,20, calcular la altura “y ” hasta

la cual asciende el bloque. Suponer que la acción del resorte sobre elbloque termina cuando éste recupera su longitud normal en B.

32

Datos: m = 2,8 [kg], x =0,15 [m], k = 600 [N/m],μk = 0,20

C

D

30° A

Resorte de constante

k comprimido

X

B

m y

Solución: Trayecto A-C

Como en este trayecto no hay fricción, aplicamos el teorema Trabajo-Energía para sistemas conservativos. Esto significa igualar la energíastotales EA = EC



TRABAJO Y ENERGIA

Igualamos la energía mecánica total en el punto A con la energíamecánica total en el punto C.

33

½ m vA2 + m g yA + ½ k x2 = ½ m vC

2 + m g yC

AC

X

30°

B vA= 0yA = yB = yC = 0

X

Y Superficie sin fricción

Tomando el eje X como sistema de referencia su altura inicial del

bloque respecto a este eje es cero (y =0) y como el bloque partedel reposo (vA = 0), entonces:

En la posición A el blo-que tiene energía po-tencial gravitatoria y

energía potencial elásticaEp = ½ k x2

Despejando obtenemos vC2 = k x2 / m

EkA + EpA = EkC + EpC

km

vc

½ m (0) + m g (0) + ½ k x2 = ½ m vC2 + m g (0)

Definiendo la energía cinética y potencial en cada punto se tiene:



TRABAJO Y ENERGIA

Usando valores se tiene: vC2 = 600(0,15)2 / 2.8 vC2= …… [m2/s2 ]

34

Ek + Ep = Wnc

(EkD – EkC) + (EpD – EpC) = f r

(½ m vD2 – ½ m vC

2) + (m g y D – m g yC) = – f r

Donde: f = μ m g cos30°, r = y /sen30°, vD = 0 (el bloque se detiene en D ),y C = 0

Como en el trayecto C-D existe fricción, aplicamos el TeoremaTrabajo-Energía a un sistema no conservativo.

Trayecto C-D

E = Wnc

(EkD – EkC) + (EpD – EpC) = f r cos 180º

r

30° yC = 0

Superficie con fricción

Y

D

X

v D = 0

C

y

Remplazando estos valores se tiene: [ ½ m (0) – ½ m vc

2 ] + [(m g y – m g (0) ] = – μ m g cos 30°(y /sen30°)

vc N

30°

f

P=m g



TRABAJO Y ENERGIA

Simplificando la masa y reordenando obtenemos:

voltroks@hotmail com 35

Usando vC = 2.2 [m/s] obtenido previamente y demás valores

vc2

2 g (1 + μ / tan30°)y =

(2.2)2

2 (9.81)(1 + 0.20 / tan30°)y =

y = ……. m

Despejando “y ” , la altura del punto D, hasta donde asciende elbloque

– μ g y / tan30° = – ½ vc2 + g y

F I N

TRABAJO Y ENERGIA

Documents

Transcript of TRABAJO Y ENERGIA